Linear differential equations Questions in Gujarati

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(y^{2}+2x) \frac{dy}{dx}=y$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{y^{2}+2x}{y} = y + \frac{2x}{y}$ મળે છે.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{2}{y}$ અને $Q(y) = y$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{2}{y} dy} = e^{-2 \log_{e} y} = e^{\log_{e} y^{-2}} = y^{-2} = \frac{1}{y^{2}}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$x \cdot \frac{1}{y^{2}} = \int y \cdot \frac{1}{y^{2}} dy + C = \int \frac{1}{y} dy + C = \log_{e} y + C$ મળે છે.
આમ,$x = y^{2}(\log_{e} y + C)$.
આપેલ છે કે જ્યારે $y=1$ ત્યારે $x=1$,તેથી આ કિંમતો મૂકતા: $1 = 1^{2}(\log_{e} 1 + C) \Rightarrow 1 = 1(0 + C) \Rightarrow C = 1$.
સામાન્ય ઉકેલમાં $C=1$ મૂકતા,આપણને $x = y^{2}(\log_{e} y + 1)$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $3 x \log _{e} x \frac{d y}{d x}+y=2 \log _{e} x$.
બંને બાજુ $3 x \log _{e} x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3 x \log _{e} x} y = \frac{2}{3 x}$.
આ સમીકરણ $\frac{d y}{d x} + P y = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{3 x \log _{e} x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નું સૂત્ર $e^{\int P d x}$ છે.
$IF = e^{\int \frac{1}{3 x \log _{e} x} d x}$.
ધારો કે $t = \log _{e} x$,તેથી $d t = \frac{1}{x} d x$.
$IF = e^{\frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t} = e^{\frac{1}{3} \log _{e} t} = e^{\log _{e} (t^{1/3})} = t^{1/3}$.
$t = \log _{e} x$ પાછું મૂકતા,આપણને $IF = (\log _{e} x)^{1/3}$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2}+8 \frac{d y}{d x}+16 y=0$ છે.
સહાયક સમીકરણ $m^2+8m+16=0$ છે.
આને $(m+4)^2=0$ તરીકે લખી શકાય છે.
આમ,બીજ $m = -4, -4$ મળે છે.
જ્યારે બીજ વાસ્તવિક અને સમાન હોય,ત્યારે વ્યાપક ઉકેલ $y = (A+Bx)e^{mx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m = -4$ મૂકતા,આપણને $y = (A+Bx)e^{-4x}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = -\frac{3x^2}{1+x^3}$ અને $Q = \frac{\sin^2(x)}{1+x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધવાનું સૂત્ર $I.F. = e^{\int P dx}$ છે.
$P$ ની કિંમત મૂકતા:
$I.F. = e^{\int -\frac{3x^2}{1+x^3} dx}$.
ધારો કે $u = 1+x^3$,તો $du = 3x^2 dx$ થાય. તેથી,$\int \frac{3x^2}{1+x^3} dx = \int \frac{1}{u} du = \log|1+x^3|$.
આમ,$I.F. = e^{-\log(1+x^3)} = e^{\log(1+x^3)^{-1}} = (1+x^3)^{-1} = \frac{1}{1+x^3}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $100 \frac{d^2 y}{dx^2}-20 \frac{dy}{dx}+y=0$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ મેળવવા માટે,આપણે સહાયક સમીકરણ $100 m^2 - 20 m + 1 = 0$ લખીએ છીએ.
આને $(10 m - 1)^2 = 0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
$m$ માટે ઉકેલતા,આપણને પુનરાવર્તિત બીજ $m = \frac{1}{10}$ મળે છે.
પુનરાવર્તિત બીજ $m$ ધરાવતા દ્વિતીય ક્રમના સુરેખ વિકલ સમીકરણ માટે,વ્યાપક ઉકેલ $y = (c_1 + c_2 x) e^{mx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m = \frac{1}{10}$ મૂકતા,આપણને $y = (c_1 + c_2 x) e^{\frac{x}{10}}$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y'' - 3y' + 2y = 0$ છે.
