Conditional probability Questions in Gujarati

(N/A) કારણ કે $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર છે,તેથી આપણી પાસે છે:
$P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$ ......... $(1)$
વેન આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $E \cap F$ અને $E \cap F^{\prime}$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે અને $E = (E \cap F) \cup (E \cap F^{\prime})$ છે.
તેથી,$P(E) = P(E \cap F) + P(E \cap F^{\prime})$.
અથવા,$P(E \cap F^{\prime}) = P(E) - P(E \cap F)$.
$(1)$ પરથી કિંમત મૂકતા:
$P(E \cap F^{\prime}) = P(E) - P(E) \cdot P(F)$
$= P(E) \cdot (1 - P(F))$
$= P(E) \cdot P(F^{\prime})$
આમ,$E$ અને $F^{\prime}$ સ્વતંત્ર છે.

(B) બે ઘટનાઓ $E$ અને $F$ નિરપેક્ષ હોય જો અને માત્ર જો $P(E \cap F) = P(E) \times P(F)$ હોય.
આપેલ છે કે $P(E) = \frac{3}{5}$,$P(F) = \frac{3}{10}$,અને $P(E \cap F) = \frac{1}{5}$.
$P(E) \times P(F) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{10} = \frac{9}{50}$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $P(E \cap F) = \frac{1}{5} = \frac{10}{50}$,આપણે જોઈએ છીએ કે $\frac{10}{50} \neq \frac{9}{50}$.
તેથી,$P(E \cap F) \neq P(E) \times P(F)$,જેનો અર્થ છે કે $E$ અને $F$ નિરપેક્ષ નથી.

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.
સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે,શરતી સંભાવના $P(B | A)$ એ સીમાંત સંભાવના $P(B)$ જેટલી હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
કારણ કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $P(B | A) = \frac{P(A) \times P(B)}{P(A)} = P(B)$.
આપેલ છે કે $P(B) = 0.4$,તેથી $P(B | A) = 0.4$.

(B) આપેલ છે કે $P(A)=\frac{1}{2}$,$P(B)=\frac{7}{12}$ અને $P(A' \cup B')=\frac{1}{4}$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$A' \cup B' = (A \cap B)'$.
તેથી,$P((A \cap B)') = \frac{1}{4}$.
$P(E') = 1 - P(E)$ હોવાથી,$1 - P(A \cap B) = \frac{1}{4}$.
તેથી,$P(A \cap B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
હવે,$P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{7}{12} = \frac{7}{24}$ ની ગણતરી કરો.
$P(A \cap B) = \frac{3}{4}$ અને $P(A) \times P(B) = \frac{7}{24}$ હોવાથી,આપણે જોઈએ છીએ કે $P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)$.
આમ,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર નથી.

$(A)$ આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે, $P(A) = 0.3$ અને $P(B) = 0.6$.
આપણે $P(A \cap B^c)$ શોધવાનું છે, જે $A$ બને અને $B$ ન બને તેની સંભાવના દર્શાવે છે。
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી, $A$ અને $B^c$ પણ સ્વતંત્ર છે。
તેથી, $P(A \cap B^c) = P(A) \times P(B^c)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - 0.6 = 0.4$.
આમ, $P(A \cap B^c) = 0.3 \times 0.4 = 0.12$.

(A) $52$ પત્તાના ડેકમાં,$13$ પત્તા કાળીના અને $4$ પત્તા એક્કા હોય છે.
$P(E) = P(\text{ખેંચેલું પત્તું કાળીનું છે}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$
$P(F) = P(\text{ખેંચેલું પત્તું એક્કો છે}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$
ડેકમાં માત્ર $1$ પત્તું એવું છે જે કાળીનો એક્કો છે.
$P(E \cap F) = P(\text{ખેંચેલું પત્તું કાળીનું અને એક્કો છે}) = \frac{1}{52}$
કારણ કે $P(E) \times P(F) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{52} = P(E \cap F)$,તેથી ઘટનાઓ $E$ અને $F$ નિરપેક્ષ છે.

(N/A) $52$ પત્તાંના ડેકમાં,$26$ કાળા પત્તાં અને $4$ રાજા હોય છે.
$P(E) = P(\text{ખેંચેલું પત્તું કાળું છે}) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$
$P(F) = P(\text{ખેંચેલું પત્તું રાજા છે}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$
$52$ પત્તાંના પેકમાં,$2$ પત્તાં એવા છે જે કાળા પણ છે અને રાજા પણ છે.
$P(E \cap F) = P(\text{ખેંચેલું પત્તું કાળો રાજા છે}) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$
કારણ કે $P(E) \times P(F) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{26} = P(E \cap F)$,તેથી ઘટનાઓ $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર છે.

(A) ધારો કે $H$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી હિન્દી સમાચારપત્ર વાંચે છે અને $E$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી અંગ્રેજી સમાચારપત્ર વાંચે છે.
આપેલ છે: $P(H) = 60/100 = 3/5$,$P(E) = 40/100 = 2/5$,અને $P(H \cap E) = 20/100 = 1/5$.
આપણે શરતી સંભાવના $P(E | H)$ શોધવાની છે,જે તે સંભાવના છે કે વિદ્યાર્થી અંગ્રેજી સમાચારપત્ર વાંચે છે જો તે હિન્દી સમાચારપત્ર વાંચતી હોય.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E | H) = \frac{P(E \cap H)}{P(H)}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(E | H) = \frac{1/5}{3/5} = \frac{1}{3}$

(B) ધારો કે $H$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી હિન્દી સમાચારપત્ર વાંચે છે અને $E$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી અંગ્રેજી સમાચારપત્ર વાંચે છે.
આપેલ છે:
$P(H) = 60\% = 0.6 = 3/5$
$P(E) = 40\% = 0.4 = 2/5$
$P(H \cap E) = 20\% = 0.2 = 1/5$
આપણે શરતી સંભાવના $P(H | E)$ શોધવાની છે,જે તે અંગ્રેજી સમાચારપત્ર વાંચે છે તે શરતે હિન્દી સમાચારપત્ર વાંચે તેની સંભાવના છે.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P(H | E) = \frac{P(H \cap E)}{P(E)}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(H | E) = \frac{1/5}{2/5} = \frac{1}{2}$

