Binomial distribution Questions in Hindi

(A) पासे को बार-बार फेंकना बर्नौली परीक्षण है। मान लीजिए $X$ पासे के $7$ फेंक में $5$ प्राप्त करने की संख्या को दर्शाता है।
पासे के एक फेंक में $5$ प्राप्त करने की प्रायिकता,$p = \frac{1}{6}$ है।
अतः,$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
स्पष्ट है कि $X$ एक द्विपद बंटन का पालन करता है जहाँ $n = 7$ और $p = \frac{1}{6}$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = ^{n}C_{x} \cdot q^{n-x} \cdot p^{x} = ^{7}C_{x} \cdot (\frac{5}{6})^{7-x} \cdot (\frac{1}{6})^{x}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें ठीक $2$ बार $5$ प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,अर्थात $P(X = 2)$।
$P(X = 2) = ^{7}C_{2} \cdot (\frac{5}{6})^{7-2} \cdot (\frac{1}{6})^{2}$।
$= \frac{7 \times 6}{2 \times 1} \cdot (\frac{5}{6})^{5} \cdot (\frac{1}{6})^{2}$।
$= 21 \cdot \frac{5^5}{6^5} \cdot \frac{1}{6^2} = 21 \cdot \frac{5^5}{6^7}$।

(A) पासे को बार-बार फेंकना बर्नौली परीक्षण है। मान लीजिए $X$ पासे के $6$ फेंक में छक्का आने की संख्या को दर्शाता है।
पासे के एक फेंक में छक्का आने की प्रायिकता,$p = \frac{1}{6}$.
$\therefore q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
स्पष्ट है कि,$X$ एक द्विपद बंटन का पालन करता है जहाँ $n = 6$.
$\therefore P(X = x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x} = ^{6}C_{x} \left(\frac{5}{6}\right)^{6-x} \left(\frac{1}{6}\right)^{x}$.
$P(\text{अधिकतम } 2 \text{ छक्के}) = P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$.
$P(X = 0) = ^{6}C_{0} \left(\frac{5}{6}\right)^{6} = \left(\frac{5}{6}\right)^{6}$.
$P(X = 1) = ^{6}C_{1} \left(\frac{5}{6}\right)^{5} \left(\frac{1}{6}\right) = 6 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{5} = \left(\frac{5}{6}\right)^{5}$.
$P(X = 2) = ^{6}C_{2} \left(\frac{5}{6}\right)^{4} \left(\frac{1}{6}\right)^{2} = 15 \cdot \frac{1}{36} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4} = \frac{15}{36} \left(\frac{5}{6}\right)^{4} = \frac{5}{12} \left(\frac{5}{6}\right)^{4}$.
इन प्रायिकताओं का योग करने पर:
$P(X \leq 2) = \left(\frac{5}{6}\right)^{4} \left[ \left(\frac{5}{6}\right)^{2} + \left(\frac{5}{6}\right) + \frac{5}{12} \right]$.
$= \left(\frac{5}{6}\right)^{4} \left[ \frac{25}{36} + \frac{30}{36} + \frac{15}{36} \right] = \left(\frac{5}{6}\right)^{4} \left[ \frac{70}{36} \right]$.
$= \frac{35}{18} \left(\frac{5}{6}\right)^{4}$.

(B) यादृच्छिक नमूने में वस्तुओं का बार-बार चयन बर्नौली परीक्षण है। मान लीजिए $X$ $12$ वस्तुओं के यादृच्छिक नमूने में दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या को दर्शाता है।
स्पष्ट रूप से,$X$ $n=12$ और $p=10 \% = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ के साथ द्विपद वितरण का पालन करता है।
इसलिए,$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$.
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = ^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $P(X=9) = ^{12}C_{9} \left(\frac{1}{10}\right)^{9} \left(\frac{9}{10}\right)^{12-9}$.
$P(X=9) = ^{12}C_{3} \left(\frac{1}{10}\right)^{9} \left(\frac{9}{10}\right)^{3}$.
चूंकि $^{12}C_{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$,इसलिए:
$P(X=9) = 220 \times \frac{1}{10^{9}} \times \frac{9^{3}}{10^{3}} = 220 \times \frac{9^{3}}{10^{12}} = \frac{22 \times 9^{3}}{10^{11}}$.

(D) बॉक्स से बल्बों के चयन को बर्नौली परीक्षणों के रूप में माना जा सकता है। मान लीजिए $X$ नमूने में खराब बल्बों की संख्या को दर्शाता है।
खराब बल्ब चुनने की प्रायिकता $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ है।
इसलिए,सही बल्ब चुनने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ है।
यहाँ नमूना आकार $n = 5$ है,इसलिए हम इसे द्विपद वितरण $X \sim B(n, p)$ के रूप में ले सकते हैं,जहाँ $n = 5$ और $p = \frac{1}{10}$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = ^{n}C_{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x} = ^{5}C_{x} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^{x} \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{5-x}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि कोई भी बल्ब खराब नहीं है,यानी $P(X = 0)$।
$P(X = 0) = ^{5}C_{0} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{5-0}$।
$P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{5} = \left(\frac{9}{10}\right)^{5}$।
सही उत्तर $D$ है।

(A) तैराक छात्रों का चयन द्विपद वितरण का पालन करता है। मान लीजिए $X$,$n=5$ छात्रों में से तैराक छात्रों की संख्या है।
छात्र के तैराक न होने की प्रायिकता $q = \frac{1}{5}$ है।
छात्र के तैराक होने की प्रायिकता $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
प्रायिकता वितरण $P(X=x) = ^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x}$ द्वारा दिया जाता है।
$n=5$ और $x=4$ के लिए,हमारे पास है:
$P(X=4) = ^{5}C_{4} \left(\frac{4}{5}\right)^{4} \left(\frac{1}{5}\right)^{5-4} = ^{5}C_{4} \left(\frac{4}{5}\right)^{4} \left(\frac{1}{5}\right)$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) एक द्विपद बंटन $B(n, p)$ के लिए,माध्य का सूत्र $\mu = np$ होता है।
दिए गए बंटन $B\left(4, \frac{1}{3}\right)$ के लिए,हमारे पास है:
$n = 4$
$p = \frac{1}{3}$
अतः,माध्य $\mu$ है:
$\mu = n \times p = 4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

(C) माना कि शूटर $n$ बार फायर करता है। ये $n$ फायर $n$ बर्नौली परीक्षण हैं।
प्रत्येक परीक्षण में,लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $p = \frac{3}{4}$ है और लक्ष्य को न भेदने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{4}$ है।
लक्ष्य को कम से कम एक बार भेदने की प्रायिकता $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$P(X = 0)$ $n$ परीक्षणों में से किसी भी बार लक्ष्य को न भेदने की प्रायिकता है,जो $q^n = (\frac{1}{4})^n$ है।
हमें दिया गया है कि $P(X \geq 1) > 0.99$।
इसलिए,$1 - (\frac{1}{4})^n > 0.99$।
इसे सरल करने पर $1 - 0.99 > (\frac{1}{4})^n$,जिसका अर्थ है $0.01 > (\frac{1}{4})^n$।
यह $\frac{1}{100} > \frac{1}{4^n}$ या $4^n > 100$ के बराबर है।
$n$ के मानों की जाँच करने पर:
$n = 3$ के लिए,$4^3 = 64 < 100$।
$n = 4$ के लिए,$4^4 = 256 > 100$।
अतः,शूटर को कम से कम $4$ बार फायर करना चाहिए।

(B) मान लीजिए कि $n = 10$ के नमूने में दाएं हाथ के लोगों की संख्या $X$ है।
किसी व्यक्ति के दाएं हाथ का होने की प्रायिकता $p = 0.9$ है,और बाएं हाथ का होने की प्रायिकता $q = 1 - 0.9 = 0.1$ है।
$X$ द्विपद वितरण $B(n, p) = B(10, 0.9)$ का पालन करता है।
अधिकतम $6$ लोगों के दाएं हाथ के होने की प्रायिकता $P(X \le 6)$ है।
द्विपद वितरण के प्रायिकता द्रव्यमान फलन का उपयोग करते हुए,$P(X = r) = {^{n}C_r} p^r q^{n-r}$।
अतः,$P(X \le 6) = \sum_{r=0}^{6} {^{10}C_r} (0.9)^r (0.1)^{10-r}$।

