Conditional probability Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $A$ અને $B^c$ પણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.
$P(B) = \frac{2}{7} \implies P(B^c) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B^c) = P(A) + P(B^c) - P(A \cap B^c)$.
$A$ અને $B^c$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B^c) = P(A) \cdot P(B^c)$.
કિંમતો મૂકતા:
$0.8 = P(A) + \frac{5}{7} - P(A) \cdot \frac{5}{7}$.
$0.8 - \frac{5}{7} = P(A) \cdot (1 - \frac{5}{7})$.
$\frac{5.6 - 5}{7} = P(A) \cdot \frac{2}{7}$.
$0.6 = 2 \cdot P(A)$.
$P(A) = 0.3$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $P(A \cap B) = P(B \mid A) \times P(A) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
હવે,$P(A \mid B)$ માટે શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
$P(B)$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$P(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A \mid B)}$.
કિંમતો મૂકતા,$P(B) = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{6} \times 2 = \frac{1}{3}$.

(A) ધારો કે $H$ એ છાપ મળવાની ઘટના છે અને $T$ એ કાંટો મળવાની ઘટના છે. પ્રયોગ ત્યારે અટકે છે જ્યારે છાપ મળે અથવા ત્રણ ઉછાળ પૂર્ણ થાય.
પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ $S = \{H, TH, TTH, TTT\}$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પ્રથમ ઉછાળમાં છાપ મળતી નથી. આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ ઉછાળમાં કાંટો $(T)$ મળે છે.
ઘટના $A$ ને અનુરૂપ પરિણામો $\{TH, TTH, TTT\}$ છે.
સંભાવના $P(A) = P(T) = \frac{1}{2}$ છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે સિક્કો ત્રણ વાર ઉછાળવામાં આવે છે. ઘટના $B$ ને અનુરૂપ પરિણામો $\{TTH, TTT\}$ છે.
છેદગણ $A \cap B$ એ ઘટના દર્શાવે છે કે પ્રથમ ઉછાળમાં કાંટો મળે છે અને સિક્કો ત્રણ વાર ઉછાળવામાં આવે છે. આ પરિણામો $\{TTH, TTT\}$ ને અનુરૂપ છે.
$P(A \cap B) = P(TTH) + P(TTT) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
આપણે શરતી સંભાવના $P(B|A)$ શોધવાની છે:
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.

(C) યાદચ્છિક ચલ માટે સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
આપેલ છે કે $P(X=r) = K r^3$,જ્યાં $r \in \{1, 2, 3, 4\}$.
તેથી,$K(1^3) + K(2^3) + K(3^3) + K(4^3) = 1$.
$K(1 + 8 + 27 + 64) = 1 \Rightarrow 100K = 1 \Rightarrow K = \frac{1}{100}$.
આપણે $P\left(\left.\frac{1}{2} < X < \frac{5}{2} \right\rvert X > 1\right)$ શોધવાનું છે.
આ $P(X=2 \mid X \in \{2, 3, 4\})$ ની બરાબર છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ: $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
અહીં $A = \{X=2\}$ અને $B = \{X=2, 3, 4\}$ છે.
$P(A \cap B) = P(X=2) = 8K$.
$P(B) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 8K + 27K + 64K = 99K$.
આમ,$P(A \mid B) = \frac{8K}{99K} = \frac{8}{99}$.
તેથી,$K = \frac{1}{100}$ અને શરતી સંભાવના $\frac{8}{99}$ છે.

(A) બે પાસાઓનો સરવાળો જે અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય તે $2, 3, 5, 7, 11$ છે.
નમૂના અવકાશ $S$ માં એવી જોડીઓ $(x, y)$ છે જ્યાં $x+y$ અવિભાજ્ય છે:
સરવાળો $= 2: (1, 1)$
સરવાળો $= 3: (1, 2), (2, 1)$
સરવાળો $= 5: (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)$
સરવાળો $= 7: (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)$
સરવાળો $= 11: (5, 6), (6, 5)$
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
આપણને એવી સંભાવના જોઈએ છે કે જેમાં ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા $3$ નો ગુણક (એટલે કે $3$ અથવા $6$) હોય.
સાનુકૂળ પરિણામો છે: $(2, 3), (3, 2), (1, 6), (6, 1), (3, 4), (4, 3), (5, 6), (6, 5)$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 8$.
જરૂરી સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{8}{15}$.

(B) આપેલ છે કે $P(A / B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3}{10} \implies P(A \cap B) = \frac{3}{10} P(B)$.
$P(B / A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{4}{5} \implies P(A) = \frac{5}{4} P(A \cap B) = \frac{5}{4} \times \frac{3}{10} P(B) = \frac{3}{8} P(B)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ છે કે $P(A \cup B) = K P(B)$,તેથી $K P(B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(B)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $K = \frac{P(A)}{P(B)} + 1 - \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{3}{8} + 1 - \frac{3}{10}$.
$K = \frac{15 + 40 - 12}{40} = \frac{43}{40}$.
તેથી,$\frac{1}{K} = \frac{40}{43}$.

