Rate of Change of Quantities Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને $C$ એ વર્તુળનો પરિઘ છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 0.7 \text{ cm/s}$ છે.
વર્તુળના પરિઘનું સૂત્ર $C = 2 \pi r$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dC}{dt} = 2 \pi \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમત $\frac{dr}{dt} = 0.7 \text{ cm/s}$ મૂકતા:
$\frac{dC}{dt} = 2 \pi (0.7) = 1.4 \pi \text{ cm/s}$.
આમ,વર્તુળનો પરિઘ $1.4 \pi \text{ cm/s}$ ના દરે વધી રહ્યો છે.

(C) સીમાંત આવકને વેચાયેલા એકમોની સંખ્યાના સંદર્ભમાં કુલ આવકના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે વિકલન $R'(x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R(x) = x^2 + 6x + 5$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$R'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 6x + 5) = 2x + 6$.
જ્યારે $x = 20$ હોય ત્યારે સીમાંત આવક શોધવા માટે,આપણે વિકલનમાં $x = 20$ મૂકીએ છીએ:
$R'(20) = 2(20) + 6 = 40 + 6 = 46$.
આમ,સીમાંત આવક $46$ રૂપિયા છે.

(A) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ સૂત્ર $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
ત્રિજ્યાની સાપેક્ષમાં ક્ષેત્રફળના બદલાવનો દર શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^2) = 2 \pi r$.
હવે,આપણે આ વિકલિતનું મૂલ્ય $r = 3 \text{ cm}$ પર શોધીએ છીએ:
$\left. \frac{dA}{dr} \right|_{r=3} = 2 \pi (3) = 6 \pi$.
આમ,$r = 3 \text{ cm}$ પર વર્તુળના ક્ષેત્રફળનો તેની ત્રિજ્યાની સાપેક્ષમાં બદલાવનો દર $6 \pi \text{ cm}^2/\text{cm}$ છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y^2 = 18x$ છે.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dt} = 18 \frac{dx}{dt}$
$y \frac{dy}{dt} = 9 \frac{dx}{dt}$
પ્રશ્ન મુજબ,$Y$-યામના બદલાવનો દર $X$-યામના બદલાવના દર કરતા બમણો છે,એટલે કે $\frac{dy}{dt} = 2 \frac{dx}{dt}$.
આ કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$y(2 \frac{dx}{dt}) = 9 \frac{dx}{dt}$
કારણ કે $\frac{dx}{dt} \neq 0$,આપણે $\frac{dx}{dt}$ વડે ભાગી શકીએ:
$2y = 9 \implies y = \frac{9}{2}$.
હવે,$y = \frac{9}{2}$ ની કિંમત મૂળ વક્રના સમીકરણ $y^2 = 18x$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{9}{2}\right)^2 = 18x$
$\frac{81}{4} = 18x$
$x = \frac{81}{4 \times 18} = \frac{81}{72} = \frac{9}{8}$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $\left(\frac{9}{8}, \frac{9}{2}\right)$ છે.

(B) કણનો વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે,જે $v = \frac{ds}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $s = t^3 - 6t^2 + 9t$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$v = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + 9t) = 3t^2 - 12t + 9$.
$t = 2 \ s$ સમયે વેગ શોધવા માટે,વેગના સમીકરણમાં $t = 2$ મૂકો:
$v(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9$
$v(2) = 3(4) - 24 + 9$
$v(2) = 12 - 24 + 9 = -3 \ m/s$.
તેથી,$t = 2 \ s$ સમયે વેગ $-3 \ m/s$ છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકનું ઘનફળ $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$
ઘનફળમાં તેની ત્રિજ્યાની સાપેક્ષે થતો ફેરફારનો દર શોધવા માટે,આપણે $V$ નું $r$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi (3r^2) = 4 \pi r^2$
હવે,આપણે આ વિકલિતનું મૂલ્ય $r = 7 \ cm$ આગળ શોધીએ:
$\frac{dV}{dr} \Big|_{r=7} = 4 \pi (7)^2 = 4 \pi (49) = 196 \pi$
ઘનફળમાં ત્રિજ્યાની સાપેક્ષે થતા ફેરફારના દરનો એકમ $\frac{cm^3}{cm} = cm^2$ છે.
તેથી,ફેરફારનો દર $196 \pi \ cm^2$ છે.

