Homogeneous differential equations Questions in Hindi

(B) एक फलन $f(x, y)$ को $n$ घात का समघातीय फलन कहा जाता है यदि $f(tx, ty) = t^n f(x, y)$ हो।
दिया गया है $f(x, y) = \frac{1}{x + y}$।
$x$ को $tx$ से और $y$ को $ty$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$f(tx, ty) = \frac{1}{tx + ty} = \frac{1}{t(x + y)} = t^{-1} \cdot \frac{1}{x + y} = t^{-1} f(x, y)$।
इसे $f(tx, ty) = t^n f(x, y)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,यह फलन $-1$ घात का समघातीय फलन है।

(A) दिया गया समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + xy + y^2}{x^2} = 1 + \frac{y}{x} + \left( \frac{y}{x} \right)^2$.
$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = 1 + v + v^2$.
सरल करने पर,$x \frac{dv}{dx} = 1 + v^2$ प्राप्त होता है।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dv}{1 + v^2} = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{1 + v^2} = \int \frac{dx}{x}$.
इससे $\tan^{-1}(v) = \log |x| + c$ प्राप्त होता है।
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर,$\tan^{-1} \left( \frac{y}{x} \right) = \log |x| + c$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $2xy \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y^2$ है,जो एक समघातीय अवकल समीकरण है।
इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + 3y^2}{2xy}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + 3(vx)^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1 + 3v^2)}{2x^2v} = \frac{1 + 3v^2}{2v}$।
अतः,$x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + 3v^2}{2v} - v = \frac{1 + 3v^2 - 2v^2}{2v} = \frac{1 + v^2}{2v}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{2v}{1 + v^2} dv = \frac{1}{x} dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{2v}{1 + v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$।
इससे $\ln(1 + v^2) = \ln|x| + \ln|p|$ प्राप्त होता है,जहाँ $\ln|p|$ समाकलन स्थिरांक है।
अतः,$1 + v^2 = px$,जिसका अर्थ है $1 + \frac{y^2}{x^2} = px$।
$x^2$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 + y^2 = px^3$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + y^2)dx = 2xydy$ है।
इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2xy}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
समीकरण में मान रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + v^2x^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1 + v^2)}{2x^2v} = \frac{1 + v^2}{2v}$।
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^2}{2v} - v = \frac{1 + v^2 - 2v^2}{2v} = \frac{1 - v^2}{2v}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{2v}{1 - v^2} dv = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\ln|1 - v^2| = \ln|x| + \ln|c|$।
$-\ln|1 - v^2| = \ln|cx| \implies \ln|1 - v^2|^{-1} = \ln|cx| \implies \frac{1}{1 - v^2} = cx$।
चूंकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $\frac{1}{1 - (y/x)^2} = cx \implies \frac{x^2}{x^2 - y^2} = cx \implies x = c(x^2 - y^2)$।

(B) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}$ है।
$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x - vx} = \frac{1 + v}{1 - v}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v}{1 - v} - v = \frac{1 + v - v + v^2}{1 - v} = \frac{1 + v^2}{1 - v}$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dx}{x} = \frac{1 - v}{1 + v^2} dv = \left( \frac{1}{1 + v^2} - \frac{v}{1 + v^2} \right) dv$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{1 + v^2} dv - \int \frac{v}{1 + v^2} dv$.
$\ln|x| = \tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \ln(1 + v^2) + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\ln|x| = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \ln(1 + \frac{y^2}{x^2}) + \ln|c|$.
$\ln|x| = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \ln(\frac{x^2 + y^2}{x^2}) + \ln|c|$.
$\ln|x| = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} [\ln(x^2 + y^2) - \ln(x^2)] + \ln|c|$.
$\ln|x| = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) + \ln|x| + \ln|c|$.
$0 = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \ln((x^2 + y^2)^{1/2}) + \ln|c|$.
$\ln((x^2 + y^2)^{1/2}) = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \ln|c|$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $(x^2 + y^2)^{1/2} = c e^{\tan^{-1}(y/x)}$ या $c(x^2 + y^2)^{1/2} = e^{\tan^{-1}(y/x)}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \, dy - y \, dx = \sqrt{x^2 + y^2} \, dx$
$dx$ से भाग देने पर: $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{x^2 + y^2}$
$x \frac{dy}{dx} = y + \sqrt{x^2 + y^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x}$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2 + v^2x^2}}{x} = v + \sqrt{1 + v^2}$
$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2}$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|v + \sqrt{1 + v^2}| = \ln|x| + \ln|c|$
$v + \sqrt{1 + v^2} = cx$
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}} = cx$
$\frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} = cx$
$y + \sqrt{x^2 + y^2} = cx^2$