લાક્ષણિક સમીકરણ $m^2 - 3m + 2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(m - 1)(m - 2) = 0$ મળે,તેથી બીજ $m = 1$ અને $m = 2$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y(x) = Ae^x + Be^{2x}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$y'(x) = Ae^x + 2Be^{2x}$ મળે.
પ્રારંભિક શરતોનો ઉપયોગ કરતા:
$x = 0$ પર,$y(0) = A + B = 1$.
$x = 0$ પર,$y'(0) = A + 2B = 0$.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા,$B = -1$ મળે.
$B = -1$ ને $A + B = 1$ માં મૂકતા,$A = 2$ મળે.
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y(x) = 2e^x - e^{2x}$ છે.
હવે,$x = \log_{e} 2$ પર $y$ ની કિંમત શોધતા:
$y(\log_{e} 2) = 2e^{\log_{e} 2} - e^{2\log_{e} 2} = 2(2) - (e^{\log_{e} 2})^2 = 4 - (2)^2 = 4 - 4 = 0$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x y^{\prime}+y-e^x=0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $x \frac{d y}{d x}+y=e^x$
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d}{d x}(x y)=e^x$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int d(x y)=\int e^x d x$
પરિણામ મળે છે: $x y=e^x+C$
પ્રારંભિક શરત $y(a)=b$ નો ઉપયોગ કરતા: $a b=e^a+C \Rightarrow C=a b-e^a$
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $x y=e^x+a b-e^a$
તેથી,$y(x)=\frac{e^x+a b-e^a}{x}$
અંતે,લક્ષની કિંમત મેળવતા: $\lim _{x \rightarrow 1} y(x)=\frac{e^1+a b-e^a}{1}=e+a b-e^a$

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = f^{\prime}(x)$ અને $Q(x) = f(x)f^{\prime}(x)$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int f^{\prime}(x) dx} = e^{f(x)}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ દ્વારા મળે છે.
$y \cdot e^{f(x)} = \int f(x) f^{\prime}(x) e^{f(x)} dx + C$.
ધારો કે $u = f(x)$,તો $du = f^{\prime}(x) dx$. સંકલન $\int u e^u du = u e^u - e^u$ બને છે.
આમ,$y \cdot e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x) - 1) + C$.
આપેલ છે કે $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0$ અને $\lim_{x \rightarrow \infty} y(x) = 0$,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$0 \cdot e^0 = e^0(0 - 1) + C \Rightarrow 0 = -1 + C \Rightarrow C = 1$.
$C = 1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$y \cdot e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x) - 1) + 1$.
$e^{f(x)}$ વડે ભાગતા:
$y = f(x) - 1 + e^{-f(x)}$.
પુનઃગોઠવણી કરતા $y + 1 = e^{-f(x)} + f(x)$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x\frac{dy}{dx}-y=x^2 \cot x$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x \frac{dy}{dx}-y}{x^2} = \cot x$ મળે છે.
આને $\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x}\right) = \cot x$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\frac{y}{x} = \int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C$ મળે છે.
આપેલ છે કે $y(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$,તેથી $x = \frac{\pi}{2}$ અને $y = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા:
$\frac{\pi/2}{\pi/2} = \ln(\sin \frac{\pi}{2}) + C \implies 1 = \ln(1) + C \implies C = 1$.
આમ,ઉકેલ $y = x(\ln(\sin x) + 1)$ છે.
હવે,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6}(\ln(\sin \frac{\pi}{6}) + 1) = \frac{\pi}{6}(\ln(\frac{1}{2}) + 1) = \frac{\pi}{6}(1 - \ln 2)$ શોધો.
$y(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}(\ln(\sin \frac{\pi}{4}) + 1) = \frac{\pi}{4}(\ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 1) = \frac{\pi}{4}(1 - \frac{1}{2}\ln 2)$ શોધો.
