Maxima and Minima Questions in Hindi

(B) मान लीजिए कि पन्ने की चौड़ाई $w$ है और नीचे के किनारे पर मोड़ की लंबाई $x$ है। जब कोने को आंतरिक किनारे तक पहुँचने के लिए मोड़ा जाता है,तो हम एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जिसमें मोड़ कर्ण है।
मान लीजिए कि मोड़ की लंबाई $L$ है। ज्यामिति के अनुसार,मुड़े हुए त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} x y$ है,जहाँ $x$ आधार है और $y$ ऊँचाई है।
मोड़ के गुणों का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $A$ को $x$ के फलन के रूप में $A(x) = \frac{x^3}{2(x-w)}$ या समान ज्यामितीय बाधाओं के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
क्षेत्रफल न्यूनतम होने के लिए,हम क्षेत्रफल फलन का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं।
$\frac{dA}{dx} = 0$ को हल करने पर हमें मुड़े हुए भाग की चौड़ाई का कुल चौड़ाई के साथ इष्टतम अनुपात प्राप्त होता है।
गणना से पता चलता है कि मुड़े हुए भाग की चौड़ाई का अंश $x = \frac{2}{3}$ है।

(C) माना आयत की ऊँचाई $y$ है। आयत के ऊपरी दो शीर्ष $y = 3x$ और $y = 30 - 2x$ रेखाओं पर स्थित हैं।
बाईं ओर के शीर्ष के लिए,$x_1 = \frac{y}{3}$ प्राप्त होता है।
दाईं ओर के शीर्ष के लिए,$2x_2 = 30 - y$,अतः $x_2 = 15 - \frac{y}{2}$ प्राप्त होता है।
आयत की चौड़ाई $w = x_2 - x_1 = 15 - \frac{y}{2} - \frac{y}{3} = 15 - \frac{5y}{6}$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A(y) = w \cdot y = \left( 15 - \frac{5y}{6} \right) y = 15y - \frac{5y^2}{6}$ है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $y$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$A'(y) = 15 - \frac{10y}{6} = 15 - \frac{5y}{3} = 0$.
$y$ के लिए हल करने पर,$\frac{5y}{3} = 15$,जिसका अर्थ है $y = 9$.
द्वितीय अवकलज $A''(y) = -\frac{5}{3} < 0$ है,जो पुष्टि करता है कि $y = 9$ पर अधिकतम क्षेत्रफल प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल के सूत्र में $y = 9$ रखने पर:
$A_{max} = 15(9) - \frac{5(9^2)}{6} = 135 - \frac{5 \cdot 81}{6} = 135 - \frac{5 \cdot 27}{2} = 135 - \frac{135}{2} = \frac{135}{2}$.
अतः,सबसे बड़ा क्षेत्रफल $\frac{135}{2}$ है।

(C) पात्र में द्रव का आयतन $V(x) = x^2(15 - x) = 15x^2 - x^3$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $x$ द्रव की गहराई है।
चूँकि पात्र बंद है और दोनों सिरों $E$ और $F$ पर एक बिंदु पर समाप्त होता है,द्रव का अधिकतम आयतन पात्र की कुल क्षमता के बराबर होता है,जो तब प्राप्त होता है जब पात्र पूरी तरह से भरा हो।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}(15x^2 - x^3) = 30x - 3x^2$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dV}{dx} = 0$ रखने पर:
$3x(10 - x) = 0 \implies x = 0$ या $x = 10$.
अधिकतम मान की पुष्टि करने के लिए हम द्वितीय अवकलज का उपयोग करते हैं:
$\frac{d^2V}{dx^2} = 30 - 6x$.
$x = 10$ पर,$\frac{d^2V}{dx^2} = 30 - 6(10) = -30 < 0$.
चूँकि $x = 10$ पर द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए आयतन तब अधिकतम होता है जब गहराई $x = 10 \, \text{cm}$ हो।
अतः,पात्र की कुल लंबाई $EF = 10 \, \text{cm}$ है।

(B) चरम बिंदुओं को खोजने के लिए,हम $f(x)$ का प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 12x^3 - 12x^2 + 12x + a$
अब,$f'(x)$ की प्रकृति की जाँच करने के लिए हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f''(x) = 36x^2 - 24x + 12$
हम $f''(x)$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f''(x) = 12(3x^2 - 2x + 1)$
द्विघात समीकरण $3x^2 - 2x + 1$ का विविक्तकर $D = (-2)^2 - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8 < 0$ है।
चूँकि मुख्य गुणांक धनात्मक है और विविक्तकर ऋणात्मक है,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f''(x) > 0$ है।
इसका अर्थ है कि $f'(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
$3$ घात वाला एक निरंतर वर्धमान बहुपद $x$-अक्ष को ठीक एक बार काटता है।
इसलिए,$f'(x) = 0$ का ठीक एक वास्तविक मूल है,जिसका अर्थ है कि फलन $f(x)$ का ठीक एक चरम बिंदु है।

(C) अंतराल $[-2, 3]$ पर $f(x) = x^3 + 3x - 9$ दिया गया है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 3x^2 + 3$।
चूंकि सभी $x$ के लिए $f'(x) > 0$ है,फलन निरंतर वर्धमान है।
अतः,$[-2, 3]$ पर अधिकतम मान $x = 3$ पर प्राप्त होता है।
$f(3) = 3^3 + 3(3) - 9 = 27 + 9 - 9 = 27$।
माना प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है। अनंत $G.P.$ का योग $S = \frac{a}{1-r} = 27$ (समीकरण $i$)।
प्रथम और द्वितीय पद के बीच का अंतर $a - ar = f'(0)$ है।
$f'(0) = 3(0)^2 + 3 = 3$।
अतः,$a(1-r) = 3$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $(i)$ से,$a = 27(1-r)$। इसे $(ii)$ में रखने पर:
$27(1-r)(1-r) = 3$
$(1-r)^2 = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$।
चूंकि यह एक घटती $G.P.$ है,$0 < r < 1$,इसलिए $1-r = \frac{1}{3}$।
$r = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।

(C) माना नियमित षट्कोणीय आधार की भुजा की लंबाई $x$ है और पिरामिड की ऊँचाई $h$ है। पार्श्व कोर $l = 1 \text{ cm}$ दी गई है।
पिरामिड की ज्यामिति के अनुसार,षट्कोण के केंद्र से शीर्ष तक की दूरी $x$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + h^2 = l^2 = 1^2 = 1$,अतः $x^2 = 1 - h^2$ है।
नियमित षट्कोणीय आधार का क्षेत्रफल $A = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} x^2$ है।
पिरामिड का आयतन $V = \frac{1}{3} A h = \frac{1}{3} \left( \frac{3\sqrt{3}}{2} x^2 \right) h = \frac{\sqrt{3}}{2} x^2 h$ है।
$x^2 = 1 - h^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V(h) = \frac{\sqrt{3}}{2} (1 - h^2) h = \frac{\sqrt{3}}{2} (h - h^3)$ प्राप्त होता है।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करें और इसे शून्य के बराबर रखें:
$V'(h) = \frac{\sqrt{3}}{2} (1 - 3h^2) = 0$.
$1 - 3h^2 = 0 \implies h^2 = \frac{1}{3} \implies h = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,अधिकतम आयतन के लिए ऊँचाई $\frac{1}{\sqrt{3}} \text{ cm}$ होनी चाहिए।

(C) माना पिरामिड की ऊँचाई $h$ है और आधार के केंद्र से शीर्ष तक की दूरी $x$ है। दी गई पार्श्व भुजा $a$ के लिए,$h = a \sin \alpha$ और $x = a \cos \alpha$ है।
आधार एक वर्ग है जिसका विकर्ण $2x$ है। वर्गाकार आधार का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times (\text{विकर्ण})^2 = \frac{1}{2} \times (2x)^2 = 2x^2$ है।
पिरामिड का आयतन $V = \frac{1}{3} A h = \frac{1}{3} (2x^2) h$ है।
$x = a \cos \alpha$ और $h = a \sin \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर:
$V(\alpha) = \frac{2}{3} (a \cos \alpha)^2 (a \sin \alpha) = \frac{2}{3} a^3 \sin \alpha \cos^2 \alpha$.
$V$ को अधिकतम करने के लिए,$\alpha$ के सापेक्ष अवकलन करके $0$ के बराबर रखने पर:
$V'(\alpha) = \frac{2}{3} a^3 [\cos \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \sin \alpha \cdot 2 \cos \alpha (-\sin \alpha)] = 0$.
$\cos^3 \alpha - 2 \sin^2 \alpha \cos \alpha = 0$.
चूँकि $\cos \alpha \neq 0$,इसलिए $\cos^2 \alpha = 2 \sin^2 \alpha$,जिसका अर्थ है $\tan^2 \alpha = \frac{1}{2}$,या $\tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\alpha = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \cot^{-1}(\sqrt{2})$.