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(x + y)dx + xdy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$xdy = -(x + y)dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{x + y}{x} = -(1 + \frac{y}{x})$।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = -(1 + v) = -1 - v$।
$x\frac{dv}{dx} = -1 - 2v$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{1 + 2v} = -\frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{1 + 2v} = -\int \frac{dx}{x}$।
$\frac{1}{2} \ln|1 + 2v| = -\ln|x| + C_1$।
$\ln|1 + 2v| = -2\ln|x| + 2C_1 = \ln|x^{-2}| + \ln|C|$।
$1 + 2v = \frac{C}{x^2}$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $1 + 2(\frac{y}{x}) = \frac{C}{x^2}$।
$\frac{x + 2y}{x} = \frac{C}{x^2} \implies x(x + 2y) = C \implies x^2 + 2xy = C$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x + y\frac{dy}{dx} = 2y$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$y\frac{dy}{dx} = 2y - x$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{2y - x}{y}$।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{2vx - x}{vx} = \frac{2v - 1}{v}$।
$x\frac{dv}{dx} = \frac{2v - 1}{v} - v = \frac{2v - 1 - v^2}{v} = -\frac{(v - 1)^2}{v}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{v}{(v - 1)^2} dv = -\frac{dx}{x}$।
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{v}{(v - 1)^2} = \frac{v - 1 + 1}{(v - 1)^2} = \frac{1}{v - 1} + \frac{1}{(v - 1)^2}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \left( \frac{1}{v - 1} + \frac{1}{(v - 1)^2} \right) dv = -\int \frac{dx}{x}$।
$\log |v - 1| - \frac{1}{v - 1} = -\log |x| + c$।
चूंकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $v - 1 = \frac{y - x}{x}$।
$\log |\frac{y - x}{x}| + \log |x| = \frac{1}{\frac{y - x}{x}} + c$।
$\log |y - x| = \frac{x}{y - x} + c$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ है।
चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,हम $y = vx$ प्रतिस्थापित करते हैं,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2 + (vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1 + v^2)} = \frac{v}{1 + v^2}$।
अब,$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1 + v^2} = -\frac{v^3}{1 + v^2}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\frac{dx}{x}$,जो सरल होकर $(\frac{1}{v^3} + \frac{1}{v}) dv = -\frac{dx}{x}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{1}{x} dx$।
इससे $-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$ प्राप्त होता है।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln(\frac{y}{x}) = -\ln|x| + C$।
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C$,जो सरल होकर $\ln|y| - \frac{x^2}{2y^2} = C$ हो जाता है।
अतः $\ln|y| = \frac{x^2}{2y^2} + C$,जिसका अर्थ है $y = e^{\frac{x^2}{2y^2} + C} = k e^{\frac{x^2}{2y^2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y^2 = k^2 e^{\frac{x^2}{y^2}}$। यदि हम $a = k^2$ लें,तो $ay^2 = e^{x^2/y^2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2y - x}$ है।
चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,हम $y = vx$ प्रतिस्थापित करते हैं,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x}{2vx - x} = \frac{1}{2v - 1}$।
$\frac{dv}{dx}$ के लिए सरल करने पर: $x\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2v - 1} - v = \frac{1 - 2v^2 + v}{2v - 1} = -\frac{(2v + 1)(v - 1)}{2v - 1}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{2v - 1}{(2v + 1)(v - 1)} dv = -\frac{dx}{x}$।
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{4/3}{2v + 1} + \frac{1/3}{v - 1} dv = -\frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{2}{3}\ln|2v + 1| + \frac{1}{3}\ln|v - 1| = -\ln|x| + C$।
$3$ से गुणा करने पर: $2\ln|2v + 1| + \ln|v - 1| = -3\ln|x| + C'$।
$\ln|(2v + 1)^2(v - 1)| = \ln|x^{-3}| + C'$।
$(2v + 1)^2(v - 1) = \frac{c}{x^3}$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $(\frac{2y + x}{x})^2(\frac{y - x}{x}) = \frac{c}{x^3}$।
$(2y + x)^2(y - x) = c$। अतः $(x - y)(x + 2y)^2 = c$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \left( \log \frac{y}{x} + 1 \right)$.
यह एक समघात अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = v (\log v + 1)$
$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$
$x \frac{dv}{dx} = v \log v$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dv}{v \log v} = \int \frac{dx}{x}$
मान लीजिए $u = \log v$,तब $du = \frac{1}{v} dv$. समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int \frac{du}{u} = \int \frac{dx}{x}$
$\log |u| = \log |x| + \log |c|$
$\log |\log v| = \log |xc|$
$\log v = xc$
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\log \left( \frac{y}{x} \right) = cx$.

(A) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y - x}{y + x}$ है।
$y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{vx - x}{vx + x} = \frac{v - 1}{v + 1}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x\frac{dv}{dx} = \frac{v - 1}{v + 1} - v = \frac{v - 1 - v^2 - v}{v + 1} = -\frac{v^2 + 1}{v + 1}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dx}{x} = -\int \frac{v + 1}{v^2 + 1} dv$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\log_e x = -\left[ \frac{1}{2} \int \frac{2v}{v^2 + 1} dv + \int \frac{1}{v^2 + 1} dv \right] + c$।
$\log_e x = -\frac{1}{2} \log_e(v^2 + 1) - \tan^{-1}v + c$।
$-2$ से गुणा करने पर: $-2\log_e x = \log_e(v^2 + 1) + 2\tan^{-1}v + c$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $-2\log_e x = \log_e\left(\frac{y^2}{x^2} + 1\right) + 2\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) + c$।
$-2\log_e x = \log_e\left(\frac{y^2 + x^2}{x^2}\right) + 2\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) + c$।
$-2\log_e x = \log_e(x^2 + y^2) - 2\log_e x + 2\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) + c$।
अतः,$\log_e(x^2 + y^2) + 2\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) + c = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x + y}$ है।
$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x - vx}{x + vx} = \frac{1 - v}{1 + v}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x \frac{dv}{dx} = \frac{1 - v}{1 + v} - v = \frac{1 - 2v - v^2}{1 + v}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{1 + v}{1 - 2v - v^2} dv = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों को $-1/2$ से गुणा करने पर: $-\frac{1}{2} \frac{-2 - 2v}{1 - 2v - v^2} dv = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\frac{1}{2} \ln|1 - 2v - v^2| = \ln|x| + C_1$।
$-2$ से गुणा करने पर: $\ln|1 - 2v - v^2| = -2 \ln|x| + C_2 = \ln|x^{-2}| + C_2$।
अतः,$1 - 2v - v^2 = \frac{C}{x^2}$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $1 - 2(\frac{y}{x}) - (\frac{y}{x})^2 = \frac{C}{x^2}$।
$x^2$ से गुणा करने पर: $x^2 - 2xy - y^2 = C$,जिसे $y^2 + 2xy - x^2 = c$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(2x - y + 1)dx + (2y - x + 1)dy = 0$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x - y + 1}{2y - x + 1} = \frac{2x - y + 1}{x - 2y - 1}$ प्राप्त होता है।
माना $x = X + h$ और $y = Y + k$। इन्हें प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dY}{dX} = \frac{2X - Y + 2h - k + 1}{X - 2Y + h - 2k - 1}$ प्राप्त होता है।
समीकरण को समघातीय बनाने के लिए,$2h - k + 1 = 0$ और $h - 2k - 1 = 0$ रखने पर,हल $h = -1$ और $k = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dY}{dX} = \frac{2X - Y}{X - 2Y}$।
$Y = vX$ रखने पर,$\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$ होता है।
$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{2 - v}{1 - 2v} \implies X\frac{dv}{dX} = \frac{2 - v}{1 - 2v} - v = \frac{2(v^2 - v + 1)}{1 - 2v}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dX}{X} = \frac{1 - 2v}{2(v^2 - v + 1)} dv$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dX}{X} = -\frac{1}{2} \int \frac{2v - 1}{v^2 - v + 1} dv$।
$\ln|X| = -\frac{1}{2} \ln|v^2 - v + 1| + \ln|c_1| \implies X^2(v^2 - v + 1) = c$।
$v = \frac{Y}{X}$ रखने पर,$Y^2 - XY + X^2 = c$ प्राप्त होता है।
$X = x + 1$ और $Y = y + 1$ रखने पर: $(y + 1)^2 - (y + 1)(x + 1) + (x + 1)^2 = c$।
विस्तार करने पर: $x^2 + y^2 - xy + x + y = c'$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + y^2)dy = xy dx$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x^2 dy + y^2 dy = xy dx$ प्राप्त होता है।
$y = vx$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$dy = v dx + x dv$ प्राप्त होता है।
$(x^2 + v^2 x^2)(v dx + x dv) = x(vx) dx$.
$x^2(1 + v^2)(v dx + x dv) = vx^2 dx$.
$(1 + v^2)(v dx + x dv) = v dx$.
$v dx + x dv + v^3 dx + v^2 x dv = v dx$.
$x dv(1 + v^2) = -v^3 dx$.
$\frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$.
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$.
चूंकि $y(1) = 1$ दिया गया है,इसलिए $-\frac{1}{2} + \ln(1) = C \implies C = -\frac{1}{2}$.
अतः,$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -\frac{1}{2}$.
$y(x_0) = e$ के लिए,$-\frac{x_0^2}{2e^2} + \ln(e) = -\frac{1}{2}$.
$-\frac{x_0^2}{2e^2} + 1 = -\frac{1}{2}$.
$x_0^2 = 3e^2 \implies x_0 = \sqrt{3}e$.

