Binomial distribution Questions in Hindi

(C) माना कि सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है।
एक उछाल में चित प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है।
चित न प्राप्त करने (पट आने) की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
$n$ उछालों में कम से कम एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ है।
दिया गया है कि $P(X \geq 1) > \frac{99}{100}$ है।
अतः,$1 - P(X = 0) > \frac{99}{100}$।
चूँकि $P(X = 0) = (\frac{1}{2})^n$,इसलिए $1 - (\frac{1}{2})^n > \frac{99}{100}$।
इसे सरल करने पर $1 - \frac{99}{100} > (\frac{1}{2})^n$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{100} > (\frac{1}{2})^n$।
व्युत्क्रम लेने पर,$100 < 2^n$ प्राप्त होता है।
यदि $n = 6$ है,तो $2^6 = 64$,जो $100$ से कम है।
यदि $n = 7$ है,तो $2^7 = 128$,जो $100$ से अधिक है।
अतः,सिक्के को उछालने की न्यूनतम संख्या $7$ है।

(A) मान लीजिए $X$ ठीक होने वाले रोगियों की संख्या है। यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 6$ और $p = 0.6$ है।
यहाँ,$q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$ है।
हमें $6$ रोगियों में से आधे के ठीक होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो कि $P(X = 3)$ है।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X = k) = ^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
$P(X = 3) = ^6C_3 \times (0.6)^3 \times (0.4)^{6-3}$
$P(X = 3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times (0.6)^3 \times (0.4)^3$
$P(X = 3) = 20 \times 0.216 \times 0.064$
$P(X = 3) = 0.27648 \approx 0.2762$ (दिए गए विकल्प के अनुसार)।

(D) माना $X$ चितों की संख्या है,जो द्विपद बंटन $B(n, p)$ का पालन करती है जहाँ $n = 100$ है।
$k$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
हमें दिया गया है कि $P(X=50) = P(X=51)$ है।
मान रखने पर:
${}^{100}C_{50} p^{50} (1-p)^{50} = {}^{100}C_{51} p^{51} (1-p)^{49}$।
दोनों पक्षों को $p^{50} (1-p)^{49}$ से विभाजित करने पर:
${}^{100}C_{50} (1-p) = {}^{100}C_{51} p$।
$p$ के लिए हल करने पर:
$\frac{1-p}{p} = \frac{{}^{100}C_{51}}{{}^{100}C_{50}} = \frac{100!}{51! 49!} \times \frac{50! 50!}{100!} = \frac{50}{51}$।
अतः,$51(1-p) = 50p$।
$51 - 51p = 50p$।
$101p = 51$।
$p = \frac{51}{101}$।

(B) द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = { }^n C_k p^k (1-p)^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n=4$ दिया गया है,इसलिए:
$P(X=3) = { }^4 C_3 p^3 (1-p)^1 = 4p^3(1-p)$
$P(X=2) = { }^4 C_2 p^2 (1-p)^2 = 6p^2(1-p)^2$
दी गई शर्त $2 P(X=3) = 3 P(X=2)$ के अनुसार:
$2 \times [4p^3(1-p)] = 3 \times [6p^2(1-p)^2]$
$8p^3(1-p) = 18p^2(1-p)^2$
दोनों पक्षों को $2p^2(1-p)$ से विभाजित करने पर:
$4p = 9(1-p)$
$4p = 9 - 9p$
$13p = 9 \implies p = \frac{9}{13}$
अतः $q = 1 - p = 1 - \frac{9}{13} = \frac{4}{13}$।
द्विपद वितरण का प्रसरण $npq$ होता है:
$\text{प्रसरण} = 4 \times \frac{9}{13} \times \frac{4}{13} = \frac{144}{169}$।

(D) दिया गया है,$P(X=4) = \frac{135}{2^{12}}$.
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
${}^6C_4 p^4 q^2 = \frac{135}{2^{12}}$.
चूंकि ${}^6C_4 = 15$,हमें $15 p^4 q^2 = \frac{135}{2^{12}}$ प्राप्त होता है।
$15$ से भाग देने पर,$p^4 q^2 = \frac{9}{2^{12}} = \frac{3^2}{(2^6)^2} = \left(\frac{3}{64}\right)^2$.
वर्गमूल लेने पर,$p^2 q = \frac{3}{64}$.
$q = 1-p$ प्रतिस्थापित करने पर,$p^2(1-p) = \frac{3}{64}$.
निरीक्षण करने पर,यदि $p = \frac{1}{4}$ है,तो $p^2(1-p) = (\frac{1}{16})(\frac{3}{4}) = \frac{3}{64}$.
अतः,$p = \frac{1}{4}$ और $q = \frac{3}{4}$.
द्विपद वितरण का प्रसरण $npq$ द्वारा दिया जाता है।
प्रसरण $= 6 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

(B) द्विपद वितरण $B(n, p)$ के लिए जहाँ $n=7$ है,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है कि $P(X=3) = 5 P(X=4)$।
सूत्र में मान रखने पर:
${^7C_3} p^3 q^4 = 5 \times {^7C_4} p^4 q^3$
चूंकि ${^7C_3} = {^7C_4} = 35$ है,हम दोनों पक्षों को $35 p^3 q^3$ से विभाजित कर सकते हैं:
$q = 5p$
चूंकि $q = 1-p$ है,इसलिए $1-p = 5p$,जिसका अर्थ है $6p = 1$,अतः $p = \frac{1}{6}$।
अब $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।
द्विपद वितरण का प्रसरण $Var(X) = npq$ द्वारा दिया जाता है।
$Var(X) = 7 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{35}{36}$।

