Conditional probability Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $P(A \mid B) = 1$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
અહીં $P(A \mid B) = 1$ હોવાથી,$\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $P(A \cap B) = P(B)$.
આ સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જો $B \subset A$ હોય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A)$.
બંને બાજુથી $P(A)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે: $P(B) - P(A \cap B) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $P(B) = P(A \cap B)$.
આ શરત $P(A \cap B) = P(B)$ દર્શાવે છે કે ઘટના $B$ એ ઘટના $A$ નો ઉપગણ છે (એટલે કે $B \subseteq A$).
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
સૂત્રમાં $P(A \cap B) = P(B)$ મૂકતા,આપણને $P(A \mid B) = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$ મળે છે (ધારી લઈએ કે $P(B) \neq 0$).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે કે $P(B \mid A) = 1$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
કારણ કે $P(B \mid A) = 1$,તેથી $\frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $P(A \cap B) = P(A)$.
આ સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જો $A \subseteq B$ હોય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપણને આપેલ છે કે $P(A) = \frac{6}{11}$,$P(B) = \frac{5}{11}$ અને $P(A \cup B) = \frac{7}{11}$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમ મુજબ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{7}{11} = \frac{6}{11} + \frac{5}{11} - P(A \cap B)$.
$\frac{7}{11} = \frac{11}{11} - P(A \cap B)$.
$P(A \cap B) = 1 - \frac{7}{11} = \frac{4}{11}$.
હવે,શરતી સંભાવના $P(A \mid B)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
$P(A \mid B) = \frac{4/11}{5/11} = \frac{4}{5}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $6 P(A) = 1 \implies P(A) = \frac{1}{6}$.
આપેલ છે કે $8 P(B) = 1 \implies P(B) = \frac{1}{8}$.
આપેલ છે કે $14 P(A \cap B) = 1 \implies P(A \cap B) = \frac{1}{14}$.
આપણે $P(A' \mid B)$ શોધવાનું છે.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(A' \mid B) = \frac{P(A' \cap B)}{P(B)}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $P(A' \cap B) = \frac{1}{8} - \frac{1}{14} = \frac{7 - 4}{56} = \frac{3}{56}$.
હવે,$P(A' \mid B) = \frac{3/56}{1/8} = \frac{3}{56} \times 8 = \frac{3}{7}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A)$.
બંને બાજુથી $P(A)$ બાદ કરતાં,આપણને મળે છે: $P(B) - P(A \cap B) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $P(B) = P(A \cap B)$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
સૂત્રમાં $P(A \cap B) = P(B)$ મૂકતા,આપણને મળે છે $P(A|B) = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$ (ધારો કે $P(B) \neq 0$).

(C) આપેલ છે કે $2 P(A) = \frac{5}{13}$,તેથી $P(A) = \frac{5}{26}$.
આપેલ છે કે $P(B) = \frac{5}{13}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2}{5} = \frac{P(A \cap B)}{5/13}$.
તેથી,$P(A \cap B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{2}{13}$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{5}{13} - \frac{2}{13}$.
$P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{10}{26} - \frac{4}{26}$.
$P(A \cup B) = \frac{5 + 10 - 4}{26} = \frac{11}{26}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે કે $P(B \mid A) = 1$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
અહીં $P(B \mid A) = 1$ હોવાથી,$\frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $P(A \cap B) = P(A)$.
આ સમાનતા $P(A \cap B) = P(A)$ ત્યારે જ શક્ય છે જો $A \subseteq B$ હોય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A \subset B$,જેનો અર્થ છે કે $A \cap B = A$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
$A \cap B = A$ મૂકતા,આપણને $P(A \mid B) = \frac{P(A)}{P(B)}$ મળે છે.
$A \subset B$ હોવાથી,$P(A) \leq P(B)$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{P(B)} \leq \frac{1}{P(A)}$.
બંને બાજુ $P(A)$ વડે ગુણતા (ધારો કે $P(A) > 0$),આપણને $\frac{P(A)}{P(B)} \leq 1$ મળે છે.
વળી,$P(B) \leq 1$ હોવાથી,$\frac{P(A)}{P(B)} \geq P(A)$ થાય.
આમ,$P(A \mid B) \geq P(A)$.

