Binomial distribution Questions in Hindi

(A) जब दो सिक्कों को $5$ बार उछाला जाता है,तो कुल उछालों की संख्या $2 \times 5 = 10$ होती है।
माना $n = 10$ कुल परीक्षणों की संख्या है।
एक उछाल में चित आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है।
एक उछाल में पट आने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
हमें $10$ उछालों में $5$ चित और $5$ पट प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
द्विपद बंटन सूत्र $P(X = r) = ^nC_r p^r q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $r = 5$:
$P(X = 5) = ^{10}C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^5$
$P(X = 5) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{10}$
$P(X = 5) = 252 \times \frac{1}{1024} = \frac{252}{1024} = \frac{63}{256}$.

(C) दिया गया है कि सफलता की प्रायिकता $p = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि $q = 1 - p$,इसलिए $q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
मानक विचलन $\sigma = 3$ है,इसलिए प्रसरण $\sigma^2 = 9$ होगा।
द्विपद बंटन के लिए,प्रसरण $npq = 9$ द्वारा दिया जाता है।
$p$ और $q$ के मान रखने पर: $n \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = 9$।
$n \times \frac{3}{16} = 9 \Rightarrow n = 9 \times \frac{16}{3} = 48$।
द्विपद बंटन का माध्य $\mu = np$ होता है।
अतः,$\mu = 48 \times \frac{1}{4} = 12$।

(B) एक निष्पक्ष सिक्के के लिए,एक उछाल में चित प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है और पट प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि सिक्के को $n = 10$ बार उछाला जाता है,यह द्विपद बंटन $B(n, p) = B(10, \frac{1}{2})$ का पालन करता है।
ठीक $k = 6$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता का सूत्र $P(X = k) = {}^{n}C_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ है।
मान रखने पर: $P(X = 6) = {}^{10}C_6 \cdot (\frac{1}{2})^6 \cdot (\frac{1}{2})^{10-6}$.
$P(X = 6) = {}^{10}C_6 \cdot (\frac{1}{2})^{10}$.
${}^{10}C_6 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ की गणना करने पर।
$P(X = 6) = 210 \times \frac{1}{1024} = \frac{210}{1024} = \frac{105}{512}$.

(A) जब एक पासे को एक बार फेंका जाता है,तो $4$ प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{1}{6}$ है।
$4$ न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
दो बार फेंकने पर,कम से कम एक बार $4$ प्राप्त करने की प्रायिकता $1 - P(\text{दो बार फेंकने पर एक भी बार } 4 \text{ न आए})$ द्वारा दी जाती है।
दो बार फेंकने पर $4$ न आने की प्रायिकता $q^2 = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - \frac{25}{36} = \frac{36 - 25}{36} = \frac{11}{36}$ है।

(A) द्विपद बंटन के लिए,माध्य $np = 4$ और प्रसरण $npq = 2$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,$\frac{npq}{np} = \frac{2}{4}$,जिससे $q = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 4$ में रखने पर,$n(\frac{1}{2}) = 4$,जिससे $n = 8$ प्राप्त होता है।
द्विपद बंटन का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ है।
$X = 1$ के लिए,$P(X = 1) = \binom{8}{1} (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^{8-1} = 8 \times (\frac{1}{2})^8 = 8 \times \frac{1}{256} = \frac{1}{32}$।

(B) माना $X$ एक सिक्के को $n$ बार उछालने पर प्राप्त चितों की संख्या है।
$X$ प्राचलों $n$ और $p = 1/2$ के साथ द्विपद बंटन (binomial distribution) का पालन करता है।
कम से कम एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \ge 1) > 0.8$ दी गई है।
हम जानते हैं कि $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$.
अतः,$1 - P(X = 0) > 0.8$,जिसका अर्थ है कि $P(X = 0) < 0.2$.
$n$ उछालों में शून्य चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X = 0) = ^nC_0 \times (1/2)^n = (1/2)^n$ है।
इस प्रकार,$(1/2)^n < 0.2$,जिसका अर्थ है $1/2^n < 1/5$.
इसे सरल करने पर $2^n > 5$ प्राप्त होता है।
यदि $n = 1$ है,तो $2^1 = 2 < 5$.
यदि $n = 2$ है,तो $2^2 = 4 < 5$.
यदि $n = 3$ है,तो $2^3 = 8 > 5$.
अतः,$n$ का न्यूनतम पूर्णांक मान $3$ है।