(B) સીમાંત આવક (Marginal Revenue) એ કુલ આવક વિધેય $R(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન છે,જેને $MR = \frac{dR}{dx}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R(x) = 10x^2 + 20x + 1500$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dR}{dx} = \frac{d}{dx}(10x^2 + 20x + 1500) = 20x + 20$.
જ્યારે $x = 1500$ હોય ત્યારે સીમાંત આવક શોધવા માટે:
$MR = 20(1500) + 20 = 30000 + 20 = 30020$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટીના ક્ષેત્રફળના સૂત્ર પરથી,આપણી પાસે $r^2 = \frac{S}{4 \pi}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $r = \sqrt{\frac{S}{4 \pi}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{S}{\pi}}$.
આપણે $\frac{dV}{dS}$ શોધવાની જરૂર છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને,$\frac{dV}{dS} = \frac{dV/dr}{dS/dr}$.
$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} (\frac{4}{3} \pi r^3) = 4 \pi r^2$.
$\frac{dS}{dr} = \frac{d}{dr} (4 \pi r^2) = 8 \pi r$.
તેથી,$\frac{dV}{dS} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{dV}{dS} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \sqrt{\frac{S}{\pi}}) = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{S}{\pi}}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે $V$ એ ગોલકનું ઘનફળ છે અને $r$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે ઘનફળમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = \pi \text{ cm}^3/\text{s}$ છે.
ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો $\frac{dV}{dt} = \pi$ અને $r = 2 \text{ cm}$ મૂકતા:
$\pi = 4 \pi (2)^2 \frac{dr}{dt}$
$\pi = 16 \pi \frac{dr}{dt}$
$\frac{dr}{dt} = \frac{\pi}{16 \pi} = \frac{1}{16} \text{ cm/s}$.
આમ,ત્રિજ્યા વધવાનો દર $\frac{1}{16} \text{ cm/s}$ છે.

(A) ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \Pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4 \Pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 10 \text{ cm}^3 \text{s}^{-1}$ અને $r = 15 \text{ cm}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $10 = 4 \Pi (15)^2 \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{10}{4 \Pi (225)} = \frac{10}{900 \Pi} = \frac{1}{90 \Pi} \text{ cm s}^{-1}$.

(B) ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $r = 4 \text{ cm}$ છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ છે.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$
$\frac{dS}{dr} = 8 \pi r$
સપાટીના ક્ષેત્રફળની સાપેક્ષમાં ઘનફળના બદલાવનો દર:
$\frac{dV}{dS} = \frac{dV/dr}{dS/dr} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$.
$r = 4 \text{ cm}$ માટે:
$\frac{dV}{dS} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}^3 \text{ cm}^{-2}$.

(B) આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $ \frac{dr}{dt} = 5 \text{ cm s}^{-1} $ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $ A = \pi r^2 $ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $ t $ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$ \frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2\pi r \frac{dr}{dt} $.
આપેલ કિંમતો $ r = 8 \text{ cm} $ અને $ \frac{dr}{dt} = 5 \text{ cm s}^{-1} $ મૂકતા:
$ \frac{dA}{dt} = 2 \pi (8) (5) = 80 \pi \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1} $.
આમ,ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $ 80 \pi \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1} $ ના દરે વધી રહ્યું છે.

(B) આપેલ છે,$s = \frac{2 t^3}{3} - 18 t + \frac{5}{3}$.
વેગ $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{2 t^3}{3} - 18 t + \frac{5}{3}) = 2 t^2 - 18$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (2 t^2 - 18) = 4 t$.
જ્યારે કણ સ્થિર થાય ત્યારે $v = 0$ થાય.
$2 t^2 - 18 = 0 \Rightarrow 2 t^2 = 18 \Rightarrow t^2 = 9 \Rightarrow t = 3 \ s$ (કારણ કે $t > 0$).
હવે,પ્રવેગના સમીકરણમાં $t = 3$ મૂકતા:
$a = 4(3) = 12 \ m/s^2$.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{16} \frac{dx}{dt} + \frac{2y}{4} \frac{dy}{dt} = 0$.
$\frac{x}{8} \frac{dx}{dt} + \frac{y}{2} \frac{dy}{dt} = 0$.
આપેલ છે કે અબસીસાના ફેરફારનો દર $(\frac{dx}{dt})$ એ ઓર્ડિનેટના ફેરફારના દર $(\frac{dy}{dt})$ કરતા $4$ ગણો છે,એટલે કે $\frac{dx}{dt} = 4 \frac{dy}{dt}$.
આ કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{8} (4 \frac{dy}{dt}) + \frac{y}{2} \frac{dy}{dt} = 0$.
$(\frac{x}{2} + \frac{y}{2}) \frac{dy}{dt} = 0$.
$\frac{dy}{dt} \neq 0$ હોવાથી,$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = -y$.
$x = -y$ ને મૂળ વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{(-y)^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$.
$\frac{y^2}{16} + \frac{4y^2}{16} = 1 \Rightarrow \frac{5y^2}{16} = 1 \Rightarrow y^2 = \frac{16}{5}$.
આમ,$y = \pm \frac{4}{\sqrt{5}}$.
$x = -y$ હોવાથી,જો $y = \frac{4}{\sqrt{5}}$,તો $x = -\frac{4}{\sqrt{5}}$ (બીજું ચરણ).
જો $y = -\frac{4}{\sqrt{5}}$,તો $x = \frac{4}{\sqrt{5}}$ (ચોથું ચરણ).
તેથી,કણ $II$ અથવા $IV$ ચરણમાં હશે.

