Tangent and Normal Questions in Hindi

(A) दिए गए वक्र $y=e^{2(1+x)-4}$ और $x^2 y=1$ हैं।
बिंदु $(1,1)$ पर,हम दोनों वक्रों के स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करते हैं।
प्रथम वक्र $y=e^{2(1+x)-4}$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $y' = e^{2(1+x)-4} \cdot 2$ प्राप्त होता है।
$(1,1)$ पर,ढाल $m_1 = y'(1) = e^{2(1+1)-4} \cdot 2 = e^0 \cdot 2 = 2$ है।
दूसरे वक्र $x^2 y = 1$ के लिए,$y = x^{-2}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $y' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$ प्राप्त होता है।
$(1,1)$ पर,ढाल $m_2 = y'(1) = -\frac{2}{1^3} = -2$ है।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2 - (-2)}{1 + (2)(-2)} \right| = \left| \frac{4}{1 - 4} \right| = \left| \frac{4}{-3} \right| = \frac{4}{3}$।
चूंकि $\tan \theta = \frac{4}{3}$,हम एक समकोण त्रिभुज पर विचार कर सकते हैं जिसकी सम्मुख भुजा $4$ और आसन्न भुजा $3$ है। कर्ण $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ है।
अतः,$\sin \theta = \frac{4}{5}$ और $\cos \theta = \frac{3}{5}$।
इसलिए,$|\sin \theta| + |\cos \theta| = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{7}{5}$।

(B) दिया गया वक्र: $x=1+\frac{1}{y^2}$ ...$(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $1 = -\frac{2}{y^3} \cdot \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y^3}{2}$.
बिंदु $A(2,1)$ पर,ढाल $m_1 = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2,1)} = -\frac{1^3}{2} = -\frac{1}{2}$.
$A(2,1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण: $(y-1) = -\frac{1}{2}(x-2) \Rightarrow 2y - 2 = -x + 2 \Rightarrow x + 2y = 4$ ...(ii)
बिंदु $B$ ज्ञात करने के लिए,$x = 4-2y$ को वक्र के समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$4-2y = 1 + \frac{1}{y^2} \Rightarrow 3-2y = \frac{1}{y^2} \Rightarrow 3y^2 - 2y^3 = 1 \Rightarrow 2y^3 - 3y^2 + 1 = 0$.
चूंकि $A(2,1)$ वक्र पर है,$y=1$ एक हल है। गुणनखंड करने पर: $(y-1)^2(2y+1) = 0$.
हल $y=1$ ($A$ पर) और $y=-\frac{1}{2}$ ($B$ पर) हैं।
$y = -\frac{1}{2}$ के लिए,$x = 4 - 2(-\frac{1}{2}) = 5$. अतः,$B = (5, -\frac{1}{2})$.
$B(5, -\frac{1}{2})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{(-1/2)^3}{2} = -\frac{-1/8}{2} = \frac{1}{16}$.
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{-1/2 - 1/16}{1 + (-1/2)(1/16)} \right| = \left| \frac{-9/16}{1 - 1/32} \right| = \left| \frac{-9/16}{31/32} \right| = \frac{18}{31}$.
चूंकि $\tan \theta = \frac{18}{31} \neq 0$ और $\tan \theta \neq \infty$,इसलिए कोण न तो $0$ है और न ही $\frac{\pi}{2}$।

(C) दिया गया वक्र $y^2 = x + \sin x$ है ...$(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 1 + \cos x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \cos x}{2y}$.
अभिलंब की प्रवणता $m = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{2y}{1 + \cos x}$ है।
अभिलंब के $Y$-अक्ष के समांतर होने के लिए,प्रवणता अपरिभाषित होनी चाहिए,अर्थात $1 + \cos x = 0$।
इसका अर्थ है $\cos x = -1$,जिसका अर्थ है $x = (2n+1)\pi$ किसी पूर्णांक $n$ के लिए।
इन बिंदुओं पर,$\sin x = 0$ होता है।
मूल समीकरण $(i)$ में $\sin x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^2 = x + 0$ या $y^2 = x$ प्राप्त होता है।
यह एक परवलय का समीकरण है।

(B) दिए गए वक्र $x y=1$ के लिए,$y = \frac{1}{x}$ है।
अवकलन करने पर: $\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = -\frac{1}{x^2}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n$ स्पर्श रेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम है: $m_n = -\frac{1}{m_t} = x^2$।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2 \geq 0$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल गैर-ऋणात्मक $(m_n \geq 0)$ होनी चाहिए।
अभिलंब का दिया गया समीकरण $(a^2-1) x+a y+(3-a)=0$ है,जिसे $a y = -(a^2-1) x - (3-a)$ या $y = -\frac{a^2-1}{a} x - \frac{3-a}{a}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m = -\frac{a^2-1}{a} = \frac{1-a^2}{a}$ है।
चूंकि $m \geq 0$,इसलिए $\frac{1-a^2}{a} \geq 0$ है।
$-1$ से गुणा करने पर असमिका बदल जाती है: $\frac{a^2-1}{a} \leq 0$,जो कि $\frac{(a-1)(a+1)}{a} \leq 0$ है।
साइन स्कीम (वेवी कर्व मेथड) का उपयोग करने पर,$a$ के मान $a \in (-\infty, -1] \cup (0, 1]$ प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया वक्र $y = \sin x$ है। अवकलन करने पर $\frac{dy}{dx} = \cos x$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(h, k)$ पर अभिलंब की ढाल $m = -\frac{1}{\cos h}$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाले अभिलंब का समीकरण $y - 0 = m(x - 0)$ है,जो $y = -\frac{1}{\cos h} x$ हो जाता है।
चूंकि बिंदु $P(h, k)$ अभिलंब पर स्थित है,इसलिए $k = -\frac{h}{\cos h}$,जिसका अर्थ है $\cos h = -\frac{h}{k}$।
साथ ही,$P(h, k)$ वक्र $y = \sin x$ पर स्थित है,इसलिए $k = \sin h$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin^2 h + \cos^2 h = 1$ का उपयोग करने पर: $k^2 + (-\frac{h}{k})^2 = 1$।
इसे सरल करने पर $k^2 + \frac{h^2}{k^2} = 1$,या $k^4 + h^2 = k^2$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,$P$ का बिंदुपथ $x^2 + y^4 = y^2$ या $x^2 = y^2 - y^4$ है।