(A) આપેલ છે કે $P(E)=0.8$,$P(F)=0.5$,અને $P(F \mid E)=0.4$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(F \mid E) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)}$.
કિંમતો મૂકતા,$0.4 = \frac{P(E \cap F)}{0.8}$.
તેથી,$P(E \cap F) = 0.4 \times 0.8 = 0.32$.
હવે,આપણે $P(E \mid F)$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $P(E \mid F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$ નો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા,$P(E \mid F) = \frac{0.32}{0.5} = 0.64$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ઘટના $A$ માટે,$P(A) + P(A^{\prime}) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $P(A) = 1 - P(A^{\prime})$.
આને શરતી સંભાવના $P(A \mid B^{\prime})$ પર લાગુ કરતા,આપણને મળે છે:
$P(A \mid B^{\prime}) = 1 - P(A^{\prime} \mid B^{\prime})$.
આ શરતી સંભાવનાના ગુણધર્મ પરથી આવે છે જ્યાં સમાન શરત હેઠળ પૂરક ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.

(B) ધારો કે $H_1$ એ પ્રથમ સિક્કા પર છાપ મળવાની ઘટના છે અને $H_2$ એ બીજા સિક્કા પર છાપ મળવાની ઘટના છે.
બે સિક્કા ઉછાળવાની ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,પ્રથમ સિક્કાનું પરિણામ બીજા સિક્કાના પરિણામને અસર કરતું નથી.
તેથી,$P(H_2 | H_1) = P(H_2)$.
નિષ્પક્ષ સિક્કા માટે,છાપ મળવાની સંભાવના $P(H_2) = \frac{1}{2}$ છે.
આમ,પ્રથમ સિક્કા પર છાપ મળેલી હોય ત્યારે બીજા સિક્કા પર છાપ મળવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $P(A)=0.25, P(B)=0.55$ અને $P(A \cup B)=0.65$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $P(A \cap B)$ શોધીએ.
$0.65 = 0.25 + 0.55 - P(A \cap B)$
$0.65 = 0.80 - P(A \cap B)$
$P(A \cap B) = 0.80 - 0.65 = 0.15$.
હવે,આપણે $P(B' \mid A)$ શોધવાની જરૂર છે.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(B' \mid A) = \frac{P(B' \cap A)}{P(A)}$.
કારણ કે $P(B' \cap A) = P(A) - P(A \cap B)$,તેથી:
$P(B' \cap A) = 0.25 - 0.15 = 0.10$.
તેથી,$P(B' \mid A) = \frac{0.10}{0.25} = \frac{10}{25} = 0.4$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે કે $P(A)=\frac{1}{3}$,$P(B)=\frac{1}{2}$ અને $P(A \cap B)=\frac{1}{6}$.
આપણે $P(A^{\prime} | B)$ શોધવાનું છે.
શરતી સંભાવનાના સૂત્ર મુજબ,$P(A^{\prime} | B) = \frac{P(A^{\prime} \cap B)}{P(B)}$.
કારણ કે $P(A^{\prime} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$,
તેથી $P(A^{\prime} | B) = \frac{P(B) - P(A \cap B)}{P(B)}$.
કિંમતો મૂકતા:
$P(A^{\prime} | B) = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3-1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{2}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3}$.

(B) આપણને આપેલ છે કે $P(A) \neq 0$. શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ $P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
$(i)$ જો $A \subset B$ હોય,તો $A \cap B = A$ થાય. તેથી,$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A)}{P(A)} = 1$.
(ii) જો $A \cap B = \phi$ હોય,તો $P(A \cap B) = P(\phi) = 0$ થાય. તેથી,$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0}{P(A)} = 0$.
આમ,અનુક્રમે કિંમતો $1$ અને $0$ મળે છે.