(C) किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर समाकल वक्र की ढाल अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $(1, 0)$ पर ढाल ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए अवकल समीकरण में $x = 1$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(1, 0)} = \frac{1^2 + 0^2}{1^2 - 0^2} = \frac{1 + 0}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1$.
अतः,बिंदु $(1, 0)$ पर ढाल $1$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2xy}$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + v^2x^2}{2vx^2} = \frac{1 + v^2}{2v}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^2}{2v} - v = \frac{1 + v^2 - 2v^2}{2v} = \frac{1 - v^2}{2v}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{2v}{1 - v^2} dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\ln|1 - v^2| = \ln|x| + \ln|c|$.
$-\ln|1 - \frac{y^2}{x^2}| = \ln|xc| \implies \ln|\frac{x^2}{x^2 - y^2}| = \ln|xc|$.
$\frac{x^2}{x^2 - y^2} = xc \implies x = c(x^2 - y^2)$.
चूंकि वक्र $(2, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $2 = c(2^2 - 1^2) = c(3) \implies c = \frac{2}{3}$.
अतः,$x = \frac{2}{3}(x^2 - y^2)$,जिसे सरल करने पर $3x = 2(x^2 - y^2)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ है।
$x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (\log(\frac{y}{x}) + 1)$.
यह एक समघातीय (homogeneous) अवकल समीकरण है।
माना $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v(\log v + 1)$।
$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$।
$x \frac{dv}{dx} = v \log v$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{v \log v} = \int \frac{dx}{x}$।
माना $u = \log v$,तो $du = \frac{1}{v} dv$। समाकलन करने पर $\int \frac{du}{u} = \log x + C$।
$\log(\log v) = \log x + \log c = \log(cx)$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\log v = cx$।
चूंकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $\log(\frac{y}{x}) = cx$।
अतः,$\frac{y}{x} = e^{cx}$,जिसका अर्थ है $y = x e^{cx}$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: ${y^2}\,dx + ({x^2} - xy + {y^2})\,dy = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{{dx}}{{dy}} = -\frac{{{x^2} - xy + {y^2}}}{{{y^2}}}$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $x = vy$,तब $\frac{{dx}}{{dy}} = v + y\frac{{dv}}{{dy}}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + y\frac{{dv}}{{dy}} = -\left( {\frac{{{v^2}{y^2} - vy^2 + {y^2}}}{{{y^2}}}} \right)$
$v + y\frac{{dv}}{{dy}} = -({v^2} - v + 1)$
$y\frac{{dv}}{{dy}} = -{v^2} + v - 1 - v = -({v^2} + 1)$
चरों को अलग करने पर: $\frac{{dv}}{{{v^2} + 1}} = -\frac{{dy}}{y}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{{dv}}{{{v^2} + 1}} = -\int \frac{{dy}}{y}$
${\tan ^{ - 1}}(v) = -\log |y| + C$
$v = \frac{x}{y}$ वापस रखने पर: ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{y}} \right) + \log |y| = C$
अतः,व्यापक हल ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{y}} \right) + \log y + c = 0$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2\left( \frac{y}{x} \right)$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = v - \cos^2(v)$.
यह सरल होकर $x\frac{dv}{dx} = -\cos^2(v)$,या $\sec^2(v) dv = -\frac{dx}{x}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sec^2(v) dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
$\tan(v) = -\log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\tan\left( \frac{y}{x} \right) = -\log|x| + C$.
वक्र $\left( 1, \frac{\pi}{4} \right)$ से गुजरता है,इसलिए $\tan\left( \frac{\pi/4}{1} \right) = -\log(1) + C \implies 1 = 0 + C \implies C = 1$.
अतः,$\tan\left( \frac{y}{x} \right) = -\log(x) + 1 = \log(e) - \log(x) = \log\left( \frac{e}{x} \right)$.
इसलिए,$y = x\tan^{-1}\left[ \log\left( \frac{e}{x} \right) \right]$.

