Rate of Change of Quantities Questions in Gujarati

(C) સીમાંત આવક એટલે વેચાયેલા એકમોની સંખ્યાના સંદર્ભમાં કુલ આવકમાં થતો ફેરફારનો દર.
$\therefore$ સીમાંત આવક $(MR) = \frac{dR}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 + 36x + 5) = 6x + 36$.
હવે,જ્યારે $x = 15$ હોય ત્યારે સીમાંત આવકની ગણતરી કરીએ:
$MR = 6(15) + 36 = 90 + 36 = 126$.
આમ,જરૂરી સીમાંત આવક $Rs. 126$ છે.
સાચો જવાબ $C$ છે.

(A) ધારો કે $t$ સેકન્ડે કારનો વેગ $v$ છે.
કાપેલું અંતર $x = t^{2}(2 - \frac{t}{3}) = 2t^{2} - \frac{t^{3}}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષે અંતરમાં થતો ફેરફાર છે,તેથી $v = \frac{dx}{dt}$.
$v = \frac{d}{dt}(2t^{2} - \frac{t^{3}}{3}) = 4t - t^{2} = t(4 - t)$.
જ્યારે વેગ $v = 0$ થાય ત્યારે કાર બિંદુ $Q$ પર અટકે છે.
$v = 0$ લેતા,આપણને $t(4 - t) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t = 0$ અથવા $t = 4$.
કાર $t = 0$ સમયે બિંદુ $P$ થી શરૂ થાય છે,તેથી તે $t = 4$ સેકન્ડે બિંદુ $Q$ પર પહોંચે છે.
$P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર એ $t = 4$ સમયે $x$ નું મૂલ્ય છે.
$x(4) = 4^{2}(2 - \frac{4}{3}) = 16(\frac{6-4}{3}) = 16(\frac{2}{3}) = \frac{32}{3} \, m$.

(A) ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ પર પાણીની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંડાઈ $h$ છે. અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો $\alpha$ માટે $\tan \alpha = 0.5 = \frac{1}{2}$ આપેલ છે.
શંકુની ભૂમિતિ પરથી,$\tan \alpha = \frac{r}{h}$,તેથી $\frac{r}{h} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{h}{2}$.
શંકુમાં પાણીનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
$r = \frac{h}{2}$ મૂકતા,આપણને $V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{12}$ મળે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{12} \cdot 3h^2 \cdot \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{4} \cdot \frac{dh}{dt}$ મળે છે.
અહીં $\frac{dV}{dt} = 5 \ m^3/h$ અને $h = 4 \ m$ આપેલ છે,તેથી:
$5 = \frac{\pi (4)^2}{4} \cdot \frac{dh}{dt} = 4\pi \cdot \frac{dh}{dt}$.
તેથી,$\frac{dh}{dt} = \frac{5}{4\pi} \ m/h$.

(A) ધારો કે $AB$ એ $6 \text{ m}$ ઊંચાઈ ધરાવતો લેમ્પ પોસ્ટ છે અને $MN$ એ $2 \text{ m}$ ઊંચાઈ ધરાવતો માણસ છે. ધારો કે માણસ $t$ સમયે લેમ્પ પોસ્ટથી $l$ અંતરે છે,તેથી $AM = l$. ધારો કે $MS = s$ એ પડછાયાની લંબાઈ છે.
$\triangle MSN \sim \triangle ASB$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{MS}{AS} = \frac{MN}{AB}$
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{s}{l + s} = \frac{2}{6}$
$\frac{s}{l + s} = \frac{1}{3}$
$3s = l + s$
$l = 2s$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dl}{dt} = 2 \frac{ds}{dt}$
આપેલ છે કે માણસ $\frac{dl}{dt} = 5 \text{ km/h}$ ની ઝડપે ચાલે છે,તેથી:
$5 = 2 \frac{ds}{dt}$
$\frac{ds}{dt} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ km/h}$
આમ,પડછાયાની લંબાઈ $2.5 \text{ km/h}$ ના દરે વધે છે.

(A) ધારો કે વર્તુળાકાર તકતીની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
તકતીનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતા વધારાનો દર $\frac{dr}{dt} = 0.05 \text{ cm/s}$ છે.
જ્યારે $r = 3.2 \text{ cm}$ હોય ત્યારે આપણે ક્ષેત્રફળમાં થતા વધારાનો દર શોધવાનો છે.
વિકલિત સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \times \pi \times (3.2 \text{ cm}) \times (0.05 \text{ cm/s})$
$\frac{dA}{dt} = 2 \times 3.2 \times 0.05 \times \pi \text{ cm}^2\text{/s}$
$\frac{dA}{dt} = 0.320\pi \text{ cm}^2\text{/s}$.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં થતા વધારાનો દર $0.320\pi \text{ cm}^2\text{/s}$ છે.

(B) ધારો કે $\triangle ABC$ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જ્યાં $BC$ એ $b$ લંબાઈનો નિશ્ચિત પાયો છે. ધારો કે બે સમાન બાજુઓની લંબાઈ $a$ છે.
$AD \perp BC$ દોરો. $\triangle ADC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,ઊંચાઈ $h = AD = \sqrt{a^2 - (b/2)^2} = \sqrt{a^2 - b^2/4}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times b \times \sqrt{a^2 - b^2/4} = \frac{b}{2} \sqrt{a^2 - b^2/4}$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dA}{dt} = \frac{b}{2} \times \frac{1}{2\sqrt{a^2 - b^2/4}} \times 2a \times \frac{da}{dt} = \frac{ab}{2\sqrt{a^2 - b^2/4}} \times \frac{da}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{da}{dt} = -3 \ cm/s$. જ્યારે $a = b$ હોય,ત્યારે ઊંચાઈ $h = \sqrt{b^2 - b^2/4} = \sqrt{3b^2/4} = \frac{\sqrt{3}b}{2}$.
$a = b$ અને $\frac{da}{dt} = -3$ ને વિકલનમાં મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{b \cdot b}{2(\sqrt{3}b/2)} \times (-3) = \frac{b^2}{\sqrt{3}b} \times (-3) = -\frac{3b}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}b$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $\sqrt{3}b \ cm^2/s$ ના દરે ઘટી રહ્યું છે.

