x के किन मानों के लिए फलन f(x) = sin x + cos | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \sin x + \cos 2x$। सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें $f'(x) = \cos x - 2 \sin 2x$। $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$f'(x

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$\frac{(2n+1)\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f(x) = \sin x + \cos 2x$। सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें $f'(x) = \cos x - 2 \sin 2x$। $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$f'(x) = \cos x - 4 \sin x \cos x = \cos x (1 - 4 \sin x)$ प्राप्त होता है। क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखें,जिससे $\cos x = 0$ या $\sin x = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है। अब,द्वितीय अवकलज $f''(x) = -\sin x - 4 \cos 2x$ ज्ञात करें। $x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ के लिए,$\sin x = (-1)^n$ और $\cos 2x = \cos((2n+1)\pi) = -1$ होता है। अतः,$f''((2n+1)\frac{\pi}{2}) = -(-1)^n - 4(-1) = 4 - (-1)^n$। यदि $n$ सम है,तो $f'' = 4 - 1 = 3 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)। यदि $n$ विषम है,तो $f'' = 4 - (-1) = 5 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)। अतः,फलन $x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ पर न्यूनतम है।

$x$ के किन मानों के लिए फलन $f(x) = \sin x + \cos 2x$ $(x > 0)$ न्यूनतम है?

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