Tangent and Normal Questions in Hindi

(B) दिया गया वक्र $y=ax^3+bx^2+cx+5$ है।
चूंकि यह $x$-अक्ष को $(-2,0)$ पर स्पर्श करता है,बिंदु $(-2,0)$ वक्र पर स्थित है:
$0 = a(-2)^3 + b(-2)^2 + c(-2) + 5$
$0 = -8a + 4b - 2c + 5$
$8a - 4b + 2c = 5$ ... $(i)$
साथ ही,$x=-2$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $0$ है:
$\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c$
$3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 0$
$12a - 4b + c = 0$ ... $(ii)$
वक्र $y$-अक्ष को बिंदु $Q$ पर काटता है। $x=0$ रखने पर,$y=5$ प्राप्त होता है,अतः $Q=(0,5)$।
$Q$ पर प्रवणता $3$ है:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = 3
\Rightarrow 3a(0)^2 + 2b(0) + c = 3
\Rightarrow c = 3$.
$c=3$ को $(i)$ और $(ii)$ में रखने पर:
$(i) \Rightarrow 8a - 4b + 6 = 5 \Rightarrow 8a - 4b = -1$ ... $(iii)$
$(ii) \Rightarrow 12a - 4b + 3 = 0 \Rightarrow 12a - 4b = -3$ ... $(iv)$
$(iv)$ में से $(iii)$ को घटाने पर:
$(12a - 4b) - (8a - 4b) = -3 - (-1)
4a = -2 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$.
$a = -\frac{1}{2}$ को $(iii)$ में रखने पर:
$8(-\frac{1}{2}) - 4b = -1
-4 - 4b = -1
-4b = 3 \Rightarrow b = -\frac{3}{4}$.
अतः,$a+b+c = -\frac{1}{2} - \frac{3}{4} + 3 = \frac{-2-3+12}{4} = \frac{7}{4}$.

(B) दिए गए वक्र $xy = 1$ के लिए,$y = \frac{1}{x}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $-\frac{1}{x^2}$ है।
अभिलंब की ढाल स्पर्शरेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है,जो $x^2$ है।
रेखा $ax + by + c = 0$ की ढाल $-\frac{a}{b}$ है।
चूंकि रेखा वक्र का अभिलंब है,इसलिए $x^2 = -\frac{a}{b}$ होगा।
वास्तविक $x$ के लिए $x^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $-\frac{a}{b} > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\frac{a}{b} < 0$।
यह स्थिति तब सत्य होती है जब $a$ और $b$ के चिह्न विपरीत हों,अर्थात $(a > 0, b < 0)$ या $(a < 0, b > 0)$।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण: $y = a\left(e^{\frac{x}{a}} + e^{-\frac{x}{a}}\right)$.
स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात करने के लिए,$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = a \left( e^{\frac{x}{a}} \cdot \frac{1}{a} + e^{-\frac{x}{a}} \cdot (-\frac{1}{a}) \right) = e^{\frac{x}{a}} - e^{-\frac{x}{a}}$.
चूँकि स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसकी प्रवणता शून्य होगी:
$\frac{dy}{dx} = 0 \implies e^{\frac{x}{a}} - e^{-\frac{x}{a}} = 0$.
$e^{\frac{x}{a}} = e^{-\frac{x}{a}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\frac{x}{a} = -\frac{x}{a} \implies \frac{2x}{a} = 0 \implies x = 0$.
अतः,बिंदु का भुज $0$ है।

(D) किसी वक्र पर किसी बिंदु $(x, y)$ पर सबनॉर्मल की लंबाई $|y \frac{dy}{dx}| = k$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
इसे $y \frac{dy}{dx} = \pm k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\int y \, dy = \pm \int k \, dx$ प्राप्त होता है।
इससे $\frac{y^2}{2} = \pm kx + C$ प्राप्त होता है।
यदि वक्र मूल बिंदु से होकर गुजरता है,तो $C = 0$,अतः $y^2 = \pm 2kx$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण एक परवलय को दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ $\phi$ कोण बनाती है। स्पर्श रेखा की ढाल $m = \tan \phi = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, 2)}$ है।
दिया गया है $y = x^{3} + 1$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$ है।
बिंदु $(1, 2)$ पर,ढाल $m = \tan \phi = 3(1)^{2} = 3$ है।
आरेख के अनुसार,स्पर्श रेखा $y$-अक्ष के साथ $\theta = 90^{\circ} + \phi$ कोण बनाती है।
अतः,$\tan \theta = \tan(90^{\circ} + \phi) = -\cot \phi$ है।
चूँकि $\tan \phi = 3$ है,इसलिए $\cot \phi = \frac{1}{3}$ होगा।
अतः,$\tan \theta = -\frac{1}{3}$ है।

(A) दिया गया वक्र $xy = 25$ है। माना स्पर्श बिंदु $P(x_1, y_1)$ है। चूँकि $P$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $x_1 y_1 = 25$ है।
$xy = 25$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$,जिससे $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\frac{y_1}{x_1}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = -\frac{y_1}{x_1}(x - x_1)$ है।
$x_1$ से गुणा करने पर,$x_1 y - x_1 y_1 = -y_1 x + x_1 y_1$,जो सरल होकर $x_1 y + y_1 x = 2 x_1 y_1$ हो जाता है।
$2 x_1 y_1$ से विभाजित करने पर,$\frac{x}{2 x_1} + \frac{y}{2 y_1} = 1$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $A(2 x_1, 0)$ और $y$-अक्ष को $B(0, 2 y_1)$ पर काटती है।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (2 x_1) \times (2 y_1) = 2 x_1 y_1$ है।
चूँकि $x_1 y_1 = 25$,इसलिए क्षेत्रफल $2(25) = 50$ वर्ग इकाई है।

