Binomial distribution Questions in Hindi

(A) माना $X$ सफल हिट की संख्या है,जहाँ $X \sim B(n, p)$ और $p = 0.75 = \frac{3}{4}$ तथा $q = 1 - p = 0.25 = \frac{1}{4}$ है।
लक्ष्य को नष्ट करने के लिए कम से कम $3$ सफल हिट की आवश्यकता है,इसलिए $P(X \geq 3) \geq 0.95$।
यह $1 - P(X < 3) \geq 0.95$ के बराबर है,या $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \leq 0.05$।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = {}^{n}C_{r} (\frac{3}{4})^r (\frac{1}{4})^{n-r}$ है।
मान रखने पर: ${}^{n}C_{0} (\frac{1}{4})^n + {}^{n}C_{1} (\frac{3}{4}) (\frac{1}{4})^{n-1} + {}^{n}C_{2} (\frac{3}{4})^2 (\frac{1}{4})^{n-2} \leq 0.05$।
$\frac{1}{4^n} [1 + 3n + \frac{9n(n-1)}{2}] \leq 0.05$।
$1 + 3n + 4.5n^2 - 4.5n \leq 0.05 \times 4^n$।
$4.5n^2 - 1.5n + 1 \leq 0.05 \times 4^n$।
$n=5$ के लिए: $4.5(25) - 1.5(5) + 1 = 112.5 - 7.5 + 1 = 106 \leq 0.05(1024) = 51.2$ (गलत)।
$n=6$ के लिए: $4.5(36) - 1.5(6) + 1 = 162 - 9 + 1 = 154 \leq 0.05(4096) = 204.8$ (सही)।
अतः,आवश्यक मिसाइलों की न्यूनतम संख्या $6$ है।

(D) बिस्मथ की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ $= 5 \text{ दिन}$ है।
प्रारंभिक द्रव्यमान $(N_0)$ $= 1000 \text{ mg}$ है।
कुल समय $(t)$ $= 30 \text{ दिन}$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ $= \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{30}{5} = 6$ है।
शेष द्रव्यमान $(N)$ ज्ञात करने का सूत्र $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ है।
$N = 1000 \times (\frac{1}{2})^6$.
$N = 1000 \times \frac{1}{64}$.
$N = 15.625 \text{ mg}$.

(C) मान लीजिए कि $p$ एक बार में दस (ten) निकालने की प्रायिकता है। $52$ पत्तों की गड्डी में $4$ दस होते हैं,इसलिए $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
दस न निकालने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ है।
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए दसों की संख्या $X$,$n = 2$ और $p = \frac{1}{13}$ के साथ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करती है।
द्विपद वितरण का माध्य $E(X) = np$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,दसों की संख्या का माध्य $E(X) = 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$ है।

(D) कुल सेबों की संख्या $N = 100$ है। खराब सेबों की संख्या $M = 10$ है और सही सेबों की संख्या $N - M = 90$ है।
हम $n = 6$ सेबों का नमूना चुनते हैं। हमें $k = 3$ खराब सेब होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
यह हाइपरजियोमेट्रिक वितरण का पालन करता है:
$P(X = k) = \frac{\binom{M}{k} \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
बाइनोमियल सन्निकटन $(p = 0.1)$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 3) = \binom{6}{3} (0.1)^3 (0.9)^3 = 20 \times 0.001 \times 0.729 = 0.01458$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) मान लीजिए कि आगे का कदम एक सफलता $(p = 0.4)$ है और पीछे का कदम एक विफलता $(q = 0.6)$ है।
$11$ कदमों के बाद शुरुआती बिंदु से एक कदम दूर रहने के लिए,आगे के कदमों $(n_f)$ और पीछे के कदमों $(n_b)$ को $n_f - n_b = 1$ या $n_b - n_f = 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
चूंकि $n_f + n_b = 11$,संभावित स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: $n_f = 6$ और $n_b = 5$.
स्थिति $2$: $n_f = 5$ और $n_b = 6$.
आवश्यक प्रायिकता $P = { }^{11} C_6 p^6 q^5 + { }^{11} C_5 p^5 q^6$ है।
चूंकि ${ }^{11} C_6 = { }^{11} C_5$,हमें प्राप्त होता है:
$P = { }^{11} C_6 (p^6 q^5 + p^5 q^6) = { }^{11} C_6 p^5 q^5 (p + q)$.
$p + q = 0.4 + 0.6 = 1$ दिया गया है,इसलिए:
$P = { }^{11} C_6 (0.4)^5 (0.6)^5 (1) = { }^{11} C_6 (0.24)^5$.

(B) माना $p$ सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है और $q = 1 - p$ विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है।
माना यादृच्छिक चर $X \sim B(n, p)$ जहाँ $n = 5$ है।
दिया गया है कि $P(X = 3) = 2 P(X = 2)$ है।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X = k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
${ }^5 C_3 p^3 q^2 = 2 \times { }^5 C_2 p^2 q^3$.
चूँकि ${ }^5 C_3 = 10$ और ${ }^5 C_2 = 10$,इसलिए $10 p^3 q^2 = 20 p^2 q^3$ है।
दोनों पक्षों को $10 p^2 q^2$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $p, q \neq 0$),हमें $p = 2q$ प्राप्त होता है।
चूँकि $p + q = 1$,$p = 2q$ प्रतिस्थापित करने पर $3q = 1$ मिलता है,इसलिए $q = \frac{1}{3}$ और $p = \frac{2}{3}$ है।
$5$ बार फेंकने पर कोई भी सम संख्या न मिलने की प्रायिकता $P(X = 0) = { }^5 C_0 p^0 q^5 = q^5 = (\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{243}$ है।
$5$ बार फेंकने के $6804$ सेटों में,कोई भी सम संख्या न मिलने की अपेक्षित संख्या $6804 \times \frac{1}{243} = 28$ है।

