Homogeneous differential equations Questions in Hindi

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{d y}{d x} = y(\log(\frac{y}{x}) + 1)$ है।
$x$ से भाग देने पर,$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}(\log(\frac{y}{x}) + 1)$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = v x$,तब $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{d v}{d x} = v(\log v + 1)$
$v + x \frac{d v}{d x} = v \log v + v$
$x \frac{d v}{d x} = v \log v$
चरों को अलग करने पर: $\frac{d v}{v \log v} = \frac{d x}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{v \log v} d v = \int \frac{1}{x} d x$.
माना $\log v = t$,तब $\frac{1}{v} d v = d t$.
$\int \frac{1}{t} d t = \int \frac{1}{x} d x \implies \log t = \log x + \log c$.
$\log(\log v) = \log(c x) \implies \log v = c x$.
चूंकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $\log(\frac{y}{x}) = c x \implies \frac{y}{x} = e^{c x} \implies y = x e^{c x}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण:
$\frac{x dy}{dx} = y + \sqrt{x^2 + y^2}$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x}$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2 + v^2x^2}}{x} = v + \sqrt{1 + v^2}$
$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2}$
चरों को अलग करने पर:
$\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \int \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\ln|v + \sqrt{1 + v^2}| = \ln|x| + \ln|c|$
$\ln|v + \sqrt{1 + v^2}| = \ln|cx|$
$v + \sqrt{1 + v^2} = cx$
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}} = cx$
$\frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} = cx$
$y + \sqrt{x^2 + y^2} = cx^2$
या $x^2 = C[y + \sqrt{x^2 + y^2}]$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(D) दिया गया समीकरण: $\left(1+e^{x / y}\right) d x+e^{x / y}\left(1-\frac{x}{y}\right) d y=0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{d x}{d y}=-\frac{e^{x / y}(1-x / y)}{1+e^{x / y}}$
माना $x=v y$,तब $\frac{d x}{d y}=v+y \frac{d v}{d y}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v+y \frac{d v}{d y}=-\frac{e^v(1-v)}{1+e^v}$
$y \frac{d v}{d y}=-\frac{e^v-v e^v}{1+e^v}-v = \frac{-e^v+v e^v-v-v e^v}{1+e^v} = -\frac{v+e^v}{1+e^v}$
चरों को अलग करने पर: $\frac{1+e^v}{v+e^v} d v=-\frac{d y}{y}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1+e^v}{v+e^v} d v=-\int \frac{d y}{y}$
माना $v+e^v=t$,तब $(1+e^v) d v=d t$.
अतः,$\int \frac{d t}{t}=-\int \frac{d y}{y} \Rightarrow \ln|t|=-\ln|y|+\ln|c|$
$\ln|t|+\ln|y|=\ln|c| \Rightarrow \ln|t y|=\ln|c| \Rightarrow t y=c$
$t=v+e^v$ और $v=x/y$ रखने पर: $(x/y+e^{x/y}) y=c$
$x+y e^{x/y}=c$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y + x e^{y/x}$ है।
$x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + e^{y/x}$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v + e^v$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $x \frac{dv}{dx} = e^v$ या $e^{-v} dv = \frac{1}{x} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-v} dv = \int \frac{1}{x} dx$,जिससे $-e^{-v} = \log x + c$ प्राप्त होता है।
$v = y/x$ रखने पर,हमें $-e^{-y/x} = \log x + c$ प्राप्त होता है।
शर्त $y(1) = 0$ दी गई है,इसलिए $x = 1$ और $y = 0$ रखने पर: $-e^0 = \log 1 + c$,जिसका अर्थ है $-1 = 0 + c$,अतः $c = -1$ है।
इस प्रकार,$-e^{-y/x} = \log x - 1$,जिसे सरल करने पर $e^{-y/x} + \log x = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{\phi(y/x)}{\phi'(y/x)}$.
$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$.
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर:
$x \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$.
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{\phi'(v)}{\phi(v)} dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\phi'(v)}{\phi(v)} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\ln|\phi(v)| = \ln|x| + C$,जहाँ $C = \ln|k|$.
$\ln|\phi(v)| = \ln|kx|$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$\phi(v) = kx$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\phi\left(\frac{y}{x}\right) = kx$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x y^2 d y = (x^3 + y^3) d x$ है।
इसे $\frac{d y}{d x} = \frac{x^3 + y^3}{x y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = v x$,तब $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v + x \frac{d v}{d x} = \frac{x^3 + v^3 x^3}{x(v x)^2} = \frac{x^3(1 + v^3)}{x^3 v^2} = \frac{1 + v^3}{v^2}$।
$x \frac{d v}{d x} = \frac{1 + v^3}{v^2} - v = \frac{1 + v^3 - v^3}{v^2} = \frac{1}{v^2}$।
चरों को अलग करने पर,हमें $v^2 d v = \frac{1}{x} d x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int v^2 d v = \int \frac{1}{x} d x$।
$\frac{v^3}{3} = \log |x| + C$।
चूंकि $\log |x| + C = \log |x| + \log c = \log |c x|$,इसलिए $\frac{v^3}{3} = \log |c x|$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर,हमें $\frac{1}{3} \left(\frac{y}{x}\right)^3 = \log |c x|$ प्राप्त होता है।
अतः,$y^3 = 3 x^3 \log |c x|$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2+y^2) dx = 2xy dy$
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$
चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + (vx)^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1+v^2)}{2x^2v} = \frac{1+v^2}{2v}$
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1+v^2-2v^2}{2v} = \frac{1-v^2}{2v}$
चरों को अलग करने पर: $\frac{2v}{1-v^2} dv = \frac{1}{x} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{2v}{1-v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$
माना $u = 1-v^2$,तो $du = -2v dv$। समाकलन करने पर: $-\int \frac{1}{u} du = \ln|x| + C$
$-\ln|1-v^2| = \ln|x| + \ln|c|$
$-\ln|1 - (y/x)^2| = \ln|cx|$
$-\ln|\frac{x^2-y^2}{x^2}| = \ln|cx|$
$\ln|\frac{x^2}{x^2-y^2}| = \ln|cx|$
$\frac{x^2}{x^2-y^2} = cx$
$x = c(x^2-y^2)$

(A) दिया गया अवकल समीकरण $y^2 dx + (x^2 - xy + y^2) dy = 0$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{-y^2}{x^2 - xy + y^2}$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{-(vx)^2}{x^2 - x(vx) + (vx)^2} = \frac{-v^2}{1 - v + v^2}$।
अतः $x \frac{dv}{dx} = \frac{-v^2}{1 - v + v^2} - v = \frac{-v^2 - v + v^2 - v^3}{1 - v + v^2} = \frac{-(v^3 + v)}{v^2 - v + 1}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{v^2 - v + 1}{v^3 + v} dv = -\frac{1}{x} dx$।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{v^2 - v + 1}{v(v^2 + 1)} = \frac{1}{v} - \frac{1}{v^2 + 1}$।
अतः,$(\frac{1}{v} - \frac{1}{v^2 + 1}) dv = -\frac{1}{x} dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\log|v| - \tan^{-1}(v) = -\log|x| + C$।
$\log|vx| = \tan^{-1}(v) + C$।
चूंकि $y = vx$,इसलिए $\log|y| = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) + C$,अर्थात $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \log y + C$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{d y}{d x} = y + x e^{-\left(\frac{y}{x}\right)}$.
