Rate of Change of Quantities Questions in Gujarati

(B) ધારો કે ગોળાકાર ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા $r$ છે. આપેલ છે કે ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ એ $\frac{dV}{dt} = 35 \, cc/min$ ના દરે વધે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
વ્યાસ $d = 14 \, cm$ આપેલ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 7 \, cm$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $35 = 4\pi (7)^2 \frac{dr}{dt} = 196\pi \frac{dr}{dt}$.
આમ,$\frac{dr}{dt} = \frac{35}{196\pi} = \frac{5}{28\pi} \, cm/min$.
પૃષ્ઠફળ $S = 4\pi r^2$ છે. પૃષ્ઠફળમાં થતા વધારાનો દર $\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ છે.
$r = 7$ અને $\frac{dr}{dt} = \frac{5}{28\pi}$ મૂકતા:
$\frac{dS}{dt} = 8\pi (7) \left( \frac{5}{28\pi} \right) = 56\pi \left( \frac{5}{28\pi} \right) = 2 \times 5 = 10 \, cm^2/min$.

(D) આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $s$ એ વેગ $v$ ના વર્ગના પ્રમાણમાં છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$s = kv^2$,જ્યાં $k$ એ પ્રમાણસરતાનો અચળાંક છે.
$v^2$ માટે ગોઠવતા,આપણને મળે $v^2 = \frac{1}{k} s$.
ધારો કે $C = \frac{1}{k}$,તેથી $v^2 = Cs$.
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dt}(v^2) = \frac{d}{dt}(Cs)$
$2v \frac{dv}{dt} = C \frac{ds}{dt}$
કારણ કે $\frac{dv}{dt} = a$ (પ્રવેગ) અને $\frac{ds}{dt} = v$ (વેગ),તેથી:
$2v a = Cv$
ધારો કે $v \neq 0$,$v$ વડે ભાગતા:
$2a = C$
$a = \frac{C}{2}$
જેથી $C$ અચળ હોવાથી,પ્રવેગ $a$ પણ અચળ છે.

(A) નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 2rh \frac{dr}{dt} + r^2 \frac{dh}{dt} \right)$.
આપેલ છે: $r = 4 \, m$,$h = 6 \, m$,$\frac{dr}{dt} = 3 \, m/sec$,અને $\frac{dh}{dt} = -4 \, m/sec$ (કારણ કે ઊંચાઈ ઘટી રહી છે).
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left[ 2(4)(6)(3) + (4)^2(-4) \right]$.
$\frac{dV}{dt} = \pi [144 - 64] = 80\pi \, m^3/sec$.

(B) ધારો કે નિસરણીના નીચેના છેડાનું દીવાલથી અંતર $x$ છે અને ઉપરના છેડાની જમીનથી ઊંચાઈ $y$ છે.
નિસરણીની લંબાઈ $10 \, m$ હોવાથી,આપણી પાસે સંબંધ $x^2 + y^2 = 10^2 = 100$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$
અહીં $\frac{dx}{dt} = 3 \, cm/sec$ અને $\frac{dy}{dt} = -4 \, cm/sec$ આપેલ છે (કારણ કે ઊંચાઈ ઘટી રહી છે).
આ કિંમતો મૂકતા:
$x(3) + y(-4) = 0$
$3x = 4y \implies x = \frac{4}{3}y$
હવે $x = \frac{4}{3}y$ ને મૂળ સમીકરણ $x^2 + y^2 = 100$ માં મૂકતા:
$(\frac{4}{3}y)^2 + y^2 = 100$
$\frac{16}{9}y^2 + y^2 = 100$
$\frac{25}{9}y^2 = 100$
$y^2 = 100 \times \frac{9}{25} = 36$
$y = 6 \, m$.
આમ,ઉપરના છેડાની ઊંચાઈ $6 \, m$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^3$ અને $g(x) = 6x^2 + 15x + 5$.
$f(x)$ એ $g(x)$ કરતા ઓછી ઝડપથી વધે તે માટે,$f(x)$ ના બદલાવનો દર $g(x)$ ના બદલાવના દર કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $f'(x) < g'(x)$.
વિકલન કરતા: $f'(x) = 3x^2$ અને $g'(x) = 12x + 15$.
અસમતા બનાવતા: $3x^2 < 12x + 15$.
પદોને ગોઠવતા: $3x^2 - 12x - 15 < 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $x^2 - 4x - 5 < 0$.
અવયવ પાડતા: $(x - 5)(x + 1) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $x$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 4x - 5 = 0$ ના બીજ $-1$ અને $5$ ની વચ્ચે હોય.
તેથી,માંગેલ અંતરાલ $(-1, 5)$ છે.

(C) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર ફુગ્ગાનું ઘનફળ $V$ અને પૃષ્ઠફળ $S$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 40 \ cm^3/\min$.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $40 = 4\pi (8)^2 \frac{dr}{dt} \implies 40 = 256\pi \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{40}{256\pi} = \frac{5}{32\pi} \ cm/\min$.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $S = 4\pi r^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ મળે.
$r = 8$ અને $\frac{dr}{dt} = \frac{5}{32\pi}$ મૂકતા:
$\frac{dS}{dt} = 8\pi \times 8 \times \frac{5}{32\pi} = 64\pi \times \frac{5}{32\pi} = 2 \times 5 = 10 \ cm^2/\min$.