(B) આપેલ છે,$P(B) = \frac{3}{5}$,$P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{1}{2}$ અને $P(A \cup B) = \frac{4}{5}$.
$P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ હોવાથી:
$\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{2}$
$P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{4}{5} = P(A) + \frac{3}{5} - \frac{3}{10}$
$P(A) = \frac{4}{5} - \frac{3}{5} + \frac{3}{10}$
$P(A) = \frac{1}{5} + \frac{3}{10} = \frac{2+3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે $E_{A}$ એ ઘટના છે કે પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $6$ કરતા ઓછો છે.
$E_{A}$ માટેના શક્ય પરિણામો:
$E_{A} = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)\}$
તેથી,$n(E_{A}) = 10$.
ધારો કે $E_{B}$ એ ઘટના છે કે પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $3$ છે.
$E_{B}$ માટેના શક્ય પરિણામો:
$E_{B} = \{(1,2), (2,1)\}$
તેથી,$n(E_{B}) = 2$.
જરૂરી શરતી સંભાવના $P(E_{B}|E_{A}) = \frac{n(E_{B} \cap E_{A})}{n(E_{A})} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ન હોય તેવી ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) \neq 0$.
શરત $P(A \mid B) = P(B \mid A)$ આપેલ છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$
કારણ કે $P(A \cap B) = P(B \cap A)$,અને $P(A \cap B) \neq 0$ હોવાથી બંને બાજુ $P(A \cap B)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{P(B)} = \frac{1}{P(A)}$
તેથી,$P(A) = P(B)$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(A|B) = \frac{1}{2}$ અને $P(B|A) = \frac{2}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(E_1|E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)}$ છે.
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{3} = \frac{P(A \cap B)}{1/4}$
$P(A \cap B) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{6}$.
હવે,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} = \frac{1/6}{P(B)}$
$P(B) = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.

(D) આપેલ છે કે,$P(A)=\frac{1}{2}$,$P(B)=\frac{1}{2}$ અને $P(A \mid B)=\frac{1}{4}$.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{4} = \frac{P(A \cap B)}{1/2}$.
તેથી,$P(A \cap B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P((A \cup B)^{\prime}) = 1 - P(A \cup B)$.
સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
આમ,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$.

(D) આપેલ છે કે $P(A)=0.2$,$P(B)=0.6$ અને $P(A \mid B)=0.5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.5 = \frac{P(A \cap B)}{0.6}$.
તેથી,$P(A \cap B) = 0.5 \times 0.6 = 0.3$.
આપણે $P(A^{\prime} \mid B)$ શોધવાની જરૂર છે.
શરતી સંભાવનાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$P(A^{\prime} \mid B) = 1 - P(A \mid B)$.
આમ,$P(A^{\prime} \mid B) = 1 - 0.5 = 0.5 = \frac{1}{2}$.

(A) કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $ 17 $ છે.
બેકી સંખ્યા ધરાવતી ટિકિટો $ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 $ છે.
આમ,બેકી સંખ્યા ધરાવતી ટિકિટોની કુલ સંખ્યા $ 8 $ છે.
ધારો કે $ E_1 $ એ પ્રથમ ટિકિટ બેકી હોવાની ઘટના છે અને $ E_2 $ એ બીજી ટિકિટ બેકી હોવાની ઘટના છે.
પ્રથમ ટિકિટ બેકી હોવાની સંભાવના $ P(E_1) = \frac{8}{17} $ છે.
ટિકિટ પાછી મૂકવામાં આવતી નથી,તેથી બાકી રહેલી ટિકિટોની સંખ્યા $ 16 $ છે અને બાકી રહેલી બેકી ટિકિટોની સંખ્યા $ 7 $ છે.
બીજી ટિકિટ બેકી હોવાની શરતી સંભાવના $ P(E_2|E_1) = \frac{7}{16} $ છે.
બંને ટિકિટો બેકી સંખ્યા દર્શાવે તેની સંભાવના $ P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2|E_1) = \frac{8}{17} \times \frac{7}{16} = \frac{7}{34} $ છે.

(C) આપેલ છે કે,$P(A \cap B) = \frac{7}{10}$ અને $P(B) = \frac{17}{20}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ છે.
સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$P(A \mid B) = \frac{\frac{7}{10}}{\frac{17}{20}}$
$P(A \mid B) = \frac{7}{10} \times \frac{20}{17}$
$P(A \mid B) = \frac{7 \times 2}{17} = \frac{14}{17}$.