$x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + e^{-\left(\frac{y}{x}\right)}$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $v = \frac{y}{x}$,तो $y = vx$ और $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{d v}{d x} = v + e^{-v}$.
$x \frac{d v}{d x} = e^{-v} \Rightarrow e^v d v = \frac{d x}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^v d v = \int \frac{d x}{x} \Rightarrow e^v = \log |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $e^{\frac{y}{x}} = \log |x| + C$.
दिया गया है $y(1) = \log e = 1$,इसलिए $x=1, y=1$ पर: $e^{\frac{1}{1}} = \log(1) + C \Rightarrow e = 0 + C \Rightarrow C = e$.
अतः,हल $e^{\frac{y}{x}} = \log x + e$ है।
$y(e)$ ज्ञात करने के लिए,$x=e$ रखें: $e^{\frac{y(e)}{e}} = \log e + e = 1 + e$.
दोनों पक्षों का $\log$ लेने पर: $\frac{y(e)}{e} = \log(1+e) \Rightarrow y(e) = e \log(1+e)$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y - x \tan \left(\frac{y}{x}\right)$ है।
$x$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \tan \left(\frac{y}{x}\right)$ प्राप्त होता है।
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \tan v$।
यह सरल होकर $x \frac{dv}{dx} = -\tan v$ या $\frac{dv}{\tan v} = -\frac{dx}{x}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cot v \, dv = -\int \frac{1}{x} \, dx$।
इससे $\ln |\sin v| = -\ln |x| + \ln |k|$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के नियमों का उपयोग करने पर,$\ln |\sin v| = \ln \left|\frac{k}{x}\right|$,अतः $\sin v = \frac{k}{x}$।
$v = \frac{y}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \frac{k}{x}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = x \sin^{-1} \left(\frac{k}{x}\right)$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x-y-1}$.
माना $x = X+h$ और $y = Y+k$,तब $\frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y+h+k+1}{X-Y+h-k-1}$ प्राप्त होता है।
समीकरण को समघातीय बनाने के लिए,हम $h+k+1 = 0$ और $h-k-1 = 0$ रखते हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $h = 0$ और $k = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}$ बन जाता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(X-Y) dY = (X+Y) dX$,जिसका अर्थ है $X dY - Y dX = X dX + Y dY$.
$X^2+Y^2$ से विभाजित करने पर,$\frac{X dY - Y dX}{X^2+Y^2} = \frac{X dX + Y dY}{X^2+Y^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int d\left(\tan^{-1}\left(\frac{Y}{X}\right)\right) = \frac{1}{2} \int d(\log(X^2+Y^2))$.
इससे $\tan^{-1}\left(\frac{Y}{X}\right) = \frac{1}{2} \log(X^2+Y^2) + C$ प्राप्त होता है।
$X = x$ और $Y = y+1$ रखने पर,$\tan^{-1}\left(\frac{y+1}{x}\right) = \frac{1}{2} \log(x^2+(y+1)^2) + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan^{-1}\left(\frac{y+1}{x}\right) - \frac{1}{2} \log(x^2+y^2+2y+1) = C$।

(A) दिया गया समीकरण: $x dy - y dx = y dy$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$x dy - y dy = y dx$
$\Rightarrow (x - y) dy = y dx$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x - y}$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $dy = v dx + x dv$.