(B) माना समबाहु त्रिभुजाकार आधार की भुजा की लंबाई $a$ है और प्रिज्म की ऊँचाई $h$ है।
आधार के केंद्र $G$ से शीर्ष $A$ तक की दूरी समबाहु त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या है,जो $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ द्वारा दी जाती है।
ऊँचाई $h$,त्रिज्या $R$ और दूरी $l$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,हमारे पास $l^2 = R^2 + h^2 = \frac{a^2}{3} + h^2$ है।
अतः,$a^2 = 3(l^2 - h^2)$ है।
प्रिज्म का आयतन $V = \text{आधार का क्षेत्रफल} \times h = \left( \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \right) h$ है।
$a^2$ का मान रखने पर,हमें $V(h) = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3(l^2 - h^2) h = \frac{3\sqrt{3}}{4} (l^2 h - h^3)$ प्राप्त होता है।
$V$ को अधिकतम करने के लिए,हम $V'(h) = \frac{3\sqrt{3}}{4} (l^2 - 3h^2) = 0$ ज्ञात करते हैं।
$V'(h) = 0$ रखने पर $l^2 = 3h^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $h = \frac{l}{\sqrt{3}}$ है।
अतः,वह ऊँचाई जिसके लिए आयतन अधिकतम है,$\frac{l}{\sqrt{3}}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $y = ax^4 + bx^3 + cx + d$ है।
$1$. बिंदु $(0, 1)$ पर प्रवणता शून्य है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = 4ax^3 + 3bx^2 + c$। $x=0$ पर,$\frac{dy}{dx} = c = 0$।
$2$. बिंदु $(0, 1)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $1 = a(0)^4 + b(0)^3 + c(0) + d$,जिससे $d = 1$ प्राप्त होता है।
$3$. वक्र बिंदु $(-1, 0)$ पर $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए $0 = a(-1)^4 + b(-1)^3 + 1$,जो $a - b + 1 = 0$ या $b = a + 1$ में सरल होता है।
$4$. चूंकि यह $(-1, 0)$ पर $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए $x = -1$ पर प्रवणता भी शून्य है: $\frac{dy}{dx} = 4ax^3 + 3(a+1)x^2 = 0$ जब $x = -1$।
$5$. $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर: $4a(-1)^3 + 3(a+1)(-1)^2 = -4a + 3a + 3 = 0$,जिससे $a = 3$ प्राप्त होता है। अतः $b = 3 + 1 = 4$।
$6$. समीकरण $y = 3x^4 + 4x^3 + 1$ है। अवकलज $\frac{dy}{dx} = 12x^3 + 12x^2 = 12x^2(x + 1)$ है।
$7$. ऋणात्मक प्रवणता के लिए,$\frac{dy}{dx} < 0$,इसलिए $12x^2(x + 1) < 0$। चूंकि $12x^2 \ge 0$,इसलिए $x + 1 < 0$ और $x \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x < -1$।

(A) माना $f(x) = 3x^2 - 2x^3$ और $g(x) = \log_2 (x^2 + 1) - \log_2 x = \log_2 \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right) = \log_2 \left( x + \frac{1}{x} \right)$.
$x > 0$ के लिए,$AM-GM$ असमिका के अनुसार,$x + \frac{1}{x} \geq 2$,इसलिए $g(x) = \log_2 \left( x + \frac{1}{x} \right) \geq \log_2(2) = 1$. $g(x)$ का न्यूनतम मान $1$ है,जो $x = 1$ पर प्राप्त होता है।
अब $f(x) = 3x^2 - 2x^3$ पर विचार करें। इसका अवकलन $f'(x) = 6x - 6x^2 = 6x(1 - x)$ है।
$0 < x < 1$ के लिए $f'(x) > 0$ और $x > 1$ के लिए $f'(x) < 0$ है। अतः,$f(x)$ का स्थानीय अधिकतम मान $x = 1$ पर है।
अधिकतम मान $f(1) = 3(1)^2 - 2(1)^3 = 3 - 2 = 1$ है।
चूंकि $f(x)$ का अधिकतम मान $1$ है और $g(x)$ का न्यूनतम मान $1$ है,इसलिए समीकरण $f(x) = g(x)$ केवल तभी सत्य हो सकता है जब $f(x) = 1$ और $g(x) = 1$ एक साथ हों।
यह केवल $x = 1$ पर होता है।
अतः,केवल $1$ हल प्राप्त होता है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^p (1 - x)^q$ है।
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं।
गुणन नियम का उपयोग करने पर: $f'(x) = p x^{p-1} (1 - x)^q + x^p \cdot q (1 - x)^{q-1} (-1)$.
$f'(x) = x^{p-1} (1 - x)^{q-1} [p(1 - x) - qx]$.
$f'(x) = x^{p-1} (1 - x)^{q-1} [p - px - qx]$.
$f'(x) = x^{p-1} (1 - x)^{q-1} [p - (p + q)x]$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$,$x = 1$,और $x = \frac{p}{p+q}$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि $p, q$ धनात्मक पूर्णांक हैं,अंतराल $(0, 1)$ में,$x = \frac{p}{p+q}$ पर $f'(x)$ का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है।
अतः,फलन का अधिकतम मान $x = \frac{p}{p+q}$ पर प्राप्त होता है।

(A) माना अर्धवृत्त का व्यास $AD = 2R = 1$ है। माना समकोण त्रिभुज $\triangle ABD$ है,जहाँ $C$ बिंदु व्यास $AD$ पर स्थित है और $\angle BCD = 90^{\circ}$ है। माना $AC = x$,तो $CD = 1 - x$ होगा।
वृत्त के गुणधर्म के अनुसार,$BC^2 = AC \times CD = x(1 - x)$।
अतः,$BC = \sqrt{x(1 - x)}$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times AD \times BC = \frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{x(1 - x)} = \frac{1}{2} \sqrt{x - x^2}$।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,हमें $f(x) = x - x^2$ को अधिकतम करना होगा।
अवकलन करने पर,$f'(x) = 1 - 2x$। $f'(x) = 0$ रखने पर,$x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2})} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{t + 3x - x^2}{x - 4}$ है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{(x - 4)(3 - 2x) - (t + 3x - x^2)(1)}{(x - 4)^2}$
$f'(x) = \frac{3x - 2x^2 - 12 + 8x - t - 3x + x^2}{(x - 4)^2}$
$f'(x) = \frac{-x^2 + 8x - (12 + t)}{(x - 4)^2}$
फलन के स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ मान होने के लिए,$f'(x) = 0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल होने चाहिए और ये मूल ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी $x = 4$ के बराबर नहीं होने चाहिए।
अंश को शून्य के बराबर रखने पर: $-x^2 + 8x - (12 + t) = 0$,या $x^2 - 8x + (12 + t) = 0$।
दो भिन्न वास्तविक मूलों के लिए,विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए:
$D = (-8)^2 - 4(1)(12 + t) > 0$
$64 - 48 - 4t > 0$
$16 - 4t > 0$
$4 > t$,जिसका अर्थ है $t < 4$।
साथ ही,$x = 4$ अंश के समीकरण का मूल नहीं होना चाहिए:
$(4)^2 - 8(4) + 12 + t \neq 0$
$16 - 32 + 12 + t \neq 0$
$-4 + t \neq 0 \implies t \neq 4$।
अतः,$t$ के मानों का परिसर $t < 4$ है,जो $(-\infty, 4)$ है।