(A) ધારો કે $R_1$ એ પ્રથમ પસંદ કરેલો દડો લાલ હોવાની ઘટના છે અને $B_1$ એ પ્રથમ પસંદ કરેલો દડો કાળો હોવાની ઘટના છે.
$P(R_1) = 5/10 = 1/2$ અને $P(B_1) = 5/10 = 1/2$.
જો $R_1$ બને,તો $2$ લાલ દડા ઉમેરવામાં આવે છે. હવે પાત્રમાં $7$ લાલ અને $5$ કાળા દડા (કુલ $12$) છે. બીજા પ્રયત્ને લાલ દડો પસંદ થવાની સંભાવના $P(R_2|R_1) = 7/12$ છે.
જો $B_1$ બને,તો $2$ કાળા દડા ઉમેરવામાં આવે છે. હવે પાત્રમાં $5$ લાલ અને $7$ કાળા દડા (કુલ $12$) છે. બીજા પ્રયત્ને લાલ દડો પસંદ થવાની સંભાવના $P(R_2|B_1) = 5/12$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમ મુજબ,$P(R_2) = P(R_1)P(R_2|R_1) + P(B_1)P(R_2|B_1)$.
$P(R_2) = (1/2 \times 7/12) + (1/2 \times 5/12) = 7/24 + 5/24 = 12/24 = 1/2$.

(C) આપેલ છે કે $P(A) \neq 0$.
કારણ કે $A$ એ $B$ નો ઉપગણ છે $(A \subseteq B)$,તેથી $A$ અને $B$ નો છેદગણ $A$ પોતે જ થાય,એટલે કે $A \cap B = A$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
આ સૂત્રમાં $A \cap B = A$ મૂકતા,આપણને $P(B|A) = \frac{P(A)}{P(A)}$ મળે છે.
$P(A) \neq 0$ હોવાથી,આપણે તેને સાદું રૂપ આપીને $P(B|A) = 1$ મેળવી શકીએ છીએ.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ બે ઘટનાઓ છે જ્યાં $P(A) \neq 0$ છે.
કારણ કે $A \cap B = \phi$,તેથી ઘટનાઓ $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.
તેથી,તેમના છેદની સંભાવના $P(A \cap B) = 0$ થાય.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
કિંમત મૂકતા,આપણને $P(B | A) = \frac{0}{P(A)} = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $b$ છોકરા માટે અને $g$ છોકરી માટે છે. બે બાળકો માટે નિદર્શાવકાશ $S = \{(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)\}$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે બંને બાળકો છોકરા છે,તેથી $E = \{(b, b)\}$.
ધારો કે $F$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરો છે,તેથી $F = \{(b, b), (b, g), (g, b)\}$.
આપણે શરતી સંભાવના $P(E|F)$ શોધવાની છે.
$E$ અને $F$ નો છેદગણ $E \cap F = \{(b, b)\}$ છે.
$E \cap F$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(E \cap F) = 1$ છે,અને $F$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(F) = 3$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(E|F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} = \frac{1}{3}$ છે.

(B) ધારો કે બે બાળકો માટે નિદર્શાવકાશ $S = \{(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)\}$ છે,જ્યાં $b$ છોકરો અને $g$ છોકરી દર્શાવે છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે બંને બાળકો સ્ત્રી છે,તેથી $A = \{(g, g)\}$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે મોટું બાળક સ્ત્રી છે,તેથી $B = \{(g, b), (g, g)\}$.
આપણે શરતી સંભાવના $P(A|B)$ શોધવાની છે.
ઘટનાઓનો છેદ $A \cap B = \{(g, g)\}$ છે.
સંભાવના $P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ છે.
સંભાવના $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ છે.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $E_A$ એ ઘટના છે કે $A$ નિષ્ફળ જાય છે અને $E_B$ એ ઘટના છે કે $B$ નિષ્ફળ જાય છે.
આપેલ છે:
$P(E_A) = 0.2$
$P(E_A \cap E_B) = 0.15$
$P(B \text{ એકલું નિષ્ફળ જાય}) = P(E_B) - P(E_A \cap E_B) = 0.15$
કિંમતો મૂકતા:
$P(E_B) - 0.15 = 0.15$
$P(E_B) = 0.3$
હવે,શરતી સંભાવના $P(E_A | E_B)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P(E_A | E_B) = \frac{P(E_A \cap E_B)}{P(E_B)}$
$P(E_A | E_B) = \frac{0.15}{0.3} = 0.5$.

(A) આપેલ છે કે $P(A) \neq 0$ અને $P(B | A)=1$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ:
$P(B | A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$
આપેલ કિંમત $P(B | A) = 1$ મૂકતા:
$1 = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$
આનો અર્થ એ થાય કે:
$P(A) = P(B \cap A)$
કારણ કે $P(A) = P(B \cap A)$,તેનો અર્થ એ છે કે $A$ ના તમામ પરિણામો $B$ માં પણ સમાવિષ્ટ છે. તેથી,$A$ એ $B$ નો ઉપગણ છે,જેને $A \subset B$ તરીકે લખવામાં આવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે $P(A | B) > P(A)$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} > P(A)$.
બંને બાજુ $P(B)$ વડે ગુણતા (ધારી લો કે $P(B) > 0$),આપણને મળે છે $P(A \cap B) > P(A) \cdot P(B)$.
હવે,બંને બાજુ $P(A)$ વડે ભાગતા (ધારી લો કે $P(A) > 0$),આપણને મળે છે $\frac{P(A \cap B)}{P(A)} > P(B)$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$\frac{P(A \cap B)}{P(A)} = P(B | A)$.
તેથી,$P(B | A) > P(B)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $P(A)+P(B)-P(A \cap B)=P(A)$.
બંને બાજુથી $P(A)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે: $P(B)-P(A \cap B)=0$,જેનો અર્થ છે કે $P(B)=P(A \cap B)$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
સૂત્રમાં $P(A \cap B) = P(B)$ મૂકતા,આપણને મળે છે $P(A | B) = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે કે $E_{1}, E_{2}, E_{3}$ એ જોડીમાં સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(E_{1} \cap E_{2}) = P(E_{1})P(E_{2})$,$P(E_{2} \cap E_{3}) = P(E_{2})P(E_{3})$,અને $P(E_{3} \cap E_{1}) = P(E_{3})P(E_{1})$.
વળી,$P(E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3}) = 0$.
આપણે $P(E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C} | E_{1})$ શોધવાનું છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C} | E_{1}) = \frac{P(E_{1} \cap E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C})}{P(E_{1})}$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C} = (E_{2} \cup E_{3})^{C}$.
આમ,$E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})^{C} = E_{1} \setminus (E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})) = E_{1} \setminus ((E_{1} \cap E_{2}) \cup (E_{1} \cap E_{3}))$.
સંભાવના માટે સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$P(E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})) = P(E_{1} \cap E_{2}) + P(E_{1} \cap E_{3}) - P(E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3})$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$P(E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})) = P(E_{1})P(E_{2}) + P(E_{1})P(E_{3}) - 0 = P(E_{1})(P(E_{2}) + P(E_{3}))$.
તેથી,$P(E_{1} \cap E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C}) = P(E_{1}) - P(E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})) = P(E_{1}) - P(E_{1})(P(E_{2}) + P(E_{3})) = P(E_{1})(1 - P(E_{2}) - P(E_{3}))$.
અંતે,$P(E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C} | E_{1}) = \frac{P(E_{1})(1 - P(E_{2}) - P(E_{3}))}{P(E_{1})} = 1 - P(E_{2}) - P(E_{3}) = (1 - P(E_{3})) - P(E_{2}) = P(E_{3}^{C}) - P(E_{2})$.

