Homogeneous differential equations Questions in Hindi

(C) दिए गए अवकल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{dx}{dy} = \frac{2 x e^{\frac{x}{y}} - y}{2 y e^{\frac{x}{y}}}$ ........... $(1)$
माना $F(x, y) = \frac{2 x e^{\frac{x}{y}} - y}{2 y e^{\frac{x}{y}}}$.
तब $F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda(2 x e^{\frac{x}{y}} - y)}{\lambda(2 y e^{\frac{x}{y}})} = \lambda^0 F(x, y)$.
अतः,$F(x, y)$ शून्य घात का एक समघातीय फलन है। इसलिए,दिया गया अवकल समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है।
इसे हल करने के लिए,हम $x = vy$ प्रतिस्थापन करते हैं ........... $(2)$.
समीकरण $(2)$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ में $x$ और $\frac{dx}{dy}$ का मान रखने पर:
$v + y \frac{dv}{dy} = \frac{2 v e^v - 1}{2 e^v}$
$y \frac{dv}{dy} = \frac{2 v e^v - 1}{2 e^v} - v$
$y \frac{dv}{dy} = -\frac{1}{2 e^v}$
$2 e^v dv = -\frac{dy}{y}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int 2 e^v dv = -\int \frac{dy}{y}$.
$2 e^v = -\log |y| + C$.
$v$ को $\frac{x}{y}$ से प्रतिस्थापित करने पर,$2 e^{\frac{x}{y}} + \log |y| = C$ ........... $(3)$.
समीकरण $(3)$ में $x = 0$ और $y = 1$ रखने पर,$2 e^0 + \log |1| = C \Rightarrow C = 2$.
समीकरण $(3)$ में $C$ का मान रखने पर,विशिष्ट हल $2 e^{\frac{x}{y}} + \log |y| = 2$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि वक्र पर किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ होती है।
इसलिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}+y^{2}}{2xy}$.
अंश और हर को $x^{2}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = \frac{1+(y/x)^{2}}{2(y/x)}$. यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v^{2}}{2v}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v^{2}}{2v} - v = \frac{1+v^{2}-2v^{2}}{2v} = \frac{1-v^{2}}{2v}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{2v}{1-v^{2}} dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{2v}{1-v^{2}} dv = \int \frac{dx}{x}$.
माना $1-v^{2} = t$,तब $-2v dv = dt$,अतः $\int -\frac{dt}{t} = \ln|x| + C$.
$-\ln|1-v^{2}| = \ln|x| + C$.
$\ln|1-v^{2}|^{-1} = \ln|x| + C \implies \frac{1}{1-v^{2}} = Cx$.
$v = y/x$ रखने पर: $\frac{1}{1-(y^{2}/x^{2})} = Cx \implies \frac{x^{2}}{x^{2}-y^{2}} = Cx$.
$x^{2} = C x (x^{2}-y^{2}) \implies x = C(x^{2}-y^{2}) \implies x^{2}-y^{2} = \frac{1}{C} x = cx$.

(N/A) दिया गया अवकल समीकरण $\left(x^{2}+xy\right) dy=\left(x^{2}+y^{2}\right) dx$ है।
इसे $\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+xy} = F(x, y)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समघातीयता के लिए,$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{(\lambda x)^2 + (\lambda y)^2}{(\lambda x)^2 + (\lambda x)(\lambda y)} = \frac{\lambda^2(x^2+y^2)}{\lambda^2(x^2+xy)} = F(x, y) = \lambda^0 F(x, y)$।
चूंकि घात $0$ है,समीकरण समघातीय है।
$y=vx$ प्रतिस्थापन करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + v^2x^2}{x^2 + vx^2} = \frac{1+v^2}{1+v}$।
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{1+v} - v = \frac{1+v^2-v-v^2}{1+v} = \frac{1-v}{1+v}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{1+v}{1-v} dv = \frac{dx}{x}$।
$\frac{-(v-1)-2}{v-1} dv = \frac{dx}{x} \Rightarrow (-1 - \frac{2}{v-1}) dv = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-v - 2\ln|v-1| = \ln|x| + C$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $-\frac{y}{x} - 2\ln|\frac{y}{x}-1| = \ln|x| + C$।
$-\frac{y}{x} - 2\ln|\frac{y-x}{x}| = \ln|x| + C$।
$-\frac{y}{x} - 2\ln|y-x| + 2\ln|x| = \ln|x| + C$।
$-\frac{y}{x} - 2\ln|y-x| + \ln|x| = C$।

(N/A) दिया गया अवकल समीकरण है:
$y^{\prime} = \frac{x+y}{x}$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x} \quad \dots (1)$
माना $F(x, y) = \frac{x+y}{x}$.
अब,$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda x + \lambda y}{\lambda x} = \frac{\lambda(x+y)}{\lambda x} = \frac{x+y}{x} = \lambda^0 F(x, y)$.
चूंकि $F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^0 F(x, y)$,अतः दिया गया समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है।
इसे हल करने के लिए,$y = vx$ प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x} = \frac{x(1+v)}{x} = 1+v$.
$x \frac{dv}{dx} = 1$.
$dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int dv = \int \frac{dx}{x}$.
$v = \log|x| + C$.
चूंकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $\frac{y}{x} = \log|x| + C$.
अतः,व्यापक हल $y = x \log|x| + Cx$ है।

$(x-y) dy - (x+y) dx = 0$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$
माना $F(x, y) = \frac{x+y}{x-y}$.
$\therefore F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda x + \lambda y}{\lambda x - \lambda y} = \frac{x+y}{x-y} = \lambda^{0} F(x, y)$.
अतः,दिया गया अवकल समीकरण एक समघातीय समीकरण है। इसे हल करने के लिए,हम $y = vx$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं।
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$y$ और $\frac{dy}{dx}$ के मान समीकरण में रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x - vx} = \frac{1+v}{1-v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v - v(1-v)}{1-v} = \frac{1+v^2}{1-v}$.
$\Rightarrow \frac{1-v}{1+v^2} dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{1}{1+v^2} dv - \int \frac{v}{1+v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$.
$\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \log(1+v^2) = \log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2} \log\left(1 + \frac{y^2}{x^2}\right) = \log|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2} \log\left(\frac{x^2+y^2}{x^2}\right) = \log|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2} [\log(x^2+y^2) - \log(x^2)] = \log|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) + \log|x| = \log|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) + C$.

(N/A) दिया गया अवकल समीकरण है:
$(x^{2}-y^{2}) dx + 2xy dy = 0$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-(x^{2}-y^{2})}{2xy} = F(x, y)$ ..............$(1)$
समघातीयता की जाँच करने के लिए,$F(\lambda x, \lambda y)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{-((\lambda x)^{2}-(\lambda y)^{2})}{2(\lambda x)(\lambda y)} = \frac{-\lambda^{2}(x^{2}-y^{2})}{\lambda^{2}(2xy)} = \lambda^{0} F(x, y)$
चूँकि $F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{0} F(x, y)$,अतः समीकरण समघातीय है।
हल करने के लिए,$y = vx$ प्रतिस्थापित करते हैं,जिससे $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ में मान रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{-(x^{2} - (vx)^{2})}{2x(vx)} = \frac{-(x^{2} - v^{2}x^{2})}{2vx^{2}} = \frac{v^{2}-1}{2v}$
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v^{2}-1}{2v} - v = \frac{v^{2}-1-2v^{2}}{2v} = \frac{-(1+v^{2})}{2v}$
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{2v}{1+v^{2}} dv = -\frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{2v}{1+v^{2}} dv = -\int \frac{1}{x} dx$
$\ln(1+v^{2}) = -\ln|x| + \ln|C| = \ln|\frac{C}{x}|$
$1+v^{2} = \frac{C}{x}$
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$1 + \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{C}{x}$
$\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}} = \frac{C}{x}$
$x^{2}+y^{2} = Cx$

