Binomial distribution Questions in Hindi

(A) दी गई आवृत्तियाँ $(q + p)^n$ के द्विपद विस्तार के पद हैं।
माध्य $\bar{x}$ का सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum_{r=0}^{n} r f_r}{\sum_{r=0}^{n} f_r}$ है।
यहाँ,$f_r = {^nC_r} q^{n-r} p^r$ है।
हर $\sum_{r=0}^{n} {^nC_r} q^{n-r} p^r = (q + p)^n = 1^n = 1$ है।
अंश $\sum_{r=0}^{n} r {^nC_r} q^{n-r} p^r$ है।
चूँकि $r {^nC_r} = n {^{n-1}C_{r-1}}$,अंश $\sum_{r=1}^{n} n {^{n-1}C_{r-1}} q^{(n-1)-(r-1)} p^r$ हो जाता है।
$= np \sum_{r=1}^{n} {^{n-1}C_{r-1}} q^{(n-1)-(r-1)} p^{r-1}$.
माना $k = r-1$,तो योग $np \sum_{k=0}^{n-1} {^{n-1}C_k} q^{(n-1)-k} p^k = np(q + p)^{n-1} = np(1)^{n-1} = np$ है।
अतः,माध्य $\frac{np}{1} = np$ है।

(D) एक निष्पक्ष सिक्के को $n$ बार उछालने पर $k$ चित आने की प्रायिकता द्विपद वितरण द्वारा दी जाती है: $P(X = k) = \binom{n}{k} (\frac{1}{2})^n$.
दिया गया है कि $P(X = 4), P(X = 5)$ और $P(X = 6)$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होंगे।
अतः,$\frac{1}{P(X = 4)}, \frac{1}{P(X = 5)}, \frac{1}{P(X = 6)}$ समांतर श्रेणी में हैं।
इसका अर्थ है $\frac{2}{P(X = 5)} = \frac{1}{P(X = 4)} + \frac{1}{P(X = 6)}$.
मान रखने पर: $\frac{2}{\binom{n}{5}} = \frac{1}{\binom{n}{4}} + \frac{1}{\binom{n}{6}}$.
$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{2 \times 5!(n-5)!}{n!} = \frac{4!(n-4)!}{n!} + \frac{6!(n-6)!}{n!}$.
$\frac{n!}{4!(n-6)!}$ से गुणा करने पर: $2 \times 5 \times (n-5) = (n-4)(n-5) + 6 \times 5$.
$10n - 50 = n^2 - 9n + 20 + 30$.
$n^2 - 19n + 100 = 0$.
विविक्तकर $D = (-19)^2 - 4(1)(100) = 361 - 400 = -39$.
चूंकि $D < 0$,$n$ के लिए कोई वास्तविक पूर्णांक हल नहीं है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) द्विपद वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = {}^nC_k p^k (1 - p)^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें अनुपात $\frac{P(X = r)}{P(X = n - r)}$ दिया गया है।
सूत्र प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{P(X = r)}{P(X = n - r)} = \frac{{}^nC_r p^r (1 - p)^{n-r}}{{}^nC_{n-r} p^{n-r} (1 - p)^r}$.
चूंकि ${}^nC_r = {}^nC_{n-r}$,द्विपद गुणांक कट जाएंगे:
$\frac{P(X = r)}{P(X = n - r)} = \frac{p^r (1 - p)^{n-r}}{p^{n-r} (1 - p)^r} = \left( \frac{1 - p}{p} \right)^{n - 2r}$.
इस व्यंजक के $n$ और $r$ से स्वतंत्र होने के लिए,आधार $1$ होना चाहिए।
अतः,$\frac{1 - p}{p} = 1 \implies 1 - p = p \implies 2p = 1 \implies p = \frac{1}{2}$.

(A) माना $n = 11$ कुल कदमों की संख्या है। माना $F$ आगे के कदम और $B$ पीछे के कदम हैं। हमारे पास $F + B = 11$ है।
शुरुआती बिंदु से एक कदम दूर रहने के लिए,शुद्ध विस्थापन $F - B = 1$ या $F - B = -1$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: $F - B = 1$. $F + B = 11$ और $F - B = 1$ को जोड़ने पर $2F = 12$ प्राप्त होता है,इसलिए $F = 6$ और $B = 5$ है।
प्रायिकता $P(F=6) = ^{11}C_6 (0.4)^6 (0.6)^5$ है।
स्थिति $2$: $F - B = -1$. $F + B = 11$ और $F - B = -1$ को जोड़ने पर $2F = 10$ प्राप्त होता है,इसलिए $F = 5$ और $B = 6$ है।
प्रायिकता $P(F=5) = ^{11}C_5 (0.4)^5 (0.6)^6$ है।
चूंकि $^{11}C_6 = ^{11}C_5$,कुल प्रायिकता $P = ^{11}C_6 (0.4)^6 (0.6)^5 + ^{11}C_6 (0.4)^5 (0.6)^6$ है।
$P = ^{11}C_6 (0.4)^5 (0.6)^5 (0.4 + 0.6) = ^{11}C_6 (0.24)^5 (1) = ^{11}C_6 (0.24)^5$.

(D) मान लीजिए $n$ गिराए गए बमों की संख्या है। मान लीजिए $X$ पुल से टकराने वाले बमों की संख्या है। $X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $p = 1/2$ है।
यदि कम से कम $2$ हिट मिलते हैं तो पुल नष्ट हो जाता है,यानी $X \geq 2$।
हम चाहते हैं कि $P(X \geq 2) > 0.9$ हो।
यह $1 - P(X < 2) > 0.9$ के बराबर है,जिसका अर्थ है $P(X < 2) < 0.1$।
$P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = \binom{n}{0} (1/2)^n + \binom{n}{1} (1/2)^{n-1} (1/2) = (1/2)^n + n(1/2)^n = \frac{n+1}{2^n}$।
अतः,हमें $\frac{n+1}{2^n} < 0.1$ या $10(n+1) < 2^n$ की आवश्यकता है।
$n$ के मानों की जाँच करने पर:
$n=7$ के लिए: $10(7+1) = 80$ और $2^7 = 128$। चूँकि $80 < 128$,यह शर्त पूरी होती है।
$n=6$ के लिए: $10(6+1) = 70$ और $2^6 = 64$। चूँकि $70 < 64$ गलत है।
इस प्रकार,न्यूनतम पूर्णांक $n=7$ है। हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार,$8$ सबसे छोटा विकल्प है जो शर्त को पूरा करता है।

(A) $10$ वें उछाल पर चौथा छक्का प्राप्त करने के लिए,पहले $9$ उछालों में ठीक $3$ छक्के और $10$ वें उछाल पर एक छक्का आना चाहिए।
एक उछाल में छक्का आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{6}$ है,और छक्का न आने की प्रायिकता $q = \frac{5}{6}$ है।
पहले $9$ उछालों में ठीक $3$ छक्के प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र द्वारा दी जाती है: $P(X=3) = ^{9}C_{3} \times (\frac{1}{6})^3 \times (\frac{5}{6})^6$.
$10$ वें उछाल पर छक्का आने की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता: $P = [^{9}C_{3} \times (\frac{1}{6})^3 \times (\frac{5}{6})^6] \times \frac{1}{6} = \frac{84 \times 5^6}{6^{10}}$.