(B) ધારો કે $AB$ એ $4.5 \ m$ ઊંચાઈ ધરાવતો લેમ્પ પોસ્ટ છે અને $PQ$ એ $1.8 \ m$ ઊંચાઈ ધરાવતો માણસ છે. ધારો કે માણસ લેમ્પ પોસ્ટથી $y$ અંતરે છે,તેથી $QB = y$. ધારો કે પડછાયાની લંબાઈ $x$ છે,તેથી $CQ = x$.
સમરૂપ ત્રિકોણ $\triangle AB C$ અને $\triangle PQC$ પરથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{PQ}{AB} = \frac{CQ}{CB}$
$\frac{1.8}{4.5} = \frac{x}{x + y}$
$\frac{2}{5} = \frac{x}{x + y}$
$2(x + y) = 5x$
$2x + 2y = 5x$
$3x = 2y$
$x = \frac{2}{3}y$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = \frac{2}{3} \frac{dy}{dt}$
આપેલ છે કે માણસ $\frac{dy}{dt} = 1.2 \ m/sec$ ના દરે દૂર જઈ રહ્યો છે,તેથી:
$\frac{dx}{dt} = \frac{2}{3} \times 1.2 = 0.8 \ m/sec$.
આમ,પડછાયો $0.8 \ m/sec$ ના દરે લંબાઈ રહ્યો છે.

(A) આપેલ અંતરનું વિધેય $s(t) = t^3 + 2t^2 + t$ છે.
કણની ઝડપ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં અંતરના ફેરફારનો દર છે,જે $v = \frac{ds}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
$s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$v = \frac{d}{dt}(t^3 + 2t^2 + t) = 3t^2 + 4t + 1$.
$1$ સેકન્ડ પછીની ઝડપ શોધવા માટે,$v$ ના સમીકરણમાં $t = 1$ મૂકતા:
$v(1) = 3(1)^2 + 4(1) + 1 = 3 + 4 + 1 = 8 \, cm/sec$.
આમ,$1$ સેકન્ડ પછી કણની ઝડપ $8 \, cm/sec$ હશે.

(D) ધારો કે ચોરસની બાજુ $x$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
આપેલ છે કે બાજુના બદલાવાનો દર $\frac{dx}{dt} = 4 \text{ cm/min}$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dA}{dt} = 2x \frac{dx}{dt}$ મળે છે.
જ્યારે બાજુ $x = 8 \text{ cm}$ હોય,ત્યારે ક્ષેત્રફળના બદલાવાનો દર:
$\frac{dA}{dt} = 2 \times 8 \times 4 = 64 \text{ cm}^2/\text{min}$ થાય છે.

(C) ધારો કે ગોળાકાર બલૂનનું ઘનફળ $V$ અને સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S$ છે,જ્યાં ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ છે: $\frac{dV}{dt} = 40 \text{ cm}^3/\text{min}$ અને $r = 8 \text{ cm}$.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $40 = 4\pi (8)^2 \frac{dr}{dt} \Rightarrow 40 = 256\pi \frac{dr}{dt} \Rightarrow \frac{dr}{dt} = \frac{40}{256\pi} = \frac{5}{32\pi} \text{ cm/min}$.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4\pi r^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$.
$r = 8$ અને $\frac{dr}{dt} = \frac{5}{32\pi}$ મૂકતા:
$\frac{dS}{dt} = 8\pi \times 8 \times \frac{5}{32\pi} = 64\pi \times \frac{5}{32\pi} = 2 \times 5 = 10 \text{ cm}^2/\text{min}$.

(B) ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ આપેલ છે.
$V$ નો $t$ ની સાપેક્ષમાં બદલાવાનો દર શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{4}{3}\pi r^3 \right) = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 \cdot \frac{dr}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
અહીં $r = 10$ અને $\frac{dr}{dt} = 0.01$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi (10)^2 (0.01) = 4\pi (100) (0.01) = 4\pi (1) = 4\pi$.

(A) ગોળાકાર ફુગ્ગાનું ઘનફળ $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
અહીં $\frac{dV}{dt} = 900 \ cm^3/sec$ અને ત્રિજ્યા $r = 15 \ cm$ આપેલ છે,તેથી:
$900 = 4 \pi (15)^2 \frac{dr}{dt}$.
$900 = 4 \pi (225) \frac{dr}{dt}$.
$900 = 900 \pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt}$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{dr}{dt} = \frac{900}{900 \pi} = \frac{1}{\pi} \ cm/sec$.
આમ,ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા વધવાનો દર $1/\pi \ cm/sec$ છે.

(C) ધારો કે કોઈપણ ક્ષણ $t$ સમયે નળાકારની ત્રિજ્યા $r$,ઊંચાઈ $h$ અને ઘનફળ $V$ છે.
અહીં $\frac{dr}{dt} = 3 \text{ m/s}$ અને $\frac{dh}{dt} = -4 \text{ m/s}$ આપેલ છે.
જ્યારે $r = 4 \text{ m}$ અને $h = 6 \text{ m}$ હોય ત્યારે $\frac{dV}{dt}$ શોધવાનું છે.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( r^2 \frac{dh}{dt} + h \cdot 2r \frac{dr}{dt} \right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( (4)^2(-4) + 6 \cdot 2(4)(3) \right)$.
$\frac{dV}{dt} = \pi (-64 + 144) = 80\pi \text{ m}^3/\text{s}$.