(N/A) दिया गया अवकल समीकरण $x^{2} \frac{dy}{dx} = x^{2} + xy - 2y^{2}$ है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2} + xy - 2y^{2}}{x^{2}}$.
माना $F(x, y) = \frac{x^{2} + xy - 2y^{2}}{x^{2}}$.
$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{(\lambda x)^{2} + (\lambda x)(\lambda y) - 2(\lambda y)^{2}}{(\lambda x)^{2}} = \frac{\lambda^{2}(x^{2} + xy - 2y^{2})}{\lambda^{2}x^{2}} = \lambda^{0} F(x, y)$.
चूंकि $F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{0} F(x, y)$,अतः दिया गया अवकल समीकरण एक समघातीय समीकरण है।
इसे हल करने के लिए,$y = vx$ प्रतिस्थापित करें,जिससे $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^{2} + x(vx) - 2(vx)^{2}}{x^{2}} = 1 + v - 2v^{2}$.
$x \frac{dv}{dx} = 1 - 2v^{2}$.
$\frac{dv}{1 - 2v^{2}} = \frac{dx}{x}$.
$\frac{1}{2} \int \frac{dv}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} - v^{2}} = \int \frac{dx}{x}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{a^{2} - x^{2}} = \frac{1}{2a} \log |\frac{a+x}{a-x}| + C$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2(1/\sqrt{2})} \log |\frac{1/\sqrt{2} + v}{1/\sqrt{2} - v}| = \log |x| + C$.
$\frac{1}{2\sqrt{2}} \log |\frac{1 + \sqrt{2}v}{1 - \sqrt{2}v}| = \log |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$\frac{1}{2\sqrt{2}} \log |\frac{x + \sqrt{2}y}{x - \sqrt{2}y}| = \log |x| + C$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x dy = (y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}) dx$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} = F(x, y)$
समघातीयता की जाँच करने के लिए,$x$ को $\lambda x$ और $y$ को $\lambda y$ से प्रतिस्थापित करें:
$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda y + \sqrt{(\lambda x)^{2} + (\lambda y)^{2}}}{\lambda x} = \frac{\lambda (y + \sqrt{x^{2} + y^{2}})}{\lambda x} = \lambda^{0} F(x, y)$
चूँकि $F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{0} F(x, y)$,अतः समीकरण समघातीय है।
$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^{2} + v^{2}x^{2}}}{x} = v + \sqrt{1 + v^{2}}$
$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^{2}}$
$\frac{dv}{\sqrt{1 + v^{2}}} = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^{2}}} = \int \frac{dx}{x}$
$\log |v + \sqrt{1 + v^{2}}| = \log |x| + \log C$
$v + \sqrt{1 + v^{2}} = Cx$
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} = Cx$
$\frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} = Cx$
$y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} = Cx^{2}$

दिया गया अवकल समीकरण है:
$\left\{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y \sin \left(\frac{y}{x}\right)\right\} y \, dx = \left\{y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right\} x \, dy$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\left\{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y \sin \left(\frac{y}{x}\right)\right\} y}{\left\{y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right\} x} \quad \dots(1)$
माना $F(x, y) = \frac{\left\{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y \sin \left(\frac{y}{x}\right)\right\} y}{\left\{y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right\} x}$
$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\left\{\lambda x \cos \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)+\lambda y \sin \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)\right\} \lambda y}{\left\{\lambda y \sin \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)-\lambda x \cos \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)\right\} \lambda x} = \lambda^0 F(x, y)$
अतः,समीकरण समघातीय है।
$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v}{v \sin v - \cos v}$
$x \frac{dv}{dx} = \frac{2v \cos v}{v \sin v - \cos v}$
$\left(\tan v - \frac{1}{v}\right) dv = \frac{2}{x} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\log(\sec v) - \log v = 2 \log x + \log C$
$\log\left(\frac{\sec v}{v}\right) = \log(Cx^2)$
$\sec \left(\frac{y}{x}\right) = Cxy$
$\cos \left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{Cxy} \implies xy \cos \left(\frac{y}{x}\right) = k$.

(N/A) $x \frac{dy}{dx} - y + \sin \left(\frac{y}{x}\right) = 0$
$\Rightarrow x \frac{dy}{dx} = y - x \sin \left(\frac{y}{x}\right)$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y - x \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{x} \quad \dots (1)$
माना $F(x, y) = \frac{y - x \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{x}$.
$\therefore F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda y - \lambda x \sin \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)}{\lambda x} = \frac{y - x \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{x} = \lambda^0 F(x, y)$.
अतः,दिया गया अवकल समीकरण एक समघातीय समीकरण है।
इसे हल करने के लिए,$y = vx$ प्रतिस्थापित करते हैं,जिससे $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx - x \sin v}{x} = v - \sin v$
$\Rightarrow x \frac{dv}{dx} = -\sin v$
$\Rightarrow -\csc v \, dv = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int -\csc v \, dv = \int \frac{dx}{x}$
$\Rightarrow \ln |\csc v + \cot v| = \ln |x| + C$
$\Rightarrow \ln \left| \frac{1 + \cos v}{\sin v} \right| = \ln |x| + C$
$1 + \cos v = 2 \cos^2 \left(\frac{v}{2}\right)$ और $\sin v = 2 \sin \left(\frac{v}{2}\right) \cos \left(\frac{v}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\ln \left| \cot \left(\frac{v}{2}\right) \right| = \ln |x| + C$
$\Rightarrow \cot \left(\frac{y}{2x}\right) = Cx$
अतः,अभीष्ट हल $\cot \left(\frac{y}{2x}\right) = Cx$ है।

(N/A) $y \, dx + x \log \left(\frac{y}{x}\right) dy - 2x \, dy = 0$
$\Rightarrow y \, dx = [2x - x \log \left(\frac{y}{x}\right)] dy$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y}{2x - x \log \left(\frac{y}{x}\right)}$ ........... $(1)$
माना $F(x, y) = \frac{y}{2x - x \log \left(\frac{y}{x}\right)}$
$\therefore F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda y}{2(\lambda x) - (\lambda x) \log \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)} = \frac{y}{2x - x \log \left(\frac{y}{x}\right)} = \lambda^0 F(x, y)$
चूंकि $F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^0 F(x, y)$,अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
इसे हल करने के लिए,$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx}{2x - x \log v} = \frac{v}{2 - \log v}$
$\Rightarrow x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{2 - \log v} - v = \frac{v - 2v + v \log v}{2 - \log v} = \frac{v(\log v - 1)}{2 - \log v}$
$\Rightarrow \frac{2 - \log v}{v(\log v - 1)} dv = \frac{dx}{x}$
$\Rightarrow \left[ \frac{-( \log v - 1) + 1}{v(\log v - 1)} \right] dv = \frac{dx}{x}$
$\Rightarrow \left[ -\frac{1}{v} + \frac{1}{v(\log v - 1)} \right] dv = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$-\int \frac{1}{v} dv + \int \frac{1}{v(\log v - 1)} dv = \int \frac{1}{x} dx$
$-\log v + \log |\log v - 1| = \log |x| + C$
$\log \left| \frac{\log v - 1}{v} \right| = \log |x| + C$
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$\log \left| \frac{\log (y/x) - 1}{y/x} \right| = \log |x| + C$
$\frac{x}{y} [\log (y/x) - 1] = C_1 x$
$\log (y/x) - 1 = C_1 y$

(N/A) दिया गया समीकरण: $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx+e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) dy=0$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{-e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right)}{1+e^{\frac{x}{y}}} = F(x, y)$
चूंकि $F(\lambda x, \lambda y) = \frac{-e^{\frac{\lambda x}{\lambda y}}\left(1-\frac{\lambda x}{\lambda y}\right)}{1+e^{\frac{\lambda x}{\lambda y}}} = F(x, y) = \lambda^0 F(x, y)$,अतः समीकरण समघातीय है।
माना $x = vy$,तब $\frac{dx}{dy} = v + y\frac{dv}{dy}$.
समीकरण में मान रखने पर:
$v + y\frac{dv}{dy} = \frac{-e^v(1-v)}{1+e^v}$
$y\frac{dv}{dy} = \frac{-e^v + ve^v}{1+e^v} - v = \frac{-e^v + ve^v - v - ve^v}{1+e^v} = \frac{-(v+e^v)}{1+e^v}$
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{1+e^v}{v+e^v} dv = -\frac{dy}{y}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{1+e^v}{v+e^v} dv = -\int \frac{1}{y} dy$
$\log(v+e^v) = -\log y + \log C = \log\left(\frac{C}{y}\right)$
$v+e^v = \frac{C}{y}$
$v = \frac{x}{y}$ रखने पर:
$\frac{x}{y} + e^{\frac{x}{y}} = \frac{C}{y}$
$x + ye^{\frac{x}{y}} = C$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(x+y) dy = -(x-y) dx$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-(x-y)}{x+y} = \frac{y-x}{x+y}$ ..........$(1)$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$(1)$ में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx-x}{x+vx} = \frac{v-1}{1+v}$
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{1+v} - v = \frac{v-1-v-v^{2}}{1+v} = \frac{-(1+v^{2})}{1+v}$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{1+v}{1+v^{2}} dv = -\frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{1+v^{2}} dv + \int \frac{v}{1+v^{2}} dv = -\int \frac{dx}{x}$
$\tan^{-1} v + \frac{1}{2} \log(1+v^{2}) = -\log x + C$
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}) = -\log x + C$
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}) = -\log x + C$
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^{2}+y^{2}) - \log x = -\log x + C$
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^{2}+y^{2}) = C$
$2$ से गुणा करने पर: $2 \tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \log(x^{2}+y^{2}) = 2C = K$
जब $x=1$ तब $y=1$: $2 \tan^{-1}(1) + \log(1^{2}+1^{2}) = K$
$2(\frac{\pi}{4}) + \log 2 = K \Rightarrow K = \frac{\pi}{2} + \log 2$
अतः,विशिष्ट हल है: $\log(x^{2}+y^{2}) + 2 \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{\pi}{2} + \log 2$.

