वक्र 9y^2 = x^3 पर उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञ | vedclass

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Question

(A) दिया गया वक्र $9y^2 = x^3$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$18y \frac{dy}{dx} = 3x^2$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{6y}$।बिंदु $(x_1, y_1)$ पर

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$\left( 4, \frac{8}{3} \right)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया वक्र $9y^2 = x^3$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$18y \frac{dy}{dx} = 3x^2$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{6y}$।बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_T = \frac{x_1^2}{6y_1}$ है।अभिलंब की ढाल $m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{6y_1}{x_1^2}$ होगी।चूंकि अभिलंब अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाता है,इसलिए इसकी ढाल $-1$ होनी चाहिए।अतः,$-\frac{6y_1}{x_1^2} = -1 \implies x_1^2 = 6y_1$।इस मान को वक्र के समीकरण $9y_1^2 = x_1^3$ में रखने पर: $9(\frac{x_1^2}{6})^2 = x_1^3 \implies 9(\frac{x_1^4}{36}) = x_1^3 \implies \frac{x_1^4}{4} = x_1^3$।इससे $x_1 = 4$ प्राप्त होता है। अतः $y_1^2 = \frac{64}{9} \implies y_1 = \pm \frac{8}{3}$।इस प्रकार,बिंदु $(4, \frac{8}{3})$ और $(4, -\frac{8}{3})$ हैं। विकल्प $A$ सही है।

वक्र $9y^2 = x^3$ पर उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ वक्र का अभिलंब अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाता है:

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