(C) ધારો કે $E$ એ વિજ્ઞાનનું પુસ્તક પસંદ કરવાની ઘટના છે.
ધારો કે $A$ એ જૂથ $A$ માંથી પુસ્તક પસંદ કરવાની ઘટના છે,અને $B$ એ જૂથ $B$ માંથી પુસ્તક પસંદ કરવાની ઘટના છે.
પાસા પર $2$ અથવા $5$ આવવાની સંભાવના $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
$2$ અથવા $5$ ન આવવાની સંભાવના $P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
જૂથ $A$ માં $8$ વિજ્ઞાન અને $5$ એન્જિનિયરિંગના પુસ્તકો છે,કુલ $13$ પુસ્તકો છે. તેથી,$P(E|A) = \frac{8}{13}$.
જૂથ $B$ માં $6$ વિજ્ઞાન અને $7$ એન્જિનિયરિંગના પુસ્તકો છે,કુલ $13$ પુસ્તકો છે. તેથી,$P(E|B) = \frac{6}{13}$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E) = P(A) \times P(E|A) + P(B) \times P(E|B)$
$P(E) = \frac{1}{3} \times \frac{8}{13} + \frac{2}{3} \times \frac{6}{13}$
$P(E) = \frac{8}{39} + \frac{12}{39} = \frac{20}{39}$

(B) ધારો કે $S = \{1, 2, \ldots, 100\}$. કુલ ઘટકોની સંખ્યા $100$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે સંખ્યા $2$ વડે વિભાજ્ય છે. $A$ ના ઘટકો $\{2, 4, 6, \ldots, 100\}$ છે. $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 50$ છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે સંખ્યા $3$ અથવા $5$ વડે વિભાજ્ય છે. આપણે શરતી સંભાવના $P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ શોધવી છે.
$A \cap B$ એ $\{1, 2, \ldots, 100\}$ માં એવી સંખ્યાઓનો ગણ છે જે $2$ વડે વિભાજ્ય છે અને ($3$ વડે વિભાજ્ય છે અથવા $5$ વડે વિભાજ્ય છે).
આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યાઓ $6$ અથવા $10$ વડે વિભાજ્ય છે.
$100$ સુધી $6$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ: $\lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$.
$100$ સુધી $10$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ: $\lfloor \frac{100}{10} \rfloor = 10$.
$6$ અને $10$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ (એટલે કે $30$ વડે વિભાજ્ય): $\lfloor \frac{100}{30} \rfloor = 3$.
સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરતા,$n(A \cap B) = 16 + 10 - 3 = 23$.
જરૂરી સંભાવના $\frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{23}{50}$ છે.

(B) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે બે પાસા પર આવતી સંખ્યાઓનો સરવાળો $6$ છે. $A$ માટે શક્ય પરિણામો: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$.
આમ,$A$ માં પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 5$ છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે સંખ્યા $1$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે.
આપણે શરતી સંભાવના $P(B|A)$ શોધી રહ્યા છીએ,જે $P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
છેદગણ $A \cap B$ એ પરિણામો દર્શાવે છે જ્યાં સરવાળો $6$ હોય અને સંખ્યા $1$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે. આ પરિણામો છે: $(1, 5)$ અને $(5, 1)$.
આમ,$n(A \cap B) = 2$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(B|A) = \frac{2}{5}$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$P(A)=\frac{1}{3}$,$P(A \cap B)=\frac{1}{5}$,$P(A \cup B)=\frac{3}{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{5} = \frac{1}{3} + P(B) - \frac{1}{5}$.
$P(B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{3} = \frac{9+3-5}{15} = \frac{7}{15}$.
હવે,વસ્તુઓને જોડતા:
$A$. $P(\frac{A}{B}) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/5}{7/15} = \frac{3}{7}$ ($(v)$ સાથે જોડાય છે).
$B$. $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$ ($(iii)$ સાથે જોડાય છે).
$C$. $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{15}$ ($(i)$ સાથે જોડાય છે).
$D$. $P(B \cap \bar{A}) = P(B) - P(A \cap B) = \frac{7}{15} - \frac{1}{5} = \frac{4}{15}$ ($(ii)$ સાથે જોડાય છે).
આમ,સાચી જોડ છે: $A-(v), B-(iii), C-(i), D-(ii)$.

(A) આપેલ છે: $P(A | B) = 0.6$,$P(B | A) = 0.3$ અને $P(A) = 0.1$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
કિંમતો મૂકતા: $0.3 = \frac{P(A \cap B)}{0.1} \implies P(A \cap B) = 0.03$.
હવે,$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
કિંમતો મૂકતા: $0.6 = \frac{0.03}{P(B)} \implies P(B) = \frac{0.03}{0.6} = 0.05$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = 0.1 + 0.05 - 0.03 = 0.12$.
તેથી,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0.12 = 0.88$.

