Rate of Change of Quantities Questions in Gujarati

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y^3 = 27x$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$3y^2 \frac{dy}{dt} = 27 \frac{dx}{dt}$
$\frac{dx}{dt} = \frac{y^2}{9} \frac{dy}{dt}$.
પ્રશ્ન મુજબ,અભિસસા $(x)$ એ ઓર્ડિનેટ $(y)$ કરતા ધીમી ગતિએ બદલાય છે,જેનો અર્થ છે:
$\left| \frac{dx}{dt} \right| < \left| \frac{dy}{dt} \right|$
$\frac{dx}{dt}$ માટેનું પદ મૂકતા:
$\left| \frac{y^2}{9} \frac{dy}{dt} \right| < \left| \frac{dy}{dt} \right|$
$\frac{y^2}{9} < 1$
$y^2 < 9$
$-3 < y < 3$.
કારણ કે $y^3 = 27x$,જ્યારે $y = -3$ હોય ત્યારે $x = -1$,અને જ્યારે $y = 3$ હોય ત્યારે $x = 1$ મળે છે.
આમ,અભિસસા $x$ માટેનો અંતરાલ $(-1, 1)$ છે.

(D) ધારો કે $\frac{dr}{dt} = c$ અને $h = ar + b$.
આપેલ છે કે $\frac{dh}{dt} = 3 \frac{dr}{dt}$,તેથી $a \frac{dr}{dt} = 3 \frac{dr}{dt}$,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$.
આમ,$h = 3r + b$.
જ્યારે $r = 1, h = 6$,તેથી $6 = 3(1) + b$,જે આપે છે $b = 3$.
તેથી,$h = 3r + 3 = 3(r + 1)$.
ઘનફળ $V = \pi r^2 h = \pi r^2 (3r + 3) = 3\pi (r^3 + r^2)$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 3\pi (3r^2 + 2r) \frac{dr}{dt}$.
જ્યારે $r = 6$,$\frac{dV}{dt} = 1$,તેથી $1 = 3\pi (3(36) + 2(6)) \frac{dr}{dt} = 3\pi (108 + 12) \frac{dr}{dt} = 360\pi \frac{dr}{dt}$.
આમ,$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{360\pi}$.
જ્યારે $r = 36$,$\frac{dV}{dt} = n = 3\pi (3(36)^2 + 2(36)) \frac{dr}{dt}$.
$n = 3\pi (3888 + 72) \frac{1}{360\pi} = 3\pi (3960) \frac{1}{360\pi} = 3 \times 11 = 33$.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુથી કણનું અંતર $r$ છે. તેથી $r^2 = x^2 + y^2$.
આપેલ છે કે $y = x^{3/2}$,તેથી $y^2 = x^3$. આમ,$r^2 = x^2 + x^3$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે $2r \frac{dr}{dt} = (2x + 3x^2) \frac{dx}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dr}{dt} = 11$ અને $x = 3$. તેથી $y = 3^{3/2} = 3\sqrt{3}$.
અંતર $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$.
કિંમતોને વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(6)(11) = (2(3) + 3(3^2)) \frac{dx}{dt}$
$132 = (6 + 27) \frac{dx}{dt}$
$132 = 33 \frac{dx}{dt}$
$\frac{dx}{dt} = \frac{132}{33} = 4$.

(B) ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ $x$ છે. ઘનફળ $V = x^3$ અને સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 6x^2$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = -4 \, cm^3/min$ (બરફ ઓગળે છે,તેથી ઘનફળ ઘટે છે).
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dV}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$.
કિંમતો મૂકતા: $-4 = 3x^2 \frac{dx}{dt} \implies \frac{dx}{dt} = -\frac{4}{3x^2}$.
આપણે $\frac{dS}{dt}$ શોધવાનું છે.
$\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(6x^2) = 12x \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt}$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{dS}{dt} = 12x \left( -\frac{4}{3x^2} \right) = -\frac{16}{x}$.
આપેલ છે કે $V = 125 \, cm^3$,તેથી $x^3 = 125 \implies x = 5 \, cm$.
તેથી,$\frac{dS}{dt} = -\frac{16}{5} \, cm^2/min$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ત્રિકોણમાં,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,જ્યાં $R$ એ પરિવૃત ત્રિજ્યા છે.
$R$ અચળ હોવાથી,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$ મળે.
ખૂણાઓની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$da = 2R \cos A \, dA$,$db = 2R \cos B \, dB$,અને $dc = 2R \cos C \, dC$ મળે.
આ કિંમતો આપેલ પદમાં મૂકતા:
$\frac{da}{\cos A} + \frac{db}{\cos B} + \frac{dc}{\cos C} = \frac{2R \cos A \, dA}{\cos A} + \frac{2R \cos B \, dB}{\cos B} + \frac{2R \cos C \, dC}{\cos C} = 2R(dA + dB + dC)$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $A + B + C = \pi$ હોવાથી,વિકલન કરતા $dA + dB + dC = 0$ મળે.
તેથી,પદની કિંમત $2R(0) = 0$ થાય.