(C) जब तीन सिक्कों को उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ है।
चूंकि शर्त यह है कि चित और पट दोनों आते हैं,इसलिए हम $HHH$ और $TTT$ को हटा देते हैं।
अतः,नया प्रतिदर्श समष्टि $S' = \{HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH\}$ है,इसलिए $n(S') = 6$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है जिसमें ठीक एक चित आता है। $E$ के परिणाम $\{HTT, THT, TTH\}$ हैं,इसलिए $n(E) = 3$ है।
अतः अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S')} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।

(C) मान लीजिए $T$ पट (tail) को और $H$ चित (head) को दर्शाता है।
यह दिया गया है कि पहले दो उछालों में चित नहीं आता है,इसलिए पहले दो उछालों के परिणाम $(T, T)$ हैं।
प्रयोग तब तक जारी रहता है जब तक चित न आ जाए या सिक्का $5$ बार न उछाल लिया जाए।
सिक्के को $5$ बार उछाले जाने के लिए,$3^{rd}$ और $4^{th}$ उछाल में चित नहीं आना चाहिए।
$3^{rd}$ उछाल में पट आने की प्रायिकता $P(T_3) = \frac{1}{2}$ है।
$4^{th}$ उछाल में पट आने की प्रायिकता $P(T_4) = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि ये स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए पहले दो उछालों के पट होने पर सिक्के को $5$ बार उछाले जाने की प्रायिकता $P(T_3) \times P(T_4) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ है।

(B) मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें अंकों का योग $7$ से अधिक है।
मान लीजिए $B$ वह घटना है जिसमें पहले पासे पर $4$ आता है।
पहले पासे पर $4$ आने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)\}$ है।
घटना $B$ में कुल परिणामों की संख्या $n(B) = 6$ है।
वे परिणाम जिनमें योग $7$ से अधिक है,$(4, 4), (4, 5), (4, 6)$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A \cap B) = 3$ है।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।

(D) कुल गेंदों की संख्या = $3 + 6 + 7 = 16$ है।
माना $A$ वह घटना है कि पहली गेंद सफेद है।
माना $B$ वह घटना है कि दूसरी गेंद नीली है।
चूंकि पहली गेंद को वापस नहीं रखा जाता है,इसलिए ये घटनाएं आश्रित हैं।
पहली गेंद के सफेद होने की प्रायिकता $P(A) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$ है।
एक सफेद गेंद निकालने के बाद,थैली में बची हुई गेंदों की संख्या $15$ है।
नीली गेंदों की संख्या $7$ ही रहती है।
यह देखते हुए कि पहली गेंद सफेद थी,दूसरी गेंद के नीले होने की सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A) = \frac{7}{15}$ है।
अतः,पहली गेंद सफेद और दूसरी गेंद नीली होने की प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{6}{16} \times \frac{7}{15} = \frac{3}{8} \times \frac{7}{15} = \frac{1}{8} \times \frac{7}{5} = \frac{7}{40}$ है।

(B) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि संख्या $4$ कम से कम एक बार दिखाई देती है,और $B$ वह घटना है कि संख्याओं का योग $6$ है।
योग $6$ होने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $B = \{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)\}$ है।
इस प्रकार,$B$ में परिणामों की कुल संख्या $n(B) = 5$ है।
घटना $A \cap B$ उन परिणामों को दर्शाती है जहाँ योग $6$ है और संख्या $4$ कम से कम एक बार आती है।
समुच्चय $B$ को देखने पर,$4$ वाले परिणाम $(2, 4)$ और $(4, 2)$ हैं।
अतः,$A \cap B = \{(2, 4), (4, 2)\}$,जिसका अर्थ है $n(A \cap B) = 2$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{2}{5}$ द्वारा दी जाती है।

(A) मान लीजिए $P(\overline{B}) = x$. तब $P(B) = 1 - x$.
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,$P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{5}(1 - x)$.
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{7}{10} = \frac{1}{5} + (1 - x) - \frac{1}{5}(1 - x)$.
$\frac{7}{10} = \frac{1}{5} + (1 - x)(1 - \frac{1}{5})$.
$\frac{7}{10} - \frac{2}{10} = (1 - x)(\frac{4}{5})$.
$\frac{5}{10} = (1 - x)(\frac{4}{5})$.
$\frac{1}{2} = (1 - x)(\frac{4}{5})$.
$1 - x = \frac{1}{2} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{8}$.
चूँकि $P(\overline{B}) = x$,इसलिए $x = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x} = 1 + \frac{y}{x}$ है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$v + x \frac{dv}{dx} = 1 + v$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर,$x \frac{dv}{dx} = 1$ प्राप्त होता है।
चरों को पृथक करने पर,$dv = \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$v = \ln|x| + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y = vx$,इसलिए $\frac{y}{x} = \ln|x| + C$,जिसका अर्थ है $y = x \ln|x| + Cx$।
प्रतिबंध $y(1) = 1$ का उपयोग करते हुए,$x = 1$ और $y = 1$ रखने पर:
$1 = 1 \cdot \ln(1) + C(1) \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$।
अतः,अभीष्ट हल $y = x \ln x + x$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x\frac{dy}{dx} = y - x\tan \left( \frac{y}{x} \right)$.
$x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \tan \left( \frac{y}{x} \right)$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = v - \tan v$.
सरल करने पर: $x\frac{dv}{dx} = -\tan v$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{\tan v} = -\frac{dx}{x}$,अर्थात $\cot v \, dv = -\frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cot v \, dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\ln |\sin v| = -\ln |x| + \ln |c|$.
$\ln |\sin v| + \ln |x| = \ln |c|$.
$\ln |x \sin v| = \ln |c|$.
$x \sin v = c$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर: $x \sin \left( \frac{y}{x} \right) = c$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \sin^2\left( \frac{y}{x} \right)$ है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ होगा।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \sin^2 v$।
इसे सरल करने पर $x \frac{dv}{dx} = -\sin^2 v$,या $-\csc^2 v \, dv = \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\int \csc^2 v \, dv = \int \frac{dx}{x}$।
इससे $\cot v = \log_e x + C$,अर्थात $\cot\left( \frac{y}{x} \right) = \log_e x + C$ प्राप्त होता है।
वक्र बिंदु $\left( 1, \frac{\pi}{4} \right)$ से गुजरता है,इसलिए $\cot\left( \frac{\pi/4}{1} \right) = \log_e 1 + C$।
चूंकि $\cot(\pi/4) = 1$ और $\log_e 1 = 0$,इसलिए $C = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cot\left( \frac{y}{x} \right) = \log_e x + 1 = \log_e x + \log_e e = \log_e(ex)$।
इसलिए,$\frac{y}{x} = \cot^{-1}(\log_e ex)$,जिसका अर्थ है $y = x \cot^{-1}(\log_e ex)$।