(A) ધારો કે $S$ સફળતા (પાસ) અને $F$ નિષ્ફળતા (નાપાસ) દર્શાવે છે. પ્રથમ કસોટી પાસ કરવાની સંભાવના $P(S_1) = p$ છે,તેથી $P(F_1) = 1-p$.
ત્યારબાદની કસોટીઓ માટે,$P(S_{n+1} | S_n) = p$ અને $P(S_{n+1} | F_n) = \frac{p}{2}$.
ઉમેદવાર ઓછામાં ઓછી બે કસોટી પાસ કરે તો પસંદ થાય છે. શક્ય પરિણામો $(S, S, S), (S, S, F), (S, F, S), (F, S, S)$ છે.
$P(S, S, S) = p \times p \times p = p^3$.
$P(S, S, F) = p \times p \times (1-p) = p^2(1-p)$.
$P(S, F, S) = p \times (1-p) \times \frac{p}{2} = \frac{p^2(1-p)}{2}$.
$P(F, S, S) = (1-p) \times \frac{p}{2} \times p = \frac{p^2(1-p)}{2}$.
કુલ સંભાવના: $p^3 + p^2(1-p) + p^2(1-p) = p^3 + 2p^2 - 2p^3 = 2p^2 - p^3 = p^2(2-p)$.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = 0$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A \mid \bar{B}) = \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$.
$A = (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})$ હોવાથી,$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$.
તેથી,$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = P(A) - 0 = P(A)$.
વળી,$P(\bar{B}) = 1 - P(B)$.
તેથી,$P(A \mid \bar{B}) = \frac{P(A)}{1 - P(B)}$.

(C) આપેલ છે: $P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(A \cap B) = \frac{1}{4}$.
પ્રથમ,આપણે $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/4}{1/3} = \frac{3}{4}$ શોધીએ.
ત્યારબાદ,$P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B)$ શોધીએ.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{6+4-3}{12} = \frac{7}{12}$.
તેથી,$P(A^c \cap B^c) = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$.
વળી,$P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$P(A^c|B^c) = \frac{P(A^c \cap B^c)}{P(B^c)} = \frac{5/12}{2/3} = \frac{5}{12} \times \frac{3}{2} = \frac{5}{8}$.
અંતે,$P(A^c|B^c) + P(A|B) = \frac{5}{8} + \frac{3}{4} = \frac{5+6}{8} = \frac{11}{8}$.

(C) કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે.
પત્તા બદલી સાથે ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે.
ઘટના $A$ એ પ્રથમ ખેંચાણમાં મુખમુદ્રાવાળું પત્તું ખેંચવાની ઘટના છે. પત્તાના પેકમાં $12$ મુખમુદ્રાવાળા પત્તા હોય છે ($4$ ગલ્લો,$4$ રાણી,$4$ રાજા).
તેથી,$P(A) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$.
ઘટના $B$ એ બીજા ખેંચાણમાં ફુલ્લીનું પત્તું ખેંચવાની ઘટના છે. પત્તાના પેકમાં $13$ ફુલ્લીના પત્તા હોય છે.
તેથી,$P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(B|A) = P(B) = \frac{1}{4}$.
આપણે $P(\overline{B}|A)$ શોધવાનું છે.
પૂરક ઘટનાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$P(\overline{B}|A) = 1 - P(B|A)$.
$P(\overline{B}|A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે $W_P, R_P, B_P$ એ થેલી $P$ માંથી અનુક્રમે સફેદ,લાલ અથવા વાદળી દડો પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે.
થેલી $P$ માં $3+2+5 = 10$ દડા છે. તેથી,$P(W_P) = \frac{3}{10}, P(R_P) = \frac{2}{10}, P(B_P) = \frac{5}{10}$.
એક દડો થેલી $Q$ માં સ્થાનાંતરિત કર્યા પછી,થેલી $Q$ માં $10+1 = 11$ દડા હશે.
જો સફેદ દડો સ્થાનાંતરિત થાય,તો થેલી $Q$ માં $3$ સફેદ,$3$ લાલ,$5$ વાદળી દડા હશે. $P(R|W_P) = \frac{3}{11}$.
જો લાલ દડો સ્થાનાંતરિત થાય,તો થેલી $Q$ માં $2$ સફેદ,$4$ લાલ,$5$ વાદળી દડા હશે. $P(R|R_P) = \frac{4}{11}$.
જો વાદળી દડો સ્થાનાંતરિત થાય,તો થેલી $Q$ માં $2$ સફેદ,$3$ લાલ,$6$ વાદળી દડા હશે. $P(R|B_P) = \frac{3}{11}$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(R) = P(W_P) \times P(R|W_P) + P(R_P) \times P(R|R_P) + P(B_P) \times P(R|B_P)$
$P(R) = \frac{3}{10} \times \frac{3}{11} + \frac{2}{10} \times \frac{4}{11} + \frac{5}{10} \times \frac{3}{11}$
$P(R) = \frac{9}{110} + \frac{8}{110} + \frac{15}{110} = \frac{32}{110} = \frac{16}{55}$.

(C) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે સરવાળો $3$ નો ગુણક છે,તેથી $A = \{3, 6, 9, 12\}$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે સરવાળો એકી સંખ્યા છે,તેથી $B = \{3, 5, 7, 9, 11\}$.
આપણે શરતી સંભાવના $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$ શોધવાની છે.
સરવાળો $3$ નો ગુણક અને એકી સંખ્યા બંને હોય તે માટે,સરવાળો $3$ અથવા $9$ હોવો જોઈએ.
જેમાં $x+y = 3$ હોય તેવી જોડીઓ $(1, 2)$ અને $(2, 1)$ છે.
જેમાં $x+y = 9$ હોય તેવી જોડીઓ $(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)$ છે.
આમ,$A \cap B = \{(1, 2), (2, 1), (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)\}$ અને $n(A \cap B) = 6$.
સરવાળો એકી સંખ્યા હોય $(B)$ તેવા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $18$ છે (કારણ કે $36$ પરિણામોમાંથી બરાબર અડધા પરિણામોનો સરવાળો એકી સંખ્યા હોય છે).
તેથી,$P(A|B) = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.

