Homogeneous differential equations Questions in Hindi

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \tan \left(\frac{y}{x}\right) + \frac{y}{x}$ है।
$\frac{y}{x} = v$ प्रतिस्थापित करने पर,$y = vx$ प्राप्त होता है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को मूल समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \tan(v) + v$।
सरल करने पर,$x \frac{dv}{dx} = \tan(v)$ प्राप्त होता है।
चरों को पृथक करने पर,$\frac{dv}{\tan(v)} = \frac{dx}{x}$,अर्थात $\cot(v) \, dv = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cot(v) \, dv = \int \frac{dx}{x}$।
इससे $\ln |\sin(v)| = \ln |x| + \ln |c|$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,$\sin(v) = cx$ प्राप्त होता है।
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर,व्यापक हल $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = cx$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y - x \tan \left( \frac{y}{x} \right)$ है।
$x$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \tan \left( \frac{y}{x} \right)$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \tan v$।
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = - \tan v$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{\tan v} = - \frac{dx}{x}$,जो $\cot v \, dv = - \frac{dx}{x}$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cot v \, dv = - \int \frac{1}{x} \, dx$।
इससे $\ln |\sin v| = - \ln |x| + \ln |c|$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर: $\ln |\sin v| + \ln |x| = \ln |c| \Rightarrow \ln |x \sin v| = \ln |c|$।
अतः,$x \sin v = c$। $v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर,हमें $x \sin \left( \frac{y}{x} \right) = c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \tan \left(\frac{y}{x}\right) + \frac{y}{x}$.
माना $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $y = vx$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \tan v + v$.
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर:
$x \frac{dv}{dx} = \tan v$.
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{dv}{\tan v} = \frac{dx}{x}$,अर्थात $\cot v \, dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \cot v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$.
$\log |\sin v| = \log |x| + \log |c|$.
$\log |\sin v| = \log |cx|$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$\sin v = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = cx$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = y(\log(\frac{y}{x}) + 1)$.
$x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}(\log(\frac{y}{x}) + 1)$.
माना $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v(\log v + 1)$.
$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$.
$x \frac{dv}{dx} = v \log v$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{v \log v} dv = \int \frac{1}{x} dx$.
माना $u = \log v$,तो $du = \frac{1}{v} dv$. समाकलन $\int \frac{1}{u} du = \int \frac{1}{x} dx$ बन जाता है.
$\log|u| = \log|x| + \log|c|$.
$\log|\log v| = \log|cx|$.
$\log v = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर: $\log(\frac{y}{x}) = cx$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(y^2 - x^2) dx = xy dy$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{xy}$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{(vx)^2 - x^2}{x(vx)} = \frac{v^2 - 1}{v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2 - 1}{v} - v = \frac{v^2 - 1 - v^2}{v} = -\frac{1}{v}$.
चरों को पृथक करने पर: $v dv = -\frac{1}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int v dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
$\frac{v^2}{2} = -\log |x| + c$.
चूँकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $\frac{y^2}{2x^2} = -\log |x| + c$.
$2x^2$ से गुणा करने पर: $y^2 = -2x^2 \log |x| + 2cx^2$.
व्यवस्थित करने पर: $2x^2 \log |x| + y^2 - 2cx^2 = 0$.
$-c$ को एक नए स्थिरांक $C$ के रूप में लेने पर,$2x^2 \log |x| + y^2 + 2Cx^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ दी गई है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।
माना $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + v^2x^2}{2x(vx)} = \frac{1+v^2}{2v}$।
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1-v^2}{2v}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{2v}{1-v^2} dv = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\ln|1-v^2| = \ln|x| + C$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर,हल $2y^2 = 2x^2 - 3x$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sec \left(\frac{y}{x}\right)$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \sec v$
$x \frac{dv}{dx} = \sec v$
$\cos v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \cos v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$
$\sin v = \log x + C$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log x + C$.
वक्र बिंदु $\left(1, \frac{\pi}{6}\right)$ से गुजरता है,इसलिए:
$\sin \left(\frac{\pi/6}{1}\right) = \log(1) + C$
$\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 0 + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.
अतः,वक्र का समीकरण $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log x + \frac{1}{2}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{3 x+y}{x-y}$ है।
चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,मान लीजिए $y=vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{3x+vx}{x-vx} = \frac{3+v}{1-v}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{3+v}{1-v} - v = \frac{3+v-v+v^2}{1-v} = \frac{3+v^2}{1-v}$.
चरों को अलग करने पर:
$\int \frac{1-v}{3+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\int \frac{1}{3+v^2} dv - \int \frac{v}{3+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{v}{\sqrt{3}}\right) - \frac{1}{2} \log(3+v^2) = \log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{y}{x\sqrt{3}}\right) - \frac{1}{2} \log\left(3+\frac{y^2}{x^2}\right) = \log|x| + C$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{y}{x\sqrt{3}}\right) - \frac{1}{2} \log\left(\frac{3x^2+y^2}{x^2}\right) = \log|x| + C$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{y}{x\sqrt{3}}\right) - \log\left(\frac{y^2+3x^2}{x^2}\right)^{\frac{1}{2}} = \log|x| + C$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2+y^2-2xy \frac{dy}{dx}=0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2xy \frac{dy}{dx} = x^2+y^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + (vx)^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1+v^2)}{2x^2v} = \frac{1+v^2}{2v}$
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1+v^2-2v^2}{2v} = \frac{1-v^2}{2v}$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{2v}{1-v^2} dv = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{2v}{1-v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$
मान लीजिए $1-v^2 = t$,तो $-2v dv = dt$,अतः $2v dv = -dt$.
$-\int \frac{dt}{t} = \int \frac{dx}{x} \Rightarrow -\ln|t| = \ln|x| + \ln|C_1|$
$-\ln|1-v^2| = \ln|x| + \ln|C_1| = \ln|C_1 x|$
$\ln|1-v^2|^{-1} = \ln|C_1 x| \Rightarrow \frac{1}{1-v^2} = C_1 x$
$v = y/x$ रखने पर: $\frac{1}{1-(y^2/x^2)} = C_1 x \Rightarrow \frac{x^2}{x^2-y^2} = C_1 x$
$\frac{x}{x^2-y^2} = C_1 \Rightarrow x = C_1(x^2-y^2)$
पुनर्व्यवस्थित करने पर $x^2-y^2 = Cx$ प्राप्त होता है (जहाँ $C = 1/C_1$ एक स्वेच्छ स्थिरांक है)।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + \sqrt{xy}}$ है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,अतः $y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{vx}{x + \sqrt{x^2v}} = \frac{v}{1 + \sqrt{v}}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + \sqrt{v}} - v = \frac{-v\sqrt{v}}{1 + \sqrt{v}}$.
चरों को पृथक करने पर: $-\frac{1 + \sqrt{v}}{v\sqrt{v}} dv = \frac{dx}{x} \Rightarrow -(\frac{1}{v^{3/2}} + \frac{1}{v}) dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\int (v^{-3/2} + v^{-1}) dv = \int \frac{1}{x} dx$.
$-(-2v^{-1/2} - \ln|v|) = \ln|x| + C$.
$2\frac{1}{\sqrt{v}} + \ln|v| = \ln|x| + C$.
$v = y/x$ रखने पर,$2\sqrt{x/y} + \ln(y/x) = \ln|x| + C$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(3xy+y^2) dx + (x^2+xy) dy = 0$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3xy+y^2}{x^2+xy}$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{3v x^2 + v^2 x^2}{x^2 + vx^2} = -\frac{3v+v^2}{1+v}$।
$x\frac{dv}{dx} = -\frac{3v+v^2}{1+v} - v = -\frac{3v+v^2+v+v^2}{1+v} = -\frac{2v^2+4v}{1+v}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{1+v}{2v^2+4v} dv = -\int \frac{1}{x} dx$।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $\int \frac{1+v}{v^2+2v} dv = -2\int \frac{1}{x} dx$।
मान लीजिए $u = v^2+2v$,तो $du = (2v+2) dv = 2(v+1) dv$।
अतः,$\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = -2\ln|x| + C'$।
$\frac{1}{2} \ln|v^2+2v| = -2\ln|x| + C'$।
$\ln|v^2+2v| = -4\ln|x| + C''$।
$\ln|v^2+2v| + \ln|x^4| = C''$।
$\ln|x^4(v^2+2v)| = C''$।
$x^4(\frac{y^2}{x^2} + \frac{2y}{x}) = c$।
$x^2(y^2+2xy) = c$।