(C) ધારો કે નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ઘઉંની ઊંડાઈ (ઊંચાઈ) $h$ છે.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 10 \ m$ આપેલ છે,તેથી $V = \pi (10)^2 h = 100 \pi h$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 100 \pi \frac{dh}{dt}$ મળે છે.
આપણને $\frac{dV}{dt} = 314 \ m^3/h$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$314 = 100 \pi \frac{dh}{dt}$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$314 = 100(3.14) \frac{dh}{dt} = 314 \frac{dh}{dt}$.
તેથી,$\frac{dh}{dt} = \frac{314}{314} = 1 \ m/h$.
આમ,ઘઉંની ઊંડાઈ $1 \ m/h$ ના દરે વધી રહી છે.
સાચો જવાબ $C$ છે.

(A) વક્રનો ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = 5 - 6x^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં ઢાળના બદલાવનો દર શોધવા માટે,આપણે સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને $m$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dm}{dt} = \frac{d}{dt}(5 - 6x^{2}) = -12x \cdot \frac{dx}{dt}$.
આપેલ છે કે $x = 3$ અને $\frac{dx}{dt} = 2 \text{ units/sec}$,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dm}{dt} = -12(3)(2) = -72 \text{ units/sec}$.
આમ,વક્રનો ઢાળ $-72 \text{ units/sec}$ ના દરે બદલાય છે,જેનો અર્થ છે કે તે $72 \text{ units/sec}$ ના દરે ઘટી રહ્યો છે.

(N/A) ધારો કે સમય $t$ પર શંકુ આકારના પાત્રમાં પાણીનું ઘનફળ $v$ છે. આપણને આપેલ છે કે $\frac{dv}{dt} = -1 \text{ cm}^3/\text{s}$ (પાણી બહાર નીકળતું હોવાથી ઋણ).
ધારો કે $l$ એ તિર્યક ઊંચાઈ છે,$h$ એ શિરોલંબ ઊંચાઈ છે,અને $r$ એ પાણીની સપાટીની ત્રિજ્યા છે.
અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો $\alpha = \frac{\pi}{6}$ છે.
શંકુની ભૂમિતિ પરથી,$h = l \cos \alpha = l \cos \frac{\pi}{6} = l \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $r = l \sin \alpha = l \sin \frac{\pi}{6} = \frac{l}{2}$ મળે છે.
શંકુનું ઘનફળ $v = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{l}{2}\right)^2 \left(l \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3} \pi}{24} l^3$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dv}{dt} = \frac{\sqrt{3} \pi}{24} \cdot 3l^2 \frac{dl}{dt} = \frac{\sqrt{3} \pi}{8} l^2 \frac{dl}{dt}$ મળે છે.
$l = 4 \text{ cm}$ અને $\frac{dv}{dt} = -1 \text{ cm}^3/\text{s}$ આપેલ હોવાથી,આપણે આ કિંમતો મૂકીએ:
$-1 = \frac{\sqrt{3} \pi}{8} (4)^2 \frac{dl}{dt} = \frac{\sqrt{3} \pi}{8} \cdot 16 \frac{dl}{dt} = 2\sqrt{3} \pi \frac{dl}{dt}$.
આમ,$\frac{dl}{dt} = -\frac{1}{2\sqrt{3} \pi} \text{ cm/s}$.
તેથી,તિર્યક ઊંચાઈ ઘટવાનો દર $\frac{1}{2\sqrt{3} \pi} \text{ cm/s}$ છે.

(8 M/S) ધારો કે પતંગની ઊંચાઈ $CD = 151.5 \ m$ છે અને છોકરાની ઊંચાઈ $AB = 1.5 \ m$ છે. ધારો કે છોકરા અને પતંગ વચ્ચેનું સમક્ષિતિજ અંતર $x$ છે અને દોરીની લંબાઈ $y$ છે.
સમસ્યાની ભૂમિતિ મુજબ,છોકરાની આંખના સ્તરથી પતંગની અસરકારક ઊંચાઈ $h = 151.5 - 1.5 = 150 \ m$ છે.
દોરી,સમક્ષિતિજ અંતર અને અસરકારક ઊંચાઈ દ્વારા રચાયેલા કાટકોણ ત્રિકોણમાં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$x^2 + h^2 = y^2$
$x^2 + (150)^2 = y^2$ --- $(i)$
આપેલ છે કે પતંગ $10 \ m/s$ ની ઝડપે સમક્ષિતિજ રીતે ગતિ કરે છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = 10 \ m/s$.
જ્યારે દોરીની લંબાઈ $y = 250 \ m$ હોય,ત્યારે સમીકરણ $(i)$ પરથી $x$ શોધીએ:
$x^2 + 150^2 = 250^2$
$x^2 = 62500 - 22500 = 40000$
$x = 200 \ m$.
સમીકરણ $(i)$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x \frac{dx}{dt} + 0 = 2y \frac{dy}{dt}$
$x \frac{dx}{dt} = y \frac{dy}{dt}$
કિંમતો મૂકતા:
$200 \times 10 = 250 \times \frac{dy}{dt}$
$\frac{dy}{dt} = \frac{2000}{250} = 8 \ m/s$.
આમ,દોરી $8 \ m/s$ ના દરે બહાર નીકળી રહી છે.

(A) ધારો કે બે માણસો બિંદુ $C$ થી એક જ સમયે $v$ વેગ સાથે શરૂઆત કરે છે. વળી,$\angle BCA = 45^{\circ}$.
કારણ કે $A$ અને $B$ સમાન વેગ $v$ સાથે ગતિ કરી રહ્યા છે,તેથી તેઓ સમાન સમયમાં સમાન અંતર કાપશે.
તેથી,$\Delta ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $AC = BC$ છે. ધારો કે $AC = BC = x$ અને કોઈપણ ક્ષણે તેમની વચ્ચેનું અંતર $y = AB$ છે.
$CD \perp AB$ દોરો. $\Delta ACD$ અને $\Delta DCB$ માં:
$\angle CAD = \angle CBD$ (કારણ કે $AC = BC$)
$\angle CDA = \angle CDB = 90^{\circ}$
તેથી,$\angle ACD = \angle DCB = \frac{1}{2} \times \angle ACB = \frac{1}{2} \times 45^{\circ} = 22.5^{\circ} = \frac{\pi}{8}$.
$\Delta ACD$ માં,$\sin(\frac{\pi}{8}) = \frac{AD}{AC} = \frac{y/2}{x}$.
આમ,$y = 2x \sin(\frac{\pi}{8})$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = 2 \sin(\frac{\pi}{8}) \frac{dx}{dt} = 2v \sin(\frac{\pi}{8})$.
$\sin(\frac{\pi}{8}) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dt} = 2v \cdot \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} = v \sqrt{2-\sqrt{2}}$.

