Area bounded by region of single curve Questions in Hindi

(A) प्रथम चतुर्थांश में वक्र $y^2=x$,$X$-अक्ष और रेखाओं $x=1$ तथा $x=4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित निश्चित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{1}^{4} y \, dx$
चूंकि $y^2=x$ और हम प्रथम चतुर्थांश में हैं,इसलिए $y = \sqrt{x} = x^{1/2}$ होगा।
$A = \int_{1}^{4} x^{1/2} \, dx$
समाकलन के घात नियम $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ का उपयोग करने पर:
$A = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{2}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2})$
$A = \frac{2}{3} (8 - 1) = \frac{2}{3} (7) = \frac{14}{3}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया वक्र $y^2 = 4x$ है,जिसका अर्थ है $x = \frac{y^2}{4}$.
चूंकि क्षेत्र $Y$-अक्ष $(x = 0)$,वक्र $x = \frac{y^2}{4}$ और रेखा $y = 3$ द्वारा परिबद्ध है,इसलिए क्षेत्रफल $A$ को $y = 0$ से $y = 3$ तक के समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$A = \int_{0}^{3} x \, dy = \int_{0}^{3} \frac{y^2}{4} \, dy$.
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3}$.
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{3^3}{3} - 0 \right) = \frac{1}{4} \times \frac{27}{3} = \frac{9}{4}$ वर्ग इकाई.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिए गए परवलय का समीकरण $x^2 = 12y$ है। इसे $x^2 = 4ay$ से तुलना करने पर,हमें $4a = 12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 3$.
परवलय की नाभि $(0, a) = (0, 3)$ है।
नाभिलंब का समीकरण $y = 3$ है।
यह क्षेत्र परवलय $y = \frac{x^2}{12}$ और रेखा $y = 3$ द्वारा परिबद्ध है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y = 3$ को $x^2 = 12y$ में रखने पर,$x^2 = 36$ प्राप्त होता है,अतः $x = \pm 6$.
क्षेत्रफल $A$ समाकलन $A = \int_{-6}^{6} (3 - \frac{x^2}{12}) dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि फलन सम है,$A = 2 \int_{0}^{6} (3 - \frac{x^2}{12}) dx$.
$A = 2 [3x - \frac{x^3}{36}]_{0}^{6} = 2 [3(6) - \frac{216}{36}] = 2 [18 - 6] = 2(12) = 24$ वर्ग इकाई।

(B) क्षेत्रफल $A$,$x = 0$ से $x = \pi$ तक फलन $y = \sin 2x$ के निरपेक्ष मान का समाकलन है।
$A = \int_{0}^{\pi} |\sin 2x| \, dx$
चूंकि $\sin 2x$ का मान $x = \frac{\pi}{2}$ पर चिन्ह बदलता है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_{0}^{\pi/2} \sin 2x \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} -\sin 2x \, dx$
प्रथम भाग का मूल्यांकन:
$\int_{0}^{\pi/2} \sin 2x \, dx = [-\frac{\cos 2x}{2}]_{0}^{\pi/2} = -\frac{1}{2}(\cos \pi - \cos 0) = -\frac{1}{2}(-1 - 1) = 1$
द्वितीय भाग का मूल्यांकन:
$\int_{\pi/2}^{\pi} -\sin 2x \, dx = [\frac{\cos 2x}{2}]_{\pi/2}^{\pi} = \frac{1}{2}(\cos 2\pi - \cos \pi) = \frac{1}{2}(1 - (-1)) = 1$
कुल क्षेत्रफल $A = 1 + 1 = 2$ वर्ग इकाई।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $2x^2 + 3y^2 = 1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{x^2}{1/2} + \frac{y^2}{1/3} = 1$.
यहाँ,$a^2 = \frac{1}{2}$ और $b^2 = \frac{1}{3}$ है,इसलिए $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $b = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi ab$ है।
मान रखने पर,हमें $A = \pi \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{\sqrt{6}}$ वर्ग इकाई प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया समीकरण $|x| + y = 1$ है,जिसे $y = 1 - |x|$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह समीकरण दो रेखाओं को दर्शाता है:
$1$) $x \ge 0$ के लिए,$y = 1 - x$.
$2$) $x < 0$ के लिए,$y = 1 - (-x) = 1 + x$.
यह क्षेत्र इन रेखाओं और $x$-अक्ष $(y = 0)$ द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्र के शीर्ष $(0, 1)$,$(1, 0)$ और $(-1, 0)$ हैं।
यह एक त्रिभुज बनाता है जिसका आधार $b = 1 - (-1) = 2$ और ऊँचाई $h = 1$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ वर्ग इकाई है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$a > b$ के लिए,उत्केंद्रता $e$ का मान $b^2 = a^2(1 - e^2)$ से प्राप्त होता है,जिससे $ae = \sqrt{a^2 - b^2}$ मिलता है।
नाभिलंब की रेखा $x = ae$ है।
दीर्घवृत्त और उसके नाभिलंब द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $2 \int_{ae}^{a} y \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $y = \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2}$,क्षेत्रफल $2 \frac{b}{a} \int_{ae}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$ होगा।
समाकलन सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करते हुए,$ae$ से $a$ तक सीमाएं लगाने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{2b}{a} [\frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})]_{ae}^{a}$।
इसे हल करने पर सही विकल्प $b(be + a \sin^{-1} e)$ प्राप्त होता है।