અંતે,$6y(\frac{\pi}{6}) - 8y(\frac{\pi}{4}) = 6[\frac{\pi}{6}(1 - \ln 2)] - 8[\frac{\pi}{4}(1 - \frac{1}{2}\ln 2)]$.
$= \pi(1 - \ln 2) - 2\pi(1 - \frac{1}{2}\ln 2) = \pi - \pi \ln 2 - 2\pi + \pi \ln 2 = -\pi$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x\frac{dy}{dx}-\sin(2y)=x^{3}(2-x^{3})\cos^{2}y$.
બંને બાજુ $x\cos^{2}y$ વડે ભાગતા: $\sec^{2}y\frac{dy}{dx}-\frac{\sin(2y)}{x\cos^{2}y}=x^{2}(2-x^{3})$.
$\sin(2y)=2\sin y\cos y$ હોવાથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\sec^{2}y\frac{dy}{dx}-\frac{2\tan y}{x}=x^{2}(2-x^{3})$.
ધારો કે $\tan y=t$,તેથી $\sec^{2}y\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}$.
આ સમીકરણ સુરેખ વિકલ સમીકરણ બને છે: $\frac{dt}{dx}-\frac{2}{x}t=x^{2}(2-x^{3})$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $I.F. = e^{\int-\frac{2}{x}dx} = e^{-2\ln x} = \frac{1}{x^{2}}$.
$I$.$F$. વડે ગુણતા: $\frac{d}{dx}(\frac{t}{x^{2}}) = 2-x^{3}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{t}{x^{2}} = \int(2-x^{3})dx = 2x-\frac{x^{4}}{4}+C$.
$t=\tan y$ મૂકતા: $\frac{\tan y}{x^{2}} = 2x-\frac{x^{4}}{4}+C$.
$y(2)=0$ આપેલ છે,તેથી $\tan(0)=0$: $\frac{0}{4} = 2(2)-\frac{16}{4}+C \Rightarrow 0 = 4-4+C \Rightarrow C=0$.
તેથી,$\tan y = 2x^{3}-\frac{x^{6}}{4}$.
$x=1$ માટે,$\tan(y(1)) = 2(1)^{3}-\frac{1^{6}}{4} = 2-\frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.

(B) આપેલ લક્ષ: $\lim_{t \rightarrow x} \frac{t^{2}y(x)-x^{2}y(t)}{x-t} = 3$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં $L$'$H$ôpital નો નિયમ વાપરતા:
$\lim_{t \rightarrow x} \frac{2ty(x)-x^{2}y'(t)}{-1} = 3$.
$t=x$ મૂકતા:
$2xy(x) - x^{2}y'(x) = -3$,જેનું સાદું રૂપ $x^{2}y'(x) - 2xy(x) = 3$ થાય છે.
$x^{4}$ વડે ભાગતા ($x>0$ માટે):
$\frac{x^{2}y'(x) - 2xy(x)}{x^{4}} = \frac{3}{x^{4}} \Rightarrow \frac{d}{dx} \left( \frac{y(x)}{x^{2}} \right) = 3x^{-4}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\frac{y(x)}{x^{2}} = \int 3x^{-4} dx = -x^{-3} + C = -\frac{1}{x^{3}} + C$.
તેથી,$y(x) = Cx^{2} - \frac{1}{x}$.
$y(1)=2$ આપેલ છે:
$2 = C(1)^{2} - \frac{1}{1} \Rightarrow 2 = C - 1 \Rightarrow C = 3$.
આમ,$y(x) = 3x^{2} - \frac{1}{x}$.
અંતે,$2y(2) = 2 \left( 3(2)^{2} - \frac{1}{2} \right) = 2 \left( 12 - 0.5 \right) = 24 - 1 = 23$.

(NONE) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sec x \frac{dy}{dx} - 2y = 2 + 3 \sin x$ છે.
$\sec x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - 2y \cos x = 2 \cos x + 3 \sin x \cos x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -2 \cos x$ અને $Q = 2 \cos x + 3 \sin x \cos x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int -2 \cos x dx} = e^{-2 \sin x}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int Q \cdot I.F. dx + C$ છે.