(C) વિધાન $(I)$: જો $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર હોય,તો $P(E \cap F) = P(E)P(F)$. આપણે જાણીએ છીએ કે $P(E^{\prime} \cap F^{\prime}) = P((E \cup F)^{\prime}) = 1 - P(E \cup F) = 1 - [P(E) + P(F) - P(E \cap F)] = 1 - P(E) - P(F) + P(E)P(F) = (1 - P(E))(1 - P(F)) = P(E^{\prime})P(F^{\prime})$. આમ,$E^{\prime}$ અને $F^{\prime}$ સ્વતંત્ર છે. વિધાન $(I)$ સાચું છે.
વિધાન $(II)$: જો $E$ અને $F$ પરસ્પર નિવારક હોય,તો $P(E \cap F) = 0$. તેમના સ્વતંત્ર હોવા માટે,આપણે $P(E \cap F) = P(E)P(F)$ ની જરૂર છે. કારણ કે $P(E) > 0$ અને $P(F) > 0$,તેથી $P(E)P(F) > 0$. આમ,$P(E \cap F) \neq P(E)P(F)$,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સ્વતંત્ર હોઈ શકે નહીં. વિધાન $(II)$ સાચું છે.

(C) શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ:
$P(\bar{A} \mid \bar{B}) = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$.
તેથી,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(\bar{A} \mid \bar{B}) = \frac{1 - P(A \cup B)}{P(\bar{B})}$

(B) ધારો કે $S$ એ ત્રણ પાસાનો સરવાળો $8$ હોય તેવા પરિણામોનો ગણ છે. શક્ય સંયોજનો:
$(1, 1, 6) \rightarrow 3$ ક્રમચયો
$(1, 2, 5) \rightarrow 6$ ક્રમચયો
$(1, 3, 4) \rightarrow 6$ ક્રમચયો
$(2, 2, 4) \rightarrow 3$ ક્રમચયો
$(2, 3, 3) \rightarrow 3$ ક્રમચયો
કુલ પરિણામો $n(S) = 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર $4$ આવે. સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 3, 4)$ અને $(2, 2, 4)$ માંથી મળે છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 6 + 3 = 9$.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$.

(C) Given $P(E_1) = \frac{1}{8}$,$P(E_1 \mid E_2) = \frac{1}{3}$,and $P(E_2 \mid E_1) = \frac{1}{4}$.
Using the definition of conditional probability,$P(E_1 \cap E_2) = P(E_2 \mid E_1) \times P(E_1) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{32}$.
Then,$P(E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_1 \mid E_2)} = \frac{1/32}{1/3} = \frac{3}{32}$. (Matches $IV$)
Now,$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{8} \frac{3}{32} - \frac{1}{32} = \frac{4 3-1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$. (Matches $III$)
We know $P(\bar{E}_2) = 1 - P(E_2) = 1 - \frac{3}{32} = \frac{29}{32}$.
Also,$P(E_1 \cap \bar{E}_2) = P(E_1) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{8} - \frac{1}{32} = \frac{3}{32}$.
Thus,$P(E_1 \mid \bar{E}_2) = \frac{P(E_1 \cap \bar{E}_2)}{P(\bar{E}_2)} = \frac{3/32}{29/32} = \frac{3}{29}$. (Matches $I$)
Finally,$P(\bar{E}_1 \mid \bar{E}_2) = 1 - P(E_1 \mid \bar{E}_2) = 1 - \frac{3}{29} = \frac{26}{29}$. (Matches $II$)
The correct matching is $A-III, B-IV, C-I, D-II$.

(D) ધારો કે $P(A) = \frac{2}{3}$ અને $P(B) = \frac{3}{4}$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે તેમ ધારતા,બંનેમાં પાસ થવાની સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ છે.
ઓછામાં ઓછી એકમાં પાસ થવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{8+9-6}{12} = \frac{11}{12}$ છે.
આપણે શરતી સંભાવના $P(A \cap B | A \cup B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A \cup B)}$ શોધવાની છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{1/2}{11/12} = \frac{1}{2} \times \frac{12}{11} = \frac{6}{11}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: $P(\overline{A}) = 0.3 \implies P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$.
$P(B) = 0.4 \implies P(\overline{B}) = 1 - 0.4 = 0.6$.
$P(A \cap \overline{B}) = 0.5$.
કારણ કે $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})$,તેથી $0.7 = P(A \cap B) + 0.5$,એટલે કે $P(A \cap B) = 0.2$.
આપણે $P(B | (A \cup \overline{B})) = \frac{P(B \cap (A \cup \overline{B}))}{P(A \cup \overline{B})}$ શોધવાનું છે.
અંશ: $P(B \cap (A \cup \overline{B})) = P((B \cap A) \cup (B \cap \overline{B})) = P((B \cap A) \cup \emptyset) = P(A \cap B) = 0.2$.
છેદ: $P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B}) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
તેથી,$P(B | (A \cup \overline{B})) = \frac{0.2}{0.8} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(D) શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$P(E/F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$.
આપેલ પદાવલિ: $P(A / A \cap B) + P(B / A \cap B)$
$= \frac{P(A \cap (A \cap B))}{P(A \cap B)} + \frac{P(B \cap (A \cap B))}{P(A \cap B)}$
અહીં $A \cap (A \cap B) = A \cap B$ અને $B \cap (A \cap B) = A \cap B$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$= \frac{P(A \cap B)}{P(A \cap B)} + \frac{P(A \cap B)}{P(A \cap B)}$
$= 1 + 1 = 2$