(C) एक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ समघातीय होता है यदि $f(x, y)$ शून्य घात का एक समघातीय फलन हो।
$I$ के लिए: $f(x, y) = \frac{y+x}{x} = \frac{y}{x} + 1$. यह शून्य घात का एक समघातीय फलन है। अतः,$I$ एक समघातीय अवकल समीकरण है।
$II$ के लिए: $f(x, y) = \frac{x^2+y}{x^3} = \frac{1}{x} + \frac{y}{x^3}$. यह एक समघातीय फलन नहीं है क्योंकि पदों की घात समान नहीं है। अतः,$II$ समघातीय नहीं है।
$III$ के लिए: $f(x, y) = \frac{2xy}{y^2-x^2}$. अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $f(x, y) = \frac{2(y/x)}{(y/x)^2-1}$ प्राप्त होता है। यह शून्य घात का एक समघातीय फलन है। अतः,$III$ एक समघातीय अवकल समीकरण है।
चूंकि $I$ और $III$ समघातीय हैं,इसलिए कथन $S3$ मान्य है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + v$।
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v}$।
चरों को पृथक करने पर: $v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx \Rightarrow \frac{v^2}{2} = \log |x| + C$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\frac{y^2}{2x^2} = \log |x| + C \Rightarrow y^2 = 2x^2 \log |x| + 2x^2 C$।
चूंकि $\log |x| = \frac{1}{2} \log x^2$,इसलिए $y^2 = x^2 \log x^2 + 2x^2 C$।
शर्त $y(1) = -2$ का उपयोग करने पर: $(-2)^2 = (1)^2 \log(1)^2 + 2(1)^2 C \Rightarrow 4 = 0 + 2C \Rightarrow C = 2$।
अतः,हल $y^2 = x^2 \log x^2 + 4x^2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x+vx}{x-vx} = \frac{1+v}{1-v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v-v+v^2}{1-v} = \frac{1+v^2}{1-v}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{1-v}{1+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\int \frac{1}{1+v^2} dv - \frac{1}{2} \int \frac{2v}{1+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \log |1+v^2| = \log |x| + c$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \log |1 + \frac{y^2}{x^2}| = \log |x| + c$.
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \log |\frac{x^2+y^2}{x^2}| = \log |x| + c$.
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} (\log |x^2+y^2| - \log |x^2|) = \log |x| + c$.
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \log |x^2+y^2| + \log |x| = \log |x| + c$.
अतः,$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \log |x^2+y^2| = c$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x^{2} \frac{dy}{dx} = y^{2} + xy$ है।
$x^{2}$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2} + xy}{x^{2}} = \left(\frac{y}{x}\right)^{2} + \frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = ux$,तो $\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $u + x \frac{du}{dx} = u^{2} + u$.
दोनों पक्षों से $u$ घटाने पर: $x \frac{du}{dx} = u^{2}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{du}{u^{2}} = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int u^{-2} du = \int \frac{1}{x} dx$.
$-u^{-1} = \log |x| + c$.
चूंकि $u = \frac{y}{x}$,इसलिए $-\frac{x}{y} = \log |x| + c$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{x}{y} + \log |x| = -c$,जिसे $\frac{x}{y} + \log |x| = C$ के रूप में लिखा जा सकता है (जहाँ $C = -c$)।