$y e^{-2 \sin x} = \int (2 \cos x + 3 \sin x \cos x) e^{-2 \sin x} dx + C$.
ધારો કે $u = -2 \sin x$,તો $du = -2 \cos x dx$,તેથી $\cos x dx = -\frac{du}{2}$.
સંકલન $\int (-1 - \frac{3}{2} u) e^u (-\frac{du}{2}) = \int (\frac{1}{2} + \frac{3}{4} u) e^u du = \frac{1}{2} e^u + \frac{3}{4} (u e^u - e^u) + C = \frac{3}{4} u e^u - \frac{1}{4} e^u + C$ બને છે.
$u = -2 \sin x$ પાછું મૂકતા: $y e^{-2 \sin x} = -\frac{3}{2} \sin x e^{-2 \sin x} - \frac{1}{4} e^{-2 \sin x} + C$.
$y = -\frac{3}{2} \sin x - \frac{1}{4} + C e^{2 \sin x}$.
$y(0) = -\frac{7}{4}$ આપેલ હોવાથી,$-\frac{7}{4} = 0 - \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = -\frac{3}{2}$.
તેથી,$y(x) = -\frac{3}{2} \sin x - \frac{1}{4} - \frac{3}{2} e^{2 \sin x}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\sin x = \frac{1}{2}$,તેથી $y(\frac{\pi}{6}) = -\frac{3}{4} - \frac{1}{4} - \frac{3e}{2} = -1 - \frac{3e}{2}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2-4)y^{\prime}-2xy = -2x(4-x^2)^2$ છે.
$(x^2-4)^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{(x^2-4)y^{\prime}-2xy}{(x^2-4)^2} = -2x$.
આ ભાગાકારના નિયમનું વિકલન છે: $\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x^2-4} \right) = -2x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા: $\frac{y}{x^2-4} = -x^2 + C$.
તેથી,$y = (-x^2+C)(x^2-4)$.
વક્ર બિંદુ $(3, 15)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=3$ અને $y=15$ મૂકતા: $15 = (-9+C)(9-4) \Rightarrow 15 = 5(-9+C) \Rightarrow 3 = -9+C \Rightarrow C=12$.
આમ,$f(x) = (12-x^2)(x^2-4)$.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,$f^{\prime}(x) = 0$ લેતા: $f^{\prime}(x) = (-2x)(x^2-4) + (12-x^2)(2x) = -2x^3 + 8x + 24x - 2x^3 = -4x^3 + 32x = 0$.
$-4x(x^2-8) = 0$. $x>2$ હોવાથી,$x^2=8$,એટલે કે $x=2\sqrt{2}$.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $f(2\sqrt{2}) = (12-8)(8-4) = 4 \times 4 = 16$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x^{4}dy + (4x^{3}y + 2\sin x)dx = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $x^{4}dy + 4x^{3}ydx = -2\sin x dx$.
આને $d(x^{4}y) = -2\sin x dx$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int d(x^{4}y) = \int -2\sin x dx$,જે $x^{4}y = 2\cos x + C$ આપે છે.
શરત $y(\frac{\pi}{2}) = 0$ આપેલ છે,તેથી $x = \frac{\pi}{2}$ અને $y = 0$ મુકતા:
$(\frac{\pi}{2})^{4}(0) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) + C
\Rightarrow 0 = 2(0) + C
\Rightarrow C = 0$.
તેથી,ઉકેલ $x^{4}y = 2\cos x$ છે.
હવે,આપણે $\pi^{4}y(\frac{\pi}{3})$ શોધવાનું છે.
$x = \frac{\pi}{3}$ માટે,$(\frac{\pi}{3})^{4} y(\frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{\pi}{3})$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,આપણને મળે $\frac{\pi^{4}}{81} y(\frac{\pi}{3}) = 2(\frac{1}{2}) = 1$.
