Conditional probability Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. આપણે $S$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરીએ છીએ.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી સંખ્યાઓનો મહત્તમ અંક $6$ છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી સંખ્યાઓનો ન્યૂનતમ અંક $3$ છે.
આપણે શરતી સંભાવના $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ શોધવી છે.
ઘટના $A$ માટે (મહત્તમ $6$ છે): સંખ્યાઓ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માંથી પસંદ કરવી પડે જેમાં $6$ નો સમાવેશ થાય. બાકીની $2$ સંખ્યાઓ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ માંથી પસંદ કરવી પડે.
$A$ માટેની રીતોની સંખ્યા = $\binom{5}{2} = 10$.
ઘટના $A \cap B$ માટે (મહત્તમ $6$ અને ન્યૂનતમ $3$ છે): સંખ્યાઓ $\{3, 4, 5, 6\}$ માંથી પસંદ કરવી પડે જેમાં $3$ અને $6$ નો સમાવેશ થાય. બાકીની $1$ સંખ્યા $\{4, 5\}$ માંથી પસંદ કરવી પડે.
$A \cap B$ માટેની રીતોની સંખ્યા = $\binom{2}{1} = 2$.
આમ,$P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

(D) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી બે ટિકિટો પરનો મહત્તમ નંબર $\le 10$ છે. ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી બે ટિકિટો પરનો ન્યૂનતમ નંબર $5$ છે. આપણે શરતી સંભાવના $P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ શોધવાની છે.
પ્રથમ,આપણે $n(A)$ શોધીએ,જે એવી રીતે બે અલગ ટિકિટો પસંદ કરવાની રીતો છે કે જેથી બંને $\le 10$ હોય. $10$ માંથી $2$ ટિકિટ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ છે.
આગળ,આપણે $n(A \cap B)$ શોધીએ,જે એવી રીતે બે ટિકિટ પસંદ કરવાની રીતો છે કે જેથી મહત્તમ $\le 10$ હોય અને ન્યૂનતમ $5$ હોય. આનો અર્થ એ છે કે એક ટિકિટ $5$ હોવી જોઈએ,અને બીજી ટિકિટ $\{6, 7, 8, 9, 10\}$ ગણમાં હોવી જોઈએ.
આવી $5$ જોડીઓ છે: $(5, 6), (5, 7), (5, 8), (5, 9), (5, 10)$.
તેથી,$n(A \cap B) = 5$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(B|A) = \frac{5}{45} = \frac{1}{9}$ છે.
આમ,સાચો જવાબ $(D)$ આમાંથી કોઈ નહીં છે.

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(\overline{A} | B) = P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
$P(\overline{A} | B) = \frac{2}{5}$ હોવાથી,$1 - P(A) = \frac{2}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
$P(A) + P(B) = \frac{3}{4}$ આપેલ છે,જેમાં $P(A) = \frac{3}{5}$ મૂકતા,$\frac{3}{5} + P(B) = \frac{3}{4}$ મળે.
તેથી,$P(B) = \frac{3}{4} - \frac{3}{5} = \frac{15 - 12}{20} = \frac{3}{20}$.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{20} = \frac{9}{100}$.

(B) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે વિરાટ અનુક્રમે $1^{st}, 2^{nd}, 3^{rd}$ મેચમાં 'મેન ઓફ ધ મેચ' મેળવે છે.
આપેલ સંભાવનાઓ: $P(E_1) = \frac{3}{7}, P(E_2) = \frac{2}{7}, P(E_3) = \frac{1}{7}$.
'મેન ઓફ ધ મેચ' ન મળવાની સંભાવનાઓ: $P(E_1^c) = \frac{4}{7}, P(E_2^c) = \frac{5}{7}, P(E_3^c) = \frac{6}{7}$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે વિરાટને બરાબર એક મેચમાં 'મેન ઓફ ધ મેચ' મળે છે.
$P(A) = P(E_1 \cap E_2^c \cap E_3^c) + P(E_1^c \cap E_2 \cap E_3^c) + P(E_1^c \cap E_2^c \cap E_3)$
$P(A) = (\frac{3}{7} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{6}{7}) + (\frac{4}{7} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{6}{7}) + (\frac{4}{7} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{7}) = \frac{90 + 48 + 20}{343} = \frac{158}{343}$.
આપણે શરતી સંભાવના $P(E_3 | A) = \frac{P(E_1^c \cap E_2^c \cap E_3)}{P(A)}$ શોધવાની છે.
$P(E_3 | A) = \frac{20/343}{158/343} = \frac{20}{158} = \frac{10}{79}$.

(C) ધારો કે $E_i$ એ પાસા પર $i$ મળવાની ઘટના છે. સંભાવના $P(E_i) = k \cdot i^2$ છે,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
કારણ કે $\sum_{i=1}^6 P(E_i) = 1$,તેથી $k(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2) = 1$.
$k(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = 1 \Rightarrow 91k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{91}$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે મળતો અંક બેકી નથી. તેથી $A = \{1, 3, 5\}$.
$P(A) = P(E_1) + P(E_3) + P(E_5) = k(1^2 + 3^2 + 5^2) = k(1 + 9 + 25) = 35k$.
આપણે શરતી સંભાવના $P(E_5 | A) = \frac{P(E_5 \cap A)}{P(A)}$ શોધવી છે.
કારણ કે $E_5 \subset A$,તેથી $P(E_5 \cap A) = P(E_5) = 25k$.
આમ,$P(E_5 | A) = \frac{25k}{35k} = \frac{25}{35} = \frac{5}{7}$.