(A) पात्र में गेंदों की कुल संख्या $= 25$ है।
$'X'$ निशान वाली गेंदें $= 10$ हैं।
$'Y'$ निशान वाली गेंदें $= 15$ हैं।
$'X'$ निशान वाली गेंद निकालने की प्रायिकता $p = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$ है।
चूंकि प्रत्येक बार गेंद निकालने के बाद उसे वापस रख दिया जाता है,इसलिए ये स्वतंत्र बर्नौली परीक्षण हैं।
हम $n = 6$ गेंदें निकालते हैं।
मान लीजिए $X$ एक यादृच्छिक चर है जो $'X'$ निशान वाली गेंदों की संख्या को दर्शाता है।
यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 6$ और $p = \frac{2}{5}$ है।
इसकी प्रायिकता कि सभी $6$ गेंदों पर $'X'$ का निशान हो,$P(X = 6)$ है।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X = k) = ^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $q = 1 - p = \frac{3}{5}$:
$P(X = 6) = ^{6}C_{6} \left(\frac{2}{5}\right)^{6} \left(\frac{3}{5}\right)^{0} = 1 \times \left(\frac{2}{5}\right)^{6} \times 1 = \left(\frac{2}{5}\right)^{6}$.

(NONE) पात्र में गेंदों की कुल संख्या $= 25$।
$'X'$ निशान वाली गेंदें $= 10$।
$'Y'$ निशान वाली गेंदें $= 15$।
माना $p$ गेंद पर $'Y'$ निशान आने की प्रायिकता है।
$p = P(\text{गेंद पर } 'Y' \text{ \text{निशान}}) = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$।
माना $q$ गेंद पर $'X'$ निशान आने की प्रायिकता है।
$q = P(\text{गेंद पर } 'X' \text{ \text{निशान}}) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$।
चूंकि $6$ गेंदें प्रतिस्थापन के साथ निकाली जाती हैं,इसलिए परीक्षणों की संख्या $n = 6$ है।
माना $Z$ यादृच्छिक चर है जो $'Y'$ निशान वाली गेंदों की संख्या को दर्शाता है। $Z$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 6$ और $p = \frac{3}{5}$।
प्रायिकता $P(Z = z) = ^nC_z p^z q^{n-z}$ द्वारा दी जाती है।
हमें $P(Z \leq 2) = P(Z = 0) + P(Z = 1) + P(Z = 2)$ ज्ञात करना है।
$P(Z = 0) = ^6C_0 (\frac{3}{5})^0 (\frac{2}{5})^6 = \frac{64}{15625}$।
$P(Z = 1) = ^6C_1 (\frac{3}{5})^1 (\frac{2}{5})^5 = \frac{576}{15625}$।
$P(Z = 2) = ^6C_2 (\frac{3}{5})^2 (\frac{2}{5})^4 = \frac{2160}{15625}$।
$P(Z \leq 2) = \frac{64 + 576 + 2160}{15625} = \frac{2800}{15625} = \frac{112}{625}$।

(A) पात्र में गेंदों की कुल संख्या $= 25$ है।
$'X'$ निशान वाली गेंदों की संख्या $= 10$ है।
$'Y'$ निशान वाली गेंदों की संख्या $= 15$ है।
मान लीजिए $p$ $'X'$ निशान वाली गेंद निकालने की प्रायिकता है और $q$ $'Y'$ निशान वाली गेंद निकालने की प्रायिकता है।
$p = P(\text{निशान } 'X') = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$।
$q = P(\text{निशान } 'Y') = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$।
चूंकि प्रतिस्थापन के साथ $6$ गेंदें निकाली जाती हैं,इसलिए ये बर्नौली परीक्षण हैं। मान लीजिए $Z$ एक यादृच्छिक चर है जो $'Y'$ निशान वाली गेंदों की संख्या को दर्शाता है।
$Z$ एक द्विपद वितरण का पालन करता है जहाँ $n = 6$ और सफलता की प्रायिकता $q = \frac{3}{5}$ है (क्योंकि हम $'Y'$ निशान की तलाश कर रहे हैं)।
कम से कम एक $'Y'$ निशान प्राप्त करने की प्रायिकता $P(Z \geq 1) = 1 - P(Z = 0)$ है।
$P(Z = 0) = ^{6}C_{0} \cdot p^{6} \cdot q^{0} = 1 \cdot (\frac{2}{5})^6 \cdot 1 = (\frac{2}{5})^6$।
अतः,$P(Z \geq 1) = 1 - (\frac{2}{5})^6$।

(A) पात्र में गेंदों की कुल संख्या $= 25$ है।
$'X'$ निशान वाली गेंदें $= 10$ हैं।
$'Y'$ निशान वाली गेंदें $= 15$ हैं।
$'X'$ निशान वाली गेंद निकालने की प्रायिकता $p = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$ है।
$'Y'$ निशान वाली गेंद निकालने की प्रायिकता $q = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ है।
चूंकि $6$ गेंदें प्रतिस्थापन के साथ निकाली जाती हैं,यह द्विपद वितरण का पालन करता है जहाँ $n = 6$ है।
हमें $'X'$ निशान और $'Y'$ निशान वाली गेंदों की संख्या बराबर चाहिए,जिसका अर्थ है कि $3$ गेंदें $'X'$ निशान वाली और $3$ गेंदें $'Y'$ निशान वाली होनी चाहिए।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(Z = k) = ^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(Z = 3) = ^{6}C_{3} \times (\frac{2}{5})^{3} \times (\frac{3}{5})^{3}$.
$P(Z = 3) = 20 \times \frac{8}{125} \times \frac{27}{125}$.
$P(Z = 3) = \frac{20 \times 216}{15625} = \frac{4320}{15625} = \frac{864}{3125}$.

(B) माना $p$ बाधा को पार करने की प्रायिकता है और $q$ बाधा को गिराने की प्रायिकता है।
दिया गया है $p = \frac{5}{6}$,इसलिए $q = 1 - p = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$.
माना $X$ गिराई गई बाधाओं की संख्या है। चूंकि $n = 10$ बाधाएं हैं,$X$ द्विपद वितरण $B(n, q)$ का पालन करता है जहाँ $n = 10$ और $q = \frac{1}{6}$ सफलता की प्रायिकता है (बाधा को गिराना)।
$2$ से कम बाधाओं को गिराने की प्रायिकता $P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$ है।
$P(X = x) = ^{10}C_x q^x p^{10-x}$.
$P(X = 0) = ^{10}C_0 (\frac{1}{6})^0 (\frac{5}{6})^{10} = (\frac{5}{6})^{10}$.
$P(X = 1) = ^{10}C_1 (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^9 = 10 \times \frac{1}{6} \times (\frac{5}{6})^9 = \frac{10}{6} \times (\frac{5}{6})^9 = \frac{5}{3} \times (\frac{5}{6})^9$.
$P(X < 2) = (\frac{5}{6})^{10} + \frac{5}{3} \times (\frac{5}{6})^9 = (\frac{5}{6})^9 [\frac{5}{6} + \frac{5}{3}] = (\frac{5}{6})^9 [\frac{5+10}{6}] = (\frac{5}{6})^9 [\frac{15}{6}] = (\frac{5}{6})^9 [\frac{5}{2}] = \frac{5^{10}}{2 \times 6^9}$.