તેથી,$\pi^{4} y(\frac{\pi}{3}) = 81$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $6 \int_1^x f(t) dt = 3xf(x) + x^3 - 4$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$6f(x) = 3f(x) + 3xf'(x) + 3x^2$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$3f(x) = 3xf'(x) + 3x^2$.
$3$ વડે ભાગતા:
$f(x) = xf'(x) + x^2$.
આને સુરેખ વિકલ સમીકરણ $f'(x) - \frac{1}{x}f(x) = -x$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ છે.
$IF$ વડે ગુણતા: $\frac{1}{x}f'(x) - \frac{1}{x^2}f(x) = -1$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{f(x)}{x} = -x + C$.
તેથી,$f(x) = -x^2 + Cx$.
$x=1$ આગળ,મૂળ સમીકરણ મુજબ $6 \int_1^1 f(t) dt = 3(1)f(1) + 1^3 - 4$,જે સૂચવે છે કે $0 = 3f(1) - 3$,તેથી $f(1) = 1$.
$f(1)=1$ ને $f(x) = -x^2 + Cx$ માં મૂકતા: $1 = -1 + C$,તેથી $C = 2$.
આમ,$f(x) = -x^2 + 2x$.
હવે,$f(2) = -(2)^2 + 2(2) = 0$ અને $f(3) = -(3)^2 + 2(3) = -9 + 6 = -3$.
તેથી,$f(2) - f(3) = 0 - (-3) = 3$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2})dy + (y-\tan^{-1}x)dx = 0$ છે.
$(1+x^{2})dx$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^{2}} = \frac{\tan^{-1}x}{1+x^{2}}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{1+x^{2}}$ અને $Q = \frac{\tan^{-1}x}{1+x^{2}}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{1+x^{2}} dx} = e^{\tan^{-1}x}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int Q \cdot I.F. dx + c$ છે.
$y \cdot e^{\tan^{-1}x} = \int \frac{\tan^{-1}x}{1+x^{2}} e^{\tan^{-1}x} dx + c$.
ધારો કે $t = \tan^{-1}x$,તો $dt = \frac{1}{1+x^{2}} dx$ થાય.
સંકલન $\int t e^{t} dt = t e^{t} - e^{t} + c$ બને છે.
તેથી,$y \cdot e^{\tan^{-1}x} = (\tan^{-1}x) e^{\tan^{-1}x} - e^{\tan^{-1}x} + c$.
$y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 \cdot e^{0} = (0) e^{0} - e^{0} + c \Rightarrow 1 = -1 + c \Rightarrow c = 2$.
આમ,$y \cdot e^{\tan^{-1}x} = (\tan^{-1}x - 1) e^{\tan^{-1}x} + 2$.
$e^{\tan^{-1}x}$ વડે ભાગતા,$y = \tan^{-1}x - 1 + 2e^{-\tan^{-1}x}$ મળે છે.
$x = 1$ માટે,$y(1) = \tan^{-1}(1) - 1 + 2e^{-\tan^{-1}(1)} = \frac{\pi}{4} - 1 + \frac{2}{e^{\pi/4}}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ છે.
આ સમીકરણને $x$ વડે ભાગતા તે સુરેખ વિકલ સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં ફેરવાય છે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$.
અહીં,$P(x) = \frac{2}{x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધવાનું સૂત્ર $IF = e^{\int P(x) dx}$ છે.
તેથી,$IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log |x|} = e^{\log |x^2|} = x^2$ (કારણ કે $x \neq 0$ માટે $x^2 > 0$ થાય).

(C) આપેલ છે કે $f(xy) = f(x)f(y)$ અને $f(0) \ne 0$. કારણ કે $f(0) = f(0 \cdot x) = f(0)f(x)$,અને $f(0) \ne 0$,તેથી તમામ $x \in R$ માટે $f(x) = 1$ થાય.
આપેલ સંકલન સમીકરણમાં $f(x) = 1$ મૂકતા: $x^2 g(x) = \int_1^x (t^2 - t g(t)) dt$.
લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા: $2x g(x) + x^2 g'(x) = x^2 - x g(x)$.
પદોને ગોઠવતા: $x^2 g'(x) + 3x g(x) = x^2$.
$x^2$ વડે ભાગતા ($x \ge 1$ માટે): $g'(x) + \frac{3}{x} g(x) = 1$.
આ $g'(x) + P(x)g(x) = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = 3/x$ અને $Q(x) = 1$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int (3/x) dx} = e^{3 \ln x} = x^3$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $g(x) \cdot x^3 = \int (1 \cdot x^3) dx = \frac{x^4}{4} + C$ છે.
$x = 1$ આગળ,સંકલન $\int_1^1 (t^2 - t g(t)) dt = 0$,તેથી $1^2 g(1) = 0 \implies g(1) = 0$.
ઉકેલમાં $x = 1$ મૂકતા: $0 \cdot 1^3 = \frac{1^4}{4} + C \implies C = -1/4$.
આમ,$g(x) x^3 = \frac{x^4 - 1}{4}$,જે આપણને $g(x) = \frac{x^4 - 1}{4x^3}$ આપે છે.
$x = 2$ માટે,$g(2) = \frac{2^4 - 1}{4(2^3)} = \frac{16 - 1}{4(8)} = \frac{15}{32}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $f(x) = \int_1^x f(t) \, dt + (1 - x)(\log_e x - 1) + e$ છે.
$x = 1$ માટે,$f(1) = \int_1^1 f(t) \, dt + (1 - 1)(\log_e 1 - 1) + e = 0 + 0 + e = e$.
લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = f(x) - 1(\log_e x - 1) + (1 - x)(1/x) = f(x) - \log_e x + 1 + 1/x - 1 = f(x) - \log_e x + 1/x$.
આને સુરેખ વિકલ સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $f'(x) - f(x) = \frac{1}{x} - \log_e x$.
સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int -1 \, dx} = e^{-x}$ છે.
$e^{-x}$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{dx}(f(x)e^{-x}) = e^{-x}(\frac{1}{x} - \log_e x)$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $f(x)e^{-x} = \int e^{-x}(\frac{1}{x} - \log_e x) \, dx + C$.
ગુણધર્મ $\frac{d}{dx}(e^{-x} \log_e x) = -e^{-x} \log_e x + e^{-x}/x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $f(x)e^{-x} = e^{-x} \log_e x + C$.
તેથી,$f(x) = \log_e x + Ce^x$.
$f(1) = e$ હોવાથી,$e = \log_e 1 + Ce^1 \implies e = 0 + Ce \implies C = 1$.
આમ,$f(x) = \log_e x + e^x$.
આપણે $f(f(1)) = f(e) = \log_e e + e^e = 1 + e^e$ શોધવાનું છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x\sqrt{1-x^2} dy + (y\sqrt{1-x^2} - x\cos^{-1}x) dx = 0$ છે.
$dx$ અને $x\sqrt{1-x^2}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \frac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = \frac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int (1/x) dx} = e^{\ln x} = x$ છે.
ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે,તેથી $yx = \int \frac{x\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} dx$.
ધારો કે $t = \cos^{-1}x$,તો $dt = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ અને $x = \cos t$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$yx = -\int t \cos t dt = -(t \sin t + \cos t) + C = -(\cos^{-1}x \sqrt{1-x^2} + x) + C$.
આપેલ છે કે $\lim_{x\to 1^-} y(x) = 1$,તેથી $x \to 1$ માટે $yx \to 1$ થાય. આમ,$1 = -(\cos^{-1}(1) \cdot 0 + 1) + C$,જે $1 = -1 + C$ આપે છે,તેથી $C = 2$.
તેથી,$yx = 2 - x - \sqrt{1-x^2} \cos^{-1}x$.
