Rate of Change of Quantities Questions in Gujarati

(D) આપેલ સ્થાન વિધેય $S(t) = t^3 - 3t^2 + 4t - 2$ છે.
વેગ $v(t)$ એ $S(t)$ નું $t$ ની સાપેક્ષ વિકલન છે:
$v(t) = \frac{dS}{dt} = 3t^2 - 6t + 4$.
પ્રવેગ $a(t)$ એ $v(t)$ નું $t$ ની સાપેક્ષ વિકલન છે:
$a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t - 6$.
પ્રવેગ શૂન્ય હોય તે સમય $t$ શોધવા માટે:
$6t - 6 = 0 \implies t = 1 \text{ સેકન્ડ}$.
હવે,$t = 1$ ને વેગના વિધેયમાં મૂકતા:
$v(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 4 = 3 - 6 + 4 = 1 \text{ m/s}$.
આમ,જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય ત્યારે કણનો વેગ $1 \text{ m/s}$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $x^3 = 12y$ છે. બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$3x^2 \frac{dx}{dt} = 12 \frac{dy}{dt}$
$\frac{dy}{dt} = \frac{3x^2}{12} \frac{dx}{dt} = \frac{x^2}{4} \frac{dx}{dt}$
આપેલ છે કે $x$ ના ફેરફારનો દર $y$ ના ફેરફારના દર કરતા વધારે છે,એટલે કે $\frac{dx}{dt} > \frac{dy}{dt}$.
$\frac{dy}{dt}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{dx}{dt} > \frac{x^2}{4} \frac{dx}{dt}$
$x > 0$ હોવાથી,$\frac{dx}{dt}$ ધન છે,તેથી $\frac{dx}{dt}$ વડે ભાગતા:
$1 > \frac{x^2}{4}$
$x^2 < 4$
$|x| < 2$
$x > 0$ ની શરત આપેલ હોવાથી,$x$ માટેનો અંતરાલ $(0, 2)$ છે.

(A) ધારો કે $V$ એ ઘનફળ છે,$r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ કોઈપણ સમયે $t$ પર ઊંધા શંકુમાં પાણીની ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે,$\frac{dV}{dt} = 3 \ m^3/min$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
શંકુમાં ત્રિકોણની સમાનતા પરથી,આપણી પાસે $\frac{r}{h} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{2}{3}h$.
ઘનફળના સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{2}{3}h\right)^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{4}{9}h^2\right) h = \frac{4}{27} \pi h^3$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{27} \pi (3h^2) \frac{dh}{dt} = \frac{4}{9} \pi h^2 \frac{dh}{dt}$.
આપેલ છે $\frac{dV}{dt} = 3$ અને આપણે જ્યારે $h = 3 \ m$ હોય ત્યારે $\frac{dh}{dt}$ શોધવાનું છે:
$3 = \frac{4}{9} \pi (3)^2 \frac{dh}{dt}$
$3 = \frac{4}{9} \pi (9) \frac{dh}{dt}$
$3 = 4 \pi \frac{dh}{dt}$
$\frac{dh}{dt} = \frac{3}{4 \pi} \ m/min$.

(B) ધારો કે $V$ એ ઘનફળ છે,$S$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 1200 \text{ cm}^3/\text{s}$ અને $r = 10 \text{ cm}$.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1200 = 4 \pi (10)^2 \frac{dr}{dt} \implies 1200 = 400 \pi \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{3}{\pi} \text{ cm/s}$.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ મળે.
$r = 10 \text{ cm}$ અને $\frac{dr}{dt} = \frac{3}{\pi} \text{ cm/s}$ મૂકતા:
$\frac{dS}{dt} = 8 \pi (10) \left( \frac{3}{\pi} \right) = 80 \times 3 = 240 \text{ cm}^2/\text{s}$.

(B) આપેલ છે કે ઘનફળમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = 2 \pi \text{ cm}^3/\text{s}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
$V = 288 \pi$ આપેલ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ નીચે મુજબ શોધી શકાય:
$288 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \Rightarrow 216 = r^3 \Rightarrow r = 6 \text{ cm}$.
આ કિંમતોને વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 \pi = 4 \pi (6)^2 \frac{dr}{dt}$
$2 \pi = 4 \pi (36) \frac{dr}{dt}$
$2 \pi = 144 \pi \frac{dr}{dt}$
$\frac{dr}{dt} = \frac{2 \pi}{144 \pi} = \frac{1}{72} \text{ cm}/\text{s}$.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ વધવાનો દર શોધવા માટે,આપણે $A$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/s}$ અને $r = 12 \text{ cm}$,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (12) (0.01) = 0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.
આમ,ક્ષેત્રફળ વધવાનો દર $0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ છે.