$v dx + x dv = \frac{vx}{x - vx} dx = \frac{v}{1 - v} dx$
$x dv = (\frac{v}{1 - v} - v) dx = \frac{v^2}{1 - v} dx$
$\frac{1 - v}{v^2} dv = \frac{dx}{x}$
$\int (v^{-2} - v^{-1}) dv = \int \frac{dx}{x}$
$-v^{-1} - \ln|v| = \ln|x| + C$
$-\frac{1}{v} = \ln|vx| + C$
$v = \frac{y}{x}$ और $vx = y$ रखने पर:
$-\frac{x}{y} = \ln|y| + C$
$\ln|y| = -\frac{x}{y} - C$
$y = A e^{-x/y}$ जहाँ $A = e^{-C}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+2y-3}{2x+y-3}$ है।
माना $x = X+h$ और $y = Y+k$ है। $h$ और $k$ को इस प्रकार चुनें कि $h+2k-3=0$ और $2h+k-3=0$ हो,जिससे हमें $h=1$ और $k=1$ प्राप्त होता है।
$x=X+1$ और $y=Y+1$ प्रतिस्थापित करने पर,समीकरण $\frac{dY}{dX} = \frac{X+2Y}{2X+Y}$ बन जाता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $Y = vX$,तब $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$ होगा।
अतः,$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{1+2v}{2+v}$।
$X\frac{dv}{dX} = \frac{1+2v-2v-v^2}{2+v} = \frac{1-v^2}{2+v}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{v+2}{1-v^2} dv = \int \frac{dX}{X}$।
$\int (\frac{v}{1-v^2} + \frac{2}{1-v^2}) dv = \ln|X| + C$।
$-\frac{1}{2}\ln|1-v^2| + \ln|\frac{1+v}{1-v}| = \ln|X| + C$।
गणना करने पर,हमें $(x+y-2) = c(x-y)^3$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - xy - y^2}{x^2 - y^2}$ है।
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{2 - v - v^2}{1 - v^2}$।
$x\frac{dv}{dx} = \frac{2 - v - v^2}{1 - v^2} - v = \frac{v^3 - v^2 - 2v + 2}{1 - v^2} = \frac{(v^2 - 2)(v - 1)}{-(v^2 - 1)}$।
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{v^2 - 1}{(v^2 - 2)(v - 1)} dv = -\int \frac{dx}{x}$।
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{v+1}{v^2-2} = \frac{v}{v^2-2} + \frac{1}{v^2-2}$।
समाकलन करने पर: $\frac{1}{2} \log |v^2 - 2| + \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left|\frac{v - \sqrt{2}}{v + \sqrt{2}}\right| = -\log |x| + C$।
$2\sqrt{2}$ से गुणा करने पर: $\sqrt{2} \log |v^2 - 2| + \log \left|\frac{v - \sqrt{2}}{v + \sqrt{2}}\right| = -2\sqrt{2} \log |x| + C$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\sqrt{2} \log \left|\frac{y^2 - 2x^2}{x^2}\right| + \log \left|\frac{y - \sqrt{2}x}{y + \sqrt{2}x}\right| + 2\sqrt{2} \log |x| = c$।

(A) जब एक पासे को दो बार फेंका जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
घटना $A$ पहली बार पासा फेंकने पर अभाज्य संख्या प्राप्त करना है। पासे पर अभाज्य संख्याएँ ${2, 3, 5}$ हैं। अतः,$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।
घटना $B$ दूसरी बार पासा फेंकने पर सम संख्या प्राप्त करना है। पासे पर सम संख्याएँ ${2, 4, 6}$ हैं। अतः,$P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।
घटना $\overline{B}$,$B$ की पूरक घटना है,जिसका अर्थ है दूसरी बार पासा फेंकने पर विषम संख्या प्राप्त करना। विषम संख्याएँ ${1, 3, 5}$ हैं। अतः,$P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।
चूंकि दोनों फेंक स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $A$ का घटित होना $\overline{B}$ के घटित होने पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,$P(A / \overline{B}) = P(A) = \frac{1}{2}$।

(C) $52$ पत्तों की गड्डी में $12$ फेस कार्ड होते हैं। काले रंग के $6$ फेस कार्ड होते हैं।
पहला पत्ता रानी है। कुल $4$ रानियाँ हैं।
यदि पहला पत्ता काली रानी है (प्रायिकता $2/4 = 1/2$),तो शेष $51$ पत्तों में $5$ काले फेस कार्ड बचेंगे।
यदि पहला पत्ता लाल रानी है (प्रायिकता $2/4 = 1/2$),तो शेष $51$ पत्तों में $6$ काले फेस कार्ड बचेंगे।
कुल प्रायिकता $= (1/2 \times 5/51) + (1/2 \times 6/51) = 11/102$.

(C) माना $A$ वह घटना है कि अंकों का योग $10$ है।
माना $B$ वह घटना है कि अंकों का गुणनफल $9$ है।
टिकट $00$ से $49$ तक हैं।
घटना $B$ के लिए (अंकों का गुणनफल $9$ है): संभावित संख्याएँ $19$ और $33$ हैं। अतः,$B = \{19, 33\}$ और $n(B) = 2$.
घटना $A$ के लिए (अंकों का योग $10$ है): संभावित संख्याएँ $19, 28, 37, 46$ हैं।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ उन संख्याओं का समुच्चय है जहाँ योग $10$ और गुणनफल $9$ है। अतः,$A \cap B = \{19\}$ और $n(A \cap B) = 1$.
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{1}{2}$ है।

(A) मान लीजिए कि तीन उछालों के परिणाम $(T_1, T_2, T_3)$ हैं। कुल प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $2^3 = 8$ परिणाम हैं: $\{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$.
यह दिया गया है कि तीसरी उछाल चित $(T_3 = H)$ है,इसलिए संक्षिप्त प्रतिदर्श समष्टि $S'$ में वे परिणाम शामिल हैं जहाँ तीसरी उछाल $H$ है: $S' = \{HHH, HTH, THH, TTH\}$.