(C) दिया गया वक्र $y=x^3$ है।
बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^2$ है। $x=\alpha$ पर,ढाल $3\alpha^2$ है।
$(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $(y-\beta) = 3\alpha^2(x-\alpha)$ है।
चूंकि $(\alpha_1, \beta_1)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $\beta_1 = \alpha_1^3$ और $\beta = \alpha^3$ है।
इन मानों को स्पर्श रेखा के समीकरण में रखने पर: $\alpha_1^3 - \alpha^3 = 3\alpha^2(\alpha_1 - \alpha)$।
$(\alpha_1 - \alpha)$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $\alpha_1 \neq \alpha$): $\alpha_1^2 + \alpha_1\alpha + \alpha^2 = 3\alpha^2$।
$\alpha_1^2 + \alpha_1\alpha - 2\alpha^2 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(\alpha_1 - \alpha)(\alpha_1 + 2\alpha) = 0$।
चूंकि $\alpha_1 \neq \alpha$,इसलिए $\alpha_1 = -2\alpha$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\beta_1}{\beta} = \frac{\alpha_1^3}{\alpha^3} = \left(\frac{\alpha_1}{\alpha}\right)^3 = (-2)^3 = -8$।

(C) दिया गया वक्र समीकरण: $x^3 y^2 + \frac{x^2}{y} = 5$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$3x^2 y^2 + 2x^3 y \frac{dy}{dx} + \frac{2x}{y} - \frac{x^2}{y^2} \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\left(2x^3 y - \frac{x^2}{y^2}\right) \frac{dy}{dx} = -\left(3x^2 y^2 + \frac{2x}{y}\right)$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x(3xy^3 + 2)}{y(2x^3 y^2 - x^2)}$.
चूँकि स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के समांतर है,$\frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $3xy^3 + 2 = 0$.
यह समीकरण $f(x, y) = 0$ है।
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर:
$\left(-2, \frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)$ के लिए:
$3(-2)\left(\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)^3 + 2 = 3(-2)\left(\frac{1}{3}\right) + 2 = -2 + 2 = 0$.
अतः,बिंदु $\left(-2, \frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)$ समीकरण को संतुष्ट करता है।

(C) दिया गया वक्र $x=e^{\sin y}$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\log x = \sin y$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{x} = \cos y \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \cos y}$।
बिंदु $(1,0)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1,0)} = \frac{1}{1 \cdot \cos 0} = \frac{1}{1 \cdot 1} = 1$ है।
बिंदु $(1,0)$ पर अभिलंब की ढाल $m = -\frac{1}{\text{स्पर्श रेखा की ढाल}} = -\frac{1}{1} = -1$ है।
बिंदु $(1,0)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 0 = -1(x - 1)$ है,जिसे सरल करने पर $y = -x + 1$ या $x + y = 1$ प्राप्त होता है।
यह रेखा $x$-अक्ष को $A(1,0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0,1)$ पर काटती है।
अभिलंब द्वारा निर्देशांक अक्षों के साथ बना त्रिभुज $\triangle OAB$ है,जहाँ $O$ मूल बिंदु $(0,0)$ है।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2} \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) दिया गया वक्र समीकरण: $(x^2+1)(y-3)=x$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$(x^2+1) \frac{dy}{dx} + (2x)(y-3) = 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 2x(y-3)}{x^2+1}$
चूंकि स्पर्श रेखा एक क्षैतिज रेखा है,इसलिए ढाल $\frac{dy}{dx} = 0$ होगी।
अतः,$1 - 2x(y-3) = 0 \Rightarrow 2x(y-3) = 1$ ... $(ii)$
$(i)$ से,$(y-3) = \frac{x}{x^2+1}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $(ii)$ में रखने पर: $2x \left( \frac{x}{x^2+1} \right) = 1$
$2x^2 = x^2 + 1 \Rightarrow x^2 = 1$.
चूंकि बिंदु $P$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $x = 1$ होगा।
$x=1$ को $(i)$ में रखने पर: $(1^2+1)(y-3) = 1 \Rightarrow 2(y-3) = 1 \Rightarrow y-3 = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{7}{2}$.
बिंदु $P$ के निर्देशांक $(1, \frac{7}{2})$ हैं।
चूंकि स्पर्श रेखा क्षैतिज है,इसलिए अभिलंब $x=1$ से गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा होगी।
अतः अभिलंब का समीकरण $x = 1$ है।

(C) दिया गया वक्र $y = \sin x$ है। किसी भी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \cos x_1$ है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $(y - y_1) = \cos x_1(x - x_1)$ है।
चूंकि यह स्पर्श रेखा बिंदु $(0, \pi)$ से होकर गुजरती है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\pi - y_1) = \cos x_1(0 - x_1) = -x_1 \cos x_1$.
चूंकि $y_1 = \sin x_1$,इसलिए $\cos x_1 = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x_1} = \pm \sqrt{1 - y_1^2}$.
इसे समीकरण में रखने पर: $(\pi - y_1) = -x_1(\pm \sqrt{1 - y_1^2})$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(\pi - y_1)^2 = x_1^2(1 - y_1^2)$ प्राप्त होता है।
$(x_1, y_1)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $x^2(1 - y^2) = (y - \pi)^2$ है।

(C) दिया गया वक्र $y = \cosh x$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ के सबसे निकटतम बिंदु को खोजने के लिए,हम दूरी के वर्ग $D^2 = x^2 + y^2 = x^2 + (\cosh x)^2$ को न्यूनतम करते हैं।
माना $f(x) = x^2 + \cosh^2 x$ है।
अवकलन करने पर,$f'(x) = 2x + 2 \cosh x \sinh x = 2x + \sinh(2x)$ प्राप्त होता है।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $2x + \sinh(2x) = 0$ मिलता है।
इस समीकरण का एकमात्र हल $x = 0$ है।
$x = 0$ पर,$y = \cosh(0) = 1$ है।
बिंदु $(0, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $y' = \sinh(0) = 0$ है।
अभिलंब की ढाल $m = -\frac{1}{y'} = -\frac{1}{0}$ है,जो अपरिभाषित है (ऊर्ध्वाधर रेखा)।
बिंदु $(0, 1)$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण $x = 0$ है।