(A) मान लीजिए $p$ टेल प्राप्त करने की प्रायिकता है,इसलिए $p = \frac{1}{2}$.
मान लीजिए $q$ हेड प्राप्त करने की प्रायिकता है,इसलिए $q = \frac{1}{2}$.
यहाँ,$n = 100$ परीक्षण किए जाते हैं।
$k$ बार टेल प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद वितरण द्वारा दी जाती है: $P(X = k) = ^{100}C_k p^k q^{100-k}$.
हमें विषम संख्या में टेल प्राप्त करने की प्रायिकता चाहिए,जो $P(X = 1) + P(X = 3) + \dots + P(X = 99)$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $(q + p)^n = \sum_{k=0}^{n} {^{n}C_k} p^k q^{n-k}$ and $(q - p)^n = \sum_{k=0}^{n} {^{n}C_k} (-p)^k q^{n-k}$.
इन दो समीकरणों को घटाने पर: $(q + p)^n - (q - p)^n = 2 \times [{^{n}C_1} p^1 q^{n-1} + {^{n}C_3} p^3 q^{n-3} + \dots]$..
चूंकि $p = q = \frac{1}{2}$,इसलिए $q + p = 1$ और $q - p = 0$.
अतः,विषम $k$ के लिए प्रायिकताओं का योग $\frac{(q + p)^n - (q - p)^n}{2} = \frac{1^n - 0^n}{2} = \frac{1}{2}$ है।

(D) मान लीजिए कि $p$ पासे के एक बार फेंकने पर विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है।
पासे पर संभावित परिणाम $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं।
विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5\}$ हैं।
अतः,$p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
चूंकि पासे को $n = 2$ बार फेंका जाता है,हम द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करेंगे।
दो सफलताओं के लिए,$k = 2$.
$P(X = 2) = {}^2C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{2-2} = 1 \times \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{4}$.

(A) एक द्विपद बंटन के लिए,माध्य $\mu = np = 4$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq = 2$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,$\frac{npq}{np} = \frac{2}{4}$,जिसका अर्थ है $q = \frac{1}{2}$।
चूंकि $p + q = 1$,हमें $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 4$ में रखने पर,$n(\frac{1}{2}) = 4$,अतः $n = 8$ प्राप्त होता है।
$X$ सफलताओं की प्रायिकता $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
$k = 2$ के लिए,$P(X = 2) = \binom{8}{2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^{8-2} = \binom{8}{2} (\frac{1}{2})^8$।
संचय की गणना करने पर,$\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$।
अतः,$P(X = 2) = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256}$।

(B) द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = ^nC_k p^k q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें अनुपात $\frac{P(X = k)}{P(X = k - 1)}$ का मूल्यांकन करना है।
$\frac{P(X = k)}{P(X = k - 1)} = \frac{^nC_k p^k q^{n-k}}{^nC_{k-1} p^{k-1} q^{n-k+1}}$
संचय के सूत्र का उपयोग करते हुए,$^nC_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{^nC_k}{^nC_{k-1}} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{(k-1)!(n-k+1)!}{n!} = \frac{n-k+1}{k}$
इस मान को अनुपात में रखने पर:
$\frac{P(X = k)}{P(X = k - 1)} = \left( \frac{n-k+1}{k} \right) \cdot \frac{p^k q^{n-k}}{p^{k-1} q^{n-k+1}} = \frac{n-k+1}{k} \cdot \frac{p}{q}$.

(C) मान लीजिए $X$ यादृच्छिक चर है जो $2$ प्रयासों में प्राप्त इक्कों की संख्या को दर्शाता है।
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 2$ और $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
सफलता की प्रायिकता (इक्का प्राप्त करना) $p = \frac{1}{13}$ है और असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{12}{13}$ है।
द्विपद वितरण का माध्य $E(X) = np$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$E(X) = 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$.

(A) मान लीजिए कि एक शॉट में लक्ष्य को भेदने की संभावना $p$ है,इसलिए $p = \frac{10}{100} = 0.1$.
मान लीजिए कि एक शॉट में लक्ष्य से चूकने की संभावना $q$ है,इसलिए $q = 1 - p = 0.9$.
मान लीजिए कि फायर किए गए राउंड की संख्या $n$ है।
$n$ शॉट्स में कम से कम एक बार लक्ष्य को भेदने की संभावना $P(\text{at least one hit}) = 1 - P(\text{no hits}) = 1 - q^n$ द्वारा दी जाती है।
हम चाहते हैं कि यह संभावना कम से कम $50\%$ हो,इसलिए $1 - (0.9)^n \ge 0.5$.
यह सरल होकर $(0.9)^n \le 0.5$ हो जाता है।
दोनों तरफ लघुगणक (logarithm) लेने पर: $n \log(0.9) \le \log(0.5)$.
चूंकि $\log(0.9)$ ऋणात्मक है,इसलिए असमानता का चिह्न बदल जाता है: $n \ge \frac{\log(0.5)}{\log(0.9)}$.
$\log(0.5) \approx -0.3010$ और $\log(0.9) \approx -0.04576$ का उपयोग करने पर,हमें $n \ge \frac{-0.3010}{-0.04576} \approx 6.57$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए राउंड की न्यूनतम संख्या $7$ है।