(A) કિસ્સો $1$: પત્તું પાછું મૂકતા.
$p_1 = P(\text{પ્રથમ રાણી}) \times P(\text{બીજું ચોકટ}) = \frac{4}{52} \times \frac{13}{52} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{52}$.
કિસ્સો $2$: પત્તું પાછું ન મૂકતા.
ધારો કે $Q_1$ એ પ્રથમ પત્તું રાણી હોવાની ઘટના છે અને $D_2$ એ બીજું પત્તું ચોકટ હોવાની ઘટના છે.
જો પ્રથમ પત્તું ચોકટની રાણી હોય,તો $P(Q_1 \cap D_2) = \frac{1}{52} \times \frac{12}{51}$.
જો પ્રથમ પત્તું ચોકટની રાણી સિવાયની રાણી હોય,તો $P(Q_1 \cap D_2) = \frac{3}{52} \times \frac{13}{51}$.
$p_2 = \frac{1 \times 12 + 3 \times 13}{52 \times 51} = \frac{12 + 39}{52 \times 51} = \frac{51}{52 \times 51} = \frac{1}{52}$.
તેથી,$\frac{p_1}{p_2} = \frac{1/52}{1/52} = 1$.

(C) ગણ $S = \{1, 2, 3, \ldots, 13\}$ છે. જેમાં $7$ એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13\}$ અને $6$ બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી બે સંખ્યાઓનો સરવાળો બેકી છે. આ ત્યારે જ શક્ય છે જો બંને સંખ્યાઓ એકી હોય અથવા બંને સંખ્યાઓ બેકી હોય.
બે એકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો = $^7C_2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21$.
બે બેકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો = $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$.
સરવાળો બેકી હોય તેવા કુલ પરિણામો = $21 + 15 = 36$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે બંને સંખ્યાઓ એકી છે. આપણે $P(A|E) = \frac{n(A \cap E)}{n(E)}$ શોધવા માંગીએ છીએ.
અહીં $A \cap E$ એ ઘટના છે કે બંને સંખ્યાઓ એકી છે,તેથી $n(A \cap E) = 21$.
તેથી,$P(A|E) = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$.

(C) આપણી પાસે છે,$P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \cdot P(E_2 | E_1)$.
$\therefore P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$.
હવે,$P(E_1 | E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)}$.
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1/12}{P(E_2)}$.
$\Rightarrow P(E_2) = \frac{1}{12} \times 2 = \frac{1}{6}$.
$\therefore P(\bar{E}_2) = 1 - P(E_2) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
હવે,$P(E_1 | \bar{E}_2) = \frac{P(E_1 \cap \bar{E}_2)}{P(\bar{E}_2)} = \frac{P(E_1) - P(E_1 \cap E_2)}{P(\bar{E}_2)}$.
$= \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{12}}{\frac{5}{6}} = \frac{\frac{3-1}{12}}{\frac{5}{6}} = \frac{\frac{2}{12}}{\frac{5}{6}} = \frac{1}{6} \times \frac{6}{5} = \frac{1}{5}$.

(B) આપેલ છે કે $P(A) = \frac{4}{9}$ અને $P(A \cap \bar{B}) = \frac{3}{7}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$.
તેથી,$P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap \bar{B})$.
કિંમતો મૂકતા,$P(A \cap B) = \frac{4}{9} - \frac{3}{7} = \frac{28 - 27}{63} = \frac{1}{63}$.
હવે,શરતી સંભાવના $P\left(\frac{B}{A}\right)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $P\left(\frac{B}{A}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
કિંમતો મૂકતા,$P\left(\frac{B}{A}\right) = \frac{\frac{1}{63}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{63} \times \frac{9}{4} = \frac{1}{7 \times 4} = \frac{1}{28}$.

(C) આપેલ છે: $P(X)=\frac{1}{3}$,$P(X|Y)=\frac{1}{2}$,અને $P(Y|X)=\frac{2}{5}$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$P(Y|X) = \frac{P(X \cap Y)}{P(X)}$.
તેથી,$P(X \cap Y) = P(Y|X) \times P(X) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$.
હવે,$P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{2} = \frac{2/15}{P(Y)}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $P(Y) = 2 \times \frac{2}{15} = \frac{4}{15}$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) કુલ કેરીઓ $= 10$. સારી કેરીઓ $= 6$. બગડેલી કેરીઓ $= 4$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછી એક કેરી સારી છે,અને $F$ એ ઘટના છે કે બંને કેરીઓ સારી છે.
$10$ માંથી $2$ કેરી પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ છે.
$2$ બગડેલી કેરી પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક સારી કેરી પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $45 - 6 = 39$ છે. તેથી,$P(E) = \frac{39}{45}$.
$2$ સારી કેરી પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ છે. તેથી,$P(F) = \frac{15}{45}$.
કારણ કે $F \subset E$,$P(E \cap F) = P(F) = \frac{15}{45}$.
એક સારી છે તે જાણીને બીજી પણ સારી હોય તેની શરતી સંભાવના $P(F|E) = \frac{P(F \cap E)}{P(E)} = \frac{15/45}{39/45} = \frac{15}{39} = \frac{5}{13}$ છે.

