બે માણસો $A$ અને $B$ એક જ સમયે $45^{\circ}$ ના ખૂણે નમેલા બે રસ્તાઓના સંગમથી $v$ વેગ સાથે શરૂઆત કરે છે. જો તેઓ અલગ-અલગ રસ્તાઓ પર મુસાફરી કરે,તો તેઓ જે દરે અલગ થઈ રહ્યા છે તે શોધો.

(A) ધારો કે બે માણસો બિંદુ $C$ થી એક જ સમયે $v$ વેગ સાથે શરૂઆત કરે છે. વળી,$\angle BCA = 45^{\circ}$.
કારણ કે $A$ અને $B$ સમાન વેગ $v$ સાથે ગતિ કરી રહ્યા છે,તેથી તેઓ સમાન સમયમાં સમાન અંતર કાપશે.
તેથી,$\Delta ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $AC = BC$ છે. ધારો કે $AC = BC = x$ અને કોઈપણ ક્ષણે તેમની વચ્ચેનું અંતર $y = AB$ છે.
$CD \perp AB$ દોરો. $\Delta ACD$ અને $\Delta DCB$ માં:
$\angle CAD = \angle CBD$ (કારણ કે $AC = BC$)
$\angle CDA = \angle CDB = 90^{\circ}$
તેથી,$\angle ACD = \angle DCB = \frac{1}{2} \times \angle ACB = \frac{1}{2} \times 45^{\circ} = 22.5^{\circ} = \frac{\pi}{8}$.
$\Delta ACD$ માં,$\sin(\frac{\pi}{8}) = \frac{AD}{AC} = \frac{y/2}{x}$.
આમ,$y = 2x \sin(\frac{\pi}{8})$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = 2 \sin(\frac{\pi}{8}) \frac{dx}{dt} = 2v \sin(\frac{\pi}{8})$.
$\sin(\frac{\pi}{8}) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dt} = 2v \cdot \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} = v \sqrt{2-\sqrt{2}}$.