(A) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $\mu = np = 3$ है और मानक विचलन $\sigma = \sqrt{npq} = \frac{3}{2}$ है।
मानक विचलन का वर्ग करने पर,हमें $npq = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
$npq$ को $np$ से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{9/4}{3} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ है।
अब,$p = \frac{1}{4}$ को $np = 3$ में रखने पर,हमें $n(\frac{1}{4}) = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 12$ है।
अतः,द्विपद वितरण $(q + p)^n = (\frac{3}{4} + \frac{1}{4})^{12}$ है।

(A) मान लीजिए $X$ पासे पर $1, 3$ या $4$ आने की संख्या है।
तब $X$ प्राचलों $N = 2n + 1$ और $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ के साथ द्विपद वितरण का पालन करता है।
हमारे पास $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
$1, 3$ या $4$ अधिकतम $n$ बार प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \le n) = \sum_{k=0}^{n} {}^{2n+1}C_k p^k q^{2n+1-k}$ है।
चूंकि $p = q = \frac{1}{2}$,यह $P(X \le n) = \sum_{k=0}^{n} {}^{2n+1}C_k (\frac{1}{2})^{2n+1}$ बन जाता है।
मान लीजिए $S = \sum_{k=0}^{n} {}^{2n+1}C_k$. हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{2n+1} {}^{2n+1}C_k = 2^{2n+1}$.
चूंकि ${}^{2n+1}C_k = {}^{2n+1}C_{2n+1-k}$,हमारे पास $2S = \sum_{k=0}^{n} {}^{2n+1}C_k + \sum_{k=n+1}^{2n+1} {}^{2n+1}C_k = 2^{2n+1}$ है।
अतः,$S = 2^{2n}$.
इसलिए,आवश्यक प्रायिकता $S \times (\frac{1}{2})^{2n+1} = 2^{2n} \times \frac{1}{2^{2n+1}} = \frac{1}{2}$ है।

(C) सफेद गेंद निकलने की प्रायिकता $p = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ है।
$7^{th}$ प्रयास पर $4^{th}$ बार सफेद गेंद निकलने के लिए,पहले $6$ प्रयासों में ठीक $3$ सफेद गेंदें आनी चाहिए और $7^{th}$ प्रयास में सफेद गेंद आनी चाहिए।
प्रायिकता: $P = \binom{6}{3} \times p^3 \times (1-p)^3 \times p$.
$p = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$P = 20 \times (\frac{1}{2})^3 \times (\frac{1}{2})^3 \times \frac{1}{2} = 20 \times (\frac{1}{2})^7 = \frac{20}{128} = \frac{5}{32}$.

(B) एक निष्पक्ष सिक्के को $n$ बार उछालने पर $k$ बार चित आने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र द्वारा दी जाती है: $P(X = k) = \binom{n}{k} (\frac{1}{2})^n$.
दिया गया है कि $P(X = 6) = P(X = 8)$,इसलिए:
$\binom{n}{6} (\frac{1}{2})^n = \binom{n}{8} (\frac{1}{2})^n$.
यह सरल होकर $\binom{n}{6} = \binom{n}{8}$ हो जाता है।
गुणधर्म $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि यदि $\binom{n}{a} = \binom{n}{b}$,तो या तो $a = b$ या $a + b = n$ होता है।
चूंकि $6 \neq 8$,इसलिए $6 + 8 = n$ होगा।
अतः,$n = 14$।

(A) जब दो सिक्कों को $5$ बार उछाला जाता है,तो कुल उछालों की संख्या $2 \times 5 = 10$ होती है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^{10} = 1024$ है।
हमें $10$ उछालों में ठीक $5$ हेड और $5$ टेल प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
$10$ कुल स्थानों में से हेड के लिए $5$ स्थान चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 10$ और $r = 5$ है,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $\binom{10}{5} = \frac{10!}{5! \times 5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ है।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{252}{1024}$ है।
अंश और हर को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{63}{256}$ प्राप्त होता है।