(C) वक्रों का परिवार $y = x^n \log x$ दिया गया है।
यदि स्पर्श रेखा $y = x - 1$ सभी वक्रों के लिए एक निश्चित बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है,तो स्पर्श रेखा की ढाल $1$ होनी चाहिए (क्योंकि $y = x - 1$ की ढाल $1$ है)।
अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = n x^{n-1} \log x + x^n \cdot \frac{1}{x} = x^{n-1} (n \log x + 1)$।
स्पर्श बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर,ढाल $1$ है:
$\alpha^{n-1} (n \log \alpha + 1) = 1$।
यह सभी $n$ के लिए सत्य हो,इसके लिए हम $\alpha = 1$ पर जाँच करते हैं:
$1^{n-1} (n \log 1 + 1) = 1 \cdot (0 + 1) = 1$।
यह $n$ से स्वतंत्र है।
जब $\alpha = 1$ है,तो वक्र पर $y$ का मान $\beta = 1^n \log 1 = 0$ है।
अतः,निश्चित बिंदु $(1, 0)$ है।
इसलिए,$\alpha + \beta = 1 + 0 = 1$।

(A) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम दोनों वक्रों को बराबर करते हैं: $x^3 - 3x^2 - 8x - 4 = 3x^2 + 7x + 4$
यह समीकरण $x^3 - 6x^2 - 15x - 8 = 0$ में सरल हो जाता है।
इस त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(x + 1)^2(x - 8) = 0$ प्राप्त होता है।
वक्र वहां स्पर्श करते हैं जहां अवकलज के मान समान होते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु दोहराए जाते हैं। $x = -1$ पर वक्र स्पर्श करते हैं।
$y = 3x^2 + 7x + 4$ में $x = -1$ रखने पर,हमें $y = 3(-1)^2 + 7(-1) + 4 = 3 - 7 + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $P$ का मान $(-1, 0)$ है।
अब,$y = 3x^2 + 7x + 4$ का अवकलन करके $P(-1, 0)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करते हैं: $\frac{dy}{dx} = 6x + 7$
$x = -1$ पर,ढाल $m = 6(-1) + 7 = 1$ प्राप्त होती है।
$(-1, 0)$ बिंदु और $m = 1$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y - 0 = 1(x - (-1))$ है,जो सरल होकर $y = x + 1$ या $x - y + 1 = 0$ हो जाता है।

(B) माना $P(\alpha, \beta)$ वक्र $y^2 - 2x^3 - 4y + 8 = 0$ पर कोई बिंदु है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} - 6x^2 - 4 \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
$\Rightarrow (2y - 4) \frac{dy}{dx} = 6x^2$.
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{6x^2}{2y - 4} = \frac{3x^2}{y - 2}$.
अतः,$P(\alpha, \beta)$ पर ढाल $m = \frac{3\alpha^2}{\beta - 2}$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - \beta = \frac{3\alpha^2}{\beta - 2} (x - \alpha)$ है।
चूँकि स्पर्श रेखा $(1, 2)$ से गुजरती है,इसलिए $2 - \beta = \frac{3\alpha^2}{\beta - 2} (1 - \alpha)$.
$\Rightarrow -(\beta - 2)^2 = 3\alpha^2 (1 - \alpha)$.
$\Rightarrow 3\alpha^3 - 3\alpha^2 - \beta^2 + 4\beta - 4 = 0 \dots (i)$.
साथ ही,$P(\alpha, \beta)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $\beta^2 - 4\beta + 8 = 2\alpha^3 \dots (ii)$.
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$3\alpha^3 - 3\alpha^2 - (2\alpha^3 + 4\beta - 8) + 4\beta - 4 = 0$.
$\Rightarrow \alpha^3 - 3\alpha^2 + 4 = 0$.
गुणनखंड करने पर,$(\alpha + 1)(\alpha - 2)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यदि $\alpha = -1$,तो $\beta^2 - 4\beta + 8 = 2(-1)^3 = -2$,अर्थात $\beta^2 - 4\beta + 10 = 0$. विविक्तकर $D = 16 - 40 = -24 < 0$,इसलिए $\beta$ वास्तविक नहीं है।
यदि $\alpha = 2$,तो $\beta^2 - 4\beta + 8 = 2(2)^3 = 16$,अर्थात $\beta^2 - 4\beta - 8 = 0$.
$\beta$ के लिए हल करने पर,$\beta = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$.
इस प्रकार,दो अलग-अलग स्पर्श बिंदु $(2, 2 + 2\sqrt{3})$ और $(2, 2 - 2\sqrt{3})$ प्राप्त होते हैं,जो दो अलग-अलग स्पर्श रेखाएँ देते हैं।
अतः,स्पर्श रेखाओं की संख्या $2$ है।

(A) दिया गया वक्र $(\frac{x}{a})^n + (\frac{y}{b})^n = 2$ है।
बिंदु $(a, b)$ पर,वक्र का समीकरण $(\frac{a}{a})^n + (\frac{b}{b})^n = 1^n + 1^n = 2$ संतुष्ट होता है,जो किसी भी $n$ के लिए सत्य है।
वक्र के समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{n}{a^n} x^{n-1} + \frac{n}{b^n} y^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$.
बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल:
$(\frac{dy}{dx})_{(a, b)} = -\frac{b^{n-1}}{a^{n-1}} \cdot \frac{a^n}{b^n} = -\frac{b}{a}$.
बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$ है,जिसे सरल करने पर $bx + ay = 2ab$ प्राप्त होता है।
इसे $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ से तुलना करने पर,हमें $\cos \alpha = \frac{b}{p}$ और $\sin \alpha = \frac{a}{p}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$,इसलिए $\frac{b^2}{p^2} + \frac{a^2}{p^2} = 1$,जिससे $a^2 + b^2 = p^2$ मिलता है।
दिया गया है कि $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} = \frac{p^2}{a^2 b^2} = \frac{k}{p^2}$.
$p = 2ab$ से,$p^2 = 4a^2 b^2$,इसलिए $a^2 b^2 = \frac{p^2}{4}$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{p^2}{p^2/4} = 4 = \frac{k}{p^2} \cdot p^2 = k$.
अतः,$k = 4$.

