Tangent and Normal Questions in Hindi

(C) $x$-अक्ष के समानांतर रेखा का समीकरण $y = \lambda$ मानिए।
चूंकि रेखा वक्र $y = \sqrt{x}$ को काटती है,इसलिए $\lambda = \sqrt{x}$,जिसका अर्थ है $x = \lambda^2$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $P(\lambda^2, \lambda)$ है।
वक्र $y = \sqrt{x}$ की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ है।
बिंदु $P(\lambda^2, \lambda)$ पर,ढाल $m = \frac{1}{2\sqrt{\lambda^2}} = \frac{1}{2|\lambda|}$ है।
रेखा (ढाल $0$) और वक्र (ढाल $m$) के बीच का कोण $45^\circ$ है।
इसलिए,$\tan(45^\circ) = \left| \frac{m - 0}{1 + m \cdot 0} \right| = |m|$।
$1 = \left| \frac{1}{2\lambda} \right|$,जिससे $2|\lambda| = 1$ प्राप्त होता है,अतः $\lambda = \pm \frac{1}{2}$।
चूंकि $y = \sqrt{x}$ का अर्थ है $y \ge 0$,इसलिए हम $\lambda = \frac{1}{2}$ लेते हैं।
अतः,रेखा का समीकरण $y = \frac{1}{2}$ है।

(C) दिए गए वक्र $r_1 = \sin \theta + \cos \theta$ और $r_2 = 2 \sin \theta$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु पर,$r_1 = r_2$,इसलिए $\sin \theta + \cos \theta = 2 \sin \theta$,जिसका अर्थ है $\cos \theta = \sin \theta$,या $\tan \theta = 1$। अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$।
$r_1 = \sin \theta + \cos \theta$ के लिए,$\frac{dr_1}{d\theta} = \cos \theta - \sin \theta$। $\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,$\frac{dr_1}{d\theta} = 0$। कोण $\phi_1$ के लिए $\tan \phi_1 = \frac{r_1}{dr_1/d\theta} = \frac{\sqrt{2}}{0} = \infty$,इसलिए $\phi_1 = \frac{\pi}{2}$।
$r_2 = 2 \sin \theta$ के लिए,$\frac{dr_2}{d\theta} = 2 \cos \theta$। $\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,$\frac{dr_2}{d\theta} = \sqrt{2}$। कोण $\phi_2$ के लिए $\tan \phi_2 = \frac{r_2}{dr_2/d\theta} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$,इसलिए $\phi_2 = \frac{\pi}{4}$।
प्रतिच्छेदन कोण $\psi = |\phi_1 - \phi_2| = |\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}| = \frac{\pi}{4}$।

(B) वक्र $y^2 = \frac{2x}{\pi}$ और $y = \sin x$ बिंदु $(0, 0)$ और $(\pi/2, 1)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
माना वक्रों की स्पर्श रेखाओं की प्रवणता (gradients) क्रमशः $m_1$ और $m_2$ हैं।
$y^2 = \frac{2x}{\pi}$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = \frac{2}{\pi}$,अतः $m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\pi y}$।
$y = \sin x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $m_2 = \frac{dy}{dx} = \cos x$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\pi/2, 1)$ पर:
$m_1 = \frac{1}{\pi(1)} = \frac{1}{\pi}$।
$m_2 = \cos(\pi/2) = 0$।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{1/\pi - 0}{1 + (1/\pi)(0)} \right| = \frac{1}{\pi}$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1/\pi) = \cot^{-1}(\pi)$।

(C) दिया गया वक्र $xy = a^2$ है,इसलिए $y = \frac{a^2}{x}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{a^2}{x^2}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\frac{a^2}{x_1^2}$ है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = -\frac{a^2}{x_1^2}(x - x_1)$ है।
$x_1^2$ से गुणा करने पर,$x_1^2 y - x_1^2 y_1 = -a^2 x + a^2 x_1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x_1 y_1 = a^2$,यह समीकरण $x_1^2 y + a^2 x = a^2 x_1 + x_1^2 y_1 = x_1(a^2 + x_1 y_1) = x_1(a^2 + a^2) = 2a^2 x_1$ बन जाता है।
$a^2 x_1$ से विभाजित करने पर,समीकरण $\frac{x}{2x_1} + \frac{y}{2a^2/x_1} = 1$ प्राप्त होता है।
यह रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a'} + \frac{y}{b'} = 1$ है,जहाँ अंतःखंड $a' = 2x_1$ और $b' = \frac{2a^2}{x_1}$ हैं।
अक्षों और स्पर्श रेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |a'| \times |b'| = \frac{1}{2} \times (2x_1) \times \left(\frac{2a^2}{x_1}\right) = 2a^2$ है।

(B) दिया गया वक्र $y = \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right)$ है।
सबसे पहले,बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा (tangent) की ढाल ज्ञात करने के लिए $\frac{dy}{dx}$ निकालें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) \right) = \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) \cdot \frac{\pi}{2}$.
अब,$(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल का मान ज्ञात करें:
$m_{tangent} = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, 1)} = \frac{\pi}{2} \cos \left( \frac{\pi(1)}{2} \right) = \frac{\pi}{2} \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2} \cdot 0 = 0$.
चूंकि स्पर्श रेखा की ढाल $0$ है,इसलिए स्पर्श रेखा एक क्षैतिज रेखा है।
अभिलंब की ढाल स्पर्श रेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है,जो $-\frac{1}{0}$ है,जो एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दर्शाती है।
बिंदु $(1, 1)$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण $x = 1$ है।