(D) एक फलन $f(x, y)$ को $n$ घात का समघातीय फलन कहा जाता है यदि $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n f(x, y)$ हो।
$(A)$ $f(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda x - \lambda y}{(\lambda x)^2 + (\lambda y)^2} = \frac{\lambda(x - y)}{\lambda^2(x^2 + y^2)} = \lambda^{-1} f(x, y)$। यह $-1$ घात का समघातीय फलन है।
$(B)$ $f(\lambda x, \lambda y) = (\lambda x)^{1/3} (\lambda y)^{-2/3} \tan^{-1} \frac{\lambda x}{\lambda y} = \lambda^{1/3 - 2/3} x^{1/3} y^{-2/3} \tan^{-1} \frac{x}{y} = \lambda^{-1/3} f(x, y)$। यह $-1/3$ घात का समघातीय फलन है।
$(C)$ $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda x (\ln \sqrt{\lambda^2(x^2 + y^2)} - \ln(\lambda y)) + \lambda y e^{\frac{\lambda x}{\lambda y}} = \lambda x (\ln \lambda + \ln \sqrt{x^2 + y^2} - \ln \lambda - \ln y) + \lambda y e^{x/y} = \lambda f(x, y)$। यह $1$ घात का समघातीय फलन है।
$(D)$ $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda x [\ln \frac{2\lambda^2 x^2 + \lambda^2 y^2}{\lambda x} - \ln(\lambda x + \lambda y)] + (\lambda y)^2 \tan \frac{\lambda x + 2\lambda y}{3\lambda x - \lambda y} = \lambda x [\ln \frac{\lambda^2(2x^2 + y^2)}{\lambda x} - \ln(\lambda(x + y))] + \lambda^2 y^2 \tan \frac{x + 2y}{3x - y} = \lambda x [\ln \lambda + \ln \frac{2x^2 + y^2}{x(x + y)}] + \lambda^2 y^2 \tan \frac{x + 2y}{3x - y}$। चूंकि $\ln \lambda$ पद को $\lambda^n$ के रूप में बाहर नहीं निकाला जा सकता है,इसलिए यह फलन समघातीय नहीं है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2 \left( \frac{y}{x} \right)$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \cos^2 v$.
सरल करने पर: $x \frac{dv}{dx} = -\cos^2 v$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{\cos^2 v} = -\frac{dx}{x}$,जो कि $\sec^2 v \, dv = -\frac{dx}{x}$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sec^2 v \, dv = -\int \frac{1}{x} \, dx$.
इससे प्राप्त होता है: $\tan v = -\ln |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\tan \left( \frac{y}{x} \right) = -\ln x + C$.
वक्र बिंदु $(1, \frac{\pi}{4})$ से गुजरता है,इसलिए $\tan \left( \frac{\pi/4}{1} \right) = -\ln(1) + C$.
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ और $\ln(1) = 0$,इसलिए $1 = 0 + C$,यानी $C = 1$.
अतः,$\tan \left( \frac{y}{x} \right) = 1 - \ln x = \ln e - \ln x = \ln \left( \frac{e}{x} \right)$.
इसलिए,$y = x \tan^{-1} \left( \ln \frac{e}{x} \right)$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $2x^4y \frac{dy}{dx} + y^4 = 4x^6$.
$y = u^m$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = m u^{m-1} \frac{du}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $2x^4(u^m)(m u^{m-1} \frac{du}{dx}) + (u^m)^4 = 4x^6$.
इसे सरल करने पर: $2m x^4 u^{2m-1} \frac{du}{dx} + u^{4m} = 4x^6$ प्राप्त होता है।
समीकरण के समघातीय होने के लिए,प्रत्येक पद में $x$ और $u$ की घातें समानुपाती होनी चाहिए।
$u^{4m}$ और $x^6$ की घातों की तुलना करने पर,$4m = 6$ प्राप्त होता है,जिससे $m = 3/2$ मिलता है।
प्रथम पद $x^4 u^{2m-1}$ के लिए जाँच करने पर,$2m-1 = 2$ प्राप्त होता है,जिसे हल करने पर $m = 3/2$ मिलता है।
अतः,$m$ का मान $3/2$ है।

