Rate of Change of Quantities Questions in Gujarati

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 1$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$
આપેલ છે કે $y$-યામ $3 \text{ units/sec}$ ના દરે ઘટે છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = -3 \text{ units/sec}$.
બિંદુ $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ પર,$x = \frac{1}{2}$,$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$,અને $\frac{dy}{dt} = -3$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(-3) = 0$
$\frac{1}{2} \frac{dx}{dt} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$\frac{dx}{dt} = 3\sqrt{3} \text{ units/sec}$.
આમ,$x$-યામ $3\sqrt{3} \text{ units/sec}$ ના દરે વધી રહ્યો છે.

(B) ધારો કે $P$ એ પતંગનું સ્થાન છે અને $PR$ એ દોરી છે. ધારો કે $PQ = 120 \ m$ એ અચળ ઊંચાઈ છે.
ધારો કે $QR = x$ અને $PR = y$.
$\triangle PQR$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$y^2 = (120)^2 + x^2 \dots (i)$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2y \frac{dy}{dt} = 2x \frac{dx}{dt}$
$y \frac{dy}{dt} = x \frac{dx}{dt} \dots (ii)$
આપેલ છે કે પતંગ $39 \ m/sec$ ના દરે સમક્ષિતિજ રીતે દૂર જઈ રહી છે,એટલે કે $\frac{dx}{dt} = 39 \ m/sec$.
$(i)$ પરથી,જ્યારે $y = 130 \ m$ હોય:
$(130)^2 = (120)^2 + x^2$
$x^2 = 16900 - 14400 = 2500$
$x = 50 \ m$
આ કિંમતોને $(ii)$ માં મૂકતા:
$130 \frac{dy}{dt} = 50 \times 39$
$\frac{dy}{dt} = \frac{50 \times 39}{130} = \frac{1950}{130} = 15 \ m/sec$.
આમ,જે દરે દોરી બહાર નીકળી રહી છે તે દર $15 \ m/sec$ છે.

(B) ધારો કે નિસરણી $AC = 17 \,m$ છે. દીવાલની ઊંચાઈ $AB = x$ અને જમીન પરનું અંતર $BC = y$ છે.
$\triangle ABC$ માં, પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$x^2 + y^2 = 17^2 = 289$
આપેલ છે કે નીચેનો છેડો $\frac{dy}{dt} = 1 \,m/sec$ ના દરે સરકે છે.
જ્યારે $y = 8 \,m$ હોય, ત્યારે $x^2 + 8^2 = 289 \Rightarrow x^2 = 289 - 64 = 225 \Rightarrow x = 15 \,m$.
$x^2 + y^2 = 289$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$
કિંમતો $x = 15$, $y = 8$, અને $\frac{dy}{dt} = 1$ મૂકતા:
$15 \frac{dx}{dt} + 8(1) = 0$
$15 \frac{dx}{dt} = -8$
$\frac{dx}{dt} = -\frac{8}{15} \,m/sec$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ઊંચાઈ $x$ ઘટી રહી છે. તેથી, ઉપરનો છેડો $\frac{8}{15} \,m/sec$ ના દરે નીચે આવે છે.

(D) ધારો કે $t$ સેકન્ડ સમયે ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A$, પરિમિતિ $P$ અને બાજુની લંબાઈ $X$ છે।
તેથી, $A = X^2$ અને $P = 4X$.
આના પરથી, $P = 4 \sqrt{A}$ મળે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dP}{dt} = 4 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{A}} \cdot \frac{dA}{dt} = \frac{2}{\sqrt{A}} \cdot \frac{dA}{dt}$.
ક્ષેત્રફળ $A = X^2$ હોવાથી, $\sqrt{A} = X$ થાય. તેથી, $\frac{dP}{dt} = \frac{2}{X} \cdot \frac{dA}{dt}$.
અહીં ક્ષેત્રફળ $4 \,cm^2 / sec$ ના દરે ઘટી રહ્યું છે, તેથી $\frac{dA}{dt} = -4 \,cm^2 / sec$.
$X = 20 \,cm$ માટે:
$\frac{dP}{dt} = \frac{2}{20} \times (-4) = -\frac{8}{20} = -\frac{2}{5} \,cm / sec$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પરિમિતિ $\frac{2}{5} \,cm / sec$ ના દરે ઘટી રહી છે.

(B) ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dS}{dt} = 2 \text{ cm}^2/\text{sec}$ અને $r = 6 \text{ cm}$,તેથી $2 = 8 \pi (6) \frac{dr}{dt}$.
આમ,$\frac{dr}{dt} = \frac{2}{48 \pi} = \frac{1}{24 \pi} \text{ cm/sec}$.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi (6)^2 \times \frac{1}{24 \pi} = 4 \pi \times 36 \times \frac{1}{24 \pi} = \frac{144 \pi}{24 \pi} = 6 \text{ cm}^3/\text{sec}$.