(A) ધારો કે $AB$ એ સ્ટ્રીટ લાઈટનો થાંભલો છે અને $CD$ એ માણસની ઊંચાઈ છે,એટલે કે $CD = 2 \ m$.
ધારો કે $BC = x \ m$,$CE = y \ m$,અને $\frac{dx}{dt} = -\frac{5}{3} \ m/s$ (કારણ કે માણસ થાંભલા તરફ ગતિ કરે છે).
$\Delta ABE$ અને $\Delta DCE$ માં,આપણે જોઈએ છીએ કે $\Delta ABE \sim \Delta DCE$ ($AAA$ સમરૂપતા દ્વારા).
તેથી,$\frac{AB}{DC} = \frac{BE}{CE} \Rightarrow \frac{16/3}{2} = \frac{x+y}{y}$.
$\Rightarrow \frac{16}{6} = \frac{x+y}{y} \Rightarrow \frac{8}{3} = \frac{x+y}{y}$.
$\Rightarrow 8y = 3x + 3y \Rightarrow 5y = 3x \Rightarrow y = \frac{3}{5}x$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે $\frac{dy}{dt} = \frac{3}{5} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = -1 \ m/s$.
આમ,પડછાયાની લંબાઈ $1 \ m/s$ ના દરે ઘટી રહી છે.
ધારો કે $z = x + y$ એ પડછાયાના છેડાનું થાંભલાથી અંતર છે.
હવે,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dz}{dt} = \frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt} = -\frac{5}{3} - 1 = -\frac{8}{3} = -2 \frac{2}{3} \ m/s$.
આમ,પડછાયાનો છેડો $2 \frac{2}{3} \ m/s$ ના દરે પ્રકાશના સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરે છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^{2}$.
આપણે $\frac{f(1.1) - f(1)}{1.1 - 1}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,$f(1.1) = (1.1)^{2} = 1.21$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$f(1) = (1)^{2} = 1$ મેળવો.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1.21 - 1}{1.1 - 1} = \frac{0.21}{0.1} = 2.1$.

(N/A) ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ પર મીઠાના ગોળાકાર દડાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
દડાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે અને સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^{2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કદમાં થતો ઘટાડો સપાટીના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં છે:
$-\frac{dV}{dt} \propto S$
આનો અર્થ એ છે કે $-\frac{dV}{dt} = kS$,જ્યાં $k$ એ ધન પ્રમાણ્યતા અચળાંક છે.
$V$ અને $S$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$-\frac{d}{dt} \left( \frac{4}{3} \pi r^{3} \right) = k(4 \pi r^{2})$
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$-\frac{4}{3} \pi \cdot 3r^{2} \cdot \frac{dr}{dt} = k(4 \pi r^{2})$
$-4 \pi r^{2} \cdot \frac{dr}{dt} = k(4 \pi r^{2})$
બંને બાજુ $4 \pi r^{2}$ વડે ભાગતા ($r \neq 0$ ધારીને):
$-\frac{dr}{dt} = k$
$\frac{dr}{dt} = -k$
જેમ કે $k$ અચળ છે,તેથી ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt}$ અચળ છે. આમ,ત્રિજ્યા અચળ દરે ઘટી રહી છે.

(N/A) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt} \quad \dots(i)$
આપેલ છે કે વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ સમાન દરે વધે છે,તેથી ધારો કે $\frac{dA}{dt} = k$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$k = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{k}{2\pi r} \quad \dots(ii)$
ધારો કે વર્તુળની પરિમિતિ $P = 2\pi r$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં પરિમિતિનું વિકલન કરતા:
$\frac{dP}{dt} = \frac{d}{dt}(2\pi r) = 2\pi \cdot \frac{dr}{dt}$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $\frac{dr}{dt}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{dP}{dt} = 2\pi \cdot \left( \frac{k}{2\pi r} \right) = \frac{k}{r}$
અહીં $k$ અચળાંક હોવાથી,$\frac{dP}{dt} \propto \frac{1}{r}$ થાય છે.
આમ,પરિમિતિના ફેરફારનો દર તેની ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

(A) આપેલ છે કે સમય $t$ પર પાણીનું કદ $L = 200(10-t)^2$ છે.
પાણી બહાર નીકળવાનો દર $-\frac{dL}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,વિકલન શોધો: $\frac{dL}{dt} = 200 \cdot 2(10-t) \cdot (-1) = -400(10-t)$.
તેથી,પ્રવાહનો દર $-\frac{dL}{dt} = 400(10-t)$ છે.
$t = 5$ સેકન્ડ પર,દર $400(10-5) = 400(5) = 2000 \text{ L/s}$ છે.
પ્રથમ $5$ સેકન્ડ દરમિયાન સરેરાશ દર શોધવા માટે,આપણે કદમાં થયેલા કુલ ફેરફારને સમયના અંતરાલ વડે ભાગીએ છીએ: $\text{સરેરાશ દર} = \frac{L(0) - L(5)}{5 - 0}$.
$L(0) = 200(10-0)^2 = 200(100) = 20000 \text{ L}$.
$L(5) = 200(10-5)^2 = 200(25) = 5000 \text{ L}$.
$\text{સરેરાશ દર} = \frac{20000 - 5000}{5} = \frac{15000}{5} = 3000 \text{ L/s}$.

(N/A) ધારો કે સમઘનની બાજુ $x$ એકમ છે.
સમઘનનું ઘનફળ $V = x^{3}$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 3x^{2} \frac{dx}{dt} = k$ (જ્યાં $k$ અચળ છે).
$\Rightarrow \frac{dx}{dt} = \frac{k}{3x^{2}} \dots (i)$.
સમઘનનું પૃષ્ઠફળ $S = 6x^{2}$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dS}{dt} = 12x \cdot \frac{dx}{dt}$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $\frac{dx}{dt}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{dS}{dt} = 12x \cdot \left( \frac{k}{3x^{2}} \right) = \frac{4k}{x}$.
અહીં $4k$ અચળ હોવાથી,$\frac{dS}{dt} \propto \frac{1}{x}$.
આમ,સમઘનના પૃષ્ઠફળમાં થતો વધારો તેની બાજુની લંબાઈ $x$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