(A) वक्र $y = f(x)$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x = a$ तथा $x = b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$
यहाँ दिया गया वक्र $xy = 4$ है,इसलिए $y = \frac{4}{x}$ होगा।
यह क्षेत्र $x = 1$ और $x = 3$ के बीच स्थित है।
अतः,क्षेत्रफल $A$:
$A = \int_{1}^{3} \frac{4}{x} \, dx$
$A = 4 \int_{1}^{3} \frac{1}{x} \, dx$
$A = 4 [\ln |x|]_{1}^{3}$
$A = 4 (\ln 3 - \ln 1)$
चूँकि $\ln 1 = 0$ है,इसलिए:
$A = 4 \ln 3$
अतः,क्षेत्रफल $4 \log 3$ वर्ग इकाई है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है। इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,हमें $4a = 8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 2$.
परवलय की नाभि $(a, 0) = (2, 0)$ है।
नाभिलंब का समीकरण $x = a = 2$ है।
परवलय $x$-अक्ष के परितः सममित है।
परवलय और उसके नाभिलंब द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{2} y \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $y^2 = 8x$,इसलिए $y = \sqrt{8x} = 2\sqrt{2} \sqrt{x}$ है।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$A = 2 \int_{0}^{2} 2\sqrt{2} \sqrt{x} \, dx = 4\sqrt{2} \int_{0}^{2} x^{1/2} \, dx$ प्राप्त होता है।
समाकलन का मान निकालने पर: $A = 4\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} = 4\sqrt{2} \times \frac{2}{3} \times (2)^{3/2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \times 2\sqrt{2} = \frac{16 \times 2}{3} = \frac{32}{3}$ वर्ग इकाई।

(C) क्षेत्रफल $A$ फलन के निरपेक्ष मान के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है: $A = \int_{0}^{3\pi/2} |\cos x| \, dx$.
चूंकि $\cos x$,$[0, \pi/2]$ में धनात्मक है और $[\pi/2, 3\pi/2]$ में ऋणात्मक है,हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} -\cos x \, dx$.
प्रथम भाग का मान: $[\sin x]_{0}^{\pi/2} = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.
द्वितीय भाग का मान: $-[\sin x]_{\pi/2}^{3\pi/2} = -(\sin(3\pi/2) - \sin(\pi/2)) = -(-1 - 1) = -(-2) = 2$.
कुल क्षेत्रफल $A = 1 + 2 = 3$ वर्ग इकाई।

(C) वक्र $y = x|x|$ द्वारा दिया गया है।
हम इसे टुकड़ों में इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:
$y = \begin{cases} x^2, & \text{यदि } x \ge 0 \\ -x^2, & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$
क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{-1}^{1} |y| \, dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
चूंकि फलन $y = x|x|$ एक विषम फलन है,इसलिए वक्र और $x$-अक्ष के बीच $x=-1$ से $x=1$ तक का परिबद्ध क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$A = \int_{-1}^{0} | -x^2 | \, dx + \int_{0}^{1} | x^2 | \, dx$
$A = \int_{-1}^{0} x^2 \, dx + \int_{0}^{1} x^2 \, dx$
$A = [\frac{x^3}{3}]_{-1}^{0} + [\frac{x^3}{3}]_{0}^{1}$
$A = (0 - (-\frac{1}{3})) + (\frac{1}{3} - 0)$
$A = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) वक्र $y = x|x|$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि अंतराल $x \in [0, 1]$ है,इसलिए $x \ge 0$ होगा,अतः $|x| = x$ होगा।
इस प्रकार,$x \in [0, 1]$ के लिए वक्र $y = x \cdot x = x^2$ बन जाता है।
वक्र,$X$-अक्ष और रेखाओं $x=0$ तथा $x=1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ को निश्चित समाकलन द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$A = \int_{0}^{1} |y| \, dx = \int_{0}^{1} x^2 \, dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$.
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{3}$ वर्ग इकाई है।