(D) दिया गया है $X \sim B(10, 1/2)$ और $Y \sim B(8, 1/2)$। चूँकि $X$ और $Y$ स्वतंत्र हैं,$P(X+Y=2)$ की गणना सभी संभावित मामलों पर विचार करके की जा सकती है:
$P(X+Y=2) = P(X=0, Y=2) + P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=0)$
$= \left( \binom{10}{0} (1/2)^{10} \times \binom{8}{2} (1/2)^8 \right) + \left( \binom{10}{1} (1/2)^{10} \times \binom{8}{1} (1/2)^8 \right) + \left( \binom{10}{2} (1/2)^{10} \times \binom{8}{0} (1/2)^8 \right)$
$= \frac{1}{2^{18}} \left( 1 \times 28 + 10 \times 8 + 45 \times 1 \right)$
$= \frac{28 + 80 + 45}{2^{18}} = \frac{153}{2^{18}} = \frac{153}{4^9}$

(D) माना $n$ परीक्षणों की संख्या है,$p$ सफलता की प्रायिकता है और $q$ असफलता की प्रायिकता है।
दिया गया है कि माध्य $np = 4$ और प्रसरण $npq = \frac{4}{3}$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{4/3}{4} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
$np = 4$ में $p$ का मान रखने पर,$n \times \frac{2}{3} = 4$,जिसका अर्थ है $n = 6$ है।
कम से कम दो सफलताओं की प्रायिकता $P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ है।
द्विपद सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = \binom{6}{0} (\frac{2}{3})^0 (\frac{1}{3})^6 = 1 \times 1 \times \frac{1}{729} = \frac{1}{729}$।
$P(X = 1) = \binom{6}{1} (\frac{2}{3})^1 (\frac{1}{3})^5 = 6 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{243} = \frac{36}{729}$।
अतः,$P(X \geq 2) = 1 - (\frac{1}{729} + \frac{36}{729}) = 1 - \frac{37}{729} = \frac{692}{729}$।

(D) द्विपद बंटन के लिए,माध्य $np = 2$ और प्रसरण $npq = 1$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 2$ में रखने पर,$n \times \frac{1}{2} = 2$,जिससे $n = 4$ प्राप्त होता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = {^nC_k} p^k q^{n-k} = {^4C_k} (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{4-k} = {^4C_k} (\frac{1}{2})^4$ है।
हमें $P(X > 1) = 1 - P(X \le 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$ ज्ञात करना है।
$P(X = 0) = {^4C_0} (\frac{1}{2})^4 = 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$।
$P(X = 1) = {^4C_1} (\frac{1}{2})^4 = 4 \times \frac{1}{16} = \frac{4}{16}$।
अतः,$P(X > 1) = 1 - (\frac{1}{16} + \frac{4}{16}) = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$।

(B) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $np = 2$ और प्रसरण $npq = 1$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 2$ में रखने पर,$n(\frac{1}{2}) = 2$ प्राप्त होता है,अतः $n = 4$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = \binom{4}{k} (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{4-k} = \binom{4}{k} \frac{1}{16}$ है।
हमें $P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$ ज्ञात करना है।
$P(X = 2) = \binom{4}{2} \frac{1}{16} = 6 \times \frac{1}{16} = \frac{6}{16}$.
$P(X = 3) = \binom{4}{3} \frac{1}{16} = 4 \times \frac{1}{16} = \frac{4}{16}$.
$P(X = 4) = \binom{4}{4} \frac{1}{16} = 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$.
अतः,$P(X > 1) = \frac{6}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{11}{16}$.

(B) प्रत्येक परीक्षण में,तीन सिक्के उछाले जाते हैं। कुल परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ है।
सभी चित $(HHH)$ या सभी पट $(TTT)$ के परिणाम $2$ हैं।
अतः,एक परीक्षण में सभी चित या सभी पट प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ है।
सभी चित या सभी पट न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
हम चाहते हैं कि यह घटना $3^{rd}$ परीक्षण में दूसरी बार हो। इसका मतलब है कि पहले $2$ परीक्षणों में,घटना ठीक एक बार होनी चाहिए,और $3^{rd}$ परीक्षण में,यह होनी चाहिए।
प्रायिकता इस प्रकार है: $P = (2 \text{ परीक्षणों में } 1 \text{ सफलता की प्रायिकता}) \times (3^{rd} \text{ परीक्षण में सफलता की प्रायिकता})$.
$P = \binom{2}{1} \times p^1 \times q^1 \times p = 2 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}$.

(B) जब एक सिक्के को $8$ बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $2^8 = 256$ होती है।
कम से कम एक चित और कम से कम एक पट प्राप्त करने की घटना,सभी चित या सभी पट प्राप्त करने की घटना की पूरक घटना है।
$P(\text{सभी चित}) = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}$।
$P(\text{सभी पट}) = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}$।
सभी चित या सभी पट प्राप्त करने की प्रायिकता $P(\text{सभी चित}) + P(\text{सभी पट}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{256} = \frac{2}{256} = \frac{1}{128}$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - \frac{1}{128} = \frac{127}{128}$ है।

(D) मान लीजिए $p(F) = q$ और $p(S) = p$ है। दिया गया है कि $p = 2q$ है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $2q + q = 1$,जिससे $3q = 1$ प्राप्त होता है,अतः $q = \frac{1}{3}$ और $p = \frac{2}{3}$ है।
यह एक द्विपद बंटन है जहाँ $n = 6$,$p = \frac{2}{3}$,और $q = \frac{1}{3}$ है।
कम से कम $5$ सफलताओं की प्रायिकता $P(X \geq 5) = P(X = 5) + P(X = 6)$ है।
सूत्र $P(X = k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
$P(X = 5) = {^6C_5} \left(\frac{2}{3}\right)^5 \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 6 \times \frac{32}{243} \times \frac{1}{3} = \frac{192}{729}$।
$P(X = 6) = {^6C_6} \left(\frac{2}{3}\right)^6 \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{64}{729} \times 1 = \frac{64}{729}$।
अतः,$P(X \geq 5) = \frac{192}{729} + \frac{64}{729} = \frac{256}{729}$।