(B) શંકુ આકારના પાત્ર માટે, ઊંચાઈ $H = 9 \text{ cm}$ અને પાયાની ત્રિજ્યા $R = 5 \text{ cm}$ છે.
પાત્રનું કુલ ઘનફળ $V_{total} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (25)(9) = 75\pi \text{ cm}^3$ છે.
ધારો કે $t$ સમયે પાણીની ઊંચાઈ $h$ છે અને પાણીની સપાટીની ત્રિજ્યા $r$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણની શરત મુજબ, $\frac{r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{5}{9}$, તેથી $r = \frac{5h}{9}$.
પાણીની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{5h}{9}\right)^2 = \frac{25\pi h^2}{81}$ થાય.
આપેલ શરત મુજબ પાણીની સપાટી વધવાનો દર $\frac{dh}{dt} = \frac{\pi}{A} = \frac{\pi}{\frac{25\pi h^2}{81}} = \frac{81}{25h^2}$ છે.
ચલને અલગ કરતા, $h^2 \, dh = \frac{81}{25} \, dt$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, $\int h^2 \, dh = \int \frac{81}{25} \, dt \implies \frac{h^3}{3} = \frac{81}{25}t + C$.
જ્યારે $t=0$ ત્યારે $h=0$ હોવાથી, $C=0$ મળે, તેથી $h^3 = \frac{243}{25}t$.
પાણીનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{25h^2}{81}\right) h = \frac{25\pi h^3}{243}$ થાય.
$h^3 = \frac{243}{25}t$ કિંમત મૂકતા, $V = \frac{25\pi}{243} \left(\frac{243}{25}t\right) = \pi t$ મળે.
શંકુ સંપૂર્ણ ભરાય ત્યારે $V = V_{total} = 75\pi$ થાય.
તેથી, $\pi t = 75\pi \implies t = 75 \text{ સેકન્ડ}$.

(C) અર્ધગોળાકાર વાટકાની ત્રિજ્યા $R = 180 \text{ cm}$ છે.
પાણીના પ્રવાહનો દર $\frac{dV}{dt} = 108 \text{ dm}^3/\text{min}$ છે.
$1 \text{ dm} = 10 \text{ cm}$ હોવાથી,$1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$ થાય.
તેથી,$\frac{dV}{dt} = 108 \times 1000 \text{ cm}^3 / 60 \text{ sec} = 1800 \text{ cm}^3/\text{sec}$.
ધારો કે પાણીની ઊંડાઈ $x$ છે. અર્ધગોળાકાર વાટકામાં પાણીનું ઘનફળ $V = \frac{\pi}{3} x^2(3R - x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R = 180$ મૂકતા,$V = \frac{\pi}{3} x^2(540 - x) = 180 \pi x^2 - \frac{\pi}{3} x^3$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = (360 \pi x - \pi x^2) \frac{dx}{dt}$ મળે.
$x = 120 \text{ cm}$ માટે,$1800 = (360 \pi(120) - \pi(120)^2) \frac{dx}{dt}$.
$1800 = (43200 \pi - 14400 \pi) \frac{dx}{dt} = 28800 \pi \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt} = \frac{1800}{28800 \pi} = \frac{1}{16 \pi} \text{ cm/sec}$.

(A) ધારો કે $A = (h, 2h)$.
અંતર $OA = \sqrt{h^2 + (2h)^2} = \sqrt{5}h$.
આપેલ છે કે બિંદુ $A$ એ $2 \text{ units/sec}$ ના દરે ગતિ કરે છે,તેથી $\frac{d(OA)}{dt} = 2$.
આમ,$\sqrt{5} \frac{dh}{dt} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dh}{dt} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
શિરોબિંદુઓ $A(h, 2h)$,$B(0, 3)$,અને $C(4, 0)$ ધરાવતા $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\alpha$ નિશ્ચાયક સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\alpha = \frac{1}{2} |h(3-0) + 0(0-2h) + 4(2h-3)| = \frac{1}{2} |3h + 8h - 12| = \frac{1}{2} |11h - 12|$.
ક્ષેત્રફળ વધતું હોવાથી,આપણે $\alpha = \frac{11h - 12}{2}$ લઈએ.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d\alpha}{dt} = \frac{11}{2} \frac{dh}{dt}$.
$\frac{dh}{dt} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ મૂકતા,આપણને $\frac{d\alpha}{dt} = \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{11}{\sqrt{5}} \text{ (units)}^2/\text{sec}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $x$ એ ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈ છે અને $A$ એ તેનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણના બદલાવાનો દર $\frac{dx}{dt} = 0.5 \text{ cm/sec}$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેના વિકર્ણ $x$ ના સ્વરૂપમાં $A = \frac{x^2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{x^2}{2} \right) = \frac{2x}{2} \cdot \frac{dx}{dt} = x \cdot \frac{dx}{dt}$.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $A = 400 \text{ cm}^2$,તેથી $A = \frac{x^2}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને વિકર્ણ $x$ શોધીએ:
$400 = \frac{x^2}{2} \implies x^2 = 800 \implies x = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \text{ cm}$.
હવે,$\frac{dA}{dt}$ ના સમીકરણમાં $x = 20\sqrt{2}$ અને $\frac{dx}{dt} = 0.5$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = (20\sqrt{2}) \cdot (0.5) = 10\sqrt{2} \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(A) આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા $r = 10 \text{ cm}$ હોય તે ક્ષણે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો $r = 10 \text{ cm}$ અને $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi \times 10 \times 2 = 40 \pi \text{ cm}^2\text{/sec}$.
આમ, ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારાનો દર $40 \pi \text{ cm}^2\text{/sec}$ છે.