(A) $x^{2} dy + (xy + y^{2}) dx = 0$
$\Rightarrow x^{2} dy = -(xy + y^{2}) dx$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-(xy + y^{2})}{x^{2}}$ ............. $(1)$
माना $F(x, y) = \frac{-(xy + y^{2})}{x^{2}}$.
$\therefore F(\lambda x, \lambda y) = \frac{-(\lambda x \cdot \lambda y + (\lambda y)^{2})}{(\lambda x)^{2}} = \frac{-\lambda^{2}(xy + y^{2})}{\lambda^{2}x^{2}} = \lambda^{0} F(x, y)$.
अतः,दिया गया अवकल समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है। इसे हल करने के लिए,हम $y = vx$ प्रतिस्थापन करते हैं।
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
समीकरण $(1)$ में $y$ और $\frac{dy}{dx}$ के मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{-(x \cdot vx + (vx)^{2})}{x^{2}} = -(v + v^{2}) = -v - v^{2}$.
$\Rightarrow x \frac{dv}{dx} = -v^{2} - 2v = -v(v + 2)$.
$\Rightarrow \frac{dv}{v(v + 2)} = -\frac{dx}{x}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v(v + 2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 2} \right)$.
$\Rightarrow \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 2} \right) dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\Rightarrow \frac{1}{2} [\ln|v| - \ln|v + 2|] = -\ln|x| + C_1$.
$\Rightarrow \ln \left( \frac{v}{v + 2} \right) = -2\ln|x| + 2C_1 = \ln \left( \frac{C}{x^{2}} \right)$.
$\Rightarrow \frac{v}{v + 2} = \frac{C}{x^{2}}$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$\Rightarrow \frac{y/x}{y/x + 2} = \frac{C}{x^{2}} \Rightarrow \frac{y}{y + 2x} = \frac{C}{x^{2}} \Rightarrow \frac{x^{2}y}{y + 2x} = C$.
दिया है $y = 1$ जब $x = 1$:
$\frac{1^{2} \cdot 1}{1 + 2(1)} = C \Rightarrow C = \frac{1}{3}$.
$\Rightarrow \frac{x^{2}y}{y + 2x} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3x^{2}y = y + 2x$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left[x \sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)-y\right] dx + x dy = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x dy = -\left[x \sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)-y\right] dx$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{y - x \sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)}{x} = \frac{y}{x} - \sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)$ ... $(1)$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$(1)$ में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \sin ^{2} v$.
$x \frac{dv}{dx} = -\sin ^{2} v$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dv}{\sin ^{2} v} = -\frac{dx}{x}$.
$\int \csc ^{2} v dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$-\cot v = -\log |x| - C$.
$\cot v = \log |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\cot \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + C$.
दिया है $y = \frac{\pi}{4}$ जब $x = 1$: $\cot \left(\frac{\pi/4}{1}\right) = \log |1| + C$.
$1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.
अतः,$\cot \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + 1 = \log |x| + \log e = \log |ex|$.
विशिष्ट हल $\cot \left(\frac{y}{x}\right) = \log |ex|$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} + \csc\left(\frac{y}{x}\right) = 0$ है।
इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \csc\left(\frac{y}{x}\right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,हम $y = vx$ प्रतिस्थापन करते हैं,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $v + x\frac{dv}{dx} = v - \csc(v)$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$x\frac{dv}{dx} = -\csc(v)$,जो $-\sin(v) dv = \frac{dx}{x}$ की ओर ले जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int -\sin(v) dv = \int \frac{1}{x} dx$ प्राप्त होता है।
इसका परिणाम $\cos(v) = \log|x| + C$ है।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर,हमें $\cos\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि जब $x = 1$ तब $y = 0$,इसलिए $\cos(0) = \log|1| + C$,जो $1 = 0 + C$ देता है,अतः $C = 1$।
इस प्रकार,$\cos\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + 1 = \log|x| + \log(e) = \log|ex|$।
अतः,विशिष्ट हल $\cos\left(\frac{y}{x}\right) = \log|ex|$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $2xy + y^2 - 2x^2 \frac{dy}{dx} = 0$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$2x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy + y^2$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy + y^2}{2x^2} \dots (1)$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
समीकरण $(1)$ में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{2x(vx) + (vx)^2}{2x^2} = \frac{2vx^2 + v^2x^2}{2x^2} = v + \frac{v^2}{2}$.
अतः,$x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{2}$,जिसका अर्थ है $\frac{2}{v^2} dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int 2v^{-2} dv = \int \frac{1}{x} dx \Rightarrow -\frac{2}{v} = \log |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $-\frac{2x}{y} = \log |x| + C \dots (2)$.
दिया गया है कि $x = 1$ पर $y = 2$: $-\frac{2(1)}{2} = \log |1| + C \Rightarrow -1 = 0 + C \Rightarrow C = -1$.
समीकरण $(2)$ में $C = -1$ रखने पर: $-\frac{2x}{y} = \log |x| - 1 \Rightarrow \frac{2x}{y} = 1 - \log |x|$.
अतः,$y = \frac{2x}{1 - \log |x|}$ जहाँ $x \neq 0, x \neq e$.

(A) $\frac{dx}{dy} = h\left(\frac{x}{y}\right)$ के रूप वाले समघातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए,हमें $x = vy$ प्रतिस्थापन करना होता है,जहाँ $v$,$y$ का एक फलन है।
$x = vy$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = v + y\frac{dv}{dy}$ प्राप्त होता है।
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर हम $v$ और $y$ चरों को पृथक कर सकते हैं।
अतः,सही प्रतिस्थापन $x = vy$ है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(D) एक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ समघातीय कहलाता है यदि $f(x, y)$ शून्य घात का एक समघातीय फलन हो,जिसका अर्थ है $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^0 f(x, y) = f(x, y)$।
आइए विकल्प $D$ की जाँच करें: $y^2 dx + (x^2 - xy - y^2)dy = 0$।
इसे $\frac{dx}{dy} = -\frac{x^2 - xy - y^2}{y^2} = \frac{-x^2 + xy + y^2}{y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $F(x, y) = \frac{-x^2 + xy + y^2}{y^2}$।
$x = \lambda x$ और $y = \lambda y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{-(\lambda x)^2 + (\lambda x)(\lambda y) + (\lambda y)^2}{(\lambda y)^2} = \frac{\lambda^2(-x^2 + xy + y^2)}{\lambda^2 y^2} = \frac{-x^2 + xy + y^2}{y^2} = F(x, y)$।
चूंकि $F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^0 F(x, y)$,यह फलन शून्य घात का समघातीय है,और इसलिए यह अवकल समीकरण समघातीय है।

(N/A) दिया गया अवकल समीकरण $(x \,dy-y \,dx) y\, \sin \left(\frac{y}{x}\right)=(y \,dx+x\, dy) x\, \cos \left(\frac{y}{x}\right)$ है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$[x y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x^{2} \cos \left(\frac{y}{x}\right)] dy = [x y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y^{2} \sin \left(\frac{y}{x}\right)] dx$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y^{2} \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{x y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x^{2} \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$
अंश और हर को $x^{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y}{x} \cos \left(\frac{y}{x}\right) + (\frac{y}{x})^{2} \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x} \sin \left(\frac{y}{x}\right) - \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$ $(1)$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + v^{2} \sin v}{v \sin v - \cos v}$
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + v^{2} \sin v}{v \sin v - \cos v} - v = \frac{2v \cos v}{v \sin v - \cos v}$
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{v \sin v - \cos v}{v \cos v} dv = \frac{2}{x} dx$
$(\tan v - \frac{1}{v}) dv = \frac{2}{x} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \tan v \, dv - \int \frac{1}{v} dv = 2 \int \frac{1}{x} dx$
$\ln |\sec v| - \ln |v| = 2 \ln |x| + C$
$\ln |\frac{\sec v}{v}| = \ln |x^{2}| + C$
$\frac{\sec v}{v} = C x^{2}$
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$\frac{\sec(y/x)}{y/x} = C x^{2} \implies \sec(y/x) = C xy$.