(A) $v$ ને કણના વેગ તરીકે અને $s$ ને કાપેલા અંતર તરીકે લો.
આપેલ છે કે $v \propto \sqrt{s}$,જેનો અર્થ છે કે $v = k\sqrt{s}$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
પ્રવેગ $a$ ને $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = v \frac{dv}{ds}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$v = k\sqrt{s}$ હોવાથી,$\frac{dv}{ds} = k \cdot \frac{1}{2\sqrt{s}} = \frac{k}{2\sqrt{s}}$ મળે.
આ કિંમતોને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = (k\sqrt{s}) \cdot \left( \frac{k}{2\sqrt{s}} \right) = \frac{k^2}{2}$.
અહીં $k$ અચળ હોવાથી,$a = \frac{k^2}{2}$ પણ અચળ છે.
તેથી,કણનો પ્રવેગ અચળ છે.

(C) સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $s = 13.8t - 4.9t^2$ આપેલ છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે,જે $v = \frac{ds}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
$s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$v = \frac{d}{dt}(13.8t - 4.9t^2) = 13.8 - 9.8t$.
$t = 1$ સેકન્ડ પર વેગ શોધવા માટે,વેગના સમીકરણમાં $t = 1$ મૂકતા:
$v(1) = 13.8 - 9.8(1) = 13.8 - 9.8 = 4.0 \text{ } m/s$.
આમ,$t = 1$ સેકન્ડ પર વેગ $4 \text{ } m/s$ છે.

(B) ધારો કે નિસરણી $PQ$ ની લંબાઈ $5 \ m$ છે. ધારો કે $P$ એ નિસરણીનો નીચેનો છેડો દિવાલથી $x$ અંતરે છે અને $Q$ એ નિસરણીનો ઉપરનો છેડો જમીનથી $y$ ઊંચાઈએ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$.
આપેલ છે કે નિસરણીનો નીચેનો છેડો દિવાલથી દૂર જવાનો દર $\frac{dx}{dt} = 2 \ m/sec$ છે.
જ્યારે $x = 4 \ m$ હોય ત્યારે આપણે ઊંચાઈ $y$ ઘટવાનો દર,એટલે કે $-\frac{dy}{dt}$ શોધવો છે.
જ્યારે $x = 4$ હોય,ત્યારે $x^2 + y^2 = 25$ માં કિંમત મૂકતા $4^2 + y^2 = 25$,તેથી $y^2 = 25 - 16 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $y = 3 \ m$.
$x^2 + y^2 = 25$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
જાણીતી કિંમતો $x = 4$,$y = 3$,અને $\frac{dx}{dt} = 2$ મૂકતા:
$2(4)(2) + 2(3) \frac{dy}{dt} = 0$
$16 + 6 \frac{dy}{dt} = 0$
$6 \frac{dy}{dt} = -16$
$\frac{dy}{dt} = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3} \ m/sec$.
ઊંચાઈ ઘટી રહી હોવાથી,ઘટવાનો દર $\frac{8}{3} \ m/sec$ છે.

(B) ધારો કે $t$ સમયે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $x$ છે અને ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુઓનું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2x \times \frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} x \frac{dx}{dt}$.
અહીં આપેલ છે કે $\frac{dx}{dt} = 2 \ cm/s$ અને $x = 10 \ cm$.
આ કિંમતોને વિકલનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 \times 2 = 10\sqrt{3} \ cm^2/s$.

(D) ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ પર બરફના પડની જાડાઈ $r$ છે અને બરફનું ઘનફળ $V$ છે.
આપેલ છે કે ઘનફળમાં થતો ફેરફાર $\frac{dV}{dt} = -50 \text{ cm}^3/\text{min}$ છે.
જ્યારે $r = 5 \text{ cm}$ હોય ત્યારે આપણે $\frac{dr}{dt}$ શોધવાનું છે.
બરફ સાથેના ગોળાની ત્રિજ્યા $(r + 10) \text{ cm}$ થાય.
બરફના પડનું ઘનફળ $V$ એ બરફ સાથેના ગોળાના ઘનફળમાંથી લોખંડના ગોળાનું ઘનફળ બાદ કરવાથી મળે:
$V = \frac{4}{3}\pi(r + 10)^3 - \frac{4}{3}\pi(10)^3$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi(r + 10)^2 \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો $\frac{dV}{dt} = -50$ અને $r = 5$ મૂકતા:
$-50 = 4\pi(5 + 10)^2 \frac{dr}{dt}$.
$-50 = 4\pi(15)^2 \frac{dr}{dt}$.
$-50 = 4\pi(225) \frac{dr}{dt}$.
$-50 = 900\pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \text{ cm/min}$.
આમ,બરફના પડની જાડાઈ ઘટવાનો દર $1/(18\pi) \text{ cm/min}$ છે.

(A) ધારો કે વમળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને વમળ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
આપેલ છે કે,ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફાર $\frac{dr}{dt} = 3.5 \text{ cm/sec}$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
જે ક્ષણે $r = 7.5 \text{ cm}$ હોય,ત્યારે કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \times \pi \times 7.5 \times 3.5$.
$\frac{dA}{dt} = 15 \times 3.5 \times \pi$.
$\frac{dA}{dt} = 52.5 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $52.5 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$ ના દરે વધી રહ્યું છે.