(A) पासे के एक फेंक में छक्का आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{6}$ है,और छक्का न आने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{5}{6}$ है।
तीसरा छक्का ठीक $6^{th}$ फेंक पर आने के लिए,पहले $5$ फेंक में ठीक $2$ छक्के आने चाहिए और $6^{th}$ फेंक में छक्का आना चाहिए।
पहले $5$ फेंक में ठीक $2$ छक्के आने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र $P(X=k) = ^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n=5$ और $k=2$ है।
$P(\text{5 फेंक में 2 छक्के}) = ^{5}C_{2} \left(\frac{1}{6}\right)^{2} \left(\frac{5}{6}\right)^{3} = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776}$.
$6^{th}$ फेंक में छक्का आने की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \left(\frac{1250}{7776}\right) \times \frac{1}{6} = \frac{1250}{46656} = \frac{625}{23328}$ है।

(A) मान लीजिए कि सफलता की प्रायिकता $p$ है और विफलता की प्रायिकता $q$ है। यह दिया गया है कि प्रयोग विफल होने की तुलना में दोगुना सफल होता है,इसलिए $p = 2q$ है। चूंकि $p + q = 1$ है,हमें $2q + q = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3q = 1$,इसलिए $q = \frac{1}{3}$ और $p = \frac{2}{3}$ है।
$n = 6$ परीक्षणों के लिए,सफलताओं की संख्या $X$ द्विपद वितरण $B(n, p) = B(6, \frac{2}{3})$ का पालन करती है।
कम से कम $4$ सफलताओं की प्रायिकता $P(X \geq 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$ है।
सूत्र $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=4) = \binom{6}{4} (\frac{2}{3})^4 (\frac{1}{3})^2 = 15 \times \frac{16}{81} \times \frac{1}{9} = \frac{240}{729}$.
$P(X=5) = \binom{6}{5} (\frac{2}{3})^5 (\frac{1}{3})^1 = 6 \times \frac{32}{243} \times \frac{1}{3} = \frac{192}{729}$.
$P(X=6) = \binom{6}{6} (\frac{2}{3})^6 (\frac{1}{3})^0 = 1 \times \frac{64}{729} \times 1 = \frac{64}{729}$.
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर: $P(X \geq 4) = \frac{240 + 192 + 64}{729} = \frac{496}{729}$.

(C) मान लीजिए कि व्यक्ति सिक्के को $n$ बार उछालता है। ये $n$ उछाल $n$ बर्नौली परीक्षण हैं।
सिक्के को उछालने पर चित आने की प्रायिकता $(p) = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}, q = \frac{1}{2}$.
अतः,$P(X = x) = ^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x} = ^{n}C_{x} (\frac{1}{2})^{x} (\frac{1}{2})^{n-x} = ^{n}C_{x} (\frac{1}{2})^{n}$.
यह दिया गया है कि $P(\text{कम से कम एक चित}) > \frac{90}{100}$.
$P(X \geq 1) > 0.9$.
$1 - P(X = 0) > 0.9$.
$1 - ^{n}C_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{n} > 0.9$.
$^{n}C_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{n} < 0.1$.
$\frac{1}{2^{n}} < 0.1$.
$2^{n} > \frac{1}{0.1} = 10$.
चूंकि $2^{3} = 8$ और $2^{4} = 16$ है,इसलिए $2^{n} > 10$ को संतुष्ट करने वाला $n$ का न्यूनतम मान $4$ है।
अतः,व्यक्ति को सिक्के को $4$ या उससे अधिक बार उछालना चाहिए।

(A) कुल प्रश्नों की संख्या $n = 6$ है।
$6$ में से $4$ प्रश्नों को सही चुनने के तरीके ${}^{6}C_{4}$ हैं।
प्रत्येक $4$ सही प्रश्नों के लिए,सही उत्तर चुनने का केवल $1$ तरीका है।
शेष $2$ प्रश्नों $(6 - 4 = 2)$ के लिए,उम्मीदवार को गलत उत्तर चुनना होगा। चूंकि $4$ विकल्पों में से केवल $1$ सही है,इसलिए प्रत्येक प्रश्न के लिए $3$ गलत विकल्प हैं।
अतः,तरीकों की संख्या = ${}^{6}C_{4} \times (1)^4 \times (3)^2$ है।
${}^{6}C_{4} = 15$ है।
कुल तरीके = $15 \times 1 \times 9 = 135$।

(B) माना कि $n$ शॉट्स की संख्या है।
एक शॉट में लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $p = \frac{1}{10}$ है।
एक शॉट में लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ है।
सभी $n$ शॉट्स में लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $q^n = \left(\frac{9}{10}\right)^n$ है।
लक्ष्य को कम से कम एक बार भेदने की प्रायिकता $1 - P(\text{सभी में चूकने}) = 1 - \left(\frac{9}{10}\right)^n$ है।
हमें दिया गया है कि यह प्रायिकता $\frac{1}{4}$ से अधिक है:
$1 - \left(\frac{9}{10}\right)^n > \frac{1}{4}$
$\Rightarrow \frac{3}{4} > \left(\frac{9}{10}\right)^n$.
$n = 1$ के लिए: $\left(\frac{9}{10}\right)^1 = 0.9 > 0.75$ (असत्य)।
$n = 2$ के लिए: $\left(\frac{9}{10}\right)^2 = 0.81 > 0.75$ (असत्य)।
$n = 3$ के लिए: $\left(\frac{9}{10}\right)^3 = 0.729 < 0.75$ (सत्य)।
अतः,आवश्यक शॉट्स की न्यूनतम संख्या $3$ है।

(A) मान लीजिए कि गिराए गए बमों की संख्या $n$ है। बम के लक्ष्य को हिट करने की संभावना $p = \frac{1}{2}$ है,और चूकने की संभावना $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
यदि कम से कम $2$ हिट होते हैं तो लक्ष्य नष्ट हो जाता है। मान लीजिए $X$ हिट की संख्या है। हम चाहते हैं कि $P(X \geq 2) \geq 0.99$ हो।
यह $1 - P(X < 2) \geq 0.99$ के बराबर है,जिसका अर्थ है $1 - [P(X=0) + P(X=1)] \geq 0.99$।
द्विपद वितरण का उपयोग करते हुए,$P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^k q^{n-k}$।
$1 - [{}^{n}C_{0} (\frac{1}{2})^n + {}^{n}C_{1} (\frac{1}{2})^n] \geq 0.99$
$1 - \frac{1 + n}{2^n} \geq 0.99$
$\frac{1 + n}{2^n} \leq 0.01 = \frac{1}{100}$
$2^n \geq 100(n + 1)$।
$n$ के मानों की जाँच करने पर:
$n=10$ के लिए: $2^{10} = 1024$,$100(11) = 1100$। $1024 \geq 1100$ गलत है।
$n=11$ के लिए: $2^{11} = 2048$,$100(12) = 1200$। $2048 \geq 1200$ सही है।
अतः,आवश्यक बमों की न्यूनतम संख्या $11$ है।

(A) मान लीजिए कि $4$ पासों के एक फेंक में $3$ या $5$ दिखाने वाले पासों की संख्या $X$ है। एक पासे के लिए सफलता ( $3$ या $5$ प्राप्त करना) की प्रायिकता $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $n = 4$ पासे हैं,सफलताओं की संख्या $X$ द्विपद वितरण $B(4, \frac{1}{3})$ का पालन करती है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि कम से कम दो पासों पर $3$ या $5$ आए,जो $P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ है।
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^4 = 1 \times 1 \times \frac{16}{81} = \frac{16}{81}$.
$P(X = 1) = \binom{4}{1} (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^3 = 4 \times \frac{1}{3} \times \frac{8}{27} = \frac{32}{81}$.
$P(X \ge 2) = 1 - (\frac{16}{81} + \frac{32}{81}) = 1 - \frac{48}{81} = \frac{81 - 48}{81} = \frac{33}{81}$.
यह प्रयोग $N = 27$ बार किया जाता है। अपेक्षित संख्या $E = N \times P(X \ge 2) = 27 \times \frac{33}{81} = \frac{33}{3} = 11$ है।

(A) $n=5$ परीक्षणों वाले द्विपद वितरण में,$k$ सफलताओं की प्रायिकता $P(X=k) = {}^{5}C_{k} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p+q=1$ है।
दिया गया है $P(X=1) = {}^{5}C_{1} \cdot p \cdot q^{4} = 5pq^{4} = 0.4096$.
दिया गया है $P(X=2) = {}^{5}C_{2} \cdot p^{2} \cdot q^{3} = 10p^{2}q^{3} = 0.2048$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{10p^{2}q^{3}}{5pq^{4}} = \frac{0.2048}{0.4096} \Rightarrow \frac{2p}{q} = 0.5 \Rightarrow q = 4p$.
चूँकि $p+q=1$,हमारे पास $p+4p=1 \Rightarrow 5p=1 \Rightarrow p = \frac{1}{5} = 0.2$ और $q = \frac{4}{5} = 0.8$ है।
अब,ठीक $3$ सफलताओं की प्रायिकता $P(X=3) = {}^{5}C_{3} \cdot p^{3} \cdot q^{2}$ है।
$P(X=3) = 10 \cdot (\frac{1}{5})^{3} \cdot (\frac{4}{5})^{2} = 10 \cdot \frac{1}{125} \cdot \frac{16}{25} = \frac{160}{3125} = \frac{32}{625}$.