(A) ધારો કે $A_{1}$ એ પ્રથમ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ છે અને $A_{2}$ એ બીજા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ ચોરસની બાજુ $x$ છે,તેથી $A_{1} = x^{2}$.
બીજા ચોરસની બાજુ $y = x - x^{2}$ છે,તેથી $A_{2} = y^{2} = (x - x^{2})^{2}$.
આપણે $A_{1}$ ની સાપેક્ષમાં $A_{2}$ ના ફેરફારનો દર શોધવો છે,જે $\frac{dA_{2}}{dA_{1}}$ છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dA_{2}}{dA_{1}} = \frac{dA_{2}/dx}{dA_{1}/dx}$.
પ્રથમ,$\frac{dA_{1}}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\frac{dA_{2}}{dx} = \frac{d}{dx}(x - x^{2})^{2} = 2(x - x^{2}) \cdot \frac{d}{dx}(x - x^{2}) = 2(x - x^{2})(1 - 2x)$ શોધો.
હવે,$\frac{dA_{2}}{dA_{1}} = \frac{2(x - x^{2})(1 - 2x)}{2x} = \frac{2x(1 - x)(1 - 2x)}{2x}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{dA_{2}}{dA_{1}} = (1 - x)(1 - 2x) = 1 - 2x - x + 2x^{2} = 2x^{2} - 3x + 1$ મળે છે.

(A) ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. સમઘનનું પૃષ્ઠફળ $S = 6a^2$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{dS}{dt} = 3.6 \text{ cm}^2/\text{sec}$.
$S$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dS}{dt} = 12a \frac{da}{dt}$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $3.6 = 12(10) \frac{da}{dt} \Rightarrow 3.6 = 120 \frac{da}{dt} \Rightarrow \frac{da}{dt} = \frac{3.6}{120} = 0.03 \text{ cm}/\text{sec}$.
સમઘનનું ઘનફળ $V = a^3$ છે.
$V$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 3a^2 \frac{da}{dt}$ મળે.
$a = 10$ અને $\frac{da}{dt} = 0.03$ મૂકતા: $\frac{dV}{dt} = 3(10)^2(0.03) = 3(100)(0.03) = 300 \times 0.03 = 9 \text{ cm}^3/\text{sec}$.

(A) ધારો કે ગોળાકાર ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ છે.
આપેલ છે કે સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અચળ દરે વધે છે,તેથી $\frac{dS}{dt} = k$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $S = kt + C$ મળે છે,જ્યાં $C$ સંકલનનો અચળાંક છે.
$S = 4 \pi r^2$ મૂકતા,આપણને $4 \pi r^2 = kt + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$r = 3$,તેથી $4 \pi (3)^2 = k(0) + C \Rightarrow C = 36 \pi$.
$t = 5$ સમયે,$r = 7$,તેથી $4 \pi (7)^2 = k(5) + 36 \pi \Rightarrow 196 \pi = 5k + 36 \pi \Rightarrow 5k = 160 \pi \Rightarrow k = 32 \pi$.
આમ,સમીકરણ $4 \pi r^2 = 32 \pi t + 36 \pi$ બને છે.
$4 \pi$ વડે ભાગતા,આપણને $r^2 = 8t + 9$ મળે છે.
$t = 9$ માટે,$r^2 = 8(9) + 9 = 72 + 9 = 81$.
તેથી,$r = \sqrt{81} = 9$ એકમ.

(C) ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા $R = 7 \, cm$ અને ઊંચાઈ $H = 35 \, cm$ છે. સમરૂપ ત્રિકોણો દ્વારા,$\frac{r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{7}{35} = \frac{1}{5}$,તેથી $h = 5r$.
પાણીનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 (5r) = \frac{5}{3} \pi r^3$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 1 \, cm^3/sec$,તેથી $\frac{d}{dt} (\frac{5}{3} \pi r^3) = 5 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = 1$,એટલે કે $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{5 \pi r^2}$.
ભીની શંકુ આકારની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = \pi r l = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} = \pi r \sqrt{r^2 + (5r)^2} = \pi r \sqrt{26r^2} = \sqrt{26} \pi r^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dS}{dt} = 2 \sqrt{26} \pi r \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{5 \pi r^2}$ મુકતા,આપણને $\frac{dS}{dt} = 2 \sqrt{26} \pi r (\frac{1}{5 \pi r^2}) = \frac{2 \sqrt{26}}{5r}$ મળે છે.
જ્યારે $h = 10 \, cm$ હોય,ત્યારે $r = \frac{h}{5} = \frac{10}{5} = 2 \, cm$.
આમ,$\frac{dS}{dt} = \frac{2 \sqrt{26}}{5(2)} = \frac{\sqrt{26}}{5} \, cm^2/sec$.

(C) ધારો કે પાણીની ઊંડાઈ $h$ છે,પાણીની સપાટીની ત્રિજ્યા $r$ છે અને અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો $\theta$ છે. આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{r}{h} = \frac{3}{4}$,તેથી $r = \frac{3}{4}h$.
પાણીનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{3}{4}h\right)^2 h = \frac{3 \pi}{16} h^3$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = \frac{3 \pi}{16} \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{9 \pi}{16} h^2 \frac{dh}{dt}$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 6 \text{ m}^3/\text{hr}$. જ્યારે $h = 4 \text{ m}$ હોય,ત્યારે $6 = \frac{9 \pi}{16} (4)^2 \frac{dh}{dt} = 9 \pi \frac{dh}{dt}$,તેથી $\frac{dh}{dt} = \frac{6}{9 \pi} = \frac{2}{3 \pi} \text{ m/hr}$ મળે.
ત્રાંસી ઊંચાઈ $\ell = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(\frac{3}{4}h)^2 + h^2} = \sqrt{\frac{9}{16}h^2 + h^2} = \sqrt{\frac{25}{16}h^2} = \frac{5}{4}h$ છે.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = \pi r \ell = \pi (\frac{3}{4}h) (\frac{5}{4}h) = \frac{15 \pi}{16} h^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dS}{dt} = \frac{15 \pi}{16} \cdot 2h \frac{dh}{dt} = \frac{15 \pi}{8} h \frac{dh}{dt}$ મળે.
$h = 4$ અને $\frac{dh}{dt} = \frac{2}{3 \pi}$ મૂકતા,$\frac{dS}{dt} = \frac{15 \pi}{8} (4) (\frac{2}{3 \pi}) = \frac{15 \pi}{8} \cdot \frac{8}{3 \pi} = 5 \text{ m}^2/\text{hr}$ મળે.