(B) दिया गया है कि $X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है,जिसका प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = ^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ है।
हमें दिया गया है कि $P(X = 2) = P(X = 3)$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर: $^{n}C_{2} p^{2} (1-p)^{n-2} = ^{n}C_{3} p^{3} (1-p)^{n-3}$।
दोनों पक्षों को $p^{2} (1-p)^{n-3}$ से विभाजित करने पर: $^{n}C_{2} (1-p) = ^{n}C_{3} p$।
संयोजन के सूत्र का विस्तार करने पर: $\frac{n!}{2!(n-2)!} (1-p) = \frac{n!}{3!(n-3)!} p$।
सरल करने पर: $\frac{1}{2} (1-p) = \frac{1}{3(n-2)} (n-2) p$ अर्थात $\frac{1-p}{2} = \frac{(n-2)p}{6}$।
अतः,$3(1-p) = (n-2)p$।
$3 - 3p = np - 2p$।
$np = 3 - p$।
चूंकि द्विपद वितरण का माध्य $E(X) = np$ होता है,इसलिए $E(X) = 3 - p$ प्राप्त होता है।

(A) माना लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $p = \frac{2}{5}$ है।
अतः लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ है।
$k$ प्रयासों में लक्ष्य को कम से कम एक बार भेदने की प्रायिकता $1 - P(\text{शून्य बार भेदना}) = 1 - q^k$ द्वारा दी जाती है।
हमें दिया गया है कि यह प्रायिकता $\frac{7}{10}$ से अधिक है:
$1 - (\frac{3}{5})^k > \frac{7}{10}$
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$-(\frac{3}{5})^k > \frac{7}{10} - 1$
$-(\frac{3}{5})^k > -\frac{3}{10}$
$-1$ से गुणा करने पर (और असमिका का चिह्न बदलने पर):
$(\frac{3}{5})^k < \frac{3}{10}$
$k=1$ के लिए: $(\frac{3}{5})^1 = 0.6$,जो $0.3$ से कम नहीं है।
$k=2$ के लिए: $(\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25} = 0.36$,जो $0.3$ से कम नहीं है।
$k=3$ के लिए: $(\frac{3}{5})^3 = \frac{27}{125} = 0.216$,जो $0.3$ से कम है।
अतः,$k$ का न्यूनतम मान $3$ है।

(D) कुल पत्तों की संख्या $52$ है और इक्कों की संख्या $4$ है।
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,एक बार में इक्का निकालने की प्रायिकता $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है और इक्का न निकालने की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ है।
यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 2$ और $p = \frac{1}{13}$ है।
$P(X = 1) = \binom{2}{1} \times p^1 \times q^1 = 2 \times \frac{1}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$.
$P(X = 2) = \binom{2}{2} \times p^2 \times q^0 = 1 \times \left(\frac{1}{13}\right)^2 \times 1 = \frac{1}{169}$.
अतः,$P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{24}{169} + \frac{1}{169} = \frac{25}{169}$.

(C) मान लीजिए $n$ स्वतंत्र शॉट्स की संख्या है।
एक शॉट में लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $p = \frac{1}{3}$ है।
एक शॉट में लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
सभी $n$ शॉट्स में लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $q^n = \left(\frac{2}{3}\right)^n$ है।
कम से कम एक बार लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $1 - P(\text{सभी में चूकने}) = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n$ है।
हमें दिया गया है कि यह प्रायिकता $\frac{5}{6}$ से अधिक होनी चाहिए:
$1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n > \frac{5}{6}$
$\left(\frac{2}{3}\right)^n < 1 - \frac{5}{6}$
$\left(\frac{2}{3}\right)^n < \frac{1}{6}$
अब,हम $n$ के लिए मानों की जाँच करते हैं:
$n = 3$ के लिए: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} \approx 0.296 > 0.166$
$n = 4$ के लिए: $\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81} \approx 0.197 > 0.166$
$n = 5$ के लिए: $\left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{32}{243} \approx 0.131 < 0.166$
अतः,आवश्यक न्यूनतम शॉट्स की संख्या $n = 5$ है।

(B) कुल गेंदों की संख्या $30 + 10 = 40$ है।
सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $p = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$ है।
लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{4}$ है।
प्रयासों की संख्या $n = 16$ है।
चूंकि गेंदें प्रतिस्थापन के साथ निकाली जाती हैं,इसलिए $X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है।
$X$ का माध्य $E(X) = np = 16 \times \frac{3}{4} = 12$ है।
$X$ का मानक विचलन $\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{16 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4}} = \sqrt{3}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{\text{mean}}{\text{standard deviation}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ है।

(C) मान लीजिए कि सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है।
कम से कम एक चित आने की प्रायिकता $P(\text{at least one head}) = 1 - P(\text{no head})$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि सिक्का निष्पक्ष है,$n$ उछाल में कोई चित न आने (सभी पट आने) की प्रायिकता $(\frac{1}{2})^n$ है।
हम चाहते हैं कि $P(\text{at least one head}) \ge 90\%$,जिसका अर्थ है $1 - (\frac{1}{2})^n \ge 0.9$.
$1 - 0.9 \ge (\frac{1}{2})^n$
$0.1 \ge \frac{1}{2^n}$
$\frac{1}{10} \ge \frac{1}{2^n}$
$2^n \ge 10$.
$n=3$ के लिए,$2^3 = 8 < 10$.
$n=4$ के लिए,$2^4 = 16 \ge 10$.
अतः,आवश्यक उछालों की न्यूनतम संख्या $4$ है।

(C) मान लीजिए कि सिक्का $n$ बार उछाला जाता है। कम से कम एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(\text{at least one head}) = 1 - P(\text{no head})$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि सिक्का निष्पक्ष है,$n$ उछालों में कोई भी चित न आने की प्रायिकता $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ है।
हम चाहते हैं कि $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n > \frac{99}{100}$ हो।
इसे सरल करने पर $1 - \frac{99}{100} > \left(\frac{1}{2}\right)^n$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{100} > \left(\frac{1}{2}\right)^n$।
यह $2^n > 100$ के बराबर है।
हम जानते हैं कि $2^6 = 64$ और $2^7 = 128$ होता है।
चूंकि $128 > 100$,इसलिए $n$ का न्यूनतम पूर्णांक मान $7$ है।

(C) माना कुल समस्याओं की संख्या $n = 50$ है।
समस्या को हल करने की प्रायिकता $p = \frac{4}{5}$ है।
समस्या को हल न कर पाने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{5}$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि उम्मीदवार दो से कम समस्याओं को हल करने में असमर्थ है,जिसका अर्थ है कि हल न की गई समस्याओं की संख्या $(X)$ $0$ या $1$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = ^{n}C_{k} q^{k} p^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$
$P(X = 0) = ^{50}C_{0} \left( \frac{1}{5} \right)^{0} \left( \frac{4}{5} \right)^{50} = 1 \cdot 1 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{50} = \left( \frac{4}{5} \right)^{50}$
$P(X = 1) = ^{50}C_{1} \left( \frac{1}{5} \right)^{1} \left( \frac{4}{5} \right)^{49} = 50 \cdot \frac{1}{5} \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{49} = 10 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{49}$
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर:
$P(X < 2) = \left( \frac{4}{5} \right)^{50} + 10 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{49}$
$= \left( \frac{4}{5} \right)^{49} \left( \frac{4}{5} + 10 \right)$
$= \left( \frac{4}{5} \right)^{49} \left( \frac{4 + 50}{5} \right)$
$= \frac{54}{5} \left( \frac{4}{5} \right)^{49}$