(A) दिया गया वक्र $3y = 6x - 5x^3$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$3 \frac{dy}{dx} = 6 - 15x^2$,जो $\frac{dy}{dx} = 2 - 5x^2$ में सरल हो जाता है।
बिंदु $P(h, k)$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{2 - 5h^2}$ है।
$(0,0)$ से गुजरने वाले अभिलंब का समीकरण $y = \left(-\frac{1}{2 - 5h^2}\right)x$ है।
चूंकि $(h, k)$ अभिलंब पर स्थित है,इसलिए $k = \left(-\frac{1}{2 - 5h^2}\right)h$,जिसका अर्थ है $\frac{k}{h} = \frac{1}{5h^2 - 2}$ (समीकरण $i$)।
चूंकि $(h, k)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $3k = 6h - 5h^3$,जिसका अर्थ है $\frac{k}{h} = \frac{6 - 5h^2}{3}$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,$\frac{1}{5h^2 - 2} = \frac{6 - 5h^2}{3}$।
यह $3 = (6 - 5h^2)(5h^2 - 2) = 30h^2 - 12 - 25h^4 + 10h^2$ में सरल हो जाता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $25h^4 - 40h^2 + 15 = 0$,या $5h^4 - 8h^2 + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $z = h^2$,तो $5z^2 - 8z + 3 = 0$।
गुणनखंड करने पर $(5z - 3)(z - 1) = 0$,इसलिए $z = \frac{3}{5}$ या $z = 1$।
$z = 1$ के लिए,$h^2 = 1$,इसलिए $h = \pm 1$।
धनात्मक पूर्णांक मान $h = 1$ है।

(C) बिंदुओं $(0,3)$ और $(5,-2)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{-2-3}{5-0} = \frac{-5}{5} = -1$ है।
इस रेखा का समीकरण $(y-3) = -1(x-0)$ है,जो $y = -x+3$ में सरल हो जाता है।
वक्र $y = \frac{c}{x+1}$ के लिए,किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{-c}{(x+1)^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि रेखा वक्र की स्पर्शरेखा है,इसलिए स्पर्शरेखा की ढाल रेखा की ढाल के बराबर होनी चाहिए: $\frac{-c}{(x+1)^2} = -1$,जिसका अर्थ है $c = (x+1)^2$।
स्पर्श बिंदु पर,वक्र और रेखा एक-दूसरे को काटते हैं,इसलिए $\frac{c}{x+1} = -x+3$।
इस समीकरण में $c = (x+1)^2$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{(x+1)^2}{x+1} = -x+3$,जो $x+1 = -x+3$ में सरल हो जाता है।
$x$ के लिए हल करने पर: $2x = 2$,इसलिए $x = 1$।
$x=1$ को $c = (x+1)^2$ में रखने पर,हमें $c = (1+1)^2 = 2^2 = 4$ प्राप्त होता है।

(B) माना वक्र पर बिंदु $P(x, y)$ है जहाँ $y = x^2 + 4x + 3$ है। रेखा $3x - y + 2 = 0$ है।
बिंदु के रेखा के सबसे निकट होने के लिए,उस बिंदु पर स्पर्श रेखा दी गई रेखा के समानांतर होनी चाहिए।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x + 4$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा $y = 3x + 2$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $3$ होनी चाहिए।
$2x + 4 = 3 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.
अब,$x = -\frac{1}{2}$ को वक्र के समीकरण में रखकर $y$-निर्देशांक ज्ञात करें:
$y = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 4\left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = \frac{1}{4} - 2 + 3 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$.
अतः,बिंदु $\left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right)$ है।

(A) माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
वक्र का समीकरण $y = x^2 + x + 16$ है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा का ढाल $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_1, y_1)} = 2x_1 + 1$ है।
चूंकि स्पर्शरेखा $(0,0)$ और $(x_1, y_1)$ से गुजरती है,इसलिए इसका ढाल $\frac{y_1 - 0}{x_1 - 0} = \frac{y_1}{x_1}$ भी होगा।
दोनों ढालों की तुलना करने पर: $2x_1 + 1 = \frac{y_1}{x_1} \Rightarrow y_1 = 2x_1^2 + x_1$ ...$(i)$
चूंकि $(x_1, y_1)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $y_1 = x_1^2 + x_1 + 16$ ...(ii)
$(i)$ और (ii) की तुलना करने पर: $2x_1^2 + x_1 = x_1^2 + x_1 + 16 \Rightarrow x_1^2 = 16 \Rightarrow x_1 = \pm 4$.
यदि $x_1 = 4$,तो $y_1 = 4^2 + 4 + 16 = 36$. अतः ढाल $m = \frac{36}{4} = 9$.
यदि $x_1 = -4$,तो $y_1 = (-4)^2 + (-4) + 16 = 28$. अतः ढाल $m = \frac{28}{-4} = -7$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$m=9$ सही उत्तर है।

(C) वक्र का समीकरण दिया गया है: $y^3 - 3xy + 2 = 0$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$3y^2 \frac{dy}{dx} - 3(y + x \frac{dy}{dx}) = 0$.
$3$ से विभाजित करने पर:
$y^2 \frac{dy}{dx} - y - x \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}(y^2 - x) = y$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{y^2 - x}$.
स्पर्शरेखा के ऊर्ध्वाधर होने के लिए,हर (denominator) शून्य होना चाहिए और अंश (numerator) शून्य नहीं होना चाहिए:
$y^2 - x = 0 \Rightarrow x = y^2$ और $y \neq 0$.
$x = y^2$ को मूल वक्र समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^3 - 3(y^2)y + 2 = 0$.
$y^3 - 3y^3 + 2 = 0$.
$-2y^3 + 2 = 0 \Rightarrow y^3 = 1 \Rightarrow y = 1$.
चूँकि $y = 1$,इसलिए $x = (1)^2 = 1$.
बिंदु $(1, 1)$ प्राप्त होता है।
अतः,$V = \{(1, 1)\}$.

(A) दिया गया वक्र $y=\sqrt{9-2x^2}$ है।
माना बिंदु $(x_1, y_1)$ है जहाँ $x_1 = y_1$ है।
वक्र के समीकरण में $y_1 = x_1$ रखने पर: $x_1 = \sqrt{9-2x_1^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x_1^2 = 9-2x_1^2 \Rightarrow 3x_1^2 = 9 \Rightarrow x_1^2 = 3 \Rightarrow x_1 = \pm\sqrt{3}$।
चूँकि $y = \sqrt{9-2x^2}$ हमेशा धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $y_1 = \sqrt{3}$। अतः,बिंदु $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ है।
अब,ढाल $m = \frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{9-2x^2}} \times (-4x) = \frac{-2x}{\sqrt{9-2x^2}} = \frac{-2x}{y}$।
बिंदु $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ पर ढाल $m = \frac{-2(\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = -2$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ के अनुसार:
$y - \sqrt{3} = -2(x - \sqrt{3})$
$y - \sqrt{3} = -2x + 2\sqrt{3}$
$2x + y - 3\sqrt{3} = 0$।

