यदि $2 P(A) = P(B) = \frac{5}{13}$ और $P(A \mid B) = \frac{2}{5}$ है,तो $P(A \cup B) =$ . . . . . . .

$\left(1, \frac{\pi}{4}\right)$ से गुजरने वाले एक वक्र के लिए $(x, y)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{y}{x}-\cos ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)$ द्वारा दी गई है,तो वक्र का समीकरण है

अवकल समीकरण $(x \,dy-y \,dx) y\, \sin \left(\frac{y}{x}\right)=(y \,dx+x\, dy) x\, \cos \left(\frac{y}{x}\right)$ को हल कीजिए।

$(1, 0)$ से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिंदु $P$ के भुज (abscissa) और $P$ पर अभिलंब (normal) द्वारा $x$-अक्ष पर बनाए गए अंतःखंड का गुणनफल बिंदु $P$ के त्रिज्या सदिश के वर्ग के दोगुने के बराबर है।

$00, 01, 02, \ldots, 49$ तक अंकित $50$ टिकटों में से एक टिकट यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। यदि अंकों का गुणनफल $9$ है,तो अंकों का योग $10$ होने की प्रायिकता क्या है?

यदि एक वक्र $y=f(x),$ जो बिंदु $(1,2)$ से होकर गुजरता है,अवकल समीकरण $2 x^{2} dy=\left(2 xy+y^{2}\right) dx$ का हल है,तो $f\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।