(C) दिया गया वक्र $y = 2 \cos x$ है।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$y$ का मान $y = 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = 2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2}$ है।
अब,अवकलन ज्ञात करने पर $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (2 \cos x) = -2 \sin x$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{x = \pi/4} = -2 \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = -2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -\sqrt{2}$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = \left( \frac{\pi}{4}, \sqrt{2} \right)$ और ढाल $m = -\sqrt{2}$ के लिए स्पर्शरेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y - \sqrt{2} = -\sqrt{2} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)$ प्राप्त होता है।

(A) वक्र $y^2 = 4x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(1, 2)$ पर,ढाल $m_1 = \frac{2}{2} = 1$ है।
वक्र $x^2 + y^2 = 5$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(1, 2)$ पर,ढाल $m_2 = -\frac{1}{2}$ है।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{1 - (-1/2)}{1 + (1)(-1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{1/2} \right| = 3$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(3)$।

(B) दिया गया वक्र $b{y^2} = {(x + a)^3}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2by \cdot \frac{dy}{dx} = 3{(x + a)^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{3{(x + a)^2}}{2by}$।
उपअभिलंब (subnormal) का सूत्र $y \cdot \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{3{(x + a)^2}}{2by} = \frac{3{(x + a)^2}}{2b}$ है।
उपस्पर्शरेखा (subtangent) का सूत्र $\frac{y}{\frac{dy}{dx}} = \frac{y}{\frac{3{(x + a)^2}}{2by}} = \frac{2by^2}{3{(x + a)^2}}$ है।
$y^2 = \frac{{(x + a)^3}}{b}$ को उपस्पर्शरेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
उपस्पर्शरेखा $= \frac{2b \cdot \frac{{(x + a)^3}}{b}}{3{(x + a)^2}} = \frac{2(x + a)}{3}$।
इसलिए,$(Subtangent)^2 = \frac{4}{9}{(x + a)^2}$।
अब,अनुपात $\frac{(Subtangent)^2}{Subnormal} = \frac{\frac{4}{9}{(x + a)^2}}{\frac{3}{2b}{(x + a)^2}} = \frac{8b}{27}$,जो एक स्थिरांक है।
अतः,$(Subtangent)^2 \propto Subnormal$।

(C) दिया गया वक्र $y = ax^2 + bx$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 2ax + b$.
बिंदु $(2, -8)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(2, -8)} = 2a(2) + b = 4a + b$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल $0$ होनी चाहिए।
अतः,$4a + b = 0 \Rightarrow b = -4a$ ..... $(i)$.
चूंकि बिंदु $(2, -8)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण $y = ax^2 + bx$ को संतुष्ट करेगा।
$x = 2$ और $y = -8$ रखने पर: $-8 = a(2)^2 + b(2) \Rightarrow -8 = 4a + 2b$ ..... $(ii)$.
समीकरण $(i)$ से $b = -4a$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$-8 = 4a + 2(-4a)$
$-8 = 4a - 8a$
$-8 = -4a \Rightarrow a = 2$.
अब,$b = -4a$ का उपयोग करके $b$ ज्ञात करें:
$b = -4(2) = -8$.
इस प्रकार,$a = 2$ और $b = -8$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$ है।
बिंदु $(x_0, y_0)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $Y - y_0 = -\frac{\sqrt{y_0}}{\sqrt{x_0}}(X - x_0)$ है।
सरल करने पर,$X\sqrt{y_0} + Y\sqrt{x_0} = x_0\sqrt{y_0} + y_0\sqrt{x_0} = \sqrt{x_0y_0}(\sqrt{x_0} + \sqrt{y_0}) = \sqrt{x_0y_0}\sqrt{a}$ प्राप्त होता है।
$\sqrt{a}\sqrt{x_0y_0}$ से विभाजित करने पर,हमें अंतःखंड रूप प्राप्त होता है: $\frac{X}{\sqrt{a}\sqrt{x_0}} + \frac{Y}{\sqrt{a}\sqrt{y_0}} = 1$।
अक्षों पर अंतःखंड $X_{int} = \sqrt{a}\sqrt{x_0}$ और $Y_{int} = \sqrt{a}\sqrt{y_0}$ हैं।
अंतःखंडों का योग $\sqrt{a}(\sqrt{x_0} + \sqrt{y_0}) = \sqrt{a}(\sqrt{a}) = a$ है।

(D) दिया गया वक्र $y = x \log x$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = 1 + \log x$.
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = 1 + \log x$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1 + \log x}$ होती है।
दी गई रेखा $2x - 2y = 3$ है,जिसे $y = x - \frac{3}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $1$ है।
चूंकि अभिलंब रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$-\frac{1}{1 + \log x} = 1$
$-1 = 1 + \log x$
$\log x = -2$
$x = e^{-2}$.
अब,$x = e^{-2}$ को वक्र के समीकरण में रखने पर:
$y = e^{-2} \log(e^{-2}) = e^{-2} (-2) = -2e^{-2}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(e^{-2}, -2e^{-2})$ है।

(C) वक्र $y = f(x)$ के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
वक्र के अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि अभिलंब $x-$अक्ष के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल $0$ होनी चाहिए।
अतः,$-\frac{1}{\frac{dy}{dx}} = 0$।
इसका तात्पर्य यह है कि $\frac{dx}{dy} = 0$।

(C) अभिलंब की लंबाई का सूत्र है: $L = |y| \sqrt{1 + (dy/dx)^2}$।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$dx/d\theta = a(1 + \cos \theta)$
$dy/d\theta = a \sin \theta$
अतः,$dy/dx = (dy/d\theta) / (dx/d\theta) = (a \sin \theta) / (a(1 + \cos \theta)) = \sin \theta / (1 + \cos \theta)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,$\sin \theta = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$ और $1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\theta/2)$।
इसलिए,$dy/dx = \tan(\theta/2)$।
$\theta = \pi/2$ पर,$dy/dx = \tan(\pi/4) = 1$।
साथ ही,$\theta = \pi/2$ पर,$y = a(1 - \cos(\pi/2)) = a(1 - 0) = a$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$L = |a| \sqrt{1 + (1)^2} = a \sqrt{2}$।