(A) ધારો કે $H_1$ એ પ્રથમ પત્તું લાલનું હોવાની ઘટના છે,$Q_2$ એ બીજું પત્તું રાણી હોવાની ઘટના છે,અને $K_3$ એ ત્રીજું પત્તું રાજા હોવાની ઘટના છે.
આપણે $P(H_1 \cap Q_2 \cap K_3) = P(H_1) \times P(Q_2 | H_1) \times P(K_3 | H_1 \cap Q_2)$ શોધવાની જરૂર છે.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ પત્તું લાલની રાણી છે. $P(H_1) = \frac{1}{52}$. તો $P(Q_2 | H_1) = \frac{3}{51}$ અને $P(K_3 | H_1 \cap Q_2) = \frac{4}{50}$. સંભાવના $= \frac{1}{52} \times \frac{3}{51} \times \frac{4}{50} = \frac{12}{132600}$.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ પત્તું લાલનું છે પણ રાણી નથી. $P(H_1) = \frac{12}{52}$. તો $P(Q_2 | H_1) = \frac{4}{51}$ અને $P(K_3 | H_1 \cap Q_2) = \frac{4}{50}$. સંભાવના $= \frac{12}{52} \times \frac{4}{51} \times \frac{4}{50} = \frac{192}{132600}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{12 + 192}{132600} = \frac{204}{132600} = \frac{1}{650}$.

(C) આપણે $P[(\bar{A} \cap \bar{B})|C]$ શોધવાનું છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P[(\bar{A} \cap \bar{B})|C] = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C)}{P(C)}$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$.
તેથી,$\bar{A} \cap \bar{B} \cap C = C \setminus ((A \cap C) \cup (B \cap C))$.
તેથી,$P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C) = P(C) - P((A \cap C) \cup (B \cap C))$.
ઘટનાઓના સંયોજનના સિદ્ધાંત મુજબ,$P((A \cap C) \cup (B \cap C)) = P(A \cap C) + P(B \cap C) - P(A \cap B \cap C)$.
$A, B, C$ જોડીમાં સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap C) = P(A)P(C)$ અને $P(B \cap C) = P(B)P(C)$.
આપેલ છે કે $P(A \cap B \cap C) = 0$,તેથી $P((A \cap C) \cup (B \cap C)) = P(A)P(C) + P(B)P(C) - 0 = P(C)(P(A) + P(B))$.
આ કિંમત મૂકતા,$P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C) = P(C) - P(C)(P(A) + P(B)) = P(C)(1 - P(A) - P(B))$.
અંતે,$P[(\bar{A} \cap \bar{B})|C] = \frac{P(C)(1 - P(A) - P(B))}{P(C)} = 1 - P(A) - P(B)$.
$1 - P(A) = P(\bar{A})$ હોવાથી,આ પદ $P(\bar{A}) - P(B)$ બને છે.

(B) આપેલ છે કે $P(A) = \frac{2}{5} = \frac{8}{20}$ અને $P(A \cap B) = \frac{3}{20}$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$A' \cup B' = (A \cap B)'$.
તેથી,$P(A' \cup B') = P((A \cap B)') = 1 - P(A \cap B) = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$.
હવે,આપણે $P(A | A' \cup B') = \frac{P(A \cap (A' \cup B'))}{P(A' \cup B')}$ શોધવાની જરૂર છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$A \cap (A' \cup B') = (A \cap A') \cup (A \cap B') = \emptyset \cup (A \cap B') = A \cap B'$.
કારણ કે $A = (A \cap B) \cup (A \cap B')$,તેથી $P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = \frac{8}{20} - \frac{3}{20} = \frac{5}{20}$.
આમ,$P(A | A' \cup B') = \frac{5/20}{17/20} = \frac{5}{17}$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a, b, c$ છે જ્યાં $a, b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
ત્રિકોણના અસ્તિત્વ માટે ત્રિકોણની અસમતા $a+b > c$ નું પાલન થવું જોઈએ.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ માટે ઓછામાં ઓછી બે બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ. જો $a=b$ લઈએ,તો કુલ $27$ કિસ્સાઓ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતો ત્રિકોણ $(6,6,6)$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{1}{27}$ થાય છે.

(A) ધારો કે $A$ અને $E$ ધન સંભાવનાઓ ધરાવતી બે ઘટનાઓ છે.
વિધાન $- 1$ ધ્યાનમાં લો:
$P(E/A) = \frac{P(E \cap A)}{P(A)}$. કારણ કે $P(A) \leq 1$,તેથી $\frac{1}{P(A)} \geq 1$. તેથી,$P(E/A) = \frac{P(E \cap A)}{P(A)} \geq P(E \cap A)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A/E)P(E) = P(A \cap E)$.
કારણ કે $P(E \cap A) = P(A \cap E)$,તેથી $P(E/A) \geq P(A \cap E) = P(A/E)P(E)$ સાબિત થાય છે.
આમ,વિધાન $- 1$ સાચું છે.
વિધાન $- 2$ ધ્યાનમાં લો:
$P(A/E) = \frac{P(A \cap E)}{P(E)}$. કારણ કે $P(E) \leq 1$,તેથી $\frac{1}{P(E)} \geq 1$. તેથી,$P(A/E) = \frac{P(A \cap E)}{P(E)} \geq P(A \cap E)$.
આમ,વિધાન $- 2$ પણ સાચું છે.

