Integral of the form ex(F(x) + F'(x)) dx Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $I = \int \frac{3^x(x \log 3 - 1)}{x^2} dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int \left( \frac{x \cdot 3^x \log 3}{x^2} - \frac{3^x}{x^2} \right) dx$
$I = \int \left( \frac{3^x \log 3}{x} - \frac{3^x}{x^2} \right) dx$.
ભાગાકારના નિયમનું વિકલન યાદ કરો. ધારો કે $f(x) = \frac{3^x}{x}$.
તો $f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(3^x) - 3^x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}$.
કારણ કે $\frac{d}{dx}(3^x) = 3^x \log 3$,તેથી:
$f'(x) = \frac{x \cdot 3^x \log 3 - 3^x \cdot 1}{x^2} = \frac{3^x(x \log 3 - 1)}{x^2}$.
આમ,$\int f'(x) dx = f(x) + c$.
તેથી,$I = \frac{3^x}{x} + c$.

(C) ધારો કે $I = \int e^{-2 x}(\tan 2 x - 2 \sec^2 2 x \tan 2 x) dx$.
વિધેય $f(x) = \tan 2 x$ લો.
તેથી $f'(x) = 2 \sec^2 2 x$.
$2x = t$ લેતા,$2 dx = dt$,તેથી $dx = \frac{1}{2} dt$.
$I = \frac{1}{2} \int e^{-t} (\tan t - 2 \sec^2 t \tan t) dt$.
$f(t) = \tan t - \sec^2 t$ લો.
તેથી $f'(t) = \sec^2 t - 2 \sec^2 t \tan t$.
આમ,$I = \frac{1}{2} \int e^{-t} (f'(t) - f(t)) dt$.
સૂત્ર $\int e^{kt} (f'(t) + k f(t)) dt = e^{kt} f(t) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $k = -1$:
$I = \frac{1}{2} (-e^{-t} f(t)) + C = -\frac{1}{2} e^{-t} (\tan t - \sec^2 t) + C$.
$t = 2x$ મૂકતા:
$I = -\frac{1}{2} e^{-2 x} (\tan 2 x - \sec^2 2 x) + C = \frac{1}{2} e^{-2 x} (\sec^2 2 x - \tan 2 x) + C$.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int e^x(\sin^2 2x - 8 \cos 4x) dx$ છે.
નિત્યસમ $\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int e^x(\frac{1 - \cos 4x}{2} - 8 \cos 4x) dx = \int e^x(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 4x - 8 \cos 4x) dx = \int e^x(\frac{1}{2} - \frac{17}{2} \cos 4x) dx$.
તેથી $I = \frac{1}{2} \int e^x dx - \frac{17}{2} \int e^x \cos 4x dx$.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos bx + b \sin bx)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\int e^x \cos 4x dx = \frac{e^x}{1^2 + 4^2} (\cos 4x + 4 \sin 4x) = \frac{e^x}{17} (\cos 4x + 4 \sin 4x)$ મળે.
કિંમત મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} e^x - \frac{17}{2} \cdot \frac{e^x}{17} (\cos 4x + 4 \sin 4x) + c = e^x (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 4x - 2 \sin 4x) + c$.
આમ,$f(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 4x - 2 \sin 4x$.
$x = \frac{\pi}{4}$ માટે કિંમત શોધતા:
$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos(\pi) - 2 \sin(\pi) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(-1) - 2(0) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$.
ધારો કે $f(x) = \frac{x-4}{(x-1)^4}$.
તેથી $f'(x) = \frac{(x-1)^4(1) - (x-4) \cdot 4(x-1)^3}{(x-1)^8} = \frac{(x-1) - 4(x-4)}{(x-1)^5} = \frac{x-1-4x+16}{(x-1)^5} = \frac{-3x+15}{(x-1)^5} = \frac{-3(x-5)}{(x-1)^5}$.
હવે,સંકલન $I = \int e^x \left( \frac{x^2-8x+19}{(x-1)^5} \right) dx$ ધ્યાનમાં લો.
આપણે અંશને $x^2-8x+19 = (x-4)(x-1) - 3(x-5)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$I = \int e^x \left( \frac{x-4}{(x-1)^4} - \frac{3(x-5)}{(x-1)^5} \right) dx = \int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C = \frac{e^x(x-4)}{(x-1)^4} + C$.
આને $\frac{e^x(lx+m)}{(x-1)^4} + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $l=1$ અને $m=-4$ મળે છે.
તેથી,$4l+m = 4(1) + (-4) = 4-4 = 0$.