(A) આપેલ છે કે,કદમાં ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = 30 \ ft^3 / \text{min}$ અને ત્રિજ્યા $r = 15 \ ft$ છે.
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$30 = 4 \pi (15)^2 \frac{dr}{dt}$.
$30 = 4 \pi (225) \frac{dr}{dt} = 900 \pi \frac{dr}{dt}$.
તેથી,$\frac{dr}{dt} = \frac{30}{900 \pi} = \frac{1}{30 \pi} \ ft / \text{min}$.

(B) આપેલ સ્થાનાંતર વિધેય: $s = \frac{1}{3} t^3 - 3 t^2 + 9 t + 17$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું વિકલન છે: $v = \frac{ds}{dt} = t^2 - 6 t + 9$.
વેગ ક્યારે ઘટે છે તે શોધવા માટે,આપણે પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$a = \frac{dv}{dt} = 2 t - 6$.
વેગ ત્યારે ઘટે છે જ્યારે પ્રવેગ ઋણ હોય,એટલે કે $\frac{dv}{dt} < 0$.
$2 t - 6 < 0 \implies 2 t < 6 \implies t < 3$.
સમય $t$ એ $0$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ,તેથી વેગ $0 < t < 3$ ના અંતરાલમાં ઘટે છે.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ $a$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2a \times \frac{da}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} a \frac{da}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{da}{dt} = 2 \text{ cm/s}$ અને $a = 20 \text{ cm}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 20 \times 2 = 20 \sqrt{3} \text{ cm}^2/\text{s}$.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારાનો દર $20 \sqrt{3} \text{ cm}^2/\text{s}$ છે.

(B) બેક્ટેરિયાના વધવાનું વિધેય $f(t) = t^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વધવાનો દર શોધવા માટે,આપણે $f(t)$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$f'(t) = \frac{d}{dt}(t^4) = 4t^3$.
આપણને આપેલ છે કે $t = t_0$ સમયે વધવાનો દર $4000 \text{ units/second}$ છે.
તેથી,$f'(t_0) = 4t_0^3 = 4000$.
બંને બાજુ $4$ વડે ભાગતા,આપણને $t_0^3 = 1000$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$t_0 = \sqrt[3]{1000} = 10$.
આમ,$t_0 = 10$ સેકન્ડ.

(A) ધારો કે $AB$ એ $H = 5 \frac{1}{3} = \frac{16}{3} \text{ m}$ ઊંચાઈનો સ્ટ્રીટ લાઈટ છે. ધારો કે $CD$ એ $h = 2 \text{ m}$ ઊંચાઈનો માણસ છે. ધારો કે $AC = x$ એ માણસનું લાઈટથી અંતર છે અને $CE = y$ એ તેના પડછાયાની લંબાઈ છે।
સમરૂપ ત્રિકોણ $\triangle ABE$ અને $\triangle DCE$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CE} \Rightarrow \frac{16/3}{2} = \frac{x+y}{y}$
$\frac{8}{3} = \frac{x}{y} + 1$ $\Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{5}{3}$ $\Rightarrow y = \frac{3}{5}x$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{5} \frac{dx}{dt}$
આપેલ છે કે માણસ $1 \frac{2}{3} \text{ m/s}$ ની ઝડપે લાઈટ તરફ ચાલે છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = -\frac{5}{3} \text{ m/s}$ (ઋણ કારણ કે $x$ ઘટી રહ્યું છે)।
તેથી,$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{5} \times (-\frac{5}{3}) = -1 \text{ m/s}$.
પડછાયાની લંબાઈ બદલાવાનો દર $-1 \text{ m/s}$ છે.

(A) ધારો કે $AB$ લેમ્પ-પોસ્ટ છે અને $PQ$ માણસ છે. ધારો કે $C$ એ પડછાયાનો છેડો છે. ધારો કે $AP = x$ એ લેમ્પ-પોસ્ટથી માણસનું અંતર છે અને $PC = y$ એ તેના પડછાયાની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $AB = 9 \ m$,$PQ = 2 \ m$,અને $\frac{dx}{dt} = 7 \ m/min$.
$\triangle CAB$ અને $\triangle CPQ$ સમરૂપ ત્રિકોણ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{PC}{AC} = \frac{PQ}{AB}$
$\frac{y}{x+y} = \frac{2}{9}$
$9y = 2x + 2y$
$7y = 2x$
$x = \frac{7}{2}y$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = \frac{7}{2} \frac{dy}{dt}$
$\frac{dx}{dt} = 7$ મૂકતા:
$7 = \frac{7}{2} \frac{dy}{dt}$
$\frac{dy}{dt} = 2 \ m/min$.
આમ,તેના પડછાયાની લંબાઈ $2 \ m/min$ ના દરે વધે છે.