(C) ધારો કે $y = \sqrt{x^2 + 16}$ અને $z = \frac{x}{x - 1}$.
પ્રથમ,$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 16}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}}$.
ત્યારબાદ,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $z$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dz}{dx} = \frac{(x - 1)(1) - x(1)}{(x - 1)^2} = \frac{-1}{(x - 1)^2}$.
હવે,$y$ નો $z$ ની સાપેક્ષ બદલવાનો દર:
$\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}} \cdot (-(x - 1)^2) = \frac{-x(x - 1)^2}{\sqrt{x^2 + 16}}$.
$x = 3$ કિંમત મૂકતા:
$\left( \frac{dy}{dz} \right)_{x = 3} = \frac{-3(3 - 1)^2}{\sqrt{3^2 + 16}} = \frac{-3(2^2)}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{-3(4)}{\sqrt{25}} = \frac{-12}{5}$.

(D) ધારો કે $x$ એ બરફની જાડાઈ છે. બરફ સાથેના દડાની કુલ ત્રિજ્યા $r = (10 + x) \ cm$ છે.
બરફના પડનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi(10 + x)^3 - \frac{4}{3}\pi(10)^3$ થાય.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4\pi(10 + x)^2 \frac{dx}{dt}$ મળે.
અહીં $\frac{dV}{dt} = -50 \ cm^3/min$ આપેલ છે (બરફ ઓગળે છે તેથી ઘનફળ ઘટે છે).
જ્યારે $x = 5 \ cm$ હોય,ત્યારે $-50 = 4\pi(10 + 5)^2 \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 4\pi(15)^2 \frac{dx}{dt} = 4\pi(225) \frac{dx}{dt} = 900\pi \frac{dx}{dt}$.
તેથી,$\frac{dx}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \ cm/min$.
આમ,બરફની જાડાઈ ઘટવાનો દર $\frac{1}{18\pi} \ cm/min$ છે.

(B) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ: $x = At^2 + Bt + C$.
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનો ફેરફારનો દર છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(At^2 + Bt + C) = 2At + B$.
હવે,$4Ax - v^2$ પદમાં $x$ અને $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$4Ax - v^2 = 4A(At^2 + Bt + C) - (2At + B)^2$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$4Ax - v^2 = (4A^2t^2 + 4ABt + 4AC) - (4A^2t^2 + 4ABt + B^2)$.
સમાન પદોને દૂર કરીને સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$4Ax - v^2 = 4A^2t^2 - 4A^2t^2 + 4ABt - 4ABt + 4AC - B^2$.
$4Ax - v^2 = 4AC - B^2$.

(B) આપેલ વ્યાસ $ d = \frac{3}{2}(2x + 3) $ છે.
ત્રિજ્યા $ r = \frac{d}{2} = \frac{3}{4}(2x + 3) $.
$x$ ની સાપેક્ષમાં $r$ નું વિકલન કરતા,$ \frac{dr}{dx} = \frac{3}{4} \times 2 = \frac{3}{2} $ મળે છે.
ગોળાનું ઘનફળ $ V = \frac{4}{3}\pi r^3 $ છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં $V$ નું વિકલન કરતા:
$ \frac{dV}{dx} = \frac{dV}{dr} \times \frac{dr}{dx} $.
$ \frac{dV}{dx} = (4\pi r^2) \times \frac{dr}{dx} $.
$r$ અને $ \frac{dr}{dx} $ ની કિંમતો મૂકતા:
$ \frac{dV}{dx} = 4\pi \left[ \frac{3}{4}(2x + 3) \right]^2 \times \frac{3}{2} $.
$ \frac{dV}{dx} = 4\pi \times \frac{9}{16}(2x + 3)^2 \times \frac{3}{2} $.
$ \frac{dV}{dx} = \frac{27\pi}{8}(2x + 3)^2 $.

(A) ધારો કે ગોળાકાર પરપોટાની ત્રિજ્યા $r$ અને ઘનફળ $V$ છે. વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi r^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dA}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{dA}{dt} = 2 \text{ cm}^2/\text{s}$ અને $r = 6 \text{ cm}$,આ કિંમતો મૂકતા:
$2 = 8\pi(6) \frac{dr}{dt} \Rightarrow 2 = 48\pi \frac{dr}{dt} \Rightarrow \frac{dr}{dt} = \frac{1}{24\pi} \text{ cm/s}$.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે.
$r = 6$ અને $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{24\pi}$ મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi(6)^2 \left(\frac{1}{24\pi}\right) = 4\pi(36) \left(\frac{1}{24\pi}\right) = \frac{144\pi}{24\pi} = 6 \text{ cm}^3/\text{s}$.

(A) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $S = \frac{1}{2} ab \sin C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dS}{dC} = \frac{1}{2} ab \cos C$ મળે છે.
ધારો કે $\Delta S$ એ ક્ષેત્રફળ $S$ માં થતી ત્રુટિ છે જે ખૂણા $C$ માં $\Delta C = \alpha$ જેટલી ત્રુટિને અનુરૂપ છે.
તેથી,$\Delta S \approx \frac{dS}{dC} \cdot \Delta C = \frac{1}{2} ab \cos C \cdot \alpha$.
ક્ષેત્રફળમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta S}{S}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta S}{S} = \frac{\frac{1}{2} ab \cos C \cdot \alpha}{\frac{1}{2} ab \sin C} = \alpha \cot C$ મળે છે.