(B) ધારો કે પ્રથમ પાયાની ત્રિજ્યા $R_1 = 50 \, mm$ છે અને બીજા પાયાની ત્રિજ્યા $R_2 = r \, mm$ છે. ઊંચાઈ $h$ છે. શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $V = \frac{\pi h}{3} (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R_1 = 50 \, mm$. નવી ત્રિજ્યા $R_1' = R_1 + 0.21 R_1 = 1.21 R_1 = 1.21 \times 50 = 60.5 \, mm$.
નવું ઘનફળ $V' = 1.21 V$. કિંમતો મૂકતા:
$1.21 \times \frac{\pi h}{3} (50^2 + 50r + r^2) = \frac{\pi h}{3} (60.5^2 + 60.5r + r^2)$.
બંને બાજુ $\frac{\pi h}{3}$ વડે ભાગતા:
$1.21 (2500 + 50r + r^2) = 3660.25 + 60.5r + r^2$.
$3025 + 60.5r + 1.21r^2 = 3660.25 + 60.5r + r^2$.
બંને બાજુથી $60.5r$ બાદ કરતા:
$3025 + 1.21r^2 = 3660.25 + r^2$.
$0.21r^2 = 635.25$.
$r^2 = \frac{635.25}{0.21} = 3025$.
$r = \sqrt{3025} = 55 \, mm$.

(D) ધારો કે $R$ અને $H$ એ સંપૂર્ણ શંકુની ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈ છે. સંપૂર્ણ શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$ છે.
પાણી અચળ ઝડપે બહાર નીકળતું હોવાથી,ઘનફળમાં થતો ફેરફારનો દર અચળ છે,એટલે કે $\frac{dV}{dt} = -k$,જ્યાં $k > 0$ અચળ છે.
કોઈપણ ઊંચાઈ $h$ પર,પાણીની સપાટીની ત્રિજ્યા $r$ એ $\frac{r}{h} = \frac{R}{H}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $r = \frac{R}{H} h$.
ઊંચાઈ $h$ પર પાણીનું ઘનફળ $V(h) = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{R}{H} h\right)^2 h = \frac{\pi R^2}{3 H^2} h^3$ છે.
આપેલ છે કે $t = 0$ સમયે,$h = H$,તેથી $V(H) = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.
$t = 21 \, min$ સમયે,$h = \frac{H}{2}$,તેથી બાકી રહેલા પાણીનું ઘનફળ $V\left(\frac{H}{2}\right) = \frac{\pi R^2}{3 H^2} \left(\frac{H}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \left(\frac{1}{3} \pi R^2 H\right) = \frac{V}{8}$ છે.
$21 \, min$ માં દૂર થયેલ પાણીનું ઘનફળ $V - \frac{V}{8} = \frac{7V}{8}$ છે.
પાણી બહાર નીકળવાનો દર અચળ હોવાથી,બાકી રહેલા ઘનફળ $\frac{V}{8}$ ને દૂર કરવા માટે લાગતો સમય $t'$ છે.
પ્રમાણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\text{દૂર કરેલ ઘનફળ}}{\text{લાગતો સમય}} = \text{અચળ}$.
$\frac{7V/8}{21} = \frac{V/8}{t'}$.
$t' = 21 \times \frac{V/8}{7V/8} = 21 \times \frac{1}{7} = 3 \, min$.
આમ,પાત્રને ખાલી કરવા માટે વધુ $3 \, min$ નો સમય લાગશે.

(A) ગોળાનું દળ $m = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ દળ $m$ અચળ હોવાથી,સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં તેનું વિકલન શૂન્ય થાય છે: $\frac{dm}{dt} = 0$.
દળના સમીકરણનું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$0 = \frac{d\rho}{dt} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 + \rho \cdot 4 \pi R^2 \frac{dR}{dt}$.
$\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$0 = \frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dt} + \frac{3}{R} \frac{dR}{dt}$.
સપાટીના વેગ $v = \frac{dR}{dt}$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{dR}{dt} = -\frac{R}{3} \left(\frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dt}\right)$.
આપેલ છે કે ઘનતામાં આંશિક ફેરફારનો દર $\left(\frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dt}\right)$ અચળ છે,ધારો કે આ અચળાંક $k$ છે.
તેથી $v = \frac{dR}{dt} = -\frac{k}{3} R$.
આમ,$v \propto R$.

(D) ધારો કે $r$ એ ચોકલેટ બોલની ત્રિજ્યા છે અને $x$ એ આઈસ્ક્રીમના પડની જાડાઈ છે. ગોળાની કુલ ત્રિજ્યા (ચોકલેટ + આઈસ્ક્રીમ) $R = r + x$ છે.
આપેલ છે કે $x = 1 \ cm$, ગોળાનું કુલ ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $\frac{dV}{dt} = 4\pi R^2 \frac{dR}{dt}$ મળે છે.
ચોકલેટ બોલ અચળ હોવાથી, $\frac{dR}{dt} = \frac{dx}{dt}$ થાય.
આપણને $\frac{dV}{dt} = -81 \ cm^3/min$ (ઓગળતું હોવાથી) અને $\frac{dx}{dt} = -\frac{1}{4\pi} \ cm/min$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $-81 = 4\pi R^2 \left(-\frac{1}{4\pi}\right)$.
$-81 = -R^2 \implies R^2 = 81 \implies R = 9 \ cm$.
ચોકલેટ બોલની ત્રિજ્યા $r = R - x = 9 - 1 = 8 \ cm$ છે.
ચોકલેટ બોલનું પૃષ્ઠફળ $4\pi r^2 = 4\pi(8)^2 = 4\pi(64) = 256\pi \ cm^2$ થાય.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y = \frac{2x^3 - 1}{3}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $y$-યામના બદલાવાનો દર એ $x$-યામના બદલાવાના દર કરતા $18$ ગણો છે,એટલે કે $\frac{dy}{dt} = 18 \frac{dx}{dt}$.
બંને બાજુ $\frac{dx}{dt}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = 18$ મળે છે.
હવે,વક્રના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{2x^3 - 1}{3}) = \frac{1}{3} \cdot 6x^2 = 2x^2$.
વિકલનને $18$ સાથે સરખાવતા:
$2x^2 = 18 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.
જ્યારે $x = 3$ હોય,ત્યારે $y = \frac{2(3)^3 - 1}{3} = \frac{54 - 1}{3} = \frac{53}{3}$.
જ્યારે $x = -3$ હોય,ત્યારે $y = \frac{2(-3)^3 - 1}{3} = \frac{-54 - 1}{3} = -\frac{55}{3}$.
આમ,બિંદુઓ $(3, \frac{53}{3})$ અને $(-3, -\frac{55}{3})$ છે.
આથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સ્થાન વિધેય $x = 2 + 27t - t^3$ છે.
વેગ શોધવા માટે,આપણે $x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = 27 - 3t^2$.
ગતિની દિશા ત્યારે ઉલટાય છે જ્યારે વેગ શૂન્ય થાય:
$27 - 3t^2 = 0$
$3t^2 = 27$
$t^2 = 9$
$t = 3$ (કારણ કે $t > 0$).
હવે,આપણે $t = 3$ સમયે અંતર $x$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$x = 2 + 27(3) - (3)^3$
$x = 2 + 81 - 27$
$x = 56 \text{ એકમ}$.