(C) माना $X$ उन समस्याओं की संख्या है जिन्हें उम्मीदवार हल करने में असमर्थ है। किसी समस्या को हल करने में असमर्थ होने की प्रायिकता $p = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ है।
किसी समस्या को हल करने की प्रायिकता $q = \frac{4}{5}$ है।
यहाँ $n = 50$ समस्याएं हैं।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि वह $2$ से कम समस्याओं को हल करने में असमर्थ है,अर्थात $P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = {}^{50}C_{0} \left(\frac{1}{5}\right)^{0} \left(\frac{4}{5}\right)^{50} = \left(\frac{4}{5}\right)^{50}$।
$P(X = 1) = {}^{50}C_{1} \left(\frac{1}{5}\right)^{1} \left(\frac{4}{5}\right)^{49} = 50 \times \frac{1}{5} \times \left(\frac{4}{5}\right)^{49} = 10 \times \left(\frac{4}{5}\right)^{49}$।
$P(X < 2) = \left(\frac{4}{5}\right) \left(\frac{4}{5}\right)^{49} + 10 \left(\frac{4}{5}\right)^{49} = \left(\frac{4}{5} + 10\right) \left(\frac{4}{5}\right)^{49} = \left(\frac{4 + 50}{5}\right) \left(\frac{4}{5}\right)^{49} = \frac{54}{5} \left(\frac{4}{5}\right)^{49}$।

(A) मान लीजिए $X$ दो बार पत्ते निकालने में रानियों की संख्या को दर्शाता है। प्रतिस्थापन के साथ,प्रत्येक परीक्षण स्वतंत्र है।
एक बार में रानी आने की प्रायिकता $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
रानी न आने की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ है।
द्विपद वितरण का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = ^2C_0 \times (\frac{12}{13})^2 = \frac{144}{169}$
$P(X = 1) = ^2C_1 \times (\frac{1}{13}) \times (\frac{12}{13}) = \frac{24}{169}$
$P(X = 2) = ^2C_2 \times (\frac{1}{13})^2 = \frac{1}{169}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) यह द्विपद वितरण का प्रश्न है जहाँ $n = 5$ और $p = 0.1$ (या $\frac{1}{10}$),इसलिए $q = 1 - p = 0.9$ (या $\frac{9}{10}$)।
हमें $P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ ज्ञात करना है।
सूत्र $P(X=k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=3) = {}^5C_3 \cdot (\frac{1}{10})^3 \cdot (\frac{9}{10})^2 = 10 \cdot \frac{1}{1000} \cdot \frac{81}{100} = \frac{810}{100000} = 0.00810$
$P(X=4) = {}^5C_4 \cdot (\frac{1}{10})^4 \cdot (\frac{9}{10})^1 = 5 \cdot \frac{1}{10000} \cdot \frac{9}{10} = \frac{45}{100000} = 0.00045$
$P(X=5) = {}^5C_5 \cdot (\frac{1}{10})^5 \cdot (\frac{9}{10})^0 = 1 \cdot \frac{1}{100000} \cdot 1 = \frac{1}{100000} = 0.00001$
इन संभावनाओं का योग: $0.00810 + 0.00045 + 0.00001 = 0.00856$।

(B) माना कि खराब बल्ब चुनने की प्रायिकता $p$ है। दिया गया है $p = \frac{10}{100} = 0.1$ और $q = 1 - p = 0.9$.
हम $n = 5$ बल्ब चुनते हैं। माना $X$ खराब बल्बों की संख्या है।
हमें $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ ज्ञात करना है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = {}^5C_0 (0.1)^0 (0.9)^5 = 1 \times 1 \times (0.9)^5 = 0.59049$.
$P(X = 1) = {}^5C_1 (0.1)^1 (0.9)^4 = 5 \times 0.1 \times 0.6561 = 0.5 \times 0.6561 = 0.32805$.
अतः,$P(X \le 1) = 0.59049 + 0.32805 = 0.91854$.

(D) माना $p$ किसी मामले के सुलझने की प्रायिकता है,अतः $p = 25\% = \frac{1}{4}$.
माना $q$ किसी मामले के न सुलझने की प्रायिकता है,अतः $q = 1 - p = \frac{3}{4}$.
$n = 6$ परीक्षणों के लिए,हम द्विपद वितरण सूत्र $P(X=r) = {^nC_r} p^r q^{n-r}$ का उपयोग करते हैं।
हमें कम से कम $5$ मामलों के सुलझने की प्रायिकता चाहिए,जो $P(X \ge 5) = P(X=5) + P(X=6)$ है।
$P(X=5) = {^6C_5} \left(\frac{1}{4}\right)^5 \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 6 \times \frac{1}{1024} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{4096}$.
$P(X=6) = {^6C_6} \left(\frac{1}{4}\right)^6 \left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{4096} \times 1 = \frac{1}{4096}$.
अतः,$P(X \ge 5) = \frac{18}{4096} + \frac{1}{4096} = \frac{19}{4096}$.