(B) આપણને આપેલ છે કે $\int e^{2x} f^{\prime}(x) dx = g(x)$.
ધારો કે $I = \int (e^{2x} f(x) + e^{2x} f^{\prime}(x)) dx$.
આને બે સંકલનમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: $I = \int e^{2x} f(x) dx + \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.
પ્રથમ સંકલન $\int e^{2x} f(x) dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા ($f(x)$ ને પ્રથમ વિધેય અને $e^{2x}$ ને બીજું વિધેય લેતા):
$\int e^{2x} f(x) dx = f(x) \int e^{2x} dx - \int (f^{\prime}(x) \int e^{2x} dx) dx = \frac{1}{2} f(x) e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.
આ કિંમતને $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = [\frac{1}{2} f(x) e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx] + \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.
$I = \frac{1}{2} e^{2x} f(x) + \frac{1}{2} \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.
કારણ કે $\int e^{2x} f^{\prime}(x) dx = g(x)$,તેથી:
$I = \frac{1}{2} e^{2x} f(x) + \frac{1}{2} g(x) + C = \frac{1}{2} [e^{2x} f(x) + g(x)] + C$.

(D) ધારો કે $I = \int e^x \left( \frac{2+\sin 2x}{1+\cos 2x} \right) dx$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$ અને $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int e^x \left( \frac{2 + 2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{2}{2\cos^2 x} + \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x (\sec^2 x + \tan x) dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$.
અહીં,$f(x) = \tan x$ અને $f'(x) = \sec^2 x$ છે.
તેથી,$I = e^x \tan x + C$.

(A) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{3-x^2}{1-2x+x^2} e^x dx$ છે.
છેદને $(1-x)^2$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,$I = \int \frac{3-x^2}{(1-x)^2} e^x dx$.
અંશને $f(x) + f'(x)$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$I = \int \frac{-(x^2-1) + 2}{(1-x)^2} e^x dx = \int \frac{-(x-1)(x+1) + 2}{(x-1)^2} e^x dx$
$I = \int \left( \frac{-(x+1)}{x-1} + \frac{2}{(x-1)^2} \right) e^x dx = \int \left( \frac{x+1}{1-x} + \frac{2}{(1-x)^2} \right) e^x dx$.
ધારો કે $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$. તો $f'(x) = \frac{(1)(1-x) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+1+x}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int (f(x) + f'(x)) e^x dx = e^x f(x) + c$,તેથી $I = e^x \left( \frac{1+x}{1-x} \right) + c$.
આને $e^x f(x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x(g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + c$.
આપેલ છે કે $\int e^x(x^3+x^2-x+4) dx = e^x f(x) + c$,તેથી $f(x) + f'(x) = x^3+x^2-x+4$.
ધારો કે $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 1$,તો $f'(x) = 3x^2 - 4x + 3$.
સરવાળો કરતા: $f(x) + f'(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 1 + 3x^2 - 4x + 3 = x^3 + x^2 - x + 4$.
આ આપેલ પદાવલિ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,$f(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 3(1) + 1 = 1 - 2 + 3 + 1 = 3$.

(C) આપણને સંકલન $I = \int e^x \left( \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \right) dx$ આપેલ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ અને $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int e^x \left( \frac{1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} - \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2} \right) dx$
ધારો કે $g(x) = -\cot \frac{x}{2}$. તો $g'(x) = -(-\operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2}$ થાય.
સંકલન $\int e^x (g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + c$ સ્વરૂપમાં હોવાથી:
$I = e^x \left( -\cot \frac{x}{2} \right) + c = -e^x \cot \frac{x}{2} + c$.
આમ,$f(x) = -e^x \cot \left( \frac{x}{2} \right)$.

