Area bounded by region of single curve Questions in Hindi

(A) क्षेत्रफल $A$ अंतराल $[0, \pi]$ पर फलन के मापांक का समाकलन है।
$A = \int_{0}^{\pi} |\cos x| \, dx$
चूंकि $x \in [0, \pi/2]$ के लिए $\cos x \ge 0$ और $x \in [\pi/2, \pi]$ के लिए $\cos x \le 0$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (-\cos x) \, dx$
$A = [\sin x]_{0}^{\pi/2} - [\sin x]_{\pi/2}^{\pi}$
$A = (\sin(\pi/2) - \sin(0)) - (\sin(\pi) - \sin(\pi/2))$
$A = (1 - 0) - (0 - 1)$
$A = 1 + 1 = 2$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) क्षेत्रफल $A$,$x = 0$ से $x = \frac{3\pi}{2}$ तक $|y| dx$ के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
$A = \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} |\cos x| dx$
हम जानते हैं कि $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ के लिए $\cos x > 0$ और $x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ के लिए $\cos x < 0$ होता है।
अतः,$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} (-\cos x) dx$
$A = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - [\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}$
$A = (\sin \frac{\pi}{2} - \sin 0) - (\sin \frac{3\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2})$
$A = (1 - 0) - (-1 - 1)$
$A = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) वक्र $y = \cos x$ द्वारा $x = 0$ से $x = \pi$ तक परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल फलन के निरपेक्ष मान के समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$Area = \int_{0}^{\pi} |\cos x| dx$
चूंकि $x \in [0, \pi/2]$ के लिए $\cos x \geq 0$ और $x \in [\pi/2, \pi]$ के लिए $\cos x \leq 0$ है,इसलिए हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$Area = \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (-\cos x) dx$
$Area = [\sin x]_{0}^{\pi/2} - [\sin x]_{\pi/2}^{\pi}$
$Area = (\sin(\pi/2) - \sin 0) - (\sin \pi - \sin(\pi/2))$
$Area = (1 - 0) - (0 - 1) = 1 + 1 = 2$ वर्ग इकाई।

(B) दी गई रेखा का समीकरण $y=mx$ और सीमाएँ $x=1$ तथा $x=2$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल निश्चित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$\text{Area} = \int_{1}^{2} mx \, dx = 6$
$\Rightarrow m \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = 6$
$\Rightarrow \frac{m}{2} (2^2 - 1^2) = 6$
$\Rightarrow \frac{m}{2} (4 - 1) = 6$
$\Rightarrow \frac{3m}{2} = 6$
$\Rightarrow 3m = 12$
$\Rightarrow m = 4$

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$y = x^{3} \implies x = y^{1/3}$
$y = 8$
$x = 0$
वक्र $x = y^{1/3}$,$y$-अक्ष $(x=0)$ और रेखा $y=8$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $y=0$ से $y=8$ तक $y$ के सापेक्ष समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{8} x \, dy$
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{8} y^{1/3} \, dy$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \left[ \frac{y^{(1/3) + 1}}{(1/3) + 1} \right]_{0}^{8} = \left[ \frac{3}{4} y^{4/3} \right]_{0}^{8}$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{3}{4} (8^{4/3} - 0^{4/3})$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{3}{4} ((2^{3})^{4/3}) = \frac{3}{4} (2^{4})$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{3}{4} \times 16 = 3 \times 4 = 12 \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) रेखा $y=2x+1$,$X$-अक्ष को $x=-\frac{1}{2}$ पर काटती है।
$x \in [-1, -\frac{1}{2}]$ के लिए,$y \le 0$ है,और $x \in [-\frac{1}{2}, 1]$ के लिए,$y \ge 0$ है।
अभीष्ट क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-1}^{1} |y| dx = \int_{-1}^{-1/2} -(2x+1) dx + \int_{-1/2}^{1} (2x+1) dx$
$= -[x^2+x]_{-1}^{-1/2} + [x^2+x]_{-1/2}^{1}$
$= -[(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) - (1 - 1)] + [(1+1) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2})]$
$= -[-\frac{1}{4}] + [2 - (-\frac{1}{4})]$
$= \frac{1}{4} + 2 + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) क्षेत्रफल $A$,$x = 0$ से $x = 3\pi$ तक फलन $y = \sin \left(\frac{x}{3}\right)$ के निश्चित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
$A = \int_0^{3 \pi} \sin \left(\frac{x}{3}\right) dx$
हम जानते हैं कि $\sin(kx)$ का समाकलन $-\frac{1}{k} \cos(kx)$ होता है। यहाँ $k = \frac{1}{3}$ है,इसलिए समाकलन $-3 \cos \left(\frac{x}{3}\right)$ होगा।
$A = \left[ -3 \cos \left(\frac{x}{3}\right) \right]_0^{3 \pi}$
$A = -3 \left[ \cos \left(\frac{3 \pi}{3}\right) - \cos \left(\frac{0}{3}\right) \right]$
$A = -3 [ \cos(\pi) - \cos(0) ]$
चूंकि $\cos(\pi) = -1$ और $\cos(0) = 1$ है:
$A = -3 [ -1 - 1 ] = -3 [ -2 ] = 6 \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) वक्र $y=x^2$ है और रेखा $y=16$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $x^2=16$ रखकर प्राप्त किए जा सकते हैं,जो $x = \pm 4$ देता है।
चूंकि क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = 2 \int_0^{16} x \, dy = 2 \int_0^{16} \sqrt{y} \, dy$
$A = 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_0^{16}$
$A = 2 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_0^{16}$
$A = \frac{4}{3} \left( 16^{3/2} - 0^{3/2} \right)$
$A = \frac{4}{3} \times (4^2)^{3/2} = \frac{4}{3} \times 4^3$
$A = \frac{4}{3} \times 64 = \frac{256}{3} \text{ वर्ग इकाई}$