(A) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
આપેલ છે કે બાજુની લંબાઈમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{da}{dt} = 3 \text{ cm/min}$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dA}{dt} = 2a \frac{da}{dt}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો $a = 6 \text{ cm}$ અને $\frac{da}{dt} = 3 \text{ cm/min}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \times 6 \times 3 = 36 \text{ cm}^2/\text{min}$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $36 \text{ cm}^2/\text{min}$ ના દરે વધી રહ્યું છે.

(A) ધારો કે $r$ એ બરફના પડ સહિતના ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે લોખંડના દડાની ત્રિજ્યા $10 \text{ cm}$ છે અને બરફની જાડાઈ $x = 5 \text{ cm}$ છે,તેથી કુલ ત્રિજ્યા $r = 10 + x = 15 \text{ cm}$ થાય.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે.
બરફ $50 \text{ cm}^3/\text{min}$ ના દરે ઓગળે છે,તેથી ઘનફળમાં થતો ફેરફાર $\frac{dV}{dt} = -50 \text{ cm}^3/\text{min}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $-50 = 4 \pi (15)^2 \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{-50}{4 \pi \times 225} = \frac{-50}{900 \pi} = \frac{-1}{18 \pi} \text{ cm/min}$.
અહીં $\frac{dr}{dt} = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,જાડાઈ ઘટવાનો દર $\frac{1}{18 \pi} \text{ cm/min}$ છે.

(C) આપેલ ઉત્પાદનનો ફેરફાર દર: $\frac{dP}{dx} = 100 - 12\sqrt{x}$.
બંને બાજુ $x$ ના સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int dP = \int (100 - 12x^{1/2}) dx$.
$P = 100x - 12 \times \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = 100x - 8x^{3/2} + C$.
શરૂઆતમાં,જ્યારે $x = 0$,ત્યારે ઉત્પાદન $P = 2000$ છે. આ કિંમતો મૂકતા: $2000 = 100(0) - 8(0)^{3/2} + C$,જે આપણને $C = 2000$ આપે છે.
તેથી,ઉત્પાદન વિધેય $P(x) = 100x - 8x^{3/2} + 2000$ છે.
$x = 25$ વધારાના કામદારો માટે,નવું ઉત્પાદન સ્તર: $P(25) = 100(25) - 8(25)^{3/2} + 2000$.
$P(25) = 2500 - 8(125) + 2000$.
$P(25) = 2500 - 1000 + 2000 = 3500$.

(A) આપેલ છે કે ઘનફળમાં ફેરફારનો દર $\frac{dv}{dt} = 36 \text{ } m^3/sec$ છે.
નળાકારનું ઘનફળ $v = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાયાની ત્રિજ્યા $r = 3 \text{ } m$ હોવાથી,ઘનફળ $v = \pi (3)^2 h = 9\pi h$ થશે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dv}{dt} = 9\pi \frac{dh}{dt}$ મળે છે.
આપેલી કિંમત મૂકતા,$36 = 9\pi \frac{dh}{dt}$ મળે.
$\frac{dh}{dt}$ માટે ઉકેલતા,$\frac{dh}{dt} = \frac{36}{9\pi} = \frac{4}{\pi} \text{ } m/sec$ મળે છે.

(D) ધારો કે લોખંડના દડાની ત્રિજ્યા $r = 10 \text{ cm}$ છે. ધારો કે બરફના પડની જાડાઈ $x$ છે. ગોળાની કુલ ત્રિજ્યા (લોખંડનો દડો + બરફ) $R = r + x = 10 + x \text{ cm}$ છે.
બરફનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 - \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (10 + x)^3 - \frac{4}{3} \pi (10)^3$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi (10 + x)^2 \frac{dx}{dt}$ મળે.
આપેલ છે કે બરફ $50 \text{ cm}^3/\text{min}$ ના દરે ઓગળે છે,તેથી $\frac{dV}{dt} = -50 \text{ cm}^3/\text{min}$.
જ્યારે જાડાઈ $x = 5 \text{ cm}$ હોય,ત્યારે કુલ ત્રિજ્યા $R = 10 + 5 = 15 \text{ cm}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા: $-50 = 4 \pi (15)^2 \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 4 \pi (225) \frac{dx}{dt} = 900 \pi \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt} = -\frac{50}{900 \pi} = -\frac{1}{18 \pi} \text{ cm/min}$.
તેથી,બરફની જાડાઈ ઘટવાનો દર $\frac{1}{18 \pi} \text{ cm/min}$ છે.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ $s$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે $\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2s \cdot \frac{ds}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} s \cdot \frac{ds}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{ds}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ અને $s = 10 \text{ cm}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 \times 2 = 10 \sqrt{3} \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(D) નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 2rh \frac{dr}{dt} + r^2 \frac{dh}{dt} \right)$
આપેલ છે: $r = 3 \text{ cm}$,$h = 5 \text{ cm}$,$\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$,અને $\frac{dh}{dt} = -3 \text{ cm/sec}$ (કારણ કે ઊંચાઈ ઘટી રહી છે).
આ કિંમતો વિકલિતમાં મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 2 \times 3 \times 5 \times 2 + 3^2 \times (-3) \right)$
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 60 - 27 \right)$
$\frac{dV}{dt} = 33 \pi \text{ cm}^3/\text{sec}$.