$x = \frac{1}{2}$ માટે,$y(\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} - \sqrt{1 - (1/2)^2} \cos^{-1}(1/2) = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{3}{2} - \frac{\pi}{2\sqrt{3}}$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $y(\frac{1}{2}) = 3 - \frac{\pi}{\sqrt{3}}$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{6x^2}{x^3+2} + \frac{e^{-2x}}{2+e^{-2x}}$ અને $Q(x) = 2+e^{-2x}$ છે.
પ્રથમ,સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધો:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \left( \frac{6x^2}{x^3+2} + \frac{e^{-2x}}{2+e^{-2x}} \right) dx} = e^{2\ln(x^3+2) - \frac{1}{2}\ln(2+e^{-2x})} = \frac{(x^3+2)^2}{\sqrt{2+e^{-2x}}}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ છે.
$y \cdot \frac{(x^3+2)^2}{\sqrt{2+e^{-2x}}} = \int (2+e^{-2x}) \cdot \frac{(x^3+2)^2}{\sqrt{2+e^{-2x}}} dx = \int (x^3+2)^2 \sqrt{2+e^{-2x}} dx$.
આ પદ્ધતિ જટિલ છે; મૂળ સમીકરણને સરળ બનાવતા અને $y(0) = 3/2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\alpha = \frac{13}{8}$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$ ને $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{2y^2}{x^2} \frac{dx}{dy} - \frac{2y}{x} + 1 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $v = \frac{1}{x}$,તેથી $\frac{dv}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $-2y^2 \frac{dv}{dy} - 2yv + 1 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dv}{dy} + \frac{1}{y} v = \frac{1}{2y^2}$ થાય છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે જે $\frac{dv}{dy} + P(y)v = Q(y)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{y}$ અને $Q(y) = \frac{1}{2y^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y} dy} = e^{\ln y} = y$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $v \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ છે,જે $v \cdot y = \int \frac{1}{2y^2} \cdot y dy + C = \int \frac{1}{2y} dy + C = \frac{1}{2} \ln y + C$ આપે છે.
આપેલ છે કે $x(e) = e$,તેથી $y = e$ માટે $v = \frac{1}{e}$ થાય. આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{e} \cdot e = \frac{1}{2} \ln e + C$,તેથી $1 = \frac{1}{2} + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = \frac{1}{2}$.
આમ,$v \cdot y = \frac{1}{2} \ln y + \frac{1}{2} = \frac{\ln y + 1}{2}$.
કારણ કે $v = \frac{1}{x}$,તેથી $\frac{y}{x} = \frac{\ln y + 1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{2y}{\ln y + 1}$.
$y = e^2$ માટે,$x(e^2) = \frac{2e^2}{\ln e^2 + 1} = \frac{2e^2}{2 + 1} = \frac{2}{3} e^2$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$ ને $x^2 y^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{2}{x^2} \frac{dx}{dy} - \frac{2}{xy} + \frac{1}{y^2} = 0$ મળે છે.
ધારો કે $u = \frac{1}{x}$,તો $\frac{du}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $-2 \frac{du}{dy} - \frac{2u}{y} + \frac{1}{y^2} = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{du}{dy} + \frac{u}{y} = \frac{1}{2y^2}$ થાય છે.
આ $\frac{du}{dy} + P(y)u = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{y}$ અને $Q(y) = \frac{1}{2y^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int (1/y) dy} = e^{\log_e y} = y$.
વ્યાપક ઉકેલ $u \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF \, dy + C$ છે,તેથી $uy = \int \frac{1}{2y^2} \cdot y \, dy + C = \int \frac{1}{2y} dy + C = \frac{1}{2} \log_e y + C$.
આપેલ છે કે $x(e) = e$,તેથી $y = e$ માટે $u = 1/e$. આ કિંમતો મૂકતા: $(1/e) \cdot e = \frac{1}{2} \log_e e + C \Rightarrow 1 = 1/2 + C \Rightarrow C = 1/2$.
આમ,$u = \frac{\log_e y + 1}{2y}$. કારણ કે $u = 1/x$,તેથી $x = \frac{2y}{\log_e y + 1}$.