(B) दिए गए समीकरण $y=3x$ और $y=x^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $3x = x^2$ रखते हैं,जिससे $x^2 - 3x = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x(x-3) = 0$ है।
इस प्रकार,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=0$ और $x=3$ हैं।
इन वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $x=0$ से $x=3$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है।
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx$
$= \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3}$
$= \left( \frac{3(3)^2}{2} - \frac{(3)^3}{3} \right) - (0 - 0)$
$= \left( \frac{27}{2} - \frac{27}{3} \right)$
$= \frac{27}{2} - 9$
$= \frac{27 - 18}{2} = \frac{9}{2} \text{ वर्ग इकाइयाँ}$.

(D) वक्र $y=f(x)$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x=a$ तथा $x=b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} f(x) dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$f(x) = x+1$,$a=3$,और $b=5$ है।
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल,$A = \int_{3}^{5} (x+1) dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{3}^{5}$
$= \left( \frac{5^2}{2} + 5 \right) - \left( \frac{3^2}{2} + 3 \right)$
$= \left( \frac{25}{2} + 5 \right) - \left( \frac{9}{2} + 3 \right)$
$= \left( \frac{25+10}{2} \right) - \left( \frac{9+6}{2} \right)$
$= \frac{35}{2} - \frac{15}{2}$
$= \frac{20}{2} = 10 \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) अभीष्ट क्षेत्रफल $x = 0$ से $x = \frac{\pi}{3}$ तक फलन $y = \tan x$ के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = \int_0^{\pi / 3} \tan x \, dx$
हम जानते हैं कि $\tan x$ का समाकलन $\log |\sec x|$ होता है।
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = [\log |\sec x|]_0^{\pi / 3}$
अब,सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \log |\sec \frac{\pi}{3}| - \log |\sec 0|$
चूंकि $\sec \frac{\pi}{3} = 2$ और $\sec 0 = 1$ है:
$= \log |2| - \log |1|$
$= \log 2 - 0 = \log 2 \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) समीकरण $y=-\sqrt{16-x^{2}}$ वृत्त $x^{2}+y^{2}=16$ के निचले अर्धवृत्त को दर्शाता है,जिसकी त्रिज्या $r=4$ है और केंद्र मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
चूंकि क्षेत्रफल इस वक्र और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध है,इसलिए हमें $X$-अक्ष के नीचे के अर्धवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
पूर्ण वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^{2} = \pi(4)^{2} = 16\pi$ होता है।
अतः,अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 16\pi = 8\pi$ वर्ग इकाई होगा।
वैकल्पिक रूप से,समाकलन का उपयोग करते हुए:
$\text{क्षेत्रफल} = \left| \int_{-4}^{4} (-\sqrt{16-x^{2}}) dx \right|$
$= \left| \left[ \frac{x}{2} \sqrt{16-x^{2}} + \frac{16}{2} \sin^{-1} \frac{x}{4} \right]_{-4}^{4} \right|$
$= \left| [0 + 8 \sin^{-1}(1)] - [0 + 8 \sin^{-1}(-1)] \right|$
$= \left| 8(\frac{\pi}{2}) - 8(-\frac{\pi}{2}) \right| = |4\pi + 4\pi| = 8\pi$ वर्ग इकाई।

(C) $x = 0$ से $x = \pi$ तक वक्र $y = \cos x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल फलन के निरपेक्ष मान के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{\pi} |\cos x| \, dx$
चूंकि $x \in [0, \pi/2]$ के लिए $\cos x \ge 0$ और $x \in [\pi/2, \pi]$ के लिए $\cos x \le 0$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (-\cos x) \, dx$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$= [\sin x]_{0}^{\pi/2} + [-\sin x]_{\pi/2}^{\pi}$
$= (\sin(\pi/2) - \sin(0)) + (-(\sin(\pi) - \sin(\pi/2)))$
$= (1 - 0) + (-(0 - 1))$
$= 1 + 1 = 2 \text{ वर्ग इकाई.}$

(C) अभीष्ट क्षेत्रफल समाकलन $\int_{0}^{3\pi} y \, dx = \int_{0}^{3\pi} \sin \left(\frac{x}{3}\right) \, dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
माना $t = \frac{x}{3}$,तब $dx = 3 \, dt$.
जब $x = 0$ है,तब $t = 0$.
जब $x = 3\pi$ है,तब $t = \pi$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{\pi} \sin(t) \cdot 3 \, dt = 3 \int_{0}^{\pi} \sin(t) \, dt$.
$= 3 [-\cos(t)]_{0}^{\pi}$.
$= -3 [\cos(\pi) - \cos(0)]$.
$= -3 [-1 - 1] = -3(-2) = 6$.
अतः,क्षेत्रफल $6$ वर्ग इकाई है।