(C) दिया गया वक्र समीकरण $\sqrt{x}+\sqrt{y}=6$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$.
इसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$.
चूँकि स्पर्श रेखा अक्षों के साथ समान रूप से झुकी हुई है,इसलिए इसकी ढाल $\pm 1$ होनी चाहिए।
अतः,$-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \pm 1$,जिससे $\sqrt{y} = \pm \sqrt{x}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल परिभाषित होने के लिए $x$ और $y$ धनात्मक होने चाहिए,इसलिए $\sqrt{y} = \sqrt{x}$,जिसका अर्थ है $y = x$.
$y = x$ को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{x} + \sqrt{x} = 6
2\sqrt{x} = 6
\sqrt{x} = 3
x = 9$.
चूँकि $y = x$,इसलिए $y = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(9, 9)$ है।

(A) दिया गया वक्र: $y(1+x^{2})=2-x$ $(1)$
$x$-अक्ष पर,$y=0$ होता है। समीकरण $(1)$ में $y=0$ रखने पर:
$0 = 2-x \Rightarrow x=2$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 0)$ है।
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y'(1+x^{2}) + y(2x) = -1$.
बिंदु $(2, 0)$ पर:
$y'(1+2^{2}) + 0(2 \times 2) = -1$
$y'(5) = -1 \Rightarrow y' = -\frac{1}{5}$.
यह $(2, 0)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल है।
अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{y'} = -\frac{1}{-1/5} = 5$ होगी।
बिंदु $(2, 0)$ और ढाल $m=5$ वाले अभिलंब का समीकरण:
$y - 0 = 5(x - 2)$
$y = 5x - 10$
$5x - y - 10 = 0$.

(A) दिया गया वक्र $x y^{n} = a$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x \cdot n y^{n-1} \cdot \frac{dy}{dx} + y^{n} = 0$
$\Rightarrow y^{n-1} [x n \frac{dy}{dx} + y] = 0$
चूंकि $y \neq 0$,इसलिए $x n \frac{dy}{dx} + y = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{nx}$।
सबटेंजेंट की लंबाई $|\frac{y}{dy/dx}|$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{dy}{dx}$ का मान रखने पर:
सबटेंजेंट की लंबाई $= |\frac{y}{-y/nx}| = |nx| = |n| |x|$।
चूंकि सबटेंजेंट की लंबाई भुज $x$ के समानुपाती है,इसलिए $|n|$ एक स्थिरांक होना चाहिए।
अतः,$n$ कोई भी शून्येतर वास्तविक संख्या हो सकती है।

(B) दिया गया वक्र $x^{n} y^{m}=a^{m+n}$,जहाँ $m, n > 0$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$n \ln x + m \ln y = (m+n) \ln a$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{n}{x} + \frac{m}{y} \frac{dy}{dx} = 0$.
अवकलज के लिए हल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{n}{m} \cdot \frac{y}{x}$.
अधिस্পর্শी की लंबाई $|\frac{y}{dy/dx}|$ के रूप में परिभाषित है।
अवकलज का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$|\frac{y}{-(n/m)(y/x)}| = |-\frac{m}{n} x| = \frac{m}{n} |x|$.
अतः,$(x_{1}, y_{1})$ बिंदु पर अधिस্পর্শी की लंबाई $\frac{m}{n} |x_{1}|$ है।

(C) माना कि वक्र $y = f(x)$ है। सबटेंजेंट की लंबाई $|y \frac{dx}{dy}|$ द्वारा और सबनॉर्मल की लंबाई $|y \frac{dy}{dx}|$ द्वारा दी जाती है।
माना कि ऑर्डिनेट $y$ है।
अतः,सबटेंजेंट और सबनॉर्मल का गुणनफल:
$\text{Subtangent} \times \text{Subnormal} = |y \frac{dx}{dy}| \times |y \frac{dy}{dx}| = |y^2| = y^2$.
चूंकि पहले और तीसरे पद का गुणनफल दूसरे पद (ऑर्डिनेट) के वर्ग के बराबर है,इसलिए ये तीनों राशियाँ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं।

(D) दिया गया वक्र $y = \log_{e} x$ $(i)$ है।
माना स्पर्श बिंदु $P(\alpha, \beta)$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $(y - \beta) = \frac{1}{\alpha}(x - \alpha)$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरती है,इसलिए $(0 - \beta) = \frac{1}{\alpha}(0 - \alpha)$,जिससे $\beta = 1$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ से,$P$ पर,$\beta = \log_{e} \alpha$ है। $\beta = 1$ होने के कारण,$1 = \log_{e} \alpha$,अतः $\alpha = e$ है।
इस प्रकार,स्पर्श बिंदु $P(e, 1)$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{1}{e}$ है,इसलिए $P$ पर अभिलंब की ढाल $-e$ है।
$P(e, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $(y - 1) = -e(x - e)$ है,जिसे सरल करने पर $ex + y - (e^{2} + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $ex + y - (e^{2} + 1) = 0$ पर डाले गए लंब की लंबाई $d = \frac{|e(0) + 1(0) - (e^{2} + 1)|}{\sqrt{e^{2} + 1^{2}}} = \frac{e^{2} + 1}{\sqrt{e^{2} + 1}} = \sqrt{e^{2} + 1}$ है।