(C) ધારો કે $r$ એ વર્તુળાકાર પ્લેટની ત્રિજ્યા છે અને $A$ એ કોઈપણ સમયે તેનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 0.05 \text{ cm/s}$ છે.
જ્યારે $r = 5.2 \text{ cm}$ હોય ત્યારે આપણે ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર શોધવાનો છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \times \pi \times 5.2 \times 0.05$.
$\frac{dA}{dt} = 10.4 \times 0.05 \times \pi = 0.52 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.
આમ,જ્યારે ત્રિજ્યા $5.2 \text{ cm}$ હોય ત્યારે ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો $0.52 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ છે.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ $x$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
આપેલ છે કે બાજુના ફેરફારનો દર $\frac{dx}{dt} = 4 \text{ cm/sec}$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2x \cdot \frac{dx}{dt}$
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x \cdot \frac{dx}{dt}$
આપેલ કિંમતો $x = 14 \text{ cm}$ અને $\frac{dx}{dt} = 4 \text{ cm/sec}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 14 \cdot 4$
$\frac{dA}{dt} = \sqrt{3} \cdot 7 \cdot 4$
$\frac{dA}{dt} = 28 \sqrt{3} \text{ cm}^2/\text{sec}$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $28 \sqrt{3} \text{ cm}^2/\text{sec}$ ના દરે વધી રહ્યું છે.

(D) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$A = \pi r^2$
ક્ષેત્રફળમાં ત્રિજ્યા $r$ ની સાપેક્ષે થતો ફેરફારનો દર શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીશું:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^2) = 2\pi r$
હવે,$r = 2 \text{ cm}$ માટે આ વિકલિતની કિંમત મેળવીએ:
$\left(\frac{dA}{dr}\right)_{r=2} = 2\pi(2) = 4\pi \text{ cm}^2/\text{cm}$
આમ,ફેરફારનો દર $4\pi$ છે.

(A) આપેલ છે કે ગોલકના ઘનફળમાં વધારાનો દર $\frac{dV}{dt} = \pi \text{ cm}^3/\text{s}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે.
$\frac{dV}{dt} = \pi$ મૂકતા,$\pi = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4r^2}$.
ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ મળે.
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4r^2}$ મૂકતા,$\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \left( \frac{1}{4r^2} \right) = \frac{2 \pi}{r}$ મળે.
જ્યારે $r = 1 \text{ cm}$ હોય,ત્યારે સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં વધારાનો દર $\frac{dS}{dt} = \frac{2 \pi}{1} = 2 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ થાય.

(A) ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે. ધારો કે સમય $t$ પર $X$ નું સ્થાન $OA$ પર $x(t) = 4t$ છે અને $Y$ નું સ્થાન $OB$ પર $y(t) = 3t$ છે.
ધારો કે $A$ એ સમય $t$ પર $X$ અને $Y$ વચ્ચેનું ટૂંકું અંતર છે.
$\triangle OXY$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$A^2 = (4t)^2 + (3t)^2 - 2(4t)(3t) \cos(120^{\circ})$
કારણ કે $\cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}$,તેથી:
$A^2 = 16t^2 + 9t^2 - 24t^2 \left(-\frac{1}{2}\right)$
$A^2 = 25t^2 + 12t^2 = 37t^2$
$A = \sqrt{37}t$
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2A \frac{dA}{dt} = 37(2t)$
$\frac{dA}{dt} = \frac{37t}{A}$
$A = \sqrt{37}t$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{37t}{\sqrt{37}t} = \sqrt{37} \text{ km/h}$.
આમ,અંતર વધવાનો દર $\sqrt{37} \text{ km/h}$ છે.