(A) मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $x$ और $y$ हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल $S = \frac{1}{2}xy$ है,इसलिए $xy = 2S$ है।
समकोण त्रिभुज का कर्ण $h = \sqrt{x^2 + y^2}$ है।
एक समकोण त्रिभुज को परिबद्ध करने वाले वृत्त का व्यास त्रिभुज का कर्ण होता है। अतः,व्यास $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ और त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2} \right)^2 = \frac{\pi}{4}(x^2 + y^2)$ है।
चूंकि $y = \frac{2S}{x}$,हम इसे क्षेत्रफल के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$A(x) = \frac{\pi}{4} \left( x^2 + \left( \frac{2S}{x} \right)^2 \right) = \frac{\pi}{4} \left( x^2 + \frac{4S^2}{x^2} \right)$।
न्यूनतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$A'(x) = \frac{\pi}{4} \left( 2x - \frac{8S^2}{x^3} \right) = 0$।
$2x = \frac{8S^2}{x^3} \implies x^4 = 4S^2 \implies x^2 = 2S$।
$x^2 = 2S$ को क्षेत्रफल के समीकरण में रखने पर:
$A = \frac{\pi}{4} \left( 2S + \frac{4S^2}{2S} \right) = \frac{\pi}{4} (2S + 2S) = \frac{\pi}{4} (4S) = \pi S$।
अतः,वृत्त का न्यूनतम क्षेत्रफल $\pi S$ है।

(B) $\triangle CPQ$ में,$CP = CQ = \alpha$ और $\angle PCQ = 2\theta$ है। आधार $PQ$ की लंबाई $PQ = 2\alpha \sin \theta$ है।
$\triangle CPQ$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \alpha^2 \sin 2\theta$ है।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{CP + CQ + PQ}{2} = \frac{\alpha + \alpha + 2\alpha \sin \theta}{2} = \alpha(1 + \sin \theta)$ है।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\frac{1}{2} \alpha^2 \sin 2\theta}{\alpha(1 + \sin \theta)} = \frac{\alpha}{2} \cdot \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{1 + \sin \theta} = \alpha \cdot \frac{\sin \theta \cos \theta}{1 + \sin \theta}$ है।
$r$ को अधिकतम करने के लिए,हम $f(\theta) = \frac{\sin \theta \cos \theta}{1 + \sin \theta}$ को अधिकतम करते हैं।
मान लीजिए $x = \sin \theta$ है। तो $\cos \theta = \sqrt{1 - x^2}$ है। इसलिए $f(x) = \frac{x \sqrt{1 - x^2}}{1 + x} = x \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$ है।
$f(x)$ का वर्ग करके,हम $g(x) = x^2 \frac{1 - x}{1 + x} = \frac{x^2 - x^3}{1 + x}$ को अधिकतम करते हैं।
$g'(x) = 0$ लेने पर: $\frac{(2x - 3x^2)(1 + x) - (x^2 - x^3)(1)}{(1 + x)^2} = 0$ है।
$(2x + 2x^2 - 3x^2 - 3x^3) - (x^2 - x^3) = 0 \implies -2x^3 - 2x^2 + 2x = 0$ है।
$-2x(x^2 + x - 1) = 0$ है। चूंकि $x = \sin \theta > 0$ है,इसलिए $x^2 + x - 1 = 0$ है।
$x$ के लिए हल करने पर,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$ है। चूंकि $x > 0$ है,इसलिए $x = \sin \theta = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ है।

(C) दिया गया है $S(x) = \int\limits_0^x {\sin \left( {\frac{{\pi {t^2}}}{2}} \right)\,dt} $.
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$S'(x) = \sin \left( {\frac{{\pi {x^2}}}{2}} \right)$.
क्रांतिक बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ $S'(x) = 0$,इसलिए $\sin \left( {\frac{{\pi {x^2}}}{2}} \right) = 0$.
इसका अर्थ है $\frac{{\pi {x^2}}}{2} = n\pi$ किसी पूर्णांक $n$ के लिए,इसलिए $x^2 = 2n$.
अंतराल $[1, 2.4]$ दिया गया है,इसलिए $1 \le x^2 \le 5.76$ है।
$n=1$ के लिए,$x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2} \approx 1.414$.
$n=2$ के लिए,$x^2 = 4 \implies x = 2$.
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $S''(x) = \cos \left( {\frac{{\pi {x^2}}}{2}} \right) \cdot \pi x$.
$x = \sqrt{2}$ पर,$S''(\sqrt{2}) = \cos(\pi) \cdot \pi \sqrt{2} = -\pi \sqrt{2} < 0$,अतः $x = \sqrt{2}$ स्थानीय अधिकतम है।
$x = 2$ पर,$S''(2) = \cos(2\pi) \cdot 2\pi = 2\pi > 0$,अतः $x = 2$ स्थानीय न्यूनतम है।
इस प्रकार,स्थानीय न्यूनतम $x = 2$ पर होता है।

(B) मान लीजिए कि स्थिर पानी में स्टीमर की गति $V$ है और तय की जाने वाली दूरी $d$ है।
धारा के विपरीत स्टीमर की गति $(V - C)$ होगी।
यात्रा में लगा समय $T = \frac{d}{V - C}$ है।
प्रति घंटा पेट्रोल की खपत $P = kV^3$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
कुल ईंधन खपत $F = T \times P = \frac{d}{V - C} \times kV^3 = kd \frac{V^3}{V - C}$ है।
सबसे किफायती गति खोजने के लिए,हम $\frac{dF}{dV} = 0$ रखकर $F$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं।
मान लीजिए $f(V) = \frac{V^3}{V - C}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए: $f'(V) = \frac{(V - C)(3V^2) - V^3(1)}{(V - C)^2} = 0$.
इसका अर्थ है $3V^2(V - C) - V^3 = 0$.
$3V^3 - 3V^2C - V^3 = 0$.
$2V^3 - 3V^2C = 0$.
चूंकि $V \neq 0$,$V^2$ से विभाजित करने पर: $2V - 3C = 0$.
$V = 1.5C$.
अतः,स्थिर पानी में स्टीमर की सबसे किफायती गति $1.5C$ है।