(C) माना $X$ खराब मशीनों की संख्या है। $X$ एक द्विपद वितरण का पालन करता है जहाँ $n = 5$ और $p = \frac{1}{4}$ है।
$r$ मशीनों के खराब होने की प्रायिकता $P(X = r) = ^{5}C_{r} (\frac{1}{4})^{r} (\frac{3}{4})^{5-r}$ द्वारा दी जाती है।
हमें अधिकतम $2$ मशीनों के खराब होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ है।
$P(X=0) = ^{5}C_{0} (\frac{1}{4})^{0} (\frac{3}{4})^{5} = (\frac{3}{4})^{5}$.
$P(X=1) = ^{5}C_{1} (\frac{1}{4})^{1} (\frac{3}{4})^{4} = 5 \times \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^{4} = \frac{15}{16} (\frac{3}{4})^{3}$.
$P(X=2) = ^{5}C_{2} (\frac{1}{4})^{2} (\frac{3}{4})^{3} = 10 \times \frac{1}{16} \times (\frac{3}{4})^{3} = \frac{10}{16} (\frac{3}{4})^{3}$.
योग करने पर: $P(X \le 2) = (\frac{9}{16} + \frac{15}{16} + \frac{10}{16}) (\frac{3}{4})^{3} = \frac{34}{16} (\frac{3}{4})^{3} = \frac{17}{8} (\frac{3}{4})^{3}$.
इसे $(\frac{3}{4})^{3} k$ के साथ तुलना करने पर,$k = \frac{17}{8}$ प्राप्त होता है।

(N/A) माना $X$ प्रतिस्थापन के साथ दो बार पत्ते निकालने पर प्राप्त इक्कों की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। $X$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
एक बार में इक्का निकालने की प्रायिकता $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
इक्का न निकालने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ है।
चूंकि ड्रा स्वतंत्र हैं (प्रतिस्थापन के साथ),हम द्विपद वितरण $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हैं जहाँ $n=2$:
$P(X=0) = \binom{2}{0} (\frac{1}{13})^0 (\frac{12}{13})^2 = 1 \times 1 \times \frac{144}{169} = \frac{144}{169}$
$P(X=1) = \binom{2}{1} (\frac{1}{13})^1 (\frac{12}{13})^1 = 2 \times \frac{1}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$
$P(X=2) = \binom{2}{2} (\frac{1}{13})^2 (\frac{12}{13})^0 = 1 \times \frac{1}{169} \times 1 = \frac{1}{169}$
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$X$	$P(X)$
$0$	$\frac{144}{169}$
$1$	$\frac{24}{169}$
$2$	$\frac{1}{169}$

(N/A) हल: मान लीजिए $X$ डबलेट्स की संख्या को दर्शाता है। संभावित डबलेट्स $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ हैं।
स्पष्ट रूप से,$X$ का मान $0, 1, 2,$ या $3$ हो सकता है।
डबलेट प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।
डबलेट प्राप्त न करने की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=3$:
$P(X=0) = \binom{3}{0} (\frac{1}{6})^0 (\frac{5}{6})^3 = 1 \times 1 \times \frac{125}{216} = \frac{125}{216}$.
$P(X=1) = \binom{3}{1} (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^2 = 3 \times \frac{1}{6} \times \frac{25}{36} = \frac{75}{216}$.
$P(X=2) = \binom{3}{2} (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^1 = 3 \times \frac{1}{36} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{216}$.
$P(X=3) = \binom{3}{3} (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^0 = 1 \times \frac{1}{216} \times 1 = \frac{1}{216}$.
अतः,आवश्यक प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$X$	$P(X)$
$0$	$\frac{125}{216}$
$1$	$\frac{75}{216}$
$2$	$\frac{15}{216}$
$3$	$\frac{1}{216}$

सत्यापन: $\sum P(X) = \frac{125+75+15+1}{216} = \frac{216}{216} = 1$.

यह दिया गया है कि $30$ बल्बों में से $6$ खराब हैं।
$\Rightarrow$ खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता,$p = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$.
$\Rightarrow$ सही बल्ब निकालने की प्रायिकता,$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
चूंकि $4$ बल्ब प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 4$ और $p = \frac{1}{5}$.
$X$ खराब बल्बों की प्रायिकता $P(X = k) = ^{4}C_{k} \cdot (p)^{k} \cdot (q)^{4-k}$ द्वारा दी जाती है।
$P(X=0) = ^{4}C_{0} \cdot (\frac{1}{5})^{0} \cdot (\frac{4}{5})^{4} = \frac{256}{625}$.
$P(X=1) = ^{4}C_{1} \cdot (\frac{1}{5})^{1} \cdot (\frac{4}{5})^{3} = \frac{256}{625}$.
$P(X=2) = ^{4}C_{2} \cdot (\frac{1}{5})^{2} \cdot (\frac{4}{5})^{2} = \frac{96}{625}$.
$P(X=3) = ^{4}C_{3} \cdot (\frac{1}{5})^{3} \cdot (\frac{4}{5})^{1} = \frac{16}{625}$.
$P(X=4) = ^{4}C_{4} \cdot (\frac{1}{5})^{4} \cdot (\frac{4}{5})^{0} = \frac{1}{625}$.