(C) दिया गया वक्र: $4x^{5} = 5y^{4}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $20x^{4} = 20y^{3} \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x^{4}}{y^{3}}$.
सबटेंजेंट की लंबाई $(ST) = \left| y \frac{dx}{dy} \right| = \left| y \frac{y^{3}}{x^{4}} \right| = \frac{y^{4}}{x^{4}}$.
सबनॉर्मल की लंबाई $(SN) = \left| y \frac{dy}{dx} \right| = \left| y \frac{x^{4}}{y^{3}} \right| = \frac{x^{4}}{y^{2}}$.
हमें सबटेंजेंट के घन और सबनॉर्मल के वर्ग का अनुपात ज्ञात करना है:
$\frac{(ST)^{3}}{(SN)^{2}} = \frac{(y^{4}/x^{4})^{3}}{(x^{4}/y^{2})^{2}} = \frac{y^{12}/x^{12}}{x^{8}/y^{4}} = \frac{y^{16}}{x^{20}} = \left(\frac{y^{4}}{x^{5}}\right)^{4}$.
चूंकि $4x^{5} = 5y^{4}$,इसलिए $\frac{y^{4}}{x^{5}} = \frac{4}{5}$.
अतः,अनुपात $\left(\frac{4}{5}\right)^{4} = \frac{4^{4}}{5^{4}}$ है।

(B) वक्र $y=f(x)$ की स्पर्श रेखा की प्रवणता (slope) $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
यदि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के लंबवत है,तो यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
एक ऊर्ध्वाधर रेखा के लिए,प्रवणता अपरिभाषित होती है,जिसका अर्थ है कि $\frac{dy}{dx} \to \infty$।
यह इस कथन के बराबर है कि $y$ के सापेक्ष स्पर्श रेखा की प्रवणता,जो $\frac{dx}{dy}$ है,$0$ होनी चाहिए।

(A) दिया गया है,$x=a(t+\sin t)$ और $y=a(1-\cos t)$।
सबसे पहले,हम $t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = a(1+\cos t) = 2a \cos^2 \frac{t}{2}$
$\frac{dy}{dt} = a \sin t = 2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}$
अब,स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{2a \cos^2 \frac{t}{2}} = \tan \frac{t}{2}$ है।
अधिस্পর্শक की लंबाई $\left| \frac{y}{dy/dx} \right|$ के रूप में परिभाषित है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
अधिस্পর্শक की लंबाई $= \frac{a(1-\cos t)}{\tan \frac{t}{2}} = \frac{2a \sin^2 \frac{t}{2}}{\tan \frac{t}{2}} = \frac{2a \sin^2 \frac{t}{2}}{\sin \frac{t}{2} / \cos \frac{t}{2}} = 2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2} = a \sin t$।

(A) दिया गया वक्र $y^{2}=x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2y \frac{dy}{dx} = 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
स्पर्श रेखा की ढाल $m = \tan(\theta)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\theta = 45^{\circ}$,इसलिए $m = \tan(45^{\circ}) = 1$.
ढाल की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2y} = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$.
$y = \frac{1}{2}$ को वक्र के समीकरण $y^{2} = x$ में रखने पर:
$x = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ है।

(C) दिया गया वक्र $x^{2} y^{2} = a^{4}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x y^{2} + 2x^{2} y \frac{dy}{dx} = 0$.
बिंदु $(-a, a)$ पर मान रखने पर:
$2(-a)(a)^{2} + 2(-a)^{2}(a) \frac{dy}{dx} = 0$.
$-2a^{3} + 2a^{3} \frac{dy}{dx} = 0$.
$2a^{3} \frac{dy}{dx} = 2a^{3} \implies \frac{dy}{dx} = 1$.
अधःस्पर्शक की लंबाई का सूत्र $\left| \frac{y}{dy/dx} \right|$ होता है।
$y = a$ और $\frac{dy}{dx} = 1$ रखने पर:
अधःस्पर्शक की लंबाई $= \left| \frac{a}{1} \right| = a$.

(D) दिए गए वक्र $2x = y^2$ $(i)$ और $2xy = K$ $(ii)$ हैं।
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,$2x = y^2$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 \cdot y = K \Rightarrow y^3 = K \Rightarrow y = K^{1/3}$.
अतः $2x = (K^{1/3})^2 = K^{2/3} \Rightarrow x = \frac{K^{2/3}}{2}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{K^{2/3}}{2}, K^{1/3})$ है।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु पर ढाल $m_1 = \frac{1}{K^{1/3}}$.
$(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(y + x \frac{dy}{dx}) = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु पर ढाल $m_2 = -\frac{K^{1/3}}{K^{2/3}/2} = -2K^{-1/3}$.
चूंकि वक्र लंबवत प्रतिच्छेद करते हैं,$m_1 \cdot m_2 = -1$.
$(\frac{1}{K^{1/3}}) \cdot (-2K^{-1/3}) = -1$.
$-2K^{-2/3} = -1 \Rightarrow K^{-2/3} = \frac{1}{2}$.
$K^{2/3} = 2 \Rightarrow (K^{2/3})^3 = 2^3 \Rightarrow K^2 = 8$.

(B) दिया गया वक्र समीकरण: $y^{2} = x$ $(1)$
स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि ढाल $m = \tan(\theta)$,जहाँ $\theta$ $x$-अक्ष के साथ बना कोण है।
यहाँ,$\theta = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $m = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 1$
$m = \frac{dy}{dx} = 1$ रखने पर:
$2y(1) = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$.
अब $y = \frac{1}{2}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(\frac{1}{2})^{2} = x \Rightarrow x = \frac{1}{4}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ है।