(B) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ $x$ છે. આપેલ છે કે બાજુમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dx}{dt} = 2 \, cm/s$ છે.
$x$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારાનો દર શોધવા માટે,આપણે $A$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 \right) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2x \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} x \frac{dx}{dt}$.
અહીં $x = 10 \, cm$ અને $\frac{dx}{dt} = 2 \, cm/s$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 \times 2 = 10 \sqrt{3} \, cm^2/s$.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારાનો દર $10 \sqrt{3} \, cm^2/s$ છે.

(C) ગોળાકાર ફુગ્ગાનો વ્યાસ $D = 3x + \frac{9}{2} = \frac{6x + 9}{2} = \frac{3}{2}(2x + 3)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \frac{D}{2} = \frac{3}{4}(2x + 3)$ થશે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,$V = \frac{4}{3}\pi \left[ \frac{3}{4}(2x + 3) \right]^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{27}{64} (2x + 3)^3 = \frac{9\pi}{16} (2x + 3)^3$ મળે.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dx} = \frac{9\pi}{16} \cdot 3(2x + 3)^2 \cdot \frac{d}{dx}(2x + 3)$.
$\frac{dV}{dx} = \frac{27\pi}{16} (2x + 3)^2 \cdot 2$.
$\frac{dV}{dx} = \frac{27\pi}{8} (2x + 3)^2$.

(A) ધારો કે $AB$ એ લેમ્પ પોસ્ટ છે અને $CD$ એ કોઈ ચોક્કસ સમયે $t$ પર માણસ છે.
ધારો કે $AC = x$ એ લેમ્પ પોસ્ટથી માણસનું અંતર છે અને $CE = y$ એ તેના પડછાયાની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે,માણસની ઝડપ $\frac{dx}{dt} = 5 \ km/hr$ છે.
આપણે પડછાયાની લંબાઈ વધવાનો દર શોધવાનો છે,એટલે કે $\frac{dy}{dt}$.
$\Delta ABE \sim \Delta CDE$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CE}$
$\frac{6}{2} = \frac{x + y}{y}$
$3 = \frac{x + y}{y}$
$3y = x + y$
$2y = x$
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 \frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt}$
$2 \frac{dy}{dt} = 5$
$\frac{dy}{dt} = 2.5 \ km/hr$.
આમ,પડછાયાની લંબાઈ $2.5 \ km/hr$ ના દરે વધે છે.

(A) ધારો કે $AB$ એ $6 \ m$ ઊંચો લેમ્પ પોસ્ટ છે અને $CD$ એ કોઈ ચોક્કસ સમયે $t$ પર $2 \ m$ ઊંચાઈ ધરાવતો માણસ છે.
ધારો કે $AC = x$ એ લેમ્પ પોસ્ટથી માણસનું અંતર છે અને $CE = y$ એ તેના પડછાયાની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે માણસ $5 \ km/hr$ ની ઝડપે ચાલે છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = 5 \ km/hr$.
આપણે પડછાયાની લંબાઈ વધવાનો દર શોધવાનો છે,એટલે કે $\frac{dy}{dt}$.
$\triangle ABE \sim \triangle CDE$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CE}$
$\frac{6}{2} = \frac{x + y}{y}$
$3 = \frac{x + y}{y}$
$3y = x + y$
$2y = x$
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 \frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt}$
$2 \frac{dy}{dt} = 5$
$\frac{dy}{dt} = \frac{5}{2} = 2.5 \ km/hr$.
આમ,પડછાયાની લંબાઈ $2.5 \ km/hr$ ના દરે વધે છે.

(B) ગોળાકાર ફુગ્ગાનું કદ $V$ એ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3} \pi (3r^2) \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
પ્રશ્ન મુજબ,કદમાં થતો વધારો એ ત્રિજ્યામાં થતા વધારાના દર કરતા $16$ ગણો છે:
$\frac{dV}{dt} = 16 \frac{dr}{dt}$.
આ કિંમત વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$16 \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
ધારો કે $\frac{dr}{dt} \neq 0$,તેથી બંને બાજુ $\frac{dr}{dt}$ વડે ભાગતા:
$16 = 4 \pi r^2$.
$r^2 = \frac{16}{4 \pi} = \frac{4}{\pi}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$r = \sqrt{\frac{4}{\pi}} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}$.

(A) નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઘનફળ અચળ હોવાથી,સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં તેનું વિકલન શૂન્ય થાય: $\frac{dV}{dt} = 0$.
$V = \pi r^2 h$ પર ગુણાકારનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\frac{dV}{dt} = \pi (2rh \frac{dr}{dt} + r^2 \frac{dh}{dt}) = 0$.
$\pi r$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $2h \frac{dr}{dt} + r \frac{dh}{dt} = 0$.
આપેલ છે કે $\frac{dr}{dt} = 5 \ cm/min$,$r = 5 \ cm$,અને $h = 3 \ cm$,આ કિંમતો મૂકતા:
$2(3)(5) + 5 \frac{dh}{dt} = 0$.
$30 + 5 \frac{dh}{dt} = 0$.
$5 \frac{dh}{dt} = -30$.
$\frac{dh}{dt} = -6 \ cm/min$.
ઋણ નિશાની ઘટાડો સૂચવે છે. તેથી,ઊંચાઈ ઘટવાનો દર $6 \ cm/min$ છે.