(B) બે પાસા ફેંકવા માટે નિદર્શાવકાશ $S$ માં $6 \times 6 = 36$ પરિણામો છે.
ઘટના $A$ એ છે કે દરેક પાસા પર સમાન સંખ્યા આવે: $A = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}$. તેથી,$n(A) = 6$ અને $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
ઘટના $B$ એ છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $7$ કરતા વધારે હોય: $B = \{(2,6), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$. તેથી,$n(B) = 15$ અને $P(B) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.
છેદગણ $A \cap B$ એ એવા પરિણામોનો સમૂહ છે જ્યાં સંખ્યાઓ સમાન હોય અને સરવાળો $7$ કરતા વધારે હોય: $A \cap B = \{(4,4), (5,5), (6,6)\}$. તેથી,$n(A \cap B) = 3$ અને $P(A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.
હવે,શરતી સંભાવનાઓની ગણતરી કરો:
$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/12}{5/12} = \frac{1}{5}$.
$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1/12}{1/6} = \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે પાસાઓમાંથી કોઈ એક પર $2$ મળે છે.
ધારો કે $E_2$ એ ઘટના છે કે પાસાઓ પરના અંકોનો સરવાળો $6$ છે.
સરવાળો $6$ હોય તેવા શક્ય પરિણામોનો ગણ $E_2 = \{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)\}$ છે.
આમ,$E_2$ માં પરિણામોની સંખ્યા $n(E_2) = 5$ છે.
જ્યારે સરવાળો $6$ હોય ત્યારે પાસાઓમાંથી કોઈ એક પર $2$ મળે તેવા પરિણામો $E_1 \cap E_2 = \{(2, 4), (4, 2)\}$ છે.
આમ,$E_1 \cap E_2$ માં પરિણામોની સંખ્યા $n(E_1 \cap E_2) = 2$ છે.
શરતી સંભાવના $P(E_1 | E_2) = \frac{n(E_1 \cap E_2)}{n(E_2)} = \frac{2}{5}$ થાય.

(A) કારણ કે $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = 0$ થાય.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A \mid B^c) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)$.
$P(A \cap B) = 0$ હોવાથી,$P(A \cap B^c) = P(A)$ મળે.
વળી,$P(B^c) = 1 - P(B)$ થાય.
તેથી,$P(A \mid B^c) = \frac{P(A)}{1 - P(B)}$ મળે.

(B) શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ:
$P(A | B^c) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}$
અહીં $B^c$ એ $B$ ની પૂરક ઘટના છે,તેથી $P(B^c) = 1 - P(B)$.
વળી,$A \cap B^c$ એ એવી ઘટના દર્શાવે છે કે જેમાં $A$ બને છે પણ $B$ બનતી નથી. આને $P(A) - P(A \cap B)$ તરીકે લખી શકાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(A | B^c) = \frac{P(A) - P(A \cap B)}{1 - P(B)}$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ:
$P(\frac{B}{A}) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
$\Rightarrow P(A) P(\frac{B}{A}) = P(A \cap B)$
હવે,ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\overline{A \cap B})$
પૂરક ઘટનાઓના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$P(\bar{E}) = 1 - P(E)$:
$P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B)$
પ્રથમ પગલામાંથી $P(A \cap B)$ ની કિંમત મૂકતા:
$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 1 - P(A) P(\frac{B}{A})$
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચું વિધાન છે.