(A) ધારો કે $X$ એ ઘટના છે કે બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $9$ કરતા વધારે છે.
ધારો કે $Y$ એ ઘટના છે કે પાસા $B$ પરનો અંક $5$ છે.
ઘટના $Y$ માટે નિદર્શાવકાશ $\{(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)\}$ છે. તેથી,$n(Y) = 6$.
ઘટના $X \cap Y$ એવા પરિણામો દર્શાવે છે જ્યાં પાસા $B$ પરનો અંક $5$ હોય અને સરવાળો $9$ કરતા વધારે હોય.
$X \cap Y$ માટે શક્ય પરિણામો $\{(5,5), (6,5)\}$ છે. તેથી,$n(X \cap Y) = 2$.
શરતી સંભાવના $P(X|Y) = \frac{n(X \cap Y)}{n(Y)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P(X|Y) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(C) આપેલ છે કે $P(\bar{A})=0.3$,તેથી $P(A)=1-0.3=0.7$.
આપેલ છે કે $P(B)=0.4$,તેથી $P(\bar{B})=1-0.4=0.6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.5$.
$P(A)=0.7$ મૂકતા,આપણને $0.7 - P(A \cap B) = 0.5$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $P(A \cap B) = 0.2$.
હવે,આપણે $P(B \mid A \cup \bar{B}) = \frac{P(B \cap (A \cup \bar{B}))}{P(A \cup \bar{B})}$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,છેદની ગણતરી કરો: $P(A \cup \bar{B}) = P(A) + P(\bar{B}) - P(A \cap \bar{B}) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
આગળ,અંશની ગણતરી કરો: $P(B \cap (A \cup \bar{B})) = P((B \cap A) \cup (B \cap \bar{B})) = P((B \cap A) \cup \emptyset) = P(A \cap B) = 0.2$.
તેથી,$P(B \mid A \cup \bar{B}) = \frac{0.2}{0.8} = 0.25$.

(A) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ફ્લાઇટ સમયસર રવાના થાય છે અને $B$ એ ઘટના છે કે ફ્લાઇટ સમયસર પહોંચે છે.
આપેલ સંભાવનાઓ છે:
$P(A) = 80 \% = 0.80$
$P(B) = 70 \% = 0.70$
$P(A \cap B) = 65 \% = 0.65$
આપણે શરતી સંભાવના શોધવાની છે કે ફ્લાઇટ સમયસર પહોંચે છે,જો તે સમયસર રવાના થઈ હોય,જે $P(B|A)$ છે.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(B|A) = \frac{0.65}{0.80} = \frac{65}{80} = \frac{13}{16}$
આમ,સંભાવના $\frac{13}{16}$ છે.

(A) ધારો કે $G$ એ સારી વસ્તુ અને $B$ એ ખામીયુક્ત વસ્તુ દર્શાવે છે. કુલ વસ્તુઓ $= n + m$.
આપણે બદલ્યા વગર ક્રમશઃ $2$ વસ્તુઓ પસંદ કરીએ છીએ.
બીજી વસ્તુ ખામીયુક્ત હોય તે માટે બે પરસ્પર નિવારક કિસ્સાઓ છે:
$1$. પ્રથમ વસ્તુ ખામીયુક્ત અને બીજી વસ્તુ ખામીયુક્ત $(B_1 \cap B_2)$.
$2$. પ્રથમ વસ્તુ સારી અને બીજી વસ્તુ ખામીયુક્ત $(G_1 \cap B_2)$.
સંભાવના નીચે મુજબ છે:
$P(B_2) = P(B_1 \cap B_2) + P(G_1 \cap B_2)$
$P(B_2) = P(B_1) \cdot P(B_2|B_1) + P(G_1) \cdot P(B_2|G_1)$
$P(B_2) = \left( \frac{m}{n+m} \right) \cdot \left( \frac{m-1}{n+m-1} \right) + \left( \frac{n}{n+m} \right) \cdot \left( \frac{m}{n+m-1} \right)$
$P(B_2) = \frac{m(m-1) + nm}{(n+m)(n+m-1)}$
$P(B_2) = \frac{m^2 - m + nm}{(n+m)(n+m-1)}$
$P(B_2) = \frac{m(m + n - 1)}{(n+m)(n+m-1)}$
$P(B_2) = \frac{m}{n+m}$

(C) આપેલ છે કે,$P(E) = 1/5$ અને $P(F|E) = 1/10$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બંને ઘટનાઓ ઉદ્ભવવાની સંભાવના $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F|E)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $P(E \cap F) = (1/5) \cdot (1/10) = 1/50$ મળે છે.
ઘટનાઓ $E$ અને $F$ પૈકી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના ન ઉદ્ભવે તેની સંભાવના એ બંને ઘટનાઓ $E$ અને $F$ ઉદ્ભવે તે ઘટનાની પૂરક ઘટના છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1 - P(E \cap F)$ છે.
આની ગણતરી કરતા,આપણને $1 - 1/50 = 49/50$ મળે છે.