(C) कम से कम एक सफलता मिलने की प्रायिकता $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ द्वारा दी जाती है।
द्विपद वितरण के लिए,$P(X = 0) = {}^nC_0 p^0 q^n = q^n$,जहाँ $q = 1 - p = 1 - 1/4 = 3/4$ है।
हमें दिया गया है कि $P(X \geq 1) \geq 9/10$,जिसका अर्थ है $1 - (3/4)^n \geq 9/10$।
असमानता को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $1 - 9/10 \geq (3/4)^n$ प्राप्त होता है,इसलिए $(3/4)^n \leq 1/10$।
दोनों पक्षों का $10$ आधार पर लघुगणक (logarithm) लेने पर,हमें $n \log_{10}(3/4) \leq \log_{10}(1/10)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\log_{10}(1/10) = -1$,इसलिए $n(\log_{10} 3 - \log_{10} 4) \leq -1$ है।
$-1$ से गुणा करने पर असमानता का चिह्न बदल जाएगा: $n(\log_{10} 4 - \log_{10} 3) \geq 1$।
अतः,$n \geq \frac{1}{\log_{10} 4 - \log_{10} 3}$।

(D) एक द्विपद बंटन के लिए,माध्य $\mu = np = 6$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq = 2$ होता है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,$\frac{npq}{np} = \frac{2}{6}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $q = \frac{1}{3}$ हो जाता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ होगा।
$np = 6$ में $p = \frac{2}{3}$ रखने पर,$n(\frac{2}{3}) = 6$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 6 \times \frac{3}{2} = 9$।
अतः,द्विपद बंटन $(q + p)^n$ अर्थात $(\frac{1}{3} + \frac{2}{3})^9$ है।

(D) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $E(X) = np = 2$ है और प्रसरण $Var(X) = npq = 1$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ का मान $np = 2$ में रखने पर,$n(\frac{1}{2}) = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 4$।
प्रायिकता $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ द्वारा दी जाती है।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए,$P(X = 0) = \binom{4}{0} (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$।

(A) माना कि $p$ वह प्रायिकता है कि एक व्यक्ति दवा से ठीक हो जाता है। दिया गया है $p = 75\% = 0.75 = 3/4$.
माना कि $n = 3$ लोगों की संख्या है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए तीनों लोगों के ठीक होने की प्रायिकता $P(X = 3) = p^3$ द्वारा दी जाती है।
$P(X = 3) = (3/4)^3 = 27/64$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) माना $n$ परीक्षणों की संख्या है,जहाँ $n = 6$ है।
माना $X$ एक यादृच्छिक चर है जो $4$ प्राप्त होने की संख्या को दर्शाता है।
चूंकि हम पासे के एक जोड़े को $6$ बार उछाल रहे हैं,इसलिए $4$ प्राप्त करने की अधिकतम संख्या $6$ हो सकती है।
हमें $4$ के ठीक सात बार आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,अर्थात $P(X = 7)$।
चूंकि परीक्षणों की संख्या $n = 6$,आवश्यक सफलताओं की संख्या $k = 7$ से कम है,इसलिए $6$ परीक्षणों में $7$ सफलताएं प्राप्त करना असंभव है।
अतः,$P(X = 7) = 0$ है।
चूंकि $0$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ (इनमें से कोई नहीं) है।

(C) जब एक सिक्के को $2n$ बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $2^{2n} = 4^n$ होती है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें चित और पट की संख्या समान नहीं है।
मान लीजिए $A'$ वह घटना है जिसमें चित और पट की संख्या समान है।
$A'$ के लिए,हमारे पास ठीक $n$ चित और $n$ पट होने चाहिए।
$2n$ उछालों में $n$ चित और $n$ पट को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या द्विपद गुणांक $\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{n!n!} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$ द्वारा दी जाती है।
घटना $A'$ की प्रायिकता $P(A') = \frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}} = \frac{(2n)!}{(n!)^2 \times 4^n}$ है।
घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{(2n)!}{(n!)^2 \times 4^n}$ है।

(B) माना $X$ एक सिक्के को $10$ बार उछालने पर चितों की संख्या है।
यह द्विपद बंटन का पालन करता है जहाँ $n = 10$,$p = 1/2$,और $q = 1 - p = 1/2$ है।
ठीक $x$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X = x) = {}^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x}$ द्वारा दी जाती है।
$x = 6$ के लिए:
$P(X = 6) = {}^{10}C_{6} \left(\frac{1}{2}\right)^{6} \left(\frac{1}{2}\right)^{10-6}$
$P(X = 6) = {}^{10}C_{6} \left(\frac{1}{2}\right)^{10}$
चूँकि ${}^{10}C_{6} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$,
$P(X = 6) = \frac{210}{2^{10}} = \frac{210}{1024} = \frac{105}{512}$.