(D) वक्र $y^3-x^2 y+5 y-2 x=0$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3 y^2 \frac{dy}{dx} - (x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy) + 5 \frac{dy}{dx} - 2 = 0$
$(0,0)$ पर,यह $5 \frac{dy}{dx} - 2 = 0$ में सरल हो जाता है,अतः ढाल $m_1 = \frac{2}{5}$ है।
वक्र $x^4-x^3 y^2+5 x+2 y=0$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$4x^3 - (x^3 \cdot 2y \frac{dy}{dx} + 3x^2 y^2) + 5 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$
$(0,0)$ पर,यह $5 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$ में सरल हो जाता है,अतः ढाल $m_2 = -\frac{5}{2}$ है।
चूँकि $m_1 \times m_2 = (\frac{2}{5}) \times (-\frac{5}{2}) = -1$,इसलिए स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं।
अतः,उनके बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(A) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण $x = a(1 + \cos \theta)$ और $y = a \sin \theta$ हैं।
सबसे पहले,हम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$ और $\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$.
अभिलंब की प्रवणता $-\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{-\cot \theta} = \tan \theta$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (a(1 + \cos \theta), a \sin \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y - a \sin \theta = \tan \theta (x - a(1 + \cos \theta))$.
समीकरण को सरल करने पर:
$y - a \sin \theta = \tan \theta (x - a - a \cos \theta)$
$y - a \sin \theta = x \tan \theta - a \tan \theta - a \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \cos \theta$
$y - a \sin \theta = x \tan \theta - a \tan \theta - a \sin \theta$
$y = x \tan \theta - a \tan \theta$
$y = \tan \theta (x - a)$.
इस रेखा के $\theta$ से स्वतंत्र एक निश्चित बिंदु से गुजरने के लिए,हम $x - a = 0$ रखते हैं,जिससे $x = a$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $x = a$ रखने पर,हमें $y = \tan \theta (a - a) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,निश्चित बिंदु $(a, 0)$ है।

(A) दिया गया वक्र समीकरण: $y=a x^3+b x^2+c x+5$ ...$(i)$
चूंकि वक्र $P(-2,0)$ से गुजरता है,इसलिए $x=-2$ और $y=0$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$0 = a(-2)^3 + b(-2)^2 + c(-2) + 5$
$0 = -8a + 4b - 2c + 5$ ...(ii)
अब,वक्र का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c$
चूंकि वक्र $P(-2,0)$ पर $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए $x=-2$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $0$ होगी:
$\left[\frac{dy}{dx}\right]_{x=-2} = 3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 0$
$12a - 4b + c = 0$
$4b = 12a + c$ ...(iii)
समीकरण (iii) से $4b$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
$-8a + (12a + c) - 2c + 5 = 0$
$4a - c + 5 = 0$
$c = 4a + 5$

(B) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को एक-दूसरे के बराबर रखें:
$x^2-1 = 8x-x^2-9$
$2x^2-8x+8 = 0$
$x^2-4x+4 = 0$
$(x-2)^2 = 0$
$x = 2$
$x=2$ को $y=x^2-1$ में रखने पर,हमें $y=3$ प्राप्त होता है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2,3)$ है।
अब,$(2,3)$ पर स्पर्श रेखाओं की ढाल निर्धारित करने के लिए अवकलज ज्ञात करें:
$C_1: y=x^2-1$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = 2x$. $x=2$ पर,$m_1 = 2(2) = 4$.
$C_2: y=8x-x^2-9$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = 8-2x$. $x=2$ पर,$m_2 = 8-2(2) = 4$.
चूंकि ढाल समान हैं $(m_1 = m_2 = 4)$,इसलिए $(2,3)$ बिंदु पर वक्रों की स्पर्श रेखाएं समान हैं।
अतः,दोनों वक्र $(2,3)$ पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।

(C) दिए गए वक्र का समीकरण: $y = x + \frac{4}{x^2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{8}{x^3}$.
चूंकि स्पर्शरेखा $X$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल $0$ होगी। अतः,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर:
$1 - \frac{8}{x^3} = 0 \Rightarrow \frac{8}{x^3} = 1 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$.
अब,$x = 2$ को मूल वक्र के समीकरण में रखकर $y$ का मान ज्ञात करें:
$y = 2 + \frac{4}{2^2} = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3$.
अतः,स्पर्शरेखा एक क्षैतिज रेखा है जो $(2, 3)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $y = 3$ है.

(A) वक्र $y=f(x)$ के लिए किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(x)$ द्वारा दी जाती है।
माना बिंदु $(3,4)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t$ है और अभिलंब की ढाल $m_n$ है।
अभिलंब धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $\theta = \frac{3\pi}{4}$ का कोण बनाता है।
इसलिए,अभिलंब की ढाल $m_n = \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$ है।
हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा और अभिलंब की ढाल के बीच संबंध $m_n = -\frac{1}{m_t}$ होता है।
मान रखने पर,$-1 = -\frac{1}{f^{\prime}(3)}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f^{\prime}(3) = 1$ है।

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $\left(\frac{x}{a}\right)^n + \left(\frac{y}{b}\right)^n = 2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{n}{a} \left(\frac{x}{a}\right)^{n-1} + \frac{n}{b} \left(\frac{y}{b}\right)^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$.
बिंदु $(a, b)$ पर,ढाल $m$ है:
$m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(a,b)} = -\frac{b}{a} \left(\frac{a/a}{b/b}\right)^{n-1} = -\frac{b}{a}$.
$(a, b)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - b = -\frac{b}{a}(x - a) \Rightarrow ay - ab = -bx + ab \Rightarrow bx + ay = 2ab$.
$2ab$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x}{2a} + \frac{y}{2b} = 1$.
अक्षों पर अंतःखंड $2a$ और $2b$ हैं।
अंतःखंडों का योग $2a + 2b = 2(a+b)$ है।