(B) એક જ પ્રકારના (suit) $2$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો એ $4$ માંથી એક પ્રકાર પસંદ કરીને તેમાંથી $13$ માંથી $2$ પત્તા પસંદ કરવા જેટલી છે. કુલ રીતો $= 4 \times \binom{13}{2} = 4 \times \frac{13 \times 12}{2} = 312$.
વૈકલ્પિક રીતે,શરત એ છે કે પત્તા એક જ પ્રકારના છે,તેથી આપણે તે નમૂના અવકાશને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જ્યાં બંને પત્તા એક જ પ્રકારના હોય. $4$ પ્રકાર છે,અને દરેક પ્રકાર માટે $2$ પત્તા પસંદ કરવાની $\binom{13}{2} = 78$ રીતો છે. કુલ પરિણામો $= 4 \times 78 = 312$.
દરેક પ્રકારમાં,અવિભાજ્ય સંખ્યાવાળા કાર્ડ્સ ${2, 3, 5, 7}$ (કુલ $4$ કાર્ડ્સ) છે અને ફેસ કાર્ડ્સ ${J, Q, K}$ (કુલ $3$ કાર્ડ્સ) છે.
આપણે એક જ પ્રકારમાંથી એક ફેસ કાર્ડ અને એક અવિભાજ્ય કાર્ડની જરૂર છે.
એક ચોક્કસ પ્રકાર માટે,એક ફેસ કાર્ડ અને એક અવિભાજ્ય કાર્ડ પસંદ કરવાની રીતો $3 \times 4 = 12$ છે.
$4$ પ્રકાર હોવાથી,સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $4 \times (3 \times 4) = 48$ છે.
જો કે,પ્રશ્ન સૂચવે છે કે પત્તા એક જ પ્રકારના છે તે શરત હેઠળ સંભાવના શોધવાની છે.
પત્તા એક જ પ્રકારના છે તે જોતા,$2$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{13}{2} = 78$ છે.
એક ફેસ કાર્ડ ($3$ વિકલ્પો) અને એક અવિભાજ્ય કાર્ડ ($4$ વિકલ્પો) પસંદ કરવાની રીતો $3 \times 4 = 12$ છે.
ક્રમ મહત્વનો ન હોવાથી,આપણી પાસે $12$ રીતો છે.
સંભાવના $= \frac{12}{78} = \frac{2}{13}$.

(D) કિસ્સો $I$: પાત્ર $A$ માંથી પાત્ર $B$ માં સફેદ દડો સ્થાનાંતરિત થાય છે.
પાત્ર $A$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W_1) = \frac{3}{3+5} = \frac{3}{8}$ છે.
સ્થાનાંતર પછી,પાત્ર $B$ માં $7$ સફેદ અને $8$ કાળા દડા છે.
પાત્ર $B$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W_2|W_1) = \frac{7}{7+8} = \frac{7}{15}$ છે.
આ કિસ્સાની સંભાવના $= P(W_1) \times P(W_2|W_1) = \frac{3}{8} \times \frac{7}{15} = \frac{21}{120} = \frac{7}{40}$ છે.
કિસ્સો $II$: પાત્ર $A$ માંથી પાત્ર $B$ માં કાળો દડો સ્થાનાંતરિત થાય છે.
પાત્ર $A$ માંથી કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(B_1) = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8}$ છે.
સ્થાનાંતર પછી,પાત્ર $B$ માં $6$ સફેદ અને $9$ કાળા દડા છે.
પાત્ર $B$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W_2|B_1) = \frac{6}{6+9} = \frac{6}{15}$ છે.
આ કિસ્સાની સંભાવના $= P(B_1) \times P(W_2|B_1) = \frac{5}{8} \times \frac{6}{15} = \frac{30}{120} = \frac{10}{40}$ છે.
કુલ સંભાવના $= \frac{7}{40} + \frac{10}{40} = \frac{17}{40}$ છે.

(B) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે થેલી $B_1, B_2, B_3$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે.
થેલીઓ પસંદ કરવાની સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(E_1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (પરિણામો $2, 3, 5$ માટે)
$P(E_2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ (પરિણામો $4, 6$ માટે)
$P(E_3) = \frac{1}{6}$ (પરિણામ $1$ માટે)
ધારો કે $G$ એ લીલો દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે. શરતી સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(G|E_1) = \frac{3}{2+3+2} = \frac{3}{7}$
$P(G|E_2) = \frac{2}{3+2+2} = \frac{2}{7}$
$P(G|E_3) = \frac{2}{2+2+3} = \frac{2}{7}$
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(G) = P(E_1)P(G|E_1) + P(E_2)P(G|E_2) + P(E_3)P(G|E_3)$
$P(G) = \left(\frac{3}{6} \times \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{2}{6} \times \frac{2}{7}\right) + \left(\frac{1}{6} \times \frac{2}{7}\right)$
$P(G) = \frac{9}{42} + \frac{4}{42} + \frac{2}{42} = \frac{15}{42} = \frac{5}{14}$