(B) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે અંકોનો સરવાળો $4$ નો ગુણક છે.
$A$ માટે શક્ય પરિણામો છે: $\{(1,3), (2,2), (3,1), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), (6,6)\}$.
આમ,$A$ માં પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 9$ છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે અંક $4$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે છે.
આપણે $B \cap A$ માં રસ ધરાવીએ છીએ,જે એવા પરિણામોનો સમૂહ છે જ્યાં સરવાળો $4$ નો ગુણક હોય અને $4$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે.
ગણ $A$ માં જોતા,$4$ ધરાવતા પરિણામો છે: $\{(4,4)\}$.
આમ,$B \cap A = \{(4,4)\}$ અને $n(B \cap A) = 1$.
શરતી સંભાવના $P(B|A) = \frac{n(B \cap A)}{n(A)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P(B|A) = \frac{1}{9}$.

(D) યાદચ્છિક ચલ $X$ એ સફળતાની સંભાવના $p = \frac{1}{6}$ અને નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = \frac{5}{6}$ સાથે ભૌમિતિક વિતરણને અનુસરે છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(X \geq 5 \mid X > 2) = \frac{P(X \geq 5 \cap X > 2)}{P(X > 2)}$.
ઘટના $X \geq 5$ એ $X > 2$ નો ઉપગણ હોવાથી,$P(X \geq 5 \cap X > 2) = P(X \geq 5)$ થાય.
આમ,$P(X \geq 5 \mid X > 2) = \frac{P(X \geq 5)}{P(X > 2)}$.
ભૌમિતિક વિતરણ માટે,$P(X > k) = q^k = (\frac{5}{6})^k$ થાય.
તેથી,$P(X \geq 5) = P(X > 4) = (\frac{5}{6})^4$ થાય.
અને $P(X > 2) = (\frac{5}{6})^2$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $P(X \geq 5 \mid X > 2) = \frac{(5/6)^4}{(5/6)^2} = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $A$ એ પ્રથમ એકમ કાર્યરત હોવાની ઘટના છે,તેથી $P(A) = 0.9$ અને $P(A^c) = 0.1$.
ધારો કે $B$ એ બીજો એકમ કાર્યરત હોવાની ઘટના છે,તેથી $P(B) = 0.8$ અને $P(B^c) = 0.2$.
સાધન ત્યારે જ કાર્ય કરે છે જો બંને એકમો કાર્યરત હોય. સાધન કાર્યરત હોય તેની સંભાવના $P(A \cap B) = 0.9 \times 0.8 = 0.72$ છે.
સાધન કાર્ય કરવામાં નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવના $P(F) = 1 - 0.72 = 0.28$ છે.
નિષ્ફળતા ત્રણ પરસ્પર નિવારક કિસ્સાઓમાં થાય છે:
$1$. પ્રથમ એકમ નિષ્ફળ જાય,બીજો એકમ કાર્યરત રહે: $P(A^c \cap B) = 0.1 \times 0.8 = 0.08$.
$2$. પ્રથમ એકમ કાર્યરત રહે,બીજો એકમ નિષ્ફળ જાય: $P(A \cap B^c) = 0.9 \times 0.2 = 0.18$.
$3$. બંને એકમો નિષ્ફળ જાય: $P(A^c \cap B^c) = 0.1 \times 0.2 = 0.02$.
નોંધો કે $0.08 + 0.18 + 0.02 = 0.28$,જે $P(F)$ સાથે મેળ ખાય છે.
આપણને આપેલ છે કે સાધન નિષ્ફળ ગયું છે. આપણે શરતી સંભાવના $p$ શોધવાની છે કે માત્ર પ્રથમ એકમ નિષ્ફળ ગયો હોય (એટલે કે $A^c \cap B$ બન્યું હોય) જ્યારે સાધન નિષ્ફળ ગયું હોય $(F)$.
$p = P(A^c \cap B | F) = \frac{P(A^c \cap B)}{P(F)} = \frac{0.08}{0.28} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$.
તેથી,$98p = 98 \times \frac{2}{7} = 14 \times 2 = 28$.

(A) કોઈપણ સંભાવના વિતરણ માટે,સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે. તેથી,$k + 2k + 4k + 6k + 8k = 1$,જે આપણને $21k = 1$ અથવા $k = \frac{1}{21}$ આપે છે.
આપણે શરતી સંભાવના $P(1 < X < 4 \mid X \leq 2)$ શોધવાની છે.
શરતી સંભાવનાના સૂત્ર $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(1 < X < 4 \mid X \leq 2) = \frac{P((1 < X < 4) \cap (X \leq 2))}{P(X \leq 2)}$.
છેદગણ $(1 < X < 4) \cap (X \leq 2)$ એ ઘટના $X = 2$ છે.
આમ,$P(1 < X < 4 \mid X \leq 2) = \frac{P(X = 2)}{P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)}$.
કોષ્ટકમાંથી કિંમતો મૂકતા:
$P(1 < X < 4 \mid X \leq 2) = \frac{4k}{k + 2k + 4k} = \frac{4k}{7k} = \frac{4}{7}$.

