Maxima and Minima Questions in Hindi

(A) फलन $f(x) = x^{1/x}$ को $x > 0$ के लिए लें।
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = \frac{1}{x} \ln(x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{x(\frac{1}{x}) - \ln(x)(1)}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$।
अतः,$f'(x) = x^{1/x} \left( \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \right)$।
जब $1 - \ln(x) > 0$ हो,तब $f'(x) > 0$,अर्थात $\ln(x) < 1$,जिसका अर्थ है $0 < x < e$।
जब $1 - \ln(x) < 0$ हो,तब $f'(x) < 0$,अर्थात $\ln(x) > 1$,जिसका अर्थ है $x > e$।
इसलिए,कथन-$II$ सत्य है।
अब,$e \approx 2.718$। चूंकि $2 < e < 3$,फलन $f(x)$ अंतराल $(0, e)$ पर बढ़ता है और $(e, \infty)$ पर घटता है।
$2^{1/2}$ और $3^{1/3}$ की तुलना करने पर: चूंकि $2 < 3 < e$,$f(2) < f(3)$,इसलिए $2^{1/2} < 3^{1/3}$।
$3^{1/3}$ और $4^{1/4}$ की तुलना करने पर: चूंकि $3 < e < 4$,$f(3)$ फलन $f(x)$ का $x$ के पूर्णांक मानों के लिए अधिकतम मान है।
चूंकि $x > e$ के लिए $f(x)$ घटता है,इसलिए $f(3) > f(4) > f(5) > f(6) > f(7)$।
अतः,दी गई संख्याओं में $3^{1/3}$ वास्तव में अधिकतम मान है।
इसलिए,कथन-$I$ सत्य है और कथन-$II$,कथन-$I$ का सही स्पष्टीकरण है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \sqrt{x^2 + x} + \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}$ है।
चूंकि $x > 0$,पद $\sqrt{x^2 + x}$ हमेशा धनात्मक है।
हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \ge GM)$ असमिका का उपयोग करते हैं,जिसके अनुसार धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,$\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$,या $a + b \ge 2\sqrt{ab}$ होता है।
माना $a = \sqrt{x^2 + x}$ और $b = \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}$ है।
अतः $f(x) = a + b \ge 2\sqrt{a \cdot b}$।
$f(x) \ge 2\sqrt{\sqrt{x^2 + x} \cdot \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}}$।
$f(x) \ge 2\sqrt{\tan^2 \alpha}$।
चूंकि $\alpha \in (0, \pi/2)$,$\tan \alpha > 0$,इसलिए $f(x) \ge 2 \tan \alpha$।
अतः $f(x)$ का न्यूनतम मान $2 \tan \alpha$ है।

(C) माना $f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 10$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2 = 5x^2(x^2 - 4x + 3) = 5x^2(x - 1)(x - 3)$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखें,जिससे $x = 0, 1, 3$ प्राप्त होता है।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = 20x^3 - 60x^2 + 30x$।
क्रांतिक बिंदुओं की प्रकृति की जाँच करें:
$x = 1$ पर: $f''(1) = 20(1)^3 - 60(1)^2 + 30(1) = 20 - 60 + 30 = -10 < 0$। चूँकि $f''(1) < 0$ है,इसलिए $x = 1$ स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है। अतः,$p = 1$।
$x = 3$ पर: $f''(3) = 20(3)^3 - 60(3)^2 + 30(3) = 540 - 540 + 90 = 90 > 0$। चूँकि $f''(3) > 0$ है,इसलिए $x = 3$ स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है। अतः,$q = 3$।
$x = 0$ पर: $f''(0) = 0$। प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर,$x = 0$ के आसपास $f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है (यह दोनों तरफ धनात्मक है),इसलिए $x = 0$ नति परिवर्तन बिंदु है,स्थानीय चरम बिंदु नहीं है।
अतः,$p = 1$ और $q = 3$।

(B) यहाँ $f(x) = (x + 1)^{\frac{1}{3}} - (x - 1)^{\frac{1}{3}}$ दिया गया है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{1}{3}(x + 1)^{-\frac{2}{3}} - \frac{1}{3}(x - 1)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{(x + 1)^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{(x - 1)^{\frac{2}{3}}} \right]$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$\frac{1}{(x + 1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{(x - 1)^{\frac{2}{3}}} \implies (x + 1)^2 = (x - 1)^2$.
$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 2x + 1 \implies 4x = 0 \implies x = 0$.
अब,अंतराल $[0, 1]$ के क्रांतिक बिंदु और अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$x = 0$ पर: $f(0) = (0 + 1)^{\frac{1}{3}} - (0 - 1)^{\frac{1}{3}} = 1 - (-1) = 2$.
$x = 1$ पर: $f(1) = (1 + 1)^{\frac{1}{3}} - (1 - 1)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3}} - 0 = \sqrt[3]{2} \approx 1.26$.
मानों $f(0) = 2$ और $f(1) = \sqrt[3]{2}$ की तुलना करने पर,अधिकतम मान $2$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - px + q$ है।
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज निकालते हैं: $f'(x) = 3x^2 - p$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $3x^2 = p$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = \frac{p}{3}$,इसलिए $x = \pm \sqrt{\frac{p}{3}}$।
अब,इन बिंदुओं की प्रकृति निर्धारित करने के लिए हम द्वितीय अवकलज निकालते हैं: $f''(x) = 6x$।
$x = \sqrt{\frac{p}{3}}$ पर,$f''(\sqrt{\frac{p}{3}}) = 6\sqrt{\frac{p}{3}} > 0$ (क्योंकि $p > 0$)। अतः,$f(x)$ का $x = \sqrt{\frac{p}{3}}$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
$x = -\sqrt{\frac{p}{3}}$ पर,$f''(-\sqrt{\frac{p}{3}}) = -6\sqrt{\frac{p}{3}} < 0$। अतः,$f(x)$ का $x = -\sqrt{\frac{p}{3}}$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(C) माना $y = x^x$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln y = x \ln x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$ मिलता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1)$ है।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखें। चूँकि $x > 0$ के लिए $x^x > 0$ होता है,इसलिए $\ln x + 1 = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $\ln x = -1$,अतः $x = e^{-1}$ है।
न्यूनतम मान की जाँच करने के लिए,हम द्वितीय अवकलज या प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं। $x < e^{-1}$ के लिए,$\ln x < -1$,इसलिए $\frac{dy}{dx} < 0$ है। $x > e^{-1}$ के लिए,$\ln x > -1$,इसलिए $\frac{dy}{dx} > 0$ है।
चूँकि अवकलज का चिह्न $x = e^{-1}$ पर ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए फलन का न्यूनतम मान $x = e^{-1}$ पर प्राप्त होता है।