(C) ધારો કે $r$ એ વર્તુળાકાર તરંગની ત્રિજ્યા છે અને $A$ એ વર્તુળાકાર પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 2.1 \text{ cm/sec}$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
અહીં $r = 10 \text{ cm}$ અને $\frac{dr}{dt} = 2.1 \text{ cm/sec}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{dA}{dt} = 2 \times \frac{22}{7} \times 10 \times 2.1$.
$\frac{dA}{dt} = 2 \times \frac{22}{7} \times 10 \times \frac{21}{10}$.
$\frac{dA}{dt} = 2 \times 22 \times 3 = 132 \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(D) ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે. તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ છે.
આપેલ છે: $\frac{dr}{dt} = 3 \text{ cm/min}$ અને $\frac{dh}{dt} = -4 \text{ cm/min}$.
શંકુની પાર્શ્વ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = \pi rl = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$ છે.
જ્યારે $r = 7$ અને $h = 24$,ત્યારે $l = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25 \text{ cm}$.
$S$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dS}{dt} = \pi \left( \frac{dr}{dt} \sqrt{r^2 + h^2} + r \cdot \frac{1}{2\sqrt{r^2 + h^2}} \cdot (2r \frac{dr}{dt} + 2h \frac{dh}{dt}) \right)$.
$\frac{dS}{dt} = \pi \left( 3 \cdot 25 + 7 \cdot \frac{1}{25} \cdot (7 \cdot 3 + 24 \cdot (-4)) \right)$.
$\frac{dS}{dt} = \pi \left( 75 + \frac{7}{25} \cdot (-75) \right) = \pi (75 - 21) = 54 \pi \text{ cm}^2/\text{min}$.

(B) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} x^2 \sin \theta$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = x \frac{dx}{dt} \sin \theta + \frac{1}{2} x^2 \cos \theta \frac{d\theta}{dt}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $x = 12$,$\theta = \frac{\pi}{4}$,$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{12}$,$\frac{d\theta}{dt} = \frac{\pi}{180}$.
$\frac{dA}{dt} = (12) \left( \frac{1}{12} \right) \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) + \frac{1}{2} (144) \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) \left( \frac{\pi}{180} \right)$.
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{72}{\sqrt{2}} \left( \frac{\pi}{180} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2\pi}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( 1 + \frac{2\pi}{5} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{2} + \frac{\pi}{5} \right)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $s(t) = at^2 + bt + c$.
વેગ $v(t) = \frac{ds}{dt} = 2at + b$.
પ્રવેગ $a_{acc}(t) = \frac{dv}{dt} = 2a$.
આપેલ પ્રવેગ $10 \ m/s^2$ છે,તેથી $2a = 10 \implies a = 5$.
$2 \ s$ પછીનો વેગ $30 \ m/s$ છે: $v(2) = 2a(2) + b = 30 \implies 4a + b = 30$.
$a = 5$ મૂકતા: $4(5) + b = 30 \implies 20 + b = 30 \implies b = 10$.
$1 \ s$ પછીનું સ્થાનાંતર $20 \ m$ છે: $s(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 20 \implies a + b + c = 20$.
$a = 5$ અને $b = 10$ મૂકતા: $5 + 10 + c = 20 \implies 15 + c = 20 \implies c = 5$.
હવે વિકલ્પો તપાસો:
$a + c = 5 + 5 = 10$.
જેથી $b = 10$ હોવાથી,$a + c = b$ સાચું છે.

(A) ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ $x$ અને પહોળાઈ $y$ છે. આપેલ છે કે $\frac{dx}{dt} = -5 \text{ cm/min}$ અને $\frac{dy}{dt} = 3 \text{ cm/min}$.
પરિમિતિ $P = 2(x + y)$.
પરિમિતિમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dP}{dt} = 2(\frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt}) = 2(-5 + 3) = 2(-2) = -4 \text{ cm/min}$.
ક્ષેત્રફળ $A = xy$.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dA}{dt} = x \frac{dy}{dt} + y \frac{dx}{dt}$.
કિંમતો $x = 5$,$y = 2$,$\frac{dx}{dt} = -5$,અને $\frac{dy}{dt} = 3$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = (5)(3) + (2)(-5) = 15 - 10 = 5 \text{ cm}^2\text{/min}$.
આમ,ફેરફારનો દર $-4 \text{ cm/min}$ અને $5 \text{ cm}^2\text{/min}$ છે.

(A) ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે સપાટીના ક્ષેત્રફળની સાપેક્ષમાં ઘનફળના બદલાવાનો દર શોધવાનો છે,જે $\frac{dV}{dS}$ છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dV}{dS} = \frac{dV/dr}{dS/dr}$.
$V$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}(\frac{4}{3} \pi r^3) = 4 \pi r^2$.
$S$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dS}{dr} = \frac{d}{dr}(4 \pi r^2) = 8 \pi r$.
તેથી,$\frac{dV}{dS} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$.
જ્યારે ત્રિજ્યા $r = 5 \ m$ હોય,ત્યારે બદલાવાનો દર $\frac{5}{2} \ m$ થાય.