(A) नति परिवर्तन बिंदु वहाँ होता है जहाँ द्वितीय अवकलज $f''(x) = 0$ होता है और चिह्न बदलता है।
सबसे पहले,प्रथम अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = a x^2 + 2(a + 2)x + (a - 1)$.
इसके बाद,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = 2ax + 2(a + 2)$.
नति परिवर्तन बिंदु ज्ञात करने के लिए $f''(x) = 0$ रखें: $2ax + 2(a + 2) = 0 \implies x = -\frac{a + 2}{a}$.
नति परिवर्तन बिंदु के ऋणात्मक होने के लिए,हमें $x < 0$ की आवश्यकता है,इसलिए $-\frac{a + 2}{a} < 0$,जिसका अर्थ है $\frac{a + 2}{a} > 0$.
असमिका $\frac{a + 2}{a} > 0$ को हल करने पर,हमें $a = -2$ और $a = 0$ पर क्रांतिक बिंदु मिलते हैं।
यह व्यंजक $(-\infty, -2)$ और $(0, \infty)$ अंतरालों में धनात्मक है।
अतः,$a$ के मानों का समुच्चय $(-\infty, -2) \cup (0, \infty)$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = (a^2 - 3a + 2) \cos \frac{x}{2} + (a - 1)x + \sin 1$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = -(a^2 - 3a + 2) \sin \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} + (a - 1)$
$f'(x) = -(a - 1)(a - 2) \cdot \frac{1}{2} \sin \frac{x}{2} + (a - 1)$
$f'(x) = (a - 1) \left[ 1 - \frac{a - 2}{2} \sin \frac{x}{2} \right]$.
यदि $f(x)$ का कोई क्रांतिक बिंदु नहीं है,तो सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) \neq 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $a - 1 \neq 0$ (अर्थात $a \neq 1$) और सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $1 - \frac{a - 2}{2} \sin \frac{x}{2} \neq 0$ होना चाहिए।
यदि $a = 2$ है,तो $f'(x) = 1 \neq 0$,जो मान्य है।
यदि $a \neq 2$ है,तो $\sin \frac{x}{2} = \frac{2}{a - 2}$ का $\mathbb{R}$ में कोई हल नहीं होना चाहिए।
यह तब होता है जब $\left| \frac{2}{a - 2} \right| > 1$,जिसका अर्थ है $|a - 2| < 2$.
$-2 < a - 2 < 2 \Rightarrow 0 < a < 4$.
$a \neq 1$ और $0 < a < 4$ को मिलाने पर,हमें $a \in (0, 1) \cup (1, 4)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $f(x) = 1 + a^2x - x^3$.
अवकलन करने पर: $f'(x) = a^2 - 3x^2$.
$f'(x) = 0$ रखने पर $3x^2 = a^2$,अतः $x = \pm \frac{|a|}{\sqrt{3}}$.
द्वितीय अवकलज $f''(x) = -6x$ है।
निम्निष्ठ बिंदु के लिए $f''(x) > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $-6x > 0$,यानी $x < 0$.
अतः,निम्निष्ठ बिंदु $x = -\frac{|a|}{\sqrt{3}}$ है।
अब,असमिका $\frac{x^2 + x + 2}{x^2 + 5x + 6} < 0$ को हल करें।
अंश $x^2 + x + 2$ का विविक्तकर $D = 1 - 8 = -7 < 0$ है,इसलिए यह हमेशा धनात्मक है।
अतः,हमें $x^2 + 5x + 6 < 0$ की आवश्यकता है,जिसे $(x+2)(x+3) < 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
यह $x \in (-3, -2)$ के लिए सत्य है।
$x = -\frac{|a|}{\sqrt{3}}$ को असमिका में रखने पर: $-3 < -\frac{|a|}{\sqrt{3}} < -2$.
$-1$ से गुणा करने पर असमिका बदल जाएगी: $2 < \frac{|a|}{\sqrt{3}} < 3$.
$\sqrt{3}$ से गुणा करने पर: $2\sqrt{3} < |a| < 3\sqrt{3}$.
इसका अर्थ है $a \in (-3\sqrt{3}, -2\sqrt{3}) \cup (2\sqrt{3}, 3\sqrt{3})$.

(B) लागत फलन $C(x) = x^3 - 6x^2 + 15x$ द्वारा दिया गया है।
औसत लागत फलन $AC(x)$ को $\frac{C(x)}{x}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$AC(x) = \frac{x^3 - 6x^2 + 15x}{x} = x^2 - 6x + 15$ जहाँ $x > 0$ है।
न्यूनतम औसत लागत ज्ञात करने के लिए,हम $AC(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{d}{dx}(AC(x)) = \frac{d}{dx}(x^2 - 6x + 15) = 2x - 6$.
अवकलन को शून्य के बराबर रखने पर:
$2x - 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$.
यह सत्यापित करने के लिए कि यह न्यूनतम है,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं:
$\frac{d^2}{dx^2}(AC(x)) = 2$.
चूँकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है $(2 > 0)$,इसलिए फलन $AC(x)$ का $x = 3$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।

(A) मान लीजिए कि आयत का ऊपरी दायां शीर्ष वक्र $y = \frac{\ln x}{x^2}$ पर $(x, y)$ है।
चूंकि आयत की भुजाएं धनात्मक $x$ और $y$ अक्षों पर हैं,इसलिए इसका क्षेत्रफल $A = x \cdot y$ द्वारा दिया जाता है।
$y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$A = x \cdot \frac{\ln x}{x^2} = \frac{\ln x}{x}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $A$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dx} = \frac{x \cdot (\frac{1}{x}) - \ln x \cdot (1)}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.
$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर,$1 - \ln x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\ln x = 1$,इसलिए $x = e$.
यह सत्यापित करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज या $\frac{dA}{dx}$ के चिह्न परिवर्तन की जांच करते हैं। $x < e$ के लिए,$\frac{dA}{dx} > 0$ और $x > e$ के लिए,$\frac{dA}{dx} < 0$ है,जो पुष्टि करता है कि $x = e$ पर अधिकतम मान प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल $A_{max} = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e} = e^{-1}$ है।

(B) माना $f(x) = 3 \tan x + x^3$.
सबसे पहले,हम अवकलन ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 3 \sec^2 x + 3x^2$.
चूंकि $\sec^2 x > 0$ और $x^2 \ge 0$ सभी $x$ के लिए,इसलिए $f'(x) > 0$ सभी $x \in (0, \frac{\pi}{4})$ के लिए।
इसका अर्थ है कि $f(x)$ अंतराल $(0, \frac{\pi}{4})$ पर एक निरंतर वर्धमान फलन है।
अब,अंत बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(0) = 3 \tan(0) + 0^3 = 0$.
$f(\frac{\pi}{4}) = 3 \tan(\frac{\pi}{4}) + (\frac{\pi}{4})^3 = 3(1) + \frac{\pi^3}{64} = 3 + \frac{\pi^3}{64}$.
चूंकि $\pi \approx 3.14$,$\pi^3 \approx 31$,इसलिए $f(\frac{\pi}{4}) \approx 3.48$.
चूंकि $f(0) = 0 < 2$ और $f(\frac{\pi}{4}) \approx 3.48 > 2$,और $f(x)$ सतत और निरंतर वर्धमान है,'इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम' के अनुसार,$(0, \frac{\pi}{4})$ में एक ऐसा मान $c$ मौजूद है जिसके लिए $f(c) = 2$ है।

(D) माना $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x$. $f(x)$ का प्रांत $(-\infty, -1) \cup (0, \infty)$ है।
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = x \ln(1 + \frac{1}{x})$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln(1 + \frac{1}{x}) + x \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x+1}$.
माना $g(x) = \ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x+1}$.
$x > 0$ के लिए,$t = \frac{1}{x}$ लें,तो $t \in (0, \infty)$. $g(t) = \ln(1+t) - \frac{t}{1+t}$.
$g'(t) = \frac{1}{1+t} - \frac{(1+t) - t}{(1+t)^2} = \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} = \frac{t}{(1+t)^2} > 0$ जहाँ $t > 0$.
चूंकि $g(0) = 0$ और $g(t)$ निरंतर वर्धमान है,इसलिए सभी $x > 0$ के लिए $g(x) > 0$ है।
अतः सभी $x > 0$ के लिए $f'(x) > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ अंतराल $(0, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान है।
$x < -1$ के लिए,$x = -u$ लें जहाँ $u > 1$. $f(x) = (1 - \frac{1}{u})^{-u} = (\frac{u-1}{u})^{-u} = (\frac{u}{u-1})^u$.
विश्लेषण से पता चलता है कि $f'(x)$ प्रांत में कहीं भी शून्य नहीं होता है,इसलिए कोई स्थानीय चरम मान (extrema) नहीं हैं।