(D) दिया गया है कि स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{y}{x} + \left(\frac{y}{x}\right)^2$ है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।
माना $y = ux$,तब $\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$u + x\frac{du}{dx} = 1 + u + u^2$।
दोनों पक्षों से $u$ घटाने पर:
$x\frac{du}{dx} = 1 + u^2$।
चरों को अलग करने पर:
$\int \frac{du}{1 + u^2} = \int \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\tan^{-1}(u) = \log|x| + C$।
$u = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + C$।
चूंकि वक्र बिंदु $(1,0)$ से गुजरता है,इसलिए $\tan^{-1}(0) = \log|1| + C$,जिससे $0 = 0 + C$ प्राप्त होता है,अतः $C = 0$।
इस प्रकार,समीकरण $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x|$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x \sin \left(\frac{y}{x}\right) dy = \left[y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x\right] dx$
दोनों पक्षों को $dx \cdot x \sin \left(\frac{y}{x}\right)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x}{x \sin \left(\frac{y}{x}\right)} = \frac{y}{x} - \frac{1}{\sin \left(\frac{y}{x}\right)}$
माना $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $y = vx$. तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = v - \frac{1}{\sin v}$
$x \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sin v} = -\operatorname{cosec} v$
चरों को अलग करने पर:
$\sin v \, dv = -\frac{1}{x} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \sin v \, dv = -\int \frac{1}{x} dx$
$-\cos v = -\log |x| + c$
$\cos v = \log |x| + c$
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\cos \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + c$

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3xy + y^2}{x^2 + xy}$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{3x^2v + x^2v^2}{x^2 + x^2v} = -\frac{3v + v^2}{1 + v}$।
$x\frac{dv}{dx} = -\frac{3v + v^2}{1 + v} - v = -\frac{3v + v^2 + v + v^2}{1 + v} = -\frac{2v^2 + 4v}{1 + v} = -\frac{2v(v + 2)}{v + 1}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{v + 1}{v(v + 2)} dv = -\frac{2}{x} dx$।
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{v + 1}{v(v + 2)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{v + 2} \Rightarrow v + 1 = A(v + 2) + Bv$।
$v = 0$ के लिए,$A = 1/2$ और $v = -2$ के लिए,$B = 1/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\int (\frac{1}{2v} + \frac{1}{2(v + 2)}) dv = -\int \frac{2}{x} dx$।
$\frac{1}{2} \ln|v| + \frac{1}{2} \ln|v + 2| = -2 \ln|x| + C'$।
$\ln|v(v + 2)x^4| = C'' \Rightarrow v(v + 2)x^4 = c^2$।
$v = y/x$ रखने पर: $\frac{y}{x}(\frac{y}{x} + 2)x^4 = c^2 \Rightarrow y(y + 2x)x^2 = c^2 \Rightarrow x^2(y^2 + 2xy) = c^2$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2+y^2) dy = xy dx$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2+y^2}$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2+(vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1+v^2)} = \frac{v}{1+v^2}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1+v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1+v^2} = -\frac{v^3}{1+v^2}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{1+v^2}{v^3} dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\ln|x| + C$.
$-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$.
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y/x| = -\ln|x| + C$.
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C$.
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$.
$y(1) = 1$ का उपयोग करने पर: $-\frac{1^2}{2(1)^2} + \ln(1) = C \Rightarrow C = -\frac{1}{2}$.
अतः,$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -\frac{1}{2}$.
$y(x_0) = e$ के लिए: $-\frac{x_0^2}{2e^2} + \ln(e) = -\frac{1}{2}$.
$-\frac{x_0^2}{2e^2} + 1 = -\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x_0^2}{2e^2} = \frac{3}{2}$.
$x_0^2 = 3e^2 \Rightarrow x_0 = \sqrt{3}e$.