(C) ધારો કે $A_1$ એ પ્રથમ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ છે અને $A_2$ એ બીજા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ ચોરસની બાજુ $x$ છે,તેથી $A_1 = x^2$.
આપેલ છે કે બીજા ચોરસની બાજુ $y = x - x^2$ છે,તેથી $A_2 = y^2 = (x - x^2)^2$.
આપણે $A_1$ ની સાપેક્ષમાં $A_2$ ના ફેરફારનો દર શોધવાનો છે,જે $\frac{dA_2}{dA_1}$ છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dA_2}{dA_1} = \frac{dA_2/dx}{dA_1/dx}$.
પ્રથમ,$\frac{dA_1}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\frac{dA_2}{dx} = \frac{d}{dx}((x - x^2)^2) = 2(x - x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x - x^2) = 2(x - x^2)(1 - 2x)$ શોધો.
હવે,આ કિંમતોને ચેઈન રૂલના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{dA_2}{dA_1} = \frac{2(x - x^2)(1 - 2x)}{2x} = \frac{2x(1 - x)(1 - 2x)}{2x} = (1 - x)(1 - 2x) = 1 - 2x - x + 2x^2 = 2x^2 - 3x + 1$.

(B) ધારો કે $S$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $r$ એ ગોળાકાર દડાની ત્રિજ્યા છે. સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ છે કે $\frac{dS}{dt} = 4 \pi \,cm^2/s$.
$S$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે।
જ્યારે $S = 16 \pi \,cm^2$ હોય,ત્યારે $4 \pi r^2 = 16 \pi$,જેનો અર્થ છે કે $r^2 = 4$,તેથી $r = 2 \,cm$.
કિંમતોને વિકલન સમીકરણમાં મૂકતા: $4 \pi = 8 \pi (2) \frac{dr}{dt}$.
$4 \pi = 16 \pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{4 \pi}{16 \pi} = 0.25 \,cm/s$.

(D) ગોળાકાર ફુગ્ગાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પ્રારંભિક ઘનફળ $V_0 = 4500 \pi \ m^3$ છે.
ઘનફળમાં ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = -72 \pi \ m^3/\text{min}$ છે.
$t = 49$ મિનિટ પછી,ઘનફળ $V = V_0 + (\frac{dV}{dt}) \times t = 4500 \pi - 72 \pi \times 49$ થશે.
$V = 4500 \pi - 3528 \pi = 972 \pi \ m^3$.
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ નો ઉપયોગ કરીને,$t = 49$ સમયે ત્રિજ્યા $r$ શોધીએ:
$972 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \implies r^3 = 972 \times \frac{3}{4} = 729$.
$r = \sqrt[3]{729} = 9 \ m$.
હવે,$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $-72 \pi = 4 \pi (9)^2 \frac{dr}{dt}$.
$-72 \pi = 4 \pi (81) \frac{dr}{dt} \implies -72 \pi = 324 \pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = -\frac{72}{324} = -\frac{2}{9} \ m/\text{min}$.
તેથી,ત્રિજ્યા ઘટવાનો દર $\frac{2}{9} \ m/\text{min}$ છે.

(B) અંતરનું સમીકરણ $S = 1200t - 15t^2$ છે।
વેગ $v$ શોધવા માટે, આપણે $S$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$v = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(1200t - 15t^2) = 1200 - 30t$.
જ્યારે બુલેટ સ્થિર થાય છે, ત્યારે તેનો વેગ $v = 0$ થાય છે:
$1200 - 30t = 0$
$30t = 1200$
$t = 40 \text{ સેકન્ડ}$.
હવે, કુલ અંતર શોધવા માટે $t = 40$ ને અંતરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$S = 1200(40) - 15(40)^2$
$S = 48000 - 15(1600)$
$S = 48000 - 24000$
$S = 24000 \text{ cm}$.

(C) આપેલ છે કે, ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 8 \,cm/sec$ છે।
વર્તુળાકાર મોજાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે।
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા, આપણને $\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે।
જ્યારે $r = 12 \,cm$ હોય, ત્યારે કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (12) (8)$.
$\frac{dA}{dt} = 192 \pi \,cm^2/sec$.

(D) ધારો કે $x$ એ સીડીના નીચેના છેડાનું દીવાલથી અંતર છે અને $y$ એ સીડીના ઉપરના છેડાનું જમીનથી અંતર છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$.
આપેલ છે કે ઉપરનો છેડો $10 \ cm/sec$ ના દરે નીચે સરકે છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = -10 \ cm/sec = -0.1 \ m/sec$.
જ્યારે $x = 4 \ m$ હોય,ત્યારે $4^2 + y^2 = 25$,જે $y^2 = 25 - 16 = 9$ આપે છે,તેથી $y = 3 \ m$.
$x^2 + y^2 = 25$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} = -y \frac{dy}{dt}$
$x = 4$,$y = 3$,અને $\frac{dy}{dt} = -0.1$ કિંમતો મૂકતા:
$4 \frac{dx}{dt} = -3(-0.1)$
$4 \frac{dx}{dt} = 0.3$
$\frac{dx}{dt} = \frac{0.3}{4} = 0.075 \ m/sec$.
આમ,સીડીનો નીચેનો છેડો $0.075 \ m/sec$ ના દરે સરકે છે.

(B) $\text{ધારો કે } t \text{ સેકન્ડ સમયે ચોરસનું ક્ષેત્રફળ } A, \text{ પરિમિતિ } P \text{ અને બાજુની લંબાઈ } X \text{ છે.}
\text{આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ } \frac{dA}{dt} = -3 \,cm^2 / sec \text{ ના દરે સંકોચાય છે.}
\text{ચોરસનું ક્ષેત્રફળ } A = X^2 \text{ અને પરિમિતિ } P = 4X \text{ છે.}
A = X^2 \text{ પરથી, } X = \sqrt{A} \text{ મળે.}
\text{આ કિંમત પરિમિતિના સૂત્રમાં મૂકતા: } P = 4\sqrt{A} \text{.}
t \text{ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:}
\frac{dP}{dt} = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{A}} \cdot \frac{dA}{dt} = \frac{2}{X} \cdot \frac{dA}{dt} \text{.}
\text{અહીં } X = 15 \,cm \text{ અને } \frac{dA}{dt} = -3 \,cm^2 / sec \text{ (કારણ કે તે સંકોચાય છે):}
\frac{dP}{dt} = \frac{2}{15} \cdot (-3) = -\frac{6}{15} = -\frac{2}{5} \,cm / sec \text{.}
\text{ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પરિમિતિ } \frac{2}{5} \,cm / sec \text{ ના દરે ઘટી રહી છે.}$