(D) ધારો કે ઘનની બાજુ $x$ છે. ઘનનું પૃષ્ઠફળ $S = 6x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે બાજુ $x$ માં $5 \%$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવી બાજુ $x' = x + 0.05x = 1.05x$ થાય છે.
નવું પૃષ્ઠફળ $S' = 6(1.05x)^2$ દ્વારા મળે છે.
$S' = 6(1.1025x^2) = 1.1025(6x^2) = 1.1025S$.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{S' - S}{S} \times 100 \%$ છે.
$= \frac{1.1025S - S}{S} \times 100 \% = 0.1025 \times 100 \% = 10.25 \%$.

(C) આપેલ છે કે,$f(x) = 2x^{2}$.
આપણે $\frac{f(3.8) - f(4)}{3.8 - 4}$ પદાવલિની કિંમત શોધવાની છે.
વિધેયમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{f(3.8) - f(4)}{3.8 - 4} = \frac{2(3.8)^{2} - 2(4)^{2}}{3.8 - 4}$.
અંશમાંથી $2$ સામાન્ય લેતા:
$= \frac{2(3.8^{2} - 4^{2})}{3.8 - 4}$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 3.8$ અને $b = 4$ છે:
$= \frac{2(3.8 - 4)(3.8 + 4)}{3.8 - 4}$.
અંશ અને છેદમાંથી સામાન્ય પદ $(3.8 - 4)$ ને દૂર કરતા:
$= 2(3.8 + 4)$.
$= 2(7.8) = 15.6$.

(A) આપેલ વિધેય $y = 5x^2 + 6x + 6$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં $y$ નું વિકલન શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(5x^2 + 6x + 6) = 10x + 6$.
વ્યાખ્યા મુજબ,વિકલ $dy$ એ $dy = (\frac{dy}{dx}) dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$dx = \Delta x = 0.001$ અને $x = 2$ છે.
આ કિંમતોને $dy$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$dy = (10(2) + 6) \times 0.001$.
$dy = (20 + 6) \times 0.001$.
$dy = 26 \times 0.001$.
$dy = 0.026$.

(B) આપેલ છે કે,સમય $t$ પર કણનું સ્થાનાંતર $s = \frac{t^3}{3} - 6t$ છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^3}{3} - 6t) = t^2 - 6$.
જ્યારે વેગ શૂન્ય થાય છે,ત્યારે $v = 0$,તેથી $t^2 - 6 = 0$,જે $t = \sqrt{6} \text{ s}$ આપે છે ($t > 0$ લેતા).
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગના ફેરફારનો દર છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 6) = 2t$.
પ્રવેગના સમીકરણમાં $t = \sqrt{6} \text{ s}$ મૂકતા,આપણને $a = 2(\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} \text{ m/s}^2$ મળે છે.

(D) આપેલ સ્થાનાંતર $s = 5 \sin(2t)$ છે.
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનો ફેરફારનો દર છે,જે $v = \frac{ds}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v = \frac{d}{dt} [5 \sin(2t)] = 5 \cdot \cos(2t) \cdot 2 = 10 \cos(2t)$.
હવે,વેગના સમીકરણમાં $t = \frac{\pi}{3}$ મૂકતા:
$v = 10 \cos(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = 10 \cos(\frac{2\pi}{3})$.
કારણ કે $\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}$ છે,
$v = 10 \cdot (-\frac{1}{2}) = -5$.
આમ,વેગ $-5$ છે. સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ અંતર વિધેય: $s = t^2 - 2t + 5$.
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં અંતરનું પ્રથમ વિકલન છે:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 2t + 5) = 2t - 2$.
પ્રવેગ $a$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2t - 2) = 2$.
તેથી,કણનો પ્રવેગ $2$ એકમ છે.

(A) કણનો વેગ $(v)$ એ સમય $(t)$ ની સાપેક્ષમાં અંતર $(s)$ માં થતા ફેરફારનો દર છે,જે વિકલન $v = \frac{ds}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ અંતરનું સમીકરણ $s = 4t^2 + 2t + 3$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$v = \frac{d}{dt}(4t^2 + 2t + 3) = 8t + 2$.
$t = 3$ સેકન્ડ પર વેગ શોધવા માટે,વેગના સમીકરણમાં $t = 3$ મૂકતા:
$v = 8(3) + 2 = 24 + 2 = 26 \text{ unit/sec}$.