(A) ધારો કે $A_1$ એ પ્રથમ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ છે અને $A_2$ એ બીજા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રથમ ચોરસની બાજુ $x$ આપેલ છે,તેથી તેનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = x^2$ થાય.
બીજા ચોરસની બાજુ $y = x - x^2$ આપેલ છે,તેથી તેનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = y^2 = (x - x^2)^2$ થાય.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $A_2 = x^2 - 2 x^3 + x^4$ મળે છે.
આપણે $A_1$ ની સાપેક્ષમાં $A_2$ માં થતો ફેરફારનો દર શોધવાનો છે,જે $\frac{d A_2}{d A_1}$ છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d A_2}{d A_1} = \frac{d A_2 / d x}{d A_1 / d x}$ થાય.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d A_1}{d x} = \frac{d}{d x}(x^2) = 2 x$.
$\frac{d A_2}{d x} = \frac{d}{d x}(x^2 - 2 x^3 + x^4) = 2 x - 6 x^2 + 4 x^3$.
હવે,આ કિંમતોને ચેઈન રૂલના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{d A_2}{d A_1} = \frac{2 x - 6 x^2 + 4 x^3}{2 x} = \frac{2 x(1 - 3 x + 2 x^2)}{2 x} = 1 - 3 x + 2 x^2$.

(B) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r \text{ cm}$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A \text{ cm}^2$ છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 0.1 \text{ cm s}^{-1}$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો $r = 5 \text{ cm}$ અને $\frac{dr}{dt} = 0.1 \text{ cm s}^{-1}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (5) (0.1) = 10 \pi (0.1) = \pi \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1}$.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફારનો દર $\pi \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1}$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $y = x^3 - 2x^2 + 3x - 2$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4x + 3$ છે.
આપણે સમય $t$ ની સાપેક્ષે ઢાળ $m$ ના બદલાવાનો દર $\frac{dm}{dt}$ શોધવો છે.
$x$ ની સાપેક્ષે $m$ નું વિકલન કરતા,$\frac{dm}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 - 4x + 3) = 6x - 4$ મળે.
સાંકળના નિયમ મુજબ,$\frac{dm}{dt} = \frac{dm}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = (6x - 4) \frac{dx}{dt}$.
બિંદુ $(2, 4)$ આગળ,$x = 2$ છે.
$x = 2$ કિંમત મૂકતા,$\frac{dm}{dt} = (6(2) - 4) \frac{dx}{dt} = (12 - 4) \frac{dx}{dt} = 8 \frac{dx}{dt}$ મળે.
પ્રશ્ન મુજબ $\frac{dm}{dt} = k \cdot \frac{dx}{dt}$ છે.
સરખામણી કરતા,$k = 8$ મળે છે.

(C) કણનું અંતર $S = f(t) = t^3 - 5t^2 + 8t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v(t)$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં અંતરનું પ્રથમ વિકલન છે:
$v(t) = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 5t^2 + 8t) = 3t^2 - 10t + 8$.
પ્રવેગ $a(t)$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે:
$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 10t + 8) = 6t - 10$.
$t = 5 \text{ sec}$ પર પ્રવેગ શોધવા માટે,પ્રવેગના સમીકરણમાં $t = 5$ મૂકો:
$a(5) = 6(5) - 10 = 30 - 10 = 20 \text{ cm/sec}^2$.
આમ,$t = 5 \text{ sec}$ પર કણનો પ્રવેગ $20 \text{ cm/sec}^2$ છે.

(D) ધારો કે નિરીક્ષકનું સ્થાન ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે. ફુગ્ગો $y = 30 \ m$ ની અચળ ઊંચાઈ પર છે. ધારો કે $t$ સમયે તેનું આડું સ્થાન $x(t)$ છે. આપેલ છે કે ફુગ્ગો $1 \ m/s$ ના દરે આડી દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી $x(t) = 1 \cdot t = t$ (ધારો કે $t=0$ સમયે તે $x=0$ પર છે).
નિરીક્ષકથી ફુગ્ગાનું અંતર $s = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{t^2 + 30^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફુગ્ગો નિરીક્ષકથી કેટલી ઝડપે દૂર જઈ રહ્યો છે તે શોધવા માટે,આપણે $s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{ds}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{t^2 + 30^2}} \cdot 2t = \frac{t}{\sqrt{t^2 + 30^2}}$.
$t = 40 \ s$ સમયે:
$\frac{ds}{dt} = \frac{40}{\sqrt{40^2 + 30^2}} = \frac{40}{\sqrt{1600 + 900}} = \frac{40}{\sqrt{2500}} = \frac{40}{50} = 0.8 \ m/s$.
આમ,દર $0.8 \ m/s$ છે.

(B) ધારો કે $H = 15 \text{ ft}$ એ પ્રકાશની ઊંચાઈ છે અને $h = 5 \text{ ft}$ એ માણસની ઊંચાઈ છે.
ધારો કે $x$ એ પ્રકાશના સ્ત્રોતથી માણસનું અંતર છે અને $s$ એ તેના પડછાયાની લંબાઈ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણોના ગુણધર્મ મુજબ,$\frac{s}{h} = \frac{x+s}{H}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{s}{5} = \frac{x+s}{15} \implies 3s = x + s \implies 2s = x$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2 \frac{ds}{dt} = \frac{dx}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{ds}{dt} = \frac{11}{5} \text{ ft/sec}$,તેથી $\frac{dx}{dt} = 2 \times \frac{11}{5} = \frac{22}{5} \text{ ft/sec}$.
$\frac{dx}{dt}$ ને $\text{miles/hour}$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{22}{5} \text{ ft/sec} = \frac{22}{5} \times 3600 \text{ ft/hour} = \frac{22 \times 3600}{5 \times 5280} \text{ miles/hour}$.
આની ગણતરી કરતા,$\frac{79200}{26400} = 3 \text{ miles/hour}$.
આમ,$K = 3$.