संक्षिप्त प्रतिदर्श समष्टि में अवयवों की संख्या $n(S') = 4$ है।
हमें पहली दो उछालों में कम से कम एक और चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। $S'$ में अनुकूल परिणाम $\{HHH, HTH, THH\}$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 3$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{n(E)}{n(S')} = \frac{3}{4}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $(3y - 7x + 7)dx + (7y - 3x + 3)dy = 0$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(7x - 3y - 7)dx + (3x - 7y - 3)dy = 0$ $\ldots(i)$
समीकरणों $7x - 3y - 7 = 0$ और $3x - 7y - 3 = 0$ को हल करने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0)$ प्राप्त होता है।
$x = 1 + u$ और $y = 0 + v = v$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = du$ और $dy = dv$ होगा।
समीकरण $(i)$ में रखने पर: $(7u - 3v)du + (3u - 7v)dv = 0$ $\ldots(ii)$
यह एक समघातीय समीकरण है। $u = tv$ रखने पर,$du = t dv + v dt$ होगा।
समीकरण $(ii)$ में रखने पर: $(7tv - 3v)(t dv + v dt) + (3tv - 7v)dv = 0$
$(7t - 3)(t dv + v dt) + (3t - 7)dv = 0$
$(7t^2 - 7)dv + v(7t - 3)dt = 0$
$\int \frac{dv}{v} + \int \frac{7t - 3}{7(t^2 - 1)} dt = 0$
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{7t - 3}{t^2 - 1} = \frac{2}{t - 1} + \frac{5}{t + 1}$
$\ln |v| + \frac{1}{7} [2 \ln |t - 1| + 5 \ln |t + 1|] = C_1$
$7 \ln |v| + 2 \ln |t - 1| + 5 \ln |t + 1| = C_2$
$\ln |v^7 (t - 1)^2 (t + 1)^5| = C_2$
$t = u/v$ रखने पर: $v^7 (u/v - 1)^2 (u/v + 1)^5 = C$
$(u - v)^2 (u + v)^5 = C$
$u = x - 1$ और $v = y$ रखने पर: $(x - y - 1)^2 (x + y - 1)^5 = C$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $t^2 dx + (x^2 - tx + t^2) dt = 0$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $t^2 dx = -(x^2 - tx + t^2) dt$,जिससे $\frac{dx}{dt} = -\frac{x^2 - tx + t^2}{t^2}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{dx}{dt} = -(\frac{x}{t})^2 + \frac{x}{t} - 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dx}{dt} = f(\frac{x}{t})$ के रूप का एक समघातीय अवकल समीकरण है।
समघातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए,हम $x = Vt$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं,जहाँ $V$,$t$ का एक फलन है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^3-y^3) dx = (x^2y - xy^2) dy$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^3-y^3}{x^2y - xy^2} = \frac{x^3-y^3}{xy(x-y)}$.
चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,$y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^3 - v^3x^3}{x^2(vx) - x(v^2x^2)} = \frac{x^3(1-v^3)}{x^3(v-v^2)} = \frac{(1-v)(1+v+v^2)}{v(1-v)} = \frac{1+v+v^2}{v}$.
अतः $x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v+v^2}{v} - v = \frac{1+v}{v}$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{v}{1+v} dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 - \frac{1}{1+v}) dv = \int \frac{dx}{x}$.
$v - \log|1+v| = \log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\frac{y}{x} - \log|1 + \frac{y}{x}| = \log|x| + C$.
$\frac{y}{x} - \log|\frac{x+y}{x}| = \log|x| + C$.
$\frac{y}{x} - (\log|x+y| - \log|x|) = \log|x| + C$.
$\frac{y}{x} = \log|x+y| + C$.
अतः,$y = x \log|x+y| + Cx$,जिसे $y = x \log(c|x+y|)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(3x^2-2xy)dy+(y^2-2xy)dx=0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy-y^2}{3x^2-2xy}$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y=vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v+x\frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v+x\frac{dv}{dx} = \frac{2v-v^2}{3-2v}$
$x\frac{dv}{dx} = \frac{2v-v^2}{3-2v} - v = \frac{2v-v^2-3v+2v^2}{3-2v} = \frac{v^2-v}{3-2v}$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{3-2v}{v^2-v} dv = \frac{dx}{x}$
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{3-2v}{v(v-1)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{v-1} \Rightarrow 3-2v = A(v-1) + Bv$.
$v=0$ के लिए,$A=-3$. $v=1$ के लिए,$B=-1$.
अतः,$\int (\frac{-3}{v} - \frac{1}{v-1}) dv = \int \frac{dx}{x}$
$-3\ln|v| - \ln|v-1| = \ln|x| + \ln|c|$
$\ln|v^3(v-1)|^{-1} = \ln|cx| \Rightarrow v^3(v-1) = \frac{1}{cx}$
$v=\frac{y}{x}$ रखने पर: $(\frac{y}{x})^3(\frac{y}{x}-1) = \frac{1}{cx} \Rightarrow \frac{y^3(y-x)}{x^4} = \frac{1}{cx} \Rightarrow y^3(y-x) = \frac{x^3}{c}$
अतः,$xy-x^2=cy^3$ अभीष्ट हल है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(x \sin \frac{y}{x}\right) dy = \left(y \sin \frac{y}{x} - x\right) dx$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin \frac{y}{x} - x}{x \sin \frac{y}{x}} = \frac{y}{x} - \frac{1}{\sin(y/x)} = \frac{y}{x} - \text{cosec}\left(\frac{y}{x}\right)$
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \text{cosec}(v)$
$x \frac{dv}{dx} = -\text{cosec}(v)$
चरों को अलग करने पर: $\sin(v) dv = -\frac{1}{x} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sin(v) dv = -\int \frac{1}{x} dx$
$-\cos(v) = -\log |x| + C$
$\cos(v) = \log |x| + C'$
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर: $\cos\left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + C$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+3y}{3x-2y}$.
यह एक समघात अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{2x + 3vx}{3x - 2vx} = \frac{2+3v}{3-2v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{2+3v}{3-2v} - v = \frac{2+3v - 3v + 2v^2}{3-2v} = \frac{2v^2+2}{3-2v}$.
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{3-2v}{2(v^2+1)} dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{3}{2} \int \frac{dv}{v^2+1} - \int \frac{v}{v^2+1} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\frac{3}{2} \tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \ln(v^2+1) = \ln|x| + C$.
$\frac{3}{2} \tan^{-1}(v) = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(v^2+1) + C = \ln|x \sqrt{v^2+1}| + C = \ln \sqrt{x^2+y^2} + C$.