(D) $n$ परीक्षणों वाले द्विपद वितरण के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
दिया गया है कि $n = 5$ और $\mu + \sigma^2 = 1.8$ है।
मान रखने पर:
$np + npq = 1.8$
$5p + 5p(1 - p) = 1.8$
$5p + 5p - 5p^2 = 1.8$
$10p - 5p^2 = 1.8$
$5p^2 - 10p + 1.8 = 0$
दशमलव हटाने के लिए $10$ से गुणा करने पर:
$50p^2 - 100p + 18 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$25p^2 - 50p + 9 = 0$
द्विघात सूत्र $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$p = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4(25)(9)}}{50} = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 900}}{50} = \frac{50 \pm \sqrt{1600}}{50} = \frac{50 \pm 40}{50}$
$p_1 = \frac{90}{50} = 1.8$ (संभव नहीं है क्योंकि $0 \le p \le 1$)
$p_2 = \frac{10}{50} = 0.2$
अतः,$p = 0.2$.

(D) कुल गेंदों की संख्या $= 4 + 3 = 7$.
काली गेंद निकालने की प्रायिकता,$p = \frac{3}{7}$.
लाल गेंद (काली नहीं) निकालने की प्रायिकता,$q = 1 - p = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$.
चूंकि गेंद को वापस रखा जाता है,इसलिए प्रयास स्वतंत्र हैं और हम द्विपद वितरण $P(X = x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $n = 3$.
$X = 0$ के लिए: $P(X = 0) = {}^3C_0 (\frac{3}{7})^0 (\frac{4}{7})^3 = (\frac{4}{7})^3$.
$X = 1$ के लिए: $P(X = 1) = {}^3C_1 (\frac{3}{7})^1 (\frac{4}{7})^2 = 3 \times \frac{3}{7} \times (\frac{4}{7})^2 = \frac{9}{7} (\frac{4}{7})^2$.
$X = 2$ के लिए: $P(X = 2) = {}^3C_2 (\frac{3}{7})^2 (\frac{4}{7})^1 = 3 \times (\frac{3}{7})^2 \times \frac{4}{7} = \frac{12}{7} (\frac{3}{7})^2$.
$X = 3$ के लिए: $P(X = 3) = {}^3C_3 (\frac{3}{7})^3 (\frac{4}{7})^0 = (\frac{3}{7})^3$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $D$ गणना किए गए वितरण से मेल खाता है।

(A) यह समस्या द्विपद वितरण का पालन करती है जहाँ $n = 5$ परीक्षण हैं और सफलता की प्रायिकता $p = 0.3$ (विज्ञान का छात्र) है। असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 0.7$ है।
$x = 2$ विज्ञान के छात्रों के होने की प्रायिकता सूत्र $P(X = x) = {}^nC_x \cdot p^x \cdot q^{n-x}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $P(X = 2) = {}^5C_2 \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^3$.
गणना करने पर:
${}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
$(0.3)^2 = 0.09$.
$(0.7)^3 = 0.343$.
अतः,$P(X = 2) = 10 \times 0.09 \times 0.343 = 0.9 \times 0.343 = 0.3087$.

(D) यहाँ,$n=5$,$p=\frac{1}{2}$,$q=\frac{1}{2}$ है।
कम से कम $4$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5)$ द्वारा दी जाती है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X=r) = {}^nC_r p^r q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=4) = {}^5C_4 \left(\frac{1}{2}\right)^4 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 5 \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{32}$.
$P(X=5) = {}^5C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{32} \times 1 = \frac{1}{32}$.
अतः,$P(X \ge 4) = \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$.

(C) द्विपद वितरण के लिए,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{npq}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,परीक्षणों की संख्या $n = 500$ है।
एक उछाल में छक्का आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{6}$ है।
छक्का न आने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\sigma = \sqrt{500 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{2500}{36}}$
$\sigma = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}$.

(C) द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $p+q=1$ है।
दिया गया है $n=6$,इसलिए $P(X=4) = {}^6C_4 p^4 q^2$ और $P(X=2) = {}^6C_2 p^2 q^4$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,$9 P(X=4) = P(X=2)$ है।
मान रखने पर: $9 \times {}^6C_4 p^4 q^2 = {}^6C_2 p^2 q^4$।
चूँकि ${}^6C_4 = 15$ और ${}^6C_2 = 15$ है,समीकरण इस प्रकार होगा:
$9 \times 15 p^4 q^2 = 15 p^2 q^4$।
दोनों पक्षों को $15 p^2 q^2$ से विभाजित करने पर:
$9 p^2 = q^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $3p = q$।
चूँकि $p+q=1$,इसलिए $p = 1-q$ रखने पर:
$3(1-q) = q \Rightarrow 3 - 3q = q \Rightarrow 4q = 3 \Rightarrow q = \frac{3}{4}$।

(A) दिया गया है $X \sim B\left(8, \frac{1}{2}\right)$,अतः $n=8$,$p=\frac{1}{2}$,और $q=1-p=\frac{1}{2}$ है।
हमें $P(|X-4| \leq 2)$ ज्ञात करना है।
यह असमिका $-2 \leq X-4 \leq 2$ के बराबर है,जो सरल होकर $2 \leq X \leq 6$ हो जाती है।
अतः,$P(2 \leq X \leq 6) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$.
वैकल्पिक रूप से,$P(2 \leq X \leq 6) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=7) + P(X=8)]$.
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = \binom{8}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^8$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=0) = \binom{8}{0} \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 1 \cdot \frac{1}{256} = \frac{1}{256}$.
$P(X=1) = \binom{8}{1} \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 8 \cdot \frac{1}{256} = \frac{8}{256}$.
$P(X=7) = \binom{8}{7} \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 8 \cdot \frac{1}{256} = \frac{8}{256}$.
$P(X=8) = \binom{8}{8} \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 1 \cdot \frac{1}{256} = \frac{1}{256}$.
योग $= \frac{1+8+8+1}{256} = \frac{18}{256} = \frac{9}{128}$.
इसलिए,$P(2 \leq X \leq 6) = 1 - \frac{9}{128} = \frac{119}{128}$.