(D) वक्र का समीकरण $2y = e^{-x/2}$ है।
$y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,हम $x = 0$ रखते हैं।
$x = 0$ रखने पर: $2y = e^0 = 1$,अतः $y = 1/2$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1/2)$ है।
$x$ के सापेक्ष वक्र का अवकलन करने पर: $2 \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} e^{-x/2}$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4}$ है।
$y$-अक्ष एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ अपरिभाषित है।
वक्र और $y$-अक्ष के बीच का कोण $\theta$ निकालने का सूत्र $\tan \theta = |\frac{1}{m}|$ है।
यहाँ,$m = -1/4$ है,इसलिए $\tan \theta = |\frac{1}{-1/4}| = 4$ होगा।
दिया गया है कि कोण $\tan^{-1}(k)$ है,इसलिए $\tan^{-1}(k) = \tan^{-1}(4)$ है।
अतः,$k = 4$।

(A) दिए गए वक्र $y^2=4x$ और $y=e^{-x/2}$ हैं।
मान लीजिए $(x_1, y_1)$ दोनों वक्रों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$y^2=4x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$।
अतः,ढाल $m_1 = \frac{2}{y_1}$ है।
$y=e^{-x/2}$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}e^{-x/2} = -\frac{1}{2}y$ प्राप्त होता है।
अतः,ढाल $m_2 = -\frac{y_1}{2}$ है।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
ढाल के मान रखने पर: $m_1 m_2 = (\frac{2}{y_1})(-\frac{y_1}{2}) = -1$।
चूंकि $1 + m_1 m_2 = 1 - 1 = 0$,हर शून्य है,जिसका अर्थ है कि $\tan \theta = \infty$।
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{2}$।
अंत में,$\operatorname{cosec}^2(\theta/2) = \operatorname{cosec}^2(\frac{\pi}{4}) = (\sqrt{2})^2 = 2$।

(C) दिया गया वक्र $y = e^{2x} + x^2$ है।
$x = 0$ पर,$y = e^0 + 0^2 = 1$ है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(0, 1)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} + 2x$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = 2e^0 + 2(0) = 2$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}$ होगी।
$(0, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 0)$ है।
$2y - 2 = -x$,जिसे $x + 2y - 2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूलबिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 1$,$B = 2$,और $C = -2$ है।
$d = \frac{|-2|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ इकाई।

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $y^2 = ax^4 + b$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = 4ax^3$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{4ax^3}{2y} = \frac{2ax^3}{y}$.
बिंदु $(3, 6)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल: $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(3, 6)} = \frac{2a(3)^3}{6} = \frac{2a(27)}{6} = 9a$.
दी गई स्पर्श रेखा का समीकरण $y = 4x - 6$ है,जिसकी ढाल $4$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $9a = 4 \Rightarrow a = \frac{4}{9}$.
चूंकि बिंदु $(3, 6)$ वक्र $y^2 = ax^4 + b$ पर स्थित है,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$6^2 = a(3)^4 + b \Rightarrow 36 = \frac{4}{9}(81) + b$.
$36 = 4(9) + b \Rightarrow 36 = 36 + b \Rightarrow b = 0$.
अतः,$a = \frac{4}{9}$ और $b = 0$ प्राप्त होता है।

(C) वक्र $y=f(x)$ के स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $y = \frac{x}{x^2+1}$.
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2+1)(1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$.
$x = -4$ पर,स्पर्श रेखा की प्रवणता:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=-4} = \frac{1-(-4)^2}{((-4)^2+1)^2} = \frac{1-16}{(16+1)^2} = \frac{-15}{17^2} = \frac{-15}{289}$.
अभिलंब की प्रवणता,स्पर्श रेखा की प्रवणता का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है:
$\text{अभिलंब की प्रवणता} = -\frac{1}{\left(\frac{dy}{dx}\right)} = -\frac{1}{\left(\frac{-15}{289}\right)} = \frac{289}{15}$.

(B) दिया गया वक्र: $2y^3 = ax^2 + x^3$ $(i)$
स्पर्श बिंदु: $(a, a)$
$x$ के सापेक्ष $(i)$ का अवकलन करने पर:
$6y^2 \frac{dy}{dx} = 2ax + 3x^2$
बिंदु $(a, a)$ पर:
$6a^2 \frac{dy}{dx} = 2a^2 + 3a^2 = 5a^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{5a^2}{6a^2} = \frac{5}{6}$
ढाल $m = \frac{5}{6}$ और बिंदु $(a, a)$ से गुजरने वाली स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - a = \frac{5}{6}(x - a)$
$6y - 6a = 5x - 5a$
$5x - 6y = -a$
$-a$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{-a/5} + \frac{y}{a/6} = 1$
अंतःखंड रूप $\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} = 1$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = -\frac{a}{5}$ और $\beta = \frac{a}{6}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\alpha^2 + \beta^2 = 61$:
$(-\frac{a}{5})^2 + (\frac{a}{6})^2 = 61$
$\frac{a^2}{25} + \frac{a^2}{36} = 61$
$\frac{36a^2 + 25a^2}{900} = 61$
$\frac{61a^2}{900} = 61$
$a^2 = 900$
$|a| = 30$.

(C) दिया गया है $\theta = \frac{\pi}{3}$ और साइक्लोइड के समीकरण $x = a(\theta - \sin \theta)$,$y = a(1 - \cos \theta)$ हैं।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 - \cos \theta)$ और $\frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta$.
अतः,स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \sin \theta}{a(1 - \cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}$.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ पर,ढाल $m = \frac{\sin(\pi/3)}{1 - \cos(\pi/3)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1 - 1/2} = \sqrt{3}$.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ पर $y$ का मान $y = a(1 - \cos(\pi/3)) = a(1 - 1/2) = \frac{a}{2}$ है।
सबटेंजेंट की लंबाई $= \left| \frac{y}{m} \right| = \frac{a/2}{\sqrt{3}} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
सबनॉर्मल की लंबाई $= |y \cdot m| = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
लंबाई का योग $= \frac{a}{2\sqrt{3}} + \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a + 3a}{2\sqrt{3}} = \frac{4a}{2\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.