$(x^{3}-3xy^{2})dx=(y^{3}-3x^{2}y)dy$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x^{3}-3xy^{2}}{y^{3}-3x^{2}y}$ ...........$(1)$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y=vx$ है।
$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}$
समीकरण $(1)$ में $y=vx$ प्रतिस्थापित करने पर:
$v+x\frac{dv}{dx}=\frac{x^{3}-3x(vx)^{2}}{(vx)^{3}-3x^{2}(vx)}=\frac{x^{3}-3xv^{2}x^{2}}{v^{3}x^{3}-3x^{3}v}=\frac{1-3v^{2}}{v^{3}-3v}$
$\Rightarrow x\frac{dv}{dx}=\frac{1-3v^{2}}{v^{3}-3v}-v=\frac{1-3v^{2}-v^{4}+3v^{2}}{v^{3}-3v}=\frac{1-v^{4}}{v^{3}-3v}$
$\Rightarrow \frac{v^{3}-3v}{1-v^{4}}dv=\frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{v^{3}-3v}{1-v^{4}}dv = \int \frac{dx}{x} + \log C'$
$\int \frac{v^{3}}{1-v^{4}}dv - 3\int \frac{v}{1-v^{4}}dv = \log x + \log C'$
$-\frac{1}{4}\log(1-v^{4}) - 3\int \frac{v}{1-(v^{2})^{2}}dv = \log(C'x)$
मान लीजिए $v^{2}=p$,तब $2vdv=dp$:
$-\frac{1}{4}\log(1-v^{4}) - \frac{3}{2}\int \frac{dp}{1-p^{2}} = \log(C'x)$
$-\frac{1}{4}\log(1-v^{4}) - \frac{3}{4}\log\left|\frac{1+v^{2}}{1-v^{2}}\right| = \log(C'x)$
$-4$ से गुणा करने पर:
$\log(1-v^{4}) + 3\log\left|\frac{1+v^{2}}{1-v^{2}}\right| = -4\log(C'x)$
$\log\left[(1-v^{2})(1+v^{2}) \cdot \frac{(1+v^{2})^{3}}{(1-v^{2})^{3}}\right] = \log(C'x)^{-4}$
$\frac{(1+v^{2})^{4}}{(1-v^{2})^{2}} = \frac{1}{C'^{4}x^{4}}$
$v=\frac{y}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(1+\frac{y^{2}}{x^{2}})^{4}}{(1-\frac{y^{2}}{x^{2}})^{2}} = \frac{1}{C'^{4}x^{4}} \Rightarrow \frac{(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}})^{4}}{(\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}})^{2}} = \frac{1}{C'^{4}x^{4}}$
$\frac{(x^{2}+y^{2})^{4}}{x^{8}} \cdot \frac{x^{4}}{(x^{2}-y^{2})^{2}} = \frac{1}{C'^{4}x^{4}}$
$\frac{(x^{2}+y^{2})^{4}}{(x^{2}-y^{2})^{2}} = \frac{1}{C'^{4}} \Rightarrow (x^{2}-y^{2})^{2} = C'^{4}(x^{2}+y^{2})^{4}$
वर्गमूल लेने पर:
$x^{2}-y^{2} = C(x^{2}+y^{2})^{2}$,जहाँ $C=C'^{2}$.

(N/A) दिया गया अवकल समीकरण: $y e^{\frac{x}{y}} dx = (x e^{\frac{x}{y}} + y^2) dy$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y e^{\frac{x}{y}} \frac{dx}{dy} = x e^{\frac{x}{y}} + y^2$
दोनों पक्षों से $x e^{\frac{x}{y}}$ घटाने पर: $e^{\frac{x}{y}} (y \frac{dx}{dy} - x) = y^2$
$y^2$ से भाग देने पर: $e^{\frac{x}{y}} \frac{y \frac{dx}{dy} - x}{y^2} = 1$ --- $(1)$
माना $z = e^{\frac{x}{y}}$.
$y$ के सापेक्ष $z$ का अवकलन करने पर: $\frac{dz}{dy} = e^{\frac{x}{y}} \cdot \frac{d}{dy}(\frac{x}{y}) = e^{\frac{x}{y}} \cdot \frac{y \frac{dx}{dy} - x}{y^2}$.
इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर: $\frac{dz}{dy} = 1$.
$y$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int dz = \int dy \Rightarrow z = y + C$.
$z = e^{\frac{x}{y}}$ वापस रखने पर,व्यापक हल: $e^{\frac{x}{y}} = y + C$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $2 x^{2} dy = (2 xy + y^{2}) dx$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy + y^{2}}{2x^{2}}$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{2x(vx) + (vx)^{2}}{2x^{2}} = \frac{2x^{2}v + x^{2}v^{2}}{2x^{2}} = v + \frac{v^{2}}{2}$
$x\frac{dv}{dx} = \frac{v^{2}}{2}$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{2}{v^{2}} dv = \frac{1}{x} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int 2v^{-2} dv = \int \frac{1}{x} dx$
$-2v^{-1} = \ln|x| + C$
$-\frac{2}{v} = \ln|x| + C$
चूंकि $v = \frac{y}{x}$,हमारे पास $-\frac{2x}{y} = \ln|x| + C$ है।
वक्र बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $x=1, y=2$ रखने पर:
$-\frac{2(1)}{2} = \ln(1) + C \Rightarrow -1 = 0 + C \Rightarrow C = -1$.
अतः,$-\frac{2x}{y} = \ln|x| - 1$,जिसका अर्थ है $\frac{2x}{y} = 1 - \ln x$.
$y = \frac{2x}{1 - \ln x} \Rightarrow f(x) = \frac{2x}{1 - \ln x}$.
अब,$f\left(\frac{1}{2}\right)$ की गणना करने पर:
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2(\frac{1}{2})}{1 - \ln(\frac{1}{2})} = \frac{1}{1 - (\ln 1 - \ln 2)} = \frac{1}{1 - (0 - \ln 2)} = \frac{1}{1 + \ln 2}$.