(A) ધારો કે $x$ એ દીવાલથી છેડા $A$ નું અંતર છે અને $y$ એ જમીનથી છેડા $B$ ની ઊંચાઈ છે. સળિયાની લંબાઈ અચળ છે,તેથી $x^2 + y^2 = 41^2 = 1681$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$,જે $x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$ માં પરિણમે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dx}{dt} = 3 \ ft/min$. જ્યારે $y = 9$,ત્યારે $x^2 + 9^2 = 1681 \implies x^2 = 1600 \implies x = 40 \ ft$.
આ કિંમતો મૂકતા: $40(3) + 9 \frac{dy}{dt} = 0 \implies 9 \frac{dy}{dt} = -120 \implies \frac{dy}{dt} = -\frac{40}{3} \ ft/min$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2}xy$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \left( x \frac{dy}{dt} + y \frac{dx}{dt} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \left( 40 \times (-\frac{40}{3}) + 9 \times 3 \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1600}{3} + 27 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{-1600 + 81}{3} \right) = -\frac{1519}{6} \ ft^2/min$.

(C) ધારો કે શંકુની ઊંચાઈ $h$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે. અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો $\alpha = \pi / 3$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(\alpha) = r / h$,તેથી $r = h \tan(\pi / 3) = h \sqrt{3}$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
$r = h \sqrt{3}$ મૂકતા,આપણને $V = \frac{1}{3} \pi (h \sqrt{3})^2 h = \pi h^3$ મળે છે.
ઘનફળ $V$ અચળ હોવાથી,સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $\frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} \pi (2rh \frac{dr}{dt} + r^2 \frac{dh}{dt}) = 0$ મળે.
આમ,$2rh \frac{dr}{dt} = -r^2 \frac{dh}{dt}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dr}{dt} = -\frac{r}{2h} \frac{dh}{dt}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\frac{dh}{dt} = 2$ અને $r = h \sqrt{3}$,તેથી $\frac{dr}{dt} = -\frac{h \sqrt{3}}{2h} (2) = -\sqrt{3}$.
તેથી,ત્રિજ્યા ઘટવાનો દર $\sqrt{3} \text{ units/min}$ છે.

(C) અંતર $S$ એ વિધેય $S(t) = t^3 - t^2 - t + 3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં અંતરના ફેરફારનો દર છે,જે $v = \frac{dS}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
$v = \frac{d}{dt}(t^3 - t^2 - t + 3) = 3t^2 - 2t - 1$.
જ્યારે કણનો વેગ $v = 0$ થાય ત્યારે તે સ્થિર થાય છે.
$v = 0$ લેતા,આપણને $3t^2 - 2t - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3t^2 - 3t + t - 1 = 0 \Rightarrow 3t(t - 1) + 1(t - 1) = 0 \Rightarrow (3t + 1)(t - 1) = 0$.
સમય $t$ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આપણે $t = 1$ સેકન્ડ લઈએ છીએ.
હવે,$t = 1$ ને અંતરના સમીકરણ $S(t)$ માં મૂકતા:
$S(1) = (1)^3 - (1)^2 - (1) + 3 = 1 - 1 - 1 + 3 = 2$ મીટર.
આમ,જ્યારે કણ સ્થિર થાય ત્યારે તેણે કાપેલું અંતર $2$ મીટર છે.