(B) ધારો કે $E_1$ એ પ્રથમ દડો લાલ નીકળવાની ઘટના છે. ત્યારબાદ પાત્રમાં એક લીલો દડો ઉમેરવામાં આવે છે. સંભાવના $P(E_1) = \frac{5}{7}$. એક લાલ દડો કાઢ્યા પછી,પાત્રમાં $4$ લાલ અને $2$ લીલા દડા વધે છે. એક લીલો દડો ઉમેરતા,પાત્રમાં $4$ લાલ અને $3$ લીલા દડા થાય છે. તેથી,$E_1$ આપેલ હોય ત્યારે બીજા પ્રયત્નમાં લાલ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(E|E_1) = \frac{4}{7}$ છે.
ધારો કે $E_2$ એ પ્રથમ દડો લીલો નીકળવાની ઘટના છે. ત્યારબાદ પાત્રમાં એક લાલ દડો ઉમેરવામાં આવે છે. સંભાવના $P(E_2) = \frac{2}{7}$. એક લીલો દડો કાઢ્યા પછી,પાત્રમાં $5$ લાલ અને $1$ લીલો દડો વધે છે. એક લાલ દડો ઉમેરતા,પાત્રમાં $6$ લાલ અને $1$ લીલો દડો થાય છે. તેથી,$E_2$ આપેલ હોય ત્યારે બીજા પ્રયત્નમાં લાલ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(E|E_2) = \frac{6}{7}$ છે.
કુલ સંભાવનાના નિયમ મુજબ,બીજો દડો લાલ હોવાની સંભાવના:
$P(E) = P(E_1) \times P(E|E_1) + P(E_2) \times P(E|E_2)$
$P(E) = \left(\frac{5}{7} \times \frac{4}{7}\right) + \left(\frac{2}{7} \times \frac{6}{7}\right)$
$P(E) = \frac{20}{49} + \frac{12}{49} = \frac{32}{49}$.

(C) ધારો કે $S = \{1, 2, \dots, 11\}$. આ ગણમાં $5$ બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ અને $6$ એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$ છે.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો બેકી ત્યારે જ થાય જો બંને સંખ્યાઓ બેકી હોય અથવા બંને એકી હોય.
બે બેકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો: $^5C_2 = 10$.
બે એકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો: $^6C_2 = 15$.
સરવાળો બેકી મળે તેવી કુલ રીતો: $10 + 15 = 25$.
સરવાળો બેકી હોય ત્યારે બંને સંખ્યાઓ બેકી હોય તેની શરતી સંભાવના:
$P = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.

(D) આપેલ છે કે $A \subset B$,તેથી $A \cap B = A$ થાય.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ છે.
$A \cap B = A$ મૂકતા,આપણને $P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}$ મળે છે.
$A \subset B$ હોવાથી,$P(B) \le 1$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{P(B)} \ge 1$ થાય.
બંને બાજુ $P(A)$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{P(A)}{P(B)} \ge P(A)$ મળે છે.
આમ,$P(A|B) \ge P(A)$ સાચું છે.

(D) ધારો કે $B$ એ છોકરો અને $G$ એ છોકરી દર્શાવે છે. દરેક પરિવારમાં બે બાળકો છે,તેથી કુલ $4$ બાળકો છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે બધા બાળકો છોકરીઓ છે. $E = \{GGGG\}$,તેથી $n(E) = 1$.
ધારો કે $F$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછી બે છોકરીઓ છે.
$n(F) = n(\text{બરાબર 2 છોકરીઓ}) + n(\text{બરાબર 3 છોકરીઓ}) + n(\text{બરાબર 4 છોકરીઓ})$
$n(F) = ^4C_2 + ^4C_3 + ^4C_4 = 6 + 4 + 1 = 11$.
શરતી સંભાવના $P(E|F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)}$.
$E \subset F$ હોવાથી,$n(E \cap F) = n(E) = 1$.
તેથી,$P(E|F) = \frac{1}{11}$.

(C) કારણ કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,$P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$ છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $P(A / B) = P(A) = \frac{1}{3}$,તેથી $P(A / B) = \frac{2}{3}$ અસત્ય છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $P(A / (A \cup B)) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)} = \frac{P(A)}{P(A) + P(B) - P(A \cap B)} = \frac{1/3}{1/3 + 1/6 - 1/18} = \frac{1/3}{6/18 + 3/18 - 1/18} = \frac{1/3}{8/18} = \frac{1}{3} \times \frac{18}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$,તેથી $P(A / (A \cup B)) = \frac{1}{4}$ અસત્ય છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$A$ અને $B^{\prime}$ પણ સ્વતંત્ર છે. તેથી,$P(A / B^{\prime}) = P(A) = \frac{1}{3}$ થાય. આ સત્ય છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$A^{\prime}$ અને $B^{\prime}$ પણ સ્વતંત્ર છે. તેથી,$P(A^{\prime} / B^{\prime}) = P(A^{\prime}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ થાય,તેથી $P(A^{\prime} / B^{\prime}) = \frac{1}{3}$ અસત્ય છે.

(A) શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ છે.
આપેલ કિંમતો $P(A \cap B) = \frac{4}{13}$ અને $P(B) = \frac{9}{13}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(A | B) = \frac{\frac{4}{13}}{\frac{9}{13}} = \frac{4}{13} \times \frac{13}{9} = \frac{4}{9}$.