(C) चरण $- 1$: द्विपद वितरण के लिए मापदंडों की पहचान करें।
प्रत्येक प्रश्न में $3$ विकल्प हैं और $1$ सही उत्तर है।
सफलता की प्रायिकता $p = \frac{1}{3}$.
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{2}{3}$.
प्रयासों की संख्या $n = 5$.
चरण $- 2$: $4$ या अधिक सही उत्तरों के लिए प्रायिकता की गणना करें।
हमें $P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ ज्ञात करना है।
द्विपद सूत्र $P(X = k) = ^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$k = 4$ के लिए:
$P(X = 4) = ^5C_4 \cdot (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^1 = 5 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3^5}$.
$k = 5$ के लिए:
$P(X = 5) = ^5C_5 \cdot (\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{2}{3})^0 = 1 \cdot \frac{1}{3^5} \cdot 1 = \frac{1}{3^5}$.
चरण $- 3$: प्रायिकताओं का योग करें।
$P(X \ge 4) = \frac{10}{3^5} + \frac{1}{3^5} = \frac{11}{3^5}$.
अतः,प्रायिकता $\frac{11}{3^5}$ है।

(C) माना पक्षी को मारने की प्रायिकता $p = 3/4$ है।
अतः,पक्षी को न मारने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - 3/4 = 1/4$ है।
व्यक्ति $n = 5$ बार प्रयास करता है।
$5$ प्रयासों में एक बार भी पक्षी को न मारने की प्रायिकता $q^n$ द्वारा दी जाती है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $(1/4)^5 = 1/1024$ है।

(A) मान लीजिए $X$ $5$ स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों में सफलताओं की संख्या है। $X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 5$ है।
सफलता की प्रायिकता $p$ है और विफलता की प्रायिकता $q = 1 - p$ है।
कम से कम एक विफलता की प्रायिकता $P(X < 5) = 1 - P(X = 5)$ है।
चूँकि $P(X = 5) = p^5$,इसलिए कम से कम एक विफलता की प्रायिकता $1 - p^5$ है।
हमें दिया गया है कि $1 - p^5 \ge 31/32$ है।
असमिका को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $1 - 31/32 \ge p^5$,जो सरल होकर $1/32 \ge p^5$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का पाँचवाँ मूल लेने पर: $(1/2)^5 \ge p^5$,जिसका अर्थ है कि $p \le 1/2$ है।
चूँकि $p$ एक प्रायिकता है,इसलिए $p \ge 0$ है।
अतः,$p \in [0, 1/2]$ है।

(D) $n=8$ सिक्कों को उछालने पर $x$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र द्वारा दी जाती है: $P(X=x) = {^nC_x} (p)^x (q)^{n-x}$,जहाँ $p = 1/2$ और $q = 1/2$ है।
कम से कम $6$ चित के लिए,हमें $P(X \ge 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)$ की गणना करनी होगी।
$P(X=6) = {^8C_6} (1/2)^8 = 28 \times (1/256) = 28/256$.
$P(X=7) = {^8C_7} (1/2)^8 = 8 \times (1/256) = 8/256$.
$P(X=8) = {^8C_8} (1/2)^8 = 1 \times (1/256) = 1/256$.
इन प्रायिकताओं का योग करने पर: $P(X \ge 6) = (28 + 8 + 1) / 256 = 37/256$.

(D) एक द्विपद वितरण के लिए,माध्य $np = 4$ और प्रसरण $npq = 2$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 4$ में रखने पर,$n \times \frac{1}{2} = 4$,जिसका अर्थ है $n = 8$।
द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ है।
$X = 2$ के लिए,$P(X = 2) = \binom{8}{2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^{8-2} = \binom{8}{2} (\frac{1}{2})^8$।
संचय की गणना करने पर,$\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$।
अतः,$P(X = 2) = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256}$।