(D) मान लीजिए कि पासे को $n$ बार उछाला जाता है। एक बार उछालने पर विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है और सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
विषम संख्या $2$ बार प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद वितरण द्वारा दी गई है: $P(X=2) = {}^{n}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{n-2} = {}^{n}C_{2} (\frac{1}{2})^{n}$.
सम संख्या $3$ बार प्राप्त करने की प्रायिकता,विषम संख्या $(n-3)$ बार प्राप्त करने के बराबर है: $P(Y=3) = {}^{n}C_{3} (\frac{1}{2})^{3} (\frac{1}{2})^{n-3} = {}^{n}C_{3} (\frac{1}{2})^{n}$.
यह दिया गया है कि $P(X=2) = P(Y=3)$,इसलिए ${}^{n}C_{2} = {}^{n}C_{3}$.
गुणधर्म ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,$2 + 3 = n$,अतः $n = 5$.
हमें विषम संख्या के विषम बार प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X=1) + P(X=3) + P(X=5)$ है।
$P(X=1) + P(X=3) + P(X=5) = {}^{5}C_{1} (\frac{1}{2})^{5} + {}^{5}C_{3} (\frac{1}{2})^{5} + {}^{5}C_{5} (\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{2^{5}} (5 + 10 + 1) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.

(A) माना कि सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है।
चूंकि सिक्का निष्पक्ष है,चित प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ और पट प्राप्त करने की प्रायिकता $q = \frac{1}{2}$ है।
$n$ उछालों में $r$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र द्वारा दी जाती है: $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r} = {}^{n}C_{r} (\frac{1}{2})^{n}$।
दिया गया है कि $P(X=7) = P(X=9)$,इसलिए:
${}^{n}C_{7} (\frac{1}{2})^{n} = {}^{n}C_{9} (\frac{1}{2})^{n}$
${}^{n}C_{7} = {}^{n}C_{9}$
गुणधर्म ${}^{n}C_{x} = {}^{n}C_{y} \implies x+y=n$ (जब $x \neq y$) का उपयोग करने पर,हमें $n = 7 + 9 = 16$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $2$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X=2)$ है:
$P(X=2) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{16}$
$P(X=2) = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} \times \frac{1}{2^{16}}$
$P(X=2) = 8 \times 15 \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{15}{2^{3} \times 2^{13}} = \frac{15}{2^{13}}$।

(C) माना व्यक्ति $A$ द्वारा प्राप्त चितों की संख्या $X$ है और व्यक्ति $B$ द्वारा प्राप्त चितों की संख्या $Y$ है। $X$ और $Y$ दोनों द्विपद बंटन $B(n=3, p=1/2)$ का पालन करते हैं।
$3$ सिक्कों को उछालने पर $k$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=k) = \binom{3}{k} (1/2)^3 = \binom{3}{k} / 8$ है।
हमें $P(X=Y) = P(X=0, Y=0) + P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=2) + P(X=3, Y=3)$ ज्ञात करना है।
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$P(X=k, Y=k) = P(X=k) \times P(Y=k) = [P(X=k)]^2$.
$P(X=0) = 1/8 \implies P(X=0, Y=0) = 1/64$.
$P(X=1) = 3/8 \implies P(X=1, Y=1) = 9/64$.
$P(X=2) = 3/8 \implies P(X=2, Y=2) = 9/64$.
$P(X=3) = 1/8 \implies P(X=3, Y=3) = 1/64$.
कुल प्रायिकता $= 1/64 + 9/64 + 9/64 + 1/64 = 20/64 = 5/16$.

(C) $9$ अलग-अलग गेंदों को $4$ बक्सों में वितरित करने के कुल तरीके $4^{9}$ हैं।
$B_{3}$ बक्से के लिए $3$ गेंदें चुनने के तरीके ${}^{9}C_{3}$ हैं।
शेष $6$ गेंदों को अन्य $3$ बक्सों $(B_{1}, B_{2}, B_{4})$ में $3^{6}$ तरीकों से वितरित किया जा सकता है।
अतः,$B_{3}$ में ठीक $3$ गेंदें होने की प्रायिकता $P = \frac{{}^{9}C_{3} \cdot 3^{6}}{4^{9}}$ है।
इसे हम $P = \frac{{}^{9}C_{3} \cdot 3^{6}}{4^{9}} = \frac{84 \cdot 3^{6}}{4^{9}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
हमें $k \left(\frac{3}{4}\right)^{9}$ के रूप में मान चाहिए,इसलिए $P = k \cdot \frac{3^{9}}{4^{9}}$ लिखते हैं।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $k \cdot \frac{3^{9}}{4^{9}} = \frac{84 \cdot 3^{6}}{4^{9}}$.
$k = \frac{84 \cdot 3^{6}}{3^{9}} = \frac{84}{27} = \frac{28}{9} \approx 3.11$.
$k = \frac{28}{9} \approx 3.11$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:
$|x-3| < 1 \Rightarrow 2 < x < 4$. चूँकि $3.11$ इस अंतराल में स्थित है,इसलिए विकल्प $C$ सही है।

(B) एक सिक्के को उछालने पर चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(H) = \frac{1}{2}$ है।
$n$ बार सिक्का उछालने पर कोई भी चित न प्राप्त होने की प्रायिकता $P(X=0) = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ है।
कम से कम एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$ है।
दिया गया है कि $P(X \geq 1) \geq 0.9$,इसलिए:
$1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \geq 0.9$
असमिका को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$1 - 0.9 \geq \left(\frac{1}{2}\right)^n$
$0.1 \geq \left(\frac{1}{2}\right)^n$
$\frac{1}{10} \geq \frac{1}{2^n}$
$2^n \geq 10$
$n$ के मानों की जाँच करने पर:
$n=3$ के लिए,$2^3 = 8 < 10$.
$n=4$ के लिए,$2^4 = 16 \geq 10$.
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $4$ है।

(A) माना $X$ सही उत्तरों की संख्या है। चूंकि छात्र अनुमान लगाता है,$X$ द्विपद बंटन $B(n=8, p=1/2)$ का पालन करता है।
हमें $n$ का वह न्यूनतम मान ज्ञात करना है जिसके लिए $P(X \geq n) < \frac{1}{2}$ हो।
$P(X \geq n) = \sum_{r=n}^{8} {}^{8}C_{r} (\frac{1}{2})^{r} (\frac{1}{2})^{8-r} = \frac{1}{2^{8}} \sum_{r=n}^{8} {}^{8}C_{r} < \frac{1}{2}$.
$\sum_{r=n}^{8} {}^{8}C_{r} < 2^{7} = 128$.
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{8} {}^{8}C_{r} = 2^{8} = 256$.
अतः,$\sum_{r=n}^{8} {}^{8}C_{r} = 256 - \sum_{r=0}^{n-1} {}^{8}C_{r} < 128$.
$\sum_{r=0}^{n-1} {}^{8}C_{r} > 128$.
$n=5$ के लिए,$\sum_{r=0}^{4} {}^{8}C_{r} = {}^{8}C_{0} + {}^{8}C_{1} + {}^{8}C_{2} + {}^{8}C_{3} + {}^{8}C_{4} = 1 + 8 + 28 + 56 + 70 = 163$.
चूंकि $163 > 128$,इसलिए $n=5$ के लिए शर्त पूरी होती है।
$n=4$ के लिए,$\sum_{r=0}^{3} {}^{8}C_{r} = 1 + 8 + 28 + 56 = 93$,जो $128$ से अधिक नहीं है।
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $5$ है।

