R त्रिज्या वाले एक गोले के भीतर अधिकतम आयतन व | vedclass

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Question

(A) माना गोले की त्रिज्या $R$ है। माना शंकु की ऊँचाई $h$ है और शंकु के आधार की त्रिज्या $x$ है। गोले की ज्यामिति से,गोले के केंद्र से शंकु के आधार की

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(A) माना गोले की त्रिज्या $R$ है। माना शंकु की ऊँचाई $h$ है और शंकु के आधार की त्रिज्या $x$ है। गोले की ज्यामिति से,गोले के केंद्र से शंकु के आधार की दूरी $|h - R|$ है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$x^2 + (h - R)^2 = R^2$। $x^2 = R^2 - (h^2 - 2hR + R^2) = 2hR - h^2$। शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3}\pi x^2 h = \frac{1}{3}\pi (2hR - h^2)h = \frac{1}{3}\pi (2Rh^2 - h^3)$ है। आयतन को अधिकतम करने के लिए,$h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3}\pi (4Rh - 3h^2)$। $\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर,$h(4R - 3h) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $h 
eq 0$,इसलिए $h = \frac{4}{3}R$। गोले का व्यास $D = 2R$ है। शंकु की ऊँचाई और गोले के व्यास का अनुपात $\frac{h}{D} = \frac{\frac{4}{3}R}{2R} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।

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