(C) ધારો કે $I = \int 2^{x} [f^{\prime}(x) + f(x) \log 2] \, dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે વિધેયોના ગુણાકારનું વિકલન ગુણાકારના નિયમ દ્વારા મળે છે: $\frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$.
વિધેય $g(x) = 2^{x} f(x)$ ધ્યાનમાં લો.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $g(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$g^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(2^{x}) \cdot f(x) + 2^{x} \cdot \frac{d}{dx}(f(x))$
$g^{\prime}(x) = 2^{x} \log 2 \cdot f(x) + 2^{x} f^{\prime}(x)$
$g^{\prime}(x) = 2^{x} [f^{\prime}(x) + f(x) \log 2]$.
અહીં સંકલ્ય એ $g(x)$ નું વિકલિત હોવાથી,આપણને મળે છે:
$I = \int g^{\prime}(x) \, dx = g(x) + C = 2^{x} f(x) + C$.

(A) આપેલ સંકલન: $\int e^{\sin x} \left( \frac{x \cos^3 x - \sin x}{\cos^2 x} \right) dx = e^{\sin x} f(x) + c$.
સંકલિત પદને સરળ બનાવતા: $\frac{x \cos^3 x - \sin x}{\cos^2 x} = x \cos x - \frac{\sin x}{\cos^2 x} = x \cos x - \sec x \tan x$.
તેથી સંકલન આ મુજબ થશે: $\int e^{\sin x} (x \cos x - \sec x \tan x) dx$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\int [e^{\sin x} \cos x \cdot x - e^{\sin x} \sec x \tan x] dx$.
અહીં નોંધો કે $\frac{d}{dx} [e^{\sin x} (x - \sec x)] = e^{\sin x} \cos x (x - \sec x) + e^{\sin x} (1 - \sec x \tan x) = e^{\sin x} (x \cos x - \sec x \cos x + 1 - \sec x \tan x) = e^{\sin x} (x \cos x - 1 + 1 - \sec x \tan x) = e^{\sin x} (x \cos x - \sec x \tan x)$.
આમ,$\int e^{\sin x} (x \cos x - \sec x \tan x) dx = e^{\sin x} (x - \sec x) + c$.
આને $e^{\sin x} f(x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = x - \sec x$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int 2^x (f^{\prime}(x) + f(x) \log 2) \, dx$.
આપણે સંકલ્યને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$I = \int (2^x f^{\prime}(x) + 2^x \log 2 \cdot f(x)) \, dx$.
વિકલન માટે ગુણાકારનો નિયમ યાદ કરો: $\frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$.
ધારો કે $u(x) = 2^x$ અને $v(x) = f(x)$.
તો $u^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (2^x) = 2^x \log 2$.
આમ,સંકલ્ય $u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$ સ્વરૂપમાં છે,જે $\frac{d}{dx} [2^x f(x)]$ છે.
તેથી,$I = \int \frac{d}{dx} [2^x f(x)] \, dx = 2^x f(x) + C$.

(C) આપણે પ્રમાણિત સંકલનનું સૂત્ર જાણીએ છીએ: $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$.
આપેલ સંકલન: $I = \int e^{x} \left(\frac{2}{x} - \frac{2}{x^2}\right) dx$.
ધારો કે $f(x) = \frac{2}{x}$.
તો,$f'(x) = \frac{d}{dx} (2x^{-1}) = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $I = \int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$.
તેથી,$I = e^{x} \left(\frac{2}{x}\right) + C = \frac{2 e^{x}}{x} + C$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$.
ધારો કે $f(x) = \log_{e} x$. તો $f'(x) = \frac{1}{x}$.
આ સંકલનને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$I = \int_{1}^{2} e^{x} \left( \log_{e} x + \frac{1}{x} + 1 \right) dx$
$I = \int_{1}^{2} e^{x} \log_{e} x dx + \int_{1}^{2} e^{x} dx + \int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{x} dx$
$\int e^{x} \log_{e} x dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$u = \log_{e} x$,$dv = e^{x} dx$ લેતા,$du = \frac{1}{x} dx$,$v = e^{x}$ મળે.
$\int e^{x} \log_{e} x dx = e^{x} \log_{e} x - \int \frac{e^{x}}{x} dx$.
આ કિંમત $I$ માં મૂકતા:
$I = [e^{x} \log_{e} x - \int \frac{e^{x}}{x} dx] + [e^{x}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{x} dx$
$I = [e^{x} \log_{e} x]_{1}^{2} + [e^{x}]_{1}^{2}$
$I = (e^{2} \log_{e} 2 - e^{1} \log_{e} 1) + (e^{2} - e^{1})$
$\log_{e} 1 = 0$ હોવાથી:
$I = e^{2} \log_{e} 2 + e^{2} - e$
$I = e^{2}(1 + \log_{e} 2) - e$.