(B) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ: $x = t^3 - 12t^2 + 6t + 8$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = 3t^2 - 24t + 6$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = 6t - 24$.
જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય તે ક્ષણે: $a = 0 \Rightarrow 6t - 24 = 0 \Rightarrow t = 4 \text{ s}$.
હવે,વેગના સમીકરણમાં $t = 4$ મૂકતા: $v = 3(4)^2 - 24(4) + 6$.
$v = 3(16) - 96 + 6 = 48 - 96 + 6 = -42 \text{ units/s}$.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $x$ છે.
ચોરસનો વિકર્ણ $R = \sqrt{x^2 + x^2} = x\sqrt{2}$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = x^2$ છે.
ક્ષેત્રફળના સમીકરણ પરથી,$x = \sqrt{A}$ મળે.
આ કિંમત વિકર્ણના સમીકરણમાં મૂકતા,$R = \sqrt{2} \cdot \sqrt{A} = \sqrt{2A}$ મળે.
હવે,$R$ નું $A$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dR}{dA} = \frac{d}{dA}(\sqrt{2} \cdot A^{1/2}) = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} A^{-1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{A}} = \frac{1}{\sqrt{2A}}$.
ચોરસના વિકર્ણ $R = \sqrt{2A}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે:
$\frac{dR}{dA} = \frac{1}{R}$.

(D) ધારો કે $y = x^3 - 5x^2 + 5x + 8$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં $y$ ના બદલાવનો દર $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \times \frac{dx}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dy}{dt} = 2 \frac{dx}{dt}$,તેથી:
$(3x^2 - 10x + 5) \frac{dx}{dt} = 2 \frac{dx}{dt}$.
ધારો કે $\frac{dx}{dt} \neq 0$,બંને બાજુ $\frac{dx}{dt}$ વડે ભાગતા:
$3x^2 - 10x + 5 = 2$.
$3x^2 - 10x + 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(3x - 1)(x - 3) = 0$.
તેથી,$x = 3$ અથવા $x = \frac{1}{3}$.

(D) અહીં પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 18x$ આપેલ છે.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dt} = 18 \frac{dx}{dt}$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $y \frac{dy}{dt} = 9 \frac{dx}{dt}$ (સમીકરણ $1$) થાય છે.
અહીં આપેલ છે કે $y$-યામના બદલાવનો દર એ $x$-યામના બદલાવના દર કરતા બમણો છે,એટલે કે $\frac{dy}{dt} = 2 \frac{dx}{dt}$.
આ કિંમત સમીકરણ $1$ માં મુકતા,$y(2 \frac{dx}{dt}) = 9 \frac{dx}{dt}$ મળે.
જો $\frac{dx}{dt} \neq 0$ હોય,તો $2y = 9$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $y = \frac{9}{2}$.
હવે $y = \frac{9}{2}$ ને મૂળ સમીકરણ $y^2 = 18x$ માં મુકતા,$\left( \frac{9}{2} \right)^2 = 18x$ મળે.
આથી $\frac{81}{4} = 18x$,તેથી $x = \frac{81}{4 \times 18} = \frac{9}{8}$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $\left( \frac{9}{8}, \frac{9}{2} \right)$ છે.

(C) ગોલકનું પૃષ્ઠફળ $A$ અને તેની ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $A = 4\pi r^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$.
અહીં $\frac{dr}{dt} = 0.1 \ cm/s$ અને $r = 200 \ cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મુકતા:
$\frac{dA}{dt} = 8\pi \times 200 \times 0.1$.
$\frac{dA}{dt} = 160\pi \ cm^2/s$.

(B) ધારો કે કોઈપણ ક્ષણ $t$ સમયે પાણીની ઊંચાઈ $h$ અને ઘનફળ $V$ છે.
નળાકાર પાત્રની ત્રિજ્યા $r = 2 \text{ cm}$ આપેલ છે.
ઘનફળમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = 8 \text{ cm}^3/\text{s}$ આપેલ છે.
નળાકારમાં પાણીનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$r = 2$ કિંમત મૂકતા,$V = \pi (2)^2 h = 4\pi h$ મળે.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4\pi \frac{dh}{dt}$ મળે.
આપેલ કિંમત $\frac{dV}{dt} = 8$ મૂકતા,$8 = 4\pi \frac{dh}{dt}$ થાય.
તેથી,$\frac{dh}{dt} = \frac{8}{4\pi} = \frac{2}{\pi} \text{ cm/s}$.

(A) ધારો કે ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે અને પૃષ્ઠફળ $S = 4\pi r^2$ છે.
આપણે પૃષ્ઠફળની સાપેક્ષ ઘનફળનો વૃદ્ધિદર શોધવાનો છે,જે $\frac{dV}{dS}$ છે.
પ્રથમ,$V$ નું $r$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2$.
ત્યારબાદ,$S$ નું $r$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $\frac{dS}{dr} = 8\pi r$.
ચેઈન રૂલ (સાંકળના નિયમ) મુજબ,$\frac{dV}{dS} = \frac{dV/dr}{dS/dr} = \frac{4\pi r^2}{8\pi r}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{dV}{dS} = \frac{r}{2}$ મળે છે.