(C) ધારો કે ચોરસ અને સમઘનની બાજુની લંબાઈ $x$ છે.
ચોરસ $S$ માટે,ક્ષેત્રફળ $A = x^2$.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફારનો દર તેની બાજુની લંબાઈ જેટલો છે,તેથી $\frac{dA}{dt} = x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(x^2) = 2x \frac{dx}{dt}$,તેથી:
$2x \frac{dx}{dt} = x$.
$x \neq 0$ લેતા,આપણને $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
સમઘન $C$ માટે,ઘનફળ $V = x^3$.
ઘનફળમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$ છે.
આપેલ છે કે સમઘનની બાજુમાં થતો ફેરફારનો દર ચોરસના દર જેટલો જ છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
જ્યારે બાજુની લંબાઈ $x = 2$ એકમ હોય ત્યારે:
$\frac{dV}{dt} = 3(2)^2 \times \frac{1}{2} = 3 \times 4 \times \frac{1}{2} = 6$ $units^3/sec$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 25$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$\Rightarrow x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$.
આપેલ છે કે y-યામ $1 \, cm/sec$ ના દરે ઘટે છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = -1 \, cm/sec$.
જ્યારે $y = 3 \, cm$ હોય,ત્યારે વર્તુળના સમીકરણ પરથી $x$ શોધીએ:
$x^2 + 3^2 = 25 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4 \, cm$ (કારણ કે $x > 0$).
આ કિંમતોને વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$4 \frac{dx}{dt} + 3(-1) = 0$
$4 \frac{dx}{dt} = 3$
$\frac{dx}{dt} = \frac{3}{4} \, cm/sec$.
આમ,x-યામમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{3}{4} \, cm/sec$ છે.

(A) ધારો કે $OA = x \ km$,$OB = y \ km$,અને $AB = R \ km$.
$\triangle AOB$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$R^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos(120^o)$
કારણ કે $\cos(120^o) = -\frac{1}{2}$,તેથી:
$R^2 = x^2 + y^2 - 2xy(-\frac{1}{2}) = x^2 + y^2 + xy \quad \dots(1)$
આપેલ સમયે,$x = 8 \ km$ અને $y = 6 \ km$:
$R^2 = 8^2 + 6^2 + (8 \times 6) = 64 + 36 + 48 = 148$
$R = \sqrt{148} = 2\sqrt{37} \ km$.
સમીકરણ $(1)$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2R \frac{dR}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} + (x \frac{dy}{dt} + y \frac{dx}{dt})$
અહીં $\frac{dx}{dt} = 20 \ km/hr$ અને $\frac{dy}{dt} = 30 \ km/hr$ આપેલ છે:
$2(2\sqrt{37}) \frac{dR}{dt} = 2(8)(20) + 2(6)(30) + (8 \times 30 + 6 \times 20)$
$4\sqrt{37} \frac{dR}{dt} = 320 + 360 + (240 + 120)$
$4\sqrt{37} \frac{dR}{dt} = 680 + 360 = 1040$
$\frac{dR}{dt} = \frac{1040}{4\sqrt{37}} = \frac{260}{\sqrt{37}} \ km/hr$.

(C) ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 4\pi \, cc/sec$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$4\pi = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} \Rightarrow \frac{dr}{dt} = \frac{1}{r^2}$.
આપણને આપેલ છે કે ઘનફળ $V = 288\pi \, cc$ છે.
ઘનફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$288\pi = \frac{4}{3}\pi r^3
\Rightarrow r^3 = \frac{288 \times 3}{4} = 216
\Rightarrow r = 6 \, cm$.
$\frac{dr}{dt}$ ના સમીકરણમાં $r = 6$ મૂકતા:
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} \, cm/sec$.

(D) ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} \dots (i)$ મળે છે.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $S = 4\pi r^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dS}{dt} = 8 \, cm^2/s$,તેથી $8 = 8\pi r \frac{dr}{dt}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{\pi r}$.
$\frac{dr}{dt}$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \times \frac{1}{\pi r} = 4r$ મળે છે.
આમ,ઘનફળમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt}$ એ $r$ ના પ્રમાણમાં છે.

(A) ધારો કે ગોળાકાર ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા $r$ છે. ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 35 \, cm^3/min$,તેથી $35 = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dr}{dt} = \frac{35}{4\pi r^2} \quad (1)$.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4\pi r^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ માંથી $\frac{dr}{dt}$ ની કિંમત $\frac{dS}{dt}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dS}{dt} = 8\pi r \left( \frac{35}{4\pi r^2} \right) = \frac{70}{r}$.
વ્યાસ $14 \, cm$ આપેલ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = 7 \, cm$ થાય.
$r = 7$ ની કિંમત $\frac{dS}{dt}$ માં મૂકતા:
$\frac{dS}{dt} = \frac{70}{7} = 10 \, cm^2/min$.