(D) माना $S_1$ उन $4$ प्रश्नों का समूह है जिनकी सफलता की प्रायिकता $p_1 = \frac{3}{4}$ है और $S_2$ उन $6$ प्रश्नों का समूह है जिनकी सफलता की प्रायिकता $p_2 = \frac{1}{4}$ है।
ठीक $8$ प्रश्न सही प्राप्त करने के लिए,हम निम्नलिखित स्थितियों $(x, y)$ पर विचार करते हैं जहाँ $x$,$S_1$ से सही उत्तरों की संख्या है और $y$,$S_2$ से सही उत्तरों की संख्या है,ताकि $x+y=8$ हो:
स्थिति $1$: $x=4, y=4$. प्रायिकता $= \binom{4}{4} (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^0 \times \binom{6}{4} (\frac{1}{4})^4 (\frac{3}{4})^2 = \frac{10935}{4^{10}}$.
स्थिति $2$: $x=3, y=5$. प्रायिकता $= \binom{4}{3} (\frac{3}{4})^3 (\frac{1}{4})^1 \times \binom{6}{5} (\frac{1}{4})^5 (\frac{3}{4})^1 = \frac{1944}{4^{10}}$.
स्थिति $3$: $x=2, y=6$. प्रायिकता $= \binom{4}{2} (\frac{3}{4})^2 (\frac{1}{4})^2 \times \binom{6}{6} (\frac{1}{4})^6 (\frac{3}{4})^0 = \frac{54}{4^{10}}$.
कुल प्रायिकता $= \frac{10935 + 1944 + 54}{4^{10}} = \frac{12933}{4^{10}}$.
दिया गया है कि $\frac{27k}{4^{10}} = \frac{12933}{4^{10}}$,इसलिए $27k = 12933 \Rightarrow k = 479$.

(A) दिया गया है $n = 33$,मान लीजिए सफलता की प्रायिकता $p$ है और $q = 1 - p$ है।
दिया गया है $3P(X=0) = P(X=1)$।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$3 \cdot {}^{33}C_{0} p^{0} q^{33} = {}^{33}C_{1} p^{1} q^{32}$
$3q = 33p \implies q = 11p$।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p + 11p = 1 \implies 12p = 1 \implies p = \frac{1}{12}$ और $q = \frac{11}{12}$।
अतः,$\frac{q}{p} = 11$।
अब,व्यंजक $\frac{P(X=15)}{P(X=18)} - \frac{P(X=16)}{P(X=17)}$ पर विचार करें।
सूत्र $\frac{P(X=k)}{P(X=n-k)} = \left(\frac{q}{p}\right)^{n-2k}$ का उपयोग करते हुए:
प्रथम पद के लिए: $\frac{P(X=15)}{P(X=18)} = \left(\frac{q}{p}\right)^{18-15} = \left(\frac{q}{p}\right)^3 = 11^3 = 1331$।
दूसरे पद के लिए: $\frac{P(X=16)}{P(X=17)} = \left(\frac{q}{p}\right)^{17-16} = \left(\frac{q}{p}\right)^1 = 11$।
अतः,मान $1331 - 11 = 1320$ है।

(D) मान लीजिए $P(H) = x$ और $P(T) = 1 - x$.
दिया गया है $P(4H, 1T) = P(5H)$.
द्विपद वितरण सूत्र का उपयोग करते हुए,${}^{5}C_{4} x^{4}(1-x)^{1} = {}^{5}C_{5} x^{5}$.
$5(1-x) = x$.
$5 - 5x = x \implies 6x = 5 \implies x = \frac{5}{6}$.
अतः,$P(H) = \frac{5}{6}$ और $P(T) = \frac{1}{6}$.
हमें $P(\text{अधिकतम } 2H) = P(0H) + P(1H) + P(2H)$ ज्ञात करना है।
$P(0H) = {}^{5}C_{0} (\frac{5}{6})^{0} (\frac{1}{6})^{5} = \frac{1}{6^{5}}$.
$P(1H) = {}^{5}C_{1} (\frac{5}{6})^{1} (\frac{1}{6})^{4} = 5 \times \frac{5}{6^{5}} = \frac{25}{6^{5}}$.
$P(2H) = {}^{5}C_{2} (\frac{5}{6})^{2} (\frac{1}{6})^{3} = 10 \times \frac{25}{6^{5}} = \frac{250}{6^{5}}$.
योग करने पर,$P(\text{अधिकतम } 2H) = \frac{1 + 25 + 250}{6^{5}} = \frac{276}{6^{5}}$.
सरल करने पर,$\frac{276}{6^{5}} = \frac{46 \times 6}{6^{5}} = \frac{46}{6^{4}}$.

(B) दिया गया है कि $X$ एक द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 7$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई शर्त $P(X=3) = 5P(X=4)$ है:
${}^{7}C_{3} p^{3} (1-p)^{4} = 5 \times {}^{7}C_{4} p^{4} (1-p)^{3}$.
चूंकि ${}^{7}C_{3} = {}^{7}C_{4} = 35$,हम समीकरण को सरल बना सकते हैं:
$35 p^{3} (1-p)^{4} = 5 \times 35 p^{4} (1-p)^{3}$.
दोनों पक्षों को $35 p^{3} (1-p)^{3}$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $p \neq 0, 1$):
$(1-p) = 5p$.
$1 = 6p \Rightarrow p = \frac{1}{6}$.
अतः,$q = 1 - p = \frac{5}{6}$.
माध्य $= np = 7 \times \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$.
प्रसरण $= npq = 7 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{35}{36}$.
माध्य और प्रसरण का योग $= \frac{7}{6} + \frac{35}{36} = \frac{42 + 35}{36} = \frac{77}{36}$.

(C) द्विपद बंटन के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है,जहाँ $p+q=1$ है।
दिया गया है कि $np + npq = 24$ और $(np)(npq) = 128$ है।
माना $A = np$ और $B = npq$ है। तब $A+B=24$ और $AB=128$ है।
द्विघात समीकरण $t^2 - 24t + 128 = 0$ के मूल $t = 8$ और $t = 16$ हैं।
स्थिति $1$: $np = 16$ और $npq = 8$ है। तब $q = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$,इसलिए $p = \frac{1}{2}$ है। अतः $n(\frac{1}{2}) = 16 \implies n = 32$ है।
स्थिति $2$: $np = 8$ और $npq = 16$ है। तब $q = \frac{16}{8} = 2$ है,जो संभव नहीं है क्योंकि $q \leq 1$ होता है।
अतः,$n=32, p=\frac{1}{2}, q=\frac{1}{2}$ है।
एक या दो सफलताओं की प्रायिकता $P(X=1) + P(X=2) = {}^{32}C_1 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^{31} + {}^{32}C_2 (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^{30}$ है।
$= 32 \cdot (\frac{1}{2})^{32} + \frac{32 \cdot 31}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{32} = (32 + 496) \cdot \frac{1}{2^{32}} = 528 \cdot \frac{1}{2^{32}} = \frac{33 \cdot 16}{2^{32}} = \frac{33}{2^{28}}$.