(C) ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ પર શંકુમાં પાણીની સપાટીની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
શિરોલંબ ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી અર્ધ-શિરોલંબ ખૂણો $30^{\circ}$ થશે.
શંકુની ભૂમિતિ પરથી,$\frac{r}{h} = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,જેનો અર્થ છે કે $h = \sqrt{3}r$.
શંકુમાં પાણીનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h = \sqrt{3}r$ મૂકતા,આપણને $V = \frac{1}{3} \pi r^2 (\sqrt{3}r) = \frac{\sqrt{3}}{3} \pi r^3 = \frac{1}{\sqrt{3}} \pi r^3$ મળે છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = \frac{1}{\sqrt{3}} \pi (3r^2) \frac{dr}{dt} = \sqrt{3} \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\sqrt{3} \pi r^2 \frac{dr}{dt} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,એટલે કે $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{3 \pi r^2}$.
કારણ કે $h = \sqrt{3}r$,જ્યારે $h = 3 \text{ m}$ હોય,ત્યારે $r = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ m}$ થાય.
$\frac{dr}{dt}$ ના સૂત્રમાં $r = \sqrt{3}$ મૂકતા,આપણને $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{3 \pi (\sqrt{3})^2} = \frac{1}{3 \pi (3)} = \frac{1}{9 \pi} \text{ m/min}$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $x^3 y^4 = 2^7$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$3x^2 y^4 \frac{dx}{dt} + 4x^3 y^3 \frac{dy}{dt} = 0$.
આપણને આપેલ છે કે $\frac{dx}{dt} = -8 \text{ units/sec}$ (કારણ કે તે ઘટી રહ્યો છે).
બિંદુ $(2, 2)$ પર,$x = 2, y = 2$ અને $\frac{dx}{dt} = -8$ મૂકતા:
$3(2)^2 (2)^4 (-8) + 4(2)^3 (2)^3 \frac{dy}{dt} = 0$.
$3(4)(16)(-8) + 4(8)(8) \frac{dy}{dt} = 0$.
$-1536 + 256 \frac{dy}{dt} = 0$.
$256 \frac{dy}{dt} = 1536$.
$\frac{dy}{dt} = \frac{1536}{256} = 6$.
અહીં $\frac{dy}{dt} > 0$ હોવાથી,$y$-યામ $6 \text{ units per second}$ ના દરે વધે છે.

(C) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
બંને બાજુ $A$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2a \delta a = 2bc \sin A \delta A$.
તેથી,$\delta a = \frac{bc \sin A \delta A}{a}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A$ છે,તેથી $bc \sin A = 2\Delta$.
સાઈન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = 2R$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2R \sin A$.
આ કિંમતો $\delta a$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $\delta a = \frac{2\Delta \delta A}{2R \sin A} = \frac{\Delta \delta A}{R \sin A}$.
ટકાવારી ભૂલ $\frac{\delta a}{a} \times 100 = \frac{\Delta \delta A}{R \sin A \cdot 2R \sin A} \times 100 = \frac{\Delta \delta A}{2R^2 \sin^2 A} \times 100$ થાય.

(C) નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઊંચાઈ (પાણીનું સ્તર) છે.
આપેલ છે કે $r = 3.5 \ ft = \frac{7}{2} \ ft$ અને ઘનફળમાં ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = 1 \ ft^3/min$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = \pi r^2 \frac{dh}{dt}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $1 = \pi \times (\frac{7}{2})^2 \times \frac{dh}{dt}$.
$1 = \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times \frac{dh}{dt}$.
$1 = \frac{11 \times 7}{2} \times \frac{dh}{dt} = \frac{77}{2} \times \frac{dh}{dt}$.
તેથી,$\frac{dh}{dt} = \frac{2}{77} \ ft/min$.

(C) ધારો કે નિસરણીનો નીચેનો છેડો દીવાલથી $x$ અંતરે છે અને ઉપરનો છેડો જમીનથી $y$ ઊંચાઈ પર છે. નિસરણી દીવાલ અને જમીન સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી $x^2 + y^2 = 13^2 = 169$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$ થાય છે.
આપેલ છે કે નીચેનો છેડો દીવાલથી $\frac{dx}{dt} = 2 \ m/min$ ની ઝડપે દૂર જાય છે.
જ્યારે $x = 5 \ m$ હોય,ત્યારે $x^2 + y^2 = 169$ નો ઉપયોગ કરીને $y$ શોધીએ: $5^2 + y^2 = 169 \Rightarrow 25 + y^2 = 169 \Rightarrow y^2 = 144 \Rightarrow y = 12 \ m$.
આ કિંમતોને વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $5(2) + 12 \frac{dy}{dt} = 0$.
$10 + 12 \frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow 12 \frac{dy}{dt} = -10 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6} \ m/min$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ઉપરનો છેડો નીચે પડી રહ્યો છે. આમ,ઉપરનો છેડો $\frac{5}{6} \ m/min$ ની ઝડપે નીચે પડે છે.

(C) આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 5 \text{ inch/min}$ છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા $r = 10 \text{ inches}$ હોય.
ગોળાકાર ફુગ્ગાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) = \frac{4}{3} \pi (3r^2) \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો $r = 10$ અને $\frac{dr}{dt} = 5$ મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = 4 \pi (10)^2 (5) = 4 \pi (100) (5) = 2000 \pi \text{ cubic inches/min}$.

(B) કણનું સ્થાનાંતર $S(t) = t^3 - 4t^2 + 7t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તત્કાલીન વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનો ફેરફારનો દર છે,જે $v = \frac{dS}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
$S(t)$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$v = \frac{d}{dt}(t^3 - 4t^2 + 7t) = 3t^2 - 8t + 7$.
$t = 4 \ sec$ સમયે વેગ શોધવા માટે,$v$ ના સમીકરણમાં $t = 4$ મૂકતા:
$v = 3(4)^2 - 8(4) + 7$
$v = 3(16) - 32 + 7$
$v = 48 - 32 + 7$
$v = 16 + 7 = 23 \ m/sec$.