(B) ધારો કે વર્તુળાકાર શીટની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
આપેલ છે કે $A = \pi r^2$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$.
અહીં $\frac{dA}{dt} = 6\pi \, cm^2/hr$ અને $r = 30 \, cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$6\pi = 2\pi (30) \frac{dr}{dt}$.
$6\pi = 60\pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{6\pi}{60\pi} = \frac{1}{10} = 0.1 \, cm/hr$.
આમ,વર્તુળાકાર શીટની ત્રિજ્યા વધવાનો દર $0.1 \, cm/hr$ છે.

(D) ધારો કે $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,$b$ એ પહોળાઈ છે અને $\ell$ એ લંબચોરસની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $\frac{dA}{dt} = -5$,$\frac{d\ell}{dt} = 2$,અને $\frac{db}{dt} = -3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = \ell \times b$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = \ell \cdot \frac{db}{dt} + b \cdot \frac{d\ell}{dt}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$-5 = \ell(-3) + b(2)$.
$-5 = -3\ell + 2b$.
જ્યારે પહોળાઈ $b = 2 \, m$ હોય,ત્યારે આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$-5 = -3\ell + 2(2)$.
$-5 = -3\ell + 4$.
$3\ell = 4 + 5$.
$3\ell = 9$.
$\ell = 3 \, m$.
આમ,લંબચોરસની લંબાઈ $3 \, m$ છે.

(C) આપેલ છે કે $W = nw$.
વિકલન માટે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dW}{dt} = n \frac{dw}{dt} + w \frac{dn}{dt}$
આપેલ છે કે $n = 2t^2 + 3$ અને $w = t^2 - t + 2$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dn}{dt} = 4t$
$\frac{dw}{dt} = 2t - 1$
$t = 1$ સમયે:
$n = 2(1)^2 + 3 = 5$
$w = (1)^2 - 1 + 2 = 2$
$\frac{dn}{dt} = 4(1) = 4$
$\frac{dw}{dt} = 2(1) - 1 = 1$
આ કિંમતોને વિકલનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{dW}{dt} = (5)(1) + (2)(4)$
$\frac{dW}{dt} = 5 + 8 = 13$

(B) ધારો કે $A$ એ વર્તુળાકાર પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ છે અને $r$ તેની ત્રિજ્યા છે। ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે।
આપેલ છે કે ત્રિજ્યા $r = 50 \, cm$ અને ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફાર $\frac{dr}{dt} = 1 \, mm/hour = 0.1 \, cm/hour = \frac{1}{10} \, cm/hour$ છે।
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં ક્ષેત્રફળનું વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે।
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{dA}{dt} = 2 \times \pi \times 50 \times \frac{1}{10} = 10\pi \, cm^2/hour$ મળે છે।
આમ,પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $10\pi \, cm^2/hour$ ના દરે વધે છે।

(B) ધારો કે $t$ સમયે પાણીની ઊંડાઈ $h$ છે અને પાણીની સપાટીની ત્રિજ્યા $r$ છે.
અર્ધ-શીર્ષકોણ $\theta = \tan^{-1}(1/2)$ આપેલ છે,તેથી $\tan \theta = \frac{r}{h} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{h}{2}$.
શંકુમાં પાણીનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ છે.
$r = \frac{h}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે $V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{12}$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{12} (3h^2) \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{4} \frac{dh}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 5 \ m^3/min$ અને $h = 10 \ m$,આ કિંમતો મૂકતા:
$5 = \frac{\pi (10)^2}{4} \frac{dh}{dt}$
$5 = \frac{100\pi}{4} \frac{dh}{dt}$
$5 = 25\pi \frac{dh}{dt}$
$\frac{dh}{dt} = \frac{5}{25\pi} = \frac{1}{5\pi} \ m/min$.

(D) ધારો કે લોખંડના દડાની ત્રિજ્યા $r = 10 \, cm$ છે અને બરફના પડની જાડાઈ $h$ છે.
બરફ સહિત ગોળાની કુલ ત્રિજ્યા $R = 10 + h$ છે.
બરફના પડનું ઘનફળ $V$ એ બરફ સાથેના ગોળાના ઘનફળ અને લોખંડના દડાના ઘનફળ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$V = \frac{4}{3}\pi (10 + h)^3 - \frac{4}{3}\pi (10)^3$
સમય $t$ ની સાપેક્ષે બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3(10 + h)^2 \cdot \frac{dh}{dt} = 4\pi (10 + h)^2 \frac{dh}{dt}$
આપેલ છે કે બરફ $50 \, cm^3/min$ ના દરે ઓગળે છે,તેથી $\frac{dV}{dt} = -50 \, cm^3/min$.
સમીકરણમાં $h = 5 \, cm$ અને $\frac{dV}{dt} = -50$ મૂકતા:
$-50 = 4\pi (10 + 5)^2 \frac{dh}{dt}$
$-50 = 4\pi (15)^2 \frac{dh}{dt}$
$-50 = 4\pi (225) \frac{dh}{dt}$
$-50 = 900\pi \frac{dh}{dt}$
$\frac{dh}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \, cm/min$.
આમ,બરફની જાડાઈ ઘટવાનો દર $\frac{1}{18\pi} \, cm/min$ છે.