(C) दिया गया वक्र: $x = a(\cos \theta + \theta \sin \theta )$ और $y = a(\sin \theta - \theta \cos \theta )$.
सबसे पहले,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{d\theta} = a(\cos \theta - (\cos \theta - \theta \sin \theta)) = a\theta \sin \theta$.
$\frac{dx}{d\theta} = a(-\sin \theta + (\sin \theta + \theta \cos \theta)) = a\theta \cos \theta$.
इसलिए,स्पर्शरेखा (tangent) की ढाल:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\theta \sin \theta}{a\theta \cos \theta} = \tan \theta$.
अभिलंब की ढाल स्पर्शरेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम है:
$m_n = -\frac{1}{\tan \theta} = -\cot \theta = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
$\theta$ बिंदु पर अभिलंब का समीकरण:
$y - a(\sin \theta - \theta \cos \theta) = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta} (x - a(\cos \theta + \theta \sin \theta))$.
$\sin \theta$ से गुणा करने पर:
$y \sin \theta - a \sin^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta = -x \cos \theta + a \cos^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta$.
समीकरण को सरल करने पर:
$x \cos \theta + y \sin \theta = a(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = a$.
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $x \cos \theta + y \sin \theta - a = 0$ की लंबवत दूरी:
$d = \frac{|-a|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = |a| = a$.
चूंकि $a$ एक स्थिरांक है,इसलिए अभिलंब मूल बिंदु से एक स्थिर दूरी पर है।

(A) माना स्पर्श बिंदु $(h, k)$ है,जहाँ $k = h^4$ है।
वक्र $y = x^4$ की $(h, k)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 4x^3$ द्वारा दी जाती है। $x = h$ पर ढाल $m = 4h^3$ है।
$(h, k)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - k = 4h^3(x - h)$ है।
चूँकि स्पर्श रेखा बिंदु $(2, 0)$ से होकर गुजरती है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$0 - h^4 = 4h^3(2 - h)$
$-h^4 = 8h^3 - 4h^4$
$3h^4 - 8h^3 = 0$
$h^3(3h - 8) = 0$
इससे $h = 0$ या $h = \frac{8}{3}$ प्राप्त होता है।
$h = 0$ के लिए,स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 0 = 4(0)^3(x - 0)$ है,जो सरल होकर $y = 0$ हो जाता है।
$h = \frac{8}{3}$ के लिए,स्पर्श रेखा का समीकरण $y - (\frac{8}{3})^4 = 4(\frac{8}{3})^3(x - \frac{8}{3})$ है।
अतः,$y = 0$ स्पर्श रेखा का एक समीकरण है।

(D) दिए गए वक्र $y = x^2$ और $x = y^2$ हैं।
$y = x^2$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 2x$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(1, 1)$ पर,ढाल $m_1 = 2(1) = 2$ है।
$x = y^2$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 = 2y \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$।
बिंदु $(1, 1)$ पर,ढाल $m_2 = \frac{1}{2(1)} = \frac{1}{2}$ है।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2 - 1/2}{1 + 2(1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{2} \right| = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।

(B) दिया गया वक्र समीकरण $y = 2x^2 - x + 1$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^2 - x + 1) = 4x - 1$.
दी गई रेखा $y = 3x + 9$ है,जो $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ ढाल $m = 3$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा $y = 3x + 9$ के समानांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए।
अतः,$4x - 1 = 3$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$4x = 4 \implies x = 1$.
अब,$y$-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए $x = 1$ को मूल वक्र समीकरण में रखें:
$y = 2(1)^2 - (1) + 1 = 2 - 1 + 1 = 2$.
इस प्रकार,अभीष्ट बिंदु $(1, 2)$ है।

(C) दिए गए वक्र का समीकरण: ${x^3} - 8{a^2}y = 0$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $3{x^2} - 8{a^2} \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{3{x^2}}{8{a^2}}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{\frac{dy}{dx}} = -\frac{8{a^2}}{3{x^2}}$ होती है।
हमें अभिलंब की ढाल $\frac{-2}{3}$ दी गई है।
तुलना करने पर: $-\frac{8{a^2}}{3{x^2}} = -\frac{2}{3}$।
इसे सरल करने पर $\frac{8{a^2}}{{x^2}} = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है ${x^2} = 4{a^2}$,इसलिए $x = 2a$।
अब $x = 2a$ को मूल वक्र समीकरण में रखने पर: ${(2a)^3} - 8{a^2}y = 0$।
$8{a^3} - 8{a^2}y = 0$,जिसका अर्थ है $8{a^2}(a - y) = 0$,इसलिए $y = a$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(2a, a)$ है।

(C) दिया गया वक्र $x = a(t + \sin t)$ और $y = a(1 - \cos t)$ है।
सबसे पहले,अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = a(1 + \cos t)$ और $\frac{dy}{dt} = a \sin t$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a \sin t}{a(1 + \cos t)} = \frac{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}{2 \cos^2(t/2)} = \tan(t/2)$.
अभिलंब की लंबाई का सूत्र $L = |y| \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ है।
मान रखने पर:
$L = |a(1 - \cos t)| \sqrt{1 + \tan^2(t/2)}$
$L = a(2 \sin^2(t/2)) \sqrt{\sec^2(t/2)}$
$L = 2a \sin^2(t/2) \sec(t/2)$
चूंकि $\sec(t/2) = \frac{1}{\cos(t/2)}$,इसलिए:
$L = 2a \sin(t/2) \cdot \frac{\sin(t/2)}{\cos(t/2)} = 2a \sin(t/2) \tan(t/2)$.