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{1}{3} \ln(x^2+y^2) + C'$.
$\frac{y}{x} = \tan(\frac{1}{3} \ln(x^2+y^2) + C')$.
$y = x \tan(f(x)) + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = \frac{1}{3} \log(x^2+y^2)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y^2 dx + (x^2 - xy - y^2) dy = 0$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $\frac{dx}{dy} = \frac{-(x^2 - xy - y^2)}{y^2} = \frac{-x^2 + xy + y^2}{y^2} = -(\frac{x}{y})^2 + (\frac{x}{y}) + 1$.
माना $x = vy$,तो $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + y \frac{dv}{dy} = -v^2 + v + 1$.
$y \frac{dv}{dy} = 1 - v^2$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{1 - v^2} = \frac{dy}{y}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{1}{2} \ln |\frac{1 + v}{1 - v}| = \ln |y| + C$.
$v = \frac{x}{y}$ रखने पर: $\frac{1}{2} \ln |\frac{1 + x/y}{1 - x/y}| = \ln |y| + C \Rightarrow \frac{1}{2} \ln |\frac{y + x}{y - x}| = \ln |y| + C$.
बिंदु $(2, 1)$ पर: $\frac{1}{2} \ln |\frac{1 + 2}{1 - 2}| = \ln |1| + C \Rightarrow \frac{1}{2} \ln |3| = C$.
अतः,$\frac{1}{2} \ln |\frac{y + x}{y - x}| = \ln |y| + \frac{1}{2} \ln 3$.
$2$ से गुणा करने पर: $\ln |\frac{y + x}{y - x}| = 2 \ln |y| + \ln 3 = \ln |3y^2|$.
घातांकीय लेने पर: $\frac{y + x}{y - x} = 3y^2$ या $\frac{y + x}{x - y} = -3y^2$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y + x = 3y^2(x - y) = 3(xy^2 - y^3)$.
$x + y = k(xy^2 - y^3)$ से तुलना करने पर,हमें $k = 3$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $x \cos \left(\frac{y}{x}\right)(y d x+x d y)=y \sin \frac{y}{x}(x d y-y d x)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x y \cos \left(\frac{y}{x}\right) d x + x^2 \cos \left(\frac{y}{x}\right) d y = x y \sin \left(\frac{y}{x}\right) d y - y^2 \sin \left(\frac{y}{x}\right) d x$
$dx$ और $dy$ के पदों को समूहित करने पर: $[x y \cos \left(\frac{y}{x}\right) + y^2 \sin \left(\frac{y}{x}\right)] d x = [x y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x^2 \cos \left(\frac{y}{x}\right)] d y$
$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \cos \left(\frac{y}{x}\right) + y^2 \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{x y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x^2 \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x} \cos \left(\frac{y}{x}\right) + (\frac{y}{x})^2 \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x} \sin \left(\frac{y}{x}\right) - \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$
$y=vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$:
$v + x \frac{d v}{d x} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v}{v \sin v - \cos v}$
$x \frac{d v}{d x} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v - v(v \sin v - \cos v)}{v \sin v - \cos v} = \frac{2v \cos v}{v \sin v - \cos v}$
चरों को अलग करने पर: $\frac{v \sin v - \cos v}{v \cos v} d v = 2 \frac{d x}{x}$
$\int (\tan v - \frac{1}{v}) d v = 2 \int \frac{d x}{x}$
$\log |\sec v| - \log |v| = 2 \log |x| + \log |C_1|$
$\log |\frac{\sec v}{v}| = \log |C_1 x^2| \Rightarrow \frac{\sec v}{v} = C_1 x^2$
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\frac{\sec(y/x)}{y/x} = C_1 x^2 \Rightarrow \frac{\sec(y/x)}{y} = C_1 x \Rightarrow \sec(y/x) = C_1 x y$
अतः,$\frac{1}{\cos(y/x)} = C_1 x y \Rightarrow \cos(y/x) = \frac{1}{C_1 x y} = \frac{C}{x y}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = \sqrt{x^2+y^2} dx$ $\ldots$ $(i)$
$x dx$ से भाग देने पर: $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{x^2+y^2}$.
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $x(v + x \frac{dv}{dx}) - vx = \sqrt{x^2 + (vx)^2}$.
$vx + x^2 \frac{dv}{dx} - vx = x \sqrt{1+v^2}$.
$x^2 \frac{dv}{dx} = x \sqrt{1+v^2} \Rightarrow \frac{dv}{\sqrt{1+v^2}} = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln(v + \sqrt{1+v^2}) = \ln x + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\ln(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}}) = \ln x + C$.
$\ln(\frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x}) = \ln x + C \Rightarrow \ln(\frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x^2}) = C$.
दिया है कि $x=\sqrt{3}$ पर $y=1$: $\ln(\frac{1 + \sqrt{3+1}}{3}) = C \Rightarrow \ln(\frac{1+2}{3}) = C \Rightarrow \ln(1) = C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$\ln(\frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x^2}) = 0 \Rightarrow \frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x^2} = 1$.
$y + \sqrt{x^2+y^2} = x^2 \Rightarrow \sqrt{x^2+y^2} = x^2 - y$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 + y^2 = (x^2 - y)^2$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2+xy)y'=y^2$.
$(x^2+xy)$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x^2+xy} = \frac{y^2}{x(x+y)}$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y=vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{(vx)^2}{x^2+x(vx)} = \frac{v^2x^2}{x^2(1+v)} = \frac{v^2}{1+v}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x\frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{1+v} - v = \frac{v^2 - v - v^2}{1+v} = \frac{-v}{1+v}$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{1+v}{v} dv = -\frac{1}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (\frac{1}{v} + 1) dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
$\ln|v| + v = -\ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\ln|\frac{y}{x}| + \frac{y}{x} = -\ln|x| + C$.