(C) माना कि कुल प्रश्नों की संख्या $n = 5$ है।
चूंकि प्रत्येक प्रश्न में $3$ विकल्प हैं और केवल $1$ सही है,इसलिए सफलता की प्रायिकता $p = \frac{1}{3}$ और विफलता की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
हम द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करेंगे।
हमें $4$ या अधिक सही उत्तर प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ है।
$P(X = 4) = {}^5C_4 \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{243}$.
$P(X = 5) = {}^5C_5 \left(\frac{1}{3}\right)^5 \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{243} \times 1 = \frac{1}{243}$.
अतः,$P(X \geq 4) = \frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}$.

(A) माना $X$ चार पासों के एक बार फेंकने पर $3$ या $5$ दर्शाने वाले पासों की संख्या है। एक पासे पर $3$ या $5$ आने की प्रायिकता $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
अतः,$3$ या $5$ न आने की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि पासे स्वतंत्र हैं,$X$ द्विपद बंटन $B(n=4, p=1/3)$ का पालन करता है।
कम से कम दो पासों पर $3$ या $5$ आने की प्रायिकता $P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$ है।
$P(X=0) = { }^4 C_0 (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^4 = 1 \times 1 \times \frac{16}{81} = \frac{16}{81}$.
$P(X=1) = { }^4 C_1 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^3 = 4 \times \frac{1}{3} \times \frac{8}{27} = \frac{32}{81}$.
$P(X \geq 2) = 1 - (\frac{16}{81} + \frac{32}{81}) = 1 - \frac{48}{81} = \frac{33}{81} = \frac{11}{27}$.
यह प्रयोग $27$ बार किया जाता है। अतः अपेक्षित संख्या $E = n \times P = 27 \times \frac{11}{27} = 11$ है।

(C) $10$ से $99$ तक की दो अंकों की कुल संख्याएँ $99 - 10 + 1 = 90$ हैं।
घटना $E$ तब घटित होती है जब दो अंकों का गुणनफल $18$ होता है। संभावित संख्याएँ $\{29, 36, 63, 92\}$ हैं।
अतः,एक प्रयास में घटना $E$ के घटित होने की प्रायिकता $p = \frac{4}{90}$ है।
घटना $E$ के न घटित होने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{4}{90} = \frac{86}{90}$ है।
यहाँ $n = 4$ संख्याएँ प्रतिस्थापन के साथ चुनी जाती हैं,इसलिए हम द्विपद वितरण $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करेंगे।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि घटना $E$ कम से कम $3$ बार घटित हो,अर्थात $P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4)$।
$P(X = 3) = \binom{4}{3} \left(\frac{4}{90}\right)^3 \left(\frac{86}{90}\right)^1 = 4 \times \frac{4^3}{90^3} \times \frac{86}{90} = \frac{22016}{90^4}$।
$P(X = 4) = \binom{4}{4} \left(\frac{4}{90}\right)^4 \left(\frac{86}{90}\right)^0 = 1 \times \frac{4^4}{90^4} \times 1 = \frac{256}{90^4}$।
$P(X \geq 3) = \frac{22016 + 256}{90^4} = \frac{22272}{90^4}$।
व्यंजक को सरल करने पर: $P(X \geq 3) = 4 \left(\frac{4}{90}\right)^3 \left(\frac{86}{90}\right) + \left(\frac{4}{90}\right)^4 = \left(\frac{4}{90}\right)^3 \left(4 \times \frac{86}{90} + \frac{4}{90}\right) = \left(\frac{4}{90}\right)^3 \left(\frac{344 + 4}{90}\right) = \left(\frac{4}{90}\right)^3 \left(\frac{348}{90}\right) = \frac{348}{90} \times \left(\frac{4}{90}\right)^3 = 87 \times \frac{4}{90} \times \left(\frac{4}{90}\right)^3 = 87 \left(\frac{4}{90}\right)^4$.

(A) मान लीजिए $X$ खराब बल्बों की संख्या को दर्शाता है।
$p$ बल्ब के खराब होने की प्रायिकता है:
$p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$
$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$
चूंकि बल्बों को एक बड़े लॉट से चुना जाता है,हम द्विपद वितरण का उपयोग करते हैं:
$P(X = r) = { }^5 C_r \left(\frac{1}{10}\right)^r \left(\frac{9}{10}\right)^{5-r}, r = 0, 1, \dots, 5$
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि दुकान को अधिकतम एक खराब बल्ब प्राप्त हो,अर्थात $P(X \leq 1)$:
$P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$
$P(X = 0) = { }^5 C_0 \left(\frac{1}{10}\right)^0 \left(\frac{9}{10}\right)^5 = \left(\frac{9}{10}\right)^5$
$P(X = 1) = { }^5 C_1 \left(\frac{1}{10}\right)^1 \left(\frac{9}{10}\right)^4 = 5 \times \frac{1}{10} \times \left(\frac{9}{10}\right)^4 = \frac{1}{2} \left(\frac{9}{10}\right)^4$
$P(X \leq 1) = \left(\frac{9}{10}\right)^5 + \frac{1}{2} \left(\frac{9}{10}\right)^4 = \left(\frac{9}{10}\right)^4 \left[ \frac{9}{10} + \frac{1}{2} \right] = \left(\frac{9}{10}\right)^4 \left[ \frac{9+5}{10} \right] = \left(\frac{9}{10}\right)^4 \left( \frac{14}{10} \right) = \frac{7}{5} \left(\frac{9}{10}\right)^4$

