f(x) = begin{cases} [cos pi x]; & x leqslant | vedclass

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Question

(D) सबसे पहले,हम $x = 1$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं: $f(1) = [\cos(\pi)] = [-1] = -1$.अब,हम $x = 1$ पर बाएँ पक्ष का अवकलज ज्ञात करते हैं:$f'(1^-) =

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उपरोक्त सभी

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(D) सबसे पहले,हम $x = 1$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं: $f(1) = [\cos(\pi)] = [-1] = -1$.अब,हम $x = 1$ पर बाएँ पक्ष का अवकलज ज्ञात करते हैं:$f'(1^-) = \lim_{h 	o 0^+} \frac{f(1-h) - f(1)}{-h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{[\cos(\pi(1-h))] - (-1)}{-h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{[\cos(\pi - \pi h)] + 1}{-h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{[-\cos(\pi h)] + 1}{-h}$.छोटे $h > 0$ के लिए,$\cos(\pi h)$,$1$ से थोड़ा कम है,इसलिए $-\cos(\pi h)$,$-1$ से थोड़ा अधिक है। अतः,$[-\cos(\pi h)] = -1$.इसलिए,$f'(1^-) = \lim_{h 	o 0^+} \frac{-1 + 1}{-h} = 0$.अब,हम $x = 1$ पर दाएँ पक्ष का अवकलज ज्ञात करते हैं:$f'(1^+) = \lim_{h 	o 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{2\{1+h\} - 1 - (-1)}{h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{2h}{h} = 2$.चूँकि $f'(1^-) = 0$ और $f'(1^+) = 2$ है,बाएँ पक्ष का अवकलज और दाएँ पक्ष का अवकलज समान नहीं हैं।अतः,$f(x)$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।

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