यदि f(x) = begin{cases} x^2 & text{यदि } x le | vedclass

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Question

(A) $f(x)$ को $x = x_0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = x_0$ पर सतत होना चाहिए। $x = x_0$ पर सांतत्य का अर्थ है $\lim_{x 	o x_0^-} f(x) = \lim_{x 	o

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$2x_0, -x_0^2$

Vedclass · Answer

(A) $f(x)$ को $x = x_0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = x_0$ पर सतत होना चाहिए। $x = x_0$ पर सांतत्य का अर्थ है $\lim_{x 	o x_0^-} f(x) = \lim_{x 	o x_0^+} f(x) = f(x_0)$। $\lim_{x 	o x_0^-} x^2 = x_0^2$ और $\lim_{x 	o x_0^+} (ax + b) = ax_0 + b$। अतः,$x_0^2 = ax_0 + b$ (समीकरण $1$)। $x = x_0$ पर अवकलनीयता के लिए,बायां अवकलज दाएं अवकलज के बराबर होना चाहिए। $f'(x) = \begin{cases} 2x & 	ext{यदि } x  x_0 \end{cases}$। $x = x_0$ पर अवकलज की तुलना करने पर: $2x_0 = a$। $a = 2x_0$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $x_0^2 = (2x_0)x_0 + b$। $x_0^2 = 2x_0^2 + b \implies b = -x_0^2$। इस प्रकार,$a = 2x_0$ और $b = -x_0^2$।

यदि $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{यदि } x \leqslant x_0 \\ ax + b & \text{यदि } x > x_0 \end{cases}$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए अवकलनीय है,तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या हैं?

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यदि $f(x) = \begin{cases} 2x+3, & x \leq 1 \\ ax^{2}+bx, & x > 1 \end{cases}$ सभी $x \in R$ के लिए अवकलनीय है,तो $f(2) = $ . . . . . . .

यदि $f(x)=\begin{cases} \frac{2 x e^{\frac{1}{2 x}}-3 x e^{\frac{-1}{2 x}}}{e^{\frac{1}{2 x}}+4 e^{\frac{-1}{2 x}}} & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0 & \text{यदि } x=0 \end{cases}$ एक वास्तविक मान वाला फलन है,तो:

यदि $f(x) = \begin{cases} x[x], & 0 \le x < 2 \\ (x-1)[x], & 2 \le x \le 4 \end{cases}$,जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,तो:

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