(D) લંબવૃત્તીય નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 2r \cdot \frac{dr}{dt} \cdot h + r^2 \cdot \frac{dh}{dt} \right)$.
આપેલ છે: $r = 2 \text{ cm}$,$h = 3 \text{ cm}$,$\frac{dr}{dt} = 0.1 \text{ cm/min}$,અને $\frac{dh}{dt} = -0.2 \text{ cm/min}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 2 \times 2 \times 0.1 \times 3 + 2^2 \times (-0.2) \right)$
$= \pi \left( 1.2 - 0.8 \right) = 0.4 \pi = \frac{2\pi}{5} \text{ cm}^3\text{/min}$.

(C) ધારો કે $V$ એ ગોળાનું ઘનફળ છે અને $S$ એ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનું પૃષ્ઠફળ છે.
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$
$S = 4 \pi r^2$
$V$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$
$S$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dS}{dr} = 8 \pi r$
આપણે પૃષ્ઠફળની સાપેક્ષમાં ઘનફળમાં થતા ફેરફારનો દર શોધવાનો છે,જે $\frac{dV}{dS}$ છે.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dV}{dS} = \frac{dV/dr}{dS/dr} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$
અહીં $r = 5 \ m$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{dV}{dS} = \frac{5}{2}$

(D) કણનું સ્થાન $S(t) = at^2 + bt + 6$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0$ સમયે,પ્રારંભિક સ્થાન $S(0) = 6 \text{ m}$ છે.
$t$ સમયે શરૂઆતના બિંદુથી સ્થાનાંતર $S(t) - S(0) = at^2 + bt$ છે.
આપેલ છે કે $t = 4 \text{ s}$ પર,સ્થાનાંતર $16 \text{ m}$ છે,તેથી $a(4)^2 + b(4) = 16 \Rightarrow 16a + 4b = 16 \Rightarrow 4a + b = 4$ (સમીકરણ $1$).
વેગ $v(t) = \frac{dS}{dt} = 2at + b$ છે.
કણ $t = 4 \text{ s}$ પર સ્થિર થાય છે,તેથી $v(4) = 0 \Rightarrow 2a(4) + b = 0 \Rightarrow 8a + b = 0$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(8a + b) - (4a + b) = 0 - 4 \Rightarrow 4a = -4 \Rightarrow a = -1$.
$a = -1$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $8(-1) + b = 0 \Rightarrow b = 8$.
પ્રવેગ $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = 2a = 2(-1) = -2 \text{ m/s}^2$.
જો પ્રશ્ન મુજબ $S(4) = 16$ લેવામાં આવે,તો $16a + 4b + 6 = 16 \Rightarrow 16a + 4b = 10 \Rightarrow 8a + 2b = 5$. $8a + 2b = 5$ અને $8a + b = 0$ ઉકેલતા $b = 5$ અને $a = -5/8$ મળે છે. તેથી,$a_{acc} = 2a = -5/4 \text{ m/s}^2$. જે વિકલ્પ $D$ સાથે સુસંગત છે.

(D) આપેલ છે કે પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dA}{dt} = 2 \text{ cm}^2/\text{sec}$ છે.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4\pi r^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dA}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $2 = 8\pi(6) \frac{dr}{dt} \implies 2 = 48\pi \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{1}{24\pi} \text{ cm/sec}$.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે.
$r = 6$ અને $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{24\pi}$ મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi(6)^2 \left(\frac{1}{24\pi}\right) = 4\pi(36) \left(\frac{1}{24\pi}\right) = \frac{144\pi}{24\pi} = 6 \text{ cm}^3/\text{sec}$.

(D) ગોળાકાર બરફના ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 8 \text{ cm}^3/\text{sec}$ અને $r = 2 \text{ cm}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$8 = 4 \pi (2)^2 \frac{dr}{dt}$.
$8 = 16 \pi \frac{dr}{dt}$.
તેથી,$\frac{dr}{dt} = \frac{8}{16\pi} = \frac{1}{2\pi} \text{ cm/sec}$.

(B) આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/sec}$ છે.
વર્તુળાકાર પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે $\frac{dA}{dt} = \pi (2r) \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો $r = 12 \text{ cm}$ અને $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/sec}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (12) (0.01) = 0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$ ના દરે વધે છે.