(B) ધારો કે $b$ એટલે છોકરો અને $g$ એટલે છોકરી. પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ $S = \{(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)\}$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે બંને બાળકો છોકરા છે,તેથી $E = \{(b, b)\}$.
ધારો કે $F$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરો છે,તેથી $F = \{(b, b), (b, g), (g, b)\}$.
બંને ઘટનાઓનો છેદગણ $E \cap F = \{(b, b)\}$ છે.
ઘટના $F$ ની સંભાવના $P(F) = \frac{3}{4}$ છે.
છેદગણની સંભાવના $P(E \cap F) = \frac{1}{4}$ છે.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$.

(B) ધારો કે $A$ એ 'પસંદ કરેલા કાર્ડ પરનો નંબર બેકી છે' તેવી ઘટના છે અને $B$ એ 'પસંદ કરેલા કાર્ડ પરનો નંબર $3$ કરતા વધારે છે' તેવી ઘટના છે. આપણે શરતી સંભાવના $P(A|B)$ શોધવાની છે.
પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ છે.
ઘટના $B$ (નંબર $> 3$) માટે $B = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ છે,તેથી $n(B) = 7$.
ઘટના $A$ (નંબર બેકી છે) માટે $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ છે.
છેદગણ $A \cap B$ (નંબર બેકી છે અને $> 3$ છે) માટે $A \cap B = \{4, 6, 8, 10\}$ છે,તેથી $n(A \cap B) = 4$.
શરતી સંભાવના $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{4}{7}$ દ્વારા મળે છે.

(A) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થી ધોરણ $XII$ માં અભ્યાસ કરે છે અને $F$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થી છોકરી છે.
આપણને આપેલ છે કે કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $1000$ છે અને છોકરીઓની સંખ્યા $430$ છે.
તેથી,$P(F) = \frac{430}{1000} = 0.43$.
આપેલ છે કે $10\%$ છોકરીઓ ધોરણ $XII$ માં અભ્યાસ કરે છે.
તેથી,ધોરણ $XII$ માં અભ્યાસ કરતી છોકરીઓની સંખ્યા $430$ ના $10\% = \frac{10}{100} \times 430 = 43$ છે.
આમ,જે વિદ્યાર્થીઓ છોકરીઓ છે અને ધોરણ $XII$ માં અભ્યાસ કરે છે તેમની સંખ્યા $43$ છે.
તેથી,$P(E \cap F) = \frac{43}{1000} = 0.043$.
આપણે શરતી સંભાવના $P(E|F)$ શોધવાની છે,જે એ સંભાવના છે કે વિદ્યાર્થી ધોરણ $XII$ માં અભ્યાસ કરે છે,જો તે વિદ્યાર્થી છોકરી હોય.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$.
કિંમતો મૂકતા: $P(E|F) = \frac{0.043}{0.43} = 0.1$.

(A) પાસાને ત્રણ વાર ફેંકતા મળતા કુલ નિદર્શાવકાશ $S$ માં $6 \times 6 \times 6 = 216$ પરિણામો છે.
ઘટના $B$ પ્રથમ ફેંકમાં $6$ અને બીજી ફેંકમાં $5$ મળે તેમ વ્યાખ્યાયિત છે. તેથી,$B = \{(6, 5, 1), (6, 5, 2), (6, 5, 3), (6, 5, 4), (6, 5, 5), (6, 5, 6)\}$.
$B$ માં પરિણામોની સંખ્યા $n(B) = 6$ છે,તેથી $P(B) = \frac{6}{216}$.
ઘટના $A$ ત્રીજી ફેંકમાં $4$ મળે તેમ વ્યાખ્યાયિત છે.
છેદગણ $A \cap B$ માં એવા પરિણામો છે જેમાં પ્રથમ ફેંકમાં $6$,બીજી ફેંકમાં $5$ અને ત્રીજી ફેંકમાં $4$ મળે. તેથી,$A \cap B = \{(6, 5, 4)\}$.
$A \cap B$ માં પરિણામોની સંખ્યા $n(A \cap B) = 1$ છે,તેથી $P(A \cap B) = \frac{1}{216}$.
$B$ આપેલ હોય ત્યારે $A$ ની શરતી સંભાવના $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(A|B) = \frac{1/216}{6/216} = \frac{1}{6}$.

(A) ધારો કે $F$ એ ઘટના છે કે મળતી સંખ્યાઓનો સરવાળો $6$ છે. $F$ માટેનો નિદર્શાવકાશ $F = \{(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)\}$ છે. આમ,$n(F) = 5$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે સંખ્યા $4$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે છે. આપણે $E \cap F$ ઘટનામાં રસ ધરાવીએ છીએ,જે એવા પરિણામો દર્શાવે છે જ્યાં સરવાળો $6$ હોય અને સંખ્યા $4$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે.
$F$ ના ગણમાંથી,જે પરિણામોમાં ઓછામાં ઓછી એક વાર $4$ આવે છે તે $(2,4)$ અને $(4,2)$ છે.
તેથી,$E \cap F = \{(2,4), (4,2)\}$.
માટે,$n(E \cap F) = 2$.
શરતી સંભાવના $P(E|F)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$P(E|F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} = \frac{2}{5}$.