(D) द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {n \choose k} p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $p+q=1$ है।
दिया गया है $n=4$ और समीकरण $2 P(X=3) = 3 P(X=2)$ है:
$2 \times {4 \choose 3} p^3 q^1 = 3 \times {4 \choose 2} p^2 q^2$
चूँकि ${4 \choose 3} = 4$ और ${4 \choose 2} = 6$ है,इसलिए:
$2 \times 4 \times p^3 q = 3 \times 6 \times p^2 q^2$
$8 p^3 q = 18 p^2 q^2$
दोनों पक्षों को $2 p^2 q$ से विभाजित करने पर:
$4 p = 9 q$
$p = 1-q$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4(1-q) = 9q$
$4 - 4q = 9q$
$4 = 13q$
$q = \frac{4}{13}$

(C) दिया गया है कि द्विपद वितरण के लिए,माध्य $np = 2$ और प्रसरण $npq = 1$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 2$ में रखने पर,$n(\frac{1}{2}) = 2$,जिससे $n = 4$ प्राप्त होता है।
प्रायिकता $P(X=0)$ सूत्र $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
$X=0$ के लिए,$P(X=0) = { }^4 C_0 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$ है।
किसी घटना $E$ के पक्ष में ऑड्स $P(E) : (1 - P(E))$ द्वारा दिए जाते हैं।
अतः,$X=0$ के पक्ष में ऑड्स $\frac{1}{16} : (1 - \frac{1}{16}) = \frac{1}{16} : \frac{15}{16} = 1 : 15$ हैं।

(C) माना $n = 100$ परीक्षणों की संख्या है,$p = \frac{1}{2}$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता है,और $q = \frac{1}{2}$ पट प्राप्त करने की प्रायिकता है।
विषम संख्या में चित प्राप्त करने की प्रायिकता $r = 1, 3, 5, \dots, 99$ के लिए प्रायिकताओं का योग है।
$P(r \text{ is odd}) = \sum_{r \in \{1, 3, \dots, 99\}} \binom{100}{r} p^r q^{100-r}$
$P(r \text{ is odd}) = \sum_{r \in \{1, 3, \dots, 99\}} \binom{100}{r} \left(\frac{1}{2}\right)^r \left(\frac{1}{2}\right)^{100-r}$
$P(r \text{ is odd}) = \left(\frac{1}{2}\right)^{100} \sum_{r \in \{1, 3, \dots, 99\}} \binom{100}{r}$
हम जानते हैं कि विषम $r$ के लिए द्विपद गुणांकों का योग $2^{n-1}$ होता है। अतः,$\sum_{r \in \{1, 3, \dots, 99\}} \binom{100}{r} = 2^{100-1} = 2^{99}$।
इसलिए,$P(r \text{ is odd}) = \left(\frac{1}{2}\right)^{100} \times 2^{99} = \frac{2^{99}}{2^{100}} = \frac{1}{2}$।

(D) द्विपद बंटन के लिए,$P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है $n=6$ और संबंध $4 P(X=4) = P(X=2)$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर: $4 \cdot {}^6C_4 p^4 q^{6-4} = {}^6C_2 p^2 q^{6-2}$।
$4 \cdot {}^6C_4 p^4 q^2 = {}^6C_2 p^2 q^4$।
चूँकि ${}^6C_4 = {}^6C_2 = 15$,हमारे पास है:
$4 \cdot 15 \cdot p^4 q^2 = 15 \cdot p^2 q^4$।
दोनों पक्षों को $15 p^2 q^2$ से विभाजित करने पर:
$4 p^2 = q^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $2p = q$।
चूँकि $p + q = 1$,$q = 2p$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p + 2p = 1 \Rightarrow 3p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{3}$।

(B) मामले के सुलझने की प्रायिकता $p = 25 \% = \frac{1}{4}$ है।
अतः,मामले के न सुलझने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{3}{4}$ है।
यहाँ $n = 6$ परीक्षण दिए गए हैं,हमें कम से कम $5$ मामलों के सुलझने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 5) = P(X = 5) + P(X = 6)$ है।
द्विपद बंटन सूत्र $P(X = x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 5) = {}^6C_5 \left(\frac{1}{4}\right)^5 \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 6 \times \frac{1}{4^5} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{4^6}$.
$P(X = 6) = {}^6C_6 \left(\frac{1}{4}\right)^6 \left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{4^6} \times 1 = \frac{1}{4^6}$.
इसलिए,$P(X \ge 5) = \frac{18}{4^6} + \frac{1}{4^6} = \frac{19}{4^6} = \frac{19}{4096}$.

(A) द्विपद बंटन के लिए,माध्य $\mu = np = 4$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq = 2$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 4$ में रखने पर,$n \times \frac{1}{2} = 4$,जिसका अर्थ है $n = 8$।
$x$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=x) = { }^n C_x p^x q^{n-x}$ द्वारा दी जाती है।
$x = 2$ के लिए,$P(X=2) = { }^8 C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^8$।
$P(X=2) = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256}$।