(B) माना $f(x) = (1/x)^x = x^{-x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = -x \ln(x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{f'(x)}{f(x)} = -(\ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}) = -(\ln(x) + 1)$ मिलता है।
अतः,$f'(x) = -(1/x)^x (\ln(x) + 1)$ है।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखने पर,$\ln(x) + 1 = 0$,अर्थात $\ln(x) = -1$,जिससे $x = 1/e$ प्राप्त होता है।
उच्चतम मान की जाँच करने के लिए,हम द्वितीय अवकलज का उपयोग करते हैं या $f'(x)$ के चिह्न में परिवर्तन देखते हैं।
$x < 1/e$ के लिए,$\ln(x) < -1$,इसलिए $f'(x) > 0$ है।
$x > 1/e$ के लिए,$\ln(x) > -1$,इसलिए $f'(x) < 0$ है।
चूंकि $x = 1/e$ पर $f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक हो जाता है,इसलिए $f(x)$ का $x = 1/e$ पर स्थानीय उच्चतम मान है।
अधिकतम मान $f(1/e) = (1/(1/e))^{1/e} = e^{1/e}$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} dt$.
कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,$x > 0$ के लिए $f'(x) = \frac{\sin x}{x}$ है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें,जिसका अर्थ है $\sin x = 0$,अतः $x = n\pi$ जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
द्वितीय अवकलज $f''(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$ है।
$x = n\pi$ पर,$f''(n\pi) = \frac{n\pi \cos(n\pi) - \sin(n\pi)}{(n\pi)^2} = \frac{n\pi (-1)^n - 0}{(n\pi)^2} = \frac{(-1)^n}{n\pi}$ है।
यदि $n$ विषम है,तो $f''(n\pi) = \frac{-1}{n\pi} < 0$,जो स्थानीय उच्चिष्ठ (local maximum) को दर्शाता है।
यदि $n$ सम है,तो $f''(n\pi) = \frac{1}{n\pi} > 0$,जो स्थानीय निम्निष्ठ (local minimum) को दर्शाता है।
अतः,फलन का मान $x = n\pi$ पर उच्चिष्ठ है जहाँ $n$ विषम है।

(C) माना $f(x) = \sin x(1 + \cos x) = \sin x + \sin x \cos x = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \cos x + \cos 2x$.
उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$\cos x + \cos 2x = 0 \implies \cos 2x = -\cos x$.
सर्वसमिका $-\cos x = \cos(\pi - x)$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2x = \cos(\pi - x) \implies 2x = \pi - x \implies 3x = \pi \implies x = \pi / 3$.
अब,उच्चिष्ठ मान की जाँच करने के लिए द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f''(x) = -\sin x - 2 \sin 2x$.
$x = \pi / 3$ पर:
$f''(\pi / 3) = -\sin(\pi / 3) - 2 \sin(2\pi / 3) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
चूँकि $f''(\pi / 3) < 0$ है,इसलिए फलन का मान $x = \pi / 3$ पर अधिकतम है।

(D) दिया गया है $f(x) = x^{25}(1 - x)^{75}$।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = 25x^{24}(1 - x)^{75} + x^{25} \cdot 75(1 - x)^{74} \cdot (-1)$
$f'(x) = 25x^{24}(1 - x)^{74} [(1 - x) - 3x]$
$f'(x) = 25x^{24}(1 - x)^{74} (1 - 4x)$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$1 - 4x = 0 \implies x = 1/4$.
चूंकि $f(0) = 0$ और $f(1) = 0$ है,और $x \in (0, 1)$ के लिए $f(x) > 0$ है,इसलिए फलन का अधिकतम मान $x = 1/4$ पर प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $y = a \log x + bx^2 + x$.
अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$.
चूंकि फलन के चरम मान $x = 1$ और $x = 2$ पर हैं,इसलिए इन बिंदुओं पर अवकलज शून्य होगा।
$x = 1$ पर: $\frac{a}{1} + 2b(1) + 1 = 0 \implies a + 2b = -1$ (समीकरण $1$).
$x = 2$ पर: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \implies \frac{a}{2} + 4b = -1 \implies a + 8b = -2$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - (-1) \implies 6b = -1 \implies b = -\frac{1}{6}$.
$b = -\frac{1}{6}$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $a + 2(-\frac{1}{6}) = -1 \implies a - \frac{1}{3} = -1 \implies a = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$.
अतः,$(a, b) = \left( -\frac{2}{3}, -\frac{1}{6} \right)$.

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 18x^2 + 96x$ है।
प्रथम अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 3x^2 - 36x + 96$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $3(x^2 - 12x + 32) = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करें: $3(x - 4)(x - 8) = 0$.
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 4$ और $x = 8$ हैं।
द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = 6x - 36$.
$x = 4$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ (local maxima) की जाँच करें: $f''(4) = 6(4) - 36 = 24 - 36 = -12 < 0$.
चूँकि $f''(4) < 0$ है,इसलिए $x = 4$ स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है।
अधिकतम मान की गणना करें: $f(4) = (4)^3 - 18(4)^2 + 96(4) = 64 - 18(16) + 384 = 64 - 288 + 384 = 160$.
अतः,अंतराल $(0, 9)$ में अधिकतम मान $160$ है।

(B) दिया गया वक्र $y = f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 27$ है।
वक्र की ढाल अवकलज $f'(x) = -3x^2 + 6x + 9$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए $g(x) = f'(x) = -3x^2 + 6x + 9$ ढाल फलन है।
अधिकतम ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $g(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$g'(x) = -6x + 6$।
$g'(x) = 0$ रखने पर,$-6x + 6 = 0$,जिसका अर्थ है $x = 1$।
अब,हम द्वितीय अवकलज $g''(x) = -6$ की जाँच करते हैं। चूँकि $g''(x) < 0$ है,इसलिए फलन $g(x)$ का मान $x = 1$ पर अधिकतम है।
अधिकतम ढाल $g(1) = -3(1)^2 + 6(1) + 9 = -3 + 6 + 9 = 12$ है।

(D) माना $f(x) = \sin x - x \cos x$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = \cos x - (\cos x - x \sin x) = x \sin x$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखें,जिससे $x \sin x = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $x = n\pi$,यह किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए संतुष्ट होता है।
अगला,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = \sin x + x \cos x$.
$x = n\pi$ पर $f''(x)$ का मान: $f''(n\pi) = \sin(n\pi) + n\pi \cos(n\pi) = 0 + n\pi (-1)^n = n\pi (-1)^n$.
$f(x)$ को $x = n\pi$ पर उच्चिष्ठ होने के लिए,$f''(n\pi) < 0$ होना चाहिए।
अतः,$n\pi (-1)^n < 0$. चूँकि $\pi > 0$,हमें $n(-1)^n < 0$ की आवश्यकता है।
स्थिति $1$: यदि $n$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है (जैसे $n=1, 3, 5$),तो $n(-1)^n = n(-1) = -n < 0$. यह शर्त को संतुष्ट करता है।
स्थिति $2$: यदि $n$ एक सम ऋणात्मक पूर्णांक है (जैसे $n=-2, -4$),तो $n(-1)^n = n(1) = n < 0$. यह भी शर्त को संतुष्ट करता है।
इसलिए,$n$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक या एक सम ऋणात्मक पूर्णांक है।