(A) પ્રયોગના પરિણામોને ટ્રી ડાયાગ્રામનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવી શકાય છે.
પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(H, H), (H, T), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)\}$
જ્યાં $(H, H)$ દર્શાવે છે કે બંને ઉછાળમાં છાપ મળે છે,અને $(T, i)$ દર્શાવે છે કે પ્રથમ ઉછાળમાં કાંટો મળે છે અને પાસા પર $i$ અંક આવે છે,જ્યાં $i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
આ પ્રાથમિક ઘટનાઓની સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(H, H) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
$P(H, T) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
$P(T, i) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$,દરેક $i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માટે.
ધારો કે $F$ એ 'ઓછામાં ઓછો એક કાંટો મળે' તેવી ઘટના છે અને $E$ એ 'પાસા પર $4$ કરતા મોટી સંખ્યા મળે' તેવી ઘટના છે.
$F = \{(H, T), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)\}$
$E = \{(T, 5), (T, 6)\}$
$E \cap F = \{(T, 5), (T, 6)\}$
$P(F) = P(H, T) + P(T, 1) + P(T, 2) + P(T, 3) + P(T, 4) + P(T, 5) + P(T, 6)$
$P(F) = \frac{1}{4} + 6 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$
$P(E \cap F) = P(T, 5) + P(T, 6) = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
$P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{1/6}{3/4} = \frac{1}{6} \times \frac{4}{3} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$

(A) આપેલ છે: $P(E)=0.6$,$P(F)=0.3$,અને $P(E \cap F)=0.2$.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3}$.
તે જ રીતે,$P(F|E)$ માટે:
$P(F|E) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)} = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3}$.
આમ,$P(E|F) = \frac{2}{3}$ અને $P(F|E) = \frac{1}{3}$.

(A) શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $P(B) = 0.5$ અને $P(A \cap B) = 0.32$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(A | B) = \frac{0.32}{0.5} = \frac{32}{50} = \frac{16}{25} = 0.64$.

(A) આપણને શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર આપેલું છે: $P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
આપેલ કિંમતો $P(A) = 0.8$ અને $P(B | A) = 0.4$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$0.4 = \frac{P(A \cap B)}{0.8}$.
બંને બાજુ $0.8$ વડે ગુણતા:
$P(A \cap B) = 0.4 \times 0.8$.
તેથી,$P(A \cap B) = 0.32$.

(A) આપેલ છે કે $P(A)=0.8, P(B)=0.5$ અને $P(B | A)=0.4.$
આપણે જાણીએ છીએ કે શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $0.4 = \frac{P(A \cap B)}{0.8}.$
તેથી,$P(A \cap B) = 0.4 \times 0.8 = 0.32.$
હવે,આપણે $P(A | B)$ શોધવાની જરૂર છે.
સૂત્ર $P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$P(A | B) = \frac{0.32}{0.5} = 0.64.$

(A) આપેલ છે કે $P(A)=0.8, P(B)=0.5$ અને $P(B | A)=0.4.$
આપણે જાણીએ છીએ કે શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ $P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$0.4 = \frac{P(A \cap B)}{0.8}.$
તેથી,$P(A \cap B) = 0.4 \times 0.8 = 0.32.$
હવે,સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$
કિંમતો મૂકતા,$P(A \cup B) = 0.8 + 0.5 - 0.32 = 1.3 - 0.32 = 0.98.$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $2 P(A) = P(B) = \frac{5}{13}$.
આનો અર્થ એ છે કે $P(A) = \frac{5}{26}$ અને $P(B) = \frac{5}{13}$.
આપણને $P(A|B) = \frac{2}{5}$ આપેલ છે.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
તેથી,$P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{2}{13}$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા,$P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{5}{13} - \frac{2}{13}$.
$P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{10}{26} - \frac{4}{26} = \frac{5 + 10 - 4}{26} = \frac{11}{26}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ છે.
સૌ પ્રથમ,સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $P(A \cap B)$ શોધીએ:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$\frac{7}{11} = \frac{6}{11} + \frac{5}{11} - P(A \cap B)$
$\frac{7}{11} = \frac{11}{11} - P(A \cap B)$
$P(A \cap B) = 1 - \frac{7}{11} = \frac{4}{11}$.
હવે,કિંમતોને શરતી સંભાવનાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(A | B) = \frac{\frac{4}{11}}{\frac{5}{11}} = \frac{4}{5}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{7}{11} = \frac{6}{11} + \frac{5}{11} - P(A \cap B)$.
$\frac{7}{11} = \frac{11}{11} - P(A \cap B)$.
$P(A \cap B) = 1 - \frac{7}{11} = \frac{4}{11}$.
હવે,શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ છે.
$P(B | A) = \frac{\frac{4}{11}}{\frac{6}{11}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

(B) જ્યારે એક સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $8$ છે.
ઘટના $E$ એટલે 'ત્રીજા ઉછાળ પર છાપ':
$E = \{HHH, HTH, THH, TTH\}$
ઘટના $F$ એટલે 'પ્રથમ બે ઉછાળ પર છાપ':
$F = \{HHH, HHT\}$
$E$ અને $F$ નો છેદગણ:
$E \cap F = \{HHH\}$
$F$ ની સંભાવના $P(F) = \frac{n(F)}{n(S)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ છે.
$E \cap F$ ની સંભાવના $P(E \cap F) = \frac{n(E \cap F)}{n(S)} = \frac{1}{8}$ છે.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E | F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{1/8}{1/4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(A) એક સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળતા મળતો નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ છે.
ઘટના $E$ (ઓછામાં ઓછી બે છાપ) માટે: $E = \{HHH, HHT, HTH, THH\}$.
ઘટના $F$ (વધુમાં વધુ બે છાપ) માટે: $F = \{HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$.
છેદ ઘટના $E \cap F = \{HHT, HTH, THH\}$ મળે છે.
સંભાવનાઓની ગણતરી કરતા:
$P(E \cap F) = \frac{n(E \cap F)}{n(S)} = \frac{3}{8}$.
$P(F) = \frac{n(F)}{n(S)} = \frac{7}{8}$.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E | F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{7}{8}} = \frac{3}{7}$.