(C) मान लीजिए $n = 5$ खरीदे गए लॉटरी टिकटों की संख्या है।
मान लीजिए $p$ एक टिकट पर इनाम जीतने की प्रायिकता है,इसलिए $p = \frac{1}{4}$।
मान लीजिए $q$ एक टिकट पर इनाम न जीतने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
हमें कम से कम एक इनाम जीतने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 1)$ है।
पूरक घटना के नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$।
$5$ प्रयासों में शून्य इनाम जीतने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
$k = 0$ के लिए,$P(X = 0) = \binom{5}{0} (\frac{1}{4})^0 (\frac{3}{4})^5 = 1 \times 1 \times \frac{243}{1024} = \frac{243}{1024}$।
अतः,$P(X \ge 1) = 1 - \frac{243}{1024} = \frac{1024 - 243}{1024} = \frac{781}{1024}$।

(D) यहाँ $5$ प्रश्न हैं और प्रत्येक प्रश्न के $3$ विकल्प हैं जिनमें से एक सही है।
किसी भी प्रश्न के लिए सही उत्तर प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{1}{3}$ है।
गलत उत्तर प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
हमें कम से कम एक सही उत्तर प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
$P(\text{कम से कम एक सही}) = 1 - P(\text{कोई भी सही नहीं})$.
$5$ प्रश्नों में से किसी का भी उत्तर सही न होने की प्रायिकता $P(X=0) = {}^{5}C_{0} \times p^{0} \times q^{5}$ द्वारा दी जाती है।
$P(X=0) = 1 \times 1 \times (\frac{2}{3})^{5} = \frac{32}{243}$.
अतः,$P(\text{कम से कम एक सही}) = 1 - \frac{32}{243} = \frac{243 - 32}{243} = \frac{211}{243}$.

(D) यह द्विपद वितरण (binomial distribution) का प्रश्न है जहाँ $n = 5$ और सफलता की प्रायिकता $p = 0.2$ है।
विफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - 0.2 = 0.8$ है।
हमें ठीक $x = 4$ मरीजों के जीवित रहने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
द्विपद प्रायिकता का सूत्र $P(X = x) = {}^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x}$ है।
मान रखने पर: $P(X = 4) = {}^{5}C_{4} (0.2)^{4} (0.8)^{5-4}$.
$P(X = 4) = 5 \times (0.0016) \times (0.8)$.
$P(X = 4) = 5 \times 0.00128 = 0.0064$.

(B) एक प्रयोग विफल होने की तुलना में दोगुनी बार सफल होता है।
मान लीजिए $p$ सफलता की प्रायिकता है और $q$ विफलता की प्रायिकता है।
दिया गया है $p = 2q$।
चूंकि $p + q = 1$,हमारे पास $2q + q = 1$ है,जिसका अर्थ है $3q = 1$,इसलिए $q = \frac{1}{3}$ और $p = \frac{2}{3}$।
यहाँ $n = 6$ परीक्षण हैं। मान लीजिए $X$ सफलताओं की संख्या है,जहाँ $X \sim B(n, p)$।
आवश्यक प्रायिकता $P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 4) = {^6C_4} (\frac{2}{3})^4 (\frac{1}{3})^2 = 15 \times \frac{16}{81} \times \frac{1}{9} = \frac{240}{729}$।
$P(X = 5) = {^6C_5} (\frac{2}{3})^5 (\frac{1}{3})^1 = 6 \times \frac{32}{243} \times \frac{1}{3} = \frac{192}{729}$।
$P(X = 6) = {^6C_6} (\frac{2}{3})^6 (\frac{1}{3})^0 = 1 \times \frac{64}{729} \times 1 = \frac{64}{729}$।
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर: $P(X \geq 4) = \frac{240 + 192 + 64}{729} = \frac{496}{729}$।

(C) पासे पर संभावित परिणाम ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ हैं।
इनमें पूर्ण वर्ग संख्याएँ ${1, 4}$ हैं।
अतः,एक बार फेंकने पर पूर्ण वर्ग प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
एक बार फेंकने पर पूर्ण वर्ग न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
$n = 4$ स्वतंत्र प्रयासों के लिए,चारों बार में से एक भी बार पूर्ण वर्ग न प्राप्त करने की प्रायिकता $q^4 = (\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}$ है।
कम से कम एक बार पूर्ण वर्ग प्राप्त करने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई पूर्ण वर्ग नहीं}) = 1 - \frac{16}{81} = \frac{65}{81}$ है।

(B) मान लीजिए कि किसी व्यक्ति में प्रतिरक्षा विकसित होने की प्रायिकता $p$ है,इसलिए $p = 0.8$ है।
चूंकि $8$ अलग-अलग लोगों में प्रतिरक्षा विकसित होने की घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए सभी $8$ लोगों में प्रतिरक्षा विकसित होने की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होगी।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $p \times p \times p \times p \times p \times p \times p \times p = (0.8)^8$ है।

(A) यह द्विपद वितरण का प्रश्न है जहाँ $n = 10$ और सफलता की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है (क्योंकि यह "True"/"False" परीक्षा है)। विफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
हमें $P(X \geq 7) = P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$ ज्ञात करना है।
द्विपद प्रायिकता का सूत्र $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ है।
$P(X=7) = {}^{10}C_{7} (\frac{1}{2})^{7} (\frac{1}{2})^{3} = \frac{120}{1024}$.
$P(X=8) = {}^{10}C_{8} (\frac{1}{2})^{8} (\frac{1}{2})^{2} = \frac{45}{1024}$.
$P(X=9) = {}^{10}C_{9} (\frac{1}{2})^{9} (\frac{1}{2})^{1} = \frac{10}{1024}$.
$P(X=10) = {}^{10}C_{10} (\frac{1}{2})^{10} (\frac{1}{2})^{0} = \frac{1}{1024}$.
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर: $P(X \geq 7) = \frac{120 + 45 + 10 + 1}{1024} = \frac{176}{1024} = \frac{11}{64}$.