(D) ધારો કે સીડીના નીચેના છેડાનું દીવાલથી અંતર $x$ છે અને સીડીના ઉપરના છેડાની જમીનથી ઊંચાઈ $y$ છે. સીડીની લંબાઈ $L = 2 \ m = 200 \ cm$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + y^2 = 200^2$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$ થાય છે.
આપેલ છે કે ઉપરનો છેડો $25 \ cm/sec$ ના દરે નીચે સરકે છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = -25 \ cm/sec$.
જ્યારે $y = 1 \ m = 100 \ cm$ હોય,ત્યારે $x^2 + 100^2 = 200^2$ પરથી $x^2 = 40000 - 10000 = 30000$ મળે,તેથી $x = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3} \ cm$.
આ કિંમતોને વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $(100\sqrt{3}) \frac{dx}{dt} + (100)(-25) = 0$.
$(100\sqrt{3}) \frac{dx}{dt} = 2500$.
$\frac{dx}{dt} = \frac{2500}{100\sqrt{3}} = \frac{25}{\sqrt{3}} \ cm/sec$.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિજ્યાની સાપેક્ષમાં ક્ષેત્રફળના બદલાવનો દર શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^2) = 2\pi r$.
આપેલ છે કે $r = 5 \text{ cm}$,તેથી આ કિંમત વિકલનમાં મૂકતા:
$\frac{dA}{dr} = 2 \times \pi \times 5 = 10\pi$.
આમ,જ્યારે $r = 5 \text{ cm}$ હોય ત્યારે વર્તુળના ક્ષેત્રફળનો તેની ત્રિજ્યાની સાપેક્ષમાં બદલાવનો દર $10\pi \text{ cm}^2/\text{cm}$ છે.

(A) ધારો કે $x$ એ સમઘનની બાજુની લંબાઈ છે. ધારો કે $V$ એ ઘનફળ અને $S$ એ સમઘનનું પૃષ્ઠફળ છે. તેથી $V = x^3$ અને $S = 6x^2$, જ્યાં $x$ એ સમય $t$ નું વિધેય છે.
આપેલ છે કે ઘનફળમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = 9 \text{ cm}^3/\text{s}$ છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(x^3) = 3x^2 \cdot \frac{dx}{dt}$.
આપેલ કિંમત મૂકતા, $9 = 3x^2 \cdot \frac{dx}{dt}$, જેનાથી $\frac{dx}{dt} = \frac{3}{x^2}$ મળે છે.
હવે, આપણે પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dS}{dt}$ શોધવો છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(6x^2) = 12x \cdot \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt} = \frac{3}{x^2}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને $\frac{dS}{dt} = 12x \cdot \left(\frac{3}{x^2}\right) = \frac{36}{x}$ મળે છે.
જ્યારે બાજુની લંબાઈ $x = 10 \text{ cm}$ હોય, ત્યારે પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dS}{dt} = \frac{36}{10} = 3.6 \text{ cm}^2/\text{s}$ થાય.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
અહીં ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 4 \text{ cm/s}$ આપેલ છે.
જ્યારે $r = 10 \text{ cm}$ હોય,ત્યારે કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (10 \text{ cm}) (4 \text{ cm/s}) = 80 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.
આમ,ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $80 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ ના દરે વધી રહ્યું છે.

(A) આપેલ છે કે લંબાઈ $x$ એ $3 \text{ cm/min}$ ના દરે ઘટે છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = -3 \text{ cm/min}$.
આપેલ છે કે પહોળાઈ $y$ એ $2 \text{ cm/min}$ ના દરે વધે છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = 2 \text{ cm/min}$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = x \cdot y$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dA}{dt} = \frac{dx}{dt} \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dt}$.
આપેલ કિંમતો $x = 10 \text{ cm}$,$y = 6 \text{ cm}$,$\frac{dx}{dt} = -3 \text{ cm/min}$,અને $\frac{dy}{dt} = 2 \text{ cm/min}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = (-3)(6) + (10)(2) = -18 + 20 = 2 \text{ cm}^2/\text{min}$.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફારનો દર $2 \text{ cm}^2/\text{min}$ છે.

(A) સીમાંત ખર્ચ $(MC)$ એ કુલ ખર્ચ વિધેય $C(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન છે:
$MC = \frac{dC}{dx} = \frac{d}{dx}(0.005x^{3} - 0.02x^{2} + 30x + 5000)$
$MC = 0.005(3x^{2}) - 0.02(2x) + 30$
$MC = 0.015x^{2} - 0.04x + 30$
જ્યારે $x = 3$ એકમોનું ઉત્પાદન થાય ત્યારે સીમાંત ખર્ચ શોધવા માટે,$MC$ ના સમીકરણમાં $x = 3$ મૂકો:
$MC = 0.015(3)^{2} - 0.04(3) + 30$
$MC = 0.015(9) - 0.12 + 30$
$MC = 0.135 - 0.12 + 30$
$MC = 0.015 + 30 = 30.015$
આમ,સીમાંત ખર્ચ $Rs. 30.015$ છે.

