यदि वक्र $y = f(x)$ के बिंदु $(3, 4)$ पर अभिलंब,धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $3\pi / 4$ का कोण बनाता है,तो $f'(3)$ ज्ञात कीजिए।

वक्र $y=\cos(x+y)$ के लिए $-2\pi \leq x \leq 2\pi$ अंतराल में उन सभी स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $x+2y=0$ के समांतर हैं।

वक्र $y=\sqrt{3x-2}$ के स्पर्शरेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $4x-2y+5=0$ के समानांतर है।

वक्र $x = a \cos^3 t, y = a \sin^3 t$ के लिए बिंदु $t$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक बाइजेक्शन है। $y=f(x)$ द्वारा निरूपित एक वक्र ऐसा है कि सभी $x \in R$ के लिए $f^{\prime}(x)>0$ है। वक्र पर $P(\alpha, 1)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा और अभिलंब $X$-अक्ष को क्रमशः $A$ और $B$ पर काटते हैं और $C$,$P$ से $X$-अक्ष पर डाले गए लंब का पाद है। यदि $P(\alpha, 1)$ ऐसा बिंदु है कि $AC+CB$ न्यूनतम है,तो $P$ पर स्पर्श रेखा किस रेखा के समानांतर है?

सिद्ध कीजिए कि रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$,वक्र $y = b \cdot e^{-x / a}$ को उस बिंदु पर स्पर्श करती है जहाँ वक्र $y$-अक्ष को काटता है।