(B) दिया गया वक्र $y = e^{2x}$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}$।
बिंदु $(0, 1)$ पर ढाल $m$ है: $m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(0, 1)} = 2e^{2(0)} = 2(1) = 2$।
बिंदु $(x_1, y_1) = (0, 1)$ और ढाल $m = 2$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण: $y - y_1 = m(x - x_1)$।
मान रखने पर: $y - 1 = 2(x - 0) \Rightarrow y = 2x + 1$।
जहाँ स्पर्श रेखा $x-$अक्ष को मिलती है,वहाँ $y = 0$ रखने पर:
$0 = 2x + 1 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -1/2$।
अतः,स्पर्श रेखा $x-$अक्ष को $(-1/2, 0)$ बिंदु पर मिलती है।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण: $(1 + x^2)y = 2 - x$ ......$(i)$
यह $x$-अक्ष को वहाँ काटता है जहाँ $y = 0$ है। $(i)$ में $y = 0$ रखने पर:
$0 = 2 - x \Rightarrow x = 2$.
अतः,वक्र $x$-अक्ष को $(2, 0)$ बिंदु पर मिलता है।
अब,$y$ को $x$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$y = \frac{2 - x}{1 + x^2}$.
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + x^2)(-1) - (2 - x)(2x)}{(1 + x^2)^2}$
$= \frac{-1 - x^2 - 4x + 2x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 1}{(1 + x^2)^2}$.
$(2, 0)$ बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2, 0)} = \frac{2^2 - 4(2) - 1}{(1 + 2^2)^2} = \frac{4 - 8 - 1}{25} = \frac{-5}{25} = -\frac{1}{5}$.
$(2, 0)$ बिंदु पर और $m = -\frac{1}{5}$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - 0 = -\frac{1}{5}(x - 2)$
$5y = -x + 2$
$x + 5y = 2$.

(C) दिए गए वक्र $y = x^2$ और $6y = 7 - x^3$ हैं।
वक्र $y = x^2$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 2x$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(1, 1)$ पर,ढाल $m_1 = 2(1) = 2$ है।
वक्र $6y = 7 - x^3$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$6 \frac{dy}{dx} = -3x^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2}{2}$ मिलता है।
बिंदु $(1, 1)$ पर,ढाल $m_2 = -\frac{1^2}{2} = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$ है,इसलिए ढालों का गुणनफल $-1$ है।
अतः,वक्र समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,जो कि $\frac{\pi}{2}$ है।

(B) दिया गया वक्र समीकरण $y = 2x^2 - x + 1$ है।
किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx} = 4x - 1$ द्वारा दी जाती है।
दी गई रेखा $y = 3x + 4$ है,जो $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ ढाल $m = 3$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,दी गई रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए। अतः,हम अवकलज को रेखा की ढाल के बराबर रखते हैं:
$4x - 1 = 3$
$4x = 4$
$x = 1$
अब,$P$ का $y$-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए $x = 1$ को वक्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$y = 2(1)^2 - (1) + 1$
$y = 2 - 1 + 1 = 2$
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(1, 2)$ हैं।

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $xy = c^2$ $(i)$
किसी वक्र पर बिंदु $(x, y)$ पर उप-अभिलंब (subnormal) का सूत्र है: $\text{Subnormal} = y \frac{dy}{dx}$
समीकरण $(i)$ से,$y = \frac{c^2}{x}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{c^2}{x^2}$
अब,$\frac{dy}{dx}$ का मान उप-अभिलंब के सूत्र में रखने पर:
$\text{Subnormal} = y \left( -\frac{c^2}{x^2} \right)$
चूंकि $x = \frac{c^2}{y}$,इसलिए $x$ का मान व्यंजक में रखने पर:
$\text{Subnormal} = y \left( -\frac{c^2}{(\frac{c^2}{y})^2} \right) = y \left( -\frac{c^2}{\frac{c^4}{y^2}} \right)$
$= y \left( -\frac{c^2 y^2}{c^4} \right) = -\frac{y^3}{c^2}$
चूंकि $c$ एक स्थिरांक है,इसलिए उप-अभिलंब का मान $y^3$ के समानुपाती होता है।

(A) दिया गया वक्र समीकरण ${y^2} = 5x - 1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{5}{2y}$।
बिंदु $(1, -2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{5}{2(-2)} = -\frac{5}{4}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-5/4} = \frac{4}{5}$ है।
बिंदु $(1, -2)$ पर अभिलंब का समीकरण $(y - y_1) = m_n(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$(y - (-2)) = \frac{4}{5}(x - 1)$ प्राप्त होता है।
$5(y + 2) = 4(x - 1) \implies 5y + 10 = 4x - 4$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$4x - 5y - 14 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए रूप $ax - 5y + b = 0$ के साथ तुलना करने पर,$a = 4$ और $b = -14$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वक्र समीकरण $y = 6x - x^2$ है .....$(i)$
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करके स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 6 - 2x$
दी गई रेखा $4x - 2y - 1 = 0$ है,जिसे $2y = 4x - 1$ या $y = 2x - 0.5$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m = 2$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,दी गई रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$\frac{dy}{dx} = 2$
$6 - 2x = 2$
$2x = 4$
$x = 2$
अब,$y$-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए $x = 2$ को वक्र के समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$y = 6(2) - (2)^2 = 12 - 4 = 8$
अतः,स्पर्श बिंदु $(2, 8)$ है।