(D) मान लीजिए $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ घात $3$ का एक बहुपद है,जहाँ $a \neq 0$ है।
तब $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ एक द्विघात बहुपद है।
स्थिर बिंदु $f'(x) = 0$ के मूल होते हैं।
एक द्विघात समीकरण के $0, 1,$ या $2$ वास्तविक मूल हो सकते हैं।
यदि $f'(x) = 0$ का ठीक एक मूल $\alpha$ है,तो $\alpha$ एक पुनरावृत्त मूल (repeated root) होना चाहिए,इसलिए $f'(x) = 3a(x - \alpha)^2$ होगा।
इस स्थिति में,$f''(x) = 6a(x - \alpha)$,जिसका अर्थ है कि $f''(\alpha) = 0$ है।
हालाँकि,प्रश्न में कहा गया है कि किसी भी स्थिर बिंदु पर $f''(x) \neq 0$ है।
इसलिए,$f'(x) = 0$ का कोई पुनरावृत्त मूल नहीं हो सकता है।
अतः,$f'(x) = 0$ के या तो $0$ भिन्न वास्तविक मूल होने चाहिए या $2$ भिन्न वास्तविक मूल होने चाहिए।
इसलिए,$f$ के या तो $0$ या $2$ स्थिर बिंदु हैं।

(C) मान लीजिए कि $x$ अतिरिक्त पेड़ लगाए जाते हैं।
पेड़ों की कुल संख्या $(50 + x)$ हो जाती है।
प्रति पेड़ उत्पादन $(800 - 10x)$ हो जाता है।
कुल उत्पादन $P(x)$ पेड़ों की संख्या और प्रति पेड़ उत्पादन का गुणनफल है:
$P(x) = (50 + x)(800 - 10x)$
$P(x) = 40000 - 500x + 800x - 10x^2$
$P(x) = -10x^2 + 300x + 40000$
उत्पादन को अधिकतम करने के लिए,हम अवकलज $P'(x)$ ज्ञात करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$P'(x) = \frac{d}{dx}(-10x^2 + 300x + 40000) = -20x + 300$
$P'(x) = 0$ रखने पर:
$-20x + 300 = 0$
$20x = 300$
$x = 15$
यह सत्यापित करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं:
$P''(x) = -20$
चूंकि $P''(x) < 0$ है,इसलिए फलन का मान $x = 15$ पर अधिकतम है।

(D) दिया गया वक्र $y = \frac{1}{2\sin^2 x + 3\cos^2 x}$ है।
हर को $2\sin^2 x + 3(1 - \sin^2 x) = 3 - \sin^2 x$ या $2(1 - \cos^2 x) + 3\cos^2 x = 2 + \cos^2 x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$y = \frac{1}{2 + \cos^2 x}$।
स्पर्शरेखा के क्षैतिज होने के लिए,अवकलज $\frac{dy}{dx}$ शून्य होना चाहिए।
$y' = -\frac{1}{(2 + \cos^2 x)^2} \cdot (2\cos x)(-\sin x) = \frac{2\sin x \cos x}{(2 + \cos^2 x)^2} = \frac{\sin 2x}{(2 + \cos^2 x)^2}$।
$y' = 0$ रखने पर $\sin 2x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2x = n\pi$,या $x = \frac{n\pi}{2}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
यदि $n$ सम है,$n = 2k$,तो $x = k\pi$,इसलिए $\cos^2 x = 1$। तब $y = \frac{1}{2 + 1} = 1/3$।
यदि $n$ विषम है,$n = 2k+1$,तो $x = k\pi + \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos^2 x = 0$। तब $y = \frac{1}{2 + 0} = 1/2$।
अतः,$n$ के विषम या सम पूर्णांक होने के अनुसार कोटि $1/2$ या $1/3$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\sin(x + a)}{\sin(x + b)}$ है।
अवकलन के लिए भागफल नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = \frac{\cos(x + a)\sin(x + b) - \sin(x + a)\cos(x + b)}{\sin^2(x + b)}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $f'(x) = \frac{\sin((x + b) - (x + a))}{\sin^2(x + b)} = \frac{\sin(b - a)}{\sin^2(x + b)}$.
फलन का कोई उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान न होने के लिए,अवकलज $f'(x)$ को अपने प्रांत में सभी $x$ के लिए शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ एक अचर फलन है।
यह तब होता है जब $\sin(b - a) = 0$ हो।
$\sin \theta = 0$ के लिए व्यापक हल $\theta = n \pi$ है,जहाँ $n \in I$ है।
अतः,$b - a = n \pi$ जहाँ $n \in I$ है।

(C) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x_0, y_0)$ हैं जहाँ $x_0 > 0$ है। तब $y_0 = e^{-x_0}$ है।
बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m = \frac{dy}{dx} = -e^{-x_0}$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y - e^{-x_0} = -e^{-x_0}(x - x_0)$ है।
$x$-अंतःखंड के लिए,$y = 0$ रखें: $-e^{-x_0} = -e^{-x_0}(x - x_0) \implies x = x_0 + 1$।
$y$-अंतःखंड के लिए,$x = 0$ रखें: $y = e^{-x_0} + x_0 e^{-x_0} = e^{-x_0}(1 + x_0)$।
स्पर्शरेखा और अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} |x_{int}| |y_{int}| = \frac{1}{2} (x_0 + 1) (e^{-x_0}(1 + x_0)) = \frac{1}{2} e^{-x_0} (x_0 + 1)^2$ है।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,$\frac{dA}{dx_0} = \frac{1}{2} [ -e^{-x_0}(x_0 + 1)^2 + e^{-x_0} \cdot 2(x_0 + 1) ] = \frac{1}{2} e^{-x_0} (x_0 + 1) (1 - x_0)$ ज्ञात करें।
$\frac{dA}{dx_0} = 0$ रखने पर $x_0 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $(1, 1/e)$ है।
चूँकि $y = e^{-|x|}$ एक सम फलन है,ग्राफ $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए बिंदु $(-1, 1/e)$ भी समान अधिकतम क्षेत्रफल देता है।
इसलिए,$(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

