मान लीजिए [x],x से छोटा या उसके बराबर का महत् | vedclass

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Question

(D) फलन $f(x) = x \cos(\pi(x + [x]))$ है। एक फलन उन बिंदुओं पर असंतत होता है जहाँ बायां सीमा $(LHL)$ दाएं सीमा $(RHL)$ या फलन के मान के बराबर नहीं होत

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$A, C, D$

Vedclass · Answer

(D) फलन $f(x) = x \cos(\pi(x + [x]))$ है। एक फलन उन बिंदुओं पर असंतत होता है जहाँ बायां सीमा $(LHL)$ दाएं सीमा $(RHL)$ या फलन के मान के बराबर नहीं होती है।किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,अंतराल $[n, n+1)$ में,$[x] = n$ होता है। अतः,$f(x) = x \cos(\pi(x + n))$।$1$. $x = -1$ पर:$LHL = \lim_{x 	o -1^-} x \cos(\pi(x - 2)) = -1 \cos(-3\pi) = -1(-1) = 1$.$RHL = \lim_{x 	o -1^+} x \cos(\pi(x - 1)) = -1 \cos(-2\pi) = -1(1) = -1$.चूंकि $LHL 
eq RHL$,इसलिए $f(x)$,$x = -1$ पर असंतत है।$2$. $x = 0$ पर:$LHL = \lim_{x 	o 0^-} x \cos(\pi(x - 1)) = 0 \cos(-\pi) = 0$.$RHL = \lim_{x 	o 0^+} x \cos(\pi x) = 0 \cos(0) = 0$.चूंकि $LHL = RHL = f(0) = 0$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर संतत है।$3$. $x = 1$ पर:$LHL = \lim_{x 	o 1^-} x \cos(\pi(x)) = 1 \cos(\pi) = -1$.$RHL = \lim_{x 	o 1^+} x \cos(\pi(x + 1)) = 1 \cos(2\pi) = 1$.चूंकि $LHL 
eq RHL$,इसलिए $f(x)$,$x = 1$ पर असंतत है।$4$. $x = 2$ पर:$LHL = \lim_{x 	o 2^-} x \cos(\pi(x + 1)) = 2 \cos(3\pi) = -2$.$RHL = \lim_{x 	o 2^+} x \cos(\pi(x + 2)) = 2 \cos(4\pi) = 2$.चूंकि $LHL 
eq RHL$,इसलिए $f(x)$,$x = 2$ पर असंतत है।अतः,फलन $x = -1, 1, 2$ पर असंतत है। सही विकल्प $D$ है।

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यदि फलन $f$ बिंदु $x = \pi$ पर संतत है और $f(x) = \begin{cases} kx+1; & x \leq \pi \\ \cos x; & x > \pi \end{cases}$ है,तो $k$ का मान $\dots \dots \dots$ है।

यदि $f(x) = \begin{cases} [x] + [-x], & x \ne 2 \\ \lambda, & x = 2 \end{cases},$ है,तो $\lambda$ के किस मान के लिए $f,$ $x = 2$ पर सतत है? (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है).

यदि $x \in (-1, 2)$ के लिए $f(x) = [x]$ है,तो $f$ कहाँ असतत (discontinuous) है? (जहाँ $[x]$ फ्लोर फलन को दर्शाता है)

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