(D) वक्र के प्राचलिक समीकरण दिए गए हैं: $x = a(1 + \cos \theta)$ और $y = a \sin \theta$.
सबसे पहले,हम $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$.
अभिलंब की ढाल स्पर्श रेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है:
$m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{-\cot \theta} = \tan \theta$.
बिंदु $(a(1 + \cos \theta), a \sin \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण है:
$y - a \sin \theta = \tan \theta (x - a(1 + \cos \theta))$
$y - a \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - a - a \cos \theta)$
$y \cos \theta - a \sin \theta \cos \theta = x \sin \theta - a \sin \theta - a \sin \theta \cos \theta$
$y \cos \theta = x \sin \theta - a \sin \theta$
$y \cos \theta = \sin \theta (x - a)$.
यदि हम समीकरण में बिंदु $(a, 0)$ प्रतिस्थापित करें:
$0 \cdot \cos \theta = \sin \theta (a - a)$
$0 = 0$.
अतः,अभिलंब हमेशा निश्चित बिंदु $(a, 0)$ से होकर गुजरता है।

(A) वक्र के प्राचलिक समीकरण दिए गए हैं: $x = a(\theta + \sin \theta)$ और $y = a(1 - \cos \theta)$.
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 + \cos \theta)$
$\frac{dy}{d\theta} = a\sin \theta$
अब,$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\sin \theta}{a(1 + \cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin(\pi/2)}{1 + \cos(\pi/2)} = \frac{1}{1 + 0} = 1$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर $y$ का मान $y = a(1 - \cos(\pi/2)) = a(1 - 0) = a$ है।
अधःस्पर्शक की लंबाई $ST = \left| \frac{y}{dy/dx} \right| = \left| \frac{a}{1} \right| = a$.
अधोलंब की लंबाई $SN = |y \cdot \frac{dy}{dx}| = |a \cdot 1| = a$.
अतः,चूंकि $ST = a$ और $SN = a$,इसलिए $ST = SN$ है।

(B) दिया गया वक्र $x + y = e^{xy}$ है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$1 + \frac{dy}{dx} = e^{xy} \left( y + x \frac{dy}{dx} \right)$
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$1 + \frac{dy}{dx} = y e^{xy} + x e^{xy} \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} (1 - x e^{xy}) = y e^{xy} - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y e^{xy} - 1}{1 - x e^{xy}}$
जब स्पर्शक $y-$ अक्ष के समानांतर होता है,तो ढाल $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित होती है,जो हर (denominator) के शून्य होने पर होती है:
$1 - x e^{xy} = 0$
$x e^{xy} = 1$
चूंकि $e^{xy} = x + y$,हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$x(x + y) = 1$
$x^2 + xy = 1$
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर:
$(1, 0)$ के लिए: $1^2 + (1)(0) = 1 + 0 = 1$. यह शर्त को संतुष्ट करता है।
अतः,बिंदु $(1, 0)$ पर स्पर्शक $y-$ अक्ष के समानांतर है।

(A) दिया गया वक्र $y = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,स्पर्श रेखा की ढाल प्राप्त होती है:
$\frac{dy}{dx} = 2x^2 + x$ ... $(i)$
चूंकि स्पर्श रेखा अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए झुकाव कोण $\theta = 45^\circ$ या $135^\circ$ (अर्थात $\pm 45^\circ$) होगा।
अतः,ढाल $m = \tan(\pm 45^\circ) = \pm 1$.
स्थिति $1$: $\frac{dy}{dx} = 1$
$2x^2 + x = 1 \implies 2x^2 + x - 1 = 0$
$(2x - 1)(x + 1) = 0 \implies x = \frac{1}{2}$ या $x = -1$.
स्थिति $2$: $\frac{dy}{dx} = -1$
$2x^2 + x = -1 \implies 2x^2 + x + 1 = 0$.
यहाँ विविक्तकर $D = 1^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7 < 0$ है,इसलिए इस स्थिति में कोई वास्तविक हल नहीं है।
अब,संगत $y$-निर्देशांक ज्ञात करते हैं:
$x = \frac{1}{2}$ के लिए,$y = \frac{2}{3}(\frac{1}{8}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{4}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{5}{24}$.
$x = -1$ के लिए,$y = \frac{2}{3}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2 = -\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left( \frac{1}{2}, \frac{5}{24} \right)$ और $\left( -1, -\frac{1}{6} \right)$ हैं।

(D) वक्र का समीकरण दिया गया है: $y^3 + 3x^2 = 12y$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$3y^2 \frac{dy}{dx} + 6x = 12 \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx}(3y^2 - 12) = -6x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{-6x}{3y^2 - 12} = \frac{2x}{4 - y^2}$.
स्पर्शरेखा के ऊर्ध्वाधर ($y$-अक्ष के समानांतर) होने के लिए,ढाल $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित होना चाहिए,जो तब होता है जब हर शून्य हो:
$4 - y^2 = 0 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.
स्थिति $1$: यदि $y = 2$,तो $2^3 + 3x^2 = 12(2) \implies 8 + 3x^2 = 24 \implies 3x^2 = 16 \implies x^2 = \frac{16}{3} \implies x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$.
स्थिति $2$: यदि $y = -2$,तो $(-2)^3 + 3x^2 = 12(-2) \implies -8 + 3x^2 = -24 \implies 3x^2 = -16$,जिसका $x$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,बिंदु $\left( \pm \frac{4}{\sqrt{3}}, 2 \right)$ हैं।