(A) સીમાંત આવક એટલે વેચાયેલા એકમોની સંખ્યાના સાપેક્ષમાં કુલ આવકમાં થતો ફેરફારનો દર,જે વિકલન $\frac{dR}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R(x) = 3x^2 + 36x + 5$.
સીમાંત આવક $(MR) = \frac{dR}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 + 36x + 5) = 6x + 36$.
જ્યારે $x = 5$ હોય ત્યારે સીમાંત આવક શોધવા માટે,આપણે $MR$ ના સમીકરણમાં $x = 5$ મૂકીશું:
$MR = 6(5) + 36 = 30 + 36 = 66$.
આમ,જરૂરી સીમાંત આવક $Rs. 66$ છે.

(A) ત્રિજ્યા $(r)$ ધરાવતા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ નીચે મુજબ છે:
$A = \pi r^2$
ક્ષેત્રફળમાં તેની ત્રિજ્યાની સાપેક્ષે થતા ફેરફારનો દર શોધવા માટે, આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીશું:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^2) = 2 \pi r$
હવે, $r = 3 \text{ cm}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{dA}{dr} = 2 \pi (3) = 6 \pi \text{ cm}$
આમ, જ્યારે ત્રિજ્યા $3 \text{ cm}$ હોય ત્યારે વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફારનો દર $6 \pi \text{ cm}$ છે.

(A) ત્રિજ્યા $(r)$ ધરાવતા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ નીચે મુજબ છે:
$A = \pi r^{2}$
ક્ષેત્રફળમાં તેની ત્રિજ્યાની સાપેક્ષે થતા ફેરફારનો દર શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીશું:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^{2}) = 2 \pi r$
હવે,આપેલ કિંમત $r = 4 \, cm$ ને વિકલનમાં મૂકતા:
$\frac{dA}{dr} = 2 \pi (4) = 8 \pi \, cm$
આમ,જ્યારે ત્રિજ્યા $r = 4 \, cm$ હોય ત્યારે વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફારનો દર $8 \pi \, cm$ છે.

(A) ધારો કે $x$ એ ધારની લંબાઈ છે,$V$ એ ઘનફળ છે અને $S$ એ સમઘનનું પૃષ્ઠફળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $V = x^{3}$ અને $S = 6x^{2}$.
આપેલ છે કે ઘનફળમાં થતો ફેરફાર $\frac{dV}{dt} = 8 \, cm^{3}/s$ છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(x^{3}) = 3x^{2} \cdot \frac{dx}{dt}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $8 = 3x^{2} \cdot \frac{dx}{dt} \implies \frac{dx}{dt} = \frac{8}{3x^{2}}$.
હવે,પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(6x^{2}) = 12x \cdot \frac{dx}{dt}$ છે.
અગાઉના સ્ટેપમાંથી $\frac{dx}{dt}$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{dS}{dt} = 12x \cdot \left(\frac{8}{3x^{2}}\right) = \frac{32}{x}$.
જ્યારે ધારની લંબાઈ $x = 12 \, cm$ હોય,ત્યારે પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\frac{dS}{dt} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \, cm^{2}/s$ થાય.

(A) ત્રિજ્યા $(r)$ ધરાવતા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ નીચે મુજબ છે:
$A = \pi r^2$
સમય $(t)$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$ (ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા).
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફાર $\frac{dr}{dt} = 3 \text{ cm/s}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r (3) = 6 \pi r$.
જ્યારે ત્રિજ્યા $r = 10 \text{ cm}$ હોય,ત્યારે ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર:
$\frac{dA}{dt} = 6 \pi (10) = 60 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.
આમ,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $60 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ ના દરે વધી રહ્યું છે.

(A) ધારો કે $x$ એ ઘનની ધારની લંબાઈ છે અને $V$ એ ઘનનું ઘનફળ છે.
તેથી,ઘનફળનું સૂત્ર $V = x^3$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે:
$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(x^3) = 3x^2 \cdot \frac{dx}{dt}$ (સાંકળના નિયમ મુજબ).
આપેલ છે કે ધારના વધવાનો દર $\frac{dx}{dt} = 3 \, cm/s$ છે.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે:
$\frac{dV}{dt} = 3x^2(3) = 9x^2$.
જ્યારે ધારની લંબાઈ $x = 10 \, cm$ હોય,ત્યારે ઘનફળના વધવાનો દર:
$\frac{dV}{dt} = 9(10)^2 = 9(100) = 900 \, cm^3/s$ થાય.
આમ,જ્યારે ધાર $10 \, cm$ હોય ત્યારે ઘનનું ઘનફળ $900 \, cm^3/s$ ના દરે વધે છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2\pi r \frac{dr}{dt}$.
અહીં ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફાર $\frac{dr}{dt} = 5 \text{ cm/s}$ આપેલ છે.
જ્યારે $r = 8 \text{ cm}$ હોય,ત્યારે કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (8 \text{ cm}) (5 \text{ cm/s}) = 80 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.
આમ,ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $80 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ ના દરે વધી રહ્યું છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનો પરિઘ $C = 2 \pi r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને પરિઘના ફેરફારનો દર મળે છે:
$\frac{dC}{dt} = \frac{d}{dt}(2 \pi r) = 2 \pi \frac{dr}{dt}$.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યાના વધવાનો દર $\frac{dr}{dt} = 0.7 \, cm/s$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dC}{dt} = 2 \pi (0.7) = 1.4 \pi \, cm/s$.
આમ,પરિઘના વધવાનો દર $1.4 \pi \, cm/s$ છે.