(D) यदि $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n f(x, y)$ हो,तो फलन $f(x, y)$ को $n$ घात का समघातीय फलन कहा जाता है।
$1$. $f(x, y) = y^2+2xy$ के लिए,$f(\lambda x, \lambda y) = (\lambda y)^2 + 2(\lambda x)(\lambda y) = \lambda^2(y^2+2xy) = \lambda^2 f(x, y)$। यह $2$ घात का समघातीय फलन है।
$2$. $f(x, y) = 2x-3y$ के लिए,$f(\lambda x, \lambda y) = 2(\lambda x) - 3(\lambda y) = \lambda(2x-3y) = \lambda^1 f(x, y)$। यह $1$ घात का समघातीय फलन है।
$3$. $f(x, y) = \sin\left(\frac{y}{x}\right)$ के लिए,$f(\lambda x, \lambda y) = \sin\left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right) = \sin\left(\frac{y}{x}\right) = \lambda^0 f(x, y)$। यह $0$ घात का समघातीय फलन है।
$4$. $f(x, y) = \cos x + \sin y$ के लिए,$f(\lambda x, \lambda y) = \cos(\lambda x) + \sin(\lambda y)$। इस फलन को किसी भी $n$ के लिए $\lambda^n f(x, y)$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
अतः,$\cos x + \sin y$ एक समघातीय फलन नहीं है।

(B) माना $S$ $50$ टिकटों का प्रतिदर्श समष्टि है: $S = \{00, 01, 02, \ldots, 49\}$,इसलिए $n(S) = 50$.
माना $E_1$ वह घटना है कि अंकों का योग $8$ है: $E_1 = \{08, 17, 26, 35, 44\}$,इसलिए $n(E_1) = 5$.
माना $E_2$ वह घटना है कि अंकों का गुणनफल शून्य है। यह तब होता है जब कम से कम एक अंक $0$ हो: $E_2 = \{00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 20, 30, 40\}$,इसलिए $n(E_2) = 14$.
सर्वनिष्ठ $E_1 \cap E_2$ उन टिकटों का समूह है जहाँ योग $8$ और गुणनफल $0$ है: $E_1 \cap E_2 = \{08\}$,इसलिए $n(E_1 \cap E_2) = 1$.
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(E_1 | E_2) = \frac{n(E_1 \cap E_2)}{n(E_2)} = \frac{1}{14}$ है।

(D) $1$ से $19$ के बीच अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ हैं। ऐसी कुल $8$ संख्याएँ हैं।
चूंकि पहले मेहमान को अभाज्य संख्या वाला कमरा दिया गया है,इसलिए अब $8 - 1 = 7$ अभाज्य कमरे शेष हैं।
दूसरे मेहमान के लिए कुल शेष कमरों की संख्या $19 - 1 = 18$ है।
अतः,दूसरे मेहमान को अभाज्य संख्या वाला कमरा मिलने की प्रायिकता $\frac{7}{18}$ है।

(B) दिया गया है $P(A') = 0.6$,इसलिए $P(A) = 1 - 0.6 = 0.4$ है।
हमें $P(B) = 0.8$ और $P(B/A) = 0.3$ दिया गया है।
गुणन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B/A) = 0.4 \times 0.3 = 0.12$ है।
हम जानते हैं कि $P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ होता है।
मान रखने पर,$P(A/B) = \frac{0.12}{0.8} = \frac{12}{80} = \frac{3}{20}$।

(A) थैले में गेंदों की कुल संख्या $5 + 3 = 8$ है।
हमें प्रतिस्थापन के बिना दो बार गेंद चुनने पर एक लाल और एक हरी गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
यह दो तरीकों से हो सकता है: (लाल फिर हरी) या (हरी फिर लाल)।
$\text{अभीष्ट प्रायिकता} = P(R_1 \cap G_2) + P(G_1 \cap R_2)$
$= P(R_1) \cdot P(G_2 | R_1) + P(G_1) \cdot P(R_2 | G_1)$
$= \left(\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7}\right)$
$= \frac{15}{56} + \frac{15}{56}$
$= \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx + e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = -\frac{e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right)}{1+e^{\frac{x}{y}}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि समीकरण में $\frac{x}{y}$ पद शामिल है,यह $\frac{dx}{dy} = F\left(\frac{x}{y}\right)$ रूप का एक समघातीय अवकल समीकरण है।
इस तरह के समीकरण को हल करने के लिए,हम $x = vy$ प्रतिस्थापन करते हैं,जहाँ $v$,$y$ का एक फलन है।
अतः,सही प्रतिस्थापन $x = vy$ है।

(B) सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
दिया गया है कि $P(A \mid B) = 1$,इसलिए $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = 1$,जिसका अर्थ है कि $P(A \cap B) = P(B)$.
चूंकि $A \cap B$,$B$ का एक उपसमुच्चय है $(A \cap B \subseteq B)$,और उनकी प्रायिकताएं समान हैं,इसका अर्थ है कि $B$ के सभी परिणाम $A$ में निहित हैं।
अतः,$B \subseteq A$ (या दिए गए विकल्पों के संदर्भ में $B \subset A$)।

(B) दिया गया है: $3 P(A) = \frac{5}{13} \implies P(A) = \frac{5}{39}$.
$P(B) = \frac{5}{13} = \frac{15}{39}$.
$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3}{5}$.
अतः,$P(A \cap B) = P(A \mid B) \times P(B) = \frac{3}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{3}{13} = \frac{9}{39}$.
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{5}{39} + \frac{15}{39} - \frac{9}{39} = \frac{11}{39}$.