(C) दिया गया वक्र $y^2 = 4x$ है,जिसका अर्थ है $x = \frac{y^2}{4}$।
हमें इस वक्र,$Y$-अक्ष $(x = 0)$ और रेखा $y = 3$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
यह क्षेत्र $y = 0$ से $y = 3$ तक परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{0}^{3} x \, dy$ द्वारा प्राप्त होता है।
$x = \frac{y^2}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A = \int_{0}^{3} \frac{y^2}{4} \, dy$ प्राप्त होता है।
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3}$।
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{27}{3} - 0 \right) = \frac{1}{4} \times 9 = \frac{9}{4}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) क्षेत्रफल $A$ दिए गए अंतराल पर फलन के निरपेक्ष मान का समाकलन है:
$A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} |\cos x| \, dx$
अंतराल $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ में,$\cos x$ का मान ऋणात्मक होता है।
अतः,$|\cos x| = -\cos x$ होगा।
$A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} -\cos x \, dx$
$A = -[\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}$
$A = -(\sin(\frac{3\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2}))$
$A = -(-1 - 1) = -(-2) = 2$
अतः,क्षेत्रफल $2$ वर्ग इकाई है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
इसका अर्थ है कि $a = 4$ और $b = 3$ है।
दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi ab$ होता है।
$a$ और $b$ के मान रखने पर,हमें $A = \pi \times 4 \times 3 = 12 \pi$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^2 + 4y^2 = 36$ है।
दोनों पक्षों को $36$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{9x^2}{36} + \frac{4y^2}{36} = 1$
$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$
यह $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ के रूप में है, जहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
अतः, $a = 3$ और $b = 2$ है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi ab$ है।
मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
$A = \pi \times 3 \times 2 = 6\pi$ वर्ग इकाई।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 12x$ है। इसकी तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,हमें $4a = 12$ प्राप्त होता है,अतः $a = 3$ है।
नाभिलंब रेखा $x = a = 3$ है।
परवलय और उसके नाभिलंब द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{a} y \, dx = 2 \int_{0}^{3} \sqrt{12x} \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
$A = 2 \times \sqrt{12} \int_{0}^{3} x^{1/2} \, dx = 2 \times 2\sqrt{3} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{3}$.
$A = 4\sqrt{3} \times \frac{2}{3} \times (3)^{3/2} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \times 3\sqrt{3} = 8 \times 3 = 24$ वर्ग इकाई।

(B) दिया गया वक्र $y^2 = 4x$ है,जिसका अर्थ है $x = \frac{y^2}{4}$।
चूंकि क्षेत्र $Y$-अक्ष $(x = 0)$,वक्र $x = \frac{y^2}{4}$ और रेखा $y = 3$ द्वारा परिबद्ध है,इसलिए क्षेत्रफल $A$ को $y = 0$ से $y = 3$ तक समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$A = \int_{0}^{3} x \, dy = \int_{0}^{3} \frac{y^2}{4} \, dy$
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3}$
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{3^3}{3} - 0 \right) = \frac{1}{4} \times \frac{27}{3} = \frac{9}{4}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) क्षेत्रफल $A$,$x = -\frac{\pi}{2}$ से $x = \pi$ तक फलन $y = \cos x$ के मापांक का समाकलन है।
$A = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\pi} |\cos x| \, dx$.
चूंकि $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के लिए $\cos x \ge 0$ और $x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ के लिए $\cos x \le 0$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-\cos x) \, dx$.
पहले भाग का मूल्यांकन:
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2$.
दूसरे भाग का मूल्यांकन:
$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} -\cos x \, dx = [-\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -(\sin \pi - \sin \frac{\pi}{2}) = -(0 - 1) = 1$.
कुल क्षेत्रफल $A = 2 + 1 = 3$ वर्ग इकाई।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $4a = 4$,इसलिए $a = 1$ है।
परवलय की नाभि $(a, 0) = (1, 0)$ है।
नाभिलंब रेखा $x = 1$ है।
परवलय और नाभिलंब द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{1} y \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $y^2 = 4x$,इसलिए $y = 2\sqrt{x}$ है।
$A = 2 \int_{0}^{1} 2\sqrt{x} \, dx = 4 \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx$.
$A = 4 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = 4 \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{1}$.
$A = \frac{8}{3} [1 - 0] = \frac{8}{3}$ वर्ग इकाई।