(A) આપેલ છે કે લંબાઈ $x$ એ $5 \text{ cm/min}$ ના દરે ઘટી રહી છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = -5 \text{ cm/min}$.
આપેલ છે કે પહોળાઈ $y$ એ $4 \text{ cm/min}$ ના દરે વધી રહી છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = 4 \text{ cm/min}$.
લંબચોરસની પરિમિતિ $P$ નું સૂત્ર $P = 2(x + y)$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં પરિમિતિમાં થતો ફેરફારનો દર શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$\frac{dP}{dt} = 2 \left( \frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt} \right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dP}{dt} = 2(-5 + 4) = 2(-1) = -2 \text{ cm/min}$.
આમ,પરિમિતિ $2 \text{ cm/min}$ ના દરે ઘટી રહી છે.

(A) આપેલ છે કે લંબાઈ $x$ એ $5 \text{ cm/min}$ ના દરે ઘટે છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = -5 \text{ cm/min}$.
આપેલ છે કે પહોળાઈ $y$ એ $4 \text{ cm/min}$ ના દરે વધે છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = 4 \text{ cm/min}$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = x \times y$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dA}{dt} = \frac{dx}{dt} \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dt}$ મળે.
આપેલ કિંમતો $x = 8 \text{ cm}$,$y = 6 \text{ cm}$,$\frac{dx}{dt} = -5 \text{ cm/min}$,અને $\frac{dy}{dt} = 4 \text{ cm/min}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = (-5)(6) + (8)(4) = -30 + 32 = 2 \text{ cm}^2/\text{min}$.
આમ,લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $2 \text{ cm}^2/\text{min}$ ના દરે વધી રહ્યું છે.

(A) ત્રિજ્યા $(r)$ ધરાવતા ગોળાનું ઘનફળ $(V)$ નીચે મુજબ છે: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
સમય $(t)$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને ઘનફળમાં થતા ફેરફારનો દર મળે છે:
$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 900 \, cm^3/s$,તેથી:
$900 = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt}$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{dr}{dt} = \frac{900}{4 \pi r^2} = \frac{225}{\pi r^2}$.
જ્યારે ત્રિજ્યા $r = 15 \, cm$ હોય ત્યારે:
$\frac{dr}{dt} = \frac{225}{\pi (15)^2} = \frac{225}{225 \pi} = \frac{1}{\pi} \, cm/s$.
આમ,ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા વધવાનો દર $\frac{1}{\pi} \, cm/s$ છે.

(A) ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા ગોળાનું ઘનફળ $V$ નીચે મુજબ છે: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
ઘનફળમાં ત્રિજ્યાની સાપેક્ષે થતો વધારાનો દર શોધવા માટે,આપણે વિકલન $\frac{dV}{dr}$ શોધીશું:
$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) = \frac{4}{3} \pi (3r^2) = 4 \pi r^2$.
આપણને જ્યારે ત્રિજ્યા $r = 10 \text{ cm}$ હોય ત્યારે આ દર શોધવાનું કહ્યું છે.
વિકલનમાં $r = 10$ મૂકતા:
$\frac{dV}{dr} = 4 \pi (10)^2 = 4 \pi (100) = 400 \pi$.
આમ,ત્રિજ્યાની સાપેક્ષે ઘનફળમાં થતો વધારાનો દર $400 \pi \text{ cm}^3/\text{cm}$ છે.

(A) ધારો કે સીડીના નીચેના ભાગનું દીવાલથી અંતર $x$ છે અને દીવાલ પર સીડીની ઊંચાઈ $y$ છે.
સીડીની લંબાઈ $5 \ m$ આપેલ છે,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y} \frac{dx}{dt}$ થાય છે.
અહીં $\frac{dx}{dt} = 2 \ cm/s$ આપેલ છે.
જ્યારે $x = 4 \ m$ હોય,ત્યારે $y = \sqrt{25 - 4^2} = \sqrt{9} = 3 \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dy}{dt} = -\frac{4}{3} \times 2 = -\frac{8}{3} \ cm/s$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ઊંચાઈ ઘટી રહી છે.
આમ,ઊંચાઈ $\frac{8}{3} \ cm/s$ ના દરે ઘટી રહી છે.

(A) વક્રનું સમીકરણ $6y = x^3 + 2$ આપેલ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$6 \frac{dy}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$
$3$ વડે ભાગતા:
$2 \frac{dy}{dt} = x^2 \frac{dx}{dt}$
આપેલ છે કે $y$-યામ એ $x$-યામ કરતા $8$ ગણી ઝડપથી બદલાય છે,એટલે કે $\frac{dy}{dt} = 8 \frac{dx}{dt}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(8 \frac{dx}{dt}) = x^2 \frac{dx}{dt}$
$16 \frac{dx}{dt} = x^2 \frac{dx}{dt}$
$(x^2 - 16) \frac{dx}{dt} = 0$
ધારો કે $\frac{dx}{dt} \neq 0$,તેથી $x^2 = 16$,જેનો અર્થ છે $x = 4$ અથવા $x = -4$.
જ્યારે $x = 4$,ત્યારે $6y = 4^3 + 2 = 66$,તેથી $y = 11$. બિંદુ $(4, 11)$ છે.
જ્યારે $x = -4$,ત્યારે $6y = (-4)^3 + 2 = -62$,તેથી $y = -62/6 = -31/3$. બિંદુ $(-4, -31/3)$ છે.
આમ,જરૂરી બિંદુઓ $(4, 11)$ અને $(-4, -31/3)$ છે.