(A) આપેલ છે: $P(P) = 1/4$,$P(P|Q) = 1/2$,અને $P(Q|P) = 1/3$.
આપણે $P(\bar{P}|\bar{Q})$ શોધવાની જરૂર છે.
પ્રથમ,શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને $P(P \cap Q)$ શોધીએ:
$P(Q|P) = \frac{P(P \cap Q)}{P(P)} \implies P(P \cap Q) = P(Q|P) \times P(P) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.
આગળ,$P(Q)$ શોધીએ:
$P(P|Q) = \frac{P(P \cap Q)}{P(Q)} \implies P(Q) = \frac{P(P \cap Q)}{P(P|Q)} = \frac{1/12}{1/2} = \frac{1}{6}$.
હવે,પૂરક ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ગણીએ:
$P(\bar{P}) = 1 - P(P) = 1 - 1/4 = 3/4$.
$P(\bar{Q}) = 1 - P(Q) = 1 - 1/6 = 5/6$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,$P(\bar{P} \cup \bar{Q}) = 1 - P(P \cap Q) = 1 - 1/12 = 11/12$.
ત્યારબાદ,$P(\bar{P} \cap \bar{Q}) = P(\bar{P}) + P(\bar{Q}) - P(\bar{P} \cup \bar{Q}) = \frac{3}{4} + \frac{5}{6} - \frac{11}{12} = \frac{9 + 10 - 11}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
અંતે,શરતી સંભાવના છે:
$P(\bar{P}|\bar{Q}) = \frac{P(\bar{P} \cap \bar{Q})}{P(\bar{Q})} = \frac{2/3}{5/6} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{4}{5}$.

(A) આપેલ છે કે $P(\overline{F}) = 0.7$ અને $P(E \cap F) = 0.2$.
સૌ પ્રથમ,આપણે પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $P(F)$ શોધીએ: $P(F) = 1 - P(\overline{F}) = 1 - 0.7 = 0.3$.
શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(E \mid F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$ છે.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $P(E \mid F) = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3}$.

(C) આપણને આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{7}$,$P(A|B) = \frac{2}{3}$ અને $P(B) = \frac{2}{7}$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
તેથી,$P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{7} = \frac{4}{21}$.
હવે,આપણે $P(B|A)$ શોધવાનું છે,જેનું સૂત્ર $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,જો આપણે $P(A|B) = \frac{2}{5}$ લઈએ તો $P(B|A) = \frac{4/35}{1/7} = \frac{4}{5}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ છે કે $P(A)=0.5, P(B)=0.4$,અને $P(A \cap B)=0.3$.
આપણે $P(A^{\prime} / B^{\prime})$ શોધવાનું છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A^{\prime} / B^{\prime}) = \frac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(B^{\prime})}$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$A^{\prime} \cap B^{\prime} = (A \cup B)^{\prime}$,તેથી $P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P((A \cup B)^{\prime}) = 1 - P(A \cup B)$.
પ્રથમ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.4 - 0.3 = 0.6$ ગણો.
તેથી,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 - 0.6 = 0.4$.
આગળ,$P(B^{\prime}) = 1 - P(B) = 1 - 0.4 = 0.6$ ગણો.
અંતે,$P(A^{\prime} / B^{\prime}) = \frac{0.4}{0.6} = \frac{2}{3}$.