(A) फलन $f(x) = x^{1/x}$ को $x > 0$ के लिए लें।
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(f(x)) = \frac{1}{x} \ln(x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{x(\frac{1}{x}) - \ln(x)(1)}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$ प्राप्त होता है।
$f'(x) = 0$ रखने पर,$1 - \ln(x) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\ln(x) = 1$,अतः $x = e$।
$x < e$ के लिए,$f'(x) > 0$ और $x > e$ के लिए,$f'(x) < 0$ है। अतः,$f(x)$ का वैश्विक अधिकतम मान $x = e$ पर है। यह सिद्ध करता है कि कथन-$II$ सत्य है।
चूंकि $f(x)$ का वैश्विक अधिकतम मान $x = e$ पर है,किसी भी $x \neq e$ के लिए,$f(e) > f(x)$ होगा।
$x = \pi$ रखने पर,हमें $e^{1/e} > \pi^{1/\pi}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों की घात $e\pi$ लेने पर,$(e^{1/e})^{e\pi} > (\pi^{1/\pi})^{e\pi}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $e^{\pi} > \pi^e$ हो जाता है। यह सिद्ध करता है कि कथन-$I$ सत्य है।
चूंकि कथन-$II$ सीधे कथन-$I$ की असमिका की ओर ले जाता है,इसलिए कथन-$II$,कथन-$I$ का सही स्पष्टीकरण है।

(D) दिए गए समीकरण $x + 2y = 8$ से,हम $x$ को $x = 8 - 2y$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $f(y) = xy = (8 - 2y)y = 8y - 2y^2$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(y)$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(y) = \frac{d}{dy}(8y - 2y^2) = 8 - 4y$।
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए प्रथम अवकलज को शून्य के बराबर रखने पर:
$8 - 4y = 0 \implies y = 2$।
अब,अधिकतम मान की जाँच करने के लिए द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f''(y) = -4$।
चूँकि $f''(2) = -4 < 0$ है,इसलिए फलन $f(y)$ का $y = 2$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
$y = 2$ का मान $f(y)$ में रखने पर:
$f(2) = 8(2) - 2(2)^2 = 16 - 8 = 8$।
अतः,$xy$ का अधिकतम मान $8$ है।

(B) माना $f(x) = e^x \sin x$ है। स्पर्श रेखा की ढाल $f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$ द्वारा दी जाती है।
माना $g(x) = f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$ है।
अधिकतम ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $g'(x) = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = 2e^x \cos x$ निकालते हैं।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $g'(x) = 0$ रखने पर,हमें $2e^x \cos x = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $e^x \neq 0$,इसलिए $\cos x = 0$ है।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\cos x = 0$ का मान $x = \pi / 2$ और $x = 3\pi / 2$ पर होता है।
द्वितीय अवकलज $g''(x) = 2e^x \cos x - 2e^x \sin x = 2e^x(\cos x - \sin x)$ की जाँच करने पर।
$x = \pi / 2$ पर,$g''(\pi / 2) = 2e^{\pi / 2}(0 - 1) = -2e^{\pi / 2} < 0$,जो स्थानीय अधिकतम को दर्शाता है।
$x = 3\pi / 2$ पर,$g''(3\pi / 2) = 2e^{3\pi / 2}(0 - (-1)) = 2e^{3\pi / 2} > 0$,जो स्थानीय न्यूनतम को दर्शाता है।
अतः,ढाल $x = \pi / 2$ पर अधिकतम है।

(B) माना $f(x) = ax + \frac{b}{x} - c$,जहाँ $x > 0$ और $a, b > 0$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = a - \frac{b}{x^2} = \frac{ax^2 - b}{x^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $ax^2 = b$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ (चूँकि $x > 0$)।
फलन $f(x)$ इस बिंदु पर अपना न्यूनतम मान प्राप्त करता है।
$x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ को $f(x)$ में रखने पर:
$f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right) = a\sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{\sqrt{b/a}} - c = \sqrt{ab} + \sqrt{ab} - c = 2\sqrt{ab} - c$.
प्रश्न के अनुसार,सभी $x > 0$ के लिए $f(x) \ge 0$ है,इसलिए न्यूनतम मान $\ge 0$ होना चाहिए।
अतः,$2\sqrt{ab} - c \ge 0$,जिसका अर्थ है $2\sqrt{ab} \ge c$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $4ab \ge c^2$ प्राप्त होता है,या $ab \ge \frac{c^2}{4}$।

(B) दिया गया फलन $y = a \log|x| + bx^2 + x$ है।
इसका अवकलज $\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$ है।
चूंकि $x = -1$ और $x = 2$ चरम बिंदु हैं,इसलिए इन बिंदुओं पर अवकलज शून्य होना चाहिए।
$x = -1$ के लिए: $\frac{a}{-1} + 2b(-1) + 1 = 0 \implies -a - 2b + 1 = 0 \implies a + 2b = 1$.
$x = 2$ के लिए: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \implies \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \implies a + 8b = -2$.
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर: $(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - 1 \implies 6b = -3 \implies b = -1/2$.
$b = -1/2$ का मान $a + 2b = 1$ में रखने पर: $a + 2(-1/2) = 1 \implies a - 1 = 1 \implies a = 2$.
अतः,$a = 2$ और $b = -1/2$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$.
अवकलन करने पर: $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$.
चूंकि फलन के चरम मान $x = 3$ और $x = -1$ पर हैं,इसलिए इन बिंदुओं पर $f'(x) = 0$ होगा।
अतः,$3x^2 + 2ax + b = 0$ के मूल $x = 3$ और $x = -1$ हैं।
इसका अर्थ है कि $f'(x) = k(x - 3)(x + 1) = k(x^2 - 2x - 3) = kx^2 - 2kx - 3k$.
इसे $3x^2 + 2ax + b$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$f'(x) = 3(x^2 - 2x - 3) = 3x^2 - 6x - 9$.
गुणांकों की तुलना करने पर: $2a = -6 \implies a = -3$ और $b = -9$.
चूंकि $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है,यह कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है,अर्थात $c \in \mathbb{R}$।

(A) मान लीजिए कि पहली संख्या $(3 - x)$ है और दूसरी संख्या $x$ है।
फलन को इस प्रकार परिभाषित करें: $f(x) = (3 - x)x^2 = 3x^2 - x^3$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,प्रथम अवकलज (first derivative) निकालें:
$f'(x) = 6x - 3x^2$.
$f'(x) = 0$ रखने पर:
$3x(2 - x) = 0 \Rightarrow x = 0$ या $x = 2$.
अधिकतम मान की जाँच करने के लिए द्वितीय अवकलज (second derivative) निकालें:
$f''(x) = 6 - 6x$.
$x = 2$ पर मान की जाँच करने पर:
$f''(2) = 6 - 6(2) = -6 < 0$.
चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए $x = 2$ पर अधिकतम मान प्राप्त होता है।
अधिकतम मान = $(3 - 2) \times 2^2 = 1 \times 4 = 4$.

