मान लीजिए f(x) = begin{cases} a cot^{-1} left | vedclass

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Question

(D) $f(x)$ के $x=0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x=0$ पर सतत होना चाहिए। अतः,$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0) = 2$. $\lim_{x 	o 0

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$48$

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(D) $f(x)$ के $x=0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x=0$ पर सतत होना चाहिए। अतः,$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0) = 2$. $\lim_{x 	o 0^-} a \cot^{-1} \left( \frac{b+x}{4} ight) = a \cot^{-1} \left( \frac{b}{4} ight) = 2$. $\lim_{x 	o 0^+} \frac{\ln(1-cx)}{x} = -c = 2 \implies c = -2$. अब,अवकलनीयता के लिए,$f'(0^-) = f'(0^+)$. $f'(x) = a \left( -\frac{1}{1 + (\frac{b+x}{4})^2} ight) \cdot \frac{1}{4} = -\frac{4a}{16 + (b+x)^2}$. $f'(0^-) = -\frac{4a}{16 + b^2}$. $x > 0$ के लिए,$f(x) = \frac{\ln(1-cx)}{x} = -c - \frac{c^2x}{2} - \dots$. $f'(0^+) = -\frac{c^2}{2} = -\frac{(-2)^2}{2} = -2$. अवकलजों की तुलना करने पर: $-\frac{4a}{16+b^2} = -2 \implies 2a = 16+b^2$. दिए गए विकल्पों के अनुसार,$(b^2 - 2a + c^6) = 0 - 2(8) + (-2)^6 = -16 + 64 = 48$.

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