(A) वक्र का दिया गया समीकरण: $y = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$.
सबसे पहले,स्पर्श रेखा की प्रवणता $(m_{1})$ ज्ञात करने के लिए $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$y = x^{2} - x^{-2}$
$\frac{dy}{dx} = 2x - (-2)x^{-3} = 2x + \frac{2}{x^{3}}$.
अब,बिंदु $(-1, 0)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात करते हैं:
$m_{1} = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(-1, 0)} = 2(-1) + \frac{2}{(-1)^{3}} = -2 + \frac{2}{-1} = -2 - 2 = -4$.
अभिलंब की प्रवणता $(m_{2})$ स्पर्श रेखा की प्रवणता का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है:
$m_{1} \times m_{2} = -1$
$-4 \times m_{2} = -1$
$m_{2} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$.
अतः,वक्र के बिंदु $(-1, 0)$ पर अभिलंब की प्रवणता $1/4$ है।

(B) $(0,3)$ और $(5,-2)$ से गुजरने वाली रेखा का ढाल $m = \frac{-2-3}{5-0} = \frac{-5}{5} = -1$ है।
रेखा का समीकरण $y - 3 = -1(x - 0)$ है,जो $x + y - 3 = 0$ या $y = -x + 3$ के रूप में सरल होता है।
यदि रेखा वक्र $y = \frac{c}{x+1}$ की स्पर्शरेखा है,तो वक्र का अवकलज रेखा के ढाल के बराबर होना चाहिए: $\frac{dy}{dx} = \frac{-c}{(x+1)^2} = -1$.
इससे $c = (x+1)^2$ प्राप्त होता है।
रेखा के समीकरण में $y = \frac{c}{x+1}$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{c}{x+1} = -x + 3$.
चूँकि $c = (x+1)^2$,इसलिए $\frac{(x+1)^2}{x+1} = -x + 3$,जो $x + 1 = -x + 3$ हो जाता है।
$x$ के लिए हल करने पर: $2x = 2$,अतः $x = 1$.
$x = 1$ को $c = (x+1)^2$ में रखने पर,$c = (1+1)^2 = 4$ प्राप्त होता है।

(B) वक्र का समीकरण $y = \sqrt{x}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$ प्राप्त होती है।
माना $x$-अक्ष के समानांतर रेखा $y = k$ है। इस रेखा की ढाल $m_2 = 0$ है।
वक्र और रेखा के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{\frac{1}{2\sqrt{x_1}} - 0}{1 + (\frac{1}{2\sqrt{x_1}})(0)} \right|$
$1 = \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$
$2\sqrt{x_1} = 1 \Rightarrow \sqrt{x_1} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $y_1 = \sqrt{x_1}$,इसलिए $y_1 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखा $y = k$ है और यह $y = \frac{1}{2}$ बिंदु से गुजरती है,इसलिए रेखा का समीकरण $y = \frac{1}{2}$ है।

(C) वक्र का समीकरण $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ $\dots(i)$ है।
वक्र पर कोई भी बिंदु $(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ के रूप में लिया जा सकता है।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\tan \theta$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y - a \sin^3 \theta = -\tan \theta (x - a \cos^3 \theta)$ है,जो सरल होकर $x \sin \theta + y \cos \theta = \frac{a}{2} \sin 2\theta$ हो जाता है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से स्पर्शरेखा की लंबवत दूरी $p_1 = \left| \frac{-\frac{a}{2} \sin 2\theta}{\sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}} \right| = \frac{a}{2} \sin 2\theta$ है,इसलिए $2p_1 = a \sin 2\theta$ $\dots(ii)$।
अभिलंब की ढाल $\cot \theta$ है। अभिलंब का समीकरण $y - a \sin^3 \theta = \cot \theta (x - a \cos^3 \theta)$ है,जो सरल होकर $x \cos \theta - y \sin \theta = a \cos 2\theta$ हो जाता है।
मूल बिंदु से अभिलंब की लंबवत दूरी $p_2 = \left| \frac{-a \cos 2\theta}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} \right| = a \cos 2\theta$ $\dots(iii)$ है।
$(ii)$ और $(iii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर,$(2p_1)^2 + p_2^2 = a^2 \sin^2 2\theta + a^2 \cos^2 2\theta = a^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$4p_1^2 + p_2^2 = a^2$। इसे $k_1 p_1^2 + k_2 p_2^2 = a^2$ से तुलना करने पर,$k_1 = 4$ और $k_2 = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$k_1 + k_2 = 4 + 1 = 5$।

(A) दिया गया है कि वक्र $y=f(x)$ बिंदु $(\alpha, \beta)$ से गुजरता है,इसलिए $\beta=f(\alpha)$ है।
इसे रेखा के समीकरण $p\alpha+m\beta+n=0$ में रखने पर,बिंदु $(\alpha, \beta)$ रेखा पर स्थित है।
वक्र $y=f(x)$ की $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $f^{\prime}(\alpha)$ है।
रेखा $px+my+n=0$ की ढाल $-\frac{p}{m}$ है (यह मानते हुए कि $m \neq 0$)।
रेखा के स्पर्शरेखा होने के लिए,ढाल समान होनी चाहिए: $f^{\prime}(\alpha) = -\frac{p}{m}$,जिसका अर्थ है $mf^{\prime}(\alpha) = -p$,या $p+mf^{\prime}(\alpha) = 0$.
अतः,जब $p+mf^{\prime}(\alpha) = 0$ होता है,तो रेखा $(\alpha, \beta)$ पर वक्र की स्पर्शरेखा होती है।

(A) दिया गया वक्र $y=\frac{1+3x^2}{3+x^2}$ है।
$y=1$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए:
$\frac{1+3x^2}{3+x^2} = 1$ $\Rightarrow 1+3x^2 = 3+x^2$ $\Rightarrow 2x^2 = 2$ $\Rightarrow x = \pm 1$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ और $(-1, 1)$ हैं।
अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{16x}{(3+x^2)^2}$.
$x=1$ पर,$\frac{dy}{dx} = 1$। अभिलंब की ढाल $m_1 = -1$ होगी।
$(1, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y+x = 2$ है।
$x=-1$ पर,$\frac{dy}{dx} = -1$। अभिलंब की ढाल $m_2 = 1$ होगी।
$(-1, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y-x = 2$ है।
$y+x=2$ और $y-x=2$ को हल करने पर,$x=0$ और $y=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$(\alpha, \beta) = (0, 2)$।
इसलिए,$3\alpha+2\beta = 3(0) + 2(2) = 4$।