(A) दिया गया है कि $2 P(A) = \frac{5}{13} \implies P(A) = \frac{5}{26}$.
दिया गया है कि $P(B) = \frac{5}{13}$.
दिया गया है कि $P(A \mid B) = \frac{2}{5}$.
हम जानते हैं कि $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
अतः,$P(A \cap B) = P(A \mid B) \times P(B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{2}{13}$.
हम सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर: $P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{5}{13} - \frac{2}{13}$.
$P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{10}{26} - \frac{4}{26} = \frac{11}{26}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dt}{dx} = \frac{t}{x + t e^{-2x/t}}$.
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dx}{dt} = \frac{x + t e^{-2x/t}}{t}$.
अंश के प्रत्येक पद को $t$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dx}{dt} = \frac{x}{t} + \frac{t e^{-2x/t}}{t}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{x}{t} + e^{-2(x/t)}$.
यह $\frac{dx}{dt} = \phi\left(\frac{x}{t}\right)$ के रूप में है,जहाँ $\phi(v) = v + e^{-2v}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x dy - y dx = \sqrt{x^2 + y^2} dx$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x}$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2 + v^2x^2}}{x} = v + \sqrt{1 + v^2}$।
सरल करने पर,$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \int \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln(v + \sqrt{v^2 + 1}) = \ln|x| + C = \ln|cx|$।
अतः,$v + \sqrt{v^2 + 1} = cx$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^2}{x^2} + 1} = cx \Rightarrow y + \sqrt{x^2 + y^2} = cx^2$।
दिया गया है कि $y(\sqrt{3}) = 1$,इसलिए $1 + \sqrt{3 + 1} = c(\sqrt{3})^2 \Rightarrow 1 + 2 = 3c \Rightarrow c = 1$।
अतः,हल $y + \sqrt{x^2 + y^2} = x^2$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+y) y dx + (y-x) x dy = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(y-x) x dy = -(x+y) y dx$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{(x+y) y}{(x-y) x}$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{(x+vx) vx}{(x-vx) x} = \frac{v(1+v)}{1-v} = \frac{v+v^2}{1-v}$।
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v+v^2}{1-v} - v = \frac{v+v^2-v+v^2}{1-v} = \frac{2v^2}{1-v}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{1-v}{v^2} dv = \int \frac{2}{x} dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (v^{-2} - v^{-1}) dv = 2 \int \frac{1}{x} dx$।
$-v^{-1} - \ln|v| = 2 \ln|x| + C$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $-\frac{x}{y} - \ln(\frac{y}{x}) = 2 \ln|x| + C$।
$-\frac{x}{y} - \ln|y| + \ln|x| = 2 \ln|x| + C$।
$-\frac{x}{y} = \ln|y| + \ln|x| + C = \ln|xy| + C$।
$-y$ से गुणा करने पर: $x = -y \ln|xy| - yC$।
$x + y(\ln|xy| + C) = 0$।
$x + y \ln|cxy| = 0$,जहाँ $C = \ln|c|$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin \frac{y}{x} - x}{x \sin \frac{y}{x}} = \frac{y}{x} - \frac{1}{\sin \frac{y}{x}} = \frac{y}{x} - \operatorname{cosec} \frac{y}{x}$
माना $\frac{y}{x} = v$,तब $y = vx$,और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \operatorname{cosec} v$
$x \frac{dv}{dx} = -\operatorname{cosec} v$
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{\operatorname{cosec} v} = -\frac{dx}{x} \Rightarrow \sin v dv = -\frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sin v dv = -\int \frac{1}{x} dx$
$-\cos v = -\log_e |x| + C$
$\cos v = \log_e |x| + C'$
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर: $\cos \frac{y}{x} = \log_e x + C$