(D) यह द्विपद वितरण का प्रश्न है जहाँ $n = 7$ (प्रयासों की संख्या),$k = 4$ (सफलता की संख्या),$p = \frac{1}{6}$ (एक बार पासा फेंकने पर $5$ आने की प्रायिकता),और $q = 1 - p = \frac{5}{6}$ ($5$ न आने की प्रायिकता) है।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X = k) = ^n{C_k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
$P(X = 4) = ^7{C_4} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^4 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{7-4}$
$P(X = 4) = ^7{C_4} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^4 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना $X$ सिक्का उछालने पर प्राप्त चितों की संख्या है। सिक्का निष्पक्ष होने के कारण,चित आने की प्रायिकता $p = 1/2$ और पट आने की प्रायिकता $q = 1/2$ है।
व्यक्ति तब जीतता है जब उसे पट की तुलना में अधिक चित मिलते हैं। $7$ उछालों में,व्यक्ति $4, 5, 6$ या $7$ चित प्राप्त करने पर जीतता है।
प्रायिकता द्विपद वितरण द्वारा दी जाती है:
$P(X \ge 4) = \sum_{k=4}^{7} \binom{7}{k} (1/2)^k (1/2)^{7-k} = \frac{1}{2^7} \sum_{k=4}^{7} \binom{7}{k}$
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{7} \binom{7}{k} = 2^7 = 128$ होता है।
समरूपता के गुणधर्म से,$\sum_{k=0}^{3} \binom{7}{k} = \sum_{k=4}^{7} \binom{7}{k} = \frac{128}{2} = 64$ होता है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{64}{128} = \frac{1}{2}$ है।

(A) माना $n = 5$ खेलों की संख्या है और $p = 1/2$ एक खेल जीतने की प्रायिकता है।
भारत कम से कम तीन खेल जीतता है यदि वे $3, 4,$ या $5$ खेल जीतते हैं।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X = k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $q = 1-p = 1/2$:
$P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$
$P(X \ge 3) = {^5C_3} (1/2)^5 + {^5C_4} (1/2)^5 + {^5C_5} (1/2)^5$
$P(X \ge 3) = (10 + 5 + 1) \times (1/2)^5$
$P(X \ge 3) = 16 \times (1/32) = 1/2$.

(D) जब दो सिक्के उछाले जाते हैं,तो एक प्रयास में चित की संख्या $0, 1,$ या $2$ हो सकती है।
$5$ प्रयासों में,कुल उछालों की संख्या $10$ है।
मान लीजिए $X$ एक सिक्के के $10$ स्वतंत्र उछालों में चित की कुल संख्या है।
$X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 10$ और $p = 1/2$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि $X$ विषम है,अर्थात $P(X \in \{1, 3, 5, 7, 9\})$।
$P(X \text{विषम}) = \sum_{k \in \{1, 3, 5, 7, 9\}} \binom{10}{k} (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{10-k} = (\frac{1}{2})^{10} \sum_{k \in \{1, 3, 5, 7, 9\}} \binom{10}{k}$।
द्विपद गुणांकों के गुण का उपयोग करते हुए,$\sum_{k \text{विषम}} \binom{n}{k} = 2^{n-1}$।
यहाँ,$n = 10$ है,इसलिए योग $2^{10-1} = 2^9$ है।
अतः,$P(X \text{विषम}) = \frac{2^9}{2^{10}} = \frac{1}{2}$।

(A) माना पासे पर प्राप्त अंक $X$ है।
शर्त के अनुसार मान $2$ से $5$ के बीच (सहित) होना चाहिए।
अनुकूल परिणाम $\{2, 3, 4, 5\}$ हैं,जिनकी संख्या $4$ है।
पासे पर कुल परिणाम $6$ हैं।
एक प्रयास में सफलता की प्रायिकता $p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ है।
$4$ बार उछालने पर,द्विपद वितरण के अनुसार $n=4$ और $k=4$ लेने पर:
अभीष्ट प्रायिकता $= \binom{4}{4} \left(\frac{2}{3}\right)^4 \left(\frac{1}{3}\right)^0 = \frac{16}{81}$.

(D) माना कि सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है। माना $X$ प्राप्त चितों की संख्या है।
$X$ प्राचलों $n$ और $p = 1/2$ के साथ द्विपद बंटन का पालन करता है।
हम चाहते हैं कि $P(X \geqslant 1) \geqslant 0.8$ हो।
यह $1 - P(X = 0) \geqslant 0.8$ के बराबर है।
$1 - (1/2)^n \geqslant 0.8$.
$(1/2)^n \leqslant 0.2$.
$(1/2)^n \leqslant 1/5$.
$2^n \geqslant 5$.
$n = 1$ के लिए,$2^1 = 2 < 5$.
$n = 2$ के लिए,$2^2 = 4 < 5$.
$n = 3$ के लिए,$2^3 = 8 \geqslant 5$.
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $3$ है।

(D) यहाँ सफलता की प्रायिकता $p = 3/4$,असफलता की प्रायिकता $q = 1/4$ और प्रयासों की संख्या $n = 5$ है।
कम से कम $3$ बार निशाना साधने की प्रायिकता $P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ होगी।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
$P(X=3) = \binom{5}{3} (3/4)^3 (1/4)^2 = 270/1024$.
$P(X=4) = \binom{5}{4} (3/4)^4 (1/4)^1 = 405/1024$.
$P(X=5) = \binom{5}{5} (3/4)^5 (1/4)^0 = 243/1024$.
कुल प्रायिकता: $P(X \ge 3) = (270 + 405 + 243) / 1024 = 918 / 1024 = 459 / 512$.