(A) સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળતા મળતો નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ છે,તેથી $n(S) = 8$.
ઘટના $E$ 'વધુમાં વધુ બે છાપ' છે: $E = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH\}$.
ઘટના $F$ 'ઓછામાં ઓછી એક છાપ' છે: $F = \{HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$.
છેદગણ $E \cap F = \{HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH\}$.
આમ,$n(E \cap F) = 6$ અને $n(F) = 7$.
શરતી સંભાવના $P(E | F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} = \frac{6}{7}$ થાય.

(A) જ્યારે બે સિક્કા એકવાર ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{HH, HT, TH, TT\}$
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 4$.
ઘટના $E$: એક સિક્કા પર છાપ (tail) આવે.
$E = \{HT, TH\}$
$n(E) = 2$.
ઘટના $F$: એક સિક્કા પર કાંટો (head) આવે.
$F = \{HT, TH\}$
$n(F) = 2$.
છેદગણ $E \cap F$: એક સિક્કા પર છાપ અને એક સિક્કા પર કાંટો આવે.
$E \cap F = \{HT, TH\}$
$n(E \cap F) = 2$.
આપણે $P(E | F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$ શોધવાનું છે.
$P(E \cap F) = \frac{n(E \cap F)}{n(S)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$P(F) = \frac{n(F)}{n(S)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$P(E | F) = \frac{1/2}{1/2} = 1$.

(A) જ્યારે બે સિક્કા એકવાર ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ મળે:
$S = \{HH, HT, TH, TT\}$
ઘટના $E$ એ છે કે એક પણ કાંટો (tail) મળતો નથી,તેથી $E = \{HH\}$.
ઘટના $F$ એ છે કે એક પણ છાપ (head) મળતી નથી,તેથી $F = \{TT\}$.
તેથી,$E$ અને $F$ નો છેદગણ $E \cap F = \phi$ છે,જેનો અર્થ છે કે $E \cap F$ માં ઘટકોની સંખ્યા $0$ છે.
ઘટના $F$ ની સંભાવના $P(F) = \frac{n(F)}{n(S)} = \frac{1}{4}$ છે.
શરતી સંભાવના $P(E | F)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ:
$P(E | F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$
અહીં $P(E \cap F) = 0$ હોવાથી:
$P(E | F) = \frac{0}{1/4} = 0$.

(A) જ્યારે પાસાને ત્રણ વાર ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશમાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
ઘટના $F$ ને પ્રથમ બે ફેંક પર અનુક્રમે $6$ અને $5$ દેખાય છે તેમ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$F = \{(6, 5, 1), (6, 5, 2), (6, 5, 3), (6, 5, 4), (6, 5, 5), (6, 5, 6)\}$.
$F$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(F) = 6$ છે.
ઘટના $E$ ને ત્રીજા ફેંક પર $4$ દેખાય છે તેમ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
છેદગણ $E \cap F$ માં એવા પરિણામો છે જ્યાં પ્રથમ બે ફેંક પર $6$ અને $5$ દેખાય છે અને ત્રીજા ફેંક પર $4$ દેખાય છે:
$E \cap F = \{(6, 5, 4)\}$.
$E \cap F$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(E \cap F) = 1$ છે.
શરતી સંભાવના $P(E | F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P(E | F) = \frac{1}{6}$.

(C) ધારો કે $M$ માતા,$F$ પિતા અને $S$ પુત્ર દર્શાવે છે. તેઓ કુલ $3! = 6$ રીતે લાઈનમાં ઊભા રહી શકે છે.
નિદર્શ અવકાશ $S = \{MFS, MSF, FMS, FSM, SMF, SFM\}$ છે.
ઘટના $E$ (પુત્ર એક છેડે હોય): $E = \{SMF, SFM, FMS, MFS\}$.
ઘટના $F$ (પિતા વચ્ચે હોય): $F = \{MFS, SFM\}$.
છેદ ઘટના $E \cap F$ (પુત્ર એક છેડે હોય અને પિતા વચ્ચે હોય): $E \cap F = \{MFS, SFM\}$.
હવે,સંભાવનાઓની ગણતરી કરીએ:
$P(F) = \frac{n(F)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$P(E \cap F) = \frac{n(E \cap F)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
શરતી સંભાવના $P(E | F)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P(E | F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{1/3}{1/3} = 1$.