(C) क्षेत्रफल $A$ अंतराल $[0, 2]$ पर फलन के निरपेक्ष मान का समाकलन है।
$A = \int_{0}^{2} |\sin(\pi x)| \, dx$
चूंकि $x \in [0, 1]$ के लिए $\sin(\pi x) \ge 0$ और $x \in [1, 2]$ के लिए $\sin(\pi x) \le 0$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_{0}^{1} \sin(\pi x) \, dx + \int_{1}^{2} -\sin(\pi x) \, dx$
पहले भाग का मूल्यांकन:
$\int_{0}^{1} \sin(\pi x) \, dx = [-\frac{\cos(\pi x)}{\pi}]_{0}^{1} = -\frac{1}{\pi}(\cos(\pi) - \cos(0)) = -\frac{1}{\pi}(-1 - 1) = \frac{2}{\pi}$
दूसरे भाग का मूल्यांकन:
$\int_{1}^{2} -\sin(\pi x) \, dx = [\frac{\cos(\pi x)}{\pi}]_{1}^{2} = \frac{1}{\pi}(\cos(2\pi) - \cos(\pi)) = \frac{1}{\pi}(1 - (-1)) = \frac{2}{\pi}$
कुल क्षेत्रफल $A = \frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) वक्र $y=f(x)$,$X$-अक्ष और रेखाओं $x=a$ तथा $x=b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,वक्र $y = 9 - x^2$ है और सीमाएँ $x=0$ से $x=3$ हैं।
चूँकि $x \in [0, 3]$ के लिए $9 - x^2 \geq 0$ है,इसलिए क्षेत्रफल होगा:
$A = \int_{0}^{3} (9 - x^2) dx$
$A = [9x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3}$
$A = (9(3) - \frac{3^3}{3}) - (9(0) - \frac{0^3}{3})$
$A = (27 - \frac{27}{3}) - 0$
$A = 27 - 9 = 18$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ है,जिसे $\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ,$a=4$ और $b=3$ है।
आकृति से,छायांकित क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में दीर्घवृत्त द्वारा घिरा हुआ है,जो $x=0$ और $x=4$ के बीच है,और रेखा $(0,3)$ और $(4,0)$ को जोड़ती है।
$(0,3)$ और $(4,0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$ है,जो $y = \frac{3}{4}(4-x)$ देता है।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में दीर्घवृत्त के नीचे के क्षेत्रफल में से रेखा के नीचे के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{4} \frac{3}{4}\sqrt{16-x^2} \, dx - \int_{0}^{4} \frac{3}{4}(4-x) \, dx$.
$= \frac{3}{4} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{16-x^2} + \frac{16}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{4}) \right]_{0}^{4} - \frac{3}{4} \left[ 4x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$.
$= \frac{3}{4} [0 + 8(\frac{\pi}{2})] - \frac{3}{4} [16 - 8] = 3\pi - 6 = 3(\pi-2)$ वर्ग इकाई।

(C) दिए गए वक्र का समीकरण $x + 2y + 8 = 0$ है,जिसे $x = -2y - 8$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वक्र $x = f(y)$ और रेखाओं $y = c$ तथा $y = d$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = \int_{c}^{d} |x| \, dy$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$c = -3$ और $d = -1$ है।
अतः,$A = \int_{-3}^{-1} |-2y - 8| \, dy$।
चूंकि $y \in [-3, -1]$ के लिए,$-2y - 8$ का मान ऋणात्मक है (उदाहरण के लिए,$y = -2$ पर,$-2(-2) - 8 = -4$),इसलिए $|-2y - 8| = 2y + 8$ होगा।
इस प्रकार,$A = \int_{-3}^{-1} (2y + 8) \, dy$।
समाकलन करने पर,$A = [y^2 + 8y]_{-3}^{-1}$।
सीमाओं का मान रखने पर: $A = ((-1)^2 + 8(-1)) - ((-3)^2 + 8(-3))$।
$A = (1 - 8) - (9 - 24) = -7 - (-15) = -7 + 15 = 8$।
अतः,क्षेत्रफल $8$ वर्ग इकाई है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ और उसके नाभिलंब $x = a$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = 2 \int_{0}^{a} \sqrt{4ax} \, dx$
$A = 2 \times 2\sqrt{a} \int_{0}^{a} x^{1/2} \, dx$
$A = 4\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{a}$
$A = 4\sqrt{a} \times \frac{2}{3} \times a^{3/2} = \frac{8}{3} a^2$
दिया गया है कि क्षेत्रफल $24$ वर्ग इकाई है,इसलिए:
$\frac{8}{3} a^2 = 24$
$a^2 = 24 \times \frac{3}{8} = 9$
$a = \pm 3$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) क्षेत्रफल $A$,$x = -1$ से $x = 1$ तक फलन $y = x^2 - x - 6$ के मापांक का समाकलन है।
सबसे पहले,हम जाँचते हैं कि क्या वक्र अंतराल $[-1, 1]$ में $x$-अक्ष को काटता है।
$y = 0$ रखने पर,$x^2 - x - 6 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $(x - 3)(x + 2) = 0$ हैं।
शून्यक $x = 3$ और $x = -2$ हैं।
चूँकि ये दोनों मान अंतराल $[-1, 1]$ में नहीं आते हैं,इसलिए फलन $y = x^2 - x - 6$ इस अंतराल में अपना चिह्न नहीं बदलता है।
$x \in [-1, 1]$ के लिए,$x^2 - x - 6$ ऋणात्मक है (उदाहरण के लिए,$x = 0$ पर,$y = -6$)।
अतः,क्षेत्रफल $A = \int_{-1}^{1} |x^2 - x - 6| \, dx = \int_{-1}^{1} -(x^2 - x - 6) \, dx$ होगा।
$A = - \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 6x \right]_{-1}^{1}$.
$A = - \left[ (\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6) - (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 6) \right]$.
$A = - \left[ \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 6 \right]$.
$A = - \left[ \frac{2}{3} - 12 \right] = - \left[ \frac{2 - 36}{3} \right] = - \left[ -\frac{34}{3} \right] = \frac{34}{3}$ वर्ग इकाई।

