एक अरेखीय वक्र y = f(x) के किसी बिंदु P(x, y) | vedclass

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Question

(A) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है। $P$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $Y - y = f'(x)(X - x)$ है।बिंदु $A$ के लिए ($Y=0$ रखने पर),$X = x - \frac{y}{f'(x)}$,अतः $

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$y = \frac{6}{x}$

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(A) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है। $P$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $Y - y = f'(x)(X - x)$ है।बिंदु $A$ के लिए ($Y=0$ रखने पर),$X = x - \frac{y}{f'(x)}$,अतः $A = (x - \frac{y}{f'(x)}, 0)$।बिंदु $B$ के लिए ($X=0$ रखने पर),$Y = y - x f'(x)$,अतः $B = (0, y - x f'(x))$।$P$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{f'(x)}$ है। इसका समीकरण $Y - y = -\frac{1}{f'(x)}(X - x)$ है।बिंदु $C$ के लिए ($X=0$ रखने पर),$Y = y + \frac{x}{f'(x)}$,अतः $C = (0, y + \frac{x}{f'(x)})$।दिया है $AC = BC$,जिसका अर्थ है $AC^2 = BC^2$। दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:$(x - \frac{y}{f'(x)})^2 + (y + \frac{x}{f'(x)})^2 = (-x f'(x) - \frac{x}{f'(x)})^2$इस समीकरण को सरल करने पर $f'(x) = -\frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।$\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$ का समाकलन करने पर $\ln y = -\ln x + \ln c$ प्राप्त होता है,अर्थात $xy = c$।$f(2) = 3$ रखने पर,$2 	imes 3 = c$,अतः $c = 6$।अतः,वक्र का समीकरण $xy = 6$ या $y = \frac{6}{x}$ है।

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वक्र $y = 2 + \sqrt{4x + 1}$ पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{2}{5}$ है।

वक्र $x = a(\theta + \sin \theta)$ और $y = a(1 - \cos \theta)$ के लिए,बिंदु $\theta$ पर स्पर्श रेखा और उप-स्पर्श रेखा की लंबाई क्रमशः क्या है?

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{for } x < 0 \\ x^2 + 8 & \text{for } x \ge 0 \end{cases}$ है। तो $f(x)$ के ग्राफ को स्पर्श करने वाली रेखा का $x$-अंतःखंड ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि वक्र $x=y^{2}$ और $xy=k$ समकोण पर काटते हैं यदि $8k^{2}=1$ है।

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