(B) दिया गया वक्र $y=2x-x^{2}$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि वक्र $x$-अक्ष को कहाँ काटता है,हम $y=0$ रखते हैं:
$2x-x^{2}=0 \implies x(2-x)=0$,जिससे $x=0$ और $x=2$ प्राप्त होता है।
अतः,वक्र $x$-अक्ष को $(0,0)$ और $(2,0)$ पर काटता है।
वांछित क्षेत्रफल $x=0$ से $x=2$ तक $y$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{2} (2x-x^{2}) dx$
$= \left[ x^{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{2}$
$= \left( 2^{2} - \frac{2^{3}}{3} \right) - (0 - 0)$
$= 4 - \frac{8}{3}$
$= \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) दिया गया वक्र $x = 4 - y^2$ है। वक्र $Y$-अक्ष को वहाँ काटता है जहाँ $x = 0$ है,जिससे $4 - y^2 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $y = \pm 2$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 2)$ और $(0, -2)$ हैं।
चूँकि वक्र $X$-अक्ष के परितः सममित है,कुल क्षेत्रफल $A$ प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
$A = 2 \int_{0}^{2} x \, dy$
$A = 2 \int_{0}^{2} (4 - y^2) \, dy$
$A = 2 \left[ 4y - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{2}$
$A = 2 \left[ (4(2) - \frac{2^3}{3}) - (0) \right]$
$A = 2 \left[ 8 - \frac{8}{3} \right]$
$A = 2 \left[ \frac{24 - 8}{3} \right] = 2 \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) यह क्षेत्र $y$-अक्ष $(x=0)$,$y = \cos x$ और $y = \sin x$ द्वारा परिबद्ध है। ये वक्र तब प्रतिच्छेद करते हैं जब $\cos x = \sin x$,जो अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में $x = \frac{\pi}{4}$ पर होता है।
अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}]$ में,$\cos x \geq \sin x$ है।
अतः,आवश्यक क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx$
$= [\sin x - (-\cos x)]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$= [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$= (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)$
$= (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$
$= \frac{2}{\sqrt{2}} - 1$
$= \sqrt{2} - 1 \text{ वर्ग इकाई}$

(B) वक्र $y=x$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x=-1$ तथा $x=2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल,$y$ के निरपेक्ष मान का $x$ के सापेक्ष समाकलन है:
$Area = \int_{-1}^{2} |y| \, dx = \int_{-1}^{2} |x| \, dx$
हम समाकलन को $x=0$ पर विभाजित करते हैं क्योंकि फलन का चिह्न बदलता है:
$Area = \int_{-1}^{0} |x| \, dx + \int_{0}^{2} |x| \, dx$
चूंकि $x < 0$ के लिए $|x| = -x$ और $x \ge 0$ के लिए $|x| = x$ है:
$Area = \int_{-1}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{2} (x) \, dx$
$Area = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$
$Area = (0 - (-\frac{(-1)^2}{2})) + (\frac{2^2}{2} - 0)$
$Area = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \text{ वर्ग इकाई.}$

(C) परवलय $y^{2}=4x$ और रेखा $y=2x-4$ के बीच घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं,$x = \frac{y+4}{2}$ को परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करके:
$y^{2} = 4\left(\frac{y+4}{2}\right)$
$y^{2} = 2(y+4)$
$y^{2} - 2y - 8 = 0$
$(y-4)(y+2) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $y = 4$ और $y = -2$ पर प्राप्त होते हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $y$ के सापेक्ष रेखा और परवलय के बीच के अंतर का समाकलन करके प्राप्त किया जाता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-2}^{4} \left( \frac{y+4}{2} - \frac{y^{2}}{4} \right) dy$
$= \left[ \frac{y^{2}}{4} + 2y - \frac{y^{3}}{12} \right]_{-2}^{4}$
$= \left( \frac{16}{4} + 8 - \frac{64}{12} \right) - \left( \frac{4}{4} - 4 - \frac{-8}{12} \right)$
$= \left( 4 + 8 - \frac{16}{3} \right) - \left( 1 - 4 + \frac{2}{3} \right)$
$= \left( 12 - \frac{16}{3} \right) - \left( -3 + \frac{2}{3} \right)$
$= \frac{20}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right) = \frac{27}{3} = 9 \text{ वर्ग इकाई}$.

(D) दिया गया है $z=x+iy$,जहाँ $x, y \in R$।
समुच्चय $A=\{z:|z| \leq 2\}$ केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $2$ वाले वृत्त के आंतरिक भाग और परिधि को दर्शाता है,अर्थात $x^2+y^2 \leq 4$।
समुच्चय $B=\{z:(z+2y)+\bar{z} \geq 4\}$। $z=x+iy$ और $\bar{z}=x-iy$ रखने पर:
$(x+iy+2y)+(x-iy) \geq 4$
$2x+2y \geq 4 \Rightarrow x+y \geq 2$।
यह रेखा $x+y=2$ पर या उसके ऊपर के क्षेत्र को दर्शाता है।
प्रतिच्छेदन $A \cap B$ प्रथम चतुर्थांश में वृत्त $x^2+y^2=4$ और रेखा $x+y=2$ द्वारा घिरा क्षेत्र है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $x^2+(2-x)^2=4$ को हल करके प्राप्त होते हैं:
$x^2+4-4x+x^2=4$ $\Rightarrow 2x^2-4x=0$ $\Rightarrow 2x(x-2)=0$।
अतः,$x=0$ (जिससे $y=2$ मिलता है) और $x=2$ (जिससे $y=0$ मिलता है)।
क्षेत्रफल $\int_0^2 (y_{\text{circle}} - y_{\text{line}}) dx = \int_0^2 (\sqrt{4-x^2} - (2-x)) dx$ द्वारा दिया जाता है।
$= \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) - 2x + \frac{x^2}{2} \right]_0^2$
$= (0 + 2\sin^{-1}(1) - 4 + 2) - (0 + 0 - 0 + 0) = 2(\frac{\pi}{2}) - 2 = \pi-2$।