(D) क्षेत्रफल $A$ अंतराल $[1, 3]$ पर फलन के मापांक का समाकलन है।
$A = \int_{1}^{3} |\sin(\pi x)| \, dx$.
चूंकि $\sin(\pi x)$,$x = 2$ पर अपना चिह्न बदलता है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_{1}^{2} |\sin(\pi x)| \, dx + \int_{2}^{3} |\sin(\pi x)| \, dx$.
अंतराल $[1, 2]$ में,$\sin(\pi x) \leq 0$ है,इसलिए $|\sin(\pi x)| = -\sin(\pi x)$.
अंतराल $[2, 3]$ में,$\sin(\pi x) \geq 0$ है,इसलिए $|\sin(\pi x)| = \sin(\pi x)$.
$A = \int_{1}^{2} -\sin(\pi x) \, dx + \int_{2}^{3} \sin(\pi x) \, dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = \left[ \frac{\cos(\pi x)}{\pi} \right]_{1}^{2} + \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi} \right]_{2}^{3}$.
$A = \frac{1}{\pi} (\cos(2\pi) - \cos(\pi)) - \frac{1}{\pi} (\cos(3\pi) - \cos(2\pi))$.
$A = \frac{1}{\pi} (1 - (-1)) - \frac{1}{\pi} (-1 - 1) = \frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) क्षेत्रफल $A$ अंतराल $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ पर फलन के निरपेक्ष मान का समाकलन है।
$A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} |\cos x| \, dx$
अंतराल $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ में,$\cos x$ अंतराल $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ में ऋणात्मक है।
अतः,$|\cos x| = -\cos x$.
$A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} -\cos x \, dx$
$A = -[\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}$
$A = -[\sin(\frac{3\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2})]$
$A = -[-1 - 1]$
$A = -[-2] = 2$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) वक्र $y = f(x)$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x = a$ तथा $x = b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
यहाँ दिए गए वक्र $y = -2\sqrt{x}$,रेखाओं $x = 0$ और $x = 1$ तथा $x$-अक्ष $(y = 0)$ के लिए क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{1} |-2\sqrt{x}| \, dx$
$A = \int_{0}^{1} 2\sqrt{x} \, dx$
$A = 2 \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx$
$A = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1}$
$A = 2 \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{1}$
$A = \frac{4}{3} (1^{3/2} - 0^{3/2})$
$A = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) वक्र $y = f(x)$,$X$-अक्ष और रेखाओं $x = a$ तथा $x = b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} y \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ वक्र $y = x^2 + 2$ और सीमाएँ $x = 1$ तथा $x = 2$ दी गई हैं,अतः क्षेत्रफल:
$A = \int_{1}^{2} (x^2 + 2) \, dx$
फलन का समाकलन करने पर:
$A = [\frac{x^3}{3} + 2x]_{1}^{2}$
ऊपरी और निचली सीमाएँ रखने पर:
$A = (\frac{2^3}{3} + 2(2)) - (\frac{1^3}{3} + 2(1))$
$A = (\frac{8}{3} + 4) - (\frac{1}{3} + 2)$
$A = (\frac{8 + 12}{3}) - (\frac{1 + 6}{3})$
$A = \frac{20}{3} - \frac{7}{3} = \frac{13}{3}$
अतः,क्षेत्रफल $\frac{13}{3}$ वर्ग इकाई है.