(B) જ્યારે બે પાસાઓ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ઘટના $A$ એ સરવાળો $\ge 8$ મળે તેવી ઘટના છે. તેના પરિણામો છે:
$A = \{(2,6), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$.
આમ,$n(A) = 15$.
ઘટના $B$ એ ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર $3$ કે તેથી ઓછી સંખ્યા મળે તેવી ઘટના છે.
ઘટના $A \cap B$ એ સરવાળો $\ge 8$ મળે અને ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર $3$ કે તેથી ઓછી સંખ્યા મળે તેવી ઘટના છે.
$A$ ના ઘટકો જોતા,જે પરિણામોમાં ઓછામાં ઓછો એક પાસો $3$ કે તેથી ઓછો હોય તે છે:
$A \cap B = \{(2,6), (3,5), (3,6), (5,3), (6,2), (6,3)\}$.
આમ,$n(A \cap B) = 6$.
શરતી સંભાવના $P(B / A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે,$P(E_1) = \frac{1}{4}$,$P(E_2 / E_1) = \frac{1}{2}$,અને $P(E_1 / E_2) = \frac{1}{4}$.
$(A)$ કારણ કે $P(E_2 / E_1) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_1)}$,તેથી $\frac{1}{2} = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{1/4}$,એટલે કે $P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{8}$.
વળી,$P(E_1 / E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)} = \frac{1}{4}$.
$P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{8}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1/8}{P(E_2)} = \frac{1}{4}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $P(E_2) = \frac{1}{2}$. આમ,$(A)$ એ $(iv)$ સાથે જોડાય છે.
$(B)$ $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{2+4-1}{8} = \frac{5}{8}$. આમ,$(B)$ એ $(ii)$ સાથે જોડાય છે.
$(C)$ $P(\bar{E}_1 / \bar{E}_2) = \frac{P(\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2)}{P(\bar{E}_2)} = \frac{1 - P(E_1 \cup E_2)}{1 - P(E_2)} = \frac{1 - 5/8}{1 - 1/2} = \frac{3/8}{1/2} = \frac{3}{4}$. આમ,$(C)$ એ $(vi)$ સાથે જોડાય છે.
$(D)$ $P(E_1 / \bar{E}_2) = \frac{P(E_1 \cap \bar{E}_2)}{P(\bar{E}_2)} = \frac{P(E_1) - P(E_1 \cap E_2)}{1 - P(E_2)} = \frac{1/4 - 1/8}{1 - 1/2} = \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4}$. આમ,$(D)$ એ $(i)$ સાથે જોડાય છે.

(B) આપેલ છે: $P(E_1) = \frac{1}{2}$ અને $P(E_1 \cup E_2) = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $E_1$ અને $E_2$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1)P(E_2) = \frac{1}{2}P(E_2)$.
$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + P(E_2) - \frac{1}{2}P(E_2)$
$\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}P(E_2)$
$\frac{1}{6} = \frac{1}{2}P(E_2) \implies P(E_2) = \frac{1}{3}$. ($A-iii$ સાથે જોડાય છે)
હવે,$P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
$P(\frac{E_1}{E_2}) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)} = \frac{1/6}{1/3} = \frac{1}{2}$. ($B-i$ સાથે જોડાય છે)
$P(\frac{\bar{E}_2}{E_1}) = \frac{P(\bar{E}_2 \cap E_1)}{P(E_1)} = \frac{P(E_1) - P(E_1 \cap E_2)}{P(E_1)} = \frac{1/2 - 1/6}{1/2} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$. ($C-v$ સાથે જોડાય છે)
$P(\bar{E}_1 \cup \bar{E}_2) = P(\overline{E_1 \cap E_2}) = 1 - P(E_1 \cap E_2) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. ($D-ii$ સાથે જોડાય છે)
આમ,સાચી જોડ $A-iii, B-i, C-v, D-ii$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે.
$\therefore P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
નિરપેક્ષતાની શરત મૂકતા: $P(A \mid B) = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A)$ ... $(i)$.
હવે,$P(A \mid B^C) = \frac{P(A \cap B^C)}{P(B^C)}$ ધ્યાનમાં લો.
જેમ કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે,તેથી $A$ અને $B^C$ પણ નિરપેક્ષ છે.
આમ,$P(A \cap B^C) = P(A) \cdot P(B^C)$.
તેથી,$P(A \mid B^C) = \frac{P(A) \cdot P(B^C)}{P(B^C)} = P(A)$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને $P(A \mid B) = P(A \mid B^C)$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A) = \frac{1}{3}$ અને $P(B) = \frac{2}{7}$.
આપણે $P\left(\frac{A}{B^C}\right)$ શોધવાનું છે,જ્યાં $B^C$ એ $B$ ની પૂરક ઘટના છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P\left(\frac{A}{B^C}\right) = \frac{P(A \cap B^C)}{P(B^C)}$.
કારણ કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે,તેથી $A$ અને $B^C$ પણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ થાય.
તેથી,$P(A \cap B^C) = P(A) \times P(B^C)$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,$P\left(\frac{A}{B^C}\right) = \frac{P(A) \times P(B^C)}{P(B^C)} = P(A)$.
આમ,$P(A) = \frac{1}{3}$ હોવાથી,જવાબ $\frac{1}{3}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: $P(A)=0.6$,$P(B)=0.3$ અને $P(A \mid B)=0.5$.
સૌ પ્રથમ,$P(A \cap B) = P(A \mid B) \times P(B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $P(A \cap B)$ શોધો.
$P(A \cap B) = 0.5 \times 0.3 = 0.15$.
આપણે $P(\bar{B} \mid \bar{A}) = \frac{P(\bar{B} \cap \bar{A})}{P(\bar{A})}$ શોધવાની જરૂર છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(\bar{B} \cap \bar{A}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.6 + 0.3 - 0.15 = 0.75$.
તેથી,$P(\bar{B} \cap \bar{A}) = 1 - 0.75 = 0.25$.
વળી,$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.6 = 0.4$.
તેથી,$P(\bar{B} \mid \bar{A}) = \frac{0.25}{0.4} = \frac{25}{40} = 0.625$.