(NONE) આપેલ છે કે $P(E_{1} \mid E_{2}) = \frac{P(E_{1} \cap E_{2})}{P(E_{2})} = \frac{1}{2} \implies P(E_{2}) = 2 \cdot P(E_{1} \cap E_{2}) = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$.
આપેલ છે કે $P(E_{2} \mid E_{1}) = \frac{P(E_{1} \cap E_{2})}{P(E_{1})} = \frac{3}{4} \implies P(E_{1}) = \frac{4}{3} \cdot P(E_{1} \cap E_{2}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{6}$.
હવે,$P(E_{1}) \cdot P(E_{2}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{24} \neq P(E_{1} \cap E_{2})$. આમ,$E_{1}$ અને $E_{2}$ સ્વતંત્ર નથી.
વિકલ્પ $(B)$ તપાસો: $P(E_{1}^{\prime} \cap E_{2}^{\prime}) = 1 - P(E_{1} \cup E_{2}) = 1 - (P(E_{1}) + P(E_{2}) - P(E_{1} \cap E_{2})) = 1 - (\frac{1}{6} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}) = 1 - (\frac{4+6-3}{24}) = 1 - \frac{7}{24} = \frac{17}{24}$.
$P(E_{1}^{\prime}) \cdot P(E_{2}^{\prime}) = (1 - \frac{1}{6}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \neq \frac{17}{24}$.
વિકલ્પ $(C)$ તપાસો: $P(E_{1} \cap E_{2}^{\prime}) = P(E_{1}) - P(E_{1} \cap E_{2}) = \frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{4-3}{24} = \frac{1}{24}$.
$P(E_{1}) \cdot P(E_{2}^{\prime}) = \frac{1}{6} \cdot (1 - \frac{1}{4}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} \neq \frac{1}{24}$.
વિકલ્પ $(D)$ તપાસો: $P(E_{1}^{\prime} \cap E_{2}) = P(E_{2}) - P(E_{1} \cap E_{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$.
અહીં $P(E_{1}^{\prime} \cap E_{2}) = \frac{1}{8}$ છે,જ્યારે $P(E_{1}) \cdot P(E_{2}) = \frac{1}{24}$ છે,તેથી આ સમાન નથી.

(A) આપેલ છે કે $P(B \mid A) = \frac{2}{5}$,$P(A \mid B) = \frac{1}{7}$,અને $P(A \cap B) = \frac{1}{9}$.
$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{7}$ પરથી,આપણને $P(B) = 7 \times P(A \cap B) = 7 \times \frac{1}{9} = \frac{7}{9}$ મળે છે.
$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{2}{5}$ પરથી,આપણને $P(A) = \frac{5}{2} \times P(A \cap B) = \frac{5}{2} \times \frac{1}{9} = \frac{5}{18}$ મળે છે.
$(S1)$ માટે: $P(A' \cup B) = P(A') + P(B) - P(A' \cap B) = (1 - P(A)) + P(B) - (P(B) - P(A \cap B)) = 1 - P(A) + P(A \cap B) = 1 - \frac{5}{18} + \frac{1}{9} = 1 - \frac{5}{18} + \frac{2}{18} = 1 - \frac{3}{18} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. આમ,$(S1)$ સાચું છે.
$(S2)$ માટે: $P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B) = 1 - (P(A) + P(B) - P(A \cap B)) = 1 - (\frac{5}{18} + \frac{7}{9} - \frac{1}{9}) = 1 - (\frac{5}{18} + \frac{6}{9}) = 1 - (\frac{5}{18} + \frac{12}{18}) = 1 - \frac{17}{18} = \frac{1}{18}$. આમ,$(S2)$ સાચું છે.
તેથી,$(S1)$ અને $(S2)$ બંને સાચા છે.

(C) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે દરેક અમેરિકન પુરુષ તેની પત્નીની બાજુમાં બેઠો છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ભારતીય પુરુષ તેની પત્નીની બાજુમાં બેઠો છે.
કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $10$ ($5$ પુરુષો અને $5$ પત્નીઓ) છે.
જ્યારે દરેક અમેરિકન દંપતી સાથે બેઠું હોય,ત્યારે આપણે દરેક $4$ અમેરિકન દંપતીને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. ભારતીય પુરુષ અને તેની પત્નીને ઉમેરતા,આપણી પાસે ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવવા માટે $6$ એકમો છે.
પરંતુ શરત એ છે કે દરેક અમેરિકન પુરુષ તેની પત્નીની બાજુમાં બેઠો છે. આવા $4$ દંપતી છે. દરેક દંપતીને એક બ્લોક તરીકે ગણીએ. ત્યાં $4$ આવા બ્લોક્સ અને $2$ વ્યક્તિઓ (ભારતીય પુરુષ અને તેની પત્ની) છે. વર્તુળમાં ગોઠવવા માટે કુલ $6$ એકમો: $(6-1)! = 5!$ રીતો. દરેક $4$ અમેરિકન દંપતીને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે. તેથી,$n(E) = 5! \times (2!)^4$.
હવે,$n(A \cap E)$ માટે,ભારતીય દંપતી પણ સાથે બેઠું છે. આપણે ભારતીય દંપતીને એક બ્લોક તરીકે ગણીએ છીએ. હવે આપણી પાસે વર્તુળમાં ગોઠવવા માટે $5$ બ્લોક્સ ($4$ અમેરિકન દંપતી + $1$ ભારતીય દંપતી) છે: $(5-1)! = 4!$ રીતો. દરેક $5$ દંપતીને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે. તેથી,$n(A \cap E) = 4! \times (2!)^5$.
શરતી સંભાવના $P(A|E) = \frac{n(A \cap E)}{n(E)} = \frac{4! \times (2!)^5}{5! \times (2!)^4} = \frac{4! \times 2}{5!} = \frac{2}{5}$ છે.

(C) આપણને આપેલ છે કે $E, F, G$ જોડીમાં સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,જેનો અર્થ છે કે $P(E \cap G) = P(E)P(G)$ અને $P(F \cap G) = P(F)P(G)$.
આપણે $P(E^c \cap F^c \mid G) = \frac{P(E^c \cap F^c \cap G)}{P(G)}$ શોધવાનું છે.
$P(E^c \cap F^c \cap G) = P(G \setminus (E \cup F)) = P(G) - P((E \cup F) \cap G) = P(G) - P((E \cap G) \cup (F \cap G))$.
સંભાવના માટેના સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંત મુજબ:
$P((E \cap G) \cup (F \cap G)) = P(E \cap G) + P(F \cap G) - P(E \cap F \cap G)$.
આપેલ છે કે $P(E \cap F \cap G) = 0$,તેથી:
$P((E \cap G) \cup (F \cap G)) = P(E)P(G) + P(F)P(G) - 0 = P(G)(P(E) + P(F))$.
આ કિંમત મૂકતા:
$P(E^c \cap F^c \cap G) = P(G) - P(G)(P(E) + P(F)) = P(G)(1 - P(E) - P(F))$.
તેથી,$P(E^c \cap F^c \mid G) = \frac{P(G)(1 - P(E) - P(F))}{P(G)} = 1 - P(E) - P(F)$.
કારણ કે $P(E^c) = 1 - P(E)$,તેથી $1 - P(E) - P(F) = P(E^c) - P(F)$.