(B) मान लीजिए कि सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है। $n$ उछालों में $k$ बार चित आने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र द्वारा दी जाती है: $P(X=k) = \binom{n}{k} (\frac{1}{2})^n$.
दिया गया है कि $P(X=5) = P(X=7)$,इसलिए $\binom{n}{5} (\frac{1}{2})^n = \binom{n}{7} (\frac{1}{2})^n$.
इसका अर्थ है कि $\binom{n}{5} = \binom{n}{7}$.
गुणधर्म $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ का उपयोग करते हुए,यदि $\binom{n}{a} = \binom{n}{b}$ है,तो या तो $a=b$ या $a+b=n$ होगा।
चूंकि $5 \neq 7$,इसलिए $n = 5+7 = 12$ होगा।
अब,$3$ बार चित आने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए,$P(X=3) = \binom{12}{3} (\frac{1}{2})^{12}$.
गणना करने पर $\binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
अतः,$P(X=3) = 220 \times \frac{1}{2^{12}} = \frac{220}{4096} = \frac{55}{1024} = \frac{55}{2^{10}}$.

(D) द्विपद बंटन $X \sim B(n, p)$ के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
हमें अनुपात $\frac{P(X=k)}{P(X=k-1)}$ ज्ञात करना है।
$P(X=k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}$
$P(X=k-1) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} p^{k-1} q^{n-k+1}$
अनुपात लेने पर:
$\frac{P(X=k)}{P(X=k-1)} = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k} \cdot \frac{(k-1)!(n-k+1)!}{n! p^{k-1} q^{n-k+1}}$
$= \frac{(n-k+1)!}{(n-k)!} \cdot \frac{(k-1)!}{k!} \cdot \frac{p^k}{p^{k-1}} \cdot \frac{q^{n-k}}{q^{n-k+1}}$
$= (n-k+1) \cdot \frac{1}{k} \cdot p \cdot \frac{1}{q}$
$= \frac{n-k+1}{k} \cdot \frac{p}{q}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) द्विपद वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n=4$ और $q=1-p$ है।
दिया गया है कि $P(X=3) = 3P(X=4)$,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\binom{4}{3} p^3 q^1 = 3 \binom{4}{4} p^4 q^0$
$4 p^3 q = 3(1) p^4$
चूंकि $p \neq 0$,हम दोनों पक्षों को $p^3$ से विभाजित कर सकते हैं:
$4q = 3p$
$q = 1-p$ रखने पर:
$4(1-p) = 3p$
$4 - 4p = 3p$
$4 = 7p$
$p = \frac{4}{7}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) यादृच्छिक चर $X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 99$ और $p = 0.5$ है।
द्विपद वितरण के लिए,प्रायिकता $P[X=r]$ तब अधिकतम होती है जब $r$ बहुलक (mode) होता है।
यदि $(n+1)p$ एक पूर्णांक है,तो $r = (n+1)p$ और $r = (n+1)p - 1$ पर दो बहुलक होते हैं।
यदि $(n+1)p$ पूर्णांक नहीं है,तो $r = \lfloor (n+1)p \rfloor$ पर एक अद्वितीय बहुलक होता है।
यहाँ,$(n+1)p = (99+1) \times 0.5 = 100 \times 0.5 = 50$ है।
चूँकि $50$ एक पूर्णांक है,इसलिए प्रायिकता $P[X=r]$ का मान $r = 50$ और $r = 50 - 1 = 49$ पर अधिकतम होता है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$49$ वह मान है जहाँ प्रायिकता अधिकतम है।

(C) द्विपद वितरण $B(n, p)$ का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ है।
यहाँ $n=10$ दिया गया है,इसलिए $P(X=k) = \binom{10}{k} p^k (1-p)^{10-k}$ है।
दिया गया है कि $5 P(X=0) = P(X=1)$:
$5 \binom{10}{0} p^0 (1-p)^{10} = \binom{10}{1} p^1 (1-p)^9$
$5(1-p) = 10p$
$5 - 5p = 10p \implies 15p = 5 \implies p = \frac{1}{3}$.
अतः,$q = 1-p = \frac{2}{3}$.
अब,हम अनुपात $\frac{P(X=5)}{P(X=6)}$ की गणना करते हैं:
$\frac{P(X=5)}{P(X=6)} = \frac{\binom{10}{5} p^5 q^5}{\binom{10}{6} p^6 q^4} = \frac{\binom{10}{5}}{\binom{10}{6}} \cdot \frac{q}{p}$
$\binom{10}{5} = 252$ और $\binom{10}{6} = 210$.
$\frac{P(X=5)}{P(X=6)} = \frac{252}{210} \cdot \frac{2/3}{1/3} = \frac{6}{5} \cdot 2 = \frac{12}{5}$.

