यदि f(x + y) = f(x) + f(y) + |x|y + xy^2,fora | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x + y) = f(x) + f(y) + |x|y + xy^2$. $x = 0, y = 0$ रखने पर,हमें $f(0) = f(0) + f(0) + 0 + 0$ प्राप्त होता है,अतः $f(0) = 0$. परिभा

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$f$ सभी $x \in R$ के लिए अवकलनीय है

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $f(x + y) = f(x) + f(y) + |x|y + xy^2$. $x = 0, y = 0$ रखने पर,हमें $f(0) = f(0) + f(0) + 0 + 0$ प्राप्त होता है,अतः $f(0) = 0$. परिभाषा के अनुसार,$f'(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$. दिए गए फलन समीकरण को प्रतिस्थापित करने पर: $f'(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(x) + f(h) + |x|h + xh^2 - f(x)}{h}$. $f'(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h) + |x|h + xh^2}{h} = \lim_{h 	o 0} \left( \frac{f(h) - f(0)}{h} + |x| + xh ight)$. चूँकि $f'(0) = 0$,इसलिए $f'(x) = f'(0) + |x| + 0 = |x|$. चूँकि $f'(x) = |x|$,अवकलज सभी $x \in R$ के लिए विद्यमान है। अतः,$f$ सभी $x \in R$ के लिए अवकलनीय है।

यदि $f(x + y) = f(x) + f(y) + |x|y + xy^2$,$\forall x, y \in R$ और $f'(0) = 0$ है,तो

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