(D) माना कि पासे की एक जोड़ी को फेंकने पर डबलेट प्राप्त करने की प्रायिकता $p$ है। पासे की एक जोड़ी में कुल $36$ परिणाम होते हैं और $6$ संभावित डबलेट्स हैं: $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$।
अतः,$p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ और $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।
पासे को $n = 4$ बार फेंका जाता है। माना $X$ डबलेट्स की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। यह द्विपद वितरण $B(n, p) = B(4, \frac{1}{6})$ का पालन करता है।
प्रायिकता $P(X=k)$ को $\binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
$X=0$ के लिए: $P(0) = \binom{4}{0} (\frac{1}{6})^0 (\frac{5}{6})^4 = 1 \times 1 \times \frac{625}{1296} = \frac{625}{1296}$।
$X=1$ के लिए: $P(1) = \binom{4}{1} (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^3 = 4 \times \frac{1}{6} \times \frac{125}{216} = \frac{500}{1296} = \frac{125}{324}$।
$X=2$ के लिए: $P(2) = \binom{4}{2} (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^2 = 6 \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$।
$X=3$ के लिए: $P(3) = \binom{4}{3} (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^1 = 4 \times \frac{1}{216} \times \frac{5}{6} = \frac{20}{1296} = \frac{5}{324}$।
$X=4$ के लिए: $P(4) = \binom{4}{4} (\frac{1}{6})^4 (\frac{5}{6})^0 = 1 \times \frac{1}{1296} \times 1 = \frac{1}{1296}$।

(A) माना $n=100$ उछालों में चितों की संख्या $X$ है। चूँकि सिक्का निष्पक्ष है,चित आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ और पट आने की प्रायिकता $q = \frac{1}{2}$ है।
$X$ द्विपद बंटन $B(100, \frac{1}{2})$ का पालन करता है।
चितों के सम संख्या में आने की प्रायिकता $P(X \in \{0, 2, 4, \dots, 100\}) = \sum_{k \in \{0, 2, \dots, 100\}} \binom{100}{k} p^k q^{100-k}$ है।
चूँकि $p=q=\frac{1}{2}$,यह $\left(\frac{1}{2}\right)^{100} \sum_{k \in \{0, 2, \dots, 100\}} \binom{100}{k}$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि सम द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{k \text{ even}} \binom{n}{k} = 2^{n-1}$ होता है।
अतः,प्रायिकता $\left(\frac{1}{2}\right)^{100} \times 2^{100-1} = \frac{2^{99}}{2^{100}} = \frac{1}{2}$ है।

(B) माना $p$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता है,इसलिए $p = \frac{1}{2}$.
माना $q$ चित न प्राप्त करने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - p = \frac{1}{2}$.
$n$ बार सिक्का उछालने पर $x$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र द्वारा दी जाती है: $P(X=x) = {}^{n}C_{x} p^x q^{n-x} = {}^{n}C_{x} (\frac{1}{2})^n$.
दिया गया है कि $P(X=7) = P(X=9)$,इसलिए:
${}^{n}C_{7} (\frac{1}{2})^n = {}^{n}C_{9} (\frac{1}{2})^n$.
इसका अर्थ है कि ${}^{n}C_{7} = {}^{n}C_{9}$.
गुणधर्म ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करने पर,हमें $n = 7 + 9 = 16$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $2$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X=2)$ है:
$P(X=2) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{16} = \frac{16 \times 15}{2} \times \frac{1}{2^{16}} = 120 \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{15 \times 8}{2^{16}} = \frac{15}{2^{13}}$.

(A) दिया गया है $X \sim B(4, p)$,जहाँ $n=4$ है। प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ है।
शर्त $2 P(X=3) = 3 P(X=2)$ दी गई है।
मान रखने पर: $2 \times ({}^{4}C_{3} p^{3} q^{1}) = 3 \times ({}^{4}C_{2} p^{2} q^{2})$.
संचय की गणना करने पर: $2 \times (4 p^{3} q) = 3 \times (6 p^{2} q^{2})$.
सरल करने पर: $8 p^{3} q = 18 p^{2} q^{2}$.
दोनों पक्षों को $2 p^{2} q$ से विभाजित करने पर ($p, q \neq 0$ मानते हुए): $4 p = 9 q$.
चूंकि $q = 1 - p$,इसलिए $4 p = 9(1 - p)$.
$4 p = 9 - 9 p$.
$13 p = 9$.
अतः,$p = \frac{9}{13}$.

(D) माना $X$ चुने गए $20$ बल्बों में से खराब बल्बों की संख्या को दर्शाता है।
यह दिया गया है कि कुल बल्ब $100$ हैं और $10$ खराब हैं,इसलिए खराब बल्ब चुनने की प्रायिकता $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ है।
परिणामस्वरूप,सही बल्ब चुनने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ है।
हम $n = 20$ बल्ब चुन रहे हैं। कोई भी बल्ब खराब न होने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^{n}C_{k} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
$k = 0$ के लिए,$P(X = 0) = {}^{20}C_{0} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{20-0}$ है।
$P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{20} = \left(\frac{9}{10}\right)^{20}$।

(C) माना $X$ एक निष्पक्ष सिक्के के $8$ उछालों में चित की संख्या है। यहाँ,$n=8$,$p=\frac{1}{2}$,और $q=\frac{1}{2}$ है।
हमें चित की संख्या पट से अधिक होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जिसका अर्थ है $X > 4$।
चूंकि कुल परिणाम $2^8 = 256$ हैं और वितरण सममित है,इसलिए $P(X < 4) = P(X > 4)$ होगा।
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{8} P(X=k) = 1$,इसलिए $P(X < 4) + P(X=4) + P(X > 4) = 1$।
अतः,$2P(X > 4) + P(X=4) = 1$,जिसका अर्थ है $P(X > 4) = \frac{1 - P(X=4)}{2}$।
$P(X=4) = {}^{8}C_{4} \left(\frac{1}{2}\right)^{8} = \frac{70}{256}$ की गणना करने पर।
इसलिए,$P(X > 4) = \frac{1 - \frac{70}{256}}{2} = \frac{\frac{186}{256}}{2} = \frac{93}{256}$।

