मान लीजिए f:(0,1) rightarrow R एक फलन है जिसे | vedclass

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Question

(C) $x \in \left[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right)$ के लिए,$f(x) = \sqrt{n}$ है। जैसे $x \rightarrow 0$,$n \rightarrow \infty$,इसलिए $f(x) \approx \fr

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$2$ के बराबर है

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(C) $x \in \left[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}ight)$ के लिए,$f(x) = \sqrt{n}$ है। जैसे $x ightarrow 0$,$n ightarrow \infty$,इसलिए $f(x) \approx \frac{1}{\sqrt{x}}$.दिया गया है $\int_{x^2}^x \sqrt{\frac{1-t}{t}} dt मान लीजिए $I(x) = \int_{x^2}^x \sqrt{\frac{1-t}{t}} dt$ है। $t = \sin^2 	heta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$dt = 2\sin 	heta \cos 	heta d	heta$,हमें $\int 2\cos^2 	heta d	heta = 	heta + \frac{1}{2}\sin 2	heta = \arcsin \sqrt{t} + \sqrt{t(1-t)}$ प्राप्त होता है।अतः,$I(x) = [\arcsin \sqrt{t} + \sqrt{t(1-t)}]_{x^2}^x = \arcsin \sqrt{x} + \sqrt{x(1-x)} - \arcsin x - x\sqrt{1-x^2}$ है।जैसे $x ightarrow 0$,$I(x) \approx \sqrt{x} + \sqrt{x} - 0 - 0 = 2\sqrt{x}$।चूंकि $f(x) \approx \frac{1}{\sqrt{x}}$,इसलिए $f(x)g(x) \approx \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (2\sqrt{x}) = 2$ है।स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$\lim_{x ightarrow 0} f(x)g(x) = 2$ है।

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