(A) ધારો કે $A$ એ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે અને $P$ એ પરિમિતિ છે. આપણી પાસે છે,$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ મળે.
આપેલ દર મૂકતા: $2\pi r \frac{dr}{dt} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \Rightarrow \frac{dr}{dt} = \frac{1}{2\pi r \sqrt{\pi}}$.
પરિમિતિ $P = 2\pi r$ છે. $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $\frac{dP}{dt} = 2\pi \frac{dr}{dt}$ મળે.
$\frac{dr}{dt}$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{dP}{dt} = 2\pi \times \frac{1}{2\pi r \sqrt{\pi}} = \frac{1}{r \sqrt{\pi}}$.
આપેલ છે કે $P = \sqrt{\pi}$,તેથી $2\pi r = \sqrt{\pi} \Rightarrow r = \frac{\sqrt{\pi}}{2\pi} = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}$.
$\frac{dP}{dt}$ ના સમીકરણમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{dP}{dt} = \frac{1}{(\frac{1}{2\sqrt{\pi}}) \sqrt{\pi}} = \frac{1}{1/2} = 2$ એકમ/સેકન્ડ.

(C) ધારો કે લંબચોરસ સમાંતરબાજુ ટાંકીનું ઘનફળ $V = 27 \ m^3$ છે.
ધારો કે $A$ એ પાયાનું ક્ષેત્રફળ છે અને $h$ એ ટાંકીની ઊંચાઈ છે.
તેથી,$V = A \times h$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે $\frac{dV}{dt} = A \frac{dh}{dt}$.
પ્રશ્ન મુજબ,પાણીના સ્તરમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dh}{dt}$ એ પાણીના જથ્થામાં થતા ફેરફારના દર $\frac{dV}{dt}$ કરતા ત્રણ ગણો છે,એટલે કે $\frac{dh}{dt} = 3 \frac{dV}{dt}$.
આ કિંમત વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dV}{dt} = A \times (3 \frac{dV}{dt})$.
આનો અર્થ એ છે કે $1 = 3A$,તેથી $A = \frac{1}{3} \ m^2$.
કારણ કે $V = A \times h$,તેથી $27 = \frac{1}{3} \times h$.
તેથી,$h = 27 \times 3 = 81 \ m$.

(A) આપેલ છે કે,ઘનફળમાં થતો વધારાનો દર $\frac{dV}{dt} = 4 \pi \text{ cm}^3/\text{sec}$ છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = 288 \pi \text{ cm}^3$ છે.
ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ શોધવા માટે આપેલ ઘનફળની કિંમત મૂકતા:
$288 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \implies 288 = \frac{4}{3} r^3 \implies r^3 = 216 \implies r = 6 \text{ cm}$.
ઘનફળના સૂત્રનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
જાણીતી કિંમતો $\frac{dV}{dt} = 4 \pi$ અને $r = 6$ મૂકતા:
$4 \pi = 4 \pi (6)^2 \frac{dr}{dt}$.
$1 = 36 \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{1}{36} \text{ cm/sec}$.

(B) આપેલ છે કે,સમયના કોઈપણ ક્ષણે,ઘનફળમાં થતો ફેરફારનો દર અને સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફારનો દર સમાન છે,એટલે કે $\frac{dV}{dt} = \frac{dS}{dt}$ $\ldots(i)$
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે $\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi (3r^2) \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ $\ldots(ii)$
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે $\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(4 \pi r^2) = 4 \pi (2r) \frac{dr}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ $\ldots(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ ની કિંમતો સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને મળે $4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$
જો $\frac{dr}{dt} \neq 0$ હોય,તો બંને બાજુ $4 \pi r \frac{dr}{dt}$ વડે ભાગતા,આપણને $r = 2$ મળે છે.

(B) ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ પર પાણીની ઊંચાઈ $h$,ત્રિજ્યા $r$ અને ત્રાંસી ઊંચાઈ $l$ છે. અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો $\alpha = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
શંકુની ભૂમિતિ પરથી,$r = h \tan 30^{\circ} = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
પાણીનું કદ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{h}{\sqrt{3}}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{9}$.
$V = \frac{8 \pi}{\sqrt{3}}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{\pi h^3}{9} = \frac{8 \pi}{\sqrt{3}} \Rightarrow h^3 = \frac{72}{\sqrt{3}} = 24 \sqrt{3} = (2 \sqrt{3})^3$,તેથી $h = 2 \sqrt{3} \ ft$.
ત્રાંસી ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{h^2 + \frac{h^2}{3}} = \sqrt{\frac{4h^2}{3}} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dl}{dt} = \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{dh}{dt}$.
$\frac{dl}{dt} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ (ઘટાડો) આપેલ છે,તેથી $-\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{dh}{dt} \Rightarrow \frac{dh}{dt} = -\frac{1}{2} \ ft/min$.
કદમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left(\frac{\pi h^3}{9}\right) = \frac{\pi}{3} h^2 \frac{dh}{dt}$.
$h = 2 \sqrt{3}$ અને $\frac{dh}{dt} = -\frac{1}{2}$ મુકતા,$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3} (2 \sqrt{3})^2 \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} (12) \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \pi \ cu. \ ft/min$.
આમ,પાણીનું કદ $2 \pi \ cu. \ ft/min$ ના દરે ઘટી રહ્યું છે.