(D) दिया गया वक्र $y^2 = x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$।
किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{1}{2y_1}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा $x-$ अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है,इसलिए ढाल $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ है।
ढालों की तुलना करने पर,$\frac{1}{2y_1} = 1$,जिससे $y_1 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$y_1 = \frac{1}{2}$ को वक्र के समीकरण $y^2 = x$ में रखने पर,$x_1 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ है।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण: $y = 2 + 4x - 4x^2$।
स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2 + 4x - 4x^2) = 4 - 8x$।
हमें दिया गया है कि स्पर्शरेखा की ढाल $-4$ है।
अतः,$4 - 8x = -4$।
$-8x = -8 \Rightarrow x = 1$।
अब,$x = 1$ को मूल समीकरण में रखकर संगत $y$-निर्देशांक ज्ञात करते हैं:
$y = 2 + 4(1) - 4(1)^2 = 2 + 4 - 4 = 2$।
स्पर्श बिंदु $(1, 2)$ है।
$m = -4$ ढाल वाली और $(1, 2)$ से गुजरने वाली स्पर्शरेखा का समीकरण:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - 2 = -4(x - 1)$
$y - 2 = -4x + 4$
$4x + y - 6 = 0$।

(D) दिया गया वक्र $2y = 3 - x^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2 \frac{dy}{dx} = -2x$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -x$।
बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1,1)} = -1$ है।
बिंदु $(1, 1)$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{m} = -\frac{1}{-1} = 1$ है।
अभिलंब का समीकरण $(y - 1) = 1(x - 1)$ होगा।
इसे सरल करने पर,$y - 1 = x - 1$,अर्थात $x - y = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया वक्र $y = -\frac{2}{x - 3}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(x - 3)^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि स्पर्शरेखा का ढाल $2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{2}{(x - 3)^2} = 2$ रखने पर।
यह सरल होकर $(x - 3)^2 = 1$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $x - 3 = \pm 1$.
अतः,$x = 4$ या $x = 2$.
$x = 4$ के लिए,$y = -\frac{2}{4 - 3} = -2$. बिंदु $(4, -2)$ प्राप्त होता है।
$x = 2$ के लिए,$y = -\frac{2}{2 - 3} = 2$. बिंदु $(2, 2)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(4, -2)$ पर $2$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y - (-2) = 2(x - 4)$ है,जो सरल होकर $y + 2 = 2x - 8$ अर्थात $y - 2x + 10 = 0$ हो जाता है।
बिंदु $(2, 2)$ पर $2$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y - 2 = 2(x - 2)$ है,जो सरल होकर $y - 2 = 2x - 4$ अर्थात $y - 2x + 2 = 0$ हो जाता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$y - 2x + 10 = 0$ सही विकल्प है।

(D) माना बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
दिया गया वक्र $y = x^3 + 5$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^2$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर,ढाल $m_1 = 3x_1^2$ है।
दी गई रेखा $x + 3y = 2$ है,जिसे $3y = -x + 2$ या $y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{3}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा के लंबवत है,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$ होगा।
अतः,$(3x_1^2) \times (-\frac{1}{3}) = -1$।
$-x_1^2 = -1 \implies x_1^2 = 1 \implies x_1 = \pm 1$।
यदि $x_1 = 1$ है,तो $y_1 = (1)^3 + 5 = 6$।
यदि $x_1 = -1$ है,तो $y_1 = (-1)^3 + 5 = 4$।
इस प्रकार,बिंदु $(1, 6)$ और $(-1, 4)$ हैं।

(B) दिया गया वक्र $y^2 = x^3$ है जहाँ $x = 8$ है।
$x = 8$ को समीकरण में रखने पर: $y^2 = 8^3 = 512$,अतः $y = \pm \sqrt{512} = \pm 16\sqrt{2}$.
बिंदु $(8, 16\sqrt{2})$ और $(8, -16\sqrt{2})$ प्राप्त होते हैं।
$y^2 = x^3$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = 3x^2$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{2y}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(8, \pm 16\sqrt{2})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{3(8)^2}{2(\pm 16\sqrt{2})} = \frac{3 \times 64}{\pm 32\sqrt{2}} = \pm 3\sqrt{2}$.
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = \mp \frac{1}{3\sqrt{2}}$.
अभिलंब का समीकरण $(y - y_1) = m_n(x - x_1)$ है।
बिंदु $(8, \pm 16\sqrt{2})$ के लिए: $(y \mp 16\sqrt{2}) = \mp \frac{1}{3\sqrt{2}}(x - 8)$.
दोनों पक्षों को $\mp 3\sqrt{2}$ से गुणा करने पर: $\mp 3\sqrt{2}y + 96 = x - 8$.
अतः,$x \pm 3\sqrt{2}y = 104$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया वक्र $y = \sin x$ है।
सबसे पहले,स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \cos x$।
अब,बिंदु $(\pi, 0)$ पर ढाल का मान ज्ञात करने पर: $m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(\pi, 0)} = \cos(\pi) = -1$।
बिंदु $(x_1, y_1) = (\pi, 0)$ से गुजरने वाली और $m = -1$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ होता है।
मान रखने पर: $y - 0 = -1(x - \pi)$।
इसे सरल करने पर $y = -x + \pi$ प्राप्त होता है,जिसे $x + y = \pi$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) वक्र $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{y}{x}}$ मिलता है।
$(i)$ यदि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर है,तो $\frac{dy}{dx} = 0$ होगा। इसका अर्थ है $y = 0$। वक्र के समीकरण में $y = 0$ रखने पर,$\sqrt{x} = \sqrt{a}$ प्राप्त होता है,अतः $x = a$। बिंदु $(a, 0)$ है।
$(ii)$ यदि स्पर्श रेखा $y$-अक्ष के समांतर है,तो $\frac{dy}{dx} = \infty$ होगा। इसका अर्थ है $x = 0$। वक्र के समीकरण में $x = 0$ रखने पर,$\sqrt{y} = \sqrt{a}$ प्राप्त होता है,अतः $y = a$। बिंदु $(0, a)$ है।
$(iii)$ यदि स्पर्श रेखा दोनों अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,तो इसकी ढाल $\frac{dy}{dx} = \pm 1$ होगी। अतः,$-\sqrt{\frac{y}{x}} = \pm 1$,जिसका अर्थ है $\frac{y}{x} = 1$,यानी $y = x$। वक्र के समीकरण में $y = x$ रखने पर,$2\sqrt{x} = \sqrt{a}$ प्राप्त होता है,जिससे $\sqrt{x} = \frac{\sqrt{a}}{2}$,अर्थात $x = \frac{a}{4}$। चूँकि $y = x$,इसलिए $y = \frac{a}{4}$। बिंदु $(\frac{a}{4}, \frac{a}{4})$ है।
अतः,बिंदु $(a, 0), (0, a), (a/4, a/4)$ हैं।