$y = e^2$ માટે,$x(e^2) = \frac{2e^2}{\log_e e^2 + 1} = \frac{2e^2}{2 + 1} = \frac{2}{3}e^2$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 - x\sqrt{x^2-1})dy = (x - y(x - \sqrt{x^2-1}))dx$ છે.
ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{x - \sqrt{x^2-1}}{x(x - \sqrt{x^2-1})}y = \frac{x}{x(x - \sqrt{x^2-1})}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = \frac{1}{x - \sqrt{x^2-1}}$ થાય છે.
$x + \sqrt{x^2-1}$ વડે ગુણતા,$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x + \sqrt{x^2-1}$ મળે છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ છે.
ઉકેલ $y \cdot x = \int x(x + \sqrt{x^2-1}) dx = \int (x^2 + x\sqrt{x^2-1}) dx$ છે.
$xy = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{3}(x^2-1)^{3/2} + C$.
$y(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1(1) = \frac{1}{3} + 0 + C$,તેથી $C = \frac{2}{3}$.
આમ,$y = \frac{x^2}{3} + \frac{(x^2-1)^{3/2}}{3x} + \frac{2}{3x}$.
$x = \sqrt{5}$ માટે,$y(\sqrt{5}) = \frac{5}{3} + \frac{8}{3\sqrt{5}} + \frac{2}{3\sqrt{5}} = \frac{5}{3} + \frac{10}{3\sqrt{5}} = \frac{5 + 2\sqrt{5}}{3} \approx 3.157$.
$3.157$ થી નાનો મહત્તમ પૂર્ણાંક $3$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(\tan x)^{1/2} \frac{dy}{dx} = \sec^3 x - (\tan x)^{3/2} y$.
$(\tan x)^{1/2}$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \tan x \cdot y = \frac{\sec^3 x}{(\tan x)^{1/2}}$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \tan x$ અને $Q(x) = \frac{\sec^3 x}{\sqrt{\tan x}}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot \sec x = \int Q(x) \cdot IF dx = \int \frac{\sec^3 x}{\sqrt{\tan x}} \cdot \sec x dx = \int \frac{\sec^4 x}{\sqrt{\tan x}} dx$ છે.
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\int \frac{(1 + \tan^2 x) \sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} dx$ મળે.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x dx$. સંકલન $\int (u^{-1/2} + u^{3/2}) du = 2u^{1/2} + \frac{2}{5}u^{5/2} + C$ બને છે.
તેથી,$y \sec x = 2\sqrt{\tan x} + \frac{2}{5}(\tan x)^{5/2} + C$.
આપેલ છે કે $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{6\sqrt{2}}{5}$,$x = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા: $y \cdot \sqrt{2} = 2(1) + \frac{2}{5}(1) + C \implies \frac{6\sqrt{2}}{5} \cdot \sqrt{2} = \frac{12}{5} = \frac{12}{5} + C \implies C = 0$.
આમ,$y \sec x = 2\sqrt{\tan x} + \frac{2}{5}(\tan x)^{5/2}$.
$x = \frac{\pi}{3}$ માટે,$\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ અને $\sec(\frac{\pi}{3}) = 2$.
$y \cdot 2 = 2\sqrt{\sqrt{3}} + \frac{2}{5}(\sqrt{3})^{5/2} = 2(3)^{1/4} + \frac{2}{5}(3)^{5/4} = 2(3)^{1/4} + \frac{2}{5} \cdot 3 \cdot 3^{1/4} = 2(3)^{1/4} + \frac{6}{5}(3)^{1/4} = \frac{16}{5}(3)^{1/4}$.
$y(\frac{\pi}{3}) = \frac{8}{5}(3)^{1/4} = \frac{4}{5} \cdot 2(3)^{1/4}$.
તેથી,$\alpha = 2(3)^{1/4}$.
$\alpha^4 = (2(3)^{1/4})^4 = 16 \cdot 3 = 48$.