(D) परवलय का समीकरण $y^2=16ax$ है और रेखा का समीकरण $y=4mx$ है।
रेखा के समीकरण $y=4mx$ में $x = \frac{y^2}{16a}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = 4m(\frac{y^2}{16a}) = \frac{my^2}{4a}$ प्राप्त होता है।
इससे $y^2 = \frac{4ay}{m}$ प्राप्त होता है,अतः $y(y - \frac{4a}{m}) = 0$। इस प्रकार,प्रतिच्छेदन बिंदु $y=0$ और $y=\frac{4a}{m}$ हैं।
वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल निम्न है:
$\int_0^{\frac{4a}{m}} (\frac{y}{4m} - \frac{y^2}{16a}) dy = \frac{a^2}{12}$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$[\frac{y^2}{8m} - \frac{y^3}{48a}]_0^{\frac{4a}{m}} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{(4a/m)^2}{8m} - \frac{(4a/m)^3}{48a} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{16a^2}{8m^3} - \frac{64a^3}{48am^3} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{2a^2}{m^3} - \frac{4a^2}{3m^3} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{6a^2 - 4a^2}{3m^3} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{2a^2}{3m^3} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{2}{3m^3} = \frac{1}{12}$
$m^3 = \frac{2 \times 12}{3} = 8$
$m = 2$
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(B) क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{0}^{2} |y| dx = \int_{0}^{2} |x^2-5x+4| dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
सबसे पहले,$x^2-5x+4=0$ के मूल ज्ञात करें,जो $(x-1)(x-4)=0$ हैं,अतः $x=1$ और $x=4$ प्राप्त होते हैं।
अंतराल $[0, 1]$ में,$x^2-5x+4 \geq 0$ है।
अंतराल $[1, 2]$ में,$x^2-5x+4 \leq 0$ है।
अतः,$A = \int_{0}^{1} (x^2-5x+4) dx + \int_{1}^{2} -(x^2-5x+4) dx$।
प्रथम समाकलन का मान: $[\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 4x]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4 = \frac{2-15+24}{6} = \frac{11}{6}$।
द्वितीय समाकलन का मान: $-[\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 4x]_{1}^{2} = -[(\frac{8}{3} - 10 + 8) - (\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4)] = -[(\frac{2}{3}) - (\frac{11}{6})] = -[\frac{4-11}{6}] = -[-\frac{7}{6}] = \frac{7}{6}$।
कुल क्षेत्रफल $A = \frac{11}{6} + \frac{7}{6} = \frac{18}{6} = 3$ वर्ग इकाई।

(B) वक्र $y=x^3-19x+30$ दिया गया है। बहुपद का गुणनखंड करने पर,हमें $y=(x+5)(x-2)(x-3)$ प्राप्त होता है।
शून्यक $x=-5, 2, 3$ हैं। वक्र अंतराल $[-5, 2]$ पर $x$-अक्ष के ऊपर और अंतराल $[2, 3]$ पर $x$-अक्ष के नीचे है।
कुल क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{-5}^{2} (x^3-19x+30) dx + \left| \int_{2}^{3} (x^3-19x+30) dx \right|$
$A = \int_{-5}^{2} (x^3-19x+30) dx - \int_{2}^{3} (x^3-19x+30) dx$
समाकलन $\int (x^3-19x+30) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{19x^2}{2} + 30x + C$ है।
पहले भाग के लिए: $\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{19x^2}{2} + 30x \right]_{-5}^{2} = (4 - 38 + 60) - (\frac{625}{4} - \frac{475}{2} - 150) = 26 - (\frac{625-950-600}{4}) = 26 + 231.25 = \frac{1029}{4}$.
दूसरे भाग के लिए: $\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{19x^2}{2} + 30x \right]_{2}^{3} = (\frac{81}{4} - \frac{171}{2} + 90) - (4 - 38 + 60) = (\frac{81-342+360}{4}) - 26 = \frac{99}{4} - 26 = -\frac{5}{4}$.
कुल क्षेत्रफल $A = \frac{1029}{4} - (-\frac{5}{4}) = \frac{1034}{4} = \frac{517}{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दिया गया वक्र $y = x|x|$ है। हम इसे एक टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में लिख सकते हैं:
$y = \begin{cases} x^2 & \text{यदि } x \geq 0 \\ -x^2 & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$
हमें $x = -1$ और $x = 1$ के बीच इस वक्र द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
कुल क्षेत्रफल $A$,$-1$ से $1$ तक $y$ के निरपेक्ष मान के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{-1}^{1} |y| dx = \int_{-1}^{0} |-x^2| dx + \int_{0}^{1} |x^2| dx$
$A = \int_{-1}^{0} x^2 dx + \int_{0}^{1} x^2 dx$
समाकलन की गणना करने पर:
$A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$
$A = (0 - (-\frac{1}{3})) + (\frac{1}{3} - 0)$
$A = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
अतः,क्षेत्रफल $\frac{2}{3}$ वर्ग इकाई है।

(B) दिया गया है कि वक्र $y=ax^2+bx$ बिंदु $(1,2)$ से होकर गुजरता है।
$\therefore 2 = a(1)^2 + b(1) \Rightarrow a+b=2$ ... $(i)$
यह दिया गया है कि वक्र $0 \leq x \leq 8$ के लिए $X$-अक्ष के ऊपर स्थित है,इसलिए वक्र,$X$-अक्ष और रेखा $x=6$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\int_0^6 (ax^2+bx) dx = 108$
$\Rightarrow \left[ \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2} \right]_0^6 = 108$
$\Rightarrow \frac{a(216)}{3} + \frac{b(36)}{2} = 108$
$\Rightarrow 72a + 18b = 108$
$18$ से भाग देने पर,हमें $4a + b = 6$ प्राप्त होता है ... $(ii)$
$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(4a+b) - (a+b) = 6 - 2$
$3a = 4 \Rightarrow a = \frac{4}{3}$
$a = \frac{4}{3}$ को $(i)$ में रखने पर:
$\frac{4}{3} + b = 2 \Rightarrow b = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$
अब,$2b-a$ की गणना करने पर:
$2b-a = 2\left(\frac{2}{3}\right) - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} - \frac{4}{3} = 0$