(A) આપેલ છે: $P(A)=\frac{1}{4}$,$P(A|B)=\frac{1}{4}$,$P(B|A)=\frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{4} \implies P(A \cap B) = \frac{1}{4}P(B)$.
તેમજ $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{2} \implies P(A \cap B) = \frac{1}{2}P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.
બંનેને સરખાવતા,$\frac{1}{4}P(B) = \frac{1}{8} \implies P(B) = \frac{1}{2}$.
$(I)$ $P(\bar{A}|\bar{B}) = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})} = \frac{1-P(A \cup B)}{1-P(B)} = \frac{1-[P(A)+P(B)-P(A \cap B)]}{1-P(B)} = \frac{1-[\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{8}]}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1-\frac{5}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{3/8}{1/2} = \frac{3}{4}$. વિધાન $(I)$ સાચું છે.
$(II)$ કારણ કે $P(A \cap B) = \frac{1}{8} \neq 0$,$A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક નથી. વિધાન $(II)$ ખોટું છે.
$(III)$ $P(A|B)+P(A|\bar{B}) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} + \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})} = \frac{1/8}{1/2} + \frac{P(A)-P(A \cap B)}{1-P(B)} = \frac{1}{4} + \frac{1/4-1/8}{1/2} = \frac{1}{4} + \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \neq 1$. વિધાન $(III)$ ખોટું છે.
આમ,માત્ર $(I)$ સાચું છે.

(B) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે સરવાળો $7$ છે અને $E_2$ એ ઘટના છે કે સરવાળો $11$ છે.
બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $7$ માટેના પરિણામો $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ છે,તેથી $P(E_1) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
સરવાળો $11$ માટેના પરિણામો $(5,6), (6,5)$ છે,તેથી $P(E_2) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.
આપણે એ ઘટનામાં રસ ધરાવીએ છીએ કે $E_2$ પહેલા $E_1$ થાય. આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ પ્રયાસમાં,આપણે એવા પરિણામોને અવગણીએ છીએ જ્યાં સરવાળો $7$ કે $11$ નથી.
સરવાળો $7$ અથવા $11$ મેળવવાની સંભાવના $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) = \frac{6}{36} + \frac{2}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ છે.
આપેલ છે કે સરવાળો $7$ અથવા $11$ છે,તો સરવાળો $7$ હોવાની શરતી સંભાવના $P(E_1 | E_1 \cup E_2) = \frac{P(E_1)}{P(E_1) + P(E_2)} = \frac{6/36}{8/36} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ છે.
આમ,$11$ પહેલા $7$ આવવાની સંભાવના $\frac{3}{4}$ છે.

(C) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $4$ નો ગુણક છે. શક્ય સરવાળા $4, 8, 12$ છે.
ઘટના $A$ માટેના પરિણામો છે: $(1, 3), (3, 1), (2, 2), (2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4), (6, 6)$.
ઘટના $A$ માં કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 9$ છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે સંખ્યા $4$ પાસા પર ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે છે.
આપણે શરતી સંભાવના $p = P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ શોધવાની છે.
છેદગણ $A \cap B$ માં એવા પરિણામોનો સમાવેશ થાય છે જ્યાં સરવાળો $4$ નો ગુણક હોય અને સંખ્યા $4$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે.
ગણ $A$ માંથી,ઓછામાં ઓછી એક વાર $4$ આવતા પરિણામો છે: $(4, 4)$.
આમ,$n(A \cap B) = 1$.
તેથી,$p = P(B|A) = \frac{1}{9}$.
અંતે,આપણે $3p + 2 = 3 \times \frac{1}{9} + 2 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$ ગણીએ છીએ.

(A) આપેલ છે: $P(A^{C}) = 0.3 \implies P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$.
$P(B) = 0.4 \implies P(B^{C}) = 1 - 0.4 = 0.6$.
$P(A \cap B^{C}) = 0.5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^{C})$,તેથી $P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap B^{C}) = 0.7 - 0.5 = 0.2$.
આપણે $P(B \mid A \cup B^{C}) = \frac{P(B \cap (A \cup B^{C}))}{P(A \cup B^{C})}$ શોધવાનું છે.
અંશ: $P(B \cap (A \cup B^{C})) = P((B \cap A) \cup (B \cap B^{C})) = P(A \cap B) = 0.2$.
છેદ: $P(A \cup B^{C}) = P(A) + P(B^{C}) - P(A \cap B^{C}) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
આમ,$P(B \mid A \cup B^{C}) = \frac{0.2}{0.8} = \frac{1}{4}$.

(D) આપણને આપેલ છે કે બે પૂર્ણાંકો $r$ અને $s$ ને ગણ $\{1, 2, \ldots, n\}$ માંથી પુનરાવર્તન વગર પસંદ કરવામાં આવે છે.
આપણે શરતી સંભાવના $P(r \leq k \mid s \leq k)$ શોધવાની છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(r \leq k \mid s \leq k) = \frac{P(r \leq k \cap s \leq k)}{P(s \leq k)}$.
પ્રથમ,$s \leq k$ હોય તેની સંભાવના $P(s \leq k) = \frac{k}{n}$ છે.
ત્યારબાદ,$r \leq k$ અને $s \leq k$ બંને હોય તેની સંભાવના એ ગણ $\{1, 2, \ldots, k\}$ માંથી બે ભિન્ન પૂર્ણાંકો પસંદ કરવાની સંભાવના છે,જે કુલ ગણ $\{1, 2, \ldots, n\}$ માંથી બે ભિન્ન પૂર્ણાંકો પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારોના સંદર્ભમાં છે.
આથી,$P(r \leq k \cap s \leq k) = \frac{k(k-1)}{n(n-1)}$.
તેથી,શરતી સંભાવના $P(r \leq k \mid s \leq k) = \frac{\frac{k(k-1)}{n(n-1)}}{\frac{k}{n}} = \frac{k(k-1)}{n(n-1)} \times \frac{n}{k} = \frac{k-1}{n-1}$ થાય.