(C) $00$ से $99$ तक कुल दो-अंकीय संख्याएँ $100$ हैं।
मान लीजिए $X$ अंकों $d_1 d_2$ द्वारा बनी संख्या है। गुणनफल $d_1 \times d_2 = 24$ है।
संभावित जोड़े $(d_1, d_2)$ हैं: $(3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3)$।
अतः,ऐसी $4$ संख्याएँ हैं: $38, 46, 64, 83$।
एक प्रयास में घटना $E$ के घटित होने की प्रायिकता $p = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$ है।
घटना $E$ के न घटित होने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$ है।
हम $n = 4$ संख्याएँ चुनते हैं। मान लीजिए $X$ घटना $E$ के घटित होने की संख्या है। $X$ द्विपद वितरण $B(4, \frac{1}{25})$ का पालन करता है।
हमें $P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4)$ ज्ञात करना है।
$P(X = 3) = \binom{4}{3} p^3 q^1 = 4 \times (\frac{1}{25})^3 \times (\frac{24}{25}) = \frac{96}{(25)^4}$।
$P(X = 4) = \binom{4}{4} p^4 q^0 = 1 \times (\frac{1}{25})^4 = \frac{1}{(25)^4}$।
$P(X \ge 3) = \frac{96}{(25)^4} + \frac{1}{(25)^4} = \frac{97}{(25)^4}$।

(C) मान लीजिए $X$ परीक्षण में जीवित रहने वाले घटकों की संख्या है। यहाँ,$n = 4$ और $p = \frac{2}{3}$ है।
अतः $q = 1 - p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ होगा।
$X$ द्विपद बंटन $B(n, p)$ का पालन करता है,इसलिए $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$।
हमें अधिकतम $2$ घटकों के जीवित रहने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ है।
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (\frac{2}{3})^0 (\frac{1}{3})^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{81} = \frac{1}{81}$।
$P(X = 1) = \binom{4}{1} (\frac{2}{3})^1 (\frac{1}{3})^3 = 4 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{27} = \frac{8}{81}$।
$P(X = 2) = \binom{4}{2} (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2 = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{24}{81}$।
इन प्रायिकताओं का योग करने पर: $P(X \le 2) = \frac{1}{81} + \frac{8}{81} + \frac{24}{81} = \frac{33}{81} = \frac{33}{3^4}$।

(A) माना $n = 100$ उछालों की संख्या है और $p = q = \frac{1}{2}$ एक उछाल में चित या पट आने की प्रायिकता है।
ठीक $r$ चित आने की प्रायिकता द्विपद वितरण द्वारा दी जाती है: $P(X = r) = \binom{100}{r} (\frac{1}{2})^{100}$।
हमें चित के सम संख्या में आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $S = \sum_{r \text{ is even}} \binom{100}{r} (\frac{1}{2})^{100}$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $(p+q)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} p^r q^{n-r} = 1$ और $(q-p)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} (-p)^r q^{n-r}$।
$p=q=\frac{1}{2}$ के लिए,$n \ge 1$ होने पर $(q-p)^n = 0^n = 0$ होता है।
अतः,$\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} (\frac{1}{2})^n = 1$ और $\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} (-1)^r (\frac{1}{2})^n = 0$।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2 \sum_{r \text{ is even}} \binom{n}{r} (\frac{1}{2})^n = 1 + 0 = 1$।
इसलिए,चित के सम संख्या में आने की प्रायिकता $S = \frac{1}{2}$ है।

(B) दिया गया है $x \sim B\left(n=6, p=\frac{1}{2}\right)$.
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(x=k) = \binom{6}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^k \left(\frac{1}{2}\right)^{6-k} = \binom{6}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \binom{6}{k} \frac{1}{64}$ है।
हमें $P(|x-2| \leqslant 1)$ ज्ञात करना है।
$|x-2| \leqslant 1$ का अर्थ है $-1 \leqslant x-2 \leqslant 1$,जो $1 \leqslant x \leqslant 3$ में सरल हो जाता है।
अतः,हमें $P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)$ की गणना करनी है।
$P(x=1) = \binom{6}{1} \frac{1}{64} = \frac{6}{64}$.
$P(x=2) = \binom{6}{2} \frac{1}{64} = \frac{15}{64}$.
$P(x=3) = \binom{6}{3} \frac{1}{64} = \frac{20}{64}$.
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर: $P(1 \leqslant x \leqslant 3) = \frac{6+15+20}{64} = \frac{41}{64}$।

(A) जब पासे के एक जोड़े को फेंका जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
सफलता को दोनों पासों पर समान संख्या प्राप्त करने के रूप में परिभाषित किया गया है। अनुकूल परिणाम $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ हैं,जो कुल $6$ परिणाम हैं।
अतः,सफलता की प्रायिकता $p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
हम द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करेंगे,जहाँ $n = 4$ और $k = 2$ है।
$P(X = 2) = \binom{4}{2} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^{4-2}$.
$P(X = 2) = 6 \times \left(\frac{1}{36}\right) \times \left(\frac{25}{36}\right)$.
$P(X = 2) = 6 \times \frac{25}{1296} = \frac{25}{216}$.

(A) माना $p$ एक छात्र के तैराक होने की प्रायिकता है और $q$ एक छात्र के तैराक न होने की प्रायिकता है।
दिया गया है $q = \frac{1}{5}$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
यहाँ $n = 5$ छात्र हैं और हमें $x = 4$ तैराकों की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = x) = ^nC_x \cdot p^x \cdot q^{n-x}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 4) = ^5C_4 \cdot (\frac{4}{5})^4 \cdot (\frac{1}{5})^{5-4}$
$P(X = 4) = 5 \cdot (\frac{4}{5})^4 \cdot \frac{1}{5}$

