वक्र 9y^2 = x^3 पर किस बिंदु पर वक्र का अभिलं | vedclass

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Question

(A) माना कि अभीष्ट बिंदु $(x_1, y_1)$ है।वक्र का समीकरण $9y^2 = x^3$ है।चूंकि $(x_1, y_1)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $9y_1^2 = x_1^3$ ... $(i)$।$9y^2 = x

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$4, \pm \frac{8}{3}$

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(A) माना कि अभीष्ट बिंदु $(x_1, y_1)$ है।वक्र का समीकरण $9y^2 = x^3$ है।चूंकि $(x_1, y_1)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $9y_1^2 = x_1^3$ ... $(i)$।$9y^2 = x^3$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$18y \frac{dy}{dx} = 3x^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{6y}$।$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{x_1^2}{6y_1}$ है।$(x_1, y_1)$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{6y_1}{x_1^2}$ है।चूंकि अभिलंब अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाता है,इसलिए इसकी ढाल $\pm 1$ होनी चाहिए।अतः,$-\frac{6y_1}{x_1^2} = \pm 1$,जिसका अर्थ है $x_1^2 = \mp 6y_1$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x_1^4 = 36y_1^2$ प्राप्त होता है। समीकरण $(i)$ से $y_1^2 = \frac{x_1^3}{9}$ प्रतिस्थापित करने पर,$x_1^4 = 36 \left( \frac{x_1^3}{9} \right) = 4x_1^3$ मिलता है।इससे $x_1^3(x_1 - 4) = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $x_1 = 0$ या $x_1 = 4$।यदि $x_1 = 0$ है,तो $y_1 = 0$ मिलता है। लेकिन $(0,0)$ पर अभिलंब अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाने वाली रेखा के रूप में परिभाषित नहीं है।यदि $x_1 = 4$ है,तो $9y_1^2 = 4^3 = 64$,इसलिए $y_1^2 = \frac{64}{9}$,जिसका अर्थ है $y_1 = \pm \frac{8}{3}$।अतः,अभीष्ट बिंदु $(4, 8/3)$ और $(4, -8/3)$ हैं।

वक्र $9y^2 = x^3$ पर किस बिंदु पर वक्र का अभिलंब अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाता है?

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