(A) दिया गया वक्र $y=x^2+5$ है।
बिंदु $A(-2,9)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल:
$y' = 2x$.
$x = -2$ पर,ढाल $m = 2(-2) = -4$.
चूंकि $A$ पर स्पर्श रेखा जीवा $BC$ के समानांतर है,इसलिए जीवा $BC$ की ढाल भी $-4$ होगी।
मान लीजिए $C$ के निर्देशांक $(x', y')$ हैं,जहाँ $y' = x'^2 + 5$.
जीवा $BC$ की ढाल $\frac{y' - 6}{x' - 1} = -4$.
$y' - 6 = -4(x' - 1)$ $\Rightarrow y' - 6 = -4x' + 4$ $\Rightarrow y' = -4x' + 10$.
$y' = x'^2 + 5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x'^2 + 5 = -4x' + 10 \Rightarrow x'^2 + 4x' - 5 = 0$.
$(x' + 5)(x' - 1) = 0$.
अतः,$x' = -5$ या $x' = 1$.
यदि $x' = 1$ है,तो $C$ बिंदु $(1, 6)$ है,जो कि बिंदु $B$ है।
यदि $x' = -5$ है,तो $y' = (-5)^2 + 5 = 30$.
अतः,$C$ के निर्देशांक $(-5, 30)$ हैं।

(C) माना बिंदु $P$ है $(at, \frac{a}{t})$।
वक्र का समीकरण $xy = a^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(at, \frac{a}{t})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\frac{a/t}{at} = -\frac{1}{t^2}$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - \frac{a}{t} = -\frac{1}{t^2}(x - at)$ है।
$t^2y - at = -x + at$,जिसे सरल करने पर $x + t^2y = 2at$ प्राप्त होता है।
$x$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें: $x = 2at$। अतः,$A = (2at, 0)$।
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें: $t^2y = 2at$,अतः $y = \frac{2a}{t}$। अतः,$B = (0, \frac{2a}{t})$।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABO$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2at) \times (\frac{2a}{t}) = 2a^2$ वर्ग इकाई है।

(B) माना कि दो वक्र $y_1 = 4x^2+2x-8$ और $y_2 = x^3-x+13$ हैं।
वक्रों के एक-दूसरे को स्पर्श करने के लिए,उन्हें एक उभयनिष्ठ बिंदु $(x, y)$ साझा करना चाहिए और उस बिंदु पर समान ढाल $\frac{dy}{dx}$ होनी चाहिए।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{dy_1}{dx} = 8x+2$
$\frac{dy_2}{dx} = 3x^2-1$
ढालों की तुलना करने पर:
$8x+2 = 3x^2-1$
$3x^2-8x-3 = 0$
$(3x+1)(x-3) = 0$
इससे $x = 3$ या $x = -\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अब,इन $x$-मानों के लिए $y$-निर्देशांक की जाँच करें:
$x = 3$ के लिए:
$y_1 = 4(3)^2 + 2(3) - 8 = 34$
$y_2 = (3)^3 - 3 + 13 = 37$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $(3,37)$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$,जहाँ $a = f^{\prime}(1)$,$b = f^{\prime \prime}(2)$,और $c = -f^{\prime \prime \prime}(3)$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f^{\prime}(x) = 3x^2 + 2ax + b$,$f^{\prime \prime}(x) = 6x + 2a$,$f^{\prime \prime \prime}(x) = 6$.
अब,स्थिरांकों के लिए हल करें:
$f^{\prime \prime \prime}(3) = 6$,इसलिए $c = -6$.
$f^{\prime \prime}(2) = 6(2) + 2a = 12 + 2a$. चूँकि $b = f^{\prime \prime}(2)$,इसलिए $b = 12 + 2a$.
$f^{\prime}(1) = 3(1)^2 + 2a(1) + b = 3 + 2a + b$. चूँकि $a = f^{\prime}(1)$,इसलिए $a = 3 + 2a + b$.
$b = 12 + 2a$ को $a$ के समीकरण में रखने पर: $a = 3 + 2a + (12 + 2a) \Rightarrow a = 15 + 4a \Rightarrow -3a = 15 \Rightarrow a = -5$.
अतः $b = 12 + 2(-5) = 2$.
इस प्रकार,$f(x) = x^3 - 5x^2 + 2x - 6$.
$x=0$ पर,$y = f(0) = -6$. बिंदु $(0, -6)$ है।
ढाल $m = f^{\prime}(0) = 3(0)^2 - 10(0) + 2 = 2$.
$(0, -6)$ पर स्पर्शरेखा $y - (-6) = 2(x - 0) \Rightarrow y = 2x - 6$. $X$-अंतःखंड $3$ है।
$(0, -6)$ पर अभिलंब $y - (-6) = -\frac{1}{2}(x - 0) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x - 6$. $X$-अंतःखंड $-12$ है।
त्रिभुज बिंदुओं $(0, -6)$,$(3, 0)$,और $(-12, 0)$ द्वारा बनता है।
आधार की लंबाई $= 3 - (-12) = 15$. ऊँचाई $= |-6| = 6$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 15 \times 6 = 45$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण $x = a(\theta + \sin \theta)$ और $y = a(1 - \cos \theta)$ हैं।
सबसे पहले,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 + \cos \theta)$
$\frac{dy}{d\theta} = a(\sin \theta)$
अब,स्पर्शरेखा की ढाल $m = \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \sin \theta}{a(1 + \cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \tan(\frac{\theta}{2})$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $m = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m} = -1$ होगी।
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर बिंदु के निर्देशांक $x = a(\frac{\pi}{2} + 1)$ और $y = a(1 - 0) = a$ हैं।
अभिलंब की लंबाई का सूत्र $|y \sqrt{1 + m^2}|$ है,इसलिए $|a \sqrt{1 + (1)^2}| = |a \sqrt{2}| = a \sqrt{2}$।