(B) लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $q = 0.2 = \frac{1}{5}$ है।
अतः,लक्ष्य पर लगने की प्रायिकता $p = 1 - q = 1 - 0.2 = 0.8 = \frac{4}{5}$ है।
यहाँ $n = 10$ बम गिराए जाते हैं और हमें ठीक $r = 2$ सफलताएँ चाहिए।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ का उपयोग करने पर:
$P(X = 2) = {}^{10}C_{2} \times (0.8)^{2} \times (0.2)^{8}$
$P(X = 2) = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} \times \left(\frac{4}{5}\right)^{2} \times \left(\frac{1}{5}\right)^{8}$
$P(X = 2) = 45 \times \frac{16}{25} \times \frac{1}{5^{8}}$
$P(X = 2) = 45 \times \frac{16}{5^{2} \times 5^{8}} = 45 \times \frac{16}{5^{10}}$
$P(X = 2) = (9 \times 5) \times \frac{16}{5^{10}} = \frac{9 \times 16}{5^{9}} = \frac{144}{5^{9}}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) मान लीजिए कि किसी व्यक्ति को सामान्य सर्दी होने की प्रायिकता $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ है।
अतः,किसी व्यक्ति को सामान्य सर्दी न होने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{9}{10}$ है।
यहाँ हम $n = 5$ व्यक्तियों का चयन कर रहे हैं। मान लीजिए $X$ सामान्य सर्दी वाले व्यक्तियों की संख्या है। $X$ द्विपद वितरण $B(n, p) = B(5, 0.1)$ का पालन करता है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि अधिकतम एक व्यक्ति को सामान्य सर्दी हो,जो $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ है।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = {}^{5}C_{0} \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \left(\frac{9}{10}\right)^{5} = 1 \times 1 \times \frac{59049}{100000} = 0.59049$.
$P(X = 1) = {}^{5}C_{1} \left(\frac{1}{10}\right)^{1} \left(\frac{9}{10}\right)^{4} = 5 \times \frac{1}{10} \times \frac{6561}{10000} = \frac{32805}{100000} = 0.32805$.
अतः,$P(X \le 1) = 0.59049 + 0.32805 = 0.91854$.
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,प्रायिकता $0.9185$ है।

(D) द्विपद बंटन $X \sim B(n, p)$ के लिए,माध्य $E(X) = np$ और प्रसरण $\operatorname{Var}(X) = npq$ होता है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
दिया गया है कि $E(X) = np = 4$ है।
दिया गया है कि $\operatorname{Var}(X) = npq = 2.4$ है।
प्रसरण के समीकरण में $np = 4$ प्रतिस्थापित करने पर: $4q = 2.4$ प्राप्त होता है।
$q$ के लिए हल करने पर: $q = \frac{2.4}{4} = 0.6 = \frac{3}{5}$।
चूँकि $p = 1 - q$,इसलिए $p = 1 - 0.6 = 0.4 = \frac{2}{5}$ है।
अब,माध्य के समीकरण में $p$ का मान रखने पर: $n \times \frac{2}{5} = 4$ प्राप्त होता है।
$n = 4 \times \frac{5}{2} = 10$।
अतः,$n$ का मान $10$ है।

(B) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है कि $n = 5$ और $np + npq = 1 \cdot 8$ है।
मान रखने पर,हमें $5p + 5pq = 1 \cdot 8$ प्राप्त होता है।
$5p(1 + q) = 1 \cdot 8$.
चूँकि $q = 1 - p$,इसलिए $5p(1 + 1 - p) = 1 \cdot 8$.
$5p(2 - p) = 1 \cdot 8$.
$10p - 5p^2 = 1 \cdot 8$.
$5p^2 - 10p + 1 \cdot 8 = 0$.
सरल करने के लिए $5$ से गुणा करने पर: $25p^2 - 50p + 9 = 0$.
द्विघात सूत्र $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$p = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4(25)(9)}}{50} = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 900}}{50} = \frac{50 \pm \sqrt{1600}}{50} = \frac{50 \pm 40}{50}$.
$p = \frac{90}{50} = 1 \cdot 8$ (संभव नहीं क्योंकि $0 \le p \le 1$) या $p = \frac{10}{50} = 0 \cdot 2$.
अतः,$p = 0 \cdot 2$.

(B) माना $X$ $n = 100$ परीक्षणों में सफलताओं की संख्या है। यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है।
यहाँ,पासे को एक बार फेंकने पर सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
द्विपद वितरण का प्रसरण $\text{Var}(X) = npq$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\text{Var}(X) = 100 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 100 \times \frac{1}{4} = 25$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रसरण $25$ है।

(C) एक सिक्के को उछालने पर चित आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है और पट आने की प्रायिकता $q = \frac{1}{2}$ है।
$n = 15$ प्रयासों के लिए,$r = 10$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र द्वारा दी जाती है: $P(X = r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$.
मान रखने पर: $P(X = 10) = {}^{15}C_{10} \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \left(\frac{1}{2}\right)^{5}$.
चूंकि ${}^{15}C_{10} = {}^{15}C_{5}$,इसलिए: $P(X = 10) = {}^{15}C_{5} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{15}$.
संचय की गणना करने पर: ${}^{15}C_{5} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$.
अतः,प्रायिकता: $P(X = 10) = \frac{3003}{2^{15}} = \frac{3003}{32768}$ है।