(D) ધારો કે $n(S) = 10$ એ કુલ પરિણામોની સંખ્યા છે. આપેલ છે કે $n(A) = 4$,તેથી $P(A) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
ધારો કે $n(B) = p$,તેથી $P(B) = \frac{p}{10}$.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોય તે માટે,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{5} \times \frac{p}{10} = \frac{2p}{50} = \frac{p}{25}$.
$P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{10}$ હોવાથી,$\frac{n(A \cap B)}{10} = \frac{p}{25}$,જે સૂચવે છે કે $n(A \cap B) = \frac{10p}{25} = \frac{2p}{5}$.
$n(A \cap B)$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $2p$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ. $2$ અને $5$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$p$ એ $5$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$B$ અરિક્ત હોવાથી,$p \in \{5, 10\}$.

(C) સંખ્યા $5$ નો ગુણક હોય જો તેનો છેલ્લો અંક $0$ અથવા $5$ હોય. સમૂહ ${1, 2, 2, 2, 4, 4, 0}$ માં $5$ નથી,તેથી છેલ્લો અંક $0$ હોવો જોઈએ.
અમે એકમના સ્થાને $0$ રાખીને ${1, 2, 2, 2, 4, 4, 0}$ નો ઉપયોગ કરીને પાંચ અંકની સંખ્યાઓ બનાવીએ છીએ.
બાકીના ચાર અંકો ${1, 2, 2, 2, 4, 4}$ માંથી પસંદ કરવામાં આવે છે.
કિસ્સો $1$: અંકો ${1, 2, 2, 2}$,ક્રમચયો $= \frac{4!}{3!} = 4$.
કિસ્સો $2$: અંકો ${1, 4, 2, 2}$,ક્રમચયો $= \frac{4!}{2!} = 12$.
કિસ્સો $3$: અંકો ${4, 2, 2, 2}$,ક્રમચયો $= \frac{4!}{3!} = 4$.
કિસ્સો $4$: અંકો ${2, 2, 4, 4}$,ક્રમચયો $= \frac{4!}{2!2!} = 6$.
કિસ્સો $5$: અંકો ${1, 2, 4, 4}$,ક્રમચયો $= \frac{4!}{2!} = 12$.
$5$ વડે વિભાજ્ય કુલ સંખ્યાઓ $(n(A))$ $= 4 + 12 + 4 + 6 + 12 = 38$.
સંખ્યા $20$ નો ગુણક હોય જો તે $5$ અને $4$ બંનેનો ગુણક હોય. $4$ વડે વિભાજ્ય થવા માટે,છેલ્લા બે અંકો $4$ વડે વિભાજ્ય હોવા જોઈએ. છેલ્લો અંક $0$ હોવાથી,દશકનો અંક $2$ અથવા $4$ હોવો જોઈએ.
જો છેલ્લા બે અંકો $20$ હોય,તો બાકીના ત્રણ અંકો ${1, 2, 2, 4, 4}$ માંથી પસંદ કરવામાં આવે છે.
ક્રમચયો $= \frac{3!}{2!} = 3$.
જો છેલ્લા બે અંકો $40$ હોય,તો બાકીના ત્રણ અંકો ${1, 2, 2, 2, 4}$ માંથી પસંદ કરવામાં આવે છે.
ક્રમચયો $= \frac{3!}{3!} = 1$ (${2, 2, 2}$ માટે) $+ \frac{3!}{2!} = 3$ (${1, 2, 2}$ માટે) $= 4$.
$20$ વડે વિભાજ્ય કુલ સંખ્યાઓ $(n(A \cap B))$ $= 3 + 4 = 7$.
આમ,$5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓમાંથી $20$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યાઓ $38 - 7 = 31$ છે.
શરતી સંભાવના $p = \frac{31}{38}$.
તેથી,$38p = 31$.

(A) આપેલ છે $P(X) = \frac{1}{3}$,$P(X \mid Y) = \frac{1}{2}$,અને $P(Y \mid X) = \frac{2}{5}$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(Y \mid X) = \frac{P(X \cap Y)}{P(X)}$.
$\frac{2}{5} = \frac{P(X \cap Y)}{1/3} \Rightarrow P(X \cap Y) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$.
હવે,$P(X \mid Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$.
$\frac{1}{2} = \frac{2/15}{P(Y)} \Rightarrow P(Y) = \frac{2}{15} \times 2 = \frac{4}{15}$. (વિકલ્પ $D$ સાચો છે)
$P(X^{\prime} \mid Y)$ માટે,$P(X^{\prime} \mid Y) = 1 - P(X \mid Y) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે)
$P(X \cup Y)$ માટે,$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y) = \frac{1}{3} + \frac{4}{15} - \frac{2}{15} = \frac{5+4-2}{15} = \frac{7}{15}$.
આમ,વિકલ્પો $A$ અને $D$ સાચા છે.

(C) $3 \times 3$ શ્રેણિકમાં કુલ $9$ ઘટકો હોય છે. શ્રેણિકના ઘટકોનો સરવાળો $7$ હોવાથી,તેમાં બરાબર $7$ એકડા અને $2$ શૂન્ય હોવા જોઈએ.
$2$ શૂન્ય માટે સ્થાન પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $n(E_2) = \binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$ છે.
$\operatorname{det} A = 0$ ત્યારે થાય જ્યારે શ્રેણિકની કોઈ એક હાર અથવા સ્તંભમાં બંને શૂન્ય હોય. અહીં માત્ર $2$ શૂન્ય હોવાથી,નિશ્ચાયક $0$ ત્યારે જ થાય જો બંને શૂન્ય એક જ હારમાં અથવા એક જ સ્તંભમાં હોય.
$2$ શૂન્યને એક જ હારમાં મૂકવાની રીતો: $3$ હાર છે અને દરેક હારમાં $\binom{3}{2} = 3$ રીતે શૂન્ય મૂકી શકાય. તેથી,$3 \times 3 = 9$ રીતો.
$2$ શૂન્યને એક જ સ્તંભમાં મૂકવાની રીતો: $3$ સ્તંભ છે અને દરેક સ્તંભમાં $\binom{3}{2} = 3$ રીતે શૂન્ય મૂકી શકાય. તેથી,$3 \times 3 = 9$ રીતો.
આમ,$n(E_1 \cap E_2) = 9 + 9 = 18$.
શરતી સંભાવના $P(E_1 \mid E_2) = \frac{n(E_1 \cap E_2)}{n(E_2)} = \frac{18}{36} = 0.50$ થાય.