(A) दिया गया फलन: $f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x - 20$.
प्रथम अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 6x^2 - 42x + 36$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $6(x^2 - 7x + 6) = 0 \Rightarrow 6(x - 1)(x - 6) = 0$.
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = 6$ हैं।
द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = 12x - 42$.
क्रांतिक बिंदुओं पर मान की जाँच करें:
$x = 1$ के लिए,$f''(1) = 12(1) - 42 = -30 < 0$ (स्थानीय अधिकतम)।
$x = 6$ के लिए,$f''(6) = 12(6) - 42 = 72 - 42 = 30 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
$x = 6$ पर न्यूनतम मान की गणना करें:
$f(6) = 2(6)^3 - 21(6)^2 + 36(6) - 20$
$f(6) = 2(216) - 21(36) + 216 - 20$
$f(6) = 432 - 756 + 216 - 20 = -128$.
अतः,न्यूनतम मान $-128$ है।

(C) फलन $f(x) = \frac{x^2}{x^3 + 200}$ के व्यवहार की जाँच करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
भागफल नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = \frac{(x^3 + 200)(2x) - (x^2)(3x^2)}{(x^3 + 200)^2} = \frac{400x - x^4}{(x^3 + 200)^2} = \frac{x(400 - x^3)}{(x^3 + 200)^2}$।
स्थानीय उच्चतम या निम्नतम के लिए,$f'(x) = 0$ रखने पर,$x = 0$ या $x^3 = 400$,अर्थात $x = \sqrt[3]{400} \approx 7.368$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x < \sqrt[3]{400}$ के लिए $f'(x) > 0$ और $x > \sqrt[3]{400}$ के लिए $f'(x) < 0$ है,फलन का स्थानीय उच्चतम मान $x = \sqrt[3]{400}$ पर है।
अनुक्रम $a_n$ के लिए,हम $a_7$ और $a_8$ की तुलना करते हैं।
$a_7 = \frac{49}{543} \approx 0.0902$ और $a_8 = \frac{64}{712} \approx 0.0898$।
चूँकि $a_7 > a_8$ और $a_7 > a_6$ है,$a_7$ वास्तव में सबसे बड़ा पद है।
हालाँकि,कथन-$II$ कहता है कि उच्चतम मान $x = 7$ पर है,जो गलत है क्योंकि उच्चतम मान $x = \sqrt[3]{400} \approx 7.368$ पर है।

(D) मान लीजिए $r$ त्रिज्या है और $\theta$ रेडियन में केंद्रीय कोण है।
त्रिज्यखंड का परिमाप $P = 2r + r\theta = p$ द्वारा दिया गया है।
इससे,$\theta = \frac{p - 2r}{r} = \frac{p}{r} - 2$ प्राप्त होता है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ है।
$\theta$ का मान रखने पर,$A = \frac{1}{2} r^2 \left( \frac{p - 2r}{r} \right) = \frac{1}{2} r(p - 2r) = \frac{1}{2} pr - r^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dr} = \frac{1}{2} p - 2r$।
$\frac{dA}{dr} = 0$ रखने पर,$\frac{1}{2} p = 2r$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = \frac{p}{4}$।
अधिकतम मान की पुष्टि करने के लिए,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $\frac{d^2A}{dr^2} = -2 < 0$,जो यह पुष्टि करता है कि $r = \frac{p}{4}$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।

(D) किसी फलन $f(x)$ का $x = a$ पर स्थानीय न्यूनतम मान होने के लिए,$f(a)$ का मान $a$ के निकटतम पड़ोस में $f(x)$ के मानों से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
विशेष रूप से,$x = -1$ के लिए,हमें छोटे $h > 0$ के लिए $f(-1) \leqslant f(-1 + h)$ और $f(-1) \leqslant f(-1 - h)$ की आवश्यकता है।
सबसे पहले,परिभाषा के पहले भाग का उपयोग करके $f(-1)$ की गणना करें: $f(-1) = k - 2(-1) = k + 2$.
$x > -1$ के लिए,$f(x) = 2x + 3$. जैसे $x \to -1^+$,$f(x) \to 2(-1) + 3 = 1$.
$x \leqslant -1$ के लिए,$f(x) = k - 2x$. जैसे $x \to -1^-$,$f(x) \to k + 2$.
$x = -1$ पर स्थानीय न्यूनतम होने के लिए,$f(-1) \leqslant \lim_{x \to -1^+} f(x)$ और $f(-1) \leqslant \lim_{x \to -1^-} f(x)$ होना चाहिए।
अतः,$k + 2 \leqslant 1$ और $k + 2 \leqslant k + 2$.
$k + 2 \leqslant 1$ को हल करने पर,हमें $k \leqslant -1$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों में से,जो मान इस शर्त को पूरा करता है वह $k = -1$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ है।
स्थानीय चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$\frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{2}{x^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2, -2$.
अब,स्थानीय न्यूनतम मान की जाँच करने के लिए द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2} - 2x^{-2}) = 0 - 2(-2)x^{-3} = \frac{4}{x^3}$.
$x = 2$ पर मान रखने पर:
$f''(2) = \frac{4}{2^3} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} > 0$.
चूँकि $f''(2) > 0$ है,इसलिए फलन का स्थानीय न्यूनतम मान $x = 2$ पर है।

(C) माना त्रिकोणीय पार्क $\Delta ABC$ है,जहाँ $AB = AC = x$ है। माना $AT$,$A$ से नदी के किनारे $BC$ पर डाला गया लंब है। माना $\angle ABT = \theta$ है।
तब $AT = x \sin \theta$ और $BT = x \cos \theta$ होगा।
चूँकि त्रिभुज समद्विबाहु है और $AB=AC$ है,लंब $AT$,$BC$ को समद्विभाजित करता है,इसलिए $BC = 2BT = 2x \cos \theta$ होगा।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (2x \cos \theta) \times (x \sin \theta) = x^2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} x^2 \sin(2\theta)$ है।
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हमें $\sin(2\theta)$ को अधिकतम करना होगा। $\sin(2\theta)$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $2\theta = 90^\circ$ या $\theta = 45^\circ$ पर प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $\frac{1}{2} x^2 (1) = \frac{1}{2} x^2$ है।