(B) ધારો કે પ્રથમ અવલોકન કાળા પાસા પરનું છે અને બીજું લાલ પાસા પરનું છે.
જ્યારે બે પાસા (એક કાળો અને એક લાલ) ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ માં $6 \times 6 = 36$ પરિણામો મળે છે.
ધારો કે $A$ એ સરવાળો $9$ થી વધુ મળે તેવી ઘટના છે.
$A = \{(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
ધારો કે $B$ એ એવી ઘટના છે કે જેમાં કાળા પાસા પર $5$ મળે છે.
$B = \{(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$
આ ઘટનાઓનો છેદગણ $A \cap B = \{(5,5), (5,6)\}$ છે.
ઘટના $B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(B) = 6$ છે અને $A \cap B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \cap B) = 2$ છે.
શરતી સંભાવના $P(A|B)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(A) $E:$ અવલોકનોનો સરવાળો $8$ હોય તેવી ઘટના.
$E = \{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\}$
$F:$ લાલ પાસા પર $4$ કરતા નાની સંખ્યા મળે તેવી ઘટના.
$F = \{(x, y) : y < 4, x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, y \in \{1, 2, 3\}\}$
$F = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (6,1), (6,2), (6,3)\}$
$F$ માં પરિણામોની સંખ્યા $= 18$.
$E \cap F = \{(5,3), (6,2)\}$.
$E \cap F$ માં પરિણામોની સંખ્યા $= 2$.
$P(F) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
$P(E \cap F) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.
શરતી સંભાવના $P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$ દ્વારા મળે છે.
$P(E|F) = \frac{2/36}{18/36} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$.

(A) જ્યારે એક સમતોલ પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
આપેલ ઘટનાઓ $E = \{1, 3, 5\}$ અને $F = \{2, 3\}$ છે.
$E$ અને $F$ નો છેદગણ $E \cap F = \{3\}$ છે.
સંભાવનાઓ $P(E) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ અને $P(F) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
છેદગણની સંભાવના $P(E \cap F) = \frac{1}{6}$ છે.
શરતી સંભાવનાના સૂત્ર $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{1/6}{1/3} = \frac{1}{6} \times 3 = \frac{1}{2}$.
$P(F|E) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{6} \times 2 = \frac{1}{3}$.

(A) જ્યારે એક સમતોલ પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S = \{1,2,3,4,5,6\}$ છે.
આપેલ ઘટનાઓ $E=\{1,3,5\}, F=\{2,3\},$ અને $G=\{2,3,4,5\}$ છે.
ઘટના $E$ ની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
ઘટના $G$ ની સંભાવના $P(G) = \frac{n(G)}{n(S)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
$E$ અને $G$ નો છેદગણ $E \cap G = \{3,5\}$ છે.
$E \cap G$ ની સંભાવના $P(E \cap G) = \frac{n(E \cap G)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
શરતી સંભાવનાના સૂત્ર $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(E | G) = \frac{P(E \cap G)}{P(G)} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}$.
$P(G | E) = \frac{P(E \cap G)}{P(E)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$.

(A) એક સમતોલ પાસો ફેંકતા નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ મળે,તેથી $n(S) = 6$.
આપેલ ઘટનાઓ $E = \{1, 3, 5\}$,$F = \{2, 3\}$,અને $G = \{2, 3, 4, 5\}$ છે.
ઘટના $G$ ની સંભાવના $P(G) = \frac{n(G)}{n(S)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
પ્રથમ,$(E \cup F) = \{1, 2, 3, 5\}$ મેળવીએ.
ત્યારબાદ,$(E \cup F) \cap G = \{1, 2, 3, 5\} \cap \{2, 3, 4, 5\} = \{2, 3, 5\}$.
તેથી,$P((E \cup F) \cap G) = \frac{n(\{2, 3, 5\})}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $P((E \cup F) | G) = \frac{P((E \cup F) \cap G)}{P(G)} = \frac{1/2}{2/3} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.
હવે,$(E \cap F) = \{3\}$ મેળવીએ.
ત્યારબાદ,$(E \cap F) \cap G = \{3\} \cap \{2, 3, 4, 5\} = \{3\}$.
તેથી,$P((E \cap F) \cap G) = \frac{n(\{3\})}{n(S)} = \frac{1}{6}$.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $P((E \cap F) | G) = \frac{P((E \cap F) \cap G)}{P(G)} = \frac{1/6}{2/3} = \frac{1}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
આમ,માંગેલ સંભાવનાઓ $3/4$ અને $1/4$ છે.

(C) ધારો કે $b$ અને $g$ અનુક્રમે છોકરો અને છોકરી દર્શાવે છે. જો પરિવારમાં બે બાળકો હોય,તો નિદર્શાવકાશ $S = \{(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)\}$ છે.
ધારો કે $A$ એ બંને બાળકો છોકરીઓ હોવાની ઘટના છે. તેથી,$A = \{(g, g)\}$.
ધારો કે $B$ એ સૌથી નાનું બાળક છોકરી હોવાની ઘટના છે. તેથી,$B = \{(b, g), (g, g)\}$.
છેદગણ $A \cap B = \{(g, g)\}$ છે.
ઘટના $B$ ની સંભાવના $P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ છે.
છેદગણની સંભાવના $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ છે.
સૌથી નાનું બાળક છોકરી છે તેવું આપેલ હોય ત્યારે બંને છોકરીઓ હોવાની શરતી સંભાવના $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$ છે.