(C) કણ દ્વારા કાપેલું અંતર $s = 2 + 27t - t^3$ છે.
કણ ક્યારે અટકે છે તે જાણવા માટે,આપણે તે સમય $t$ શોધવો પડશે જ્યારે તેનો વેગ $v = \frac{ds}{dt}$ શૂન્ય હોય.
$\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2 + 27t - t^3) = 27 - 3t^2$.
વેગને શૂન્ય લેતા: $27 - 3t^2 = 0$.
$3t^2 = 27 \Rightarrow t^2 = 9$.
સમય $t > 0$ હોવાથી,$t = 3 \text{ સેકન્ડ}$ મળે છે.
હવે,$t = 3 \text{ સેકન્ડ}$ પર કાપેલું અંતર શોધીએ:
$s(3) = 2 + 27(3) - (3)^3$.
$s(3) = 2 + 81 - 27$.
$s(3) = 56 \text{ મીટર}$.
આમ,કણ $56 \text{ મીટર}$ અંતર કાપ્યા પછી અટકી જશે.

(B) સ્થાનાંતર $s = t^{3} - 4t^{2} - 5t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે,જે $v = \frac{ds}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
$s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^{3} - 4t^{2} - 5t) = 3t^{2} - 8t - 5$.
$t = 2 \text{ sec}$ પર વેગ શોધવા માટે,$v$ ના સમીકરણમાં $t = 2$ મૂકતા:
$v = 3(2)^{2} - 8(2) - 5$.
$v = 3(4) - 16 - 5$.
$v = 12 - 16 - 5$.
$v = -9 \text{ એકમ/સેકન્ડ}$.

(B) આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ છે.
$1 \text{ decimeter} = 10 \text{ cm}$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = 5 \text{ decimeters} = 50 \text{ cm}$ થાય.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
કિંમતો $r = 50 \text{ cm}$ અને $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \times \pi \times 50 \times 2 = 200 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(C) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ: $s = t^{3} - 6t^{2} + 9t + 25$ ....$(1)$
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનો ફેરફારનો દર છે:
$v = \frac{ds}{dt} = 3t^{2} - 12t + 9$
આપેલ છે કે વેગ શૂન્ય છે:
$3t^{2} - 12t + 9 = 0$
$t^{2} - 4t + 3 = 0$
$(t - 1)(t - 3) = 0$
તેથી,$t = 1$ અથવા $t = 3$.
$t = 1$ માટે સ્થાનાંતર: $s(1) = 1 - 6 + 9 + 25 = 29 \text{ એકમ}$.
$t = 3$ માટે સ્થાનાંતર: $s(3) = 27 - 54 + 27 + 25 = 25 \text{ એકમ}$.
વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $27$ છે.

(D) આપેલ સ્થાનાંતર વિધેય $s = 3t^{2} - 12t + 14$ છે।
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનો ફેરફારનો દર છે, જે $v = \frac{ds}{dt}$ દ્વારા મળે છે।
$v = \frac{d}{dt}(3t^{2} - 12t + 14) = 6t - 12$.
જ્યારે વેગ શૂન્ય થાય, ત્યારે આપણે $v = 0$ લઈએ છીએ:
$6t - 12 = 0 \implies 6t = 12 \implies t = 2 \text{ સેકન્ડ}$.
હવે, તે ક્ષણે સ્થાનાંતર શોધવા માટે $t = 2$ ને સ્થાનાંતરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$s = 3(2)^{2} - 12(2) + 14$
$s = 3(4) - 24 + 14$
$s = 12 - 24 + 14 = 2 \text{ એકમ}$.
આમ, જ્યારે વેગ શૂન્ય હોય ત્યારે કણનું સ્થાનાંતર $2 \text{ એકમ}$ છે।

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુ $x$ છે. ક્ષેત્રફળ $A = x^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dA}{dt} = 2x \frac{dx}{dt}$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{dA}{dt} = 0.5 \text{ cm}^2/\text{sec}$ અને $x = 10 \text{ cm}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $0.5 = 2(10) \frac{dx}{dt} \Rightarrow 0.5 = 20 \frac{dx}{dt}$.
તેથી,$\frac{dx}{dt} = \frac{0.5}{20} = 0.025 \text{ cm/sec}$.
ચોરસની પરિમિતિ $P = 4x$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dP}{dt} = 4 \frac{dx}{dt}$ મળે.
$\frac{dx}{dt} = 0.025$ મૂકતા,$\frac{dP}{dt} = 4(0.025) = 0.1 \text{ cm/sec}$ મળે.

(A) ધારો કે સમઘનની ધાર $x \ cm$ છે. સમઘનનું પૃષ્ઠફળ $A = 6x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ધારના બદલાવનો દર $\frac{dx}{dt} = -0.04 \ cm/sec$ છે.
$A$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dA}{dt} = 12x \frac{dx}{dt}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{dA}{dt} = 12(10)(-0.04) = 120(-0.04) = -4.8 \ cm^2/sec$.
ઋણ નિશાની ઘટાડો સૂચવે છે. તેથી,સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ઘટાડો $4.8 \ cm^2/sec$ છે.