(A) ધારો કે $\ln t = x$,તેથી $t = e^x$ અને $dt = e^x dx$. સંકલનમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$f(t) = \int \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} e^x dx = \int \frac{1 - 2\sin(x/2)\cos(x/2)}{2\sin^2(x/2)} e^x dx$
$f(t) = \int \left( \frac{1}{2}\csc^2(x/2) - \cot(x/2) \right) e^x dx$
નિત્યસમ $\int e^x (g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $g(x) = -\cot(x/2)$ અને $g'(x) = \frac{1}{2}\csc^2(x/2)$ છે:
$f(t) = -e^x \cot(x/2) + C = -t \cot(\frac{\ln t}{2}) + C$
આપેલ છે કે $f(e^{\pi/2}) = -e^{\pi/2} \cot(\pi/4) + C = -e^{\pi/2} + C = -e^{\pi/2}$,તેથી $C = 0$.
આમ,$f(t) = -t \cot(\frac{\ln t}{2})$.
$f(e^{\pi/4}) = -e^{\pi/4} \cot(\pi/8) = -e^{\pi/4} (\sqrt{2} + 1)$.
$f(e^{\pi/4}) = \alpha e^{\pi/4}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = -(1 + \sqrt{2}) = -1 - \sqrt{2}$ મળે છે.

(A) આપણી પાસે $f(x) = \int e^x \left( \frac{2-x^2}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} \right) dx$ છે.
અંશને $(1-x^2) + 1$ તરીકે લખતા:
$f(x) = \int e^x \left( \frac{1-x^2}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} + \frac{1}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} \right) dx$.
પ્રથમ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{(1-x)(1+x)}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} = \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}} = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$.
ધારો કે $g(x) = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$. તો $g'(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{1+x}{1-x} \right)^{-1/2} \cdot \frac{(1-x)(1) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{1}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}}$.
આમ,સંકલન $\int e^x (g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + C$ સ્વરૂપમાં છે.
તેથી,$f(x) = e^x \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} + C$.
$f(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0 = e^0 \sqrt{\frac{1}{1}} + C \implies 0 = 1 + C \implies C = -1$.
તેથી,$f(x) = e^x \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} - 1$.
$x = \frac{1}{2}$ માટે,$f(\frac{1}{2}) = e^{1/2} \sqrt{\frac{1+1/2}{1-1/2}} - 1 = \sqrt{e} \sqrt{\frac{3/2}{1/2}} - 1 = \sqrt{e} \sqrt{3} - 1 = \sqrt{3e} - 1$.

(C) ધારો કે $u = \tan^{-1} x$. તેથી $x = \tan u$ અને $dx = \sec^2 u \, du = (1+x^2) \, du$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^u \left( \frac{1+x+x^2}{1+x^2} \right) (1+x^2) \, du = \int e^u (1+x+x^2) \, du$.
કારણ કે $x = \tan u$,તેથી $1+x^2 = \sec^2 u$.
આમ,$I = \int e^u (1 + \tan u + \tan^2 u) \, du = \int e^u (\sec^2 u + \tan u) \, du$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{du}(\tan u) = \sec^2 u$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^u (f(u) + f'(u)) \, du = e^u f(u) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(u) = \tan u$ અને $f'(u) = \sec^2 u$,આપણને મળે છે:
$I = e^u \tan u + C = e^{\tan^{-1} x} \cdot x + C$.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int e^x \left( \frac{1-x}{1+x^2} \right)^2 dx$ છે.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $I = \int e^x \frac{1-2x+x^2}{(1+x^2)^2} dx$ મળે છે.
આને $I = \int e^x \left[ \frac{1+x^2}{(1+x^2)^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2} \right] dx$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
$I = \int e^x \left[ \frac{1}{1+x^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2} \right] dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$ છે.
અહીં,ધારો કે $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$.
તેથી,$f'(x) = \frac{d}{dx} (1+x^2)^{-1} = -1(1+x^2)^{-2} \cdot (2x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$.
કારણ કે સંકલ્ય $e^x [f(x) + f'(x)]$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી ઉકેલ $e^x f(x) + C = \frac{e^x}{1+x^2} + C$ થાય છે.