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \tan(\frac{y}{x})$.
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \tan(v)$.
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर:
$x \frac{dv}{dx} = \tan(v)$.
चरों को पृथक करने पर:
$\int \cot(v) dv = \int \frac{1}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\ln|\sin(v)| = \ln|x| + \ln|C|$.
$\ln|\sin(v)| = \ln|Cx|$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$\sin(v) = Cx$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\sin(\frac{y}{x}) = Cx$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x dy - y dx = \sqrt{x^2 + y^2} dx$ है।
दोनों पक्षों को $x dx$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}}$.
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \sqrt{1 + v^2}$.
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर:
$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2}$.
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \int \frac{dx}{x}$.
$\log |v + \sqrt{1 + v^2}| = \log |x| + \log |c|$.
$v + \sqrt{1 + v^2} = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}} = cx$.
$\frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} = cx$.
$y + \sqrt{x^2 + y^2} = cx^2$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(xy + y^2) dx - (x^2 - 2xy) dy = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy + y^2}{x^2 - 2xy}$
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^2}{1 - 2(\frac{y}{x})}$
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
समीकरण में मान रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v + v^2}{1 - 2v}$
$x\frac{dv}{dx} = \frac{v + v^2}{1 - 2v} - v = \frac{v + v^2 - v + 2v^2}{1 - 2v} = \frac{3v^2}{1 - 2v}$
चरों को अलग करने पर: $(\frac{1 - 2v}{3v^2}) dv = \frac{dx}{x} \Rightarrow (\frac{1}{3v^2} - \frac{2}{3v}) dv = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (\frac{1}{3}v^{-2} - \frac{2}{3v}) dv = \int \frac{1}{x} dx$
$-\frac{1}{3v} - \frac{2}{3} \ln|v| = \ln|x| + C_1$
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $-\frac{x}{3y} - \frac{2}{3} \ln(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C_1$
$3$ से गुणा करने पर: $-\frac{x}{y} - 2(\ln y - \ln x) = 3\ln x + 3C_1$
$-\frac{x}{y} = 3\ln x + 2\ln y - 2\ln x + C_2 = \ln x + 2\ln y + C_2 = \ln(xy^2) + C_2$
$-\frac{x}{y} = \ln(Cxy^2) \Rightarrow e^{-\frac{x}{y}} = Cxy^2$
अतः,$Cxy^2 e^{\frac{x}{y}} = 1$।

(C) $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ के रूप वाले अवकल समीकरण को समघातीय अवकल समीकरण कहा जाता है यदि फलन $f(x, y)$ शून्य घात का एक समघातीय फलन हो।
परिभाषा के अनुसार,एक फलन $f(x, y)$ शून्य घात का समघातीय फलन है यदि $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^0 f(x, y) = f(x, y)$ हो।
ऐसे फलन को हमेशा $f(x, y) = \phi\left(\frac{y}{x}\right)$ या $f(x, y) = \psi\left(\frac{x}{y}\right)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
अतः,समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ के लिए $f(x, y)$ का सामान्य रूप $\phi\left(\frac{y}{x}\right)$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(x \sin \frac{y}{x}\right) dy = \left(y \sin \frac{y}{x} - x\right) dx$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin(y/x) - x}{x \sin(y/x)}$।
चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx \sin v - x}{x \sin v} = \frac{v \sin v - 1}{\sin v} = v - \frac{1}{\sin v}$।
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sin v}$।
चरों को अलग करने पर: $\sin v \, dv = -\frac{1}{x} dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sin v \, dv = -\int \frac{1}{x} dx$।
$-\cos v = -\log |x| + C$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\log |x| - \cos v = C$।
$v = \frac{y}{x}$ का मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\log |x| - \cos \frac{y}{x} = C$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y+1}{x-3y+5}$ है।
माना $x = X+h$ और $y = Y+k$ है। हम $h, k$ को इस प्रकार चुनते हैं कि $h+k+1 = 0$ और $h-3k+5 = 0$ हो।
इन्हें हल करने पर,हमें $h = -2$ और $k = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$x = X-2$ और $y = Y+1$ है।
समीकरण $\frac{dY}{dX} = -\frac{X+Y}{X-3Y}$ बन जाता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $Y = vX$,तो $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$ है।
$v + X\frac{dv}{dX} = -\frac{1+v}{1-3v} = \frac{1+v}{3v-1}$ है।
$X\frac{dv}{dX} = \frac{1+v}{3v-1} - v = \frac{1+v-3v^2+v}{3v-1} = \frac{-3v^2+2v+1}{3v-1}$ है।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{3v-1}{-3v^2+2v+1} dv = \int \frac{1}{X} dX$ है।
समाकलन करने पर,हमें $-\frac{1}{2} \ln| -3v^2+2v+1 | = \ln|X| + C$ प्राप्त होता है।
यह $-3v^2+2v+1 = \frac{c}{X^2}$ में सरल हो जाता है।
$v = \frac{Y}{X} = \frac{y-1}{x+2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-3(\frac{y-1}{x+2})^2 + 2(\frac{y-1}{x+2}) + 1 = \frac{c}{(x+2)^2}$ है।
$-3(y-1)^2 + 2(y-1)(x+2) + (x+2)^2 = c$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $3(y-1)^2 - 2(x+2)(y-1) - (x+2)^2 = c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$ है। यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x+vx}{x-vx} = \frac{1+v}{1-v}$।
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v-v+v^2}{1-v} = \frac{1+v^2}{1-v}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{1-v}{1+v^2} dv = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{1+v^2} dv - \int \frac{v}{1+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$।
$\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \log(1+v^2) = \log|x| + C$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2} \log\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right) = \log|x| + C$।
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{x^2+y^2}{x^2}\right) + \log|x| + C = \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) - \log|x| + \log|x| + C$।
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) + C$।
अतः,$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log\left(c\sqrt{x^2+y^2}\right)$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+y-3}{2y-x+3}$ है।
माना $x = X+h$ और $y = Y+k$ है। तब $\frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$ होगा।
हम समीकरण निकाय $2h+k-3=0$ और $-h+2k+3=0$ को हल करते हैं।
दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $-2h+4k+6=0$। पहले समीकरण के साथ जोड़ने पर: $5k+3=0 \implies k = -3/5$। अतः $2h = 3 - (-3/5) = 18/5 \implies h = 9/5$।
समीकरण $\frac{dY}{dX} = \frac{2X+Y}{2Y-X}$ बन जाता है।
माना $Y = vX$,तब $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$।
$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{2+v}{2v-1} \implies X\frac{dv}{dX} = \frac{2+v-2v^2+v}{2v-1} = \frac{-2v^2+2v+2}{2v-1}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{2v-1}{-2v^2+2v+2} dv = \int \frac{dX}{X}$।
माना $u = -2v^2+2v+2$,तब $du = (-4v+2) dv = -2(2v-1) dv$।
अतः,$-\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \ln|X| + C \implies -\frac{1}{2} \ln|-2v^2+2v+2| = \ln|X| + C$।
$\ln|-2(Y/X)^2+2(Y/X)+2| = -2\ln|X| + C' \implies -2Y^2+2YX+2X^2 = C''$।
$X=x-9/5$ और $Y=y+3/5$ प्रतिस्थापित करने पर,सरल करने पर $x^2-xy-y^2+3x+3y+c=0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin (y/x) - x}{x \sin (y/x)}$।
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx \sin v - x}{x \sin v} = \frac{v \sin v - 1}{\sin v} = v - \frac{1}{\sin v}$।
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sin v}$।
चरों का पृथक्करण करने पर: $\sin v \, dv = -\frac{1}{x} \, dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sin v \, dv = -\int \frac{1}{x} \, dx$।
$-\cos v = -\log |x| + C_1$,जिसे सरल करने पर $\cos v = \log |x| + c$ प्राप्त होता है।
$v = y/x$ रखने पर,हमें मिलता है: $\cos (\frac{y}{x}) = \log |x| + c$।