(B) दिया गया वक्र $x^3 + y^3 = 2xy$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 2y + 2x \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(1, 1)$ पर,$3(1)^2 + 3(1)^2 \frac{dy}{dx} = 2(1) + 2(1) \frac{dy}{dx}$,जो सरल होकर $3 + 3 \frac{dy}{dx} = 2 + 2 \frac{dy}{dx}$ हो जाता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -1$। स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = -1$ और अभिलंब की ढाल $m_n = 1$ है।
बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = -1(x - 1)$ है,जो सरल होकर $x + y = 2$ हो जाता है।
बिंदु $(1, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 1 = 1(x - 1)$ है,जो सरल होकर $y = x$ हो जाता है।
स्पर्श रेखा $X$-अक्ष $(y = 0)$ को $x = 2$ पर काटती है,अतः बिंदु $(2, 0)$ है।
अभिलंब $X$-अक्ष $(y = 0)$ को $x = 0$ पर काटता है,अतः बिंदु $(0, 0)$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $(0, 0)$,$(2, 0)$ और $(1, 1)$ हैं।
$X$-अक्ष पर त्रिभुज का आधार $(0, 0)$ और $(2, 0)$ के बीच की दूरी है,जो $2$ इकाई है।
त्रिभुज की ऊँचाई बिंदु $(1, 1)$ का $y$-निर्देशांक है,जो $1$ इकाई है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ वर्ग इकाई।

(C) दिया गया वक्र $y = x \log x$ है।
अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$.
बिंदु $P(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \log x + 1$ है।
बिंदु $P$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{\log x + 1}$ है।
दी गई रेखा $2x - 2y = 3$ है,जिसे $y = x - \frac{3}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_l = 1$ है।
चूंकि अभिलंब रेखा के समांतर है,इसलिए $m_n = m_l$,अतः $-\frac{1}{\log x + 1} = 1$.
इसका अर्थ है $\log x + 1 = -1$,इसलिए $\log x = -2$.
अतः,$x = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$.
$x$ का मान वक्र के समीकरण में रखने पर: $y = \frac{1}{e^2} \log(\frac{1}{e^2}) = \frac{1}{e^2} (-2) = -\frac{2}{e^2}$.
इसलिए,बिंदु $P$ $(\frac{1}{e^2}, -\frac{2}{e^2})$ है।

(C) वक्र का समीकरण $x^{2/3} + y^{2/3} = 4$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}y^{-1/3} \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{1/3}$।
बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = -(\beta/\alpha)^{1/3}$ है।
दी गई रेखा $\sqrt{3}x + y = 1$ है,जिसे $y = -\sqrt{3}x + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसकी ढाल $-\sqrt{3}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा रेखा के समांतर है,$-(\beta/\alpha)^{1/3} = -\sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $(\beta/\alpha)^{1/3} = \sqrt{3}$।
दोनों पक्षों का घन करने पर,$\beta/\alpha = 3\sqrt{3}$,इसलिए $\beta = 3\sqrt{3}\alpha$।
चूंकि $(\alpha, \beta)$ वक्र पर स्थित है,$\alpha^{2/3} + (3\sqrt{3}\alpha)^{2/3} = 4$।
$\alpha^{2/3} + (3^{3/2}\alpha)^{2/3} = 4 \implies \alpha^{2/3} + 3\alpha^{2/3} = 4$।
$4\alpha^{2/3} = 4 \implies \alpha^{2/3} = 1 \implies \alpha^2 = 1$।
तब $\beta^2 = (3\sqrt{3}\alpha)^2 = 27\alpha^2 = 27(1) = 27$।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 = 1 + 27 = 28$।

(D) दिया गया वक्र $y = f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 + 5x$ है।
अवकलन करने पर $f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x + 5$ प्राप्त होता है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = 4x_1^3 - 6x_1^2 + 2x_1 + 5$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $-y_1 = m(-x_1)$,जिसका अर्थ है $y_1 = m x_1$।
$y_1 = x_1^4 - 2x_1^3 + x_1^2 + 5x_1$ और $m = 4x_1^3 - 6x_1^2 + 2x_1 + 5$ रखने पर:
$x_1^4 - 2x_1^3 + x_1^2 + 5x_1 = x_1(4x_1^3 - 6x_1^2 + 2x_1 + 5)$।
$x_1^4 - 2x_1^3 + x_1^2 + 5x_1 = 4x_1^4 - 6x_1^3 + 2x_1^2 + 5x_1$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3x_1^4 - 4x_1^3 + x_1^2 = 0$।
चूंकि $x_1 \in \mathbb{N}$,इसलिए $x_1 \neq 0$,अतः $x_1^2$ से विभाजित करने पर:
$3x_1^2 - 4x_1 + 1 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(3x_1 - 1)(x_1 - 1) = 0$।
इससे $x_1 = 1$ या $x_1 = 1/3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x_1 \in \mathbb{N}$,इसलिए $x_1 = 1$ होगा।
तब $y_1 = 1^4 - 2(1)^3 + 1^2 + 5(1) = 1 - 2 + 1 + 5 = 5$।
अतः,$x_1 + y_1 = 1 + 5 = 6$।