(C) આપેલ વક્ર $y = 3x^5 + 15x - 8$ છે.
$x$ ના બદલાવાનો દર $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{5} \text{ units/sec}$ છે.
$y$ ના બદલાવાનો દર $\frac{dy}{dt} = 6 \text{ units/sec}$ છે.
$y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = (15x^4 + 15) \cdot \frac{dx}{dt}$.
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$6 = (15x^4 + 15) \cdot \frac{1}{5} = 3(x^4 + 1)$.
$x^4 + 1 = 2 \Rightarrow x^4 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
$x = 1$ માટે,$y = 3(1)^5 + 15(1) - 8 = 10$. તેથી,$A = (1, 10)$.
$x = -1$ માટે,$y = 3(-1)^5 + 15(-1) - 8 = -3 - 15 - 8 = -26$. તેથી,$B = (-1, -26)$.
$AB$ નો ઢાળ $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-26 - 10}{-1 - 1} = \frac{-36}{-2} = 18$ થાય.

(D) આપેલ છે: $\frac{d(2r)}{dt} = 4 \text{ cm/s} \implies \frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/s}$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$. ઘનફળ અચળ હોવાથી, $\frac{dV}{dt} = 0$.
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( r^2 \frac{dh}{dt} + 2rh \frac{dr}{dt} \right) = 0$.
$r^2 \frac{dh}{dt} + 2rh(2) = 0 \implies r \frac{dh}{dt} + 4h = 0 \implies \frac{dh}{dt} = -\frac{4h}{r}$.
જ્યારે $r = 4 \text{ cm}$ અને $h = 12 \text{ cm}$ હોય, ત્યારે $\frac{dh}{dt} = -\frac{4(12)}{4} = -12 \text{ cm/s}$.
પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $S = 2 \pi rh$.
$\frac{dS}{dt} = 2 \pi \left( r \frac{dh}{dt} + h \frac{dr}{dt} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dS}{dt} = 2 \pi \left( 4(-12) + 12(2) \right) = 2 \pi (-48 + 24) = 2 \pi (-24) = -48 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/sec}$ છે.
આપણે $r = 12 \text{ cm}$ હોય ત્યારે ક્ષેત્રફળ $A$ માં થતો ફેરફારનો દર શોધવાનો છે.
વર્તુળાકાર પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો $r = 12 \text{ cm}$ અને $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/sec}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (12) (0.01) = 24 \pi (0.01) = 0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારાનો દર $0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$ છે.

(A) આપેલ સંબંધ $p V^{1/4} = C$ છે,જ્યાં $C$ અચળાંક છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln p + \frac{1}{4} \ln V = \ln C$.
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dp}{p} + \frac{1}{4} \frac{dV}{V} = 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{dp}{p} = -\frac{1}{4} \frac{dV}{V}$.
આપેલ છે કે કદમાં થતો પ્રતિશત ઘટાડો $\frac{dV}{V} = -\frac{1}{2} \% = -0.5 \%$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dp}{p} = -\frac{1}{4} (-0.5 \%) = 0.125 \% = \frac{1}{8} \%$.
આમ,દબાણમાં થતો પ્રતિશત વધારો $\frac{1}{8} \%$ છે.

(D) વક્રનું આપેલ સમીકરણ $y = 4 - 2x^2$ છે.
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dt} = -4x \frac{dx}{dt}$.
અહીં આપેલ છે કે $x$-યામ $5 \text{ units/s}$ ના દરે ઘટે છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = -5 \text{ units/s}$.
બિંદુ $(1, 2)$ પર,$x = 1$ છે.
આ કિંમતોને વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dt} = -4(1)(-5) = 20 \text{ units/s}$.
આમ,$y$-યામ $20 \text{ units/s}$ ના દરે બદલાઈ રહ્યો છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y = x^2 + 2x$ છે.
કણના $x$ અને $y$ યામ સમાન દરે બદલાતા હોવાથી,આપણી પાસે $\frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt}$ છે.
વક્રના સમીકરણનું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = (2x + 2) \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt}$ મૂકતા:
$\frac{dx}{dt} = (2x + 2) \frac{dx}{dt}$.
જો $\frac{dx}{dt} \neq 0$ હોય,તો બંને બાજુ $\frac{dx}{dt}$ વડે ભાગતા:
$1 = 2x + 2$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$.
હવે,$y$ શોધવા માટે $x = -\frac{1}{2}$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right)$
$y = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$.
તેથી,માંગેલ બિંદુ $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$ છે.