(B) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $np = 4$ और प्रसरण $npq = \frac{4}{3}$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{4/3}{4} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
$np = 4$ में $p$ का मान रखने पर,$n \times \frac{2}{3} = 4$,जिससे $n = 6$ प्राप्त होता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k} = {}^{6}C_{k} (\frac{2}{3})^{k} (\frac{1}{3})^{6-k}$ है।
हमें $54 P(X \leq 2) = 54 [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ की गणना करनी है।
$P(X=0) = {}^{6}C_{0} (\frac{2}{3})^{0} (\frac{1}{3})^{6} = 1 \times 1 \times \frac{1}{729} = \frac{1}{729}$.
$P(X=1) = {}^{6}C_{1} (\frac{2}{3})^{1} (\frac{1}{3})^{5} = 6 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{243} = \frac{12}{729}$.
$P(X=2) = {}^{6}C_{2} (\frac{2}{3})^{2} (\frac{1}{3})^{4} = 15 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{81} = \frac{60}{729}$.
इनका योग करने पर,$P(X \leq 2) = \frac{1 + 12 + 60}{729} = \frac{73}{729}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$54 P(X \leq 2) = 54 \times \frac{73}{729} = \frac{2 \times 73}{27} = \frac{146}{27}$।

(C) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $np = \alpha$ और प्रसरण $npq = \frac{\alpha}{3}$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{\alpha/3}{\alpha} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
दिया गया है कि $P(X=1) = \frac{4}{243}$,हम सूत्र $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ का उपयोग करते हैं।
${}^{n}C_{1} (\frac{2}{3})^{1} (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{4}{243} \implies n \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3^{n-1}} = \frac{4}{243} \implies \frac{2n}{3^{n}} = \frac{4}{243} \implies \frac{n}{3^{n}} = \frac{2}{243}$.
चूंकि $3^{5} = 243$,इसलिए $n=6$ है।
अब,हम $P(X=4 \text{ या } 5) = P(X=4) + P(X=5)$ की गणना करते हैं।
$P(X=4) = {}^{6}C_{4} (\frac{2}{3})^{4} (\frac{1}{3})^{2} = 15 \cdot \frac{16}{81} \cdot \frac{1}{9} = \frac{240}{729} = \frac{80}{243}$.
$P(X=5) = {}^{6}C_{5} (\frac{2}{3})^{5} (\frac{1}{3})^{1} = 6 \cdot \frac{32}{243} \cdot \frac{1}{3} = \frac{192}{729} = \frac{64}{243}$.
$P(X=4 \text{ या } 5) = \frac{80}{243} + \frac{64}{243} = \frac{144}{243} = \frac{16}{27}$.

(B) मान लीजिए $\mu = np$ माध्य है और $\sigma^2 = npq$ द्विपद वितरण $X \sim B(n, p)$ का प्रसरण है।
दिया गया है कि $\mu + \sigma^2 = 24$ और $\mu \sigma^2 = 128$ है।
मान लीजिए $x = \mu$ और $y = \sigma^2$ है। तो $x + y = 24$ और $xy = 128$ है।
द्विघात समीकरण $t^2 - 24t + 128 = 0$ के मूल $t = 16$ और $t = 8$ हैं।
चूंकि $\mu > \sigma^2$ (क्योंकि $q < 1$),इसलिए $\mu = 16$ और $\sigma^2 = 8$ है।
अतः,$np = 16$ और $npq = 8$ है। इनका भाग देने पर $q = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p = 1 - q$,इसलिए $p = \frac{1}{2}$ है।
अतः $n \times \frac{1}{2} = 16$,जिससे $n = 32$ प्राप्त होता है।
हमें $P(X > n - 3) = P(X > 29) = P(X = 30) + P(X = 31) + P(X = 32)$ ज्ञात करना है।
$P(X = r) = {}^{n}C_r p^r q^{n-r} = {}^{32}C_r (\frac{1}{2})^r (\frac{1}{2})^{32-r} = \frac{{}^{32}C_r}{2^{32}}$ है।
अतः,$P(X > 29) = \frac{{}^{32}C_{30} + {}^{32}C_{31} + {}^{32}C_{32}}{2^{32}} = \frac{k}{2^{32}}$ है।
इस प्रकार,$k = {}^{32}C_{30} + {}^{32}C_{31} + {}^{32}C_{32} = {}^{32}C_2 + {}^{32}C_1 + {}^{32}C_0$ है।
$k = \frac{32 \times 31}{2} + 32 + 1 = 496 + 32 + 1 = 529$ है।

(D) माना माध्य $m = np$ और प्रसरण $v = npq$ है,जहाँ $p + q = 1$ है।
दिया है,योग $m + v = 82.5 = \frac{165}{2}$ और गुणनफल $mv = 1350$ है।
चूँकि $m$ और $v$ द्विघात समीकरण $x^2 - (m+v)x + mv = 0$ के मूल हैं,इसलिए:
$x^2 - \frac{165}{2}x + 1350 = 0$
$2x^2 - 165x + 2700 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{165 \pm \sqrt{165^2 - 4(2)(2700)}}{4} = \frac{165 \pm \sqrt{5625}}{4} = \frac{165 \pm 75}{4}$
अतः,$x_1 = 60$ और $x_2 = 22.5$ प्राप्त होते हैं।
द्विपद बंटन के लिए $m > v$ होता है,इसलिए $m = 60$ और $v = 22.5$ है।
अब,$v = mq \implies 22.5 = 60q \implies q = \frac{3}{8}$ है।
अतः $p = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ है।
अंत में,$m = np \implies 60 = n \times \frac{5}{8} \implies n = 96$ है।

(D) मान लीजिए $p = \frac{1}{4}$ लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता है और $q = 1 - p = \frac{3}{4}$ लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता है।
शूटर द्वारा ठीक $6$ गोलियां चलाने और $3$ बार लक्ष्य को भेदने के लिए,$6^{th}$ गोली $3^{rd}$ सफल हिट होनी चाहिए।
इसका मतलब है कि पहले $5$ शॉट्स में,शूटर ने ठीक $2$ बार लक्ष्य को भेदा होगा और $3$ बार चूका होगा।
इस घटना की प्रायिकता नेगेटिव बाइनोमियल डिस्ट्रीब्यूशन के तर्क द्वारा दी गई है:
$P = \binom{5}{2} p^2 q^3 \times p = \binom{5}{2} p^3 q^3$.
मान रखने पर:
$P = 10 \times \left(\frac{1}{4}\right)^3 \times \left(\frac{3}{4}\right)^3 = 10 \times \frac{1}{64} \times \frac{27}{64} = \frac{270}{4096}$.
दशमलव मान की गणना करने पर:
$P = \frac{270}{4096} \approx 0.0659179$.
यह मान $(0.0658, 0.0660)$ अंतराल में स्थित है।

(A) घटना $E_1$ के लिए,छह निष्पक्ष पासे फेंके जाते हैं। इस बात की प्रायिकता कि कोई भी पासा छह न दिखाए,$(\frac{5}{6})^6$ है। अतः,$p_1 = 1 - (\frac{5}{6})^6 = 1 - 0.3349 = 0.6651$.
घटना $E_2$ के लिए,बारह निष्पक्ष पासे फेंके जाते हैं। मान लीजिए $X$ छह दर्शाने वाले पासों की संख्या है। $X$ द्विपद बंटन $B(n=12, p=\frac{1}{6})$ का पालन करता है।
$p_2 = P(X \geq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$.
$P(X=0) = (\frac{5}{6})^{12} \approx 0.1122$.
$P(X=1) = \binom{12}{1} (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^{11} = 12 \times \frac{1}{6} \times 0.1346 \approx 0.2692$.
$p_2 = 1 - (0.1122 + 0.2692) = 1 - 0.3814 = 0.6186$.
चूंकि $0.6651 > 0.6186$,इसलिए $p_1 > p_2$ है।