(B) આપેલ છે કે વેગ $v$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના ઘનમૂળના સમપ્રમાણમાં છે:
$v = k x^{1/3}$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$.
પ્રથમ,$\frac{dv}{dx}$ શોધો:
$\frac{dv}{dx} = k \cdot \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{k}{3 x^{2/3}}$.
હવે,પ્રવેગના સૂત્રમાં $v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમત મૂકો:
$a = (k x^{1/3}) \cdot \left( \frac{k}{3 x^{2/3}} \right) = \frac{k^2}{3 x^{1/3}}$.
કારણ કે $v = k x^{1/3}$,આપણે લખી શકીએ કે $x^{1/3} = \frac{v}{k}$.
આ કિંમતને $a$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a = \frac{k^2}{3 (v/k)} = \frac{k^3}{3v}$.
તેથી,$a \propto \frac{1}{v}$,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ તેના વેગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

(C) ધારો કે $V$ એ ગોલકનું ઘનફળ છે અને $S$ એ તેની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,જ્યાં ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ છે કે,$\frac{dV}{dt} = 12 \text{ cm}^3/\text{sec}$.
ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે.
વ્યાસ $d = 12 \text{ cm}$ આપેલ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 6 \text{ cm}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $12 = 4 \pi (6)^2 \frac{dr}{dt} \implies 12 = 144 \pi \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{12}{144 \pi} = \frac{1}{12 \pi} \text{ cm/sec}$.
ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ મળે.
$r = 6$ અને $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{12 \pi}$ મૂકતા:
$\frac{dS}{dt} = 8 \pi (6) \left( \frac{1}{12 \pi} \right) = 48 \pi \times \frac{1}{12 \pi} = 4 \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(D) ધારો કે $r$ એ ત્રિજ્યા છે,$S$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $V$ એ ગોળાકાર પરપોટાનું ઘનફળ છે.
આપેલ છે: $\frac{dS}{dt} = 4 \text{ cm}^2/\text{sec}$.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4\pi r^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $4 = 8\pi(8) \frac{dr}{dt} \implies 4 = 64\pi \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{1}{16\pi} \text{ cm/sec}$.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
$r = 8$ અને $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{16\pi}$ મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi(8)^2 \left(\frac{1}{16\pi}\right) = 4\pi(64) \left(\frac{1}{16\pi}\right) = 4(4) = 16 \text{ cm}^3/\text{sec}$.

(A) કણનો વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે,જે $v = \frac{dS}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $S = 2t^3 + 2t^2 - 2t - 3$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે $v = \frac{d}{dt}(2t^3 + 2t^2 - 2t - 3) = 6t^2 + 4t - 2$.
જ્યારે કણનો વેગ શૂન્ય થાય ત્યારે તે તેની દિશા બદલે છે.
$v = 0$ લેતા,આપણને મળે છે $6t^2 + 4t - 2 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $3t^2 + 2t - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3t^2 + 3t - t - 1 = 0 \implies 3t(t + 1) - 1(t + 1) = 0$.
$(3t - 1)(t + 1) = 0$.
આથી $t = \frac{1}{3}$ અથવા $t = -1$ મળે છે.
સમય ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આપણે $t = \frac{1}{3}$ સેકન્ડ લઈએ છીએ.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$.
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = (3x^2 - 6x + 2) \frac{dx}{dt}$.
આપણને આપેલ છે કે $\frac{dy}{dt} = 6 \text{ units/sec}$ અને બિંદુ $(2, -1)$ છે,તેથી $x = 2$.
આ કિંમતોને વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$6 = (3(2)^2 - 6(2) + 2) \frac{dx}{dt}$.
$6 = (12 - 12 + 2) \frac{dx}{dt}$.
$6 = 2 \frac{dx}{dt}$.
તેથી,$\frac{dx}{dt} = \frac{6}{2} = 3 \text{ units/sec}$.

(C) આપેલ છે કે $y = x - x^2$.
આપણે $x^2$ ની સાપેક્ષે $y^2$ ના ફેરફારનો દર શોધવાનો છે.
ધારો કે $v = y^2 = (x - x^2)^2 = x^2 + x^4 - 2x^3$.
ધારો કે $u = x^2$.
આપણે $\frac{dv}{du} = \frac{dv/dx}{du/dx}$ ની ગણતરી કરવી છે.
પ્રથમ,$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 + x^4 - 2x^3) = 2x + 4x^3 - 6x^2$.
ત્યારબાદ,$u$ નું $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.
હવે,$\frac{dv}{du} = \frac{2x + 4x^3 - 6x^2}{2x} = 1 + 2x^2 - 3x$.
$x = 2$ આગળ,ફેરફારનો દર $1 + 2(2)^2 - 3(2) = 1 + 8 - 6 = 3$ થાય.