(A) આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 5 \ cm/sec$ છે.
$t = 0$ સમયે,ત્રિજ્યા $r = 0$ છે.
$\frac{dr}{dt} = 5$ નું સંકલન કરતા,આપણને $r = 5t$ મળે છે.
$t = 2 \ \text{સેકન્ડ}$ સમયે,ત્રિજ્યા $r = 5(2) = 10 \ cm$ થાય.
વર્તુળાકાર લહેરનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ મળે.
$r = 10 \ cm$ અને $\frac{dr}{dt} = 5 \ cm/sec$ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (10)(5) = 100 \pi \ cm^2/sec$.

(A) ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 4 \pi \ cm^3/sec$,તેથી $4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = 4 \pi$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{r^2}$.
જ્યારે ઘનફળ $V = 288 \pi \ cm^3$ હોય,ત્યારે $\frac{4}{3} \pi r^3 = 288 \pi$,તેથી $r^3 = 216$,એટલે કે $r = 6 \ cm$.
હવે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$. સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dA}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
$r = 6$ અને $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{r^2}$ મૂકતા,$\frac{dA}{dt} = 8 \pi r \times \frac{1}{r^2} = \frac{8 \pi}{r}$ મળે છે.
$r = 6$ માટે,$\frac{dA}{dt} = \frac{8 \pi}{6} = \frac{4}{3} \pi \ cm^2/sec$.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $6y = x^3 + 2$ છે.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$6 \frac{dy}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$ મળે.
આને સાદું રૂપ આપતા $2 \frac{dy}{dt} = x^2 \frac{dx}{dt}$ મળે.
આપણને આપેલ છે કે $y$-યામ એ $x$-યામ કરતાં $8$ ગણી ઝડપથી બદલાય છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = 8 \frac{dx}{dt}$.
આ કિંમત વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા: $2(8 \frac{dx}{dt}) = x^2 \frac{dx}{dt}$.
ધારો કે $\frac{dx}{dt} \neq 0$,તેથી $16 = x^2$,જેનો અર્થ છે કે $x = 4$ અથવા $x = -4$.
જો $x = 4$ હોય,તો $6y = (4)^3 + 2 = 64 + 2 = 66$,તેથી $y = 11$. બિંદુ $(4, 11)$ છે.
જો $x = -4$ હોય,તો $6y = (-4)^3 + 2 = -64 + 2 = -62$,તેથી $y = -31/3$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું બિંદુ $(4, 11)$ છે.

(A) ધારો કે અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો $\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ છે.
તેથી,$\tan \alpha = \frac{r}{h} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{h}{2}$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r = \frac{h}{2}$ મૂકતા,આપણને $V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{1}{12} \pi h^3$ મળે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = \frac{1}{12} \pi (3h^2) \frac{dh}{dt} = \frac{1}{4} \pi h^2 \frac{dh}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 5 \text{ m}^3/\text{min}$,તેથી $5 = \frac{1}{4} \pi h^2 \frac{dh}{dt}$,એટલે કે $\frac{dh}{dt} = \frac{20}{\pi h^2}$.
જ્યારે $h = 10 \text{ m}$ હોય,ત્યારે પાણીની સપાટી વધવાનો દર $\frac{dh}{dt} = \frac{20}{\pi (10)^2} = \frac{20}{100 \pi} = \frac{1}{5 \pi} \text{ m/min}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 7 \text{ cm/sec}$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ મળે.
$10 \text{ મિનિટ}$ પછી,સમય $t = 10 \times 60 = 600 \text{ સેકન્ડ}$ થાય.
ત્રિજ્યા $7 \text{ cm/sec}$ ના અચળ દરે વધતી હોવાથી,$600 \text{ સેકન્ડ}$ પછી ત્રિજ્યા $r = 7 \times 600 = 4200 \text{ cm}$ થશે.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{dA}{dt} = 2 \times \frac{22}{7} \times 4200 \times 7$.
$\frac{dA}{dt} = 2 \times 22 \times 600 \times 7 = 1,84,800 \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(B) આપેલ છે કે ગોળાકાર ડાઘની ત્રિજ્યા $r$ એ $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/min}$ ના દરે વધી રહી છે.
આપણે જ્યારે $r = 3 \text{ cm}$ હોય ત્યારે ક્ષેત્રફળ $A$ માં થતા ફેરફારનો દર શોધવાનો છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો $r = 3 \text{ cm}$ અને $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/min}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (3)(2) = 12 \pi \text{ cm}^2/\text{min}$.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફારનો દર $12 \pi \text{ cm}^2/\text{min}$ છે.

(A) આપેલ પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = 8 - \frac{t}{5} \text{ cm/s}^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$v = \int (8 - \frac{t}{5}) dt = 8t - \frac{t^2}{10} + C$.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $t = 0$ સમયે $v = 0$ મળે.
$0 = 8(0) - \frac{0^2}{10} + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,વેગનું વિધેય $v(t) = 8t - \frac{t^2}{10}$ છે.
જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય ત્યારે $8 - \frac{t}{5} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $t = 40 \text{ s}$.
વેગના સમીકરણમાં $t = 40$ મૂકતા:
$v = 8(40) - \frac{(40)^2}{10} = 320 - \frac{1600}{10} = 320 - 160 = 160 \text{ cm/s}$.