(D) मान लीजिए $f(x) = x^3 - px + q$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज निकालते हैं: $f'(x) = 3x^2 - p$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $3x^2 = p$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \pm \sqrt{\frac{p}{3}}$.
अब,हम द्वितीय अवकलज निकालते हैं: $f''(x) = 6x$.
क्रांतिक बिंदुओं पर मान की जाँच करने पर:
$x = -\sqrt{\frac{p}{3}}$ के लिए,$f''(-\sqrt{\frac{p}{3}}) = -6\sqrt{\frac{p}{3}} < 0$ (चूंकि $p > 0$)। अतः,$x = -\sqrt{\frac{p}{3}}$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
$x = \sqrt{\frac{p}{3}}$ के लिए,$f''(\sqrt{\frac{p}{3}}) = 6\sqrt{\frac{p}{3}} > 0$ (चूंकि $p > 0$)। अतः,$x = \sqrt{\frac{p}{3}}$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
इस प्रकार,त्रिघात बहुपद का $-\sqrt{\frac{p}{3}}$ पर अधिकतम और $\sqrt{\frac{p}{3}}$ पर न्यूनतम मान है।

(B) दिया है $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$.
$P'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx + c$.
चूंकि $x=0$,$P'(x)=0$ का एकमात्र वास्तविक मूल है,इसलिए $P'(0) = 0$,जिसका अर्थ है $c=0$.
अतः,$P'(x) = x(4x^2 + 3ax + 2b)$.
चूंकि $x=0$ एकमात्र वास्तविक मूल है,द्विघात गुणनखंड $4x^2 + 3ax + 2b$ का कोई वास्तविक मूल नहीं होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि इसका विविक्तकर $D < 0$ है।
$D = (3a)^2 - 4(4)(2b) = 9a^2 - 32b < 0$.
चूंकि अग्रणी गुणांक $4 > 0$ है,इसलिए $4x^2 + 3ax + 2b > 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य है।
इसलिए,$P'(x)$ का चिह्न $x$ के चिह्न पर निर्भर करता है।
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$P'(x) < 0$,इसलिए $P(x)$ निरंतर ह्रासमान है।
$x \in (0, 1]$ के लिए,$P'(x) > 0$,इसलिए $P(x)$ निरंतर वर्धमान है।
$P(x)$ अंतराल $[-1, 0]$ पर घटता है और $[0, 1]$ पर बढ़ता है,इसलिए $[-1, 1]$ पर वैश्विक न्यूनतम मान $x=0$ पर प्राप्त होता है।
अतः,$P(-1)$ न्यूनतम नहीं है।
चूंकि $P(x)$ अंतराल $(0, 1]$ पर वर्धमान है और $P(-1) < P(1)$ है,इसलिए $[-1, 1]$ पर अधिकतम मान $P(1)$ होगा।
अतः,$P(-1)$ न्यूनतम नहीं है,लेकिन $P(1)$ अधिकतम है।

(A) दिया गया है $f(x) = \alpha \log |x| + \beta x^2 + x$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = \frac{\alpha}{x} + 2\beta x + 1$.
चूंकि $x = -1$ और $x = 2$ चरम बिंदु हैं,इसलिए इन बिंदुओं पर $f'(x) = 0$ होगा।
$x = -1$ के लिए: $\frac{\alpha}{-1} + 2\beta(-1) + 1 = 0 \Rightarrow -\alpha - 2\beta + 1 = 0 \Rightarrow \alpha + 2\beta = 1$ (समीकरण $1$).
$x = 2$ के लिए: $\frac{\alpha}{2} + 2\beta(2) + 1 = 0 \Rightarrow \frac{\alpha}{2} + 4\beta + 1 = 0 \Rightarrow \alpha + 8\beta = -2$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(\alpha + 8\beta) - (\alpha + 2\beta) = -2 - 1 \Rightarrow 6\beta = -3 \Rightarrow \beta = -\frac{1}{2}$.
$\beta = -\frac{1}{2}$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $\alpha + 2(-\frac{1}{2}) = 1 \Rightarrow \alpha - 1 = 1 \Rightarrow \alpha = 2$.
अतः,$(\alpha, \beta) = (2, -\frac{1}{2})$.

(D) दिया गया है $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {1 + \frac{{f(x)}}{{{x^2}}}} \right] = 3$,इसका अर्थ है $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{{{x^2}}} = 2$.
चूंकि $f(x)$ चार घात का बहुपद है,मान लीजिए $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$.
सीमा के अस्तित्व के लिए और उसका मान $2$ होने के लिए,$e=0$,$d=0$ और $c=2$ होना चाहिए।
अतः,$f(x) = ax^4 + bx^3 + 2x^2$.
तब $f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 4x$.
चूंकि $f(x)$ के चरम मान $x=1$ और $x=2$ पर हैं,इसलिए $f'(1) = 0$ और $f'(2) = 0$.
$f'(1) = 4a + 3b + 4 = 0 \Rightarrow 4a + 3b = -4$.
$f'(2) = 4a(8) + 3b(4) + 4(2) = 32a + 12b + 8 = 0 \Rightarrow 8a + 3b = -2$.
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: $(8a + 3b) - (4a + 3b) = -2 - (-4) \Rightarrow 4a = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
$a = \frac{1}{2}$ को $4a + 3b = -4$ में रखने पर: $4(\frac{1}{2}) + 3b = -4 \Rightarrow 2 + 3b = -4 \Rightarrow 3b = -6 \Rightarrow b = -2$.
अतः,$f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + 2x^2$.
$f(2)$ का मान निकालने पर: $f(2) = \frac{1}{2}(16) - 2(8) + 2(4) = 8 - 16 + 8 = 0$.