(C) दिया गया वक्र $x^2 + 3y^2 = 9$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 6y \frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y}$।
बिंदु $P(3 \cos \theta, \sqrt{3} \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_{T1} = -\frac{3 \cos \theta}{3 \sqrt{3} \sin \theta} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \cot \theta$ है। अभिलंब की ढाल $m_{N1} = \sqrt{3} \tan \theta$ है।
बिंदु $Q(-3 \sin \theta, \sqrt{3} \cos \theta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_{T2} = -\frac{-3 \sin \theta}{3 \sqrt{3} \cos \theta} = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan \theta$ है। अभिलंब की ढाल $m_{N2} = -\sqrt{3} \cot \theta$ है।
अभिलंबों के बीच का कोण $\beta$,$\tan \beta = |\frac{m_{N1} - m_{N2}}{1 + m_{N1} m_{N2}}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \beta = |\frac{\sqrt{3} \tan \theta - (-\sqrt{3} \cot \theta)}{1 + (\sqrt{3} \tan \theta)(-\sqrt{3} \cot \theta)}| = |\frac{\sqrt{3}(\tan \theta + \cot \theta)}{1 - 3}| = |\frac{\sqrt{3}(\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta})}{-2}| = \frac{\sqrt{3}}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 2 \theta} = \sqrt{3} \operatorname{cosec} 2 \theta$।

(D) दिया गया वक्र $y = x^2 + x - 1$ और बिंदु $(1, 1)$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें $\frac{dy}{dx} = 2x + 1$.
बिंदु $(1, 1)$ पर,ढाल $m = \frac{dy}{dx} = 2(1) + 1 = 3$.
किसी बिंदु $(x, y)$ पर ढाल $m$ वाले वक्र के लिए:
स्पर्शरेखा की लंबाई $a = |y| \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}} = |1| \sqrt{1 + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3} \approx 1.054$.
उप-स्पर्शरेखा की लंबाई $b = |\frac{y}{m}| = |\frac{1}{3}| = 0.333$.
अभिलंब की लंबाई $c = |y| \sqrt{1 + m^2} = |1| \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3.162$.
उप-अभिलंब की लंबाई $d = |ym| = |1 \times 3| = 3$.
मानों की तुलना करने पर: $b = 0.333$,$a = 1.054$,$d = 3$,$c = 3.162$.
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $b < a < d < c$ है।

(B) दिया गया वक्र $y = \frac{1}{2x-5}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(2x-5)^2} \times 2 = -\frac{2}{(2x-5)^2}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $-2$ दी गई है।
अतः,$-\frac{2}{(2\alpha-5)^2} = -2$.
$(2\alpha-5)^2 = 1$.
$2\alpha-5 = 1$ या $2\alpha-5 = -1$.
यदि $2\alpha-5 = 1$,तो $2\alpha = 6$,अतः $\alpha = 3$. तब $\beta = \frac{1}{2(3)-5} = 1$। बिंदु $P(3, 1)$ प्रथम चतुर्थांश में है।
यदि $2\alpha-5 = -1$,तो $2\alpha = 4$,अतः $\alpha = 2$। तब $\beta = \frac{1}{2(2)-5} = -1$। बिंदु $P(2, -1)$ चौथे चतुर्थांश में है।
चूंकि $P$ चौथे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\alpha = 2$ और $\beta = -1$ है।
अतः,$\alpha - \beta = 2 - (-1) = 3$।

(B) दिया गया वक्र $4y^3 = 3ax^2 + x^3$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$12y^2 \frac{dy}{dx} = 6ax + 3x^2$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(a, a)$ पर,ढाल $m = \frac{dy}{dx} = \frac{6a(a) + 3a^2}{12a^2} = \frac{9a^2}{12a^2} = \frac{3}{4}$ है।
$(a, a)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - a = \frac{3}{4}(x - a)$ है,जो $4y - 4a = 3x - 3a$ अर्थात $3x - 4y + a = 0$ में सरल हो जाता है।
निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $x = -\frac{a}{3}$ और $y = \frac{a}{4}$ हैं।
अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_{int} \times y_{int}| = \frac{1}{2} |(-\frac{a}{3}) \times (\frac{a}{4})| = \frac{a^2}{24}$ है।
चूंकि क्षेत्रफल $\frac{25}{24}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{a^2}{24} = \frac{25}{24}$,जिसका अर्थ है $a^2 = 25$,अतः $a = \pm 5$।

(A) माना कि दो वक्र $C_1: y^2 = x$ और $C_2: x^2 = y$ हैं।
सबसे पहले,हम बिंदु $(1,1)$ पर इन वक्रों की स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करते हैं।
$C_1: y^2 = x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$।
$(1,1)$ पर,ढाल $m_1 = \frac{1}{2(1)} = \frac{1}{2}$ है।
$C_2: x^2 = y$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 2x$ प्राप्त होता है।
$(1,1)$ पर,ढाल $m_2 = 2(1) = 2$ है।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2 - 1/2}{1 + (2)(1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{1 + 1} \right| = \left| \frac{3/2}{2} \right| = \frac{3}{4}$।
अतः,$\theta = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।

(B) दिया गया वक्र $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}}$ है।
माना $x=2 \cos^3 \theta$ और $y=2 \sin^3 \theta$ है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,निर्देशांक $x = 2(\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ हैं।
अवकलन $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = -\tan \theta$ है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,$\frac{dy}{dx} = -\tan(\frac{\pi}{4}) = -1$ है।
बिंदु $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - \frac{1}{\sqrt{2}} = -1(x - \frac{1}{\sqrt{2}})$ है,जो $x + y = \sqrt{2}$ में सरल हो जाता है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $y=0$ पर काटती है,जिससे $x = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है,अतः बिंदु $(\sqrt{2}, 0)$ है।
स्पर्श बिंदु $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ से $x$-अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु $(\sqrt{2}, 0)$ तक स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{(\sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (0 - \frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$ है।