(D) दिया गया वक्र $x = a(t + \sin t)$ और $y = a(1 - \cos t)$ है।
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = a(1 + \cos t) = a(2 \cos^2 \frac{t}{2}) = 2a \cos^2 \frac{t}{2}$
$\frac{dy}{dt} = a(\sin t) = 2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}$
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{2a \cos^2 \frac{t}{2}} = \tan \frac{t}{2}$ है।
अभिलंब की ढाल $-\frac{dx}{dy} = -\cot \frac{t}{2}$ है।
अभिलंब की लंबाई का सूत्र $|y \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}|$ है।
$|y \sqrt{1 + \tan^2 \frac{t}{2}}| = |y \sec \frac{t}{2}|$ प्राप्त होता है।
$y = a(1 - \cos t) = 2a \sin^2 \frac{t}{2}$ का मान रखने पर:
अभिलंब की लंबाई $= |2a \sin^2 \frac{t}{2} \cdot \frac{1}{\cos \frac{t}{2}}| = |2a \sin \frac{t}{2} \tan \frac{t}{2}|$।

(C) दिया गया वक्र $y = 2 \sin x + \sin 2x$ है।
सबसे पहले,स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cos x + 2 \cos 2x$.
$x = \pi / 3$ पर,ढाल $m$ है:
$m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{x = \pi / 3} = 2 \cos(\pi / 3) + 2 \cos(2\pi / 3) = 2(1/2) + 2(-1/2) = 1 - 1 = 0$.
अब,$x = \pi / 3$ पर $y$-निर्देशांक ज्ञात करें:
$y = 2 \sin(\pi / 3) + \sin(2\pi / 3) = 2(\sqrt{3}/2) + (\sqrt{3}/2) = \sqrt{3} + \sqrt{3}/2 = 3\sqrt{3}/2$.
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर और $m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $(y - y_1) = m(x - x_1)$ होता है।
चूंकि $m = 0$ है,समीकरण $y - 3\sqrt{3}/2 = 0$ हो जाता है,जिसे सरल करने पर $y = 3\sqrt{3}/2$ या $2y = 3\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वक्र समीकरण $by^2 = (x + a)^3$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2by \frac{dy}{dx} = 3(x + a)^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3(x + a)^2}{2by}$
अधोलंब $SN$ की लंबाई $|y \frac{dy}{dx}|$ द्वारा दी जाती है:
$SN = y \cdot \frac{3(x + a)^2}{2by} = \frac{3(x + a)^2}{2b}$
अधोस्पर्श रेखा $ST$ की लंबाई $|y / \frac{dy}{dx}|$ द्वारा दी जाती है:
$ST = y \cdot \frac{2by}{3(x + a)^2} = \frac{2by^2}{3(x + a)^2}$
चूंकि $by^2 = (x + a)^3$,हम इसे $ST$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$ST = \frac{2(x + a)^3}{3(x + a)^2} = \frac{2(x + a)}{3}$
हमें संबंध $p(SN) = q(ST)^2$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $\frac{p}{q} = \frac{(ST)^2}{SN}$।
$SN$ और $ST$ के मान रखने पर:
$\frac{p}{q} = \frac{(\frac{2(x + a)}{3})^2}{\frac{3(x + a)^2}{2b}} = \frac{\frac{4(x + a)^2}{9}}{\frac{3(x + a)^2}{2b}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{2b}{3} = \frac{8b}{27}$.

(A) दिया गया वक्र समीकरण: $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 7$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x - 9$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर तब होती है जब उसकी ढाल शून्य हो,अर्थात $\frac{dy}{dx} = 0$।
अवकलज को शून्य के बराबर रखने पर: $3x^2 - 6x - 9 = 0$।
$3$ से भाग देने पर: $x^2 - 2x - 3 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 3)(x + 1) = 0$।
इससे $x = 3$ और $x = -1$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ के लिए: $y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 7 = -1 - 3 + 9 + 7 = 12$।
$x = 3$ के लिए: $y = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 7 = 27 - 27 - 27 + 7 = -20$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(-1, 12)$ और $(3, -20)$ हैं।