(D) प्रतिस्थापन $x=vy$ का उपयोग $\frac{dx}{dy} = f(\frac{x}{y})$ या $\frac{dy}{dx} = g(\frac{x}{y})$ के रूप वाले समघातीय अवकल समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है।
प्रतिस्थापन $x=vy$ (जिसका अर्थ है $\frac{x}{y}=v$) के लिए,अवकल समीकरण को $x$ और $y$ में समघातीय होना चाहिए ताकि $\frac{dy}{dx}$ को $\frac{x}{y}$ के फलन के रूप में व्यक्त किया जा सके।
विकल्प $(d)$ की जाँच करने पर:
$(1+2e^{\frac{x}{y}}) + 2e^{\frac{x}{y}}(1-\frac{x}{y})\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+2e^{\frac{x}{y}}}{2e^{\frac{x}{y}}(1-\frac{x}{y})}$
चूँकि दाहिना पक्ष $\frac{x}{y}$ का एक फलन है,यह शून्य घात का एक समघातीय अवकल समीकरण है,जो $x=vy$ प्रतिस्थापित करने के बाद चर पृथक्करण विधि द्वारा हल किया जा सकता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x^\alpha \frac{dy}{dx} = y^\beta(\gamma \log x + \delta \log y + 1)$ है।
समीकरण के समघातीय होने के लिए,अंश और हर की घात समान होनी चाहिए,या फलन को $\frac{y}{x}$ के फलन के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^\beta}{x^\alpha} (\gamma \log x + \delta \log y + 1)$।
समघातीयता के लिए,$x$ और $y$ की घातें इस प्रकार संतुलित होनी चाहिए कि व्यंजक केवल $\frac{y}{x}$ के अनुपात पर निर्भर करे।
इसके लिए $\alpha = \beta$ होना आवश्यक है।
$\alpha = \beta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = (\frac{y}{x})^\alpha (\gamma \log x + \delta \log y + 1) = (\frac{y}{x})^\alpha (\gamma \log x + \delta \log y + \delta \log x - \delta \log x + 1)$।
पद के $\frac{y}{x}$ का फलन बनने के लिए,$\log x$ वाले पदों को समाप्त होना चाहिए,जो तब होता है जब $\gamma + \delta = 0$,अर्थात $\gamma = -\delta$।