(B) આપેલ ગતિનું સમીકરણ $s = at^2 + bt + c$ છે.
$1 \text{ s}$ પછીનું સ્થાનાંતર $20 \text{ m}$ છે,તેથી $s(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 20 \implies a + b + c = 20 \dots (i)$.
વેગ $v = \frac{ds}{dt} = 2at + b$.
$2 \text{ s}$ પછીનો વેગ $30 \text{ m/s}$ છે,તેથી $v(2) = 2a(2) + b = 30 \implies 4a + b = 30 \dots (ii)$.
પ્રવેગ $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = 2a$.
આપેલ પ્રવેગ $10 \text{ m/s}^2$ છે,તેથી $2a = 10 \implies a = 5$.
સમીકરણ $(ii)$ માં $a = 5$ મૂકતા: $4(5) + b = 30 \implies 20 + b = 30 \implies b = 10$.
સમીકરણ $(i)$ માં $a = 5$ અને $b = 10$ મૂકતા: $5 + 10 + c = 20 \implies 15 + c = 20 \implies c = 5$.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા: $a + c = 5 + 5 = 10$ અને $b = 10$.
તેથી,$a + c = b$.

(D) આપેલ છે કે $s = (1+t)^{1/2}$.
પ્રથમ,$s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને વેગ $v$ શોધો:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{1}{2}(1+t)^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{1+t}}$.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\sqrt{1+t} = \frac{1}{2v}$.
હવે,$v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને પ્રવેગ $a$ શોધો:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(1+t)^{-3/2} = -\frac{1}{4}(1+t)^{-3/2}$.
આને આપણે આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$a = -2 \cdot \left[ \frac{1}{2}(1+t)^{-1/2} \right]^3$.
કારણ કે $v = \frac{1}{2}(1+t)^{-1/2}$,આપણે $a$ ના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકીએ:
$a = -2v^3$.
તેથી,પ્રવેગ $a$ એ વેગના ઘન $v^3$ ના પ્રમાણમાં છે.

(B) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ: $s = 16 - 2t + 3t^{3}$
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(16 - 2t + 3t^{3}) = -2 + 9t^{2}$
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું દ્વિતીય વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-2 + 9t^{2}) = 18t$
$t = 2 \ s$ સમયે,પ્રવેગ: $a = 18 \times 2 = 36 \ m/s^{2}$

(A) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $s = 2t^{3} - 9t^{2} + 12t$.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^{3} - 9t^{2} + 12t) = 6t^{2} - 18t + 12$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગ $v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^{2} - 18t + 12) = 12t - 18$.
પ્રવેગ શૂન્ય થાય તે માટે,આપણે $a = 0$ લઈએ:
$12t - 18 = 0$
$12t = 18$
$t = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \ s = 1.5 \ s$.
આમ,$1.5 \ s$ પછી કણનો પ્રવેગ શૂન્ય થશે.

(D) આપેલ છે,$S=5+\frac{48}{t}+t^3$.
વેગ $(V) = \frac{dS}{dt} = 0 - \frac{48}{t^2} + 3t^2$.
$V=0$ લેતા:
$-\frac{48}{t^2} + 3t^2 = 0
\Rightarrow 3t^2 = \frac{48}{t^2}
\Rightarrow t^4 = 16
\Rightarrow t = 2$ (કારણ કે $t > 0$).
હવે,પ્રવેગ $(A) = \frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(-\frac{48}{t^2} + 3t^2) = \frac{96}{t^3} + 6t$.
$t=2$ પર,$A = \frac{96}{2^3} + 6(2) = \frac{96}{8} + 12 = 12 + 12 = 24$.

(A) ઉત્પાદનમાં ફેરફારનો દર આપેલ છે: $\frac{dP}{dx} = 100 - 12\sqrt{x}$.
બંને બાજુ $x$ ના સંદર્ભમાં સંકલન કરતા:
$\int dP = \int (100 - 12x^{1/2}) dx$
$P = 100x - 12 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C$
$P = 100x - 8x^{3/2} + C$
આપેલ છે કે જ્યારે $x = 0$ હોય ત્યારે પ્રારંભિક ઉત્પાદન $P = 1000$ છે:
$1000 = 100(0) - 8(0)^{3/2} + C \implies C = 1000$.
આમ,ઉત્પાદન વિધેય $P(x) = 100x - 8x\sqrt{x} + 1000$ છે.
$x = 9$ વધારાના કામદારો માટે:
$P(9) = 100(9) - 8(9)\sqrt{9} + 1000$
$P(9) = 900 - 8(9)(3) + 1000$
$P(9) = 900 - 216 + 1000 = 1684$.
વસ્તુઓના ઉત્પાદનનું નવું સ્તર $1684$ છે.

