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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^x {{e^{\frac{{ - {t^2}}}{2}}}} \left( {1 - {t^2}} \right)\,dt$। अवकलन के लिए लेबनीज नियम का उपयोग करने पर: $f'(x

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$-1$

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(B) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^x {{e^{\frac{{ - {t^2}}}{2}}}} \left( {1 - {t^2}} \right)\,dt$। अवकलन के लिए लेबनीज नियम का उपयोग करने पर: $f'(x) = e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}} (1 - x^2)$। स्थानीय चरम मान के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर: $e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}} (1 - x^2) = 0$। चूंकि $e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}} > 0$ सभी $x$ के लिए,इसलिए $1 - x^2 = 0$,जिसका अर्थ है $x^2 = 1$,अर्थात $x = \pm 1$। अब,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करते हैं: $f''(x) = e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}} (-2x) + (1 - x^2) e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}} (-x) = e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}} (x^3 - 3x)$। क्रांतिक बिंदुओं पर $f''(x)$ का चिह्न जाँचने पर: $x = 1$ पर: $f''(1) = e^{-1/2} (1 - 3) = -2e^{-1/2} $x = -1$ पर: $f''(-1) = e^{-1/2} (-1 + 3) = 2e^{-1/2} > 0$ (स्थानीय निम्निष्ठ)। अतः,$f(x)$ का मान $x = -1$ पर न्यूनतम है।

यदि $f(x) = \int\limits_0^x {{e^{\frac{{ - {t^2}}}{2}}}} \left( {1 - {t^2}} \right)\,dt$ है,तो $f(x)$ का मान $x = \dots$ पर न्यूनतम है।

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