(D) दिया गया है $f(x) = (x^2 - 1)^n (x^2 + x + 1)$.
$f(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय चरम मान होने के लिए,$f'(1) = 0$ होना चाहिए और $x = 1$ के आसपास $f'(x)$ का चिह्न बदलना चाहिए।
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = n(x^2 - 1)^{n-1}(2x)(x^2 + x + 1) + (x^2 - 1)^n(2x + 1)$.
$(x^2 - 1)^{n-1}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$f'(x) = (x^2 - 1)^{n-1} [2nx(x^2 + x + 1) + (x^2 - 1)(2x + 1)]$.
$x = 1$ के निकट,मान लीजिए $x = 1 + h$ जहाँ $h$ बहुत छोटा है।
अतः $(x^2 - 1) = ((1+h)^2 - 1) = 2h + h^2 \approx 2h$.
इस प्रकार,$f'(1+h) \approx (2h)^{n-1} [2n(1)(3) + (0)(3)] = (2h)^{n-1} (6n)$.
स्थानीय चरम मान के लिए,$f'(x)$ का चिह्न $x = 1$ पर बदलना चाहिए। यह तब होता है यदि $f'(x)$ में $(x-1)$ की घात विषम संख्या हो।
चूंकि $(x^2 - 1)^{n-1} = (x-1)^{n-1}(x+1)^{n-1}$,इसलिए $(x-1)$ की घात $n-1$ है।
चिह्न बदलने के लिए,$n-1$ एक विषम संख्या होनी चाहिए।
अतः,$n-1 = 1, 3, 5, \dots$,जिसका अर्थ है कि $n = 2, 4, 6, \dots$.
इसलिए,$n$ एक सम संख्या होनी चाहिए।
$n=2$ और $n=4$ दोनों सम संख्याएँ हैं।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(C) माना वर्गाकार आधार की भुजा $x$ है और बक्से की ऊँचाई $y$ है।
दिया गया है कि खुले शीर्ष वाले बक्से का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = x^2 + 4xy = 48$ है।
इससे,हम $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: $4xy = 48 - x^2 \Rightarrow y = \frac{48 - x^2}{4x}$।
बक्से का आयतन $V = x^2y$ है।
$y$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $V = x^2 \left( \frac{48 - x^2}{4x} \right) = \frac{1}{4}(48x - x^3)$।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dV}{dx} = \frac{1}{4}(48 - 3x^2)$।
$\frac{dV}{dx} = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $48 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4$ (चूँकि $x > 0$)।
अब,$x = 4$ का उपयोग करके $y$ ज्ञात करें: $y = \frac{48 - 4^2}{4(4)} = \frac{48 - 16}{16} = \frac{32}{16} = 2$।
अधिकतम आयतन $V = x^2y = 4^2 \times 2 = 16 \times 2 = 32 \, m^3$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = x^3 + px + 1$. तब $f'(x) = 3x^2 + p$.
स्थिति $(i)$: यदि $p \geqslant 0$ है,तो सभी $x$ के लिए $f'(x) = 3x^2 + p \geqslant 0$ है। अतः,$f(x)$ मोनोटोनिक रूप से बढ़ रहा है। चूँकि $f(0) = 1$ और $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ है,इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,$(-\infty, 0)$ में ठीक एक वास्तविक मूल मौजूद है। इसलिए,कथन $(i)$ सही है।
स्थिति $(ii)$: यदि $-1 < p < 0$ है,तो $x = \pm \sqrt{-p/3}$ पर $f'(x) = 0$ होता है। चूँकि $f'(x)$ अपना चिह्न बदलता है,इसलिए $f(x)$ नॉन-मोनोटोनिक है। स्थानीय अधिकतम मान $f(-\sqrt{-p/3}) > 0$ और स्थानीय न्यूनतम मान $f(\sqrt{-p/3}) > 0$ है। चूँकि दोनों स्थानीय एक्सट्रीमा धनात्मक हैं,ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बार (ऋणात्मक क्षेत्र में) काटता है। इसलिए,कथन $(ii)$ सही है।
स्थिति $(iii)$: $f(x) = 0$ के तीन भिन्न वास्तविक मूल होने के लिए,स्थानीय अधिकतम मान धनात्मक और स्थानीय न्यूनतम मान ऋणात्मक होना चाहिए। $f_{max} \cdot f_{min} < 0$. $1 + \frac{4p^3}{27} < 0$ जिसका अर्थ है $p < -3/\sqrt[3]{4}$। इसलिए,कथन $(iii)$ सही है।
अतः,तीनों कथन सही हैं। हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $(B)$ है।

(B) फलन $f(x) = x^{10} + x^2 + \frac{1}{x^{12}} + \frac{1}{1 + \sec^{-1} x}$ है।
पद $x^{10} + x^2 + \frac{1}{x^{12}}$ के लिए,हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करते हैं:
$\frac{x^{10} + x^2 + \frac{1}{x^{12}}}{3} \geq \sqrt[3]{x^{10} \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^{12}}} = \sqrt[3]{1} = 1$.
अतः,$x^{10} + x^2 + \frac{1}{x^{12}} \geq 3$। समानता तब होती है जब $x^{10} = x^2 = \frac{1}{x^{12}}$,जिसका अर्थ है $x^2 = 1$,यानी $x = 1$ या $x = -1$।
अब $\sec^{-1} x$ का प्रांत $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ है।
$f(x)$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें पद $\frac{1}{1 + \sec^{-1} x}$ को न्यूनतम करना होगा।
यदि $x = 1$,तो $\sec^{-1}(1) = 0$,इसलिए पद $\frac{1}{1+0} = 1$ है।
यदि $x = -1$,तो $\sec^{-1}(-1) = \pi$,इसलिए पद $\frac{1}{1+\pi}$ है।
चूंकि $\frac{1}{1+\pi} < 1$,न्यूनतम मान $x = -1$ पर प्राप्त होता है।
अतः,$f(-1) = 3 + \frac{1}{1+\pi} = \frac{3(1+\pi) + 1}{1+\pi} = \frac{3\pi + 4}{\pi + 1}$।

(B) माना $R$ त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
गोले और बेलन की ज्यामिति से,हमारे पास संबंध है: $r^{2} + (h/2)^{2} = R^{2}$।
इसका अर्थ है $(h/2)^{2} = R^{2} - r^{2}$,इसलिए $h = 2\sqrt{R^{2} - r^{2}}$।
बेलन का आयतन $V = \pi r^{2} h = 2\pi r^{2} \sqrt{R^{2} - r^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dV}{dr} = 2\pi \left[ 2r \sqrt{R^{2} - r^{2}} + r^{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{R^{2} - r^{2}}} \cdot (-2r) \right] = 2\pi \left[ \frac{2r(R^{2} - r^{2}) - r^{3}}{\sqrt{R^{2} - r^{2}}} \right] = 2\pi \left[ \frac{2rR^{2} - 3r^{3}}{\sqrt{R^{2} - r^{2}}} \right]$।
$\frac{dV}{dr} = 0$ रखने पर,हमें $2rR^{2} - 3r^{3} = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $r \neq 0$,इसलिए $2R^{2} = 3r^{2}$ मिलता है,जो $r^{2} = \frac{2}{3}R^{2}$ देता है,या $r = \sqrt{\frac{2}{3}}R$।
अतः,अधिकतम आयतन वाले बेलन की त्रिज्या $\sqrt{\frac{2}{3}}R$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^4e^{-x^2}$ है।
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं:
$f'(x) = 4x^3e^{-x^2} + x^4e^{-x^2}(-2x) = 2x^3e^{-x^2}(2 - x^2)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$ या $x^2 = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$.
इन बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f(0) = 0^4e^0 = 0$.
$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4e^{-(\sqrt{2})^2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$.
$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^4e^{-(-\sqrt{2})^2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$.
जैसे $x \to \pm \infty$,$f(x) \to 0$.
अतः,अधिकतम मान $\frac{4}{e^2}$ है और न्यूनतम मान $0$ है।
अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर $\frac{4}{e^2} - 0 = \frac{4}{e^2}$ है।

(B) माना $f(x) = (1/x)^x$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln f(x) = x \ln(1/x) = -x \ln x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = -(\ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = -(1 + \ln x)$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखने पर:
$-(1 + \ln x) = 0 \Rightarrow \ln x = -1 \Rightarrow x = e^{-1} = 1/e$ प्राप्त होता है।
अधिकतम मान की जाँच करने के लिए,$x = 1/e$ के आसपास $f'(x)$ के चिह्न का अवलोकन करते हैं:
$x < 1/e$ के लिए,$\ln x < -1$,इसलिए $1 + \ln x < 0$,जिसका अर्थ है कि $f'(x) > 0$ है।
$x > 1/e$ के लिए,$\ln x > -1$,इसलिए $1 + \ln x > 0$,जिसका अर्थ है कि $f'(x) < 0$ है।
चूंकि $x = 1/e$ पर $f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए फलन $x = 1/e$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है।
अधिकतम मान $f(1/e) = (1/(1/e))^{1/e} = e^{1/e}$ है।

(A) माना $R = a/2$ गोले की त्रिज्या है। माना $h$ शंकु की ऊँचाई है और $r$ शंकु के आधार की त्रिज्या है।
गोले की ज्यामिति के अनुसार,यदि गोले का केंद्र शंकु के आधार से $x$ दूरी पर है,तो $h = R + x = a/2 + x$ होगा।
शंकु के आधार की त्रिज्या $r^2 = R^2 - x^2 = (a/2)^2 - x^2$ है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi ((a/2)^2 - x^2)(a/2 + x)$ है।
$V(x) = \frac{1}{3} \pi (a/2 - x)(a/2 + x)^2$.
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$V$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें और इसे $0$ के बराबर रखें:
$\frac{dV}{dx} = \frac{1}{3} \pi [(-1)(a/2 + x)^2 + (a/2 - x) \cdot 2(a/2 + x)] = 0$.
$(a/2 + x) [-(a/2 + x) + 2(a/2 - x)] = 0$.
चूँकि $h \neq 0$,$a/2 + x \neq 0$,इसलिए $-(a/2 + x) + a - 2x = 0$.
$-a/2 - x + a - 2x = 0 \implies a/2 = 3x \implies x = a/6$.
ऊँचाई $h = a/2 + x = a/2 + a/6 = 3a/6 + a/6 = 4a/6 = (2/3)a$.