(D) माना $r$ त्रिज्या है और $\theta$ रेडियन में वृत्ताकार सेक्टर का केंद्रीय कोण है।
वृत्ताकार सेक्टर का परिमाप $P = r + r + r\theta = 2r + r\theta$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि तार की कुल लंबाई $20 \ m$ है,इसलिए:
$2r + r\theta = 20$
$\Rightarrow r\theta = 20 - 2r$
$\Rightarrow \theta = \frac{20 - 2r}{r}$
वृत्ताकार सेक्टर का क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \frac{1}{2} r^2 \theta$
$\theta$ का मान रखने पर:
$A = \frac{1}{2} r^2 \left( \frac{20 - 2r}{r} \right) = \frac{1}{2} r (20 - 2r) = 10r - r^2$
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{dr} = 10 - 2r = 0$
$\Rightarrow r = 5 \ m$
अधिकतम मान की पुष्टि करने के लिए,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं:
$\frac{d^2A}{dr^2} = -2 < 0$
चूँकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए $r = 5$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।
क्षेत्रफल के सूत्र में $r = 5$ रखने पर:
$A_{max} = 10(5) - (5)^2 = 50 - 25 = 25 \ m^2$.

(C) दिया गया है $h(x) = \frac{x^2 + \frac{1}{x^2}}{x - \frac{1}{x}}$.
अंश को $(x - \frac{1}{x})^2 + 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$h(x) = \frac{(x - \frac{1}{x})^2 + 2}{x - \frac{1}{x}} = (x - \frac{1}{x}) + \frac{2}{x - \frac{1}{x}}$.
मान लीजिए $t = x - \frac{1}{x}$ है। चूंकि $x \in R - \{-1, 1, 0\}$,$t$ का मान $0$ को छोड़कर कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है।
तब $h(t) = t + \frac{2}{t}$ है।
जब $t > 0$ हो,तो $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$t + \frac{2}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{2}{t}} = 2\sqrt{2}$ है।
समानता तब प्राप्त होती है जब $t = \frac{2}{t}$,अर्थात $t^2 = 2$,इसलिए $t = \sqrt{2}$ ($t > 0$ होने के कारण)।
जब $t < 0$ हो,तो $u = -t$ मानिए,जहाँ $u > 0$ है। तब $h(t) = -u - \frac{2}{u} = -(u + \frac{2}{u}) \le -2\sqrt{2}$ है।
अतः,$h(x)$ का स्थानीय न्यूनतम मान $2\sqrt{2}$ है।

(A) दिया गया वक्र समीकरण: $y = x(x - 2)(x - 4)$.
व्यंजक का विस्तार करने पर: $y = x(x^2 - 6x + 8) = x^3 - 6x^2 + 8x$.
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 12x + 8$.
यदि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर है,तो ढाल शून्य होनी चाहिए: $\frac{dy}{dx} = 0$.
अवकलन को शून्य के बराबर रखने पर: $3x^2 - 12x + 8 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(3)(8)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $x = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} = 2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(B) दिया गया है $y = a \log |x| + b x^2 + x$.
चूंकि $\frac{d}{dx} \log |x| = \frac{1}{x}$ सभी $x \neq 0$ के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$.
चूंकि फलन के चरम मान $x = -1$ और $x = 2$ पर हैं,इसलिए इन बिंदुओं पर अवकलज शून्य होना चाहिए।
$x = -1$ के लिए: $\frac{a}{-1} + 2b(-1) + 1 = 0 \implies -a - 2b + 1 = 0 \implies a + 2b = 1$ (समीकरण $1$).
$x = 2$ के लिए: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \implies \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \implies a + 8b = -2$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - 1 \implies 6b = -3 \implies b = -\frac{1}{2}$.
$b = -\frac{1}{2}$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $a + 2(-\frac{1}{2}) = 1 \implies a - 1 = 1 \implies a = 2$.
अतः,$a = 2$ और $b = -\frac{1}{2}$।

(A) फलन $f(x) = |x|$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $x \in [-2, 0) \cup (0, 2]$ और $f(0) = 1$ है।
$x = 0$ के आसपास किसी भी छोटे अंतराल $(0 - h, 0 + h)$ के लिए (जहाँ $h > 0$ बहुत छोटी संख्या है),हमारे पास है:
$f(0) = 1$
इस अंतराल में $x \neq 0$ के लिए,$f(x) = |x|$ है। चूँकि $x$,$0$ के बहुत करीब है,इसलिए $|x| < 1$ होता है।
इस प्रकार,$0$ के पड़ोस में सभी $x$ के लिए $f(x) < f(0)$ है।
स्थानीय उच्चिष्ठ की परिभाषा के अनुसार,यदि $a$ के किसी पड़ोस में सभी $x$ के लिए $f(x) \le f(a)$ है,तो $f$ का $x = a$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ होता है।
चूँकि $x \in (-h, h) \setminus \{0\}$ के लिए $f(x) < f(0)$ है,इसलिए फलन $f$ का $x = 0$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^x t(t - 1)(t - 2) dt$.
कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,$f'(x) = x(x - 1)(x - 2)$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0, 1, 2$ प्राप्त होता है।
इन बिंदुओं के आसपास $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करने पर:
$x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$0 < x < 1$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
$1 < x < 2$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$x > 2$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
$x = 0$ पर,$f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए $x = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है।
$x = 1$ पर,$f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए $x = 1$ एक स्थानीय अधिकतम है।
$x = 2$ पर,$f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए $x = 2$ एक स्थानीय न्यूनतम है।
अतः,फलन $x = 0$ और $x = 2$ पर अपना न्यूनतम मान प्राप्त करता है।

(B) लेबनीज के नियम का उपयोग करते हुए:
$f'(x) = (1 - \sin x + 2\sin^3 x)(\cos x) - (1 - \cos x + 2\cos^3 x)(-\sin x)$
$f'(x) = \cos x - \sin x \cos x + 2\sin^3 x \cos x + \sin x - \sin x \cos x + 2\cos^3 x \sin x$
$f'(x) = \cos x + \sin x - 2\sin x \cos x + 2\sin x \cos x (\sin^2 x + \cos^2 x)$
$f'(x) = \cos x + \sin x - 2\sin x \cos x + 2\sin x \cos x = \cos x + \sin x$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$\cos x + \sin x = 0 \implies \tan x = -1$
$[0, 2\pi]$ में,$x = \frac{3\pi}{4}$ और $x = \frac{7\pi}{4}$
$f''(x) = -\sin x + \cos x$
$x = \frac{3\pi}{4}$ पर,$f''(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} < 0$ (अधिकतम)
$x = \frac{7\pi}{4}$ पर,$f''(\frac{7\pi}{4}) = -(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} > 0$ (न्यूनतम)
अतः,फलन का मान $\frac{3\pi}{4}$ पर अधिकतम और $\frac{7\pi}{4}$ पर न्यूनतम है।