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $25x^2 + 16y^2 = 400$ है।
दोनों पक्षों को $400$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{25x^2}{400} + \frac{16y^2}{400} = 1$
$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$
इसे मानक समीकरण $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 5$ और $b = 4$ है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi ab$ है।
मान रखने पर,$A = \pi \times 5 \times 4 = 20\pi$ वर्ग इकाई।

(D) क्षेत्रफल $A$ फलन के निरपेक्ष मान के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{3\pi} |\cos x| \, dx$
चूंकि फलन $\cos x$ का मान $x = \frac{\pi}{2}$,$x = \frac{3\pi}{2}$ और $x = \frac{5\pi}{2}$ पर चिन्ह बदलता है,इसलिए हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$A = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx - \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \cos x \, dx + \int_{3\pi/2}^{5\pi/2} \cos x \, dx - \int_{5\pi/2}^{3\pi} \cos x \, dx$
प्रत्येक भाग का मूल्यांकन करने पर:
$|\sin x|_{0}^{\pi/2} = |1 - 0| = 1$
$|\sin x|_{\pi/2}^{3\pi/2} = |-1 - 1| = |-2| = 2$
$|\sin x|_{3\pi/2}^{5\pi/2} = |1 - (-1)| = |2| = 2$
$|\sin x|_{5\pi/2}^{3\pi} = |0 - 1| = |-1| = 1$
इन मानों को जोड़ने पर: $A = 1 + 2 + 2 + 1 = 6$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया वक्र $5y = 5 - x$ है,जिसे $y = 1 - \frac{x}{5}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वक्र,$X$-अक्ष और रेखाओं $x = 1$ तथा $x = 4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम निश्चित समाकलन का उपयोग करते हैं:
$\text{Area} = \int_{1}^{4} y \, dx$
$\text{Area} = \int_{1}^{4} (1 - \frac{x}{5}) \, dx$
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\text{Area} = [x - \frac{x^2}{10}]_{1}^{4}$
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{Area} = (4 - \frac{16}{10}) - (1 - \frac{1}{10})$
$\text{Area} = (4 - 1.6) - (1 - 0.1)$
$\text{Area} = 2.4 - 0.9 = 1.5$
अतः,क्षेत्रफल $1.5$ वर्ग इकाई है,जो $\frac{3}{2}$ वर्ग इकाई के बराबर है।

(D) दिया गया वक्र $y = |x - 3|$ है।
अंतराल $x \in [0, 2]$ के लिए,व्यंजक $(x - 3)$ हमेशा ऋणात्मक है,इसलिए $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$ होगा।
क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{0}^{2} (3 - x) \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $A = [3x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{2}$।
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $A = (3(2) - \frac{2^2}{2}) - (3(0) - \frac{0^2}{2})$।
$A = (6 - 2) - 0 = 4$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 16$ है, जिसे $x^2 + y^2 = 4^2$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्रित और $r = 4$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
प्रथम चतुर्थांश में, वृत्त का समीकरण $y = \sqrt{16 - x^2}$ है।
यह क्षेत्र $x = 0$ और $x = 4$ रेखाओं द्वारा प्रथम चतुर्थांश में घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा प्राप्त होता है: $A = \int_{0}^{4} y \, dx = \int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$A = [\frac{x}{2} \sqrt{16 - x^2} + \frac{16}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{4})]_{0}^{4}$.
$A = [\frac{4}{2} \sqrt{16 - 16} + 8 \sin^{-1}(1)] - [0 + 8 \sin^{-1}(0)]$.
$A = [0 + 8(\frac{\pi}{2})] - [0 + 0] = 4\pi$.
अतः, क्षेत्रफल $4\pi$ वर्ग इकाई है।