(B) ધારો કે $b$ એ છોકરો અને $g$ એ છોકરી દર્શાવે છે. બે બાળકો ધરાવતા પરિવાર માટે,નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)\}$
ધારો કે $A$ એ બંને બાળકો છોકરીઓ હોય તેવી ઘટના છે:
$A = \{(g, g)\}$
ધારો કે $C$ એ ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરી હોય તેવી ઘટના છે:
$C = \{(b, g), (g, b), (g, g)\}$
તેથી,છેદગણ $A \cap C$ થશે:
$A \cap C = \{(g, g)\}$
ઘટના $C$ ની સંભાવના $P(C) = \frac{3}{4}$ છે.
છેદગણની સંભાવના $P(A \cap C) = \frac{1}{4}$ છે.
શરતી સંભાવના $P(A|C)$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$P(A|C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશમાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $4$ છે. $A$ માટેના પરિણામો $\{(1,3), (2,2), (3,1)\}$ છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે પાસા પર મળતી બે સંખ્યાઓ અલગ-અલગ છે. પાસા પર સમાન સંખ્યાઓ મળે તેવા કુલ $6$ પરિણામો છે (જેમ કે $\{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}$).
તેથી,$B$ માં પરિણામોની સંખ્યા $36 - 6 = 30$ છે.
આપણે $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ શોધવાનું છે.
છેદગણ $A \cap B$ એ ઘટના દર્શાવે છે કે સરવાળો $4$ હોય અને સંખ્યાઓ અલગ-અલગ હોય. ગણ $A$ માંથી,પરિણામ $(2,2)$ માં સંખ્યાઓ સમાન છે,તેથી $A \cap B = \{(1,3), (3,1)\}$.
આમ,$n(A \cap B) = 2$ અને $n(B) = 30$.
શરતી સંભાવના $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ છે.

(A) પ્રયોગનો નિદર્શ અવકાશ $S$ એ પ્રથમ ફેંક અને ત્યારબાદની ક્રિયાના પરિણામો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જો પ્રથમ ફેંક $1, 2, 4, 5$ હોય (સંભાવના $4/6 = 2/3$),તો આપણે સિક્કો ઉછાળીએ છીએ (પરિણામો $H, T$ દરેકની સંભાવના $1/2$ સાથે).
જો પ્રથમ ફેંક $3, 6$ હોય (સંભાવના $2/6 = 1/3$),તો આપણે પાસો ફરીથી ફેંકીએ છીએ (પરિણામો $1, 2, 3, 4, 5, 6$ દરેકની સંભાવના $1/6$ સાથે).
કુલ નિદર્શ અવકાશ:
$S = \{(1, H), (1, T), (2, H), (2, T), (4, H), (4, T), (5, H), (5, T), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે સિક્કા પર છાપ (tail) આવે છે: $A = \{(1, T), (2, T), (4, T), (5, T)\}$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછો એક પાસો $3$ દર્શાવે છે: $B = \{(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (6, 3)\}$.
અહીં $A \cap B = \phi$ હોવાથી,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નો છેદ ખાલી ગણ છે.
તેથી,$P(A \cap B) = 0$.
શરતી સંભાવના $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0}{P(B)} = 0$.

(B) ઘટના $B$ બની ગઈ હોય ત્યારે ઘટના $A$ ની શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ છે,જ્યાં $P(B) \neq 0$ હોવું જરૂરી છે.
અહીં આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{2}$ અને $P(B) = 0$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{0}$ મળે છે.
ગણિતમાં શૂન્ય વડે ભાગાકાર વ્યાખ્યાયિત નથી,તેથી $P(A | B)$ વ્યાખ્યાયિત નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $P(A | B) = P(B | A)$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ અને $P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ છે.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
કિસ્સો $1$: જો $P(A \cap B) \neq 0$ હોય,તો આપણે બંને બાજુને $P(A \cap B)$ વડે ભાગી શકીએ,જે $\frac{1}{P(B)} = \frac{1}{P(A)}$ આપે છે,એટલે કે $P(A) = P(B)$.
કિસ્સો $2$: જો $P(A \cap B) = 0$ હોય,તો $0 = 0$ થાય,જે હંમેશા સાચું છે,પરંતુ સંભાવનાના પ્રમાણિત પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં,$P(A) = P(B)$ એ અપેક્ષિત સંબંધ છે.
આમ,સાચો જવાબ $C$ છે.

(A) પાસો ફેંકવા માટેનો નિદર્શ અવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
ઘટના $E$ ($3$ નો ગુણક) માટે $E = \{3, 6\}$,તેથી $P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
ઘટના $F$ (બેકી સંખ્યા) માટે $F = \{2, 4, 6\}$,તેથી $P(F) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
છેદગણ $E \cap F$ ($3$ નો ગુણક અને બેકી સંખ્યા) માટે $E \cap F = \{6\}$,તેથી $P(E \cap F) = \frac{1}{6}$.
બે ઘટનાઓ નિરપેક્ષ હોય જો $P(E \cap F) = P(E) \times P(F)$ થાય.
અહીં,$P(E) \times P(F) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.
આમ,$P(E \cap F) = P(E) \times P(F)$ હોવાથી,ઘટનાઓ $E$ અને $F$ નિરપેક્ષ છે.

(A) જો પ્રયોગની તમામ $36$ પ્રાથમિક ઘટનાઓને સમાન રીતે સંભવિત ગણવામાં આવે,તો આપણી પાસે છે
$P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ અને $P(B) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$
વધુમાં,$P(A \cap B) = P(\text{બંને ફેંકમાં એકી સંખ્યા})$
$= \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$
હવે,$P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
સ્પષ્ટપણે,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
આમ,$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.