Homogeneous differential equations Questions in Hindi

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \tan \frac{y}{x}$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।
माना $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $y = vx$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v + \tan v$।
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = \tan v$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{\tan v} = \frac{dx}{x}$,जो कि $\cot v \, dv = \frac{dx}{x}$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cot v \, dv = \int \frac{dx}{x}$।
इससे $\ln |\sin v| = \ln |x| + \ln |c|$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के नियमों का उपयोग करने पर: $\ln |\sin v| = \ln |cx|$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\sin v = cx$।
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर: $\sin(\frac{y}{x}) = cx$,या $x = c \sin(\frac{y}{x})$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y \frac{dy}{dx} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi(y^2/x^2)}{\phi'(y^2/x^2)} \right]$.
$y$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{x \phi(y^2/x^2)}{y \phi'(y^2/x^2)}$ प्राप्त होता है।
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v + \frac{x \phi(v^2)}{vx \phi'(v^2)} = v + \frac{\phi(v^2)}{v \phi'(v^2)}$.
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v^2)}{v \phi'(v^2)}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{v \phi'(v^2)}{\phi(v^2)} dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{v \phi'(v^2)}{\phi(v^2)} dv = \int \frac{dx}{x}$.
माना $u = v^2$,तब $du = 2v dv$,अर्थात $v dv = \frac{1}{2} du$.
समाकलन करने पर: $\frac{1}{2} \int \frac{\phi'(u)}{\phi(u)} du = \ln|x| + C_1$.
$\frac{1}{2} \ln|\phi(u)| = \ln|x| + C_1 \Rightarrow \ln|\phi(v^2)| = 2 \ln|x| + 2C_1 = \ln|x^2| + \ln|c|$.
अतः,$\phi(v^2) = c x^2$.
$v^2 = y^2/x^2$ रखने पर,$\phi(y^2/x^2) = c x^2$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $B$ एक लड़के को और $G$ एक लड़की को दर्शाता है। $2$ बच्चों के लिए संभावित परिणाम $\{BB, BG, GB, GG\}$ हैं,जहाँ प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता $1/4$ है।
यह दिया गया है कि कम से कम $1$ बच्चा लड़का है,इसलिए प्रतिदर्श समष्टि घटकर $S = \{BB, BG, GB\}$ हो जाती है।
घटी हुई प्रतिदर्श समष्टि में कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 3$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि दूसरा बच्चा लड़की है,जो उन परिणामों के अनुरूप है जहाँ ठीक $1$ लड़का और $1$ लड़की है। ये परिणाम $\{BG, GB\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 2$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{3}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \sin(\frac{y}{x}) dy = (y \sin(\frac{y}{x}) - x) dx$ है।
$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$dy = v dx + x dv$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $x \sin v (v dx + x dv) = (vx \sin v - x) dx$.
$vx \sin v dx + x^2 \sin v dv = vx \sin v dx - x dx$.
$x^2 \sin v dv = -x dx \Rightarrow \sin v dv = -\frac{1}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\cos v = -\ln|x| + C$.
$y(1) = \frac{\pi}{2}$ दिया गया है,इसलिए $v(1) = \frac{\pi}{2}$ होगा।
$-\cos(\frac{\pi}{2}) = -\ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$\cos(\frac{y}{x}) = \ln x$.
दिया है $\alpha = \cos(\frac{e^{12}}{e^{12}}) = \cos(1)$.
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2px + 2py + \alpha + 2 = 0$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{p^2 + (-p)^2 - (\alpha + 2)} = \sqrt{2p^2 - \alpha - 2}$ है।
शर्त $r \leq 6$ के लिए,$2p^2 - \alpha - 2 \leq 36$.
$2p^2 \leq 38 + \alpha$.
चूंकि $\alpha = \cos(1) \approx 0.54$,इसलिए $2p^2 \leq 38.54 \Rightarrow p^2 \leq 19.27$.
$p$ के संभावित पूर्णांक मान $p \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ हैं।
इस प्रकार,कुल $9$ मान प्राप्त होते हैं।