(B) दिया गया वक्र $y=x^2-3x+2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें स्पर्श रेखा की प्रवणता (slope) प्राप्त होती है:
$\frac{dy}{dx} = 2x-3$.
मान लीजिए बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $m_1 = 2x-3$ है।
दी गई रेखा $y=x$ है। इसे $y=mx+c$ से तुलना करने पर,रेखा की प्रवणता $m_2 = 1$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा के लंबवत है,इसलिए उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ होना चाहिए:
$m_1 \cdot m_2 = -1$.
$(2x-3) \cdot 1 = -1$.
$2x - 3 = -1$.
$2x = 2$.
$x = 1$.
अब,$y$-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए $x=1$ को वक्र के समीकरण में रखने पर:
$y = (1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(1,0)$ है।

(D) दिया गया वक्र $y=x^3$ है।
किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
$y=x^3$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = 3x^2$ प्राप्त होता है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_T = 3x_1^2$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल $X$-अक्ष की ढाल के बराबर यानी $0$ होनी चाहिए।
अतः,$m_T = 0$,जिसका अर्थ है $3x_1^2 = 0$,इसलिए $x_1 = 0$ है।
$x_1 = 0$ को वक्र के समीकरण $y=x^3$ में रखने पर,हमें $y_1 = (0)^3 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(0,0)$ है।

(B) दिया गया वक्र $b y^2 = (x+a)^3$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2 b y \frac{d y}{d x} = 3(x+a)^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{d y}{d x} = \frac{3(x+a)^2}{2 b y}$।
सब्नॉर्मल की लंबाई $p = y \frac{d y}{d x} = y \left( \frac{3(x+a)^2}{2 b y} \right) = \frac{3(x+a)^2}{2 b}$।
सब्ज्या (subtangent) की लंबाई $q = y \frac{d x}{d y} = y \left( \frac{2 b y}{3(x+a)^2} \right) = \frac{2 b y^2}{3(x+a)^2}$।
दिए गए संबंध $p = q^2$ के आधार पर,$\frac{p}{q}$ का मान $\frac{8 b}{27}$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए वक्र $x=y^2$ और $xy=a^3$ हैं।
$x=y^2$ को $xy=a^3$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(y^2)y = a^3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y^3 = a^3$,इसलिए $y=a$.
तब $x = y^2 = a^2$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(a^2, a)$ है।
वक्र $x=y^2$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $1 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
बिंदु $(a^2, a)$ पर,ढाल $m_1 = \frac{1}{2a}$.
वक्र $xy=a^3$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
बिंदु $(a^2, a)$ पर,ढाल $m_2 = -\frac{a}{a^2} = -\frac{1}{a}$.
चूंकि वक्र लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$.
$\left(\frac{1}{2a}\right) \times \left(-\frac{1}{a}\right) = -1$.
$-\frac{1}{2a^2} = -1$.
$2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2}$.

(A) दिया गया वक्र $y=\frac{2}{3} x^3+\frac{1}{2} x^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{d y}{d x} = 2x^2 + x$ प्राप्त होता है।
चूंकि स्पर्श रेखाएं निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती हैं,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल $\pm 1$ होनी चाहिए।
स्थिति $1$: $\frac{d y}{d x} = 1 \Rightarrow 2x^2 + x = 1 \Rightarrow 2x^2 + x - 1 = 0$.
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(2x - 1)(x + 1) = 0$,अतः $x = \frac{1}{2}$ या $x = -1$.
$x = \frac{1}{2}$ के लिए,$y = \frac{2}{3}(\frac{1}{8}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{4}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{5}{24}$.
$x = -1$ के लिए,$y = \frac{2}{3}(-1) + \frac{1}{2}(1) = -\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$.
स्थिति $2$: $\frac{d y}{d x} = -1 \Rightarrow 2x^2 + x = -1 \Rightarrow 2x^2 + x + 1 = 0$.
विविक्तकर $D = 1^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7 < 0$ है,इसलिए इस स्थिति के लिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{24}\right)$ और $\left(-1, \frac{-1}{6}\right)$ हैं।

(A) दिया गया वक्र समीकरण: $\left(\frac{x}{31}\right)^n + \left(\frac{y}{1209}\right)^n = 2$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{n}{31} \left(\frac{x}{31}\right)^{n-1} + \frac{n}{1209} \left(\frac{y}{1209}\right)^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{n}{31} \left(\frac{x}{31}\right)^{n-1}}{\frac{n}{1209} \left(\frac{y}{1209}\right)^{n-1}} = -\frac{1209}{31} \left(\frac{x}{31}\right)^{n-1} \left(\frac{1209}{y}\right)^{n-1}$
चूंकि $1209 / 31 = 39$,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = -39 \left(\frac{x}{31}\right)^{n-1} \left(\frac{1209}{y}\right)^{n-1}$
बिंदु $(31, 1209)$ पर,$x = 31$ और $y = 1209$ रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = -39 \left(\frac{31}{31}\right)^{n-1} \left(\frac{1209}{1209}\right)^{n-1} = -39(1)^{n-1}(1)^{n-1} = -39$
अतः,स्पर्श रेखा की ढाल $-39$ है।

(C) दिया गया वक्र समीकरण: $y=5x^2-3x+7$ है।
सबसे पहले,स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलज $\frac{dy}{dx}$ निकालते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(5x^2-3x+7) = 10x-3$।
बिंदु $(-1, 4)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_T$ है:
$m_T = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=-1} = 10(-1)-3 = -10-3 = -13$।
अब,रेखा के बिंदु-ढाल रूप $y-y_1 = m(x-x_1)$ का उपयोग करते हुए:
$y-4 = -13(x-(-1))$
$y-4 = -13(x+1)$
$y-4 = -13x-13$
$13x+y-4+13 = 0$
$13x+y+9 = 0$।

(D) दिया गया वक्र $y = \frac{x-7}{(x-2)(x-3)}$ है। वक्र $X$-अक्ष को वहाँ काटता है जहाँ $y = 0$ होता है। $y = 0$ रखने पर,हमें $x - 7 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 7$ है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $P(7, 0)$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{[(x-2)(x-3)] \cdot 1 - (x-7) \cdot \frac{d}{dx}[(x-2)(x-3)]}{[(x-2)(x-3)]^2}$
$x = 7$ पर,हर $(7-2)^2(7-3)^2 = 5^2 \cdot 4^2 = 400$ है। अंश $(49 - 35 + 6) - (0) = 20$ है।
इसलिए,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=7} = \frac{20}{400} = \frac{1}{20}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -20$ है।
बिंदु $(7, 0)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 0 = -20(x - 7)$ है,जिसे सरल करने पर $y = -20x + 140$ या $20x + y - 140 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) वक्र का समीकरण $y^n = ax$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$n y^{n-1} \frac{dy}{dx} = a$
$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{n} y^{1-n}$
सबनॉर्मल की लंबाई $|y \frac{dy}{dx}|$ के रूप में परिभाषित होती है।
$\frac{dy}{dx}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{सबनॉर्मल की लंबाई} = |y \cdot \frac{a}{n} y^{1-n}| = |\frac{a}{n} y^{2-n}|$
सबनॉर्मल को स्थिर होने के लिए,इसे $y$ से स्वतंत्र होना चाहिए।
यह तब होता है जब $y$ का घातांक $0$ हो,अर्थात $2 - n = 0$।
अतः,$n = 2$।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया वक्र $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ है ...$(i)$
माना वक्र पर एक बिंदु $P(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ है।
वक्र $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2}{3} x^{-1/3} + \frac{2}{3} y^{-1/3} \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{1/3}$.
बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m$:
$m = -\left(\frac{a \sin^3 \theta}{a \cos^3 \theta}\right)^{1/3} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\tan \theta$.
बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - a \sin^3 \theta = -\tan \theta (x - a \cos^3 \theta)$.
$x \sin \theta + y \cos \theta = a \sin \theta \cos \theta$.
बिंदु $A$ के लिए ($y=0$ रखने पर),$x = a \cos \theta$,अतः $A = (a \cos \theta, 0)$.
बिंदु $B$ के लिए ($x=0$ रखने पर),$y = a \sin \theta$,अतः $B = (0, a \sin \theta)$.
दूरी $AB = \sqrt{(a \cos \theta - 0)^2 + (0 - a \sin \theta)^2} = \sqrt{a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = a$.
अतः,$AB = a$.