(C) $\frac{dy}{dx} = F(x, y)$ के रूप का एक अवकल समीकरण समघातीय कहलाता है यदि $F(x, y)$ शून्य घात का एक समघातीय फलन हो। इसी प्रकार,समीकरण $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ के लिए,यह समघातीय है यदि $M(x, y)$ और $N(x, y)$ दोनों समान घात के समघातीय फलन हों।
विकल्प $C$ में,हमारे पास $(x^2 + y^2)dx = 2xy dy$ है।
यहाँ,$M(x, y) = x^2 + y^2$,जो $2$ घात का एक समघातीय फलन है।
और $N(x, y) = 2xy$,जो भी $2$ घात का एक समघातीय फलन है।
चूंकि $M$ और $N$ दोनों समान घात के समघातीय फलन हैं,इसलिए यह अवकल समीकरण समघातीय है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x + 3y - 7}{3x + 2y - 8}$ ... $(i)$
इसे समघातीय अवकल समीकरण में बदलने के लिए,हम $x = X - h$ और $y = Y - k$ प्रतिस्थापित करते हैं।
इन मानों को $(i)$ में रखने पर: $\frac{dY}{dX} = \frac{2(X - h) + 3(Y - k) - 7}{3(X - h) + 2(Y - k) - 8} = \frac{2X + 3Y - (2h + 3k + 7)}{3X + 2Y - (3h + 2k + 8)}$.
समीकरण के समघातीय होने के लिए,अंश और हर में अचर पद शून्य होने चाहिए:
$2h + 3k - 7 = 0$ ... (ii)
$3h + 2k - 8 = 0$ ... (iii)
समीकरण (ii) को $3$ से और (iii) को $2$ से गुणा करने पर:
$6h + 9k - 21 = 0$
$6h + 4k - 16 = 0$
घटाने पर: $5k - 5 = 0 \Rightarrow k = 1$.
$k = 1$ को (ii) में रखने पर: $2h + 3(1) - 7 = 0 \Rightarrow 2h - 4 = 0 \Rightarrow h = 2$.
अतः,$(h, k) = (2, 1)$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$
$\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin(y/x) - x}{x \sin(y/x)} = \frac{y}{x} - \frac{1}{\sin(y/x)}$
माना $v = \frac{y}{x}$,तब $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = v - \frac{1}{\sin v}$
$x \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sin v}$
चरों को अलग करने पर:
$-\sin v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$-\int \sin v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$
$\cos v = \log x + C$
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\cos \frac{y}{x} = \log x + C$
इसे दिए गए हल $\cos \frac{y}{x} = A \log x + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy - y^2 - x^2}$ है।
$y = mx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = m + x \frac{dm}{dx}$ प्राप्त होता है।
$m + x \frac{dm}{dx} = \frac{m^2 x^2}{x(mx) - m^2 x^2 - x^2} = \frac{m^2}{m - m^2 - 1}$.
$x \frac{dm}{dx} = \frac{m^2}{m - m^2 - 1} - m = \frac{m^2 - m^2 + m^3 + m}{m - m^2 - 1} = \frac{m^3 + m}{m - m^2 - 1}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{m - m^2 - 1}{m^3 + m} dm = \int \frac{dx}{x}$.
$\int \left( \frac{m}{m(m^2 + 1)} - \frac{m^2 + 1}{m(m^2 + 1)} \right) dm = \ln|x| + C$.
$\int \left( \frac{1}{m^2 + 1} - \frac{1}{m} \right) dm = \ln|x| + C$.
$\tan^{-1}(m) - \ln|m| = \ln|x| + C$.
$m = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \ln\left|\frac{y}{x}\right| = \ln|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - (\ln|y| - \ln|x|) = \ln|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \ln|y| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = f(y) + C$ से तुलना करने पर,$f(y) = \ln|y|$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(e^3) = \ln|e^3| = 3$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{f(x, y)}{g(x, y)}$ है।
चूंकि $f$ और $g$ समान कोटि के समघात फलन हैं,हम लिख सकते हैं $\frac{dy}{dx} = \frac{f(Vy, y)}{g(Vy, y)} = \frac{y^n f(V, 1)}{y^n g(V, 1)} = \frac{f(V, 1)}{g(V, 1)}$.
हमें प्रतिस्थापन $x = Vy$ दिया गया है। $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = V + y\frac{dV}{dy}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dV}{dy} = \frac{1}{y} \left( \frac{dx}{dy} - V \right)$.
चूंकि $\frac{dy}{dx} = \frac{f(x, y)}{g(x, y)}$,हमारे पास $\frac{dx}{dy} = \frac{g(x, y)}{f(x, y)} = \frac{g(Vy, y)}{f(Vy, y)} = \frac{g(V, 1)}{f(V, 1)}$ है।
इस मान को $\frac{dV}{dy}$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $\frac{dV}{dy} = \frac{1}{y} \left( \frac{g(V, 1)}{f(V, 1)} - V \right)$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\frac{dV}{dy} = \frac{1}{y}(F(V))$ से करने पर,हमें $F(V) = \left( \frac{g(V, 1)}{f(V, 1)} - V \right)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\{x \cos (y/x) + y \sin (y/x)\} y dx = \{y \sin (y/x) - x \cos (y/x)\} x dy$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \{x \cos (y/x) + y \sin (y/x)\}}{x \{y \sin (y/x) - x \cos (y/x)\}} = \frac{(y/x) \cos (y/x) + (y/x)^2 \sin (y/x)}{(y/x) \sin (y/x) - \cos (y/x)}$.
माना $v = y/x$,इसलिए $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v}{v \sin v - \cos v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v - v(v \sin v - \cos v)}{v \sin v - \cos v} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v - v^2 \sin v + v \cos v}{v \sin v - \cos v} = \frac{2v \cos v}{v \sin v - \cos v}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{v \sin v - \cos v}{v \cos v} dv = 2 \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (\tan v - \frac{1}{v}) dv = 2 \int \frac{1}{x} dx$.
$-\ln |\cos v| - \ln |v| = 2 \ln |x| + C$.
$-\ln |v \cos v| = \ln |x^2| + C$.
$-\ln |(y/x) \cos (y/x)| = \ln |x^2| + C$.
$\ln |(y/x) \cos (y/x)| + \ln |x^2| = -C$.
$\ln |xy \cos (y/x)| = -C$.
$xy \cos (y/x) = \pm e^{-C}$.