(B) आयत रेखा $x = \frac{\pi}{2}$ के परितः सममित है।
मान लीजिए कि केंद्र $x = \frac{\pi}{2}$ से भुजाओं की दूरी $\alpha$ है।
शीर्षों $B$ और $C$ के $x-$निर्देशांक क्रमशः $\frac{\pi}{2} - \alpha$ और $\frac{\pi}{2} + \alpha$ हैं।
आयत की ऊँचाई $y = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha$ है।
आयत की चौड़ाई $(\frac{\pi}{2} + \alpha) - (\frac{\pi}{2} - \alpha) = 2\alpha$ है।
अतः,आयत का क्षेत्रफल $A = (2\alpha)(\cos \alpha) = 2\alpha \cos \alpha$ है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $\alpha$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{d\alpha} = 2(\cos \alpha - \alpha \sin \alpha)$.
$\frac{dA}{d\alpha} = 0$ रखने पर,$\cos \alpha = \alpha \sin \alpha$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\cot \alpha = \alpha$ मिलता है (चूंकि अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में $\alpha \neq 0$ और $\sin \alpha \neq 0$ है)।

(B) दिया गया है $f(x) = x^4 + \lambda x^3 + x^2$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 4x^3 + 3\lambda x^2 + 2x$.
चूंकि $f(x)$ का $x = \frac{1}{2}$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है,इसलिए $f'(\frac{1}{2}) = 0$.
$f'(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{8}) + 3\lambda(\frac{1}{4}) + 2(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{3\lambda}{4} + 1 = 0$.
$\frac{3\lambda}{4} = -\frac{3}{2} \Rightarrow \lambda = -2$.
अब,$f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x = 2x(2x^2 - 3x + 1) = 2x(2x - 1)(x - 1)$.
क्रांतिक बिंदु $x = 0, \frac{1}{2}, 1$ हैं।
प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए:
$x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$.
$0 < x < \frac{1}{2}$ के लिए,$f'(x) > 0$ ($x=0$ पर स्थानीय निम्निष्ठ)।
$\frac{1}{2} < x < 1$ के लिए,$f'(x) < 0$ ($x=\frac{1}{2}$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ)।
$x > 1$ के लिए,$f'(x) > 0$ ($x=1$ पर स्थानीय निम्निष्ठ)।
क्रांतिक बिंदुओं पर मानों की गणना:
$f(0) = 0^4 - 2(0)^3 + 0^2 = 0$.
$f(1) = 1^4 - 2(1)^3 + 1^2 = 1 - 2 + 1 = 0$.
अतः,$f(x)$ का निरपेक्ष निम्निष्ठ मान $0$ है।

(A) कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,फलन का अवकलज है:
$f'(x) = e^{x-3}(x^2+2)(x-3)(x+4)^2$
क्रांतिक बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$e^{x-3}(x^2+2)(x-3)(x+4)^2 = 0$
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{x-3} > 0$ और $x^2+2 > 0$ है,इसलिए क्रांतिक बिंदु $x = 3$ और $x = -4$ हैं।
इन बिंदुओं के आसपास $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करने पर:
- $x > 3$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
- $-4 < x < 3$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
- $x < -4$ के लिए,$f'(x) < 0$ है (क्योंकि $(x+4)^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक है)।
$x = 3$ पर,$f'(x)$ का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए $x = 3$ पर फलन $f(x)$ का स्थानीय निम्नतम मान है।
$x = -4$ पर,$f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है (दोनों तरफ ऋणात्मक रहता है),इसलिए यह नति परिवर्तन बिंदु है।
अतः,स्थानीय निम्नतम मान वाला केवल $1$ बिंदु है।

(D) माना $t = e^{\sin^2 x}$ है। चूँकि $0 \le \sin^2 x \le 1$,इसलिए $t \in [e^0, e^1] = [1, e]$ है।
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,$e^{\cos^2 x} = e^{1 - \sin^2 x} = \frac{e}{e^{\sin^2 x}} = \frac{e}{t}$ प्राप्त होता है।
अतः,$t \in [1, e]$ के लिए $f(t) = 7t - \frac{e}{t} + 2$ है।
अवकलन करने पर: $f'(t) = 7 + \frac{e}{t^2}$ प्राप्त होता है।
सभी $t \in [1, e]$ के लिए $f'(t) > 0$ है,अतः फलन $f(t)$ एक वर्धमान फलन है।
इसलिए,$f_{\min} = f(1) = 7(1) - \frac{e}{1} + 2 = 9 - e$ है।
और $f_{\max} = f(e) = 7(e) - \frac{e}{e} + 2 = 7e - 1 + 2 = 7e + 1$ है।
अब,$\sqrt{7f_{\min} + f_{\max}} = \sqrt{7(9 - e) + (7e + 1)} = \sqrt{63 - 7e + 7e + 1} = \sqrt{64} = 8$ है।

(A) माना $g(t) = 2(t - 1)(t - 2)^3 + 3(t - 1)^2(t - 2)^2$.
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = g(x) = 2(x - 1)(x - 2)^3 + 3(x - 1)^2(x - 2)^2$.
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर: $f'(x) = (x - 1)(x - 2)^2 [2(x - 2) + 3(x - 1)]$.
व्यंजक को सरल करने पर: $f'(x) = (x - 1)(x - 2)^2 [2x - 4 + 3x - 3] = (x - 1)(x - 2)^2 (5x - 7)$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखने पर,जिससे $x = 1, x = 2, x = 7/5$ प्राप्त होते हैं।
इन बिंदुओं के आसपास $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करने पर:
$x < 1$ के लिए,$f'(x) > 0$.
$1 < x < 7/5$ के लिए,$f'(x) < 0$.
$7/5 < x < 2$ के लिए,$f'(x) > 0$.
$x > 2$ के लिए,$f'(x) > 0$.
$x = 1$ पर,अवकलज धनात्मक से ऋणात्मक हो जाता है,इसलिए $f(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।

(B) किसी फलन $f(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान होने के लिए,$x = 1$ पर फलन का मान $x$ के $1$ की ओर बाईं ओर से अग्रसर होने पर फलन की सीमा से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
$f(1) = 4(1) = 4$.
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (\cos^{-1}(\mu) + x^2) = \cos^{-1}(\mu) + 1$.
स्थानीय न्यूनतम मान के लिए,$f(1) \leq \lim_{x \to 1^-} f(x)$ होना चाहिए।
$4 \leq \cos^{-1}(\mu) + 1$.
$\cos^{-1}(\mu) \geq 3$.
चूंकि $\cos^{-1}(\mu)$ का परिसर $[0, \pi]$ है,इसलिए $3 \leq \cos^{-1}(\mu) \leq \pi$.
सभी पदों का कोसाइन लेने पर (ध्यान दें कि $[0, \pi]$ में $\cos$ एक घटता हुआ फलन है,इसलिए असमानता के चिह्न बदल जाएंगे):
$\cos(3) \leq \mu \leq \cos(0)$.
चूंकि $\cos(0) = 1$,इसलिए $\cos(3) \leq \mu \leq 1$.
अतः,$\mu$ का अंतराल $[\cos 3, 1]$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = |x^2 - 2|x||$ है। चूँकि $x^2 = |x|^2$,हम लिख सकते हैं $f(x) = ||x|^2 - 2|x||$.
माना $t = |x|$,जहाँ $t \ge 0$ है। तब $g(t) = |t^2 - 2t|$.
$t \ge 0$ के लिए $g(t)$ के ग्राफ में $t=1$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ मान प्राप्त होता है जहाँ $g(1) = |1-2| = 1$,और $t=0$ पर $g(0)=0$ तथा $t=2$ पर $g(2)=0$ स्थानीय निम्निष्ठ मान प्राप्त होते हैं।
चूँकि $t = |x|$ है,$f(x)$ के लिए स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु $x = \pm 1$ पर प्राप्त होते हैं। अतः,$M = 2$.
$f(x)$ के लिए स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु $x = 0, 2, -2$ पर प्राप्त होते हैं। अतः,$m = 3$.
इसलिए,$2M + m = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7$.