(A) वक्र का समीकरण $y=ax^3+bx^2+cx+5$ है ...$(i)$
चूंकि वक्र $P(-2,0)$ पर $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,यह $P(-2,0)$ से गुजरता है,इसलिए $-8a+4b-2c+5=0$ ...(ii)
साथ ही,चूंकि यह $x=-2$ पर $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,$x=-2$ पर अवकलज $\frac{dy}{dx} = 0$ होगा।
$\frac{dy}{dx} = 3ax^2+2bx+c$. $x=-2$ पर,$12a-4b+c=0$ ...(iii)
वक्र $Y$-अक्ष को $Q(0,5)$ पर काटता है जहाँ प्रवणता $3$ है,इसलिए $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = 3$,जिससे $c=3$ प्राप्त होता है।
$c=3$ को (ii) और (iii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$-8a+4b-6+5=0 \Rightarrow -8a+4b=1$ ...(iv)
$12a-4b+3=0 \Rightarrow 12a-4b=-3$ ...$(v)$
(iv) और $(v)$ को जोड़ने पर: $4a = -2 \Rightarrow a=-\frac{1}{2}$.
$a=-\frac{1}{2}$ को (iv) में रखने पर: $-8(-\frac{1}{2})+4b=1 \Rightarrow 4+4b=1 \Rightarrow 4b=-3 \Rightarrow b=-\frac{3}{4}$.
अतः,$a=-\frac{1}{2}, b=-\frac{3}{4}, c=3$.

(C) दिया गया वक्र $y = \sin x$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = \cos x$।
बिंदु $(0, 0)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0,0)} = \cos(0) = 1$ है।
बिंदु $(0, 0)$ पर अभिलंब की ढाल $m = -\frac{1}{\text{स्पर्श रेखा की ढाल}} = -\frac{1}{1} = -1$ होगी।
बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली और $m = -1$ ढाल वाली अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $y - 0 = -1(x - 0)$।
यह सरल होकर $y = -x$ या $x + y = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखा $2x+18y=9$ है। इस रेखा की प्रवणता $m = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}$ है।
दिया गया वक्र $y=x^3-3x$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 3x^2-3$ प्राप्त होता है।
अभिलंब की प्रवणता $-\frac{1}{\frac{dy}{dx}} = -\frac{1}{3x^2-3}$ होती है।
चूंकि अभिलंब दी गई रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी प्रवणताएँ समान होंगी:
$-\frac{1}{9} = -\frac{1}{3(x^2-1)} \Rightarrow 3(x^2-1) = 9 \Rightarrow x^2-1 = 3 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
स्थिति $1$: यदि $x=2$,तो $y = (2)^3 - 3(2) = 8-6 = 2$। बिंदु $(2, 2)$ है।
अभिलंब का समीकरण $y-2 = -\frac{1}{9}(x-2) \Rightarrow 9y-18 = -x+2 \Rightarrow x+9y = 20$ है।
स्थिति $2$: यदि $x=-2$,तो $y = (-2)^3 - 3(-2) = -8+6 = -2$। बिंदु $(-2, -2)$ है।
अभिलंब का समीकरण $y-(-2) = -\frac{1}{9}(x-(-2)) \Rightarrow 9(y+2) = -(x+2) \Rightarrow 9y+18 = -x-2 \Rightarrow x+9y = -20$ है।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,अभीष्ट समीकरण $x+9y = \pm 20$ है।

(C) दिया गया वक्र $y = e^{2x}$ है।
सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}$।
बिंदु $(0, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 1)} = 2e^{2(0)} = 2(1) = 2$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (0, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ होता है।
मान रखने पर,$y - 1 = 2(x - 0)$,जिसे सरल करने पर $y = 2x + 1$ प्राप्त होता है।
यह ज्ञात करने के लिए कि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को कहाँ मिलती है,हम $y = 0$ रखते हैं।
$0 = 2x + 1 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$।
अतः,स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $(-\frac{1}{2}, 0)$ बिंदु पर मिलती है।

(C) दिया गया वक्र $y = x + \frac{2}{x}$ है।
$x = 2$ पर,$y = 2 + \frac{2}{2} = 3$ है। अतः,बिंदु $(2, 3)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{2}{x^2}$ प्राप्त होता है।
$x = 2$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -2$ है।
$(2, 3)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 3 = -2(x - 2)$ है,जो $y - 3 = -2x + 4$ या $2x + y = 7$ में सरल हो जाता है।
उन बिंदुओं $A$ और $B$ को ज्ञात करने के लिए जहाँ अभिलंब निर्देशांक अक्षों को मिलता है:
$x$-अंतःखंड $(y = 0)$ के लिए,$2x = 7 \implies x = \frac{7}{2}$। अतः,$A = (\frac{7}{2}, 0)$।
$y$-अंतःखंड $(x = 0)$ के लिए,$y = 7$। अतः,$B = (0, 7)$।
$AB$ की लंबाई $= \sqrt{(\frac{7}{2} - 0)^2 + (0 - 7)^2} = \sqrt{\frac{49}{4} + 49} = \sqrt{49(\frac{1}{4} + 1)} = 7 \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{7\sqrt{5}}{2}$।