(C) આપેલ સ્થાનાંતર $s = 2t^3 - 9t$ છે.
વેગ $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3 - 9t) = 6t^2 - 9$.
જ્યારે વેગ શૂન્ય થાય ત્યારે $v = 0$,તેથી $6t^2 - 9 = 0 \Rightarrow t^2 = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2 - 9) = 12t$.
પ્રવેગના સમીકરણમાં $t = \sqrt{\frac{3}{2}}$ મૂકતા:
$a = 12 \times \sqrt{\frac{3}{2}} = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 6 \times \sqrt{2} \times \sqrt{3} = 6\sqrt{6}$.

(C) ધારો કે $OA$ એ $6 \ m$ ઊંચો લાઈટનો થાંભલો છે અને $FG$ એ $1.8 \ m$ ઊંચાઈ ધરાવતો માણસ છે. ધારો કે માણસનું થાંભલાથી અંતર $x$ છે અને તેના પડછાયાની લંબાઈ $y$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણ $\triangle BGF$ અને $\triangle BOA$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{FG}{OA} = \frac{BG}{BO}$
$\frac{1.8}{6} = \frac{y}{x+y}$
$1.8(x+y) = 6y$
$1.8x + 1.8y = 6y$
$1.8x = 4.2y$
$y = \frac{1.8}{4.2}x = \frac{18}{42}x = \frac{3}{7}x$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{7} \frac{dx}{dt}$
આપેલ છે કે માણસ $7 \ km/h$ ની ઝડપે થાંભલાથી દૂર જઈ રહ્યો છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = 7 \ km/h$.
તેથી,$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{7} \times 7 = 3 \ km/h$.
તેના પડછાયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફારનો દર $3 \ km/h$ છે.

(B) આપેલ છે કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $OP = 8$ છે.
$M$ એ $P$ માંથી $OA$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે,તેથી $\triangle OMP$ એ $M$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$\triangle OMP$ માં,આપણી પાસે $\cos \theta = \frac{OM}{OP}$ છે.
આપેલ છે કે $OM = 4$ અને $OP = 8$,તેથી $\cos \theta = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
વળી,$PM = OP \sin \theta = 8 \sin \theta$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં $PM$ ના બદલાવાનો દર શોધવા માટે,આપણે $PM$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{d(PM)}{dt} = \frac{d}{dt}(8 \sin \theta) = 8 \cos \theta \frac{d\theta}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{d\theta}{dt} = 6 \text{ રેડિયન/સેકન્ડ}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{2}$,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{d(PM)}{dt} = 8 \times \frac{1}{2} \times 6 = 24 \text{ એકમ/સેકન્ડ}$.

(D) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln A = \ln \pi + 2 \ln r$ મળે છે.
બંને બાજુ $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dA}{A} = 2 \frac{dr}{r}$ મળે છે.
નાની ભૂલો માટે,આને $\frac{\Delta A}{A} = 2 \times \frac{\Delta r}{r}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{\Delta r}{r} = 0.05 \%$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળમાં સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{\Delta A}{A} = 2 \times 0.05 \% = 0.1 \%$ થાય.
આમ,ક્ષેત્રફળની ગણતરીમાં અનુરૂપ ભૂલ $0.1 \%$ છે.

(D) ધારો કે $D$ વ્યાસ છે,$r$ ત્રિજ્યા છે અને $h$ લંબવૃત્તીય શંકુની ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે $D = 10 \ cm$,તેથી $r = 5 \ cm$.
આપેલ છે $h = 20 \ cm$.
વ્યાસમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dD}{dt} = 2 \ cm/s$ છે.
$D = 2r$ હોવાથી,$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2} \frac{dD}{dt} = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \ cm/s$ મળે.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
ઘનફળ અચળ રાખવા માટે,$\frac{dV}{dt} = 0$ હોવું જોઈએ.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} \pi (2rh \frac{dr}{dt} + r^2 \frac{dh}{dt}) = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $2(5)(20)(1) + (5)^2 \frac{dh}{dt} = 0$.
$200 + 25 \frac{dh}{dt} = 0$.
$25 \frac{dh}{dt} = -200$.
$\frac{dh}{dt} = -8 \ cm/s$.
આમ,ઊંચાઈ $-8 \ cm/s$ ના દરે બદલાવી જોઈએ.