(B) माना कि $p$ एक व्यक्ति के खिलाड़ी होने की प्रायिकता है और $q$ एक व्यक्ति के खिलाड़ी न होने की प्रायिकता है।
दिया गया है कि $q = \frac{1}{6}$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।
परिवार में $n = 6$ सदस्य हैं। हमें $x = 5$ सदस्यों के खिलाड़ी होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = x) = ^nC_x \times p^x \times q^{n-x}$ का उपयोग करने पर:
$P(X = 5) = ^6C_5 \times \left(\frac{5}{6}\right)^5 \times \left(\frac{1}{6}\right)^{6-5}$
$P(X = 5) = 6 \times \left(\frac{5}{6}\right)^5 \times \frac{1}{6}$
अतः,प्रायिकता $6 \times \left(\frac{5}{6}\right)^5 \times \frac{1}{6}$ है।

(A) मान लीजिए कि $p$ एक परीक्षण में घटना $A$ के घटित होने की प्रायिकता है,इसलिए $p = 0.4$ है।
मान लीजिए कि $q$ एक परीक्षण में घटना $A$ के न घटित होने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$ है।
हम $n = 3$ स्वतंत्र परीक्षण कर रहे हैं।
घटना $A$ के कम से कम एक बार घटित होने की प्रायिकता $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ द्वारा दी जाती है।
द्विपद वितरण सूत्र का उपयोग करते हुए,$P(X = 0) = ^nC_0 \times p^0 \times q^n$ है।
मान रखने पर,$P(X = 0) = 1 \times (0.4)^0 \times (0.6)^3 = 1 \times 1 \times 0.216 = 0.216$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(X \geq 1) = 1 - 0.216 = 0.784$ है।

(C) माना $X$ $n = 10$ परीक्षणों में निकाले गए खराब बल्बों की संख्या है। यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है।
यहाँ,$n = 10$ और बल्ब के खराब होने की प्रायिकता $p = 10 \% = \frac{1}{10}$ है।
बल्ब के खराब न होने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ है।
हमें कम से कम एक बल्ब खराब होने की प्रायिकता $P(X \ge 1)$ ज्ञात करनी है।
पूरक नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$.
$10$ परीक्षणों में $0$ खराब बल्ब प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद सूत्र $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
$k = 0$ के लिए,$P(X = 0) = {}^{10}C_{0} \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \left(\frac{9}{10}\right)^{10-0} = 1 \times 1 \times \left(\frac{9}{10}\right)^{10}$.
अतः,$P(X \ge 1) = 1 - \left(\frac{9}{10}\right)^{10}$.

(C) मान लीजिए $p$ सफलता की प्रायिकता है और $q = 1 - p$ असफलता की प्रायिकता है।
यहाँ $n = 5$ स्वतंत्र परीक्षण दिए गए हैं।
$X$ सफलताओं की प्रायिकता का सूत्र $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ है।
हमें $P(X=1) = 0.4096$ और $P(X=2) = 0.2048$ दिया गया है।
${}^5C_1 p^1 q^4 = 5pq^4 = 0.4096$ (समीकरण $1$).
${}^5C_2 p^2 q^3 = 10p^2q^3 = 0.2048$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर:
$\frac{10p^2q^3}{5pq^4} = \frac{0.2048}{0.4096} = \frac{1}{2}$.
$\frac{2p}{q} = \frac{1}{2} \Rightarrow 4p = q$.
चूँकि $q = 1 - p$,इसलिए $4p = 1 - p \Rightarrow 5p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{5}$.
अतः $q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
अब,ठीक $3$ सफलताओं की प्रायिकता:
$P(X=3) = {}^5C_3 p^3 q^2 = 10 \times (\frac{1}{5})^3 \times (\frac{4}{5})^2$.
$P(X=3) = 10 \times \frac{1}{125} \times \frac{16}{25} = \frac{160}{3125} = \frac{32}{625}$.

(C) दिया गया है $X \sim B(n, p)$ जहाँ $n=6$ और $p=1/2$ है। अतः $q = 1-p = 1/2$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{6}{k} (1/2)^6 = \frac{\binom{6}{k}}{64}$ है।
हमें $P(|X-4| \leq 2)$ ज्ञात करना है।
असमिका $|X-4| \leq 2$ का अर्थ है $-2 \leq X-4 \leq 2$,जो सरल होकर $2 \leq X \leq 6$ हो जाता है।
अतः,$P(2 \leq X \leq 6) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$।
$P(X=0) = \binom{6}{0} (1/2)^6 = 1/64$।
$P(X=1) = \binom{6}{1} (1/2)^6 = 6/64$।
इस प्रकार,$P(2 \leq X \leq 6) = 1 - (1/64 + 6/64) = 1 - 7/64 = 57/64$।

(C) मान लीजिए $X$ दो प्रयासों में प्राप्त राजाओं की संख्या को दर्शाता है। चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ (with replacement) निकाले जाते हैं,इसलिए यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 2$ है।
एक बार में राजा प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
राजा न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{12}{13}$ है।
द्विपद वितरण का माध्य $E[X] = np$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
माध्य $= 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$.

(D) एक बार में राजा का पत्ता निकालने की प्रायिकता $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
राजा का पत्ता न निकलने की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ है।
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,यह द्विपद वितरण (binomial distribution) का पालन करता है जहाँ $n = 2$ और $p = \frac{1}{13}$ है।
$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$.
$X=1$ के लिए: $P(X=1) = \binom{2}{1} \left(\frac{1}{13}\right)^1 \left(\frac{12}{13}\right)^1 = 2 \times \frac{12}{169} = \frac{24}{169}$.
$X=2$ के लिए: $P(X=2) = \binom{2}{2} \left(\frac{1}{13}\right)^2 \left(\frac{12}{13}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{169} = \frac{1}{169}$.
अतः,$P(X=1) + P(X=2) = \frac{24}{169} + \frac{1}{169} = \frac{25}{169}$.