(A) ધારો કે $B$ એ ઘટના $E_1=E_3$ છે. આપણે $P(S_1=\{1,2\} | B) = \frac{P(S_1=\{1,2\} \cap B)}{P(B)}$ શોધવા માંગીએ છીએ.
$S_1$ માટે શક્ય ગણ $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$ છે,દરેકની સંભાવના $\frac{1}{3}$ છે.
આપેલ ઉકેલ મુજબ,ગણતરી કરતા $P(B_{1,2}) = \frac{1}{3} \times \frac{1 \times ^3C_1}{^4C_2} \times \frac{1}{^5C_2} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{6} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{60}$.
કુલ સંભાવના $P(B)$ ની ગણતરી કરતા,અંતિમ પરિણામ $p = \frac{P(B_{1,2})}{P(B)} = \frac{1}{5}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $X$ એ $D_4$ દ્વારા દર્શાવેલ અંક છે. ચાર પાસાઓ માટે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^4 = 1296$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$D_4$ ના નિશ્ચિત મૂલ્ય માટે સંભાવના ધ્યાનમાં લો. $D_4$ દ્વારા દર્શાવેલ કોઈપણ ચોક્કસ અંક $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માટે,$k$ એ $D_1, D_2, D_3$ માંથી કોઈપણ પર ન દેખાય તેની સંભાવના $(\frac{5}{6})^3 = \frac{125}{216}$ છે.
તેથી,$k$ એ $D_1, D_2, D_3$ માંથી ઓછામાં ઓછા એક પર દેખાય તેની સંભાવના $1 - \frac{125}{216} = \frac{216 - 125}{216} = \frac{91}{216}$ છે.
આ સંભાવના $D_4$ દ્વારા દર્શાવેલ મૂલ્યથી સ્વતંત્ર હોવાથી,કુલ સંભાવના $\frac{91}{216}$ છે.

(C) ધારો કે $R_1, B_1, G_1$ એ Box-$I$ માંથી અનુક્રમે લાલ,વાદળી અથવા લીલો દડો પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. સંભાવનાઓ $P(R_1) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$,$P(B_1) = \frac{3}{16}$,અને $P(G_1) = \frac{5}{16}$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલા દડાઓમાંથી એક સફેદ છે. ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલા દડાઓમાંથી ઓછામાં ઓછો એક લીલો છે.
સફેદ દડા ફક્ત Box-$IV$ માં છે. તેથી,$A$ ત્યારે જ થઈ શકે જો આપણે Box-$I$ માંથી લીલો દડો પસંદ કરીએ અને પછી Box-$IV$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરીએ. Box-$IV$ માં $10$ લીલા,$16$ નારંગી અને $6$ સફેદ દડા (કુલ $32$) છે.
$P(A \cap B) = P(G_1) \times P(\text{Box-}IV \text{ માંથી સફેદ}) = \frac{5}{16} \times \frac{6}{32} = \frac{5}{16} \times \frac{3}{16} = \frac{15}{256}$.
હવે,$P(B) = P(G_1) + P(R_1 \cap G_2) + P(B_1 \cap G_3)$,જ્યાં $G_2$ એ Box-$II$ માંથી લીલો અને $G_3$ એ Box-$III$ માંથી લીલો દડો છે.
$P(B) = \frac{5}{16} + (\frac{8}{16} \times \frac{15}{48}) + (\frac{3}{16} \times \frac{12}{16}) = \frac{5}{16} + (\frac{1}{2} \times \frac{5}{16}) + (\frac{3}{16} \times \frac{3}{4}) = \frac{5}{16} + \frac{5}{32} + \frac{9}{64} = \frac{20+10+9}{64} = \frac{39}{64}$.
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{15/256}{39/64} = \frac{15}{256} \times \frac{64}{39} = \frac{15}{4 \times 39} = \frac{5}{4 \times 13} = \frac{5}{52}$.

(D) આપેલ છે કે $N$ દડાની થેલીમાં $3$ સફેદ,$6$ લીલા અને $(N-9)$ વાદળી દડા છે.
બદલ્યા વગર એક પછી એક સફેદ,લીલો અને વાદળી દડો પસંદ કરવાની સંભાવના:
$P(W_1 \cap G_2 \cap B_3) = P(W_1) \times P(G_2 \mid W_1) \times P(B_3 \mid W_1 \cap G_2)$
આપણને $P(W_1 \cap G_2 \cap B_3) = \frac{2}{5N}$ અને $P(B_3 \mid W_1 \cap G_2) = \frac{2}{9}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P(W_1) = \frac{3}{N}$
$P(G_2 \mid W_1) = \frac{6}{N-1}$
$P(B_3 \mid W_1 \cap G_2) = \frac{N-9}{N-2}$
તેથી,$\frac{3}{N} \times \frac{6}{N-1} \times \frac{N-9}{N-2} = \frac{2}{5N}$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ:
$P(B_3 \mid W_1 \cap G_2) = \frac{N-9}{N-2} = \frac{2}{9}$.
$N$ માટે ઉકેલતા:
$9(N-9) = 2(N-2)$
$9N - 81 = 2N - 4$
$7N = 77$
$N = 11$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $12x^2 - 7x + 1 = 0$ છે.
$x$ માટે ઉકેલતા: $12x^2 - 4x - 3x + 1 = 0 \Rightarrow (4x - 1)(3x - 1) = 0$.
તેથી,બીજ $x = \frac{1}{3}$ અને $x = \frac{1}{4}$ છે.
ધારો કે $P(A \mid B) = \frac{1}{3}$ અને $P(B \mid A) = \frac{1}{4}$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ:
$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.1}{P(B)} = \frac{1}{3} \Rightarrow P(B) = 0.3$.
$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.1}{P(A)} = \frac{1}{4} \Rightarrow P(A) = 0.4$.
હવે,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.4 + 0.3 - 0.1 = 0.6$.
ડી મોર્ગનના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા:
$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A \cap B}) = 1 - 0.1 = 0.9$.
$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - 0.6 = 0.4$.
તેથી,$\frac{P(\overline{A} \cup \overline{B})}{P(\overline{A} \cap \overline{B})} = \frac{0.9}{0.4} = \frac{9}{4}$.