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X)$	$\frac{256}{625}$	$\frac{256}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{16}{625}$	$\frac{1}{625}$

(A) परीक्षणों की एक श्रृंखला को बर्नोली परीक्षण कहा जाता है यदि वे निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हैं:
$1$. परीक्षणों की संख्या निश्चित हो।
$2$. प्रत्येक परीक्षण के केवल दो परिणाम (सफलता या असफलता) हों।
$3$. प्रत्येक परीक्षण के लिए सफलता की प्रायिकता स्थिर रहे।
इस प्रश्न में:
$1$. परीक्षणों की संख्या $6$ है,जो निश्चित है।
$2$. प्रत्येक बार गेंद निकालने पर या तो लाल गेंद (सफलता) मिलती है या काली गेंद (असफलता)।
$3$. चूंकि प्रत्येक बार गेंद को वापस रख दिया जाता है,इसलिए कुल गेंदों की संख्या $7 + 9 = 16$ स्थिर रहती है।
अतः,प्रत्येक परीक्षण में लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $p = \frac{7}{16}$ है,जो सभी $6$ परीक्षणों के लिए समान रहती है।
चूंकि सभी शर्तें पूरी होती हैं,इसलिए ये परीक्षण बर्नोली परीक्षण हैं।

(N/A) बर्नौली परीक्षण होने के लिए,दो शर्तों का पूरा होना आवश्यक है: $(i)$ परीक्षण स्वतंत्र होने चाहिए,और (ii) प्रत्येक परीक्षण के लिए सफलता की प्रायिकता स्थिर रहनी चाहिए।
इस प्रयोग में,गेंदों को बिना प्रतिस्थापन (बिना वापस रखे) निकाला जाता है।
मान लीजिए $S$ लाल गेंद निकालने की घटना (सफलता) है।
पहले परीक्षण में,सफलता की प्रायिकता $P(S_1) = \frac{7}{16}$ है।
दूसरे परीक्षण में,यदि पहली गेंद लाल थी,तो सफलता की प्रायिकता $P(S_2|S_1) = \frac{6}{15}$ हो जाती है। यदि पहली गेंद काली थी,तो प्रायिकता $P(S_2|S_1^c) = \frac{7}{15}$ हो जाती है।
चूंकि सफलता की प्रायिकता पिछले परीक्षणों के परिणाम पर निर्भर करती है,इसलिए परीक्षण स्वतंत्र नहीं हैं और सफलता की प्रायिकता स्थिर नहीं है।
अतः,ये परीक्षण बर्नौली परीक्षण नहीं हैं।

(A) सिक्के को बार-बार उछालना बर्नौली परीक्षण है। मान लीजिए $X$ $10$ परीक्षणों के प्रयोग में चितों की संख्या को दर्शाता है।
स्पष्ट रूप से,$X$ $n=10$ और $p=\frac{1}{2}$ के साथ द्विपद बंटन (binomial distribution) का पालन करता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x = 0, 1, 2, \dots, n$ है।
यहाँ,$n=10$,$p=\frac{1}{2}$,और $q=1-p=\frac{1}{2}$ है।
इसलिए,$P(X=x) = ^{10}C_{x} (\frac{1}{2})^{10-x} (\frac{1}{2})^{x} = ^{10}C_{x} (\frac{1}{2})^{10}$ है।
ठीक छह चित के लिए,हम $x=6$ रखते हैं:
$P(X=6) = ^{10}C_{6} (\frac{1}{2})^{10} = \frac{10!}{6! \times 4!} \times \frac{1}{1024}$।
$P(X=6) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{1}{1024} = 210 \times \frac{1}{1024} = \frac{210}{1024} = \frac{105}{512}$।

(A) सिक्के को बार-बार उछालना बर्नौली परीक्षण है। मान लीजिए $X$ $10$ परीक्षणों के प्रयोग में चितों की संख्या को दर्शाता है।
स्पष्ट रूप से,$X$ $n=10$ और $p=\frac{1}{2}$ के साथ द्विपद वितरण (binomial distribution) का पालन करता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x}$ है,जहाँ $x = 0, 1, 2, \dots, 10$.
यहाँ,$n=10$,$p=\frac{1}{2}$,और $q=1-p=\frac{1}{2}$.
अतः,$P(X=x) = ^{10}C_{x} (\frac{1}{2})^{10-x} (\frac{1}{2})^{x} = ^{10}C_{x} (\frac{1}{2})^{10}$.
हमें $P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$ ज्ञात करना है।
$P(X \geq 6) = [^{10}C_{6} + ^{10}C_{7} + ^{10}C_{8} + ^{10}C_{9} + ^{10}C_{10}] \times (\frac{1}{2})^{10}$.
संचय (combinations) की गणना करने पर:
$^{10}C_{6} = 210$,$^{10}C_{7} = 120$,$^{10}C_{8} = 45$,$^{10}C_{9} = 10$,$^{10}C_{10} = 1$.
योग $= 210 + 120 + 45 + 10 + 1 = 386$.
$P(X \geq 6) = \frac{386}{1024} = \frac{193}{512}$.

(A) सिक्के को बार-बार उछालना बर्नौली परीक्षण है। मान लीजिए $X$ $10$ परीक्षणों के प्रयोग में चितों की संख्या को दर्शाता है।
स्पष्ट रूप से,$X$ $n=10$ और $p=\frac{1}{2}$ के साथ द्विपद वितरण का पालन करता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = ^{10}C_x (\frac{1}{2})^{10}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $P(X \leq 6) = 1 - P(X > 6) = 1 - [P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)]$ ज्ञात करना है।
$P(X=7) = ^{10}C_7 (\frac{1}{2})^{10} = \frac{120}{1024}$.
$P(X=8) = ^{10}C_8 (\frac{1}{2})^{10} = \frac{45}{1024}$.
$P(X=9) = ^{10}C_9 (\frac{1}{2})^{10} = \frac{10}{1024}$.
$P(X=10) = ^{10}C_{10} (\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{1024}$.
योग $= \frac{120+45+10+1}{1024} = \frac{176}{1024} = \frac{11}{64}$.
अतः,$P(X \leq 6) = 1 - \frac{11}{64} = \frac{53}{64}$.

(A) मान लीजिए कि $X$ निकाले गए $10$ अंडों में खराब अंडों की संख्या है।
चूंकि चयन प्रतिस्थापन के साथ (with replacement) किया जाता है,इसलिए ये बर्नौली परीक्षण हैं।
यहाँ,$n = 10$ और खराब अंडे की प्रायिकता $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ है।
अतः,सही अंडे की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ है।
हमें कम से कम एक खराब अंडे की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \geq 1)$ है।
पूरक नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$.
द्विपद वितरण के लिए,$P(X = k) = ^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$.
इसलिए,$P(X = 0) = ^{10}C_{0} (\frac{1}{10})^{0} (\frac{9}{10})^{10} = 1 \times 1 \times (\frac{9}{10})^{10} = (\frac{9}{10})^{10}$.
अतः,$P(X \geq 1) = 1 - (\frac{9}{10})^{10}$.