(A) वक्र $y=1-x-6x^2$ और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $y=0$ रखकर $X$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$1-x-6x^2=0$
$6x^2+x-1=0$
$6x^2+3x-2x-1=0$
$3x(2x+1)-1(2x+1)=0$
$(3x-1)(2x+1)=0$
अतः,$x = \frac{1}{3}$ और $x = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
आवश्यक क्षेत्रफल निम्नलिखित समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \int_{-1/2}^{1/3} (1-x-6x^2) dx$
$= [x - \frac{x^2}{2} - 2x^3]_{-1/2}^{1/3}$
$= (\frac{1}{3} - \frac{(1/3)^2}{2} - 2(1/3)^3) - (-\frac{1}{2} - \frac{(-1/2)^2}{2} - 2(-1/2)^3)$
$= (\frac{1}{3} - \frac{1}{18} - \frac{2}{27}) - (-\frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4})$
$= (\frac{18-3-4}{54}) - (\frac{-4-1+2}{8})$
$= \frac{11}{54} - (-\frac{3}{8}) = \frac{11}{54} + \frac{3}{8}$
$= \frac{44+81}{216} = \frac{125}{216} \text{ वर्ग इकाई}$.

(D) दिया गया वक्र $x = \log |y|$ है।
इसे $|y| = e^x$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका अर्थ है $y = \pm e^x$।
वक्र $x$-अक्ष के परितः सममित है।
वक्र और रेखाओं $x = -1$ तथा $x = 0$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल,$-1$ से $0$ तक $y$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन है।
चूंकि वक्र सममित है,कुल क्षेत्रफल $x$-अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल का दोगुना होगा:
$\text{क्षेत्रफल} = 2 \int_{-1}^{0} |y| \, dx = 2 \int_{-1}^{0} e^x \, dx$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = 2 \left[ e^x \right]_{-1}^{0}$
$= 2 (e^0 - e^{-1})$
$= 2 (1 - e^{-1})$
अतः,अभीष्ट क्षेत्रफल $2(1 - e^{-1})$ वर्ग इकाई है।

(A) वक्र का समीकरण $y = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$ है।
सबसे पहले,हम $(1, 4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करते हैं।
$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 2x + 2$ प्राप्त होता है।
$(1, 4)$ बिंदु पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m = 2(1) + 2 = 4$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 4 = 4(x - 1)$ है,जिसे सरल करने पर $y = 4x$ प्राप्त होता है।
वक्र,स्पर्श रेखा और $Y$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल,$x = 0$ से $x = 1$ तक वक्र के नीचे का क्षेत्रफल और स्पर्श रेखा,$X$-अक्ष तथा रेखा $x = 1$ द्वारा बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का अंतर है।
क्षेत्रफल $A = \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) dx - \int_0^1 (4x) dx$.
प्रथम समाकलन की गणना: $\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{7}{3}$.
द्वितीय समाकलन (त्रिभुज का क्षेत्रफल) की गणना: $\int_0^1 4x dx = \left[ 2x^2 \right]_0^1 = 2(1)^2 - 0 = 2$.
अतः,अभीष्ट क्षेत्रफल $A = \frac{7}{3} - 2 = \frac{7 - 6}{3} = \frac{1}{3} \ sq. \ units$.

(C) यह क्षेत्र परवलय $x^2=y$,रेखा $y=x+2$ और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध है।
परवलय $y=x^2$ और रेखा $y=x+2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $x^2=x+2$ को हल करके प्राप्त किए जाते हैं,जिससे $x^2-x-2=0$ मिलता है,जिसका अर्थ है $(x-2)(x+1)=0$। अतः,$x=-1$ और $x=2$ हैं।
रेखा $y=x+2$,$X$-अक्ष को $x=-2$ पर काटती है (जहाँ $y=0$ है)।
अभीष्ट क्षेत्रफल $x=-2$ से $x=-1$ तक रेखा के नीचे और $x=-1$ से $x=0$ तक परवलय के नीचे का क्षेत्र है।
क्षेत्रफल $= \int_{-2}^{-1} (x+2) dx + \int_{-1}^{0} x^2 dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{-1} + \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0}$
$= \left( (\frac{1}{2} - 2) - (\frac{4}{2} - 4) \right) + \left( 0 - (-\frac{1}{3}) \right)$
$= (-\frac{3}{2} - (-2)) + \frac{1}{3}$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \text{ वर्ग इकाई}$.