(A) दिया गया वक्र $y = 1 - e^{x/2}$ है।
वह बिंदु जहाँ वक्र $y$-अक्ष को काटता है,उसे ज्ञात करने के लिए हम $x = 0$ रखते हैं।
समीकरण में $x = 0$ रखने पर: $y = 1 - e^{0/2} = 1 - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ है।
अब,स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलज $\frac{dy}{dx}$ निकालते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(1 - e^{x/2}) = -e^{x/2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}e^{x/2}$.
बिंदु $(0, 0)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0,0)} = -\frac{1}{2}e^{0} = -\frac{1}{2}$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (0, 0)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{1}{2}$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
$y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 0)$.
$y = -\frac{1}{2}x$.
$2y = -x$,जिसे सरल करने पर $x + 2y = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वक्र $y^2 = 4ax$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 4a$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$।
बिंदु $(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$ है।
स्पर्श रेखा की लंबाई का सूत्र $|y| \sqrt{1 + (\frac{dx}{dy})^2} = |2at| \sqrt{1 + t^2} = 2at\sqrt{t^2 + 1}$ है (मान लीजिए $t > 0$)।
उप-स्पर्श रेखा (sub-tangent) की लंबाई का सूत्र $|y \frac{dx}{dy}| = |2at \cdot t| = 2at^2$ है।

(B) वक्र का समीकरण $y = be^{-x/a}$ है।
$y$-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें:
$y = be^0 = b$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, b)$ है।
अब,स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = b \cdot (-\frac{1}{a}) e^{-x/a} = -\frac{b}{a} e^{-x/a}$.
बिंदु $(0, b)$ पर ढाल $m$:
$m = (\frac{dy}{dx})_{(0, b)} = -\frac{b}{a} e^0 = -\frac{b}{a}$.
बिंदु $(0, b)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{b}{a}$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ के अनुसार:
$y - b = -\frac{b}{a}(x - 0)$.
$a$ से गुणा करने और सरल करने पर:
$a(y - b) = -bx \implies ay - ab = -bx \implies bx + ay = ab$.
दोनों पक्षों को $ab$ से विभाजित करने पर:
$\frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab} = 1 \implies \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $y^3 + 3x^2 = 12y$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3y^2 \frac{dy}{dx} + 6x = 12 \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर:
$6x = (12 - 3y^2) \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6x}{12 - 3y^2} = \frac{2x}{4 - y^2}$.
स्पर्श रेखा ऊर्ध्वाधर तब होती है जब ढाल $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित हो,जो हर (denominator) के शून्य होने पर होता है:
$4 - y^2 = 0 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.
स्थिति $1$: यदि $y = 2$ है,तो $2^3 + 3x^2 = 12(2) \implies 8 + 3x^2 = 24 \implies 3x^2 = 16 \implies x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$.
स्थिति $2$: यदि $y = -2$ है,तो $(-2)^3 + 3x^2 = 12(-2) \implies -8 + 3x^2 = -24 \implies 3x^2 = -16$,जिसका कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,वे बिंदु जहाँ स्पर्श रेखा ऊर्ध्वाधर है,$\left( \pm \frac{4}{\sqrt{3}}, 2 \right)$ हैं।

(A) दिया गया वक्र $y = \frac{1}{x^2 + 2x + 5}$ है।
$X$-अक्ष के समांतर स्पर्श रेखा ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $\frac{dy}{dx} = 0$ रखते हैं।
चेन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x^2 + 2x + 5)^2} \cdot (2x + 2)$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,$-(2x + 2) = 0$ मिलता है,जिसका अर्थ है $x = -1$.
अब,$y$-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए $x = -1$ को मूल समीकरण में रखने पर:
$y = \frac{1}{(-1)^2 + 2(-1) + 5} = \frac{1}{1 - 2 + 5} = \frac{1}{4}$.
चूंकि स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसका समीकरण $y = \text{स्थिरांक}$ यानी $y = 1/4$ होगा।

(C) वक्र $xy = 1$ दिया गया है,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $y + x \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ है।
वक्र पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = \frac{x}{y}$ होती है।
दी गई रेखा $ax + by + c = 0$ है,जिसे $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m = -\frac{a}{b}$ है।
ढालों की तुलना करने पर,$-\frac{a}{b} = \frac{x}{y}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{a}{b} = -\frac{x}{y}$।
चूंकि $xy = 1$,इसलिए या तो $x, y > 0$ या $x, y < 0$ होगा।
यदि $x, y > 0$ है,तो $\frac{x}{y} > 0$,इसलिए $\frac{a}{b} < 0$ होगा। यह स्थिति तब होती है जब $a > 0, b < 0$ या $a < 0, b > 0$ हो।
यदि $x, y < 0$ है,तो भी $\frac{x}{y} > 0$,इसलिए $\frac{a}{b} < 0$ होगा। यह स्थिति भी $a > 0, b < 0$ या $a < 0, b > 0$ के लिए ही संभव है।
अतः,सही शर्त $a < 0, b > 0$ या $a > 0, b < 0$ है।

(D) दिया गया वक्र $y = be^{-x/a}$ है।
जहाँ यह $y$-अक्ष को काटता है,उस बिंदु के लिए $x = 0$ रखें।
तब $y = be^0 = b$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, b)$ है।
अब,अवकलन करने पर $\frac{dy}{dx} = b \cdot (-\frac{1}{a}) e^{-x/a} = -\frac{b}{a} e^{-x/a}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(0, b)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, b)} = -\frac{b}{a} e^0 = -\frac{b}{a}$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (0, b)$ और ढाल $m = -\frac{b}{a}$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ होता है।
मान रखने पर: $y - b = -\frac{b}{a}(x - 0)$.
$y - b = -\frac{b}{a}x$.
$a$ से गुणा करने पर: $ay - ab = -bx$.
व्यवस्थित करने पर: $bx + ay = ab$.
$ab$ से भाग देने पर: $\frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab} = \frac{ab}{ab}$.
अतः,$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ प्राप्त होता है।