(A) पासे को बार-बार फेंकना बर्नौली परीक्षण है। मान लीजिए $X$,$n=6$ परीक्षणों के प्रयोग में विषम संख्या प्राप्त करने की सफलताओं की संख्या को दर्शाता है।
पासे की एक फेंक में विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$X$ प्राचलों $n=6$ और $p=\frac{1}{2}$ के साथ द्विपद बंटन का पालन करता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = ^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $5$ सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात करनी है,अर्थात $P(X=5)$।
$P(X=5) = ^{6}C_{5} \left(\frac{1}{2}\right)^{5} \left(\frac{1}{2}\right)^{6-5}$।
$P(X=5) = 6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{5} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{6}$।
$P(X=5) = 6 \times \frac{1}{64} = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}$।

(A) पासे को बार-बार फेंकना बर्नौली परीक्षण है। मान लीजिए $X$ $6$ परीक्षणों के प्रयोग में विषम संख्या प्राप्त करने की सफलताओं की संख्या को दर्शाता है।
पासे के एक बार फेंकने पर विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
इसलिए,$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$X$ $n = 6$ और $p = \frac{1}{2}$ मापदंडों के साथ द्विपद वितरण का पालन करता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = ^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x}$ द्वारा दिया जाता है।
$P(X = x) = ^{6}C_{x} \left(\frac{1}{2}\right)^{x} \left(\frac{1}{2}\right)^{6-x} = ^{6}C_{x} \left(\frac{1}{2}\right)^{6}$।
हमें कम से कम $5$ सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \geq 5) = P(X = 5) + P(X = 6)$ है।
$P(X = 5) = ^{6}C_{5} \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = 6 \times \frac{1}{64} = \frac{6}{64}$।
$P(X = 6) = ^{6}C_{6} \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = 1 \times \frac{1}{64} = \frac{1}{64}$।
$P(X \geq 5) = \frac{6}{64} + \frac{1}{64} = \frac{7}{64}$।

(A) पासे को बार-बार फेंकना बर्नौली परीक्षण है। मान लीजिए $X$ $6$ परीक्षणों के प्रयोग में विषम संख्याएँ प्राप्त करने की सफलताओं की संख्या को दर्शाता है।
पासे की एक फेंक में विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
इसलिए,$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$X$ द्विपद बंटन $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 6$ और $p = \frac{1}{2}$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = ^{6}C_{x} \left(\frac{1}{2}\right)^{6-x} \left(\frac{1}{2}\right)^{x} = ^{6}C_{x} \left(\frac{1}{2}\right)^{6}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें अधिकतम $5$ सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \leq 5)$ है।
पूरक नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \leq 5) = 1 - P(X > 5) = 1 - P(X = 6)$ है।
$P(X = 6) = ^{6}C_{6} \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = 1 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{64}$ है।
इसलिए,$P(X \leq 5) = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$ है।

(A) पासे के एक जोड़े को बार-बार फेंकना बर्नौली परीक्षण है। मान लीजिए $X$ दो पासों को एक साथ $4$ बार फेंकने के प्रयोग में डबलेट प्राप्त करने की संख्या को दर्शाता है।
पासे के एक जोड़े को एक बार फेंकने पर डबलेट प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।
इसलिए,$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।
स्पष्ट रूप से,$X$ का द्विपद वितरण $n = 4$,$p = \frac{1}{6}$,और $q = \frac{5}{6}$ है।
$x$ सफलताओं की प्रायिकता $P(X = x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x}$ द्वारा दी जाती है।
$x = 2$ के लिए:
$P(X = 2) = ^{4}C_{2} \cdot (\frac{5}{6})^{4-2} \cdot (\frac{1}{6})^{2}$
$P(X = 2) = 6 \cdot (\frac{5}{6})^{2} \cdot (\frac{1}{6})^{2}$
$P(X = 2) = 6 \cdot \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{36}$
$P(X = 2) = 6 \cdot \frac{25}{1296} = \frac{25}{216}$।

(A) मान लीजिए $X$ $10$ वस्तुओं के नमूने में खराब वस्तुओं की संख्या को दर्शाता है। चूंकि वस्तुएं एक बड़े जत्थे से ली गई हैं,इसलिए ये परीक्षण बर्नौली परीक्षण हैं।
यहाँ $p = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$ और $q = 1 - p = \frac{19}{20}$ है।
$X$ $n = 10$ और $p = \frac{1}{20}$ के साथ द्विपद वितरण का पालन करता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = ^{10}C_{x} \left(\frac{19}{20}\right)^{10-x} \left(\frac{1}{20}\right)^{x}$ है।
हमें $P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ ज्ञात करना है।
$P(X = 0) = ^{10}C_{0} \left(\frac{19}{20}\right)^{10} \left(\frac{1}{20}\right)^{0} = \left(\frac{19}{20}\right)^{10}$.
$P(X = 1) = ^{10}C_{1} \left(\frac{19}{20}\right)^{9} \left(\frac{1}{20}\right)^{1} = 10 \cdot \left(\frac{19}{20}\right)^{9} \cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{19}{20}\right)^{9}$.
$P(X \leq 1) = \left(\frac{19}{20}\right)^{10} + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{19}{20}\right)^{9} = \left(\frac{19}{20}\right)^{9} \left[ \frac{19}{20} + \frac{10}{20} \right] = \left(\frac{29}{20}\right) \cdot \left(\frac{19}{20}\right)^{9}$.

(A) मान लीजिए $X$ निकाले गए पाँच पत्तों में हुकुम के पत्तों की संख्या को दर्शाता है। चूँकि पत्तों को प्रतिस्थापन के साथ निकाला जा रहा है,इसलिए ये बर्नौली परीक्षण हैं।
$52$ पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में $13$ हुकुम के पत्ते होते हैं।
इसलिए,एक परीक्षण में हुकुम का पत्ता निकालने की प्रायिकता $p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ है।
हुकुम का पत्ता न निकालने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
$X$ एक द्विपद वितरण का पालन करता है जहाँ $n = 5$ और $p = \frac{1}{4}$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि सभी पाँचों पत्ते हुकुम के हों,जो $P(X = 5)$ है।
$P(X = 5) = ^{5}C_{5} \left(\frac{3}{4}\right)^{5-5} \left(\frac{1}{4}\right)^{5}$.
$P(X = 5) = 1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{0} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{5}$.
$P(X = 5) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{1}{1024}$.

(A) मान लीजिए $X$ निकाले गए पाँच पत्तों में हुकुम के पत्तों की संख्या को दर्शाता है। चूँकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जा रहे हैं,इसलिए ये बर्नौली परीक्षण हैं।
$52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में $13$ हुकुम के पत्ते होते हैं।
अतः,एक बार में हुकुम का पत्ता निकालने की प्रायिकता $p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ है।
हुकुम का पत्ता न निकालने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
यहाँ,$n = 5$ है और $X$ द्विपद बंटन $B(n, p)$ का पालन करता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = ^{n}C_{x} \cdot q^{n-x} \cdot p^{x}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि ठीक $3$ पत्ते हुकुम के हों,अर्थात $P(X = 3)$।
$P(X = 3) = ^{5}C_{3} \cdot (\frac{3}{4})^{5-3} \cdot (\frac{1}{4})^{3}$.
$P(X = 3) = 10 \cdot (\frac{3}{4})^{2} \cdot (\frac{1}{4})^{3}$.
$P(X = 3) = 10 \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{64}$.
$P(X = 3) = 10 \cdot \frac{9}{1024} = \frac{90}{1024} = \frac{45}{512}$.