(C) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x} e^{x+t} dt$।
हम समाकलन को $f(x) = e^x \int_{0}^{x} e^t dt$ के रूप में लिख सकते हैं।
समाकलन का मान निकालने पर,$f(x) = e^x [e^t]_{0}^{x} = e^x (e^x - 1) = e^{2x} - e^x$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा के $x$-अक्ष के समांतर होने के लिए,अवकलज $f'(x) = 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = \frac{d}{dx} (e^{2x} - e^x) = 2e^{2x} - e^x$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,$2e^{2x} - e^x = 0$ प्राप्त होता है।
$e^x (2e^x - 1) = 0$।
चूंकि $e^x$ कभी $0$ नहीं हो सकता,इसलिए $2e^x - 1 = 0$,जिसका अर्थ है $e^x = \frac{1}{2}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$x = \ln(\frac{1}{2}) = -\ln 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $f(x) = 7e^{\sin^2 x} - 7e^{\cos^2 x} + 2$.
माना $u = \sin^2 x$,जहाँ $u \in [0, 1]$.
अतः $f(u) = 7e^u - 7e^{1-u} + 2$.
अवकलन करने पर $f'(u) = 7e^u + 7e^{1-u} > 0$.
अतः फलन एक वर्धमान फलन है।
न्यूनतम मान $u=0$ पर: $f_{\min} = 9 - 7e$.
अधिकतम मान $u=1$ पर: $f_{\max} = 7e - 5$.
गणना करने पर,$\sqrt{7f_{\min} + f_{\max}} = 8$ प्राप्त होता है।

(C) किसी फलन $f(x)$ का $x = a$ पर स्थानीय न्यूनतम मान होने के लिए,$x = a$ पर फलन का मान $a$ के निकटतम पड़ोस में फलन के मानों से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
विशेष रूप से,$x = 1$ के लिए,हमें $f(1) \le f(1 - h)$ और $f(1) \le f(1 + h)$ की आवश्यकता है,जहाँ $h$ एक छोटी धनात्मक संख्या है।
सबसे पहले,$x \ge 1$ के लिए परिभाषा का उपयोग करके $f(1)$ ज्ञात करें: $f(1) = \sec^{-1}(1) + \lambda = 0 + \lambda = \lambda$.
इसके बाद,$x \to 1^-$ के लिए सीमा लें: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
$x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान होने के लिए,$x = 1$ पर मान $1$ के बाईं ओर के मानों से कम या बराबर होना चाहिए। अतः,हमें $\lambda \le \frac{\pi}{4}$ की आवश्यकता है।
इसके अलावा,$x > 1$ के लिए,$f(x) = \sec^{-1}(x) + \lambda$ है। चूँकि $\sec^{-1}(x)$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $\lambda$ के किसी भी मान के लिए सभी $x > 1$ के लिए $f(x) > f(1)$ होगा।
अतः,$x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान के लिए शर्त $\lambda \le \frac{\pi}{4}$ है,जो अंतराल $\left( -\infty, \frac{\pi}{4} \right]$ को दर्शाता है।

(D) फलन को $f(x) = -\ln({3x})$ के रूप में परिभाषित किया गया है जब $3x \neq n$,जहाँ ${3x}$,$3x$ का भिन्नात्मक भाग है। जब $3x = n$ होता है,तो $f(x) = \ln(\operatorname{sgn}(n)) = \ln(1) = 0$ होता है।
अतः,$f(x) = \begin{cases} -\ln({3x}) & ; 3x \neq n \\ 0 & ; 3x = n \end{cases}$ है।
चूंकि ${3x} \in [0, 1)$,$-\ln({3x})$ का मान ${3x} \in (0, 1)$ के लिए परिभाषित है। जैसे ही ${3x} \to 1^-$ होता है,$-\ln({3x}) \to 0^+$ होता है। $3x = n$ पर,$f(x) = 0$ है।
इसका अर्थ है कि फलन $f(x)$ अंतराल $(0, 5)$ में प्रत्येक बिंदु $x = \frac{n}{3}$ के लिए,जहाँ $n \in \{1, 2, \dots, 14\}$ है,$0$ के करीब पहुँचता है।
चूंकि फलन के मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होते हैं (क्योंकि ${3x} \in (0, 1)$ के लिए $-\ln({3x}) > 0$ और $f(n/3) = 0$),फलन का न्यूनतम मान $0$ है।
यह न्यूनतम मान $x = \frac{n}{3}$ के लिए $n = 1, 2, \dots, 14$ सभी बिंदुओं पर प्राप्त होता है।
इसलिए,ऐसे कुल $14$ बिंदु हैं।

(C) दिए गए प्राचलिक समीकरण: $y = \sin \theta \cos^2 \theta$ और $x = \sin^2 \theta \cos \theta$।
$x$-अक्ष के समानांतर स्पर्श रेखाओं के लिए,$\frac{dy}{d\theta} = 0$ रखें:
$\frac{dy}{d\theta} = \cos^3 \theta - 2 \sin^2 \theta \cos \theta = \cos \theta (\cos^2 \theta - 2 \sin^2 \theta) = 0$।
इससे $\cos \theta = 0$ या $\tan^2 \theta = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$\tan^2 \theta = \frac{1}{2}$ के लिए,$\sin^2 \theta = \frac{1}{3}$ और $\cos^2 \theta = \frac{2}{3}$।
अतः,$y = \pm \frac{2}{3\sqrt{3}}$।
इसी प्रकार,$y$-अक्ष के समानांतर स्पर्श रेखाओं के लिए,$\frac{dx}{d\theta} = 0$ रखें:
$\frac{dx}{d\theta} = 2 \sin \theta \cos^2 \theta - \sin^3 \theta = \sin \theta (2 \cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 0$।
इससे $\sin \theta = 0$ या $\tan^2 \theta = 2$ प्राप्त होता है।
$\tan^2 \theta = 2$ के लिए,$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$।
इन रेखाओं द्वारा निर्मित आयत का क्षेत्रफल $\frac{16}{27}$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 10$.
स्थानीय उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2 = 5x^2(x^2 - 4x + 3) = 5x^2(x - 1)(x - 3)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें क्रांतिक बिंदु $x = 0, 1, 3$ प्राप्त होते हैं।
अब,हम इन बिंदुओं के आसपास $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं:
$x < 0$ के लिए,$f'(x) > 0$.
$0 < x < 1$ के लिए,$f'(x) > 0$.
$1 < x < 3$ के लिए,$f'(x) < 0$.
$x > 3$ के लिए,$f'(x) > 0$.
चूंकि $x = 1$ पर $f'(x)$ का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए $x = 1$ स्थानीय उच्चतम बिंदु है $(p = 1)$।
चूंकि $x = 3$ पर $f'(x)$ का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए $x = 3$ स्थानीय निम्नतम बिंदु है $(q = 3)$।
अतः,$(p, q) = (1, 3)$।