(A) द्विपद वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n=6$ दिया गया है,इसलिए $P(X=4) = {}^{6}C_{4} p^{4} (1-p)^{2}$ और $P(X=2) = {}^{6}C_{2} p^{2} (1-p)^{4}$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,$9 P(X=4) = P(X=2)$ है।
मान रखने पर,$9 \cdot {}^{6}C_{4} p^{4} (1-p)^{2} = {}^{6}C_{2} p^{2} (1-p)^{4}$ प्राप्त होता है।
चूँकि ${}^{6}C_{4} = {}^{6}C_{2} = 15$,समीकरण $9 p^{4} (1-p)^{2} = p^{2} (1-p)^{4}$ में बदल जाता है।
दोनों पक्षों को $p^{2} (1-p)^{2}$ से विभाजित करने पर,$9 p^{2} = (1-p)^{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$3p = 1-p$ प्राप्त होता है (क्योंकि $p$ धनात्मक है)।
$4p = 1$,जिससे $p = 1/4$ प्राप्त होता है।

(C) द्विपद वितरण $B(n, p)$ के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $q = 1-p$ और $n = 33$ है।
दिया गया है $3 P(X=0) = P(X=1)$,मान रखने पर:
$3 \binom{33}{0} p^0 q^{33} = \binom{33}{1} p^1 q^{32}$
$3 \times 1 \times q^{33} = 33 \times p \times q^{32}$
चूंकि $q \neq 0$,दोनों पक्षों को $q^{32}$ से विभाजित करने पर:
$3q = 33p$
$q = 11p$
चूंकि $q = 1-p$,इसलिए $1-p = 11p$,जिसका अर्थ है $1 = 12p$,अतः $p = \frac{1}{12}$।
तब $q = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$।
द्विपद वितरण का प्रसरण $Var(X) = npq$ होता है।
$Var(X) = 33 \times \frac{1}{12} \times \frac{11}{12} = \frac{33 \times 11}{144} = \frac{363}{144}$।
$3$ से विभाजित करने पर: $\frac{121}{48}$।

(B) दिया गया प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{{}^4C_x}{2^4} = {}^4C_x \left(\frac{1}{2}\right)^x \left(\frac{1}{2}\right)^{4-x}$ है।
यह एक द्विपद बंटन $B(n, p)$ है,जहाँ $n = 4$ और $p = \frac{1}{2}$ है।
द्विपद बंटन का माध्य $\mu = np = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ होता है।
द्विपद बंटन का प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है,जहाँ $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$\sigma^2 = 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 1$ होता है।
इसलिए,$\mu = 2$ और $\sigma^2 = 1$ है।

(B) दिया गया है $X \sim B(n, p)$ जहाँ $n=35$ है। प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दी गई शर्त $7 P(X=0) = P(X=1)$ के अनुसार:
$7 \binom{35}{0} p^0 q^{35} = \binom{35}{1} p^1 q^{34}$.
$7 q = 35 p \implies q = 5p$.
चूँकि $p+q=1$,इसलिए $p+5p=1 \implies 6p=1 \implies p = \frac{1}{6}$ और $q = \frac{5}{6}$.
अब,$\frac{P(X=15)}{P(X=20)} = \frac{\binom{35}{15} p^{15} q^{20}}{\binom{35}{20} p^{20} q^{15}} = \frac{\binom{35}{15}}{\binom{35}{20}} \cdot (\frac{q}{p})^5$.
चूँकि $\binom{35}{15} = \binom{35}{20}$,इसलिए अनुपात $(q/p)^5 = (5)^5 = 3125$ होगा।

(D) कुल पत्तों की संख्या $52$ है। गड्डी में राजाओं की संख्या $4$ है।
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए एक प्रयास में राजा आने की प्रायिकता $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
राजा न आने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ है।
माना $X$ एक यादृच्छिक चर है जो $n = 2$ प्रयासों में प्राप्त राजाओं की संख्या को दर्शाता है। $X$ द्विपद वितरण $B(n, p) = B(2, \frac{1}{13})$ का पालन करता है।
$X$ का प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
$P(X=0) = \binom{2}{0} p^0 q^2 = 1 \times 1 \times (\frac{12}{13})^2 = \frac{144}{169}$
$P(X=1) = \binom{2}{1} p^1 q^1 = 2 \times \frac{1}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$
$P(X=2) = \binom{2}{2} p^2 q^0 = 1 \times (\frac{1}{13})^2 \times 1 = \frac{1}{169}$
हमें $E(X^2) = \sum x^2 P(X=x)$ ज्ञात करना है।
$E(X^2) = (0^2 \times \frac{144}{169}) + (1^2 \times \frac{24}{169}) + (2^2 \times \frac{1}{169})$
$E(X^2) = 0 + \frac{24}{169} + \frac{4}{169} = \frac{28}{169}$.

(C) कुल पत्तों की संख्या $52$ है। गड्डी में गुलामों (jacks) की संख्या $4$ है।
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए एक बार में गुलाम प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है,और गुलाम न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ है।
यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n=2$ और $p=\frac{1}{13}$ है।
$P(X=1) = \binom{2}{1} \times p^1 \times q^1 = 2 \times \frac{1}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$.
$P(X=2) = \binom{2}{2} \times p^2 \times q^0 = 1 \times \left(\frac{1}{13}\right)^2 \times 1 = \frac{1}{169}$.
अतः,$P(X=1) + P(X=2) = \frac{24}{169} + \frac{1}{169} = \frac{25}{169}$.