(C) અહીં,$x = t^3 - 9t^2 + 24t + 6$ આપેલ છે.
વેગ $v$ એ $x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = 3t^2 - 18t + 24$.
પ્રવેગ $a$ એ $x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં દ્વિતીય વિકલન છે:
$a = \frac{d^2x}{dt^2} = 6t - 18$.
આપેલ છે કે પ્રવેગ $a = 6$:
$6t - 18 = 6$
$6t = 24$
$t = 4$.
હવે,$t = 4$ ને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = 3(4)^2 - 18(4) + 24$
$v = 3(16) - 72 + 24$
$v = 48 - 72 + 24$
$v = 0$ એકમ.

(A) ધારો કે $t$ સમયે પ્રથમ સાયકલ સવાર $A$ સ્થાને અને બીજો સાયકલ સવાર $B$ સ્થાને છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $x$ છે.
આપેલ છે કે $OA = 4t$ અને $OB = 3t$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ $\triangle OAB$ માં:
$x^2 = (OA)^2 + (OB)^2 - 2(OA)(OB) \cos(120^{\circ})$
$x^2 = (4t)^2 + (3t)^2 - 2(4t)(3t) \left(-\frac{1}{2}\right)$
$x^2 = 16t^2 + 9t^2 + 12t^2$
$x^2 = 37t^2$
$x = \sqrt{37}t$
તેમના વચ્ચેનું અંતર વધવાનો દર $\frac{dx}{dt}$ છે.
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\sqrt{37}t) = \sqrt{37} \text{ km/h}$.

(B) ધારો કે સીડી,દીવાલ અને જમીન દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં સીડી એ કર્ણ છે.
ધારો કે માણસનું દીવાલથી સીડી પરનું અંતર $x$ છે.
ધારો કે માણસનું દીવાલથી આડું અંતર $y$ છે.
સીડી અને દીવાલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 30^\circ$ છે.
ત્રિકોણમિતિ મુજબ,આડું અંતર $y = x \sin(\theta)$ થાય.
અહીં,$\theta = 30^\circ$ હોવાથી,$y = x \sin(30^\circ) = x \times \frac{1}{2}$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt} \times \frac{1}{2}$ મળે.
આપેલ છે કે સીડી ચડવાનો દર $\frac{dx}{dt} = 3 \text{ ft/sec}$ છે.
તેથી,દીવાલ તરફ પહોંચવાનો દર $\frac{dy}{dt} = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \text{ ft/sec}$ થાય.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y = x^2 + 2x$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $x$ અને $y$ યામ સમાન દરથી બદલાય છે,એટલે કે $\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{dy/dt}{dx/dt} = 1$.
વક્રના સમીકરણ $y = x^2 + 2x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = (2x + 2) \frac{dx}{dt}$.
બંને બાજુ $\frac{dx}{dt}$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy/dt}{dx/dt} = 2x + 2$.
$\frac{dy/dt}{dx/dt} = 1$ હોવાથી:
$1 = 2x + 2$.
$2x = 1 - 2 = -1$.
$x = -\frac{1}{2}$.
હવે,$y$ શોધવા માટે $x = -\frac{1}{2}$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = (-\frac{1}{2})^2 + 2(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $\left( -\frac{1}{2}, -\frac{3}{4} \right)$ છે.

(A) ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ પર માણસ થાંભલાથી $x$ અંતરે છે અને દિવાલ પર તેના પડછાયાની ઊંચાઈ $y$ છે. થાંભલાથી દિવાલનું કુલ અંતર $12 \ m$ છે. જ્યારે માણસ દિવાલથી $8 \ m$ દૂર હોય,ત્યારે તેનું થાંભલાથી અંતર $x = 12 - 8 = 4 \ m$ થાય. આપેલ છે કે $dx/dt = 1/2 \ m/s$.
સમરૂપ ત્રિકોણોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{y}{2} = \frac{12}{x}$
$y = \frac{24}{x}$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = -\frac{24}{x^2} \cdot \frac{dx}{dt}$
જ્યારે $x = 4$ અને $dx/dt = 1/2$ હોય ત્યારે:
$\frac{dy}{dt} = -\frac{24}{16} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} \ m/s$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પડછાયાની લંબાઈ ઘટી રહી છે. તેથી,પડછાયાની લંબાઈ ઘટવાનો દર $3/4 \ m/s$ છે.

(D) ધારો કે સમઘનની ધારની લંબાઈ $x$ છે અને તેનું પૃષ્ઠફળ $A$ છે. સમઘનનું પૃષ્ઠફળ $A = 6x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dA}{dt} = 2 \ cm^2/sec$.
$A$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dA}{dt} = 12x \frac{dx}{dt}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $2 = 12 \times 90 \times \frac{dx}{dt}$.
તેથી,$\frac{dx}{dt} = \frac{2}{12 \times 90} = \frac{1}{540} \ cm/sec$.
સમઘનનું ઘનફળ $V = x^3$ છે.
$V$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$ મળે છે.
$x = 90$ અને $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{540}$ મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = 3 \times (90)^2 \times \frac{1}{540} = 3 \times 8100 \times \frac{1}{540} = \frac{24300}{540} = 45 \ cm^3/sec$.

(C) ધારો કે $x$ એ દિવાલથી નિસરણીના પાયાનું અંતર છે અને $y$ એ દિવાલ પર નિસરણીની ઊંચાઈ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + y^2 = 10^2 = 100$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$ મળે.
આપેલ છે કે $x = 6 \ m$ અને $\frac{dx}{dt} = 2 \ m/min$.
જ્યારે $x = 6$,ત્યારે $y = \sqrt{100 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \ m$.
આ કિંમતોને વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(6)(2) + 2(8) \frac{dy}{dt} = 0$
$24 + 16 \frac{dy}{dt} = 0$
$16 \frac{dy}{dt} = -24$
$\frac{dy}{dt} = -\frac{24}{16} = -\frac{3}{2} \ m/min$.
આમ,ઊંચાઈ $3/2 \ m/min$ ના દરે ઘટી રહી છે.