$\ln|y| - \ln|x| + \frac{y}{x} = -\ln|x| + C$.
$\ln|y| + \frac{y}{x} = C$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $e^{\ln|y| + \frac{y}{x}} = e^C$.
$y \cdot e^{\frac{y}{x}} = K$ (जहाँ $K = e^C$).
व्यवस्थित करने पर $e^{-\frac{y}{x}} = cy$ प्राप्त होता है (जहाँ $c = 1/K$).

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^3-3xy^2)dx = (y^3-3x^2y)dy$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x^3-3xy^2}{y^3-3x^2y}$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
समीकरण में मान रखने पर:
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x^3-3x(vx)^2}{(vx)^3-3x^2(vx)} = \frac{x^3(1-3v^2)}{x^3(v^3-3v)} = \frac{1-3v^2}{v^3-3v}$
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1-3v^2}{v^3-3v} - v = \frac{1-3v^2-v^4+3v^2}{v^3-3v} = \frac{1-v^4}{v^3-3v}$
चरों को पृथक करने पर:
$\int \frac{v^3-3v}{1-v^4} dv = \int \frac{dx}{x}$
$\int \frac{v^3}{1-v^4} dv - 3\int \frac{v}{1-v^4} dv = \ln|x| + C$
माना $1-v^4 = t \Rightarrow -4v^3 dv = dt \Rightarrow v^3 dv = -\frac{dt}{4}$।
माना $v^2 = m \Rightarrow 2v dv = dm \Rightarrow v dv = \frac{dm}{2}$।
$-\frac{1}{4}\ln|1-v^4| - \frac{3}{2}\int \frac{dm}{1-m^2} = \ln|x| + C$
$-\frac{1}{4}\ln|1-v^4| - \frac{3}{4}\ln|\frac{1+v^2}{1-v^2}| = \ln|x| + C$
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$-\frac{1}{4}\ln|1-\frac{y^4}{x^4}| - \frac{3}{4}\ln|\frac{1+y^2/x^2}{1-y^2/x^2}| = \ln|x| + C$
सरल करने पर हल प्राप्त होता है: $c^2(x^2+y^2)^2 = (y^2-x^2)$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x^2 y dx - (x^3 + y^3) dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 y}{x^3 + y^3}$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2(vx)}{x^3 + (vx)^3} = \frac{vx^3}{x^3(1 + v^3)} = \frac{v}{1 + v^3}$।
अतः,$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^3} - v = \frac{v - v - v^4}{1 + v^3} = \frac{-v^4}{1 + v^3}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{1 + v^3}{v^4} dv = -\frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (v^{-4} + v^{-1}) dv = -\int \frac{1}{x} dx$।
इससे $-\frac{1}{3v^3} + \log |v| = -\log |x| + c$ प्राप्त होता है।
$v = \frac{y}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{1}{3(y/x)^3} + \log |\frac{y}{x}| = -\log |x| + c$।
$-\frac{x^3}{3y^3} + \log |y| - \log |x| = -\log |x| + c$।
अतः,$\log |y| - \frac{x^3}{3y^3} = c$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x - vx} = \frac{1+v}{1-v}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v - v + v^2}{1-v} = \frac{1+v^2}{1-v}$.
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{1-v}{1+v^2} dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{1}{1+v^2} dv - \int \frac{v}{1+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \log(1+v^2) = \log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + \frac{1}{2} \log\left(1 + \frac{y^2}{x^2}\right) + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + \frac{1}{2} \log\left(\frac{x^2+y^2}{x^2}\right) + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + \frac{1}{2} [\log(x^2+y^2) - \log(x^2)] + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) - \log|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log\sqrt{x^2+y^2} + C$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $3 x y' - 3 y + \sqrt{x^2 - y^2} = 0$.
$x$ से विभाजित करने पर: $3 y' - 3 \frac{y}{x} + \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} = 0$.
माना $y = vx$,तब $y' = v + x \frac{dv}{dx}$.
प्रतिस्थापित करने पर: $3(v + x \frac{dv}{dx}) - 3v + \sqrt{1 - v^2} = 0$.
$3v + 3x \frac{dv}{dx} - 3v + \sqrt{1 - v^2} = 0$.
$3x \frac{dv}{dx} = -\sqrt{1 - v^2}$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{-dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \frac{1}{3} \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{-dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \int \frac{1}{3} \frac{dx}{x}$.
$\cos^{-1}(v) = \frac{1}{3} \ln |x| + C$.
चूंकि $y(1) = 1$,इसलिए $x = 1$ पर $v = \frac{y}{x} = 1$.
$\cos^{-1}(1) = \frac{1}{3} \ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$\cos^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{1}{3} \ln |x|$,जिसका अर्थ है $3 \cos^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln |x|$.

(D) दिया गया समीकरण $x \frac{dy}{dx} = 2x e^{-y/x} + y$ है।
$x$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} = 2e^{-y/x} + \frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = 2e^{-v} + v$.
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर,$x \frac{dv}{dx} = 2e^{-v}$ प्राप्त होता है।
चरों को पृथक करने पर: $e^v dv = \frac{2}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^v dv = \int \frac{2}{x} dx$.
$e^v = 2 \log |x| + C_1$.
अचर $C_1 = 2 \log |C|$ लेने पर,$e^v = 2 \log |x| + 2 \log |C| = 2 \log |Cx|$.
अतः,$e^{y/x} = 2 \log |Cx|$.
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है.

(B) दिया गया है,$\frac{d y}{d x}=\frac{y^2}{x y-x^2}$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v + x \frac{d v}{d x} = \frac{(vx)^2}{x(vx) - x^2} = \frac{v^2 x^2}{x^2(v - 1)} = \frac{v^2}{v - 1}$.
$x \frac{d v}{d x} = \frac{v^2}{v - 1} - v = \frac{v^2 - v^2 + v}{v - 1} = \frac{v}{v - 1}$.