(A) मान लीजिए $X$ $3$ स्वतंत्र प्रयासों में काली गेंद निकाले जाने की संख्या है। यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n=3$ है।
एक प्रयास में काली गेंद निकालने की प्रायिकता $p = \frac{3}{4+3} = \frac{3}{7}$ है।
काली गेंद न निकालने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$ है।
प्रायिकता वितरण $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा $k = 0, 1, 2, 3$ के लिए दिया जाता है।
$k=0$ के लिए: $P(X=0) = \binom{3}{0} (\frac{3}{7})^0 (\frac{4}{7})^3 = 1 \times 1 \times (\frac{4}{7})^3 = (\frac{4}{7})^3$ है।
$k=1$ के लिए: $P(X=1) = \binom{3}{1} (\frac{3}{7})^1 (\frac{4}{7})^2 = 3 \times \frac{3}{7} \times (\frac{4}{7})^2 = \frac{9}{7} \times (\frac{4}{7})^2$ है।
$k=2$ के लिए: $P(X=2) = \binom{3}{2} (\frac{3}{7})^2 (\frac{4}{7})^1 = 3 \times (\frac{3}{7})^2 \times \frac{4}{7} = \frac{12}{7} \times (\frac{3}{7})^2$ है।
$k=3$ के लिए: $P(X=3) = \binom{3}{3} (\frac{3}{7})^3 (\frac{4}{7})^0 = 1 \times (\frac{3}{7})^3 \times 1 = (\frac{3}{7})^3$ है।
इन मानों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $(A)$ सही है।

(B) द्विपद बंटन के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है,जहाँ $n$ परीक्षणों की संख्या है,$p$ सफलता की प्रायिकता है,और $q = 1-p$ असफलता की प्रायिकता है।
दिया गया है $n = 10$ और $\text{माध्य} + \text{प्रसरण} = \frac{15}{2}$.
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $np + npq = \frac{15}{2}$.
चूंकि $q = 1-p$,इसलिए $np + np(1-p) = \frac{15}{2}$.
$10p + 10p(1-p) = 7.5$.
$10p + 10p - 10p^2 = 7.5$.
$20p - 10p^2 = 7.5$.
$2.5$ से विभाजित करने पर: $8p - 4p^2 = 3$.
$4p^2 - 8p + 3 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(2p-1)(2p-3) = 0$.
इससे $p = \frac{1}{2}$ या $p = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $0 < p < 1$,इसलिए $p = \frac{1}{2}$ होगा।
तब $q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
अतः,प्रसरण $\sigma^2 = npq = 10 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 2.5$ है।

(A) द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
यहाँ $n=6$ दिया गया है,इसलिए $P(X=4) = {^6C_4} p^4 q^2$ और $P(X=2) = {^6C_2} p^2 q^4$ होगा।
दी गई शर्त $9 \cdot P(X=4) = P(X=2)$ है।
मान रखने पर: $9 \cdot {^6C_4} p^4 q^2 = {^6C_2} p^2 q^4$.
चूँकि ${^6C_4} = 15$ और ${^6C_2} = 15$ है,इसलिए:
$9 \cdot 15 \cdot p^4 q^2 = 15 \cdot p^2 q^4$.
दोनों पक्षों को $15 p^2 q^2$ से विभाजित करने पर:
$9 p^2 = q^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $3p = q$.
चूँकि $q = 1-p$ है,इसलिए $3p = 1-p$.
$4p = 1$,जिससे $p = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $X \sim B(n, p)$ है।
दिया गया है कि माध्य $np = 8$ और प्रसरण $npq = 4$ है।
चूंकि $q = 1 - p$,इसलिए $8q = 4$,जिसका अर्थ है $q = \frac{1}{2}$ और $p = \frac{1}{2}$।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 8$ में रखने पर,हमें $n = 16$ प्राप्त होता है।
हमें $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ज्ञात करना है।
सूत्र $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X \leq 2) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{16} + {}^{16}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{15} + {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{14}$।
$P(X \leq 2) = \frac{{}^{16}C_{0} + {}^{16}C_{1} + {}^{16}C_{2}}{2^{16}}$।
संचय की गणना करने पर: ${}^{16}C_{0} = 1$,${}^{16}C_{1} = 16$,और ${}^{16}C_{2} = \frac{16 \times 15}{2} = 120$।
अतः,$P(X \leq 2) = \frac{1 + 16 + 120}{2^{16}} = \frac{137}{2^{16}}$।
इसकी तुलना $\frac{K}{2^{16}}$ से करने पर,हमें $K = 137$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $X$ प्रतिस्थापन के साथ $2$ प्रयासों में निकाले गए जैक की संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाला यादृच्छिक चर है।
कुल पत्तों की संख्या $52$ है और जैक की संख्या $4$ है।
एक प्रयास में जैक निकालने की प्रायिकता $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
जैक न निकालने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ है।
चूंकि प्रयास स्वतंत्र हैं (प्रतिस्थापन के साथ),$X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 2$ है।
$P(X = x) = ^nC_x p^x q^{n-x}$
$P(X = 0) = ^2C_0 (\frac{1}{13})^0 (\frac{12}{13})^2 = 1 \times 1 \times \frac{144}{169} = \frac{144}{169}$
$P(X = 1) = ^2C_1 (\frac{1}{13})^1 (\frac{12}{13})^1 = 2 \times \frac{1}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$
$P(X = 2) = ^2C_2 (\frac{1}{13})^2 (\frac{12}{13})^0 = 1 \times \frac{1}{169} \times 1 = \frac{1}{169}$
अतः,प्रायिकता वितरण विकल्प $(A)$ द्वारा दिया गया है।