(C) ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તેનું પૃષ્ઠફળ $S$ છે.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $S = 4\pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે ત્રિજ્યાના બદલવાનો દર $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/s}$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં $S$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(4\pi r^2) = 4\pi \times 2r \times \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt}$ ની આપેલી કિંમત મૂકતા:
$\frac{dS}{dt} = 8\pi r \times 2 = 16\pi r$.
અહીં $16\pi$ એ અચળાંક હોવાથી,$\frac{dS}{dt} \propto r$ મળે છે.
તેથી,પૃષ્ઠફળના બદલવાનો દર $r$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(C) ફુગ્ગાનું પ્રારંભિક કદ $V_i = 4500\pi \text{ m}^3$ છે.
કદમાં ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = -72\pi \text{ m}^3/\text{min}$ છે.
$t = 49$ મિનિટ પછી,કદ $V$ થશે:
$V = 4500\pi - (72\pi \times 49) = 4500\pi - 3528\pi = 972\pi \text{ m}^3$.
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
$t = 49$ મિનિટ પર,$972\pi = \frac{4}{3}\pi r^3$,જેનો અર્થ છે કે $r^3 = \frac{972 \times 3}{4} = 729$.
તેથી,$r = \sqrt[3]{729} = 9 \text{ m}$.
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
કિંમતો મૂકતા: $-72\pi = 4\pi (9)^2 \frac{dr}{dt}$.
$-72\pi = 4\pi (81) \frac{dr}{dt} = 324\pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = -\frac{72\pi}{324\pi} = -\frac{2}{9}$.
આમ,ત્રિજ્યા ઘટવાનો દર $\frac{2}{9} \text{ m/min}$ છે.

(C) ઉત્પાદનમાં ફેરફારનો દર આપેલ છે: $\frac{dP}{dx} = 100 - 12\sqrt{x}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int dP = \int (100 - 12x^{1/2}) dx$
$P = 100x - 12 \times \frac{x^{3/2}}{3/2} + C$
$P = 100x - 8x^{3/2} + C$
શરૂઆતમાં,જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે ઉત્પાદન $P = 2000$ છે. આ કિંમતો મૂકતા:
$2000 = 100(0) - 8(0)^{3/2} + C \Rightarrow C = 2000$.
તેથી,ઉત્પાદન વિધેય $P = 100x - 8x^{3/2} + 2000$ છે.
$x = 25$ વધારાના કામદારો માટે,નવું ઉત્પાદન સ્તર:
$P = 100(25) - 8(25)^{3/2} + 2000$
$P = 2500 - 8(125) + 2000$
$P = 2500 - 1000 + 2000$
$P = 3500$.

(B) પથ્થરની ઊંચાઈનું વિધેય $s(t) = 24t - 0.8t^2$ આપેલ છે.
વેગ $v(t)$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાનના વિધેયનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(24t - 0.8t^2) = 24 - 1.6t$.
પ્રવેગ $a(t)$ શોધવા માટે,આપણે વેગના વિધેયનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(24 - 1.6t) = -1.6 \ m/s^2$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રવેગ નીચેની તરફ (ઉપરની ગતિની વિરુદ્ધ) કાર્યરત છે.
તેથી,ચંદ્રની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું મૂલ્ય $1.6 \ m/s^2$ છે.

(C) આપેલ અંતર $s = \sqrt{at^2 + bt + c}$,તેથી $s^2 = at^2 + bt + c$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2s \frac{ds}{dt} = 2at + b$
$\frac{ds}{dt} = \frac{2at + b}{2s}$
પ્રવેગ $f = \frac{d^2s}{dt^2}$ શોધવા માટે ફરીથી $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 \left( \frac{ds}{dt} \right)^2 + 2s \frac{d^2s}{dt^2} = 2a$
$s \frac{d^2s}{dt^2} = a - \left( \frac{ds}{dt} \right)^2$
$s \frac{d^2s}{dt^2} = a - \frac{(2at + b)^2}{4s^2} = \frac{4as^2 - (2at + b)^2}{4s^2}$
$s^2 = at^2 + bt + c$ મૂકતા:
$s \frac{d^2s}{dt^2} = \frac{4a(at^2 + bt + c) - (4a^2t^2 + 4abt + b^2)}{4s^2}$
$s \frac{d^2s}{dt^2} = \frac{4a^2t^2 + 4abt + 4ac - 4a^2t^2 - 4abt - b^2}{4s^2} = \frac{4ac - b^2}{4s^2}$
$\frac{d^2s}{dt^2} = \frac{4ac - b^2}{4s^3}$
કારણ કે $4ac - b^2$ અચળ છે,તેથી પ્રવેગ $f \propto s^{-3}$.

(D) ધારો કે વર્તુળાકાર તરંગની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 6 \text{ cm/sec}$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો $r = 10 \text{ cm}$ અને $\frac{dr}{dt} = 6 \text{ cm/sec}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi \times 10 \times 6 = 120 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારાનો દર $120 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$ છે.