(D) ધારો કે લોખંડના દડાની ત્રિજ્યા $r_0 = 10 \ cm$ છે અને બરફના પડની જાડાઈ $x \ cm$ છે. ગોળાની કુલ ત્રિજ્યા (લોખંડનો દડો + બરફ) $R = 10 + x \ cm$ છે.
બરફના પડનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi (10+x)^3 - \frac{4}{3}\pi (10)^3$ છે.
લોખંડનો દડો અચળ હોવાથી,કુલ કદમાં થતો ફેરફાર એ બરફના કદમાં થતા ફેરફાર જેટલો જ છે.
$V = \frac{4}{3}\pi (10+x)^3$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi (10+x)^2 \frac{dx}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = -50 \ cm^3/min$ (કારણ કે તે ઓગળે છે) અને $x = 5 \ cm$:
$-50 = 4\pi (10+5)^2 \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 4\pi (15)^2 \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 4\pi (225) \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 900\pi \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \ cm/min$.
ઋણ નિશાની જાડાઈમાં ઘટાડો સૂચવે છે.
તેથી,જાડાઈ ઘટવાનો દર $\frac{1}{18\pi} \ cm/min$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $v$ એ ઘનફળ છે અને $s$ એ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર ફુગ્ગાનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે: $\frac{dv}{dt} = 30 \ cm^3/min$.
ગોળાનું ઘનફળ $v = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dv}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $30 = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{30}{4 \pi r^2} = \frac{15}{2 \pi r^2}$.
ગોળાનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $s = 4 \pi r^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{ds}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt}$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{ds}{dt} = 8 \pi r \left( \frac{15}{2 \pi r^2} \right) = \frac{60}{r}$.
$r = 6 \ cm$ માટે: $\frac{ds}{dt} = \frac{60}{6} = 10 \ cm^2/min$.

(B) આપેલ છે,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi \text{ cm}^3/\text{s}$ ...$(i)$
આપણે $\frac{dr}{dt}$ શોધવાનું છે જ્યારે $V = 288 \pi \text{ cm}^3$ હોય.
ધારો કે $r$ એ ગોળાકાર દડાની ત્રિજ્યા છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3} \pi (3r^2) \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
આપેલ દર $\frac{dV}{dt} = 4 \pi$ મૂકતા:
$4 \pi = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} \Rightarrow \frac{dr}{dt} = \frac{1}{r^2}$ ...(ii)
જ્યારે $V = 288 \pi$ હોય,ત્યારે:
$288 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \Rightarrow r^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 216$.
તેથી,$r = \sqrt[3]{216} = 6 \text{ cm}$.
સમીકરણ (ii) માં $r = 6$ મૂકતા:
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} \text{ cm/s}$.

(C) આપેલ વક્ર $y = 5x - 2x^3$ છે.
વક્રનો ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = 5 - 6x^2$ દ્વારા મળે છે.
આપણે સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં ઢાળમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dm}{dt}$ શોધવાનો છે.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $m$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dm}{dt} = \frac{d}{dt}(5 - 6x^2) = -12x \cdot \frac{dx}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dx}{dt} = 2 \text{ units/sec}$ અને આપણે $x = 3$ આગળ કિંમત શોધવાની છે:
$\left(\frac{dm}{dt}\right)_{x=3} = -12(3) \times 2 = -72$.
આમ,$x = 3$ આગળ ઢાળમાં થતો ફેરફારનો દર $-72 \text{ units/sec}^2$ છે.

(D) આપેલ અંતર વિધેય $s = 60t - 5t^2$ છે.
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં અંતરના ફેરફારનો દર છે,જે $v = \frac{ds}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(60t - 5t^2) = 60 - 10t$.
જ્યારે વેગ $v = 0$ થાય ત્યારે કણ સ્થિર થાય છે.
$60 - 10t = 0$ લેતા,આપણને $10t = 60$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t = 6 \text{ s}$.
હવે,$t = 6 \text{ s}$ પર કપાયેલું અંતર શોધીએ:
$s(6) = 60(6) - 5(6)^2$
$s(6) = 360 - 5(36)$
$s(6) = 360 - 180 = 180 \text{ એકમ}$.
આમ,સ્થિર થતા પહેલા કપાયેલું અંતર $180 \text{ એકમ}$ છે.

(B) ધારો કે $N(t)$ એ $t$ સમયે બેક્ટેરિયાની સંખ્યા છે. વૃદ્ધિ $N(t) = t^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બેક્ટેરિયાના વૃદ્ધિનો દર વિકલન $\frac{dN}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3) = 3t^2$ દ્વારા મળે છે.
આપણને આપેલ છે કે વૃદ્ધિનો દર $1200 \ \text{per } s$ છે.
તેથી,$3t^2 = 1200$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $t^2 = 400$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$t = \sqrt{400} = 20 \ s$.
આમ,લાગતો સમય $20 \ s$ છે.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A$ જેની બાજુ $a$ છે,તે નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2a \cdot \frac{da}{dt}$
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} a \cdot \frac{da}{dt}$
અહીં આપેલ છે કે બાજુ વધવાનો દર $\frac{da}{dt} = 2 \text{ cm s}^{-1}$ છે અને બાજુની લંબાઈ $a = 10 \text{ cm}$ છે,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 \times 2$
$\frac{dA}{dt} = 10 \sqrt{3} \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1}$
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $10 \sqrt{3} \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1}$ ના દરે વધે છે.