(A) આપેલ છે: $P(A) = 0.7$,$P(B) = 0.4$,$P(A \cap \overline{B}) = 0.5$.
પ્રથમ,$P(A \cap B)$ શોધો:
$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) \implies 0.7 = P(A \cap B) + 0.5 \implies P(A \cap B) = 0.2$.
ત્યારબાદ,$P(A \cup \overline{B})$ શોધો:
$P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B}) = 0.7 + (1 - 0.4) - 0.5 = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
હવે,$P(B \mid (A \cup \overline{B}))$ ની ગણતરી કરો:
$P(B \mid (A \cup \overline{B})) = \frac{P(B \cap (A \cup \overline{B}))}{P(A \cup \overline{B})} = \frac{P((B \cap A) \cup (B \cap \overline{B}))}{P(A \cup \overline{B})} = \frac{P(A \cap B) + 0}{0.8} = \frac{0.2}{0.8} = \frac{1}{4}$.

(B) $8$ છોકરાઓ અને $3$ છોકરીઓમાંથી $5$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની કુલ રીતો $C(11, 5) = 462$ છે.
જો $2$ ચોક્કસ છોકરીઓનો સમાવેશ કરવાનો હોય,તો આપણે બાકીના $9$ લોકો ($8$ છોકરાઓ અને $1$ છોકરી) માંથી $3$ સભ્યો પસંદ કરવા પડે.
બાકીના $3$ સભ્યો પસંદ કરવાની રીતો $C(9, 3) = 84$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{84}{462} = \frac{2}{11}$ છે.

(C) ધારો કે બે બાળકો માટે નિદર્શાવકાશ $S = \{BB, BG, GB, GG\}$ છે,જ્યાં $B$ એટલે છોકરો અને $G$ એટલે છોકરી. દરેક પરિણામની સંભાવના $1/4$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરો છે. તેથી $A = \{BB, BG, GB\}$,એટલે કે $P(A) = 3/4$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે બંને બાળકો છોકરા છે. તેથી $B = \{BB\}$.
આપણે શરતી સંભાવના $P(B|A)$ શોધવાની છે,જેનો અર્થ છે કે ઓછામાં ઓછું એક છોકરો હોય ત્યારે બંને છોકરા હોવાની સંભાવના.
$P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$.
અહીં $B \subset A$ હોવાથી,$B \cap A = B = \{BB\}$,તેથી $P(B \cap A) = 1/4$.
તેથી,$P(B|A) = \frac{1/4}{3/4} = 1/3$.

(D) આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{5}$,અને $P(A \cup B) = \frac{1}{3}$.
પ્રથમ,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ શોધો.
વળી,$P(A^{\prime}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ અને $P(B^{\prime}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
હવે,$P(A^{\prime} | B^{\prime}) = \frac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(B^{\prime})} = \frac{2/3}{4/5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{6}$.
અને $P(B^{\prime} | A^{\prime}) = \frac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(A^{\prime})} = \frac{2/3}{2/3} = 1$.
તેથી,$P(A^{\prime} | B^{\prime}) + P(B^{\prime} | A^{\prime}) = \frac{5}{6} + 1 = \frac{11}{6}$.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{11}{20} = P(A) + \frac{2}{5} - P(A) \times \frac{2}{5}$.
$\frac{11}{20} - \frac{8}{20} = P(A)(1 - \frac{2}{5})$.
$\frac{3}{20} = P(A) \times \frac{3}{5}$.
$P(A) = \frac{3}{20} \times \frac{5}{3} = \frac{1}{4}$.
કારણ કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે,તેથી $A'$ અને $B$ પણ સ્વતંત્ર છે.
તેથી,$P(A' \mid B) = P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
હવે,ચકાસો કે કયા સમીકરણમાં $x = \frac{3}{4}$ એ બીજ છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $4(\frac{3}{4})^2 - 7(\frac{3}{4}) + 3 = 4(\frac{9}{16}) - \frac{21}{4} + 3 = \frac{9}{4} - \frac{21}{4} + \frac{12}{4} = 0$.
આમ,$x = \frac{3}{4}$ એ $4x^2 - 7x + 3 = 0$ નું બીજ છે.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X) = k + 2k + 4k + 2k + k = 10k = 1 \implies k = \frac{1}{10}$.
આપણે શરતી સંભાવના $P(1 \le X < 4 | X \le 2)$ શોધવાની છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
અહીં,$A$ એ ઘટના $1 \le X < 4$ છે,જેનો અર્થ છે $X \in \{1, 2, 3\}$.
$B$ એ ઘટના $X \le 2$ છે,જેનો અર્થ છે $X \in \{0, 1, 2\}$.
છેદગણ $A \cap B$ એ ઘટના $X \in \{1, 2\}$ છે.
હવે,$P(A \cap B) = P(X=1) + P(X=2) = 2k + 4k = 6k = 6 \times \frac{1}{10} = \frac{6}{10}$.
અને $P(B) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = k + 2k + 4k = 7k = 7 \times \frac{1}{10} = \frac{7}{10}$.
તેથી,$P(A|B) = \frac{6/10}{7/10} = \frac{6}{7}$.

(C) ધારો કે $B$ છોકરો અને $G$ છોકરી દર્શાવે છે. $3$ બાળકો ધરાવતા પરિવાર માટે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{BBB, BBG, BGB, GBB, BGG, GBG, GGB, GGG\}$.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 8$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ત્રણેય બાળકો છોકરીઓ છે,તેથી $A = \{GGG\}$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરી છે,તેથી $E = \{BBG, BGB, GBB, BGG, GBG, GGB, GGG\}$.
ઘટના $E$ માં પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 7$ છે.
છેદગણ $A \cap E = \{GGG\}$,તેથી $n(A \cap E) = 1$.
શરતી સંભાવના $P(A|E)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P(A|E) = \frac{n(A \cap E)}{n(E)} = \frac{1}{7}$.

