वह बिंदु (बिंदुएं) जिस पर वक्र y = x^3 - 3x^2 | vedclass

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Question

(B) माना बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा $X$-अक्ष को $A(a, 0)$ पर और $Y$-अक्ष को $B(0, -2a)$ पर काटती है (क्योंकि $OX$ पर खंड $OY$ पर कटे खंड का आध

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$(3, -15)$

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(B) माना बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा $X$-अक्ष को $A(a, 0)$ पर और $Y$-अक्ष को $B(0, -2a)$ पर काटती है (क्योंकि $OX$ पर खंड $OY$ पर कटे खंड का आधा है और $B$ ऋणात्मक $Y$-अक्ष पर है)।स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{0 - (-2a)}{a - 0} = \frac{2a}{a} = 2$ है।दिए गए वक्र $y = x^3 - 3x^2 - 7x + 6$ के लिए,किसी भी बिंदु पर ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x - 7$ है।ढाल को $2$ के बराबर रखने पर: $3x_1^2 - 6x_1 - 7 = 2 \implies 3x_1^2 - 6x_1 - 9 = 0 \implies x_1^2 - 2x_1 - 3 = 0$।$x_1$ के लिए हल करने पर: $(x_1 - 3)(x_1 + 1) = 0$,अतः $x_1 = 3$ या $x_1 = -1$।यदि $x_1 = 3$ है,तो $y_1 = (3)^3 - 3(3)^2 - 7(3) + 6 = 27 - 27 - 21 + 6 = -15$। बिंदु $(3, -15)$ है।यदि $x_1 = -1$ है,तो $y_1 = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 7(-1) + 6 = -1 - 3 + 7 + 6 = 9$। बिंदु $(-1, 9)$ है।बिंदु $P(-1, 9)$ के लिए अंतःखंड की शर्त की जाँच करने पर: स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 9 = 2(x + 1) \implies y = 2x + 11$ है। $X$-अंतःखंड $A$ $(-5.5, 0)$ है,और $Y$-अंतःखंड $B$ $(0, 11)$ है। $OX$ पर लंबाई $5.5$ (ऋणात्मक दिशा) है,जो शर्त को पूरा नहीं करती है।बिंदु $P(3, -15)$ के लिए जाँच करने पर: स्पर्श रेखा का समीकरण $y + 15 = 2(x - 3) \implies y = 2x - 21$ है। $X$-अंतःखंड $A$ $(10.5, 0)$ है,और $Y$-अंतःखंड $B$ $(0, -21)$ है। $OX$ पर लंबाई $10.5$ है और $OY$ पर लंबाई $21$ है। चूंकि $10.5 = \frac{1}{2}(21)$,यह बिंदु शर्त को पूरा करता है।अतः,सही बिंदु $(3, -15)$ है।

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वक्र $y=4x^{3}-2x^{5}$ के लिए,वे सभी बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ स्पर्श रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है।

वक्र $ay^2 = x^3$ पर उस बिंदु का $x-$ निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ अभिलंब अक्षों पर समान अंतःखंड बनाता है।

वक्र $y=\cos(x+y)$ के लिए $-2\pi \leq x \leq 2\pi$ अंतराल में उन सभी स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $x+2y=0$ के समांतर हैं।

वक्रों $x^2 y = 1$ और $y(x^2 + 1) = 2$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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