(D) एक निष्पक्ष पासे के लिए,विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता (सफलता) $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
प्रयासों की संख्या $n = 5$ है।
द्विपद वितरण का प्रसरण (variance) ज्ञात करने का सूत्र $\text{Variance} = npq$ है।
मान रखने पर: $\text{Variance} = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.

(D) पासे को एक बार उछालने पर विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
यहाँ परीक्षणों की संख्या $n = 5$ है।
द्विपद वितरण के लिए,प्रसरण का सूत्र $\text{Var}(X) = npq$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\text{Var}(X) = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.

(A) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $\mu = np$ द्वारा और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $np = 6$ और $npq = 4$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{npq}{np} = \frac{4}{6}$
$q = \frac{2}{3}$
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ है।
$p$ का मान माध्य के समीकरण में रखने पर:
$np = 6$
$n \times \frac{1}{3} = 6$
$n = 6 \times 3 = 18$ है।
अतः,$n$ का मान $18$ है।

(C) दोनों पासों पर समान अंक आने की प्रायिकता $p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।
यहाँ द्विपद बंटन सूत्र $P(X = r) = ^nC_r p^r q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = 4$,$r = 2$,$p = \frac{1}{6}$ और $q = 1 - p = \frac{5}{6}$ है।
अतः अभीष्ट प्रायिकता $P(X = 2) = ^4C_2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^{2} = 6 \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} = \frac{25}{216}$.

(A) जब एक सिक्के को $4$ बार उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणाम $2^4 = 16$ होते हैं।
माना $E$ कम से कम $1$ बार पट आने की घटना है।
इसकी पूरक घटना $E'$ यह है कि एक भी बार पट न आए (अर्थात सभी बार चित आए)।
$E'$ के लिए परिणामों की संख्या $1$ है (जो $HHHH$ है)।
अतः,एक भी बार पट न आने की प्रायिकता $P(E') = \frac{1}{16}$ है।
कम से कम $1$ बार पट आने की प्रायिकता $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ है।

(C) चूंकि $A$ और $B$ समान कौशल वाले हैं,इसलिए $A$ के एक खेल जीतने की प्रायिकता $p = 1/2$ है।
$n = 4$ खेलों में से $A$ के ठीक $k = 3$ खेल जीतने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र का पालन करती है:
$P(X = k) = { }^n C_k p^k (1-p)^{n-k}$
मान रखने पर:
$P(X = 3) = { }^4 C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(1-\frac{1}{2}\right)^{4-3}$
$P(X = 3) = 4 \times \left(\frac{1}{8}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right)$
$P(X = 3) = 4 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$

(A) माना $n = 5$ परीक्षणों की संख्या है और $X$ सम संख्या आने की घटना है।
एक पासे को फेंकने पर सम संख्या आने की प्रायिकता $p = 3/6 = 1/2$ है।
सम संख्या न आने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1/2$ है।
द्विपद बंटन सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए,हमें $P(X = 3)$ ज्ञात करना है:
$P(X = 3) = \binom{5}{3} \times (1/2)^3 \times (1/2)^{5-3}$
$P(X = 3) = 10 \times (1/8) \times (1/4)$
$P(X = 3) = 10/32 = 5/16$.

(A) मान लीजिए $p$ छात्र के तैराक होने की प्रायिकता है और $q$ छात्र के तैराक न होने की प्रायिकता है।
दिया गया है $q = 1/5$,इसलिए $p = 1 - 1/5 = 4/5$.
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = ^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = 5$ और $k = 4$:
$P(X = 4) = ^5C_4 \left( \frac{4}{5} \right)^4 \left( \frac{1}{5} \right)^{5-4}$
$P(X = 4) = ^5C_4 \left( \frac{4}{5} \right)^4 \left( \frac{1}{5} \right)$

(B) पासे के एक जोड़े को उछालने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
$9$ का स्कोर प्राप्त करने के लिए,संभावित परिणाम $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है।
एक बार उछालने पर $9$ का स्कोर प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ है।
$9$ का स्कोर न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = nC_k \times p^k \times q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = 3$ और $k = 2$:
$P(X = 2) = 3C_2 \times (\frac{1}{9})^2 \times (\frac{8}{9})^{3-2}$
$= 3 \times \frac{1}{81} \times \frac{8}{9}$
$= \frac{24}{729} = \frac{8}{243}$.