(B) माना $v = \frac{y^2}{x^2}$,इसलिए $y^2 = v x^2$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 2vx^2 + x^2 \frac{dv}{dx}$,जिसका अर्थ है $y \frac{dy}{dx} = vx^2 + \frac{x^2}{2} \frac{dv}{dx}$।
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $vx^2 + \frac{x^2}{2} \frac{dv}{dx} = x \left[ v + \frac{\phi(v)}{\phi'(v)} \right] = xv + x \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$।
चूँकि $x > 0$,$x$ से भाग देने पर: $vx + \frac{x}{2} \frac{dv}{dx} = v + \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$।
इसे हल करने पर: $\frac{x}{2} \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v)}{\phi'(v)} \implies \frac{\phi'(v)}{\phi(v)} dv = \frac{2}{x} dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln(\phi(v)) = 2 \ln(x) + C = \ln(x^2) + C$।
अतः,$\phi(v) = k x^2$,जहाँ $k = e^C$।
चूँकि $v = y^2/x^2$,हमारे पास $\phi(y^2/x^2) = k x^2$ है।
$y(1) = -1$ दिया गया है,इसलिए $x=1$ पर,$v = (-1)^2/1^2 = 1$। अतः $\phi(1) = k(1)^2 = k$।
हमें $\phi(y^2/4)$ ज्ञात करना है। यदि हम $x=2$ रखें,तो $v = y^2/4$ होगा।
इसलिए,$\phi(y^2/4) = k(2)^2 = 4k = 4 \phi(1)$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x \tan \left(\frac{y}{x}\right) d y = \left(y \tan \left(\frac{y}{x}\right)-x\right) d x$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\tan \left(\frac{y}{x}\right)(x d y - y d x) = -x d x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर,$\tan \left(\frac{y}{x}\right) d\left(\frac{y}{x}\right) = -\frac{1}{x} d x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln \left| \sec \left(\frac{y}{x}\right) \right| = -\ln |x| + C$ प्राप्त होता है,जिसे $\ln \left| x \sec \left(\frac{y}{x}\right) \right| = C$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $y(1/2) = \pi/6$ दिया गया है,इसलिए $\ln \left| \frac{1}{2} \sec \left( \frac{\pi/6}{1/2} \right) \right| = \ln \left| \frac{1}{2} \sec \left( \frac{\pi}{3} \right) \right| = \ln \left| \frac{1}{2} \cdot 2 \right| = \ln(1) = 0$। अतः,$C=0$।
इस प्रकार,$\sec \left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{x}$,जिसका अर्थ है $\cos \left(\frac{y}{x}\right) = x$,या $y = x \cos^{-1}(x)$।
आवश्यक क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{1/\sqrt{2}} x \cos^{-1}(x) d x$ है।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,$A = \left[ \frac{x^2}{2} \cos^{-1}(x) \right]_{0}^{1/\sqrt{2}} - \int_{0}^{1/\sqrt{2}} \frac{x^2}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) d x$।
$A = \left( \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{4} - 0 \right) + \frac{1}{2} \int_{0}^{1/\sqrt{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} d x$।
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \cos \theta d \theta$,इसलिए $\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \frac{\sin^2 \theta \cos \theta}{\cos \theta} d \theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \frac{1-\cos 2\theta}{2} d \theta = \frac{1}{4} \left[ \theta - \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{16} - \frac{1}{8}$।
कुल क्षेत्रफल $A = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{16} - \frac{1}{8} = \frac{2\pi}{16} - \frac{1}{8} = \frac{\pi-1}{8}$।

(B) माना $Y = y+1$ और $X = x+2$ है। तब $dY = dy$ और $dX = dx$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $(X e^{Y/X} + Y) dX = X dY$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $X dY - Y dX = X e^{Y/X} dX$ मिलता है।
$X^2$ से भाग देने पर: $\frac{X dY - Y dX}{X^2} = \frac{e^{Y/X}}{X} dX$ प्राप्त होता है।
यह $d(\frac{Y}{X}) = e^{Y/X} \frac{dX}{X}$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-Y/X} d(Y/X) = \int \frac{dX}{X} \Rightarrow -e^{-Y/X} = \ln|X| + C$ मिलता है।
$y(1)=1$ का उपयोग करने पर,$Y=2$ और $X=3$ प्राप्त होता है: $-e^{-2/3} = \ln|3| + C$,अतः $C = -e^{-2/3} - \ln 3$ है।
इस प्रकार,$-e^{-(y+1)/(x+2)} = \ln|x+2| - e^{-2/3} - \ln 3$ है।
$e^{-(y+1)/(x+2)} = e^{-2/3} + \ln 3 - \ln|x+2|$ है।
हल के अस्तित्व के लिए,$e^{-2/3} + \ln 3 - \ln|x+2| > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\ln|x+2| < e^{-2/3} + \ln 3$ है।
माना $k = e^{-2/3} + \ln 3$ है। तब $|x+2| < e^k$,जिसका अर्थ है $-e^k - 2 < x < e^k - 2$ है।
अतः $\alpha = -e^k - 2$ और $\beta = e^k - 2$ है।
तब $\alpha + \beta = -4$,इसलिए $|\alpha + \beta| = 4$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y^{2} dx + (x^{2} - xy + y^{2}) dy = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y^{2} dx - xy dy + (x^{2} + y^{2}) dy = 0$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $y(y dx - x dy) + (x^{2} + y^{2}) dy = 0$.
$y(x^{2} + y^{2})$ से भाग देने पर: $\frac{y dx - x dy}{x^{2} + y^{2}} + \frac{dy}{y} = 0$.
$-1$ से गुणा करने पर: $\frac{x dy - y dx}{x^{2} + y^{2}} + \frac{dy}{y} = 0$.
अवकलज को पहचानने पर: $d(\tan^{-1}(\frac{y}{x})) + d(\ln y) = 0$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \ln y = C$.
चूंकि वक्र $(1, 1)$ से गुजरता है: $\tan^{-1}(1) + \ln(1) = C \Rightarrow \frac{\pi}{4} + 0 = C \Rightarrow C = \frac{\pi}{4}$.
वक्र का समीकरण $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \ln y = \frac{\pi}{4}$ है।
यह $y = \sqrt{3}x$ को $(\alpha, \sqrt{3}\alpha)$ पर प्रतिच्छेद करता है,इसलिए $\frac{y}{x} = \sqrt{3}$ और $y = \sqrt{3}\alpha$.
समीकरण में मान रखने पर: $\tan^{-1}(\sqrt{3}) + \ln(\sqrt{3}\alpha) = \frac{\pi}{4}$.
$\frac{\pi}{3} + \ln(\sqrt{3}\alpha) = \frac{\pi}{4}$.
$\ln(\sqrt{3}\alpha) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{12}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left[\frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}+e^{\frac{y}{x}}\right] x \frac{dy}{dx} = x + \left[\frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}+e^{\frac{y}{x}}\right] y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $e^{\frac{y}{x}}(x dy - y dx) + \frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}(x dy - y dx) = x dx$.
दोनों पक्षों को $x^{2}$ से विभाजित करने पर: $e^{\frac{y}{x}}\left(\frac{x dy - y dx}{x^{2}}\right) + \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{y}{x})^{2}}}\left(\frac{x dy - y dx}{x^{2}}\right) = \frac{dx}{x}$.
अवकल रूप $d(\frac{y}{x}) = \frac{x dy - y dx}{x^{2}}$ का उपयोग करने पर: $e^{\frac{y}{x}} d(\frac{y}{x}) + \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{y}{x})^{2}}} d(\frac{y}{x}) = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{\frac{y}{x}} d(\frac{y}{x}) + \int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{y}{x})^{2}}} d(\frac{y}{x}) = \int \frac{dx}{x}$.
परिणामस्वरूप: $e^{\frac{y}{x}} + \sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C$.
चूंकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है,$x=1, y=0$ रखने पर: $e^{0} + \sin^{-1}(0) = \ln(1) + C \Rightarrow 1 + 0 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.
समीकरण: $e^{\frac{y}{x}} + \sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln x + 1$.
चूंकि यह $(2\alpha, \alpha)$ से गुजरता है,$x=2\alpha, y=\alpha$ रखने पर: $e^{\frac{\alpha}{2\alpha}} + \sin^{-1}(\frac{\alpha}{2\alpha}) = \ln(2\alpha) + 1$.
$e^{1/2} + \sin^{-1}(1/2) = \ln(2\alpha) + 1 \Rightarrow \sqrt{e} + \frac{\pi}{6} = \ln(2\alpha) + 1$.
$\ln(2\alpha) = \sqrt{e} + \frac{\pi}{6} - 1$.
$2\alpha = \exp(\sqrt{e} + \frac{\pi}{6} - 1) \Rightarrow \alpha = \frac{1}{2} \exp(\frac{\pi}{6} + \sqrt{e} - 1)$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{y^2 + 16x^2}$ है।
$x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \sqrt{(\frac{y}{x})^2 + 16}$.
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} - v = \sqrt{v^2 + 16}$.
$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{v^2 + 16} \Rightarrow \int \frac{dv}{\sqrt{v^2 + 16}} = \int \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|v + \sqrt{v^2 + 16}| = \ln|x| + \ln|C|$.
$v + \sqrt{v^2 + 16} = Cx \Rightarrow \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^2}{x^2} + 16} = Cx$.
$y + \sqrt{y^2 + 16x^2} = Cx^2$.
$y(1) = 3$ का उपयोग करने पर: $3 + \sqrt{3^2 + 16(1)^2} = C(1)^2 \Rightarrow 3 + \sqrt{25} = C \Rightarrow C = 8$.
अतः,$y + \sqrt{y^2 + 16x^2} = 8x^2$.
$x = 2$ के लिए: $y + \sqrt{y^2 + 16(4)} = 8(4) = 32$.
$y + \sqrt{y^2 + 64} = 32 \Rightarrow \sqrt{y^2 + 64} = 32 - y$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y^2 + 64 = 1024 - 64y + y^2$.
$64y = 960 \Rightarrow y = 15$.

