यदि f(x) = a|sin x| + be^{|x|} + c|x|^3,जहाँ | vedclass

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Question

(D) फलन $f(x) = a|\sin x| + be^{|x|} + c|x|^3$,$x = 0$ पर अवकलनीय है यदि और केवल यदि प्रत्येक घटक अवकलनीय हो या उनके गैर-अवकलनीय भाग एक-दूसरे को निरस्

Vedclass · Accepted Answer

$a = 0, b = 0, c$ कोई भी वास्तविक संख्या है

Vedclass · Answer

(D) फलन $f(x) = a|\sin x| + be^{|x|} + c|x|^3$,$x = 0$ पर अवकलनीय है यदि और केवल यदि प्रत्येक घटक अवकलनीय हो या उनके गैर-अवकलनीय भाग एक-दूसरे को निरस्त कर दें।सबसे पहले,$|\sin x|$ पर विचार करें। $x = 0$ पर बायां अवकलज $\lim_{h 	o 0^-} \frac{|\sin h| - 0}{h} = \lim_{h 	o 0^-} \frac{-\sin h}{h} = -1$ है। दायां अवकलज $\lim_{h 	o 0^+} \frac{\sin h}{h} = 1$ है। चूंकि $-1 
eq 1$,इसलिए $|\sin x|$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।दूसरा,$e^{|x|}$ पर विचार करें। $x = 0$ पर बायां अवकलज $\lim_{h 	o 0^-} \frac{e^{-h} - 1}{h} = -1$ है। दायां अवकलज $\lim_{h 	o 0^+} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ है। चूंकि $-1 
eq 1$,इसलिए $e^{|x|}$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।तीसरा,$|x|^3$ पर विचार करें। चूंकि $|x|^3 = x^3$ ($x \ge 0$ के लिए) और $-x^3$ ($x $f(x)$ को $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,गैर-अवकलनीय भागों को शून्य होना चाहिए। इसके लिए $a = 0$ और $b = 0$ होना आवश्यक है। स्थिरांक $c$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है क्योंकि $|x|^3$ पहले से ही अवकलनीय है।अतः,सही विकल्प $D$ है।

यदि $f(x) = a|\sin x| + be^{|x|} + c|x|^3$,जहाँ $a, b, c \in \mathbb{R}$,$x = 0$ पर अवकलनीय है,तो:

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मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x^2 \left| \cos \frac{\pi}{x} \right|, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$,$x \in \mathbb{R}$,तो $f$ है

यदि $f(x) = \begin{cases} ax^2 + b; & x \le 0 \\ x^2; & x > 0 \end{cases}$ का $x = 0$ पर अवकलज (derivative) विद्यमान है,तो:

यदि फलन $g(x) = \begin{cases} k\sqrt{x+1}, & 0 \le x \le 3 \\ mx + 2, & 3 < x \le 5 \end{cases}$ अवकलनीय है,तो $k+m$ का मान ज्ञात कीजिए:

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