(B) दिया गया वक्र $y^2 = ax^3 + b$ है।
चूंकि बिंदु $(2,3)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $3^2 = a(2)^3 + b$,जिसका अर्थ है $9 = 8a + b$ या $b = 9 - 8a$।
वक्र के समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 3ax^2$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{3ax^2}{2y}$।
बिंदु $(2,3)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{3a(2)^2}{2(3)} = \frac{12a}{6} = 2a$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y = 4x - 5$ दिया गया है,जिसकी ढाल $4$ है।
ढालों की तुलना करने पर,$2a = 4$,अतः $a = 2$।
$a = 2$ को $b = 9 - 8a$ में रखने पर,$b = 9 - 8(2) = 9 - 16 = -7$ प्राप्त होता है।
अंत में,$a^2 + b^2 = (2)^2 + (-7)^2 = 4 + 49 = 53$।

(C) दिए गए वक्र $y^2=2x$ और $x^2+y^2=8$ हैं।
दूसरे समीकरण में $y^2=2x$ रखने पर: $x^2+2x-8=0$.
गुणनखंड करने पर $(x+4)(x-2)=0$ प्राप्त होता है। चूँकि $y^2=2x$ के लिए $x$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x=2$.
$x=2$ के लिए,$y^2=4$,अतः $y=2$ (धनात्मक प्रतिच्छेदन बिंदु लेने पर)।
$y^2=2x$ का अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 2$ प्राप्त होता है,अतः $(2, 2)$ बिंदु पर $m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$.
$x^2+y^2=8$ का अवकलन करने पर $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,अतः $(2, 2)$ बिंदु पर $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} = -\frac{2}{2} = -1$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{1/2 - (-1)}{1 + (1/2)(-1)} \right| = \left| \frac{3/2}{1/2} \right| = 3$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(3)$.

(C) दिया गया वक्र $y = (\frac{x}{2024})^k$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = k(\frac{x}{2024})^{k-1} \cdot \frac{1}{2024} = \frac{k x^{k-1}}{(2024)^k}$ प्राप्त होता है।
सबनॉर्मल की लंबाई का सूत्र $|y \frac{dy}{dx}|$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$|(\frac{x}{2024})^k \cdot \frac{k x^{k-1}}{(2024)^k}| = |\frac{k x^{2k-1}}{(2024)^{2k}}|$ प्राप्त होता है।
सबनॉर्मल की लंबाई को अचर होने के लिए,इसे $x$ से स्वतंत्र होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $x$ का घातांक $0$ होना चाहिए,अतः $2k - 1 = 0$।
$k$ के लिए हल करने पर,$k = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वक्र $y=x^3-2x+7$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2-2$.
बिंदु $(1,6)$ पर,ढाल $m$ है:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = 3(1)^2-2 = 3-2 = 1$.
बिंदु $(x_1, y_1) = (1,6)$ से गुजरने वाली और $m=1$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण है:
$y-y_1 = m(x-x_1)$
$y-6 = 1(x-1)$
$y-6 = x-1$
$y = x+5$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया वक्र $y=x^2+x$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 2x+1$।
बिंदु $(1,2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1,2)} = 2(1)+1 = 3$ है।
अभिलंब की ढाल $m = \frac{-1}{\text{स्पर्श रेखा की ढाल}} = \frac{-1}{3}$ होगी।
बिंदु $(x_1, y_1) = (1,2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $y - 2 = \frac{-1}{3}(x - 1)$।
$3$ से गुणा करने पर: $3y - 6 = -x + 1$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x + 3y - 7 = 0$।

(A) बिंदु $A(0, \alpha)$ वक्र $y=f(x)$ पर स्थित है,इसलिए $f(0)=\alpha$ है।
दिया गया है कि $f(0)=2$,इसलिए $\alpha=2$ है।
बिंदुओं $A(0, 2)$ और $B(8, \beta)$ को जोड़ने वाली जीवा $AB$ की ढाल इस प्रकार है:
$m_{chord} = \frac{\beta - 2}{8 - 0} = \frac{\beta - 2}{8}$
वक्र $y=f(x)$ की $x=4$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $f^{\prime}(4) = \frac{-3}{4}$ है।
चूंकि जीवा $AB$,$x=4$ पर स्पर्श रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$\frac{\beta - 2}{8} = \frac{-3}{4}$
दोनों पक्षों को $8$ से गुणा करने पर:
$\beta - 2 = -3 \times 2$
$\beta - 2 = -6$
$\beta = -6 + 2 = -4$
अतः,$\beta$ का मान $-4$ है।

(D) वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4t+3}{3t^2-8t-3}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि अभिलंब $X$-अक्ष के समांतर है,इसलिए उस बिंदु पर स्पर्श रेखा $Y$-अक्ष के समांतर होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि स्पर्श रेखा की ढाल अपरिभाषित होनी चाहिए,अर्थात $\frac{dx}{dt} = 0$।
हर को शून्य के बराबर रखने पर: $3t^2-8t-3 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(3t+1)(t-3) = 0$।
इससे $t = 3$ और $t = -\frac{1}{3}$ प्राप्त होते हैं।
$t$ के इन मानों के लिए स्पर्श रेखा की ढाल अपरिभाषित है,जिसका अर्थ है कि अभिलंब $X$-अक्ष के समांतर है।
अतः,ऐसे कुल $2$ बिंदु हैं।