(A) હવાનો પરપોટો ગોળાકાર આકારનો છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V$ અને ત્રિજ્યા $r$ હોય તો,$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ થાય.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3} \pi \cdot 3r^2 \cdot \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
અહીં $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2} \text{ cm/s}$ અને $r = 1 \text{ cm}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = 4 \pi (1)^2 \left( \frac{1}{2} \right) = 2 \pi \text{ cm}^3/\text{s}$.
આમ,પરપોટાનું ઘનફળ $2 \pi \text{ cm}^3/\text{s}$ ના દરે વધી રહ્યું છે.

(B) ત્રિજ્યા $(r)$ ધરાવતા ગોળાનું ઘનફળ $(V)$ નીચે મુજબ છે: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
આપેલ વ્યાસ $d = \frac{3}{2}(2x+1)$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{3}{4}(2x+1)$ થાય.
ઘનફળના સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{3}{4}(2x+1) \right)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{27}{64} (2x+1)^3 = \frac{9}{16} \pi (2x+1)^3$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં ઘનફળમાં થતા ફેરફારનો દર શોધવા માટે,$V$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{9}{16} \pi (2x+1)^3 \right) = \frac{9}{16} \pi \cdot 3(2x+1)^2 \cdot \frac{d}{dx}(2x+1)$.
$\frac{dV}{dx} = \frac{27}{16} \pi (2x+1)^2 \cdot 2 = \frac{27}{8} \pi (2x+1)^2$.

(A) શંકુનું ઘનફળ $V$,ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ માટે $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
આપેલ છે કે $h = \frac{1}{6} r$,તેથી $r = 6h$.
ઘનફળના સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા: $V = \frac{1}{3} \pi (6h)^2 h = \frac{1}{3} \pi (36h^2) h = 12 \pi h^3$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dt} = 12 \pi (3h^2) \frac{dh}{dt} = 36 \pi h^2 \frac{dh}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 12 \text{ cm}^3/\text{s}$,તેથી $12 = 36 \pi h^2 \frac{dh}{dt}$.
જ્યારે $h = 4 \text{ cm}$ હોય,ત્યારે $12 = 36 \pi (4)^2 \frac{dh}{dt} = 36 \pi (16) \frac{dh}{dt} = 576 \pi \frac{dh}{dt}$.
આમ,$\frac{dh}{dt} = \frac{12}{576 \pi} = \frac{1}{48 \pi} \text{ cm/s}$.

(A) સીમાંત ખર્ચ એ ઉત્પાદનના સંદર્ભમાં કુલ ખર્ચમાં થતા ફેરફારનો દર છે.
સીમાંત ખર્ચ $(MC) = \frac{dC}{dx} = 0.007(3x^{2}) - 0.003(2x) + 15$
$= 0.021x^{2} - 0.006x + 15$
જ્યારે $x = 17$,ત્યારે $MC = 0.021(17^{2}) - 0.006(17) + 15$
$= 0.021(289) - 0.102 + 15$
$= 6.069 - 0.102 + 15$
$= 20.967$
આમ,જ્યારે $17$ એકમોનું ઉત્પાદન થાય છે,ત્યારે સીમાંત ખર્ચ $Rs. 20.967$ છે.

(A) સીમાંત આવક એટલે વેચાયેલા એકમોની સંખ્યાના સંદર્ભમાં કુલ આવકમાં થતો ફેરફારનો દર,જે વિકલન $\frac{dR}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કુલ આવક વિધેય $R(x) = 13x^2 + 26x + 15$ છે.
સીમાંત આવક $(MR)$ શોધવા માટે,આપણે $R(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$MR = \frac{dR}{dx} = \frac{d}{dx}(13x^2 + 26x + 15)$
$MR = 13(2x) + 26(1) + 0$
$MR = 26x + 26$
હવે,$x = 7$ માટે સીમાંત આવકની કિંમત શોધીએ:
$MR = 26(7) + 26$
$MR = 182 + 26$
$MR = 208$
આમ,જ્યારે $x = 7$ હોય ત્યારે સીમાંત આવક $Rs. 208$ છે.

(B) ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \pi r^2$
ક્ષેત્રફળનો તેની ત્રિજ્યા $r$ ની સાપેક્ષમાં બદલાવનો દર શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^2) = 2 \pi r$
હવે,$r = 6 \text{ cm}$ માટે આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{dA}{dr} = 2 \pi (6) = 12 \pi \text{ cm}^2/\text{cm}$
આમ,$r = 6 \text{ cm}$ પર વર્તુળના ક્ષેત્રફળનો બદલાવનો દર $12 \pi \text{ cm}^2/\text{cm}$ છે.
સાચો વિકલ્પ $B$ છે.