(A) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है। $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m = \frac{dy}{dx}$ है। $P$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{m} = -\frac{dx}{dy}$ है।
$P(x, y)$ पर अभिलंब का समीकरण $Y - y = -\frac{dx}{dy} (X - x)$ है।
$x$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$Y = 0$ रखें:
$-y = -\frac{dx}{dy} (X - x) \implies X - x = y \frac{dy}{dx} \implies X = x + y \frac{dy}{dx}$.
$P$ का भुज $x$ है। अभिलंब का $x$-अंतःखंड $X = x + y \frac{dy}{dx}$ है।
$P$ का त्रिज्या सदिश $\sqrt{x^2 + y^2}$ है,इसलिए इसका वर्ग $x^2 + y^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,भुज और $x$-अंतःखंड का गुणनफल त्रिज्या सदिश के वर्ग के दोगुने के बराबर है:
$x \left( x + y \frac{dy}{dx} \right) = 2(x^2 + y^2)$.
$x^2 + xy \frac{dy}{dx} = 2x^2 + 2y^2 \implies xy \frac{dy}{dx} = x^2 + 2y^2$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$x(vx) (v + x \frac{dv}{dx}) = x^2 + 2(vx)^2 \implies x^2 v (v + x \frac{dv}{dx}) = x^2(1 + 2v^2)$.
$v^2 + vx \frac{dv}{dx} = 1 + 2v^2 \implies vx \frac{dv}{dx} = 1 + v^2$.
$\frac{v}{1 + v^2} dv = \frac{1}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{1}{2} \ln(1 + v^2) = \ln x + C \implies \ln(1 + v^2) = \ln x^2 + 2C \implies 1 + v^2 = k x^2$,जहाँ $k = e^{2C}$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $1 + \frac{y^2}{x^2} = k x^2 \implies x^2 + y^2 = k x^4$.
वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $1^2 + 0^2 = k(1)^4 \implies k = 1$.
अतः,समीकरण $x^2 + y^2 = x^4$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2y^2 - 1)dy + 2xy^3dx = 0$ है।
$y = z^{\alpha}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dy = \alpha z^{\alpha - 1} dz$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर:
$(x^2(z^{\alpha})^2 - 1)(\alpha z^{\alpha - 1} dz) + 2x(z^{\alpha})^3 dx = 0$
$(x^2 z^{2\alpha} - 1)(\alpha z^{\alpha - 1} dz) + 2x z^{3\alpha} dx = 0$
$\alpha x^2 z^{3\alpha - 1} dz - \alpha z^{\alpha - 1} dz + 2x z^{3\alpha} dx = 0$
समीकरण के समघातीय होने के लिए,प्रत्येक पद में $x$ और $z$ के घातों का योग समान होना चाहिए।
घातें इस प्रकार हैं:
पद $1$: $x^2 z^{3\alpha - 1} \rightarrow 2 + (3\alpha - 1) = 3\alpha + 1$
पद $2$: $z^{\alpha - 1} \rightarrow 0 + (\alpha - 1) = \alpha - 1$
पद $3$: $x z^{3\alpha} \rightarrow 1 + 3\alpha = 3\alpha + 1$
घातों की तुलना करने पर: $3\alpha + 1 = \alpha - 1$
$2\alpha = -2 \Rightarrow \alpha = -1$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = y \ln \left( \frac{y}{x} \right)$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $x(v + x \frac{dv}{dx}) = vx \ln(v)$.
$x$ से भाग देने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v \ln(v)$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x \frac{dv}{dx} = v \ln(v) - v = v(\ln(v) - 1)$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dv}{v(\ln(v) - 1)} = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{v(\ln(v) - 1)} = \int \frac{dx}{x}$.
माना $u = \ln(v) - 1$,तब $du = \frac{1}{v} dv$.
अतः,$\int \frac{du}{u} = \ln|x| + C$.
$\ln|\ln(v) - 1| = \ln|x| + C$.
$\ln(v) - 1 = Cx$ (जहाँ $C$ एक स्थिरांक है).
$\ln(\frac{y}{x}) = 1 + Cx$.
$\frac{y}{x} = e^{1 + Cx}$.
$y = xe^{1 + Cx}$.

(D) चरण $1$: विकल्प $A$ की जाँच करें। एक फलन $f(x, y)$ को $n$ घात का समघातीय कहा जाता है यदि $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n f(x, y)$ हो। $f(x, y) = e^{y/x} + \tan(y/x)$ के लिए,$f(\lambda x, \lambda y) = e^{(\lambda y)/(\lambda x)} + \tan((\lambda y)/(\lambda x)) = e^{y/x} + \tan(y/x) = \lambda^0 f(x, y)$। अतः,यह $0$ घात का समघातीय है। विकल्प $A$ सत्य है।
चरण $2$: विकल्प $B$ की जाँच करें। अवकल समीकरण $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ समघातीय है यदि $M(x, y)$ और $N(x, y)$ दोनों समान घात के समघातीय फलन हों। यहाँ,$M(x, y) = x \ln(y/x)$ घात $1$ का समघातीय है। $N(x, y) = \frac{y^2}{x} \sin^{-1}(y/x)$ घात $1$ का समघातीय है। चूँकि दोनों $1$ घात के हैं,समीकरण समघातीय है। विकल्प $B$ सत्य है।
चरण $3$: विकल्प $C$ की जाँच करें। $f(x, y) = x^2 + \sin x \cos y$ के लिए,$f(\lambda x, \lambda y) = (\lambda x)^2 + \sin(\lambda x) \cos(\lambda y) = \lambda^2 x^2 + \sin(\lambda x) \cos(\lambda y)$। इसे किसी भी $n$ के लिए $\lambda^n f(x, y)$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। अतः,यह समघातीय नहीं है। विकल्प $C$ सत्य है।
चरण $4$: चूँकि $A, B,$ और $C$ सत्य हैं,सही उत्तर $D$ है।