चरों को अलग करने पर:
$\frac{v - 1}{v} d v = \frac{d x}{x}$.
$(1 - \frac{1}{v}) d v = \frac{d x}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int (1 - \frac{1}{v}) d v = \int \frac{d x}{x}$.
$v - \ln |v| = \ln |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$\frac{y}{x} - \ln |\frac{y}{x}| = \ln |x| + C$.
$\frac{y}{x} = \ln |\frac{y}{x}| + \ln |x| + C = \ln |y| + C$.
$e^{y/x} = e^{\ln |y| + C} = e^C \cdot y = ky$ (जहाँ $k = e^C$ एक स्थिरांक है)।
अतः,$e^{y/x} = ky$.

(B) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y + x \tan(\frac{y}{x})}{x} \quad \dots(i)$
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + x \tan v}{x}$
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \tan v$
$x \frac{dv}{dx} = \tan v$
चरों को पृथक करने पर:
$\cot v \, dv = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \cot v \, dv = \int \frac{dx}{x}$
$\log|\sin v| = \log|x| + \log|c|$
$\log|\sin v| = \log|cx|$
$\sin v = cx$
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\sin(\frac{y}{x}) = cx$

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 dy - (xy - y^2) dx = 0$
$\Rightarrow x^2 dy = (xy - y^2) dx$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{xy - y^2}{x^2}$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx) - (vx)^2}{x^2} = \frac{vx^2 - v^2x^2}{x^2} = v - v^2$
$x \frac{dv}{dx} = v - v^2 - v = -v^2$
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{dv}{-v^2} = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int -v^{-2} dv = \int \frac{1}{x} dx$
$\frac{1}{v} = \ln|x| + C$
चूंकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए:
$\frac{x}{y} = \ln|x| + C$
$x = y \ln|x| + Cy$
$y \log x = x + Cy$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{x+7 y+3}{3 x+5 y+9}$ है।
माना $x = X+h$ और $y = Y+k$ है। तब $\frac{d y}{d x} = \frac{d Y}{d X}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{d Y}{d X} = \frac{X+7 Y + (h+7k+3)}{3X+5Y + (3h+5k+9)}$ प्राप्त होता है।
इसे समघातीय बनाने के लिए,हम $h+7k+3=0$ और $3h+5k+9=0$ रखते हैं।
इन रैखिक समीकरणों को हल करने पर,$h=-3$ और $k=0$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $\frac{d Y}{d X} = \frac{X+7 Y}{3X+5Y}$ बन जाता है।
माना $Y = vX$,तब $\frac{d Y}{d X} = v + X \frac{d v}{d X}$ होगा।
$v + X \frac{d v}{d X} = \frac{1+7v}{3+5v} \Rightarrow X \frac{d v}{d X} = \frac{1+7v - 3v - 5v^2}{3+5v} = \frac{-5v^2+4v+1}{3+5v}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{5v+3}{5v^2-4v-1} dv = -\int \frac{1}{X} dX$।
समाकलन करने पर,हमें $v$ और $X$ के बीच संबंध प्राप्त होता है।
अंत में $v = \frac{Y}{X} = \frac{y}{x+3}$ और $X = x+3$ रखने पर,व्यापक हल $(y-x+3)^4 = c|5y+x-3|$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि $5 \ cm$ किनारे वाले बड़े घन को काटने के बाद $1 \ cm$ किनारे वाले $n$ छोटे घन प्राप्त होते हैं।
बड़े घन का आयतन $= n \times$ छोटे घन का आयतन
$\Rightarrow 5^3 = n \times 1^3$
$\Rightarrow n = 125$.
जब रंगे हुए घन को $125$ छोटे समान घनों में काटा जाता है:
$1$. $3$ फलक रंगे हुए घनों की संख्या (कोनों पर) $= 8$.
$2$. $2$ फलक रंगे हुए घनों की संख्या (किनारों पर) $= (5-2) \times 12 = 3 \times 12 = 36$.
$3$. $1$ फलक रंगे हुए घनों की संख्या (फलकों पर) $= (5-2)^2 \times 6 = 9 \times 6 = 54$.
कम से कम एक फलक रंगे हुए घनों की कुल संख्या $= 8 + 36 + 54 = 98$.
हमें दिया गया है कि चुने गए घन का कम से कम एक फलक रंगा हुआ है। हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि $2$ और फलक रंगे हुए हैं,जिसका अर्थ है कि घन के कुल $3$ फलक रंगे हुए हैं।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि घन का कम से कम एक फलक रंगा हुआ है,इसलिए $n(E) = 98$.
मान लीजिए $F$ वह घटना है कि घन के $3$ फलक रंगे हुए हैं,इसलिए $n(F) = 8$.
अभीष्ट प्रायिकता $P(F|E) = \frac{n(F)}{n(E)} = \frac{8}{98} = \frac{4}{49}$.

(B) मान लीजिए $F$ वह घटना है कि $3$ पासों पर संख्याओं का योग $15$ है। योग $15$ प्राप्त करने के लिए संभावित परिणाम $(6, 6, 3)$,$(6, 5, 4)$ और $(5, 5, 5)$ के क्रमपरिवर्तन हैं।
$(6, 6, 3)$ प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $\frac{3!}{2!} = 3$ है।
$(6, 5, 4)$ प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $3! = 6$ है।
$(5, 5, 5)$ प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $1$ है।
घटना $F$ के लिए अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $3 + 6 + 1 = 10$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि $3$ पासों में से किसी पर भी संख्या $5$ दिखाई नहीं देती है।
हमें सशर्त प्रायिकता $P(E|F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)}$ ज्ञात करनी है।
$E \cap F$ उन परिणामों को दर्शाता है जहाँ योग $15$ है और संख्या $5$ दिखाई नहीं देती है।
उपरोक्त संयोजनों में से,केवल $(6, 6, 3)$ सेट में संख्या $5$ नहीं है।
$(6, 6, 3)$ प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $3$ है।
अतः,$n(E \cap F) = 3$ है।
इसलिए,$P(E|F) = \frac{3}{10}$।

(B) माना $E_1$ पहले तीन उछालों में $2$ या अधिक चित प्राप्त करने की घटना है।
$E_1 = \{HHH, HTH, HHT, THH\}$.