(D) दिया गया है $f(x) = \int_0^x \frac{\sin t}{t} dt$।
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = \frac{\sin x}{x}$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखें,जिसका अर्थ है $\sin x = 0$ (चूंकि $x > 0$),इसलिए $x = n\pi$ जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$।
अब,$f''(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$।
$x = n\pi$ पर,$f''(n\pi) = \frac{n\pi \cos(n\pi) - \sin(n\pi)}{(n\pi)^2} = \frac{n\pi (-1)^n - 0}{n^2 \pi^2} = \frac{(-1)^n}{n\pi}$।
यदि $n$ विषम है $(n = 1, 3, 5, \dots)$,तो $f''(n\pi) = \frac{-1}{n\pi} < 0$,इसलिए $f(x)$ का स्थानीय उच्चिष्ठ है।
यदि $n$ सम है $(n = 2, 4, 6, \dots)$,तो $f''(n\pi) = \frac{1}{n\pi} > 0$,इसलिए $f(x)$ का स्थानीय निम्निष्ठ है।
अतः,$(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

(C) वक्र $y = x^2 + 1$ है। वक्र पर स्थित बिंदु $(x_1, x_1^2 + 1)$ है।
बिंदु $(x_1, x_1^2 + 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x_1$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - (x_1^2 + 1) = 2x_1(x - x_1)$ है,जिसे सरल करने पर $y = 2x_1x - x_1^2 + 1$ प्राप्त होता है।
माना कि स्पर्श रेखा रेखाओं $x=1$ और $x=2$ को क्रमशः $P$ और $Q$ बिंदुओं पर काटती है।
$x=1$ के लिए,$y_P = 2x_1(1) - x_1^2 + 1 = -x_1^2 + 2x_1 + 1$ है।
$x=2$ के लिए,$y_Q = 2x_1(2) - x_1^2 + 1 = -x_1^2 + 4x_1 + 1$ है।
रेखाओं $x=1, x=2$,$x$-अक्ष और स्पर्श रेखा द्वारा निर्मित समलंब का क्षेत्रफल $A = \frac{y_P + y_Q}{2} \times (2 - 1) = \frac{(-x_1^2 + 2x_1 + 1) + (-x_1^2 + 4x_1 + 1)}{2} = \frac{-2x_1^2 + 6x_1 + 2}{2} = -x_1^2 + 3x_1 + 1$ है।
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,$\frac{dA}{dx_1} = -2x_1 + 3$ प्राप्त करते हैं। $\frac{dA}{dx_1} = 0$ रखने पर $x_1 = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
$x_1 = \frac{3}{2}$ के लिए,$y_1 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 1 = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4}$ है।
अतः,बिंदु $\left( \frac{3}{2}, \frac{13}{4} \right)$ है।

(D) $\sin^{-1}(u)$ का प्रांत $[-1, 1]$ है। यहाँ,$u = a^2 - 8a + 17 = (a-4)^2 + 1$ है। इसके परिभाषित होने के लिए,$(a-4)^2 + 1 \le 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $(a-4)^2 \le 0$। चूंकि वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,यह केवल $a = 4$ पर ही संभव है।
$f(x)$ में $a = 4$ रखने पर:
$f(x) = -\frac{x^3}{3} + x^2 \sin(6) - x \sin(4) \sin(8) - 5 \sin^{-1}(1)$.
अब,$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f'(x) = -x^2 + 2x \sin(6) - \sin(4) \sin(8)$.
$f'( \sin(8) )$ का मान ज्ञात करने पर:
$f'( \sin(8) ) = -\sin^2(8) + 2 \sin(8) \sin(6) - \sin(4) \sin(8)$.
$f'( \sin(8) ) = \sin(8) [ -\sin(8) + 2 \sin(6) - \sin(4) ]$.
सर्वसमिका $\sin(A) + \sin(B) = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$f'( \sin(8) ) = -\sin(8) [ \sin(8) + \sin(4) - 2 \sin(6) ]$.
$f'( \sin(8) ) = -\sin(8) [ 2 \sin(6) \cos(2) - 2 \sin(6) ]$.
$f'( \sin(8) ) = -2 \sin(8) \sin(6) [ \cos(2) - 1 ] = 2 \sin(8) \sin(6) [ 1 - \cos(2) ]$.
चूंकि $\sin(8) > 0$,$\sin(6) < 0$ और $1 - \cos(2) > 0$ है,इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है।
अतः,$f'( \sin(8) ) < 0$.

(B) दिया गया है $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$.
अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2 = 6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 6(x - a)(x - 2a)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर क्रांतिक बिंदु $x = a$ और $x = 2a$ प्राप्त होते हैं।
द्वितीय अवकलन ज्ञात करें: $f''(x) = 12x - 18a$.
क्रांतिक बिंदुओं की प्रकृति की जाँच करें:
$f''(a) = 12a - 18a = -6a$
$f''(2a) = 12(2a) - 18a = 6a$
स्थिति $1$: यदि $a > 0$ है,तो $f''(a) < 0$ ($x_1 = a$ पर उच्चतम) और $f''(2a) > 0$ ($x_2 = 2a$ पर न्यूनतम)।
दिया गया है $x_1^2 = x_2$,अतः $a^2 = 2a$. चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = 2$.
स्थिति $2$: यदि $a < 0$ है,तो $f''(a) > 0$ ($x_2 = a$ पर न्यूनतम) और $f''(2a) < 0$ ($x_1 = 2a$ पर उच्चतम)।
दिया गया है $x_1^2 = x_2$,अतः $(2a)^2 = a$,जिसका अर्थ है $4a^2 = a$. चूंकि $a < 0$,इसलिए इसका कोई हल नहीं है।
अतः,$a$ का मान $2$ है।

(D) त्रिभुज $AOB$ के शीर्ष $O(0, 0)$,$B(x, 0)$,और $A(x, e^{-x^2})$ हैं।
चूँकि त्रिभुज $B$ पर समकोण है,इसलिए क्षेत्रफल $A(x)$ इस प्रकार है:
$A(x) = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times x \times e^{-x^2} = \frac{x e^{-x^2}}{2}$.
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$A'(x) = \frac{1}{2} [1 \cdot e^{-x^2} + x \cdot e^{-x^2} \cdot (-2x)] = \frac{e^{-x^2}}{2} [1 - 2x^2]$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $A'(x) = 0$ रखने पर:
$1 - 2x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (चूँकि $x > 0$).
अब,$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ पर अधिकतम क्षेत्रफल की गणना करते हैं:
$A_{max} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^{-(1/\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot e^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{2} \sqrt{e}} = \frac{1}{\sqrt{8e}}$.
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $\frac{1}{\sqrt{8e}}$ है।