(D) दिया गया वक्र $ay^2 = x^2(a - x)$ है,जहाँ $a > 0$ है।
चूँकि वक्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,कुल क्षेत्रफल $x$-अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
समीकरण से,$y^2 = \frac{x^2(a - x)}{a}$,इसलिए $y = \pm x \sqrt{\frac{a - x}{a}}$।
लूप $x \in [0, a]$ के लिए मौजूद है।
आवश्यक क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = 2 \int_0^a y \, dx = 2 \int_0^a x \sqrt{\frac{a - x}{a}} \, dx$
$A = \frac{2}{\sqrt{a}} \int_0^a x \sqrt{a - x} \, dx$
माना $a - x = t^2$,तो $dx = -2t \, dt$। जब $x = 0, t = \sqrt{a}$ और जब $x = a, t = 0$।
$A = \frac{2}{\sqrt{a}} \int_{\sqrt{a}}^0 (a - t^2) t (-2t \, dt) = \frac{4}{\sqrt{a}} \int_0^{\sqrt{a}} (at^2 - t^4) \, dt$
$A = \frac{4}{\sqrt{a}} \left[ \frac{at^3}{3} - \frac{t^5}{5} \right]_0^{\sqrt{a}}$
$A = \frac{4}{\sqrt{a}} \left( \frac{a(\sqrt{a})^3}{3} - \frac{(\sqrt{a})^5}{5} \right) = \frac{4}{\sqrt{a}} \left( \frac{a^2 \sqrt{a}}{3} - \frac{a^2 \sqrt{a}}{5} \right)$
$A = 4 \left( \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{5} \right) = 4 \left( \frac{5a^2 - 3a^2}{15} \right) = 4 \left( \frac{2a^2}{15} \right) = \frac{8}{15} a^2$।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) दिया गया परवलय $y^2 = 8x$ है। इसकी तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,हमें $4a = 8$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 2$ है।
परवलय का नाभिलंब रेखा $x = a = 2$ है।
वक्र और नाभिलंब द्वारा घिरा क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
आवश्यक क्षेत्रफल $A = 2 \int_0^2 y \, dx = 2 \int_0^2 \sqrt{8x} \, dx$ है।
$A = 2 \times 2\sqrt{2} \int_0^2 x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^2$.
$A = 4\sqrt{2} \times \frac{2}{3} \times (2)^{3/2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \times 2\sqrt{2} = \frac{16 \times 2}{3} = \frac{32}{3}$ वर्ग इकाई।

(C) क्षेत्रफल $A = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ के लिए $\cos x \geq \sin x$ और $\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ के लिए $\sin x \geq \cos x$ है,हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) \, dx$.
पहले भाग का मूल्यांकन: $[\sin x + \cos x]_0^{\frac{\pi}{4}} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$.
दूसरे भाग का मूल्यांकन: $[-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$.
दोनों भागों को जोड़ने पर: $A = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2(\sqrt{2} - 1)$ वर्ग इकाइयाँ।

(A) वक्र $x^2+y^2=16$ और रेखाओं $x=2$ तथा $x=3$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ निम्न प्रकार है:
$A = \int_2^3 \sqrt{16-x^2} dx$
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ का उपयोग करने पर:
$A = \left[\frac{x}{2}\sqrt{16-x^2} + 8\sin^{-1}\left(\frac{x}{4}\right)\right]_2^3$
निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = \left(\frac{3}{2}\sqrt{16-9} + 8\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right) - \left(\frac{2}{2}\sqrt{16-4} + 8\sin^{-1}\left(\frac{2}{4}\right)\right)$
$A = \left(\frac{3}{2}\sqrt{7} + 8\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right) - \left(\sqrt{12} + 8\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)$
चूंकि $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ और $\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ है:
$A = \frac{3}{2}\sqrt{7} + 8\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) - 2\sqrt{3} - 8\left(\frac{\pi}{6}\right)$
$A = \frac{3}{2}\sqrt{7} - 2\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3} + 8\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$
दिए गए व्यंजक $\left(3 \sqrt{7}-4 \sqrt{3}-\frac{8 \pi}{3}+k\right)$ से तुलना करने पर:
$A = \frac{1}{2} \left(3\sqrt{7} - 4\sqrt{3} - \frac{8\pi}{3} + 16\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right)$
अतः,$k = 16\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(A) $y=f(x)$ वक्र,$x$-अक्ष और रेखाओं $x=a$ तथा $x=b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$f(x) = x^3$,$a = -2$ और $b = 4$ है।
फलन $x^3$,$x < 0$ के लिए ऋणात्मक और $x > 0$ के लिए धनात्मक है।
अतः,समाकलन को $x = 0$ पर विभाजित किया जाता है:
$A = \int_{-2}^{0} |x^3| \, dx + \int_{0}^{4} |x^3| \, dx = \int_{-2}^{0} (-x^3) \, dx + \int_{0}^{4} x^3 \, dx$.
प्रथम समाकलन का मान: $\int_{-2}^{0} (-x^3) \, dx = [-\frac{x^4}{4}]_{-2}^{0} = 0 - (-\frac{(-2)^4}{4}) = \frac{16}{4} = 4$.
द्वितीय समाकलन का मान: $\int_{0}^{4} x^3 \, dx = [\frac{x^4}{4}]_{0}^{4} = \frac{4^4}{4} - 0 = 4^3 = 64$.
कुल क्षेत्रफल $A = 4 + 64 = 68$ वर्ग इकाई।

(C) वक्र $y = 8x^3 - 1$,$x$-अक्ष $(y=0)$ को $8x^3 - 1 = 0$ पर काटता है,जिससे $x^3 = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है,अतः $x = \frac{1}{2}$.
$x \in [-1, \frac{1}{2}]$ के लिए,$y \le 0$ है,इसलिए क्षेत्रफल $\int_{-1}^{\frac{1}{2}} -(8x^3 - 1) dx = \int_{-1}^{\frac{1}{2}} (1 - 8x^3) dx$ होगा।
$x \in [\frac{1}{2}, 1]$ के लिए,$y \ge 0$ है,इसलिए क्षेत्रफल $\int_{\frac{1}{2}}^{1} (8x^3 - 1) dx$ होगा।
कुल क्षेत्रफल = $\int_{-1}^{\frac{1}{2}} (1 - 8x^3) dx + \int_{\frac{1}{2}}^{1} (8x^3 - 1) dx$.
$= [x - 2x^4]_{-1}^{\frac{1}{2}} + [2x^4 - x]_{\frac{1}{2}}^{1}$.
$= ((\frac{1}{2} - 2(\frac{1}{16})) - (-1 - 2(1))) + ((2(1) - 1) - (2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{2}))$.
$= ((\frac{1}{2} - \frac{1}{8}) - (-3)) + (1 - (\frac{1}{8} - \frac{1}{2}))$.
$= (\frac{3}{8} + 3) + (1 - (-\frac{3}{8}))$.
$= \frac{27}{8} + \frac{11}{8} = \frac{38}{8} = \frac{19}{4}$ वर्ग इकाई।