(B) दिया गया है कि $P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{5}$ और $P(A \cup B) = \frac{1}{2}$ है।
सबसे पहले,हम $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ सूत्र का उपयोग करके $P(A \cap B)$ ज्ञात करते हैं:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{2} = \frac{10 + 6 - 15}{30} = \frac{1}{30}$.
अब,हम $P(A \cap B')$ और $P(B \cap A')$ की गणना करते हैं:
$P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{30} = \frac{10 - 1}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$.
$P(B \cap A') = P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{5} - \frac{1}{30} = \frac{6 - 1}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.
साथ ही,$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ और $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
अतः,$P(A \mid B') + P(B \mid A') = \frac{P(A \cap B')}{P(B')} + \frac{P(B \cap A')}{P(A')} = \frac{9/30}{4/5} + \frac{5/30}{2/3} = \frac{9}{30} \times \frac{5}{4} + \frac{5}{30} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{10} \times \frac{5}{4} + \frac{1}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3 + 2}{8} = \frac{5}{8}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y(4y^2+2x^2)}{x(3y^2+x^2)}$ है।
$y=vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v(4v^2+2)}{3v^2+1}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{4v^3+2v-3v^3-v}{3v^2+1} = \frac{v^3+v}{3v^2+1}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{3v^2+1}{v^3+v} dv = \int \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|v^3+v| = \ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\ln|\frac{y^3}{x^3} + \frac{y}{x}| = \ln|x| + C$.
$y(1)=1$ का उपयोग करने पर: $\ln|1+1| = \ln(1) + C \Rightarrow C = \ln 2$.
अतः,$\ln|\frac{y^3+yx^2}{x^3}| = \ln(2x)$.
$x=2$ के लिए: $\frac{y^3+4y}{8} = 4 \Rightarrow y^3+4y = 32$.
मान लीजिए $f(y) = y^3+4y-32$. चूँकि $f(2) = -16$ और $f(3) = 7$,अतः $y(2)$ का मान $2$ और $3$ के बीच है।
इस प्रकार,$y(2) \in [2, 3)$,इसलिए $n=3$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy = (\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y) dx$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2}+y^{2}} dx$.
दोनों पक्षों को $x^{2}$ से विभाजित करने पर ($x > 0$ के लिए): $\frac{x dy - y dx}{x^{2}} = \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}} dx$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $d(\frac{y}{x}) = \sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}} \cdot \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{d(y/x)}{\sqrt{1 + (y/x)^{2}}} = \int \frac{dx}{x}$.
मानक समाकलन $\int \frac{dt}{\sqrt{1+t^{2}}} = \ln(t + \sqrt{1+t^{2}})$ का उपयोग करने पर: $\ln(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}}) = \ln x + C$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{y + \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x} = kx$,जहाँ $k = e^{C}$.
अतः,$y + \sqrt{x^{2}+y^{2}} = kx^{2}$.
चूंकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है,$x=1, y=0$ रखने पर: $0 + \sqrt{1^{2}+0^{2}} = k(1)^{2} \Rightarrow k = 1$.
वक्र का समीकरण $y + \sqrt{x^{2}+y^{2}} = x^{2}$ है।
$x = 2, y = \alpha$ के लिए: $\alpha + \sqrt{4+\alpha^{2}} = 2^{2} = 4$.
$\sqrt{4+\alpha^{2}} = 4 - \alpha$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 + \alpha^{2} = 16 - 8\alpha + \alpha^{2}$.
$8\alpha = 12 \Rightarrow \alpha = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)+(y-1)}{(x-1)-(y-1)}$ है।
माना $X = x-1$ और $Y = y-1$,तब $\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}$।
अंश और हर को $X$ से विभाजित करने पर,$\frac{dY}{dX} = \frac{1 + (Y/X)}{1 - (Y/X)}$।
माना $Y = VX$,तब $\frac{dY}{dX} = V + X\frac{dV}{dX}$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$V + X\frac{dV}{dX} = \frac{1+V}{1-V}$,अतः $X\frac{dV}{dX} = \frac{1+V}{1-V} - V = \frac{1+V-V+V^{2}}{1-V} = \frac{1+V^{2}}{1-V}$।
चरों को अलग करने पर,$\int \frac{1-V}{1+V^{2}} dV = \int \frac{dX}{X}$।
$\int \frac{1}{1+V^{2}} dV - \frac{1}{2} \int \frac{2V}{1+V^{2}} dV = \ln|X| + C$।
$\tan^{-1}(V) - \frac{1}{2} \ln(1+V^{2}) = \ln|X| + C$।
$V = Y/X = \frac{y-1}{x-1}$ रखने पर,$\tan^{-1}\left(\frac{y-1}{x-1}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(1 + \frac{(y-1)^{2}}{(x-1)^{2}}\right) = \ln|x-1| + C$।
चूंकि यह $(2,1)$ से गुजरता है,$X=1, Y=0$: $\tan^{-1}(0) - \frac{1}{2} \ln(1) = \ln(1) + C \implies C = 0$।
बिंदु $(k+1, 2)$ के लिए,$X=k, Y=1$: $\tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(1 + \frac{1}{k^{2}}\right) = \ln(k)$।
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{k^{2}+1}{k^{2}}\right) = \ln(k)$।
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) = \ln(k) + \frac{1}{2} \ln\left(\frac{k^{2}+1}{k^{2}}\right) = \ln(k) + \ln\left(\sqrt{\frac{k^{2}+1}{k^{2}}}\right) = \ln\left(k \cdot \frac{\sqrt{k^{2}+1}}{k}\right) = \ln\sqrt{k^{2}+1}$।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) = \ln(k^{2}+1)$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2-3y^2)dx+3xydy=0$ है।
इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{3y^2-x^2}{3xy} = \frac{y}{x} - \frac{1}{3}\frac{x}{y}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $y=vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
समीकरण में मान रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = v - \frac{1}{3v}$।
इसे सरल करने पर $x\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{3v}$,या $3vdv = -\frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int 3vdv = -\int \frac{dx}{x} \Rightarrow \frac{3v^2}{2} = -\ln|x| + C$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\frac{3y^2}{2x^2} = -\ln|x| + C$।
चूँकि $y(1)=1$ दिया गया है,$\frac{3(1)^2}{2(1)^2} = -\ln(1) + C \Rightarrow C = \frac{3}{2}$।
अतः,$\frac{3y^2}{2x^2} = -\ln|x| + \frac{3}{2} \Rightarrow 3y^2 = 3x^2 - 2x^2\ln|x|$।
$x=e$ पर,$3y^2(e) = 3e^2 - 2e^2\ln(e) = 3e^2 - 2e^2 = e^2$।
इसलिए,$6y^2(e) = 2(3y^2(e)) = 2e^2$।