(B) આપેલ છે કે,$\frac{dx}{dt} = 2 \text{ units/sec}$.
પરવલયનું સમીકરણ $y = 2x^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dt} = 4x \cdot \frac{dx}{dt}$ મળે.
$\frac{dx}{dt} = 2$ મૂકતા,$\frac{dy}{dt} = 4x(2) = 8x$ ... $(i)$.
ધારો કે બિંદુ $(x, y)$ નું ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $r$ છે,તેથી $r = \sqrt{x^2 + y^2}$.
અંતરના બદલાવાનો દર $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{d}{dt}(x^2 + y^2) = \frac{2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt}}{2\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt}}{\sqrt{x^2 + y^2}}$.
$\frac{dx}{dt} = 2$ અને $\frac{dy}{dt} = 8x$ મૂકતા,$\frac{dr}{dt} = \frac{x(2) + y(8x)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{2x + 8xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}$.
બિંદુ $(1, 2)$ પર,$x = 1$ અને $y = 2$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{2(1) + 8(1)(2)}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{2 + 16}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{18}{\sqrt{5}} \text{ units/sec}$.

(C) અર્ધગોળાકાર પાત્રની ત્રિજ્યા $R = 180 \text{ cm}$ છે.
પાણીના પ્રવાહનો દર $\frac{dV}{dt} = 108 \text{ dm}^3/\text{min} = 108 \times 1000 \text{ cm}^3/\text{min} = 108000 \text{ cm}^3/\text{min}$.
સેકન્ડમાં રૂપાંતર કરતા: $\frac{dV}{dt} = \frac{108000}{60} \text{ cm}^3/\text{s} = 1800 \text{ cm}^3/\text{s}$.
ધારો કે પાણીની ઊંડાઈ $x$ છે. અર્ધગોળાકાર પાત્રમાં પાણીનું ઘનફળ $V = \frac{\pi}{3} x^2(3R - x)$ દ્વારા મળે છે.
$R = 180$ મૂકતા: $V = \frac{\pi}{3} x^2(540 - x) = 180 \pi x^2 - \frac{\pi}{3} x^3$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dt} = (360 \pi x - \pi x^2) \frac{dx}{dt}$.
$x = 120 \text{ cm}$ માટે,$1800 = (360 \pi(120) - \pi(120)^2) \frac{dx}{dt}$.
$1800 = (43200 \pi - 14400 \pi) \frac{dx}{dt} = 28800 \pi \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt} = \frac{1800}{28800 \pi} = \frac{18}{288 \pi} = \frac{1}{16 \pi} \text{ cm/s}$.

(B) આપેલ છે કે,દડાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
જ્યારે $V = 288 \pi$ હોય,ત્યારે:
$288 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3$
$r^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 216$
$r = 6 \text{ cm}$.
હવે,$V$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$
અહીં $\frac{dV}{dt} = 4 \pi \text{ cc/sec}$ આપેલ છે,કિંમતો મૂકતા:
$4 \pi = 4 \pi (6)^2 \frac{dr}{dt}$
$1 = 36 \frac{dr}{dt}$
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{36} \text{ cm/sec}$.

(C) પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર $s = 3t^2 - 8t + 5$ છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં $s$ નું વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 8t + 5) = 6t - 8$.
જ્યારે પદાર્થનો વેગ શૂન્ય થાય ત્યારે તે અટકી જાય છે,એટલે કે $v = 0$.
વેગને શૂન્ય લેતા: $6t - 8 = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $6t = 8 \Rightarrow t = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \text{ સેકન્ડ}$.
આમ,પદાર્થ $\frac{4}{3} \text{ સેકન્ડ}$ પછી અટકી જશે.

(C) ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi r^2$ છે.
આપણે પૃષ્ઠફળની સાપેક્ષમાં ઘનફળના બદલાવાનો દર એટલે કે $\frac{dV}{dA}$ શોધવાનો છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dV}{dA} = \frac{dV/dr}{dA/dr}$.
પ્રથમ,$V$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}(\frac{4}{3} \pi r^3) = 4 \pi r^2$.
ત્યારબાદ,$A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(4 \pi r^2) = 8 \pi r$.
હવે,$\frac{dV}{dA} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$ મળે છે.
આપેલ ત્રિજ્યા $r = 2 \text{ cm}$ માટે,આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{dV}{dA} = \frac{2}{2} = 1 \text{ cm}^3 / \text{ cm}^2$.

(D) ધારો કે $x$ એ નિસરણીના નીચેના છેડાનું દીવાલથી અંતર છે અને $y$ એ દીવાલ પર નિસરણીના ઉપરના છેડાની ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે કે નિસરણીની લંબાઈ $5 \ m$ છે,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y} \frac{dx}{dt}$
આપેલ છે કે $\frac{dx}{dt} = 2 \ m/sec$ અને જ્યારે $x = 4 \ m$ હોય,ત્યારે $y = \sqrt{25 - 4^2} = \sqrt{9} = 3 \ m$.
આ કિંમતોને વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dt} = -\frac{4}{3} \times 2 = -\frac{8}{3} \ m/sec$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ઊંચાઈ ઘટી રહી છે.
તેથી,દીવાલ પરની ઊંચાઈ $\frac{8}{3} \ m/sec$ ના દરે ઘટી રહી છે.

(B) આપેલ છે કે ઘનફળમાં થતો ફેરફાર $\frac{dV}{dt} = 36 \ m^3/min$ છે અને પાયાની ત્રિજ્યા $r = 3 \ m$ છે.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = \pi r^2 \frac{dh}{dt}$ મળે છે.
આપેલી કિંમતો મૂકતા,$36 = \pi \times (3)^2 \times \frac{dh}{dt}$.
$36 = 9 \pi \times \frac{dh}{dt}$.
તેથી,$\frac{dh}{dt} = \frac{36}{9 \pi} = \frac{4}{\pi} \ m/min$.

(C) ગોળાનું ઘનફળ $(V) = \frac{4}{3} \pi r^3$.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $(A) = 4 \pi r^2$.
બંનેનું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ અને $\frac{dA}{dr} = 8 \pi r$.
આપણે પૃષ્ઠફળની સાપેક્ષમાં ઘનફળના બદલાવાનો દર શોધવો છે,જે $\frac{dV}{dA}$ છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{dV}{dA} = \frac{dV/dr}{dA/dr} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$.
આપેલ ત્રિજ્યા $r = 2 \text{ cm}$ માટે,આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{dV}{dA} = \frac{2}{2} = 1 \text{ cm}^3 / \text{cm}^2$.