(D) मान लीजिए $X_i$ $i$-वें प्रयास में बक्से $B_1$ में डाली गई गेंदों की संख्या है।
प्रत्येक प्रयास में,$D_1$ पर $j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ और $D_2$ पर $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ आता है।
यदि $k=1$ है तो बक्से $B_1$ में $j$ गेंदें डाली जाती हैं,और यदि $k \neq 1$ है तो $0$ गेंदें डाली जाती हैं।
$n$ प्रयासों के बाद $B_1$ में अधिकतम एक गेंद होने के लिए,या तो सभी $n$ प्रयासों में शून्य गेंदें डाली जाएं,या एक प्रयास में ठीक एक गेंद और शेष $n-1$ प्रयासों में शून्य गेंदें डाली जाएं।
स्थिति $1$: सभी $n$ प्रयासों में शून्य गेंदें डाली जाएं। यह तब होता है जब प्रत्येक प्रयास में $k \neq 1$ हो। प्रायिकता $(\frac{5}{6})^n$ है।
स्थिति $2$: एक प्रयास में ठीक एक गेंद और शेष में शून्य गेंदें डाली जाएं। यह तब होता है जब एक प्रयास में $j=1$ और $k=1$ हो (प्रायिकता $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$),और शेष $n-1$ प्रयासों में $k \neq 1$ हो (प्रायिकता $(\frac{5}{6})^{n-1}$)।
चूंकि जिस प्रयास में गेंद डाली जाती है उसके लिए $n$ विकल्प हैं,प्रायिकता $n \times \frac{1}{36} \times (\frac{5}{6})^{n-1} = n \times \frac{5^{n-1}}{6^{n-1}} \times \frac{1}{6^2}$ है।
कुल प्रायिकता = $(\frac{5}{6})^n + n \times \frac{5^{n-1}}{6^{n-1}} \times \frac{1}{6^2}$।

(B) मान लीजिए $H$ चितों की संख्या है और $T$ पटों की संख्या है। चूंकि सिक्का $10$ बार उछाला जाता है,$H + T = 10$ है।
कुल स्कोर $S = 1 \times H + 2 \times T = H + 2(10 - H) = 20 - H$ द्वारा प्राप्त होता है।
हमें $K$ का सबसे बड़ा मान ज्ञात करना है जिसके लिए $P(S \geq K) > \frac{1}{2}$ हो।
$S = 20 - H$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P(20 - H \geq K) = P(H \leq 20 - K) > \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $m = 20 - K$ है। हमें $P(H \leq m) > \frac{1}{2}$ की आवश्यकता है।
$H$ का प्रायिकता वितरण $n = 10$ और $p = \frac{1}{2}$ के साथ द्विपद (binomial) है।
$P(H \leq m) = \frac{1}{2^{10}} \sum_{i=0}^{m} \binom{10}{i}$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{i=0}^{10} \binom{10}{i} = 2^{10} = 1024$ है। चूंकि वितरण सममित है,$P(H \leq 4) = \sum_{i=0}^{4} \binom{10}{i} / 1024 = (1 + 10 + 45 + 120 + 210) / 1024 = 386 / 1024 < \frac{1}{2}$ है।
$P(H \leq 5) = (386 + \binom{10}{5}) / 1024 = (386 + 252) / 1024 = 638 / 1024 > \frac{1}{2}$ है।
अतः,$m$ का सबसे बड़ा मान $5$ है।
चूंकि $m = 20 - K$ है,इसलिए $5 = 20 - K$,जिससे $K = 15$ प्राप्त होता है।

(D) कुल प्रश्नों की संख्या $n = 8$ है।
प्रत्येक प्रश्न में $4$ विकल्प हैं,जिसका अर्थ है कि $1$ सही विकल्प और $3$ गलत विकल्प हैं।
छात्र को $8$ में से ठीक $5$ सही उत्तर चुनने हैं।
$5$ प्रश्नों को सही चुनने के तरीकों की संख्या $\binom{8}{5}$ द्वारा दी जाती है।
$5$ सही प्रश्नों के लिए,सही विकल्प चुनने का केवल $1$ तरीका है।
शेष $8 - 5 = 3$ गलत प्रश्नों के लिए,प्रत्येक का उत्तर $3$ अलग-अलग तरीकों से दिया जा सकता है (क्योंकि $4$ विकल्प हैं और $1$ सही है,इसलिए $4 - 1 = 3$ गलत हैं)।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $\binom{8}{5} \times (1)^5 \times (3)^3$ है।
गणना करने पर: $\binom{8}{5} = \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
कुल तरीके $= 56 \times 1 \times 27 = 1512$.

(B) पासे के फलक $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ हैं। गुणनफल धनात्मक तभी होगा जब कोई भी परिणाम $0$ न हो और ऋणात्मक परिणामों की संख्या सम हो।
$P(\text{धनात्मक}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$,$P(\text{ऋणात्मक}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$,$P(0) = \frac{1}{6}$.
स्थिति $1$: $0$ ऋणात्मक,$5$ धनात्मक: $\binom{5}{0} (\frac{1}{2})^5 = \frac{81}{2592}$.
स्थिति $2$: $2$ ऋणात्मक,$3$ धनात्मक: $\binom{5}{2} (\frac{1}{3})^2 (\frac{1}{2})^3 = \frac{360}{2592}$.
स्थिति $3$: $4$ ऋणात्मक,$1$ धनात्मक: $\binom{5}{4} (\frac{1}{3})^4 (\frac{1}{2})^1 = \frac{80}{2592}$.
कुल प्रायिकता $= \frac{81 + 360 + 80}{2592} = \frac{521}{2592}$.

(B) कुल गेंदें = $6$। चूंकि गेंदों को प्रतिस्थापन के साथ निकाला जाता है,$k$ गेंदों को निकालने के लिए कुल परिणाम $6^k$ हैं।
$p$ के लिए: दो गेंदें निकाली जाती हैं। दोनों एक ही रंग की हैं। रंग के लिए $6$ विकल्प हैं,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $6$ है। अतः,$p = \frac{6}{6^2} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$।
$q$ के लिए: चार गेंदें निकाली जाती हैं। ठीक तीन गेंदें एक ही रंग की हैं।
चरण $1$: वह रंग चुनें जो $3$ बार आता है ($6$ तरीके)।
चरण $2$: $4$ प्रयासों में इन $3$ गेंदों का स्थान चुनें ($^4C_3 = 4$ तरीके)।
चरण $3$: शेष $1$ गेंद का रंग चुनें ($5$ तरीके)।
अनुकूल परिणामों की संख्या = $6 \times 4 \times 5 = 120$।
अतः,$q = \frac{120}{6^4} = \frac{120}{1296} = \frac{5}{54}$।
अनुपात $p : q = \frac{1}{6} : \frac{5}{54} = \frac{9}{54} : \frac{5}{54} = 9 : 5$।
यहाँ $m = 9$ और $n = 5$ हैं,जो सह-अभाज्य हैं।
इसलिए,$m + n = 9 + 5 = 14$।

(B) द्विपद बंटन $B(n, p)$ के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है कि माध्य और प्रसरण का योग $5$ है: $np + npq = 5 \Rightarrow np(1+q) = 5$.
दिया गया है कि माध्य और प्रसरण का गुणनफल $6$ है: $np \cdot npq = 6 \Rightarrow n^2p^2q = 6$.
पहले समीकरण से,$np = \frac{5}{1+q}$। इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर:
$(\frac{5}{1+q})^2 \cdot q = 6 \Rightarrow 25q = 6(1+q)^2$.
$25q = 6(1 + 2q + q^2) \Rightarrow 6q^2 + 12q + 6 = 25q$.
$6q^2 - 13q + 6 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $6q^2 - 9q - 4q + 6 = 0 \Rightarrow 3q(2q-3) - 2(2q-3) = 0$.
$(3q-2)(2q-3) = 0$। चूँकि $q < 1$,इसलिए $q = \frac{2}{3}$।
तब $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$।
$np(1+q) = 5$ का उपयोग करने पर: $n(\frac{1}{3})(1 + \frac{2}{3}) = 5 \Rightarrow n(\frac{1}{3})(\frac{5}{3}) = 5 \Rightarrow n(\frac{5}{9}) = 5 \Rightarrow n = 9$.
अंत में,$6(n+p-q) = 6(9 + \frac{1}{3} - \frac{2}{3}) = 6(9 - \frac{1}{3}) = 54 - 2 = 52$.