(C) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2+3y^2}{3x^2+y^2}$ है।
$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
$v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{1+3v^2}{3+v^2}$.
$x\frac{dv}{dx} = -\frac{1+3v^2}{3+v^2} - v = -\frac{1+3v^2+3v+v^3}{3+v^2} = -\frac{(v+1)^3}{3+v^2}$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{3+v^2}{(v+1)^3} dv = -\frac{dx}{x}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{3+v^2}{(v+1)^3} = \frac{1}{v+1} - \frac{2}{(v+1)^2} + \frac{4}{(v+1)^3}$.
समाकलन करने पर: $\int \left(\frac{1}{v+1} - \frac{2}{(v+1)^2} + \frac{4}{(v+1)^3}\right) dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\ln|v+1| + \frac{2}{v+1} - \frac{2}{(v+1)^2} = -\ln|x| + C$.
$\ln|x(v+1)| + \frac{2v}{(v+1)^2} = C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर,$\ln|x+y| + \frac{2xy}{(x+y)^2} = C$.
चूँकि $y(1)=0$,अतः $\ln|1+0| + 0 = C \implies C=0$.
अतः,हल $\ln|x+y| + \frac{2xy}{(x+y)^2} = 0$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(3y^2-5x^2)y dx + 2x(x^2-y^2) dy = 0$ है।
इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{y(5x^2-3y^2)}{2x(x^2-y^2)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,अतः $y=mx$ प्रतिस्थापित करने पर $\frac{dy}{dx} = m + x\frac{dm}{dx}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $m + x\frac{dm}{dx} = \frac{m(5-3m^2)}{2(1-m^2)}$।
सरल करने पर: $x\frac{dm}{dx} = \frac{m(3-m^2)}{2(1-m^2)}$।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dx}{x} = \frac{2(1-m^2)}{m(3-m^2)} dm$।
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{dx}{x} = (\frac{2}{3m} + \frac{4m}{3(m^2-3)}) dm$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|x| = \frac{2}{3}\ln|m| + \frac{2}{3}\ln|m^2-3| + C$।
$y(1)=1$ के लिए $m=1$ और $x=1$ रखने पर,$C = -\frac{2}{3}\ln(2)$ प्राप्त होता है।
अतः,$x^{3/2} = \frac{1}{2} |m(m^2-3)|$ प्राप्त होता है।
$x=2$ के लिए गणना करने पर,अंतिम उत्तर $|y^3-12y| = 32\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ है।
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1+(y/x)^2}{2(y/x)}$ प्राप्त होता है।
माना $y = tx$,तब $\frac{dy}{dx} = t + x\frac{dt}{dx}$।
समीकरण में मान रखने पर: $t + x\frac{dt}{dx} = \frac{1+t^2}{2t}$।
$x\frac{dt}{dx} = \frac{1+t^2}{2t} - t = \frac{1-t^2}{2t}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{2t}{1-t^2} dt = \int \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\ln|1-t^2| = \ln|x| + C$,जिसका अर्थ है $\ln|1-t^2|^{-1} = \ln|cx|$।
अतः,$\frac{1}{1-t^2} = cx$,या $1-t^2 = \frac{1}{cx}$।
$t = y/x$ रखने पर: $1 - \frac{y^2}{x^2} = \frac{1}{cx} \Rightarrow \frac{x^2-y^2}{x^2} = \frac{1}{cx} \Rightarrow x^2-y^2 = \frac{x}{c}$।
दिया है $y(2) = 0$,अतः $2^2 - 0^2 = \frac{2}{c} \Rightarrow 4 = \frac{2}{c} \Rightarrow c = \frac{1}{2}$।
समीकरण $x^2 - y^2 = 2x$ बन जाता है।
$x = 8$ पर: $8^2 - y^2 = 2(8) \Rightarrow 64 - y^2 = 16 \Rightarrow y^2 = 48$।
अतः,$y = \pm \sqrt{48} = \pm 4\sqrt{3}$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y-2}{x-y}$.
माना $x = X+h$ और $y = Y+k$. इन्हें प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y+(h+k-2)}{X-Y+(h-k)}$ प्राप्त होता है।
समीकरण को समघातीय बनाने के लिए,$h+k-2=0$ और $h-k=0$ रखने पर,$h=1$ और $k=1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}$. अंश और हर को $X$ से विभाजित करने पर,$\frac{dY}{dX} = \frac{1+(Y/X)}{1-(Y/X)}$ प्राप्त होता है।
माना $Y/X = v$,तब $Y = vX$ और $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$.
$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{1+v}{1-v} \Rightarrow X\frac{dv}{dX} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v^2}{1-v}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{1-v}{1+v^2} dv = \frac{dX}{X}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{1+v^2} dv - \int \frac{v}{1+v^2} dv = \int \frac{dX}{X}$.
$\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \ln(1+v^2) = \ln|X| + C$.
$v = \frac{y-1}{x-1}$ और $X = x-1$ रखने पर: $\tan^{-1}\left(\frac{y-1}{x-1}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(1 + \left(\frac{y-1}{x-1}\right)^2\right) = \ln|x-1| + C$.
चूंकि वक्र बिंदु $(2,1)$ से गुजरता है,$\tan^{-1}(0) - \frac{1}{2} \ln(1+0) = \ln|1| + C \Rightarrow C = 0$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$\alpha = 1$ और $\beta = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$5\beta + \alpha = 5(2) + 1 = 11$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \cos \left(\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}=y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x$.
$x \cos \left(\frac{y}{x}\right)$ से भाग देने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{1}{\cos \left(\frac{y}{x}\right)}$.
माना $v = \frac{y}{x}$,तब $y = vx$ और $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.
समीकरण में मान प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{d v}{d x} = v + \frac{1}{\cos v}$.
$x \frac{d v}{d x} = \sec v$.
चरों को अलग करने पर:
$\cos v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \cos v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$.
$\sin v = \log |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + C$.
$y(1) = \frac{\pi}{3}$ दिया गया है,अतः $\sin \left(\frac{\pi/3}{1}\right) = \log |1| + C$.
$\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = 0 + C \implies C = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
हल $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + \frac{\alpha}{2}$ से तुलना करने पर,$\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \alpha = \sqrt{3}$.
अतः,$\alpha^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

(C) दिया गया है $f^2(x) = \lim_{r \rightarrow x} \left( \frac{2r^2(f^2(r) - f(x)f(r))}{r^2 - x^2} - r^3 e^{\frac{f(r)}{r}} \right)$.
सीमा लेने पर,$f^2(x) = x f(x) f'(x) - x^3 e^{\frac{f(x)}{x}}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $y = f(x)$,तो $y^2 = xy \frac{dy}{dx} - x^3 e^{\frac{y}{x}}$.
$xy$ से भाग देने पर,$\frac{y}{x} = \frac{dy}{dx} - \frac{x^2}{y} e^{\frac{y}{x}}$ प्राप्त होता है।
$y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$v = v + x \frac{dv}{dx} - \frac{1}{v} e^v \implies x \frac{dv}{dx} = \frac{e^v}{v}$.
चरों को अलग करने पर: $v e^{-v} dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int v e^{-v} dv = \int \frac{dx}{x} \implies -e^{-v}(v+1) = \ln|x| + C$.
$f(1) = 1$ का उपयोग करने पर,$x=1, y=1 \implies v=1$. अतः,$-e^{-1}(2) = 0 + C \implies C = -2/e$.
इस प्रकार,$-e^{-y/x}(\frac{y}{x} + 1) = \ln|x| - \frac{2}{e}$.
$f(a) = 0$ के लिए,$y=0, x=a$,अतः $v=0$.
$-e^0(0 + 1) = \ln|a| - \frac{2}{e} \implies -1 = \ln|a| - \frac{2}{e} \implies \ln|a| = \frac{2}{e} - 1$. हल करने पर $a = 2/e$ प्राप्त होता है,इसलिए $ea = 2$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y \frac{dx}{dy} = x(\ln(\frac{x}{y}) + 1)$.
$y$ से भाग देने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y}(\ln(\frac{x}{y}) + 1)$.
माना $v = \frac{x}{y}$,तो $x = vy$. $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$.
समीकरण में मान रखने पर: $v + y \frac{dv}{dy} = v(\ln v + 1) = v \ln v + v$.
$y \frac{dv}{dy} = v \ln v$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{v \ln v} = \frac{dy}{y}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{v \ln v} = \int \frac{dy}{y}$.
माना $u = \ln v$,तो $du = \frac{1}{v} dv$. समाकलन होगा: $\int \frac{du}{u} = \int \frac{dy}{y}$.
$\ln|u| = \ln|y| + C \Rightarrow \ln|\ln v| = \ln y + C$.
$v = \frac{x}{y}$ रखने पर: $\ln|\ln(\frac{x}{y})| = \ln y + C$.
बिंदु $(e, 1)$ से गुजरने पर: $\ln|\ln(\frac{e}{1})| = \ln(1) + C \Rightarrow \ln(1) = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$\ln|\ln(\frac{x}{y})| = \ln y$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $|\ln(\frac{x}{y})| = y$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2+y^2) dx = 5xy dy$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{5xy}$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। $y = Vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = V + x \frac{dV}{dx}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $V + x \frac{dV}{dx} = \frac{x^2 + V^2x^2}{5x(Vx)} = \frac{1+V^2}{5V}$
$\Rightarrow x \frac{dV}{dx} = \frac{1+V^2}{5V} - V = \frac{1+V^2-5V^2}{5V} = \frac{1-4V^2}{5V}$
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{5V}{1-4V^2} dV = \int \frac{dx}{x}$
माना $1-4V^2 = t$,तब $-8V dV = dt$,अर्थात $V dV = -\frac{1}{8} dt$.
$\Rightarrow 5 \int \frac{-1/8}{t} dt = \int \frac{dx}{x}$
$\Rightarrow -\frac{5}{8} \ln|t| = \ln|x| + C_1$
$\Rightarrow -5 \ln|1-4V^2| = 8 \ln|x| + C_2$
$\Rightarrow \ln|1-4V^2|^{-5} = \ln|x^8| + C_2$
$\Rightarrow |1-4V^2|^{-5} = K x^8$
$\Rightarrow |1-4(\frac{y}{x})^2|^{-5} = K x^8$
$\Rightarrow |\frac{x^2-4y^2}{x^2}|^{-5} = K x^8$
$\Rightarrow |x^2-4y^2|^{-5} \cdot (x^2)^5 = K x^8$
$\Rightarrow |x^2-4y^2|^{-5} = K x^{-2}$
$\Rightarrow |x^2-4y^2|^5 = C x^2$
दिया गया है $y(1)=0$: $|1^2 - 4(0)^2|^5 = C(1)^2 \Rightarrow C = 1$.
अतः,हल $|x^2-4y^2|^5 = x^2$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x^2 \frac{dy}{dx} + xy = x^2 + y^2$ है।
$x^2$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = 1 + (\frac{y}{x})^2$.
माना $v = \frac{y}{x}$,तब $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} + v = 1 + v^2$।
$x \frac{dv}{dx} = 1 + v^2 - 2v = (v - 1)^2$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dv}{(v - 1)^2} = \int \frac{dx}{x}$।
$-\frac{1}{v - 1} = \ln|x| + C$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $-\frac{x}{y - x} = \ln x + C$,जो सरल होकर $\frac{x}{x - y} = \ln x + C$ हो जाता है।
$y(1) = 0$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{1 - 0} = \ln(1) + C \Rightarrow C = 1$।
अतः,$\frac{x}{x - y} = \ln x + 1 = \ln(ex)$।
$y(e)$ के लिए: $\frac{e}{e - y(e)} = \ln(e^2) = 2 \Rightarrow e = 2e - 2y(e) \Rightarrow y(e) = \frac{e}{2}$।
$y(e^2)$ के लिए: $\frac{e^2}{e^2 - y(e^2)} = \ln(e^3) = 3 \Rightarrow e^2 = 3e^2 - 3y(e^2) \Rightarrow 3y(e^2) = 2e^2 \Rightarrow y(e^2) = \frac{2e^2}{3}$।
अंत में,$2 \frac{(y(e))^2}{y(e^2)} = 2 \frac{(e/2)^2}{2e^2/3} = 2 \cdot \frac{e^2/4}{2e^2/3} = 2 \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$।