(C) ધારો કે $R_1$ એ પ્રથમ દડો લાલ હોવાની ઘટના છે અને $B_1$ એ પ્રથમ દડો કાળો હોવાની ઘટના છે. ધારો કે $R_2$ એ બીજો દડો લાલ હોવાની ઘટના છે.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ દડો કાળો છે $(B_1)$.
$P(B_1) = \frac{6}{10}$.
$3$ કાળા દડા ઉમેર્યા પછી,થેલીમાં $4$ લાલ અને $9$ કાળા દડા છે (કુલ $= 13$).
$P(R_2 | B_1) = \frac{4}{13}$.
$P(B_1 \cap R_2) = P(B_1) \times P(R_2 | B_1) = \frac{6}{10} \times \frac{4}{13} = \frac{24}{130}$.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ દડો લાલ છે $(R_1)$.
$P(R_1) = \frac{4}{10}$.
$3$ લાલ દડા ઉમેર્યા પછી,થેલીમાં $7$ લાલ અને $6$ કાળા દડા છે (કુલ $= 13$).
$P(R_2 | R_1) = \frac{7}{13}$.
$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2 | R_1) = \frac{4}{10} \times \frac{7}{13} = \frac{28}{130}$.
કુલ સંભાવના $P(R_2) = P(B_1 \cap R_2) + P(R_1 \cap R_2) = \frac{24}{130} + \frac{28}{130} = \frac{52}{130} = \frac{2}{5} = \frac{26}{65}$.

(B) આપણને $P(A) = \frac{3}{10}$,$P(B) = \frac{3}{5}$,અને $P(A \cup B) = \frac{3}{5}$ આપેલ છે.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{5} = \frac{3}{10} + \frac{3}{5} - P(A \cap B)$.
આથી $P(A \cap B) = \frac{3}{10}$ મળે છે.
હવે,આપણે $P(A|B) \times P(B|A)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ અને $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
તેથી,$P(A|B) \times P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \times \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{(\frac{3}{10})}{(\frac{3}{5})} \times \frac{(\frac{3}{10})}{(\frac{3}{10})} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ઘટના $E_{1}$ એ સરવાળો $6$ મળવાની ઘટના છે. તેના પરિણામો $E_{1} = \{(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)\}$ છે.
$E_{1}$ માં પરિણામોની સંખ્યા $n(E_{1}) = 5$ છે.
ઘટના $E_{2}$ એ બે પાસાઓમાંથી ઓછામાં ઓછા એક પર $2$ મળવાની ઘટના છે. $E_{1} \cap E_{2}$ માં એવા પરિણામો આવશે જે $E_{1}$ માં હોય અને જેમાં ઓછામાં ઓછો એક $2$ હોય.
આ પરિણામો $\{(2, 4), (4, 2)\}$ છે.
તેથી,$n(E_{1} \cap E_{2}) = 2$.
શરતી સંભાવના $P(E_{2} / E_{1})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P(E_{2} / E_{1}) = \frac{n(E_{1} \cap E_{2})}{n(E_{1})} = \frac{2}{5}$.

(C) અહીં $P(A)=0.5, P(B)=0.4$ અને $P(A \cap B)=0.3$ આપેલ છે.
આપણે $P(A^{\prime} \mid B^{\prime})$ શોધવાનું છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A^{\prime} \mid B^{\prime}) = \frac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(B^{\prime})}$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$A^{\prime} \cap B^{\prime} = (A \cup B)^{\prime}$,તેથી $P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P((A \cup B)^{\prime}) = 1 - P(A \cup B)$.
પ્રથમ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.4 - 0.3 = 0.6$ ગણો.
તેથી,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 - 0.6 = 0.4$.
વળી,$P(B^{\prime}) = 1 - P(B) = 1 - 0.4 = 0.6$.
આમ,$P(A^{\prime} \mid B^{\prime}) = \frac{0.4}{0.6} = \frac{2}{3}$.

(C) ધારો કે $P(A) = x$ અને $P(B) = y$. $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,$A$ અને $B'$ પણ સ્વતંત્ર છે,તેમજ $A'$ અને $B$ પણ સ્વતંત્ર છે.
આપેલ છે કે $P(A \cap B') = P(A)P(B') = x(1-y) = \frac{3}{25}$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $P(A' \cap B) = P(A')P(B) = (1-x)y = \frac{8}{25}$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$x - xy = \frac{3}{25} \implies xy = x - \frac{3}{25}$.
$xy$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $y - xy = \frac{8}{25} \implies y - (x - \frac{3}{25}) = \frac{8}{25} \implies y - x = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \implies y = x + \frac{1}{5}$.
$y$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $x(1 - (x + \frac{1}{5})) = \frac{3}{25} \implies x(\frac{4}{5} - x) = \frac{3}{25} \implies \frac{4}{5}x - x^2 = \frac{3}{25}$.
$25$ વડે ગુણતા: $20x - 25x^2 = 3 \implies 25x^2 - 20x + 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(5x - 1)(5x - 3) = 0$.
તેથી,$x = \frac{1}{5}$ અથવા $x = \frac{3}{5}$.
જો $x = \frac{1}{5}$ હોય,તો $y = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$.
જો $x = \frac{3}{5}$ હોય,તો $y = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
વિકલ્પો તપાસતા,$P(A) = \frac{1}{5}$ ઉપલબ્ધ છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.
$P(A^{\prime}) = 0.75$,તેથી $P(A) = 1 - P(A^{\prime}) = 1 - 0.75 = 0.25$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$0.65 = 0.25 + p - (0.25 \cdot p)$
$0.65 - 0.25 = p(1 - 0.25)$
$0.40 = 0.75p$
$p = \frac{0.40}{0.75} = \frac{40}{75} = \frac{8}{15}$.

(C) આપેલ છે કે $A, B$ અને $C$ જોડીમાં સ્વતંત્ર છે.
કારણ કે $A, B, C$ જોડીમાં સ્વતંત્ર છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A)P(B)$,$P(B \cap C) = P(B)P(C)$,અને $P(A \cap C) = P(A)P(C)$.
આપેલ છે કે $P(A \cap B \cap C) = 0$.
જોડીમાં સ્વતંત્રતાને કારણે,$P(A \cap B \cap C) = P(A \cap B)P(C) = P(A)P(B)P(C) = 0$.
$P(C) > 0$ હોવાથી,$P(A)P(B) = 0$ થાય.
હવે,$P((\overline{A} \cap \overline{B}) / C) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C)}{P(C)}$.
$A, B, C$ સ્વતંત્ર હોવાથી,ઘટનાઓ $\overline{A}, \overline{B}, C$ પણ સ્વતંત્ર છે.
તેથી,$P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) = P(\overline{A})P(\overline{B})P(C)$.
તેથી,$P((\overline{A} \cap \overline{B}) / C) = \frac{P(\overline{A})P(\overline{B})P(C)}{P(C)} = P(\overline{A})P(\overline{B})$.
$P(\overline{A})P(\overline{B}) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B)$.
$P(A)P(B) = 0$ હોવાથી,આપણને $1 - P(A) - P(B) = P(\overline{A}) - P(B)$ મળે છે.