$P(E_1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
माना $E_2$ $6$ उछालों में ठीक $3$ चित प्राप्त करने की घटना है।
हमें $P(E_2 | E_1) = \frac{P(E_2 \cap E_1)}{P(E_1)}$ ज्ञात करना है।
$E_2 \cap E_1$ वह घटना है जहाँ पहले तीन उछालों में $2$ या अधिक चित हैं और कुल $6$ उछालों में ठीक $3$ चित हैं।
स्थिति $1$: पहले $3$ उछालों में $2$ चित हों (जैसे $HHT, HTH, THH$)।
यदि पहले $3$ उछालों में $2$ चित हैं,तो शेष $3$ उछालों में ठीक $1$ चित होना चाहिए ताकि कुल $3$ चित हो सकें।
पहले $3$ उछालों में $2$ चित प्राप्त करने के तरीके $= \binom{3}{2} = 3$.
अंतिम $3$ उछालों में $1$ चित प्राप्त करने के तरीके $= \binom{3}{1} = 3$.
कुल तरीके $= 3 \times 3 = 9$.
स्थिति $2$: पहले $3$ उछालों में $3$ चित हों $(HHH)$।
यदि पहले $3$ उछालों में $3$ चित हैं,तो शेष $3$ उछालों में $0$ चित होने चाहिए ताकि कुल $3$ चित हो सकें।
पहले $3$ उछालों में $3$ चित प्राप्त करने के तरीके $= \binom{3}{3} = 1$.
अंतिम $3$ उछालों में $0$ चित प्राप्त करने के तरीके $= \binom{3}{0} = 1$.
कुल तरीके $= 1 \times 1 = 1$.
कुल अनुकूल परिणाम $n(E_2 \cap E_1) = 9 + 1 = 10$.
$P(E_2 \cap E_1) = \frac{10}{2^6} = \frac{10}{64} = \frac{5}{32}$.
$P(E_2 | E_1) = \frac{5/32}{1/2} = \frac{5}{16}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $y \sin \left(\frac{x}{y}\right) dx = \left\{x \sin \left(\frac{x}{y}\right) - y\right\} dy$ है।
$dy \cdot y \sin \left(\frac{x}{y}\right)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} - \frac{1}{\sin(x/y)}$ प्राप्त होता है।
माना $v = \frac{x}{y}$,तब $x = vy$,और $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + y \frac{dv}{dy} = v - \frac{1}{\sin v}$।
यह सरल होकर $y \frac{dv}{dy} = -\frac{1}{\sin v}$ हो जाता है।
चरों को अलग करने पर: $\int \sin v \, dv = -\int \frac{dy}{y}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\cos v = -\log_e |y| + C$,जो सरल होकर $\cos v = \log_e |y| + C$ हो जाता है।
$v = \frac{x}{y}$ रखने पर: $\cos \left(\frac{x}{y}\right) = \log_e |y| + C$।
दिया गया है $y(\pi/4) = 1$,अतः $x = \pi/4$ और $y = 1$ पर: $\cos(\pi/4) = \log_e(1) + C \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 + C \Rightarrow C = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,हल $\cos \left(\frac{x}{y}\right) = \log_e y + \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \sin \left(\frac{y}{x}\right) \frac{dy}{dx} = y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x$.
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x \sin(v) (v + x \frac{dv}{dx}) = vx \sin(v) - x$.
$x$ से भाग देने पर: $\sin(v) (v + x \frac{dv}{dx}) = v \sin(v) - 1$.
$v \sin(v) + x \sin(v) \frac{dv}{dx} = v \sin(v) - 1$.
$x \sin(v) \frac{dv}{dx} = -1$.
चरों को पृथक करने पर: $\sin(v) dv = -\frac{1}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sin(v) dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
$-\cos(v) = -\log|x| + C$.
चूंकि $y(1) = \frac{\pi}{2}$,$x = 1$ पर $v = \frac{y}{x} = \frac{\pi/2}{1} = \frac{\pi}{2}$.
$-\cos(\frac{\pi}{2}) = -\log(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$-\cos(v) = -\log x$,जिसका अर्थ है कि $\cos(\frac{y}{x}) = \log x$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx + \left(1-\frac{x}{y}\right) e^{\frac{x}{y}} dy = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{-e^{\frac{x}{y}}(1-\frac{x}{y})}{1+e^{\frac{x}{y}}}$ ...$(i)$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $x = vy$,तब $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$ ...(ii)
(ii) को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $v + y \frac{dv}{dy} = \frac{-e^v(1-v)}{1+e^v}$
$y \frac{dv}{dy} = \frac{-e^v + ve^v}{1+e^v} - v = \frac{-e^v + ve^v - v - ve^v}{1+e^v} = \frac{-(e^v + v)}{1+e^v}$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{1+e^v}{v+e^v} dv = -\frac{dy}{y}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1+e^v}{v+e^v} dv = -\int \frac{dy}{y}$
माना $v+e^v = t$,तब $(1+e^v) dv = dt$। अतः,$\ln|t| = -\ln|y| + \ln|C|$
$\ln|v+e^v| + \ln|y| = \ln|C| \Rightarrow y(v+e^v) = C$
$v = \frac{x}{y}$ रखने पर: $y(\frac{x}{y} + e^{\frac{x}{y}}) = C \Rightarrow x + ye^{\frac{x}{y}} = C$