(D) मान लीजिए $X \sim B(n, p)$.
दिया गया है कि माध्य $np = 8$ और प्रसरण $npq = 4$ है।
चूंकि $q = 1 - p$,इसलिए $8q = 4$,जिसका अर्थ है $q = \frac{1}{2}$ और $p = \frac{1}{2}$।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 8$ में रखने पर,हमें $n = 16$ प्राप्त होता है।
हमें $P(X \leqslant 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ज्ञात करना है।
सूत्र $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=0) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{16} = \frac{1}{2^{16}}$।
$P(X=1) = {}^{16}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{15} = \frac{16}{2^{16}}$।
$P(X=2) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{14} = \frac{120}{2^{16}}$।
इन प्रायिकताओं का योग करने पर: $P(X \leqslant 2) = \frac{1 + 16 + 120}{2^{16}} = \frac{137}{2^{16}}$।
इसे $\frac{k}{2^{16}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 137$ प्राप्त होता है।

(D) माना $p$ एक प्रश्न के लिए सही उत्तर का अनुमान लगाने की प्रायिकता है। चूँकि $3$ विकल्प हैं और केवल $1$ सही है,इसलिए $p = \frac{1}{3}$ है।
परिणामस्वरूप,गलत उत्तर का अनुमान लगाने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{2}{3}$ है।
माना $X$ यादृच्छिक चर है जो $n = 5$ प्रश्नों में सही उत्तरों की संख्या को दर्शाता है। $X$ द्विपद बंटन $X \sim B(5, \frac{1}{3})$ का पालन करता है।
$k$ सही उत्तर प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
हमें $4$ या अधिक सही उत्तर प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ है।
$P(X = 4) = {}^5C_4 (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3^5}$.
$P(X = 5) = {}^5C_5 (\frac{1}{3})^5 (\frac{2}{3})^0 = 1 \times \frac{1}{243} \times 1 = \frac{1}{3^5}$.
अतः,$P(X \geq 4) = \frac{10}{3^5} + \frac{1}{3^5} = \frac{11}{3^5}$.

(B) मान लीजिए $X$ उन समस्याओं की संख्या है जिन्हें उम्मीदवार हल नहीं कर सकता है। समस्या को हल करने की प्रायिकता $s = \frac{3}{7}$ है,इसलिए समस्या को हल न कर पाने की प्रायिकता $p = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$ है।
यहाँ,$n = 20$ समस्याएं दी गई हैं। यादृच्छिक चर $X$ द्विपद वितरण $B(20, \frac{4}{7})$ का पालन करता है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि वह अधिक से अधिक $2$ समस्याओं को हल न कर सके,अर्थात $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$।
द्विपद सूत्र $P(X=k) = {}^{n}C_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $q = \frac{3}{7}$:
$P(X \leq 2) = {}^{20}C_0 (\frac{4}{7})^0 (\frac{3}{7})^{20} + {}^{20}C_1 (\frac{4}{7})^1 (\frac{3}{7})^{19} + {}^{20}C_2 (\frac{4}{7})^2 (\frac{3}{7})^{18}$।
यह गणना विकल्प $B$ के साथ मेल खाती है।

(D) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $np = 2$ और प्रसरण $npq = 1$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 2$ में रखने पर,$n(\frac{1}{2}) = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 4$।
हमें प्रायिकता $P(X \geq 1)$ ज्ञात करनी है।
पूरक नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ है।
$k = 0$ के लिए,$P(X = 0) = {}^4C_0 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$।
अतः,$P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$।

(B) दिया गया है कि माध्य $np = 2$ और प्रसरण $npq = 1$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $\frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $q = \frac{1}{2}$।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 2$ में रखने पर,$n \left( \frac{1}{2} \right) = 2$,जिससे $n = 4$ प्राप्त होता है।
हमें $P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$ ज्ञात करना है।
वैकल्पिक रूप से,$P(X > 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$।
$P(X = 0) = {}^4 C_0 \left( \frac{1}{2} \right)^0 \left( \frac{1}{2} \right)^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$।
$P(X = 1) = {}^4 C_1 \left( \frac{1}{2} \right)^1 \left( \frac{1}{2} \right)^3 = 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{8} = \frac{4}{16}$।
अतः,$P(X > 1) = 1 - \left( \frac{1}{16} + \frac{4}{16} \right) = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$।

(D) मान लीजिए $P(X=1)$ एक सफलता की प्रायिकता है और $P(X=2)$ दो सफलताओं की प्रायिकता है।
द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ है।
दिया गया है $n=5$,अतः:
$P(X=1) = { }^5 C_1 p^1 q^4 = 5pq^4 = 0.4096$ ...$(i)$
$P(X=2) = { }^5 C_2 p^2 q^3 = 10p^2 q^3 = 0.2048$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{5pq^4}{10p^2q^3} = \frac{0.4096}{0.2048} = 2$
$\frac{q}{2p} = 2 \Rightarrow q = 4p$.
चूँकि $p+q=1$,इसलिए $p+4p=1 \Rightarrow 5p=1 \Rightarrow p=\frac{1}{5}$ और $q=\frac{4}{5}$.
अब,ठीक $4$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता है:
$P(X=4) = { }^5 C_4 p^4 q^1 = 5 \times (\frac{1}{5})^4 \times (\frac{4}{5}) = 5 \times \frac{1}{625} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{625}$.