(D) दिया गया वक्र $y = 2 - x - 3x^2$ है। क्षेत्र $X$-अक्ष $(y = 0)$,$Y$-अक्ष $(x = 0)$ और रेखा $x = -2$ द्वारा परिबद्ध है।
सबसे पहले,$y = 0$ रखकर वक्र के शून्यक ज्ञात करें:
$2 - x - 3x^2 = 0 \implies 3x^2 + x - 2 = 0 \implies (3x - 2)(x + 1) = 0$.
शून्यक $x = -1$ और $x = 2/3$ हैं।
$x \in [-2, -1]$ के लिए,$y = 2 - x - 3x^2$ ऋणात्मक है।
$x \in [-1, 0]$ के लिए,$y = 2 - x - 3x^2$ धनात्मक है।
कुल क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= \int_{-2}^{-1} -(2 - x - 3x^2) dx + \int_{-1}^{0} (2 - x - 3x^2) dx$
$= \int_{-2}^{-1} (3x^2 + x - 2) dx + \int_{-1}^{0} (2 - x - 3x^2) dx$
$= [x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x]_{-2}^{-1} + [2x - \frac{x^2}{2} - x^3]_{-1}^{0}$
$= [(-1 + 0.5 + 2) - (-8 + 2 + 4)] + [(0) - (-2 - 0.5 + 1)]$
$= [1.5 - (-2)] + [0 - (-1.5)]$
$= 3.5 + 1.5 = 5$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया परवलय $y=x^2+3$ है।
सबसे पहले,$(3,12)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करें।
अवकलन $\frac{dy}{dx} = 2x$ है। $x=3$ पर,ढाल $m = 2(3) = 6$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 12 = 6(x - 3)$ है,जिसे सरल करने पर $y = 6x - 6$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $y=0$ पर काटती है,इसलिए $6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$ है।
प्रथम चतुर्थांश में परवलय,स्पर्श रेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल,$x=0$ से $x=3$ तक परवलय के नीचे का क्षेत्रफल माइनस स्पर्श रेखा,$x$-अक्ष और ऊर्ध्वाधर रेखा $x=3$ द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
अतः,क्षेत्रफल = $\int_0^3 (x^2+3) dx - \int_1^3 (6x-6) dx$.
प्रथम समाकलन की गणना: $\int_0^3 (x^2+3) dx = [\frac{x^3}{3} + 3x]_0^3 = (9 + 9) - 0 = 18$.
दूसरे समाकलन (त्रिभुज का क्षेत्रफल) की गणना: $\int_1^3 (6x-6) dx = [3x^2 - 6x]_1^3 = (27 - 18) - (3 - 6) = 9 - (-3) = 12$.
अभीष्ट क्षेत्रफल = $18 - 12 = 6$ वर्ग इकाई।

(D) अभीष्ट क्षेत्रफल $A$ समाकल $A = \int_0^{2\pi} |\sin 2x| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि फलन $f(x) = |\sin 2x|$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $[0, 2\pi]$ पर क्षेत्रफल में $4$ समान भाग (humps) होते हैं,जिनमें से प्रत्येक $\frac{\pi}{2}$ लंबाई के अंतराल पर है।
अतः,$A = 4 \int_0^{\pi/2} \sin 2x \, dx$.
समाकल का मूल्यांकन करने पर: $A = 4 \left[ -\frac{\cos 2x}{2} \right]_0^{\pi/2}$.
$A = 4 \left( -\frac{1}{2} (\cos \pi - \cos 0) \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} (-1 - 1) \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} (-2) \right) = 4(1) = 4$.
अतः,क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई है।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(D) दिया गया वक्र $y = x^4 - x^2$ है।
न्यूनतम बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2 - 1) = 0$.
इससे $x = 0$ और $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए,$y'' = 12x^2 - 2$.
$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ पर,$y'' = 12(\frac{1}{2}) - 2 = 4 > 0$,इसलिए ये न्यूनतम बिंदु हैं।
क्षेत्रफल $\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} |x^4 - x^2| dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि फलन सम है,क्षेत्रफल $2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} -(x^4 - x^2) dx$ होगा (क्योंकि इस अंतराल में $x^4 - x^2 < 0$ है)।
क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} (x^2 - x^4) dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$.
$= 2 \left( \frac{1}{3(2\sqrt{2})} - \frac{1}{5(4\sqrt{2})} \right) = 2 \left( \frac{1}{6\sqrt{2}} - \frac{1}{20\sqrt{2}} \right)$.
$= 2 \left( \frac{10 - 3}{60\sqrt{2}} \right) = 2 \left( \frac{7}{60\sqrt{2}} \right) = \frac{7}{30\sqrt{2}}$.

