यदि फलन f(x) = begin{cases} frac{log_{e}(1-x+ | vedclass

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Question

(A) फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$k = \lim_{x 	o 0} f(x)$ होना चाहिए।दिया गया है $f(x) = \frac{\ln(1-x+x^2) + \ln(1+x+x^2)}{\sec x - \cos x}$।गु

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(A) फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$k = \lim_{x 	o 0} f(x)$ होना चाहिए।दिया गया है $f(x) = \frac{\ln(1-x+x^2) + \ln(1+x+x^2)}{\sec x - \cos x}$।गुणधर्म $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$ का उपयोग करने पर,अंश $\ln((1-x+x^2)(1+x+x^2)) = \ln(1+x^2+x^4)$ हो जाता है।हर $\frac{1}{\cos x} - \cos x = \frac{1-\cos^2 x}{\cos x} = \frac{\sin^2 x}{\cos x}$ है।अतः,$\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} \frac{\ln(1+x^2+x^4) \cdot \cos x}{\sin^2 x}$।$(x^2+x^4)$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\lim_{x 	o 0} \left( \frac{\ln(1+x^2+x^4)}{x^2+x^4} ight) \cdot \left( \frac{x^2+x^4}{\sin^2 x} ight) \cdot \cos x$।चूंकि $\lim_{u 	o 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$ और $\lim_{x 	o 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,इसलिए सीमा $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ है।अतः,$k = 1$।

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\log_{e}(1-x+x^{2}) + \log_{e}(1+x+x^{2})}{\sec x - \cos x}, & x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) - \{0\} \\ k, & x = 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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