(C) નોંધો કે $\triangle OAB$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે. ધારો કે $OA = x \text{ ft}$ અને $OB = y \text{ ft}$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + y^2 = 13^2 = 169$.
તેથી,$y^2 = 169 - x^2$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2y \frac{dy}{dt} = -2x \frac{dx}{dt}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y \frac{dy}{dt} = -x \frac{dx}{dt}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $x = 5 \text{ ft}$ પર,$\frac{dx}{dt} = 3 \text{ ft/sec}$.
જ્યારે $x = 5$,ત્યારે $y = \sqrt{169 - 5^2} = \sqrt{144} = 12 \text{ ft}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $12 \frac{dy}{dt} = -5(3) = -15$.
આમ,$\frac{dy}{dt} = -\frac{15}{12} = -\frac{5}{4} \text{ ft/sec}$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે $B$ એ $O$ તરફ નીચેની દિશામાં ગતિ કરી રહ્યો છે.
તેથી,$B$ એ $\frac{5}{4} \text{ ft/sec}$ ના દરે નીચેની તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે.

(B) ધારો કે $x$ એ દીવાલથી નીચેના છેડાનું અંતર છે અને $y$ એ જમીનથી સીડીના ઉપરના છેડાની ઊંચાઈ છે. સીડીની લંબાઈ $L = 5 \ m$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$.
આપણને આપેલ છે કે ઉપરનો છેડો $10 \ cm/s = 0.1 \ m/s$ ના દરે નીચે સરકે છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = -0.1 \ m/s$.
આપણે સીડી અને જમીન વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ ના ફેરફારનો દર શોધવો છે,જ્યાં $\sin \theta = \frac{y}{5}$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\cos \theta \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{5} \frac{dy}{dt}$.
જ્યારે $x = 4 \ m$,ત્યારે $y = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 \ m$.
તેથી $\cos \theta = \frac{x}{5} = \frac{4}{5}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4}{5} \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{5} (-0.1)$.
$\frac{d\theta}{dt} = -\frac{0.1}{4} = -0.025 \ rad/s$.
ખૂણો $0.025 \ rad/s$ ના દરે ઘટી રહ્યો છે.

(D) ધારો કે નિસરણીના નીચેના છેડાનું દીવાલથી અંતર $x$ છે અને ઉપરના છેડાની જમીનથી ઊંચાઈ $y$ છે. નિસરણીની લંબાઈ $L = 5 \ m$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$.
આપણને આપેલ છે કે ઉપરનો છેડો $10 \ cm/s = 0.1 \ m/s$ ના દરે નીચે સરકે છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = -0.1 \ m/s$.
આપણે નિસરણી અને જમીન વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ ના ફેરફારનો દર શોધવો છે,જ્યાં $\sin \theta = \frac{y}{5}$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\cos \theta \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{5} \frac{dy}{dt}$.
જ્યારે $x = 4 \ m$ હોય,ત્યારે $y = \sqrt{25 - 4^2} = \sqrt{9} = 3 \ m$.
તેથી $\cos \theta = \frac{x}{5} = \frac{4}{5}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4}{5} \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{5} (-0.1)$.
$\frac{d\theta}{dt} = -\frac{0.1}{4} = -0.025 \ rad/s$.
આમ,ખૂણો $0.025 \ rad/s$ ના દરે ઘટી રહ્યો છે.

(D) ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા ગોળાકાર ફુગ્ગાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફારનો દર અચળ $K$ છે.
તેથી,$\frac{d}{dt}(4 \pi r^2) = K$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{d}{dt}(4 \pi r^2) dt = \int K dt$.
આમ,$4 \pi r^2 = K t + C$ મળે છે,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $A = 4 \pi r^2$.
ત્રિજ્યાની સાપેક્ષમાં ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફારનો દર શોધવા માટે, આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(4 \pi r^2) = 4 \pi (2r) = 8 \pi r$.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 6 \text{ cm}$ આપેલ છે, તેથી આ કિંમત વિકલનમાં મૂકતા:
$\frac{dA}{dr} = 8 \pi (6) = 48 \pi$.
આમ, ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફારનો દર $48 \pi \text{ cm}^2/\text{cm}$ છે.

(D) ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તેનો વ્યાસ $D = 2r$ છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે વ્યાસની સાપેક્ષમાં ઘનફળના બદલાવનો દર શોધવાનો છે,જે $\frac{dV}{dD}$ છે.
$D = 2r$ હોવાથી,$r = \frac{D}{2}$ મળે.
ઘનફળના સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા: $V = \frac{4}{3} \pi (\frac{D}{2})^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{D^3}{8}) = \frac{1}{6} \pi D^3$.
હવે,$V$ નું $D$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dD} = \frac{d}{dD} (\frac{1}{6} \pi D^3) = \frac{1}{6} \pi (3D^2) = \frac{1}{2} \pi D^2$.
$D = 2r$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $\frac{dV}{dD} = \frac{1}{2} \pi (2r)^2 = \frac{1}{2} \pi (4r^2) = 2 \pi r^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.