(A) પરવલય $y^2 = 4x$ નું નાભિ $S(1, 0)$ છે. ધારો કે $P(T^2, 2T)$ એ વક્ર પરનું બિંદુ છે.
સદિશ $\vec{SP} = (T^2 - 1)\hat{i} + 2T\hat{j}$.
રેખા $x + y - 1 = 0$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}}$ છે.
$SP$ નો રેખા પરનો પ્રક્ષેપ $L = \frac{(T^2 - 1) - 2T}{\sqrt{2}} = \frac{T^2 - 2T - 1}{\sqrt{2}}$.
$t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dL}{dt} = \frac{1}{\sqrt{2}} (2T - 2) \frac{dT}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dx}{dt} = 4$. $x = T^2$ હોવાથી,$2T \frac{dT}{dt} = 4$. $P(4, 4)$ માટે $T = 2$,તેથી $\frac{dT}{dt} = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{dL}{dt} = \frac{1}{\sqrt{2}} (2(2) - 2)(1) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(D) લંબવૃત્તીય નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( r^2 \frac{dh}{dt} + 2rh \frac{dr}{dt} \right)$.
અહીં $\frac{dr}{dt} = 0.1 = \frac{1}{10} \text{ cm/min}$ અને $\frac{dh}{dt} = -0.2 = -\frac{2}{10} \text{ cm/min}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો વિકલિતના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( r^2 \left( -\frac{2}{10} \right) + 2rh \left( \frac{1}{10} \right) \right)$.
$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi r}{10} (-2r + 2h) = \frac{2\pi r}{10} (h - r) = \frac{\pi r}{5} (h - r)$.
જ્યારે $r = 2 \text{ cm}$ અને $h = 3 \text{ cm}$ હોય ત્યારે:
$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi (2)}{5} (3 - 2) = \frac{2\pi}{5} \text{ cm}^3/\text{min}$.

(D) નળાકાર પોટમાં કોફીનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ કોફીની સપાટીની ઊંચાઈ છે.
પોટનો વ્યાસ $15 \, cm$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{15}{2} \, cm$ થશે.
પોટ નળાકાર હોવાથી,જેમ સપાટી ઊંચી આવે તેમ ત્રિજ્યા $r$ અચળ રહે છે,તેથી $\frac{dr}{dt} = 0$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં ઘનફળનું વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = \pi r^2 \frac{dh}{dt}$.
આપણને $\frac{dV}{dt} = 100 \, cm^3/min$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$100 = \pi \left( \frac{15}{2} \right)^2 \frac{dh}{dt}$
$100 = \pi \left( \frac{225}{4} \right) \frac{dh}{dt}$
$\frac{dh}{dt} = \frac{100 \times 4}{225 \pi} = \frac{400}{225 \pi} = \frac{16}{9 \pi} \, cm/min$.
આમ,પોટમાં સપાટી ઊંચી આવવાનો દર $\frac{16}{9 \pi} \, cm/min$ છે.

(B) ધારો કે $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને $v = 20 \, km/hr$ એ ઘોડાની ઝડપ છે.
ધારો કે $\theta$ એ કોઈપણ સમયે $t$ પર વર્તુળના કેન્દ્રમાં ઘોડા દ્વારા બનતો ખૂણો છે.
વાડ પર છાયાનું સ્થાન $x = r \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dx}{dt} = r \sec^2 \theta \frac{d\theta}{dt}$ મળે છે.
ઘોડાની ઝડપ $v = r \frac{d\theta}{dt}$ હોવાથી,આપણી પાસે $\frac{d\theta}{dt} = \frac{v}{r}$ છે.
આ કિંમત $\frac{dx}{dt}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{dx}{dt} = r \sec^2 \theta \left(\frac{v}{r}\right) = v \sec^2 \theta$ મળે છે.
ઘોડો વર્તુળનો $1/8$ ભાગ કાપે છે,જેનો અર્થ છે કે ખૂણો $\theta = \frac{1}{8} \times 360^\circ = 45^\circ$ છે.
$\theta = 45^\circ$ પર,$\sec^2(45^\circ) = (\sqrt{2})^2 = 2$ થાય.
તેથી,છાયાની ઝડપ $\frac{dx}{dt} = 20 \times 2 = 40 \, km/hr$ છે.

(D) સમાન બાજુઓ $x$ અને અંતર્ગત ખૂણા $\theta$ ધરાવતા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} x^2 \sin\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફારનો દર શોધવા માટે,આપણે $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \left( 2x \frac{dx}{dt} \sin\theta + x^2 \cos\theta \frac{d\theta}{dt} \right) = x \frac{dx}{dt} \sin\theta + \frac{1}{2} x^2 \cos\theta \frac{d\theta}{dt}$.
આપેલ કિંમતો: $x = 12 \ m$,$\theta = \pi/4$,$\frac{dx}{dt} = 1/12 \ m/hr$,અને $\frac{d\theta}{dt} = \pi/180 \ \text{rad/hr}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = (12) \left( \frac{1}{12} \right) \sin(\pi/4) + \frac{1}{2} (12)^2 \cos(\pi/4) \left( \frac{\pi}{180} \right)$
$\frac{dA}{dt} = (1) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \frac{1}{2} (144) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{\pi}{180} \right)$
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{72}{\sqrt{2}} \left( \frac{\pi}{180} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2\pi}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( 1 + \frac{2\pi}{5} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{2} + \frac{\pi}{5} \right)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.