(D) ધારો કે $r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે,ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 0.04 \text{ cm/sec}$ છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3} \pi (3r^2) \cdot \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \cdot \frac{dr}{dt} \quad \dots(i)$
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $S = 4 \pi r^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dS}{dt} = 4 \pi (2r) \cdot \frac{dr}{dt} = 8 \pi r \cdot \frac{dr}{dt} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dV/dt}{dS/dt} = \frac{dV}{dS} = \frac{4 \pi r^2 \cdot \frac{dr}{dt}}{8 \pi r \cdot \frac{dr}{dt}}$
$\frac{dV}{dS} = \frac{r}{2}$
$r = 10 \text{ cm}$ આપેલ હોવાથી,કિંમત મૂકતા:
$\frac{dV}{dS} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$.
આમ,પૃષ્ઠફળની સાપેક્ષમાં ઘનફળમાં થતો વધારાનો દર $5 \text{ cm}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(C) ધારો કે નિસરણીના નીચેના છેડાનું દીવાલથી અંતર $x$ છે અને ઉપરના છેડાની જમીનથી ઊંચાઈ $y$ છે.
નિસરણીની લંબાઈ $5 \ m$ આપેલી છે,તેથી પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$ થાય.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$ થાય.
અહીં $\frac{dx}{dt} = 3 \ m/sec$ અને નિસરણી નીચે ઉતરે છે તેથી $\frac{dy}{dt} = -4 \ m/sec$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $x(3) + y(-4) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $3x = 4y$ અથવા $x = \frac{4}{3}y$.
હવે $x = \frac{4}{3}y$ ને મૂળ સમીકરણ $x^2 + y^2 = 25$ માં મૂકતા:
$(\frac{4}{3}y)^2 + y^2 = 25$
$\frac{16}{9}y^2 + y^2 = 25$
$\frac{25}{9}y^2 = 25$
$y^2 = 9$
$y = 3 \ m$ (કારણ કે ઊંચાઈ હંમેશા ધન હોય છે).
આમ,ઉપરના છેડાની ઊંચાઈ $3 \ m$ છે.

(B) ધારો કે $V$ એ ઘનફળ છે અને $S$ એ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર ફુગ્ગાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે।
આપેલ છે કે, હવા બહાર નીકળવાનો દર $\frac{dV}{dt} = -4 \,m^3 / min$ છે (કારણ કે હવા બહાર નીકળે છે, તેથી ઘનફળ ઘટે છે)।
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે।
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે।
$r = 8 \,m$ પર આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$-4 = 4 \pi (8)^2 \frac{dr}{dt} \Rightarrow -4 = 256 \pi \frac{dr}{dt} \Rightarrow \frac{dr}{dt} = -\frac{1}{64 \pi} \,m / min$.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ છે।
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, $\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ મળે।
$r = 8 \,m$ અને $\frac{dr}{dt} = -\frac{1}{64 \pi} \,m / min$ મૂકતા:
$\frac{dS}{dt} = 8 \pi (8) \left( -\frac{1}{64 \pi} \right) = -1 \,m^2 / min$.
આમ, સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $1 \,m^2 / min$ ના દરે ઘટી રહ્યું છે।

(B) ધારો કે $x$ એ સમઘનની ધારની લંબાઈ છે અને $V$ એ તેનું ઘનફળ છે.
આપેલ છે કે ધારની લંબાઈમાં ફેરફારનો દર $\frac{dx}{dt} = 1 \text{ cm/sec}$ છે.
સમઘનનું ઘનફળ $V = x^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$ મળે છે.
જ્યારે ધારની લંબાઈ $x = 5 \text{ cm}$ હોય,ત્યારે આપણે વિકલિતમાં કિંમતો મૂકીએ:
$\frac{dV}{dt} = 3(5)^2(1) = 3 \times 25 \times 1 = 75 \text{ cc/sec}$.
આમ,ઘનફળમાં થતા ફેરફારનો દર $75 \text{ cc/sec}$ છે.