(A) कम से कम एक सफलता की प्रायिकता $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ द्वारा दी जाती है।
द्विपद वितरण $B(n, p)$ में,$P(X = 0) = q^n$,जहाँ $q = 1 - p$ है।
यहाँ $p = \frac{1}{4}$ दिया गया है,इसलिए $q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
शर्त के अनुसार $1 - (\frac{3}{4})^n \geq \frac{9}{10}$ है।
असमानता को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $1 - \frac{9}{10} \geq (\frac{3}{4})^n$ मिलता है,जो सरल होकर $\frac{1}{10} \geq (\frac{3}{4})^n$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का आधार $10$ पर लघुगणक लेने पर: $\log_{10}(\frac{1}{10}) \geq \log_{10}((\frac{3}{4})^n)$।
$-1 \geq n(\log_{10} 3 - \log_{10} 4)$।
$-1$ से गुणा करने पर असमानता का चिह्न बदल जाएगा: $1 \leq n(\log_{10} 4 - \log_{10} 3)$।
अतः,$n \geq \frac{1}{\log_{10} 4 - \log_{10} 3}$।

(B) मान लीजिए $X$ $5$ स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों में सफलताओं की संख्या है। सफलता की प्रायिकता $p$ है और विफलता की प्रायिकता $q = 1 - p$ है।
कम से कम एक विफलता की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई विफलता नहीं}) = 1 - P(X = 5)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि परीक्षण स्वतंत्र हैं,$P(X = 5) = p^5$ है।
प्रश्न के अनुसार,कम से कम एक विफलता की प्रायिकता $\frac{31}{32}$ से अधिक या उसके बराबर है:
$1 - p^5 \geq \frac{31}{32}$
असमानता को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$1 - \frac{31}{32} \geq p^5$
$\frac{1}{32} \geq p^5$
दोनों पक्षों का पांचवां मूल लेने पर:
$p \leq (\frac{1}{32})^{1/5}$
$p \leq \frac{1}{2}$
चूंकि $p$ एक प्रायिकता है,$p \geq 0$ है। इसलिए,$p \in [0, \frac{1}{2}]$।

(C) यह द्विपद वितरण का प्रश्न है जहाँ $n = 5$,$p = \frac{1}{3}$ (सफलता की प्रायिकता),और $q = \frac{2}{3}$ (असफलता की प्रायिकता) है।
हमें $4$ या अधिक सही उत्तर प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ है।
सूत्र $P(X = k) = {^nC_k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 4) = {^5C_4} \cdot (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^1 = 5 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3^5}$.
$P(X = 5) = {^5C_5} \cdot (\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{2}{3})^0 = 1 \cdot \frac{1}{243} \cdot 1 = \frac{1}{3^5}$.
कुल प्रायिकता = $\frac{10}{3^5} + \frac{1}{3^5} = \frac{11}{3^5}$.

(B) प्रत्येक बक्से में गेंद आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{3}$ है।
द्विपद वितरण के अनुसार,किसी एक विशिष्ट बक्से में $3$ गेंदें होने की प्रायिकता $P(X = 3) = \binom{12}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^9$ है।
गणना करने पर: $P = 220 \times \frac{1}{27} \times \left(\frac{2}{3}\right)^9 = \frac{220}{27} \times \left(\frac{2}{3}\right)^9$।
इसे सरल करने पर: $P = \frac{55}{3} \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^9 = \frac{55}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{11}$।

(B) यह समस्या द्विपद प्रायिकता वितरण (binomial probability distribution) का पालन करती है क्योंकि गेंदों को प्रतिस्थापन के साथ निकाला जाता है,जिससे प्रत्येक परीक्षण स्वतंत्र हो जाता है।
यहाँ,कुल परीक्षणों की संख्या $n = 10$ है।
एकल परीक्षण में हरी गेंद निकालने की प्रायिकता $p = \frac{15}{15 + 10} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ है।
हरी गेंद न निकालने (पीली गेंद निकालने) की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ है।
द्विपद वितरण का प्रसरण (variance) निकालने का सूत्र $\text{Variance} = npq$ है।
मान रखने पर: $\text{Variance} = 10 \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = 10 \times \frac{6}{25} = \frac{60}{25} = \frac{12}{5}$।