(A) माना $X$ निकाले गए पाँच पत्तों में हुकुम (spade) के पत्तों की संख्या को दर्शाता है। चूँकि पत्तों को प्रतिस्थापन के साथ निकाला जा रहा है,इसलिए ये बर्नौली परीक्षण हैं।
$52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में $13$ हुकुम के पत्ते होते हैं।
हुकुम का पत्ता निकालने की प्रायिकता,$p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
हुकुम का पत्ता न निकालने की प्रायिकता,$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
$X$ एक द्विपद वितरण (binomial distribution) का पालन करता है जहाँ $n = 5$ और $p = \frac{1}{4}$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x}$ है,जहाँ $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि कोई भी पत्ता हुकुम का न हो,जो कि $P(X = 0)$ है।
$P(X = 0) = ^{5}C_{0} \cdot (\frac{3}{4})^{5-0} \cdot (\frac{1}{4})^{0}$.
$P(X = 0) = 1 \cdot (\frac{3}{4})^{5} \cdot 1 = \frac{243}{1024}$.
अतः,इस बात की प्रायिकता कि कोई भी पत्ता हुकुम का न हो,$\frac{243}{1024}$ है।

(A) माना $X$ एक प्रयोग में $n=5$ परीक्षणों में $150$ दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज होने वाले बल्बों की संख्या को दर्शाता है। ये बर्नौली परीक्षण हैं।
यह दिया गया है कि सफलता (बल्ब का फ्यूज होना) की प्रायिकता $p=0.05$ है।
इसलिए,असफलता (बल्ब का फ्यूज न होना) की प्रायिकता $q=1-p=1-0.05=0.95$ है।
$X$ एक द्विपद वितरण का पालन करता है जहाँ $n=5$ और $p=0.05$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x=0, 1, 2, ..., 5$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि कोई भी बल्ब फ्यूज न हो,जो $P(X=0)$ के बराबर है।
$P(X=0) = ^{5}C_{0} (0.95)^{5-0} (0.05)^{0}$.
चूंकि $^{5}C_{0} = 1$ और $(0.05)^{0} = 1$,इसलिए:
$P(X=0) = 1 \times (0.95)^{5} \times 1 = (0.95)^{5}$.

(A) माना $X$ उन बल्बों की संख्या को दर्शाता है जो $5$ परीक्षणों के प्रयोग में $150$ दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज हो जाएंगे। ये परीक्षण बर्नौली परीक्षण हैं।
यहाँ $p = 0.05$ दिया गया है।
$\therefore q = 1 - p = 1 - 0.05 = 0.95$.
$X$ एक द्विपद वितरण का पालन करता है जहाँ $n = 5$ और $p = 0.05$ है।
$\therefore P(X = x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x}$,जहाँ $x = 0, 1, 2, ..., 5$.
$= ^{5}C_{x} (0.95)^{5-x} \cdot (0.05)^{x}$.
$P(\text{एक से अधिक नहीं}) = P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$.
$= ^{5}C_{0} \times (0.95)^{5} \cdot (0.05)^{0} + ^{5}C_{1} (0.95)^{4} \cdot (0.05)^{1}$.
$= 1 \times (0.95)^{5} + 5 \times (0.95)^{4} \times 0.05$.
$= (0.95)^{5} + 0.25 \times (0.95)^{4}$.
$= (0.95)^{4} \times [0.95 + 0.25]$.
$= (0.95)^{4} \times 1.2$.

(B) मान लीजिए $X$ उन बल्बों की संख्या है जो $150$ दिनों के बाद फ्यूज हो जाते हैं। यह द्विपद वितरण का पालन करता है जहाँ $n = 5$ और $p = 0.05$ है।
यहाँ,$q = 1 - p = 0.95$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = ^nC_x q^{n-x} p^x = ^5C_x (0.95)^{5-x} (0.05)^x$ है।
हमें एक से अधिक बल्ब के फ्यूज होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,अर्थात $P(X > 1)$।
$P(X > 1) = 1 - P(X \leq 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$।
$P(X = 0) = ^5C_0 (0.95)^5 (0.05)^0 = (0.95)^5$।
$P(X = 1) = ^5C_1 (0.95)^4 (0.05)^1 = 5 \times (0.95)^4 \times 0.05 = 0.25 \times (0.95)^4$।
अतः,$P(X > 1) = 1 - [(0.95)^5 + 0.25(0.95)^4]$।
सरल करने पर,$P(X > 1) = 1 - (0.95)^4 [0.95 + 0.25] = 1 - 1.2(0.95)^4$।

(A) माना $X$ उन बल्बों की संख्या को दर्शाता है जो $n=5$ परीक्षणों के प्रयोग में $150$ दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज हो जाएंगे। ये बर्नौली परीक्षण हैं।
यह दिया गया है कि बल्ब के फ्यूज होने की प्रायिकता $p=0.05$ है।
इसलिए,बल्ब के फ्यूज न होने की प्रायिकता $q=1-p=1-0.05=0.95$ है।
$X$ एक द्विपद वितरण का पालन करता है जहाँ $n=5$ और $p=0.05$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x=0, 1, 2, 3, 4, 5$ है।
हमें कम से कम एक बल्ब के फ्यूज होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \geq 1)$ है।
$P(X \geq 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X=0)$.
$x=0$ के लिए सूत्र का उपयोग करने पर:
$P(X=0) = ^{5}C_{0} (0.95)^{5-0} (0.05)^{0} = 1 \times (0.95)^{5} \times 1 = (0.95)^{5}$.
अतः,$P(X \geq 1) = 1 - (0.95)^{5}$.

(A) माना $X$ निकाली गई $4$ गेंदों में से $0$ अंक वाली गेंदों की संख्या को दर्शाता है।
चूंकि गेंदें प्रतिस्थापन के साथ निकाली जाती हैं,इसलिए ये बर्नौली परीक्षण हैं।
$X$ एक द्विपद वितरण का पालन करता है जहाँ $n=4$ और सफलता की प्रायिकता $p = \frac{1}{10}$ ($0$ अंक वाली गेंद प्राप्त करना) है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ है।
$x$ सफलताओं की प्रायिकता $P(X=x) = ^{n}C_{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x}$ द्वारा दी जाती है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि किसी भी गेंद पर $0$ अंकित न हो,जो कि $P(X=0)$ है।
$P(X=0) = ^{4}C_{0} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{4-0}$.
$P(X=0) = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{4} = \left(\frac{9}{10}\right)^{4}$.