(D) આપેલ છે કે $P(E_1) = \frac{1}{4}$ અને $P(E_2 \mid E_1) = \frac{1}{2}$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2 \mid E_1) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
આપણને $P(E_1 \mid E_2) = \frac{1}{4}$ પણ આપેલ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$P(E_1 \mid E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)}$,તેથી $\frac{1}{4} = \frac{1/8}{P(E_2)}$.
આના પરથી $P(E_2) = \frac{1/8}{1/4} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આપણે $P(\bar{E}_1 \mid E_2)$ શોધવાનું છે.
શરતી સંભાવનાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$P(\bar{E}_1 \mid E_2) = 1 - P(E_1 \mid E_2)$.
આપેલ કિંમત મૂકતા,$P(\bar{E}_1 \mid E_2) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(A) છોકરીઓની કુલ સંખ્યા $= 30$ છે.
આપેલ છે કે $40 \%$ છોકરીઓ ગણિતમાં સારી છે.
ગણિતમાં સારી હોય તેવી છોકરીઓની સંખ્યા $= \frac{40}{100} \times 30 = 12$.
ગણિતમાં સારી ન હોય તેવી છોકરીઓની સંખ્યા $= 30 - 12 = 18$.
કારણ કે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થી છોકરી છે તેમ પહેલેથી જ જાણીતું છે,આપણે ફક્ત છોકરીઓના નિદર્શાવકાશને ધ્યાનમાં લઈશું.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{ગણિતમાં સારી ન હોય તેવી છોકરીઓની સંખ્યા}}{\text{છોકરીઓની કુલ સંખ્યા}} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$.

(B) ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે બિલ ટાર્ગેટને હિટ કરે છે અને $G$ એ ઘટના છે કે જ્યોર્જ ટાર્ગેટને હિટ કરે છે.
આપેલ છે કે $P(B) = 0.7$ અને $P(G) = 0.4$.
બિલ ચૂકી જાય તેની સંભાવના $P(B') = 1 - 0.7 = 0.3$ છે.
જ્યોર્જ ચૂકી જાય તેની સંભાવના $P(G') = 1 - 0.4 = 0.6$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બરાબર એક ગોળી ટાર્ગેટને વાગે તેની સંભાવના બે પરસ્પર નિવારક કિસ્સાઓનો સરવાળો છે: (બિલ હિટ કરે અને જ્યોર્જ ચૂકી જાય) અથવા (બિલ ચૂકી જાય અને જ્યોર્જ હિટ કરે).
$P(\text{બરાબર એક હિટ}) = P(B \cap G') + P(B' \cap G) = P(B)P(G') + P(B')P(G)$
$= (0.7 \times 0.6) + (0.3 \times 0.4) = 0.42 + 0.12 = 0.54$.
આપણે શરતી સંભાવના શોધવી છે કે તે જ્યોર્જની ગોળી હતી,આપેલ છે કે બરાબર એક હિટ થઈ છે.
$P(G \text{ હિટ} | \text{બરાબર એક હિટ}) = \frac{P(B' \cap G)}{P(\text{બરાબર એક હિટ})} = \frac{0.12}{0.54} = \frac{12}{54} = \frac{2}{9}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.