(D) एक फलन $f(x, y)$ को $n$ घात का समघातीय फलन कहा जाता है यदि $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n f(x, y)$ हो।
$A) f(x, y) = x \sin y + y \sin x$
$f(\lambda x, \lambda y) = \lambda x \sin(\lambda y) + \lambda y \sin(\lambda x) = \lambda(x \sin(\lambda y) + y \sin(\lambda x))$.
चूँकि यह $\lambda^n f(x, y)$ के बराबर नहीं है,इसलिए यह समघातीय नहीं है।
$B) f(x, y) = x e^{y/x} + y e^{x/y}$
$f(\lambda x, \lambda y) = \lambda x e^{\lambda y / \lambda x} + \lambda y e^{\lambda x / \lambda y} = \lambda(x e^{y/x} + y e^{x/y}) = \lambda^1 f(x, y)$.
यह $1$ घात का समघातीय फलन है।
$C) f(x, y) = x^2 - xy$
$f(\lambda x, \lambda y) = (\lambda x)^2 - (\lambda x)(\lambda y) = \lambda^2 x^2 - \lambda^2 xy = \lambda^2(x^2 - xy) = \lambda^2 f(x, y)$.
यह $2$ घात का समघातीय फलन है।
अतः,$(B)$ और $(C)$ दोनों समघातीय फलन हैं।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2 \left( \frac{y}{x} \right)$.
माना $v = \frac{y}{x}$,तो $y = vx$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \cos^2 v$.
यह सरल होकर $x \frac{dv}{dx} = -\cos^2 v$ हो जाता है।
चरों को अलग करने पर: $\sec^2 v \, dv = -\frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sec^2 v \, dv = -\int \frac{dx}{x} \implies \tan v = -\ln |x| + C$.
चूंकि वक्र बिंदु $\left( 1, \frac{\pi}{4} \right)$ से गुजरता है,इसलिए जब $x = 1$ है तो $v = \frac{\pi}{4}$ है।
$\tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = -\ln(1) + C \implies 1 = 0 + C \implies C = 1$.
अतः,$\tan v = 1 - \ln x = \ln e - \ln x = \ln \left( \frac{e}{x} \right)$.
इसलिए,$v = \tan^{-1} \left( \ln \frac{e}{x} \right)$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर,हमें $y = x \tan^{-1} \left( \ln \frac{e}{x} \right)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 - xy)dy = (xy + y^2)dx$ है।
इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{xy + y^2}{x^2 - xy}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।
माना $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x(vx) + (vx)^2}{x^2 - x(vx)} = \frac{v + v^2}{1 - v}$।
$x\frac{dv}{dx} = \frac{v + v^2}{1 - v} - v = \frac{v + v^2 - v + v^2}{1 - v} = \frac{2v^2}{1 - v}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{1 - v}{v^2} dv = \frac{2}{x} dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (v^{-2} - v^{-1}) dv = 2 \int \frac{1}{x} dx$।
$-v^{-1} - \ln|v| = 2\ln|x| + C$।
$v = y/x$ रखने पर: $-\frac{x}{y} - \ln|y/x| = 2\ln|x| + C$।
$-\frac{x}{y} - \ln|y| + \ln|x| = 2\ln|x| + C$।
$-\frac{x}{y} = \ln|y| + \ln|x| + C = \ln|xy| + C$।
अतः,$xy = e^{-x/y - C} = Ce^{-x/y}$।

(B) दिया गया समीकरण: $x \cos \left( \frac{y}{x} \right) (y dx + x dy) = y \sin \left( \frac{y}{x} \right) (x dy - y dx)$
दोनों पक्षों को $xy \cos \left( \frac{y}{x} \right)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{y dx + x dy}{y} = \tan \left( \frac{y}{x} \right) \frac{x dy - y dx}{x}$
$\frac{y dx + x dy}{xy} = \tan \left( \frac{y}{x} \right) \left( \frac{x dy - y dx}{x^2} \right)$
यहाँ $d(xy) = y dx + x dy$ और $d\left( \frac{y}{x} \right) = \frac{x dy - y dx}{x^2}$ है।
अतः,$\frac{d(xy)}{xy} = \tan \left( \frac{y}{x} \right) d\left( \frac{y}{x} \right)$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{d(xy)}{xy} = \int \tan \left( \frac{y}{x} \right) d\left( \frac{y}{x} \right)$
$\ln |xy| = \ln \left| \sec \left( \frac{y}{x} \right) \right| + \ln |c|$
$xy = c \sec \left( \frac{y}{x} \right)$
अतः,$xy \cos \left( \frac{y}{x} \right) = c$ सही हल है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$.
$dx$ से भाग देने पर: $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{x^2 - y^2}$.
$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$x(v + x \frac{dv}{dx}) - vx = \sqrt{x^2 - v^2x^2}$.
$vx + x^2 \frac{dv}{dx} - vx = x \sqrt{1 - v^2}$.
$x^2 \frac{dv}{dx} = x \sqrt{1 - v^2} \implies \frac{dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \int \frac{dx}{x} \implies \sin^{-1}(v) = \ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C$.
चूंकि $y(1) = 0$ दिया है,$x = 1, y = 0$ रखने पर: $\sin^{-1}(0) = \ln(1) + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$.
अतः,$\sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln x \implies \frac{y}{x} = \sin(\ln x) \implies y = x \sin(\ln x)$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 - y^2) \, dx + 2xy \, dy = 0$ है।
इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह एक समघात अवकल समीकरण है,हम $y = ux$ रखते हैं,जिससे $\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $u + x \frac{du}{dx} = \frac{u^2 x^2 - x^2}{2x(ux)} = \frac{u^2 - 1}{2u}$।
$x \frac{du}{dx} = \frac{u^2 - 1}{2u} - u = \frac{u^2 - 1 - 2u^2}{2u} = \frac{-(1 + u^2)}{2u}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{2u}{1 + u^2} \, du = - \int \frac{1}{x} \, dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln(1 + u^2) = -\ln|x| + \ln|C|$।
$\ln(1 + u^2) = \ln\left(\frac{C}{x}\right) \Rightarrow 1 + u^2 = \frac{C}{x}$।
$u = \frac{y}{x}$ रखने पर: $1 + \frac{y^2}{x^2} = \frac{C}{x} \Rightarrow \frac{x^2 + y^2}{x^2} = \frac{C}{x} \Rightarrow x^2 + y^2 = Cx$।
चूंकि वक्र बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $1^2 + 1^2 = C(1) \Rightarrow C = 2$।
अतः,वक्र का समीकरण $x^2 + y^2 = 2x$ है,जिसे $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{2(xy^2 - x^2)}$ है।
माना $z = y^2$. तब $\frac{dz}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \frac{dz}{dx}$ को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2y} \frac{dz}{dx} = \frac{y^3}{2(xy^2 - x^2)} \implies \frac{dz}{dx} = \frac{y^4}{xy^2 - x^2} = \frac{z^2}{xz - x^2}$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dz}{dx} = \frac{(z/x)^2}{(z/x) - 1}$ प्राप्त होता है। यह $z$ और $x$ के पदों में एक समघातीय अवकल समीकरण है। अतः,कथन $-1$ सही है।
$\frac{dz}{dx} = \frac{z^2}{xz - x^2}$ को हल करने के लिए,$z = vx$ रखें,तो $\frac{dz}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2 x^2}{x(vx) - x^2} = \frac{v^2}{v - 1}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{v - 1} - v = \frac{v}{v - 1}$.
$\int \frac{v - 1}{v} dv = \int \frac{1}{x} dx \implies v - \ln|v| = \ln|x| + C$.
$\frac{z}{x} - \ln|\frac{z}{x}| = \ln|x| + C \implies \frac{y^2}{x} = \ln|y^2| + C$.
यह $y^2 e^{-y^2/x} = C$ से मेल नहीं खाता है। अतः,कथन $-2$ गलत है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ है।
$y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2 + v^2 x^2} = \frac{v}{1 + v^2}$।
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1 + v^2} = -\frac{v^3}{1 + v^2}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\int \frac{dx}{x}$।
$\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|\frac{y}{x}| = -\ln|x| + C$।
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C \implies -\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$।
$y(1) = 1$ का उपयोग करने पर: $-\frac{1^2}{2(1)^2} + \ln(1) = C \implies C = -\frac{1}{2}$।
समीकरण $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -\frac{1}{2}$ है।
$y = e$ के लिए: $-\frac{x^2}{2e^2} + \ln(e) = -\frac{1}{2} \implies -\frac{x^2}{2e^2} + 1 = -\frac{1}{2}$।
$-\frac{x^2}{2e^2} = -\frac{3}{2} \implies x^2 = 3e^2 \implies x = \sqrt{3}e$।