(B) वक्र $y = x^2 - x$ और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले $y = 0$ रखकर $X$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ और $x = 1$ हैं।
अंतराल $(0, 1)$ में वक्र $y = x^2 - x$,$X$-अक्ष के नीचे स्थित है क्योंकि किसी भी $x \in (0, 1)$ के लिए,$x^2 < x$,इसलिए $y < 0$ है।
क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \left| \int_{0}^{1} (x^2 - x) \, dx \right|$
$A = \left| \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} \right|$
$A = \left| \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) - (0 - 0) \right|$
$A = \left| -\frac{1}{6} \right| = \frac{1}{6}$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए वक्र का समीकरण $2y = -x + 8$ है,जिसे $y = \frac{-x + 8}{2} = -\frac{1}{2}x + 4$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वक्र,$X$-अक्ष और रेखाओं $x = 3$ तथा $x = 5$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम निश्चित समाकलन का उपयोग करेंगे:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{3}^{5} y \, dx = \int_{3}^{5} (-\frac{1}{2}x + 4) \, dx$.
फलन का समाकलन करने पर:
$\int (-\frac{1}{2}x + 4) \, dx = [-\frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + 4x] = [-\frac{x^2}{4} + 4x]$.
अब,$3$ से $5$ तक की सीमाएं लागू करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = [-\frac{5^2}{4} + 4(5)] - [-\frac{3^2}{4} + 4(3)]$.
$\text{क्षेत्रफल} = [-\frac{25}{4} + 20] - [-\frac{9}{4} + 12]$.
$\text{क्षेत्रफल} = [-\frac{25}{4} + \frac{80}{4}] - [-\frac{9}{4} + \frac{48}{4}]$.
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{55}{4} - \frac{39}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
अतः,क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) वक्र $y = f(x)$,$X$-अक्ष और रेखाओं $x = a$ तथा $x = b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ दिया गया वक्र $y = 2x^2$,$X$-अक्ष और रेखा $x = 1$ है,अतः क्षेत्र $x = 0$ से $x = 1$ तक है।
अतः,क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{1} 2x^2 \, dx$.
समाकलन करने पर: $A = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$.
$A = 2 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) वक्र $y = f(x)$,$X$-अक्ष और रेखाओं $x = a$ तथा $x = b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$f(x) = 5 \sin x$,$a = 0$,और $b = \frac{\pi}{2}$ है।
चूँकि $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ के लिए $\sin x \geq 0$ है,इसलिए:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 5 \sin x \, dx$
$A = 5 [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$A = 5 [-\cos(\frac{\pi}{2}) - (-\cos(0))]$
$A = 5 [0 + 1]$
$A = 5 \times 1 = 5$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) वक्र $y=x$ और रेखाओं $x=1$ तथा $x=10$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम निश्चित समाकलन का उपयोग करते हैं:
क्षेत्रफल $= \int_{a}^{b} y \, dx$
यहाँ,$a = 1$,$b = 10$,और $y = x$ है।
क्षेत्रफल $= \int_{1}^{10} x \, dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{10}$
$= \frac{10^2}{2} - \frac{1^2}{2}$
$= \frac{100}{2} - \frac{1}{2}$
$= \frac{99}{2} \text{ वर्ग इकाई.}$

(C) वक्र $y = x^2 - x - 6$ और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले $y = 0$ रखकर यह ज्ञात करते हैं कि वक्र $X$-अक्ष को कहाँ काटता है।
$x^2 - x - 6 = 0$
$(x - 3)(x + 2) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = -2$ और $x = 3$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,$x = -2$ से $x = 3$ तक फलन के निरपेक्ष मान का समाकलन है:
$A = \int_{-2}^{3} |x^2 - x - 6| \, dx$
चूंकि परवलय ऊपर की ओर खुलता है और अपने मूलों के बीच $X$-अक्ष के नीचे स्थित है,इसलिए इस अंतराल में $y$ का मान ऋणात्मक है।
$A = - \int_{-2}^{3} (x^2 - x - 6) \, dx$
$A = - [\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 6x]_{-2}^{3}$
निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$x = 3$ पर: $(\frac{27}{3} - \frac{9}{2} - 18) = 9 - 4.5 - 18 = -13.5$
$x = -2$ पर: $(\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} + 12) = -2.666 - 2 + 12 = 7.333$
$A = - (-13.5 - 7.333) = - (-20.833) = 20.833$
भिन्न में बदलने पर: $20.833 = \frac{125}{6}$ वर्ग इकाई।

(D) वक्र $y = \cos x$,$X$-अक्ष और रेखाओं $x = -\frac{\pi}{2}$ तथा $x = \frac{\pi}{2}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\cos x| \, dx$
चूंकि $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के लिए $\cos x \geq 0$ है,इसलिए:
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x \, dx$
$A = [\sin x]_{-\pi/2}^{\pi/2}$
$A = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2})$
$A = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$
अतः,क्षेत्रफल $2$ वर्ग इकाई है.

(C) क्षेत्रफल $A$ फलन $y = |x-5|$ का $x=5$ से $x=6$ तक निश्चित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
चूँकि अंतराल $[5, 6]$ में $x \ge 5$ है,इसलिए $|x-5| = x-5$ होगा।
अतः,$A = \int_{5}^{6} (x-5) \, dx$.
माना $u = x-5$,तो $du = dx$ होगा। जब $x=5$ तब $u=0$ और जब $x=6$ तब $u=1$ होगा।
$A = \int_{0}^{1} u \, du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - 0 = 0.5$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) यह क्षेत्र $y=x^2$ और $y=4$ द्वारा परिबद्ध है।
सबसे पहले,$x^2 = 4$ रखकर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें,जिससे $x = \pm 2$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $A$,$x = -2$ से $x = 2$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx$
चूंकि फलन $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए $A = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx$।
$A = 2 [4x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2}$
$A = 2 [(4(2) - \frac{2^3}{3}) - (0)]$
$A = 2 [8 - \frac{8}{3}] = 2 [\frac{24-8}{3}] = 2 [\frac{16}{3}] = \frac{32}{3}$ वर्ग इकाई।