(A) ધારો કે $V$ એ ઘનફળ છે અને $S$ એ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર ફુગ્ગાનું પૃષ્ઠફળ છે.
આપેલ છે: $\frac{dV}{dt} = 2 \ cm^3/sec$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $2 = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{1}{2 \pi r^2}$.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $S = 4 \pi r^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
$\frac{dS}{dt}$ ના સમીકરણમાં $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2 \pi r^2}$ મૂકતા:
$\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \left( \frac{1}{2 \pi r^2} \right) = \frac{4}{r}$.
જ્યારે $r = 4 \ cm$ હોય,ત્યારે પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dS}{dt} = \frac{4}{4} = 1 \ cm^2/sec$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) કણનો વેગ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = a \cos (\sqrt{\lambda} t + b) \cdot \sqrt{\lambda}$.
કણ સ્થિર થાય તે માટે વેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$v = 0 \Rightarrow a \sqrt{\lambda} \cos (\sqrt{\lambda} t + b) = 0$.
અહીં $a \neq 0$ અને $\lambda > 0$ હોવાથી,$\cos (\sqrt{\lambda} t + b) = 0$ થાય.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ખૂણો $\pm \frac{\pi}{2}$ હોય.
ધારો કે બે બિંદુઓ $x_1$ અને $x_2$ છે:
$x_1 = a \sin (\frac{\pi}{2}) = a(1) = a$.
$x_2 = a \sin (-\frac{\pi}{2}) = a(-1) = -a$.
આ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $|x_1 - x_2| = |a - (-a)| = |2a| = 2a$ થાય.

(A) આપેલ અંતરનું સમીકરણ: $s = t^{2} + at - b + 17$.
કણ સ્થિર અવસ્થામાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી $t = 5 \ s$ સમયે વેગ $v = \frac{ds}{dt} = 0$ હોવો જોઈએ.
વેગની ગણતરી કરતા: $v = \frac{ds}{dt} = 2t + a$.
$t = 5$ સમયે $v = 0$ મૂકતા: $2(5) + a = 0 \implies 10 + a = 0 \implies a = -10$.
હવે,આપેલ છે કે $t = 5 \ s$ સમયે અંતર $s = 25$ છે:
$25 = (5)^{2} + a(5) - b + 17$.
$a = -10$ મૂકતા: $25 = 25 + (-10)(5) - b + 17$.
$25 = 25 - 50 - b + 17$.
$25 = -8 - b$.
$b = -8 - 25 = -33$.
આમ,$a = -10$ અને $b = -33$ મળે છે.

(C) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $x = \frac{1}{2} vt$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$x = \frac{1}{2} \left( \frac{dx}{dt} \right) t$.
ચલને અલગ કરવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{2 dt}{t} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$2 \int \frac{dt}{t} = \int \frac{dx}{x} \implies 2 \ln |t| + C' = \ln |x|$.
આ $\ln |t^2| + C' = \ln |x|$ માં પરિણમે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = c t^2$ કોઈ અચળાંક $c$ માટે.
હવે,$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને વેગ $v$ શોધો:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (c t^2) = 2ct$.
છેલ્લે,$v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને પ્રવેગ $f$ શોધો:
$f = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (2ct) = 2c$.
$2c$ એ અચળ હોવાથી,પ્રવેગ $f$ અચળ છે.

(A) આપેલ છે કે કોટિ $y$ એ અભિસંખ્યા $x$ ના વધવાના દર જેટલા જ દરે ઘટે છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = -\frac{dx}{dt}$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $16x^{2} + 9y^{2} = 400$ છે.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$16(2x) \frac{dx}{dt} + 9(2y) \frac{dy}{dt} = 0$
$32x \frac{dx}{dt} + 18y \frac{dy}{dt} = 0$
$16x \frac{dx}{dt} + 9y \frac{dy}{dt} = 0$.
$\frac{dy}{dt} = -\frac{dx}{dt}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$16x \frac{dx}{dt} + 9y \left(-\frac{dx}{dt}\right) = 0$
$(16x - 9y) \frac{dx}{dt} = 0$.
અહીં $\frac{dx}{dt} \neq 0$ હોવાથી,$16x - 9y = 0$,જેનો અર્થ છે $y = \frac{16}{9}x$.
$y = \frac{16}{9}x$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$16x^{2} + 9\left(\frac{16}{9}x\right)^{2} = 400$
$16x^{2} + 9 \cdot \frac{256}{81}x^{2} = 400$
$16x^{2} + \frac{256}{9}x^{2} = 400$
$\frac{144x^{2} + 256x^{2}}{9} = 400$
$\frac{400x^{2}}{9} = 400$
$x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.
જો $x = 3$,તો $y = \frac{16}{9}(3) = \frac{16}{3}$.
જો $x = -3$,તો $y = \frac{16}{9}(-3) = -\frac{16}{3}$.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $\left(3, \frac{16}{3}\right)$ અને $\left(-3, -\frac{16}{3}\right)$ છે.