(NONE) $52$ पत्तों की गड्डी में $4$ राजा,$4$ रानियाँ और $4$ गुलाम होते हैं।
$P(E) = P(\text{राजा या रानी}) = \frac{4+4}{52} = \frac{8}{52} = \frac{2}{13}$.
$P(F) = P(\text{रानी या गुलाम}) = \frac{4+4}{52} = \frac{8}{52} = \frac{2}{13}$.
घटना $E \cap F$ यह दर्शाती है कि पत्ता रानी है (क्योंकि रानी दोनों समूहों में सामान्य है)।
$P(E \cap F) = P(\text{रानी}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
अब,स्वतंत्रता की जाँच करें: $P(E) \times P(F) = \frac{2}{13} \times \frac{2}{13} = \frac{4}{169}$.
चूँकि $P(E \cap F) = \frac{1}{13} = \frac{13}{169}$,और $\frac{4}{169} \neq \frac{13}{169}$,इसलिए $P(E \cap F) \neq P(E) \times P(F)$.
अतः,घटनाएँ $E$ और $F$ स्वतंत्र नहीं हैं।

(N/A) दिए गए अवकल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x+2y}{x-y}$ ............$(1)$
माना $F(x, y) = \frac{x+2y}{x-y}$.
अब $F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda(x+2y)}{\lambda(x-y)} = \lambda^0 \cdot F(x, y)$.
अतः,$F(x, y)$ शून्य घात का एक समघातीय फलन है। इसलिए,दिया गया अवकल समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है।
वैकल्पिक रूप से,
$\frac{dy}{dx} = \frac{1+2(y/x)}{1-(y/x)} = g(y/x)$ .............$(2)$
चूंकि $R.H.S.$ $y/x$ का फलन है,यह शून्य घात का समघातीय फलन है।
इसे हल करने के लिए,$y = vx$ प्रतिस्थापन करते हैं ...........$(3)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ ...........$(4)$
$(3)$ और $(4)$ को $(1)$ में रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1+2v}{1-v}$
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+2v}{1-v} - v = \frac{v^2+v+1}{1-v}$
$\frac{v-1}{v^2+v+1} dv = -\frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{v-1}{v^2+v+1} dv = -\int \frac{dx}{x}$
$\frac{1}{2} \log|v^2+v+1| - \sqrt{3} \tan^{-1}\left(\frac{2v+1}{\sqrt{3}}\right) = -\log|x| + C_1$
$v = y/x$ रखने पर:
$\log|x^2+xy+y^2| = 2\sqrt{3} \tan^{-1}\left(\frac{2y+x}{\sqrt{3}x}\right) + C$.

(N/A) दिए गए अवकल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{d y}{d x}=\frac{y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x}{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$ ............$(1)$
यह $\frac{d y}{d x}=F(x, y)$ के रूप का अवकल समीकरण है।
यहाँ $F(x, y) = \frac{y \cos \left(\frac{y}{x}\right) + x}{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$.
$x$ को $\lambda x$ और $y$ को $\lambda y$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda y \cos \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right) + \lambda x}{\lambda x \cos \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)} = \frac{\lambda [y \cos (y/x) + x]}{\lambda [x \cos (y/x)]} = \lambda^0 F(x, y)$.
चूंकि $F(x, y)$ शून्य घात का एक समघातीय फलन है,इसलिए दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
इसे हल करने के लिए,$y = vx$ प्रतिस्थापित करें,जिससे $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx \cos v + x}{x \cos v} = \frac{v \cos v + 1}{\cos v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + 1}{\cos v} - v = \frac{1}{\cos v}$.
चरों को पृथक करने पर: $\cos v \, dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cos v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$.
$\sin v = \log |x| + C$.
$v = y/x$ रखने पर,व्यापक हल $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + C$ प्राप्त होता है।