(C) माना $X$ निकाले गए राजाओं की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है।
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए परीक्षण स्वतंत्र हैं।
कुल पत्तों की संख्या = $52$।
राजाओं की संख्या = $4$।
एक परीक्षण में राजा निकालने की प्रायिकता,$p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$।
एक परीक्षण में राजा न निकालने की प्रायिकता,$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$।
चूंकि $n = 2$ परीक्षण हैं,$X$ द्विपद वितरण $B(n, p) = B(2, \frac{1}{13})$ का पालन करता है।
प्रायिकता वितरण $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
$X = 0$ के लिए: $P(X = 0) = {}^2C_0 (\frac{1}{13})^0 (\frac{12}{13})^2 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{144}{169} = \frac{144}{169}$।
$X = 1$ के लिए: $P(X = 1) = {}^2C_1 (\frac{1}{13})^1 (\frac{12}{13})^1 = 2 \cdot \frac{1}{13} \cdot \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$।
$X = 2$ के लिए: $P(X = 2) = {}^2C_2 (\frac{1}{13})^2 (\frac{12}{13})^0 = 1 \cdot \frac{1}{169} \cdot 1 = \frac{1}{169}$।
अतः,प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
$X=0, P(X)=\frac{144}{169}$
$X=1, P(X)=\frac{24}{169}$
$X=2, P(X)=\frac{1}{169}$
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।

(A) दिया गया है कि $X \sim B(n, p)$ जहाँ $n=4$ है। प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है कि $P(X=0) = \frac{16}{81}$ है।
सूत्र का उपयोग करते हुए,$P(X=0) = {}^4C_0 p^0 q^4 = q^4$ है।
अतः,$q^4 = \frac{16}{81} = \left(\frac{2}{3}\right)^4$ है।
इस प्रकार,$q = \frac{2}{3}$,जिसका अर्थ है कि $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ है।
अब,हमें $P(X=4)$ ज्ञात करना है: $P(X=4) = {}^4C_4 p^4 q^0 = (1) \left(\frac{1}{3}\right)^4 (1) = \frac{1}{81}$.

(C) मान लीजिए कि $p$ एक पासे पर $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता है,इसलिए $p = \frac{1}{6}$।
मान लीजिए कि $q$ $6$ प्राप्त न करने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - p = \frac{5}{6}$।
चूंकि दो पासे फेंके जाते हैं,$X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 2$ और $p = \frac{1}{6}$।
द्विपद वितरण की प्रत्याशा $E(X)$,$E(X) = np$ द्वारा दी जाती है।
$E(X) = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।

(C) दिया गया प्रायिकता द्रव्यमान फलन द्विपद बंटन $B(n, p)$ का है,जहाँ $n = 6$ और $p = \frac{1}{3}$ है।
चूँकि $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है,इसलिए बंटन $P(X=x) = \binom{6}{x} \left(\frac{1}{3}\right)^{x} \left(\frac{2}{3}\right)^{6-x}$ है।
माध्य $\mu = np = 6 \times \frac{1}{3} = 2$.
प्रसरण $\sigma^{2} = npq = 6 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.
अब,$2\mu + 12\sigma^{2} = 2(2) + 12\left(\frac{4}{3}\right) = 4 + 16 = 20$.

(A) दिया गया है $X \sim B\left(8, \frac{1}{2}\right)$,अतः $n=8, p=\frac{1}{2}, q=\frac{1}{2}$ है।
हमें $P(|X-4| \leq 2)$ ज्ञात करना है।
यह असमिका $|X-4| \leq 2$ का अर्थ है $-2 \leq X-4 \leq 2$,जो सरल होकर $2 \leq X \leq 6$ हो जाता है।
अतः,हमें $P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$ की गणना करनी है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^{8}C_{k} \left(\frac{1}{2}\right)^{k} \left(\frac{1}{2}\right)^{8-k} = {}^{8}C_{k} \left(\frac{1}{2}\right)^{8}$ है।
इन प्रायिकताओं का योग करने पर:
$P(2 \leq X \leq 6) = \left(\frac{1}{2}\right)^{8} \left[ {}^{8}C_{2} + {}^{8}C_{3} + {}^{8}C_{4} + {}^{8}C_{5} + {}^{8}C_{6} \right]$.
संचय की गणना करने पर:
${}^{8}C_{2} = 28, {}^{8}C_{3} = 56, {}^{8}C_{4} = 70, {}^{8}C_{5} = 56, {}^{8}C_{6} = 28$.
योग $= 28 + 56 + 70 + 56 + 28 = 238$.
अतः,$P(2 \leq X \leq 6) = \frac{238}{256} = \frac{119}{128}$.

(A) हमारे पास $p = \frac{3}{4}$ है,इसलिए $q = 1 - p = \frac{1}{4}$ है।
यह दिया गया है कि $P(X \ge 1) \ge 0.9375$ है।
पूरक नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ है।
अतः,$1 - P(X = 0) \ge 0.9375$ है।
$1 - ^nC_0 (p^0) (q)^n \ge 0.9375$ है।
$1 - (\frac{1}{4})^n \ge 0.9375$ है।
$1 - 0.9375 \ge (\frac{1}{4})^n$ है।
$0.0625 \ge (\frac{1}{4})^n$ है।
चूंकि $0.0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}$ है,इसलिए $\frac{1}{16} \ge (\frac{1}{4})^n$ है।
$(\frac{1}{4})^2 \ge (\frac{1}{4})^n$ है।
चूंकि आधार $1$ से कम है,इसलिए घातांकों के लिए असमानता उलट जाएगी: $n \ge 2$ है।
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $2$ है।

(B) मुख्य विचार: $p + q = 1$ और $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ का उपयोग करें।
दिया गया है कि $X$ का मानक विचलन $\sqrt{3pq}$ है,इसलिए प्रसरण $Var(X) = (\sqrt{3pq})^2 = 3pq$ है।
दिया गया है कि माध्य $E(X) = 3p$ है।
सूत्र $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ का उपयोग करने पर:
$3pq = E(X^2) - (3p)^2$
$E(X^2) = 3pq + 9p^2$।
चूंकि $p + q = 1$,हम $q = 1 - p$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$E(X^2) = 3p(1 - p) + 9p^2$
$E(X^2) = 3p - 3p^2 + 9p^2$
$E(X^2) = 3p + 6p^2$
$E(X^2) = 3p(1 + 2p)$।