(C) वक्र $x+2y=8$ के समीकरण को $x$ के पदों में $y$ के रूप में व्यक्त करने पर:
$2y = 8 - x$
$y = \frac{8-x}{2} = 4 - \frac{x}{2}$
वक्र,$X$-अक्ष और रेखाओं $x=1$ तथा $x=5$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम निश्चित समाकलन का उपयोग करते हैं:
$\text{Area} = \int_{1}^{5} y \, dx$
$\text{Area} = \int_{1}^{5} (4 - \frac{x}{2}) \, dx$
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$\text{Area} = [4x - \frac{x^2}{4}]_{1}^{5}$
सीमाओं पर मान रखने पर:
$\text{Area} = (4(5) - \frac{5^2}{4}) - (4(1) - \frac{1^2}{4})$
$\text{Area} = (20 - \frac{25}{4}) - (4 - \frac{1}{4})$
$\text{Area} = 20 - 6.25 - 4 + 0.25$
$\text{Area} = 16 - 6 = 10$
अतः,क्षेत्रफल $10$ वर्ग इकाई है।
सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया वक्र $y = |x - 5|$ है।
चूँकि अंतराल $x \in [0, 2]$ है,इसलिए $x - 5 < 0$ होगा,अतः $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$ होगा।
क्षेत्रफल $A$ को समाकलन द्वारा इस प्रकार ज्ञात किया जा सकता है:
$A = \int_{0}^{2} (5 - x) \, dx$
$A = [5x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{2}$
$A = (5(2) - \frac{2^2}{2}) - (0 - 0)$
$A = 10 - 2 = 8$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया समीकरण $y = 2 \sqrt{1 - x^2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = 4(1 - x^2)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$।
यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है जिसमें अर्ध-दीर्घ अक्ष $a = 2$ ($Y$-अक्ष पर) और अर्ध-लघु अक्ष $b = 1$ ($X$-अक्ष पर) है।
चूंकि वक्र $y = 2 \sqrt{1 - x^2}$ है,यह दीर्घवृत्त का ऊपरी आधा भाग दर्शाता है।
वक्र और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ऊपरी अर्ध-दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल है।
पूर्ण दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi ab = \pi \times 1 \times 2 = 2 \pi$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,ऊपरी अर्ध-दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 2 \pi = \pi$ वर्ग इकाई है।

(C) वक्र $y = 2x - x^2$ और $X$-अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले $y = 0$ रखकर $X$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$2x - x^2 = 0$
$x(2 - x) = 0$
अतः,$x = 0$ और $x = 2$ है।
क्षेत्रफल $A$,$x = 0$ से $x = 2$ तक वक्र के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$
$A = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2}$
$A = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3})$
$A = 4 - \frac{8}{3}$
$A = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।

(C) क्षेत्रफल $A$ को $x = \frac{\pi}{4}$ से $x = \frac{\pi}{2}$ तक फलन $y = \cot x$ के समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$A = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot x \, dx$
हम जानते हैं कि $\int \cot x \, dx = \log |\sin x| + C$ होता है।
सीमाओं को लागू करने पर:
$A = [\log |\sin x|]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$
$A = \log |\sin(\frac{\pi}{2})| - \log |\sin(\frac{\pi}{4})|$
$A = \log(1) - \log(\frac{1}{\sqrt{2}})$
चूँकि $\log(1) = 0$ और $\log(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \log(2^{-1/2}) = -\frac{1}{2} \log 2$:
$A = 0 - (-\frac{1}{2} \log 2) = \frac{1}{2} \log 2$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) वक्र $y = f(x)$,$X$-अक्ष और रेखाओं $x = a$ तथा $x = b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकल द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_{a}^{b} |y| \, dx$
यहाँ,$y = \tan x$,$a = 0$,और $b = \frac{\pi}{4}$ है।
चूँकि अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}]$ में $\tan x \geq 0$ है,इसलिए:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx$
$\tan x$ का समाकल $\ln|\sec x|$ होता है:
$A = [\ln|\sec x|]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$A = \ln|\sec(\frac{\pi}{4})| - \ln|\sec(0)|$
$A = \ln(\sqrt{2}) - \ln(1)$
$A = \ln(2^{1/2}) - 0$
$A = \frac{1}{2} \ln 2$
अतः,सही विकल्प $C$ है।