(B) ધારો કે $F$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વ્યક્તિ સ્ત્રી છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વ્યક્તિની ઉંમર $40 \text{ yr}$ થી વધુ છે.
આપણને આપેલ છે:
સ્ત્રીઓની કુલ સંખ્યા $n(F) = 6$.
$40 \text{ yr}$ થી વધુ ઉંમરની સ્ત્રીઓની સંખ્યા $n(A \cap F) = 3$ છે.
આપણે શરતી સંભાવના $P(A|F)$ શોધવાની છે,જેનો અર્થ છે કે પસંદ કરેલ વ્યક્તિ સ્ત્રી હોય તે શરતે તેની ઉંમર $40 \text{ yr}$ થી વધુ હોવાની સંભાવના.
શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(A|F) = \frac{n(A \cap F)}{n(F)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P(A|F) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$.
સૂત્ર $P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.5 = 0.3 + P(F) - 0.3 \cdot P(F)$
$0.2 = 0.7 \cdot P(F)$
$P(F) = \frac{0.2}{0.7} = \frac{2}{7}$.
સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે,$P(E|F) = P(E)$ અને $P(F|E) = P(F)$ થાય.
તેથી,$P(E|F) - P(F|E) = P(E) - P(F) = 0.3 - \frac{2}{7} = \frac{3}{10} - \frac{2}{7} = \frac{21 - 20}{70} = \frac{1}{70}$.

(B) ધારો કે $W_B$ એ બેગ $B$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે,અને $B_B$ એ બેગ $B$ માંથી કાળો દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
$P(W_B) = \frac{6}{6+4} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$P(B_B) = \frac{4}{6+4} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
જો સફેદ દડો બેગ $A$ માં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો બેગ $A$ માં હવે $10$ સફેદ અને $8$ કાળા દડા (કુલ $18$) છે. બેગ $A$ માંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(W_A | W_B) = \frac{10}{18}$ છે.
જો કાળો દડો બેગ $A$ માં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો બેગ $A$ માં હવે $9$ સફેદ અને $9$ કાળા દડા (કુલ $18$) છે. બેગ $A$ માંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(W_A | B_B) = \frac{9}{18}$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(W_A) = P(W_B) \times P(W_A | W_B) + P(B_B) \times P(W_A | B_B)$
$P(W_A) = \frac{3}{5} \times \frac{10}{18} + \frac{2}{5} \times \frac{9}{18}$
$P(W_A) = \frac{30}{90} + \frac{18}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}$
આમ,$p=8$ અને $q=15$. કારણ કે $gcd(8,15)=1$,તેથી $p+q = 8+15 = 23$.

(B) જેহেতু $E$ અને $F$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે,તેથી એક ઘટના બનવાની અસર બીજી ઘટનાની સંભાવના પર પડતી નથી. તેથી,$E'$ અને $F$ નિરપેક્ષ છે,અને $F'$ અને $E$ પણ નિરપેક્ષ છે.
$P(E'/F) = P(E') = 1 - P(E) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
તે જ રીતે,$P(F'/E) = P(F') = 1 - P(F) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$.
આમ,$P(E'/F) + P(F'/E) = \frac{2}{5} + \frac{7}{10} = \frac{4}{10} + \frac{7}{10} = \frac{11}{10}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4} = \frac{3}{8} + \frac{5}{8} - P(A \cap B)$.
$\frac{3}{4} = 1 - P(A \cap B) \Rightarrow P(A \cap B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
હવે,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/4}{5/8} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$ ગણીએ.
કારણ કે $P(A'|B) = 1 - P(A|B)$,તેથી $P(A'|B) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ મળે.
અંતે,$P(A'|B) - P(A|B) = \frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A)$ છે.
બંને બાજુથી $P(A)$ બાદ કરતા,આપણને $P(B) - P(A \cap B) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $P(B) = P(A \cap B)$.
આ સમાનતા સૂચવે છે કે $B \subseteq A$,એટલે કે ઘટના $B$ ના તમામ પરિણામો ઘટના $A$ માં સમાવિષ્ટ છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
ચૂકી $P(A \cap B) = P(B)$ છે,તેથી આપણે સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$P(A|B) = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$ (ધારી લઈએ કે $P(B) \neq 0$).

(B) આપણે શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P(A'|B') = \frac{P(A' \cap B')}{P(B')}$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$A' \cap B' = (A \cup B)'$.
તેથી,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$.
આપેલ છે કે $P(A \cup B) = \frac{3}{11}$,તેથી $P(A' \cap B') = 1 - \frac{3}{11} = \frac{8}{11}$.
વળી,$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{11} = \frac{9}{11}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(A'|B') = \frac{8/11}{9/11} = \frac{8}{9}$.