(B) माना $f(x) = \frac{x^2}{x^3 + 200}$ है। अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{(x^3 + 200)(2x) - x^2(3x^2)}{(x^3 + 200)^2} = \frac{2x^4 + 400x - 3x^4}{(x^3 + 200)^2} = \frac{x(400 - x^3)}{(x^3 + 200)^2}$.
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $400 - x^3 > 0$,या $x < (400)^{1/3}$.
चूँकि $7^3 = 343$ और $8^3 = 512$,इसलिए $7 < (400)^{1/3} < 8$.
अतः,फलन $x = (400)^{1/3}$ तक बढ़ता है और उसके बाद घटता है।
हम $a_7$ और $a_8$ की तुलना करते हैं:
$a_7 = \frac{7^2}{7^3 + 200} = \frac{49}{343 + 200} = \frac{49}{543} \approx 0.0902$.
$a_8 = \frac{8^2}{8^3 + 200} = \frac{64}{512 + 200} = \frac{64}{712} = \frac{8}{89} \approx 0.0898$.
चूँकि $a_7 > a_8$,इसलिए सबसे बड़ा पद $a_7$ है।

(C) माना $f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)$.
हम पदों को इस प्रकार समूहित कर सकते हैं:
$f(x) = [x(x + 3)] \cdot [(x + 1)(x + 2)]$
$f(x) = (x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2)$
माना $z = x^2 + 3x$. तब व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$f(x) = z(z + 2) = z^2 + 2z$
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$f(x) = (z^2 + 2z + 1) - 1 = (z + 1)^2 - 1$
चूंकि $(z + 1)^2 \ge 0$,इसलिए $f(x)$ का न्यूनतम मान $-1$ है,जो तब प्राप्त होता है जब $z + 1 = 0$,अर्थात $z = -1$.
$z = x^2 + 3x$ को वापस रखने पर,हमें $x^2 + 3x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके वास्तविक मूल संभव हैं,इसलिए न्यूनतम मान $-1$ प्राप्त किया जा सकता है।

(A) दिया गया है $f(x) = \sin(2x) - x$. अवकलन करने पर $f'(x) = 2\cos(2x) - 1$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$2\cos(2x) = 1$,अतः $\cos(2x) = \frac{1}{2}$.
अंतराल $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ में,$2x \in [-\pi, \pi]$,इसलिए $2x = \pm \frac{\pi}{3}$,जिसका अर्थ है $x = \pm \frac{\pi}{6}$.
अब,क्रांतिक बिंदुओं और अंतिम बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sin(-\pi) - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$.
$f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}$.
$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$.
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin(\pi) - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$.
उच्चतम मान $\frac{\pi}{2}$ और न्यूनतम मान $-\frac{\pi}{2}$ है।
अतः अंतर $\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$ होगा।

(B) दिया गया फलन $f(x) = x(\ln x - 2)$ अंतराल $[1, e^2]$ पर है।
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) को ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x - 2) + (\ln x - 2) \cdot \frac{d}{dx}(x)$
$f'(x) = x \cdot \frac{1}{x} + \ln x - 2 = 1 + \ln x - 2 = \ln x - 1$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$\ln x - 1 = 0$,अतः $\ln x = 1$,जिसका अर्थ है $x = e$.
अब,हम क्रांतिक बिंदु और अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(1) = 1(\ln 1 - 2) = 1(0 - 2) = -2$.
$f(e) = e(\ln e - 2) = e(1 - 2) = -e$.
$f(e^2) = e^2(\ln e^2 - 2) = e^2(2 - 2) = 0$.
मानों $\{-2, -e, 0\}$ की तुलना करने पर,चूंकि $e \approx 2.718$,न्यूनतम मान $-e$ है और अधिकतम मान $0$ है।
अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर $0 - (-e) = e$ है।

(C) माना कर्ण $h$ है और एक भुजा $x$ है। दिया गया है कि $h + x = c$ (स्थिर),इसलिए $h = c - x$.
समकोण त्रिभुज में,तीसरी भुजा $\sqrt{h^2 - x^2} = \sqrt{(c-x)^2 - x^2} = \sqrt{c^2 - 2cx}$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times x \times \sqrt{c^2 - 2cx}$ है।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,हम $A^2 = \frac{1}{4} x^2 (c^2 - 2cx) = \frac{1}{4} (c^2 x^2 - 2cx^3)$ को अधिकतम करते हैं।
माना $f(x) = c^2 x^2 - 2cx^3$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 2c^2 x - 6cx^2 = 2cx(c - 3x)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = \frac{c}{3}$ प्राप्त होता है (क्योंकि $x \neq 0$)।
अब,$h = c - \frac{c}{3} = \frac{2c}{3}$.
माना $\theta$ कर्ण और भुजा $x$ के बीच का कोण है। तब $\cos \theta = \frac{x}{h} = \frac{c/3}{2c/3} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्षों $(0, 0), (x, \cos x), (\sin^3 x, 0)$ को रखने पर:
$A(x) = \frac{1}{2} |0(\cos x - 0) + x(0 - 0) + \sin^3 x(0 - \cos x)| = \frac{1}{2} \sin^3 x \cos x$.
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$A(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$A'(x) = \frac{1}{2} [3 \sin^2 x \cos^2 x - \sin^4 x]$.
$A'(x) = 0$ रखने पर,$3 \cos^2 x = \sin^2 x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan^2 x = 3$,इसलिए $x = \frac{\pi}{3}$.
$x = \frac{\pi}{3}$ को $A(x)$ में रखने पर:
$A(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2})^3 (\frac{1}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{32}$.

(D) माना $f(x) = \frac{4}{\sin x} + \frac{1}{1 - \sin x}$. माना $t = \sin x$. चूँकि $x \in (0, \pi/2)$,इसलिए $t \in (0, 1)$.
हम $g(t) = \frac{4}{t} + \frac{1}{1 - t}$ को $t \in (0, 1)$ के लिए परिभाषित करते हैं।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $g(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$g'(t) = -\frac{4}{t^2} + \frac{1}{(1 - t)^2}$.
$g'(t) = 0$ रखने पर,$\frac{1}{(1 - t)^2} = \frac{4}{t^2}$,जिसका अर्थ है $(1 - t)^2 = \frac{t^2}{4}$.
वर्गमूल लेने पर,$1 - t = \frac{t}{2}$ या $1 - t = -\frac{t}{2}$.
$t \in (0, 1)$ के लिए,$1 - t = \frac{t}{2} \implies 1 = \frac{3t}{2} \implies t = \frac{2}{3}$.
$t = \frac{2}{3}$ पर फलन का मान $g(2/3) = \frac{4}{2/3} + \frac{1}{1 - 2/3} = 6 + 3 = 9$ है।
जैसे-जैसे $t \to 0^+$ और $t \to 1^-$ होता है,$g(t) \to \infty$ होता है,इसलिए $g(t)$ का परिसर $[9, \infty)$ है।
अतः,$a$ का न्यूनतम मान जिसके लिए समीकरण का कम से कम एक हल हो,$9$ है।