(A) दिया गया वक्र $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ है।
वक्र जहाँ $X$-अक्ष को काटता है,उन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए,हम $y = 0$ रखते हैं:
$x(x^2 - 3x + 2) = 0$
$x(x - 1)(x - 2) = 0$
अतः,वक्र $X$-अक्ष को $x = 0, 1, 2$ पर काटता है।
क्षेत्रफल $\int_0^2 |y| dx = \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx + \left| \int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx \right|$ द्वारा दिया जाता है।
पहला भाग: $\int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 \right]_0^1 = (\frac{1}{4} - 1 + 1) - 0 = \frac{1}{4}$.
दूसरा भाग: $\int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 \right]_1^2 = (\frac{16}{4} - 8 + 4) - (\frac{1}{4} - 1 + 1) = (4 - 8 + 4) - \frac{1}{4} = 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$.
इसका निरपेक्ष मान $|-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$ है।
कुल क्षेत्रफल = $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए वक्र $y=|x|$ और $y=1-|x|$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$|x| = 1-|x|$ रखें,जिससे $2|x| = 1$ प्राप्त होता है,अतः $|x| = \frac{1}{2}$।
इसका अर्थ है कि $x = \frac{1}{2}$ या $x = -\frac{1}{2}$।
जब $x = \frac{1}{2}$,तो $y = \frac{1}{2}$। जब $x = -\frac{1}{2}$,तो $y = \frac{1}{2}$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $A(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ और $C(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ हैं।
वक्र $y$-अक्ष को $O(0,0)$ और $B(0,1)$ पर भी काटते हैं।
यह क्षेत्र एक वर्ग है जिसके शीर्ष $O(0,0)$,$A(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$,$B(0,1)$,और $C(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ हैं।
वर्ग की भुजा की लंबाई $OA = \sqrt{(\frac{1}{2}-0)^2 + (\frac{1}{2}-0)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $(\text{भुजा})^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(D) दिए गए वक्र $y=x^2+1$ और $y=2x-2$ हैं।
यह क्षेत्र ऊर्ध्वाधर रेखाओं $x=-1$ और $x=2$ द्वारा परिबद्ध है।
अंतराल $[-1, 2]$ के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या वक्र प्रतिच्छेद करते हैं। $x^2+1 = 2x-2$ रखने पर,हमें $x^2-2x+3=0$ प्राप्त होता है। विविक्तकर $D = (-2)^2 - 4(1)(3) = 4-12 = -8 < 0$ है। अतः,कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है,और सभी $x$ के लिए $x^2+1 > 2x-2$ है।
आवश्यक क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{Area} = \int_{-1}^{2} [(x^2+1) - (2x-2)] \, dx$
$\text{Area} = \int_{-1}^{2} (x^2 - 2x + 3) \, dx$
$\text{Area} = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \right]_{-1}^{2}$
$\text{Area} = \left( \frac{8}{3} - 4 + 6 \right) - \left( \frac{-1}{3} - 1 - 3 \right)$
$\text{Area} = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 4 \right)$
$\text{Area} = \frac{14}{3} - \left( -\frac{13}{3} \right)$
$\text{Area} = \frac{14}{3} + \frac{13}{3} = \frac{27}{3} = 9$ वर्ग इकाई।

(C) यहाँ $h = 1$ ($x$ के क्रमागत मानों के बीच का अंतर)।
मान लीजिए $f(x)$ के मान $y_0, y_1, y_2, y_3, y_4, y_5$ हैं।
यहाँ,$y_0 = 2, y_1 = 3, y_2 = 6, y_3 = 11, y_4 = 18, y_5 = 27$ है।
ट्रेपेज़ॉइडल नियम के अनुसार,क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \frac{h}{2} [ (y_0 + y_5) + 2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4) ]$
मान रखने पर:
$A = \frac{1}{2} [ (2 + 27) + 2(3 + 6 + 11 + 18) ]$
$A = \frac{1}{2} [ 29 + 2(38) ]$
$A = \frac{1}{2} [ 29 + 76 ]$
$A = \frac{1}{2} [ 105 ] = 52.5$
अतः,अनुमानित क्षेत्रफल $52.5$ वर्ग इकाई है।

(D) यह क्षेत्र $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ के लिए $y=\sin x$,$y=\cos x$ और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $A_1$,$x=0$ से $x=\frac{\pi}{4}$ तक $y=\sin x$ के नीचे का क्षेत्रफल है:
$A_1 = \int_0^{\pi/4} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\pi/4} = -(\cos \frac{\pi}{4} - \cos 0) = -(\frac{1}{\sqrt{2}} - 1) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$.
क्षेत्रफल $A_2$,$x=\frac{\pi}{4}$ से $x=\frac{\pi}{2}$ तक $y=\cos x$ के नीचे का क्षेत्रफल है:
$A_2 = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \, dx = [\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$.
अतः,अनुपात $A_1 : A_2 = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} : \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} = 1 : 1$ है।

(B) दिया गया वक्र $2x = y^2 - 1$ है, जिसे $x = \frac{y^2 - 1}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वक्र $x = 0$ $y$-अक्ष है।
वक्र $2x = y^2 - 1$ और $x = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, समीकरण में $x = 0$ रखें:
$0 = y^2 - 1 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.
अतः, क्षेत्र $y = -1$ से $y = 1$ तक परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $A$ $y$ के सापेक्ष वक्रों के बीच की दूरी के समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_{-1}^{1} |x_{\text{right}} - x_{\text{left}}| dy = \int_{-1}^{1} |0 - \frac{y^2 - 1}{2}| dy = \int_{-1}^{1} \frac{1 - y^2}{2} dy$.
चूंकि फलन $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है, हम लिख सकते हैं:
$A = 2 \int_{0}^{1} \frac{1 - y^2}{2} dy = \int_{0}^{1} (1 - y^2) dy$.
$A = [y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{2}{3} \text{ \text{वर्ग इकाई}}$.