(A) मान लीजिए $X$ $20$ प्रश्नों में से सही उत्तर दिए गए प्रश्नों की संख्या को दर्शाता है। सिक्के का बार-बार उछालना बर्नौली परीक्षण है। चूंकि छात्र सिक्के के उछाल के आधार पर यादृच्छिक रूप से उत्तर देता है,इसलिए किसी भी प्रश्न का सही उत्तर देने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है।
$\therefore q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$X$ $n = 20$ और $p = \frac{1}{2}$ के साथ द्विपद वितरण का पालन करता है।
$\therefore P(X = x) = {}^{20}C_{x} (\frac{1}{2})^{x} (\frac{1}{2})^{20-x} = {}^{20}C_{x} (\frac{1}{2})^{20}$.
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करने की आवश्यकता है कि छात्र कम से कम $12$ प्रश्नों के सही उत्तर देता है,जो $P(X \geq 12)$ है।
$P(X \geq 12) = P(X = 12) + P(X = 13) + \dots + P(X = 20)$.
$P(X \geq 12) = \sum_{x=12}^{20} {}^{20}C_{x} (\frac{1}{2})^{20} = \frac{1}{2^{20}} \sum_{x=12}^{20} {}^{20}C_{x}$.

(C) $X$ एक यादृच्छिक चर है जो द्विपद वितरण $B(6, 1/2)$ का पालन करता है।
यहाँ,$n = 6$ और $p = 1/2$ है।
अतः,$q = 1 - p = 1 - 1/2 = 1/2$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = ^nC_x q^{n-x} p^x$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $P(X=x) = ^6C_x (1/2)^{6-x} (1/2)^x = ^6C_x (1/2)^6$ प्राप्त होता है।
चूँकि $(1/2)^6$ एक स्थिरांक है,$P(X=x)$ तब अधिकतम होगा जब $^6C_x$ अधिकतम हो।
$^6C_x$ के मानों की गणना:
$^6C_0 = ^6C_6 = 6! / (0! 6!) = 1$
$^6C_1 = ^6C_5 = 6! / (1! 5!) = 6$
$^6C_2 = ^6C_4 = 6! / (2! 4!) = 15$
$^6C_3 = 6! / (3! 3!) = 20$
इन मानों की तुलना करने पर,$^6C_3 = 20$ अधिकतम मान है।
अतः,$P(X=3)$ अधिकतम प्रायिकता है,जो दर्शाता है कि $X=3$ सबसे संभावित परिणाम है।

(A) बहुविकल्पीय प्रश्नों में सही उत्तरों का बार-बार अनुमान लगाना बर्नौली परीक्षण है। मान लीजिए $X$,$n=5$ प्रश्नों के सेट में अनुमान द्वारा प्राप्त सही उत्तरों की संख्या को दर्शाता है।
सही उत्तर प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{1}{3}$ है।
इसलिए,गलत उत्तर की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
$X$ मापदंडों $n=5$ और $p=\frac{1}{3}$ के साथ द्विपद वितरण का पालन करता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = ^{5}C_{x} \cdot (\frac{1}{3})^{x} \cdot (\frac{2}{3})^{5-x}$ है।
हमें $4$ या अधिक सही उत्तर प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \geq 4) = P(X=4) + P(X=5)$ है।
$P(X=4) = ^{5}C_{4} \cdot (\frac{1}{3})^{4} \cdot (\frac{2}{3})^{1} = 5 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{243}$.
$P(X=5) = ^{5}C_{5} \cdot (\frac{1}{3})^{5} \cdot (\frac{2}{3})^{0} = 1 \cdot \frac{1}{243} \cdot 1 = \frac{1}{243}$.
अतः,$P(X \geq 4) = \frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}$.

(A) मान लीजिए $X$ $50$ लॉटरी में जीतने वाले पुरस्कारों की संख्या को दर्शाता है। ये परीक्षण बर्नौली परीक्षण हैं। स्पष्ट रूप से,$X$ $n = 50$ और $p = \frac{1}{100}$ के साथ द्विपद वितरण का पालन करता है।
$\therefore q = 1 - p = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$.
$\therefore P(X = x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x} = ^{50}C_{x} (\frac{99}{100})^{50-x} \cdot (\frac{1}{100})^{x}$.
$P(\text{कम से कम एक बार जीतना}) = P(X \geq 1)$.
$= 1 - P(X < 1)$.
$= 1 - P(X = 0)$.
$= 1 - ^{50}C_{0} (\frac{99}{100})^{50}$.
$= 1 - 1 \cdot (\frac{99}{100})^{50}$.
$= 1 - (\frac{99}{100})^{50}$.

(A) मान लीजिए $X$ $50$ लॉटरी में जीते गए इनामों की संख्या को दर्शाता है। ये परीक्षण बर्नौली परीक्षण हैं। स्पष्ट रूप से,$X$ $n=50$ और $p=\frac{1}{100}$ के साथ द्विपद वितरण का पालन करता है।
$\therefore q = 1 - p = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$.
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = ^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x} = ^{50}C_{x} \left(\frac{1}{100}\right)^{x} \left(\frac{99}{100}\right)^{50-x}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें ठीक एक बार जीतने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X=1)$ है।
$P(X=1) = ^{50}C_{1} \left(\frac{1}{100}\right)^{1} \left(\frac{99}{100}\right)^{50-1}$.
$P(X=1) = 50 \times \frac{1}{100} \times \left(\frac{99}{100}\right)^{49}$.
$P(X=1) = \frac{50}{100} \times \left(\frac{99}{100}\right)^{49} = \frac{1}{2} \left(\frac{99}{100}\right)^{49}$.

(A) माना $X$ $50$ लॉटरी में जीतने वाले इनामों की संख्या को दर्शाता है। ये परीक्षण बर्नौली परीक्षण हैं। स्पष्ट रूप से,$X$ का द्विपद वितरण $n = 50$ और $p = \frac{1}{100}$ के साथ है।
$\therefore q = 1 - p = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$.
$\therefore P(X = x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x} = ^{50}C_{x} \left(\frac{99}{100}\right)^{50-x} \left(\frac{1}{100}\right)^{x}$.
$P(\text{कम से कम दो बार}) = P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$.
$P(X = 0) = ^{50}C_{0} \left(\frac{99}{100}\right)^{50} \left(\frac{1}{100}\right)^{0} = \left(\frac{99}{100}\right)^{50}$.
$P(X = 1) = ^{50}C_{1} \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \left(\frac{1}{100}\right)^{1} = 50 \cdot \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \cdot \frac{1}{100} = \frac{1}{2} \left(\frac{99}{100}\right)^{49}$.
$P(X \geq 2) = 1 - \left[ \left(\frac{99}{100}\right)^{50} + \frac{1}{2} \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \right]$.
$= 1 - \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \left[ \frac{99}{100} + \frac{1}{2} \right] = 1 - \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \left[ \frac{99 + 50}{100} \right] = 1 - \left(\frac{149}{100}\right) \left(\frac{99}{100}\right)^{49}$.