(C) स्पर्शरेखा की ढाल के लिए दिया गया अवकल समीकरण:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2\left(\frac{y}{x}\right)$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v + x\frac{dv}{dx} = v - \cos^2(v)$
$x\frac{dv}{dx} = -\cos^2(v)$
चरों को अलग करने पर:
$\sec^2(v) dv = -\frac{1}{x} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \sec^2(v) dv = -\int \frac{1}{x} dx$
$\tan(v) = -\log|x| + C$
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\tan\left(\frac{y}{x}\right) = -\log|x| + C$
वक्र $\left(1, \frac{\pi}{4}\right)$ से गुजरता है,इसलिए:
$\tan\left(\frac{\pi/4}{1}\right) = -\log(1) + C$
$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0 + C \Rightarrow C = 1$
अतः,$\tan\left(\frac{y}{x}\right) = 1 - \log(x) = \log(e) - \log(x) = \log\left(\frac{e}{x}\right)$
इसलिए,$y = x \tan^{-1}\left[\log\left(\frac{e}{x}\right)\right]$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$.
$x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (\log(\frac{y}{x}) + 1)$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $v = \frac{y}{x}$,तो $y = vx$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v(\log v + 1)$.
$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$.
$x \frac{dv}{dx} = v \log v$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{v \log v} dv = \int \frac{1}{x} dx$.
मान लीजिए $u = \log v$,तो $du = \frac{1}{v} dv$. समाकलन होगा $\int \frac{1}{u} du = \int \frac{1}{x} dx$.
$\log(u) = \log(x) + \log(c)$,जहाँ $\log(c)$ समाकलन स्थिरांक है।
$\log(\log v) = \log(cx)$.
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $\log v = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर: $\log(\frac{y}{x}) = cx$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 - y^2}}{x} \dots (i)$
चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,हम $y = vx$ प्रतिस्थापित करते हैं,जिससे $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} \dots (ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में रखने पर:
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2 - v^2x^2}}{x}$
$v + x\frac{dv}{dx} = v + \sqrt{1 - v^2}$
$x\frac{dv}{dx} = \sqrt{1 - v^2}$
चरों को पृथक करने पर:
$\int \frac{dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \int \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\sin^{-1}(v) = \log|x| + c$
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\sin^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + c$

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x y \frac{dy}{dx} = x^2 + 2y^2$ है।
$xy$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+2y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{2y}{x} \dots(i)$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। $y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \dots(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + 2v$.
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर,$x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + v = \frac{1+v^2}{v}$.
चरों को अलग करने पर,$\frac{v}{1+v^2} dv = \frac{1}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\frac{1}{2} \ln(1+v^2) = \ln|x| + C$.
$2$ से गुणा करने पर,$\ln(1+v^2) = 2\ln|x| + 2C = \ln(x^2) + K$.
अतः,$1+v^2 = c x^2$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर,$1 + \frac{y^2}{x^2} = c x^2$,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = c x^4$ बनता है।
$y(1) = 0$ दिया गया है,इसलिए $1^2 + 0^2 = c(1)^4$,जिससे $c = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,विशिष्ट हल $x^2 + y^2 = x^4$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2 \frac{y}{x} \dots (i)$
$y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \dots (ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \cos^2 v \Rightarrow x \frac{dv}{dx} = -\cos^2 v$
चरों को अलग करने पर: $\sec^2 v \, dv = -\frac{1}{x} \, dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sec^2 v \, dv = -\int \frac{1}{x} \, dx + C \Rightarrow \tan v = -\log |x| + C$
चूंकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $\tan \frac{y}{x} = -\log x + C \dots (iii)$
वक्र $(1, \frac{\pi}{4})$ से गुजरता है,इसलिए $\tan \frac{\pi}{4} = -\log 1 + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$
अतः,$\tan \frac{y}{x} = 1 - \log x = \log e - \log x = \log \frac{e}{x}$
इसलिए,$y = x \tan^{-1} \left( \log \frac{e}{x} \right)$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{y}{x}\right) \cos \left(\frac{y}{x}\right) dx = \left[\frac{x}{y} \sin \left(\frac{y}{x}\right) + \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right] dy$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y}{x} \cos \left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{x}{y} \sin \left(\frac{y}{x}\right) + \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$.
मान लीजिए $v = \frac{y}{x}$,तो $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v}{\frac{1}{v} \sin v + \cos v} = \frac{v^2 \cos v}{\sin v + v \cos v}$.
अतः $x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2 \cos v}{\sin v + v \cos v} - v = \frac{v^2 \cos v - v \sin v - v^2 \cos v}{\sin v + v \cos v} = \frac{-v \sin v}{\sin v + v \cos v}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{\sin v + v \cos v}{v \sin v} dv = -\frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \left( \frac{1}{v} + \cot v \right) dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\ln |v| + \ln |\sin v| = -\ln |x| + \ln |k|$.
$\ln |v \sin v x| = \ln |k| \Rightarrow v \sin v x = k$.
चूंकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $\frac{y}{x} \sin \left(\frac{y}{x}\right) x = k$,जो सरल होकर $y \sin \left(\frac{y}{x}\right) = k$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$.
इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{y+x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{v+1}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{v+1} - v = -\frac{1+v^2}{1+v}$.
चरों का पृथक्करण करने पर: $\int \frac{1+v}{1+v^2} dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\tan^{-1}(v) + \frac{1}{2} \log(1+v^2) = -\log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(1+\frac{y^2}{x^2}) = -\log|x| + C$.
सरल करने पर: $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) = C$.
$x=1, y=1$ के लिए: $\tan^{-1}(1) + \frac{1}{2} \log(2) = C \Rightarrow C = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \log(2)$.
अतः,$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \log(2)$.
$\frac{1}{2} \log(\frac{x^2+y^2}{2}) = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(\frac{y}{x})$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $\log(\frac{x^2+y^2}{2}) = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(\frac{y}{x})$.