(B) दो पासों को फेंकने पर कुल परिणाम $6 \times 6 = 36$ होते हैं।
योग $5$ प्राप्त करने वाले परिणाम $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ हैं,जो कि $4$ परिणाम हैं।
सफलता की प्रायिकता $p = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = r) = {}^nC_r p^r q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = 5$ है।
$P(\text{कम से कम } 4 \text{ सफलताएँ}) = P(X = 4) + P(X = 5)$।
$P(X = 4) = {}^5C_4 \times (\frac{1}{9})^4 \times (\frac{8}{9})^1 = 5 \times \frac{1}{9^4} \times \frac{8}{9} = \frac{40}{9^5} = \frac{40}{3^{10}}$।
$P(X = 5) = {}^5C_5 \times (\frac{1}{9})^5 \times (\frac{8}{9})^0 = 1 \times \frac{1}{9^5} = \frac{1}{3^{10}}$।
कुल प्रायिकता $= \frac{40}{3^{10}} + \frac{1}{3^{10}} = \frac{41}{3^{10}} = \frac{41 \times 3}{3^{11}} = \frac{123}{3^{11}}$।
इसे $\frac{k}{3^{11}}$ के साथ तुलना करने पर,$k = 123$ प्राप्त होता है।

(D) माना विषम संख्या आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है।
दिया गया है कि $P(\text{विषम } 7 \text{ बार}) = P(\text{विषम } 9 \text{ बार})$.
द्विपद वितरण सूत्र $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^r q^{n-r}$ का उपयोग करने पर:
${}^{n}C_{7} (\frac{1}{2})^7 (\frac{1}{2})^{n-7} = {}^{n}C_{9} (\frac{1}{2})^9 (\frac{1}{2})^{n-9}$
${}^{n}C_{7} = {}^{n}C_{9}$
अतः $n = 7+9 = 16$.
अब,$16$ बार पासा उछालने पर सम संख्या दो बार आने की प्रायिकता:
$P(\text{सम } 2 \text{ बार}) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{16} = \frac{16 \times 15}{2} \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{120}{2^{16}} = \frac{60}{2^{15}}$.
अतः $k = 60$.

(C) द्विपद वितरण $B(n, p)$ के लिए,माध्य $np$ है और प्रसरण $npq$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है $np - npq = 1$,अतः $np(1-q) = 1$,जिसका अर्थ है $np^2 = 1$।
दिया गया है $2 P(X=2) = 3 P(X=1)$,द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
$2 \binom{n}{2} p^2 q^{n-2} = 3 \binom{n}{1} p^1 q^{n-1}$
$2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} p^2 q^{n-2} = 3n p q^{n-1}$
$(n-1) p = 3q$
चूँकि $q = 1-p$,इसलिए $(n-1)p = 3(1-p) \Rightarrow np - p = 3 - 3p \Rightarrow np + 2p = 3$।
$np^2 = 1$ से,$n = \frac{1}{p^2}$ प्राप्त होता है। इस मान को $np + 2p = 3$ में रखने पर:
$\frac{1}{p^2} \cdot p + 2p = 3 \Rightarrow \frac{1}{p} + 2p = 3 \Rightarrow 2p^2 - 3p + 1 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(2p-1)(p-1) = 0$। चूँकि $p < 1$,इसलिए $p = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः $n = \frac{1}{(1/2)^2} = 4$।
हमें $n^2 P(X > 1) = 16(1 - (P(X=0) + P(X=1)))$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = \binom{4}{0} (1/2)^4 = 1/16$।
$P(X=1) = \binom{4}{1} (1/2)^1 (1/2)^3 = 4/16 = 1/4$।
$P(X > 1) = 1 - (1/16 + 4/16) = 1 - 5/16 = 11/16$।
अतः,$n^2 P(X > 1) = 16 \times \frac{11}{16} = 11$।

(A) माना पट (tail) आने की प्रायिकता $P(T) = p$ है। तब चित (head) आने की प्रायिकता $P(H) = 2p$ होगी।
चूंकि $P(H) + P(T) = 1$,इसलिए $2p + p = 1$,जिससे $3p = 1$,अर्थात $p = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(T) = \frac{1}{3}$ और $P(H) = \frac{2}{3}$ है।
हमें $3$ उछालों में $2$ पट और $1$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
$2$ पट और $1$ चित को व्यवस्थित करने के तरीके $\binom{3}{1} = 3$ हैं (जैसे $TTH, THT, HTT$)।
प्रत्येक विन्यास के लिए प्रायिकता $P(T) \times P(T) \times P(H) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{27}$ है।
अतः,कुल प्रायिकता $3 \times \frac{2}{27} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$ है।

(C) $P(W) = \frac{1}{3}, P(L) = \frac{2}{3}$. मान लीजिए $x$ जीते गए मैचों की संख्या है और $y$ हारे गए मैचों की संख्या है। दिया गया है $x+y=10$ और $|x-y| \leq 2$.
स्थिति $I$: $|x-y|=0 \Rightarrow x=y$. चूँकि $x+y=10$,हमें $x=5, y=5$ प्राप्त होता है। प्रायिकता $P(x=5) = {}^{10}C_5 (\frac{1}{3})^5 (\frac{2}{3})^5 = {}^{10}C_5 \frac{2^5}{3^{10}}$ है।
स्थिति $II$: $|x-y|=1$. चूँकि $x+y=10$,$x-y = \pm 1$ का अर्थ है $2x = 11$ या $2x = 9$,जिसका कोई पूर्णांक हल नहीं है। अतः,$P(|x-y|=1) = 0$.
स्थिति $III$: $|x-y|=2$. इसका अर्थ है $x-y=2$ या $x-y=-2$.
यदि $x-y=2$ और $x+y=10$,तो $x=6, y=4$.
यदि $x-y=-2$ और $x+y=10$,तो $x=4, y=6$.
$P(|x-y|=2) = P(x=6) + P(x=4) = {}^{10}C_6 (\frac{1}{3})^6 (\frac{2}{3})^4 + {}^{10}C_4 (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^6 = {}^{10}C_6 \frac{2^4}{3^{10}} + {}^{10}C_4 \frac{2^6}{3^{10}}$.
कुल प्रायिकता $p = P(|x-y|=0) + P(|x-y|=2) = \frac{{}^{10}C_5 2^5 + {}^{10}C_6 2^4 + {}^{10}C_4 2^6}{3^{10}}$.
$3^9 p = \frac{{}^{10}C_5 2^5 + {}^{10}C_6 2^4 + {}^{10}C_4 2^6}{3} = \frac{252 \times 32 + 210 \times 16 + 210 \times 64}{3} = \frac{8064 + 3360 + 13440}{3} = \frac{24864}{3} = 8288$.

(B) $C_1$ के लिए,$P(H) = \frac{2}{3}$। चितों की संख्या $\alpha$ द्विपद वितरण $B(2, \frac{2}{3})$ का पालन करती है।
$P(\alpha = 0) = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$
$P(\alpha = 1) = 2 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{9}$
$P(\alpha = 2) = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$
$C_2$ के लिए,$P(H) = \frac{1}{3}$। चितों की संख्या $\beta$ द्विपद वितरण $B(2, \frac{1}{3})$ का पालन करती है।
$P(\beta = 0) = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$
$P(\beta = 1) = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$
$P(\beta = 2) = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$
$x^2 - \alpha x + \beta = 0$ के मूल वास्तविक और समान होंगे यदि विविक्तकर $D = \alpha^2 - 4\beta = 0$ हो,अर्थात $\alpha^2 = 4\beta$।
इस शर्त को पूरा करने वाले संभावित जोड़े $(\alpha, \beta)$ $(0, 0)$ और $(2, 1)$ हैं।
प्रायिकता $= P(\alpha=0)P(\beta=0) + P(\alpha=2)P(\beta=1)$
$= (\frac{1}{9} \times \frac{4}{9}) + (\frac{4}{9} \times \frac{4}{9}) = \frac{4}{81} + \frac{16}{81} = \frac{20}{81}$।