Types of matrices, Algebra of matrices Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$(A - 2I)$ ની ગણતરી કરો:
$A - 2I = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$(A - 3I)$ ની ગણતરી કરો:
$A - 3I = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}$.
હવે,બંને શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરો:
$(A - 2I)(A - 3I) = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(1) + (2)(-1) & (2)(2) + (2)(-2) \\ (-1)(1) + (-1)(-1) & (-1)(2) + (-1)(-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.

(C) કઈ અભિવ્યક્તિ વ્યાખ્યાયિત નથી તે નક્કી કરવા માટે,આપણે શ્રેણિકોના પરિમાણો તપાસીએ:
$A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે.
$B$ એ $3 \times 2$ શ્રેણિક છે.
$C$ એ $1 \times 3$ શ્રેણિક છે.
$1$. $B'B$ માટે: $B'$ એ $2 \times 3$ છે અને $B$ એ $3 \times 2$ છે. ગુણાકાર વ્યાખ્યાયિત છે ($2 \times 2$ શ્રેણિક).
$2$. $CAB$ માટે: $C$ એ $1 \times 3$ છે,$A$ એ $3 \times 3$ છે,અને $B$ એ $3 \times 2$ છે. ગુણાકાર $CA$ એ $1 \times 3$ છે,અને $(CA)B$ એ $1 \times 2$ છે. આ વ્યાખ્યાયિત છે.
$3$. $A + B'$ માટે: $A$ એ $3 \times 3$ છે અને $B'$ એ $2 \times 3$ છે. શ્રેણિકના સરવાળા માટે બંને શ્રેણિકોના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ. $3 \times 3 \neq 2 \times 3$ હોવાથી,આ અભિવ્યક્તિ વ્યાખ્યાયિત નથી.
$4$. $A^2 + A$ માટે: $A$ એ ચોરસ શ્રેણિક $(3 \times 3)$ હોવાથી,$A^2$ અને $A$ બંને $3 \times 3$ છે. આ વ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,અભિવ્યક્તિ $A + B'$ વ્યાખ્યાયિત નથી.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix}$.
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 & 0 & 0 \\ 0 & b^2 & 0 \\ 0 & 0 & c^2 \end{bmatrix}$ ગણો.
તે જ રીતે,$A^3 = A^2 \times A = \begin{bmatrix} a^2 & 0 & 0 \\ 0 & b^2 & 0 \\ 0 & 0 & c^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^3 & 0 & 0 \\ 0 & b^3 & 0 \\ 0 & 0 & c^3 \end{bmatrix}$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,આપણને $A^n = \begin{bmatrix} a^n & 0 & 0 \\ 0 & b^n & 0 \\ 0 & 0 & c^n \end{bmatrix}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) શ્રેણિક $A$ ને વિસંમિત શ્રેણિક કહેવાય જો $A^T = -A$ થાય,જેનો અર્થ છે કે તમામ $i, j$ માટે $a_{ij} = -a_{ji}$.
વિકર્ણ ઘટકો માટે જ્યાં $i = j$,આપણને $a_{ii} = -a_{ii}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2a_{ii} = 0$,તેથી $a_{ii} = 0$.
વિકલ્પ $A$ ચકાસતા:
ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 4 & 5 \\ -4 & 0 & -6 \\ -5 & 6 & 0 \end{bmatrix}$.
$A^T = \begin{bmatrix} 0 & -4 & -5 \\ 4 & 0 & 6 \\ 5 & -6 & 0 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} 0 & 4 & 5 \\ -4 & 0 & -6 \\ -5 & 6 & 0 \end{bmatrix} = -A$.
આમ,$A^T = -A$ હોવાથી,આ શ્રેણિક વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(A) જો $AA^T = A^TA = I$ હોય,તો શ્રેણિક $A$ ને લંબ શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & 2 & -1 \end{bmatrix}$.
તેથી $A^T = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \end{bmatrix}$.
હવે,$AA^T = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \end{bmatrix}$
$= \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 1+4+4 & 2+2-4 & -2+4-2 \\ 2+2-4 & 4+1+4 & -4+2+2 \\ -2+4-2 & -4+2+2 & 4+4+1 \end{bmatrix}$
$= \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
આમ,$AA^T = I$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ લંબ શ્રેણિક છે.

(A) અપર ટ્રાયન્ગ્યુલર શ્રેણિક $A = [a_{ij}]$ એ એક ચોરસ શ્રેણિક છે જેમાં મુખ્ય વિકર્ણની નીચેના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $i > j$ માટે $a_{ij} = 0$ થાય.
$n \times n$ શ્રેણિક માટે,મુખ્ય વિકર્ણની નીચેના ઘટકોની સંખ્યા પ્રથમ $(n-1)$ પૂર્ણાંકોના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) = \frac{(n - 1)n}{2} = \frac{n(n - 1)}{2}$.
ઉદાહરણ તરીકે,$4 \times 4$ શ્રેણિકમાં,શૂન્યોની સંખ્યા $\frac{4(4 - 1)}{2} = \frac{12}{2} = 6$ થાય.
આમ,શૂન્યોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $\frac{n(n - 1)}{2}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
શ્રેણિક ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$(A - B)(A + B) = A(A + B) - B(A + B)$
$= A^2 + AB - BA - B^2$.
હવે,આને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$A^2 - B^2 = A^2 + AB - BA - B^2$.
બંને બાજુથી $A^2$ બાદ કરતા અને $B^2$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$0 = AB - BA$.
તેથી,$AB = BA$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}$.
$AB$ ની ગણતરી કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 2b \\ 3a & 4b \end{bmatrix}$.
$BA$ ની ગણતરી કરતા:
$BA = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 2a \\ 3b & 4b \end{bmatrix}$.
$AB = BA$ માટે,આપણે નીચે મુજબ મેળવીએ છીએ:
$\begin{bmatrix} a & 2b \\ 3a & 4b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 2a \\ 3b & 4b \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $2b = 2a$ અને $3a = 3b$ મળે છે,જે બંને સૂચવે છે કે $a = b$.
કારણ કે $a, b \in \mathbb{N}$,તેથી $a = b$ હોય તેવી અસંખ્ય જોડીઓ $(a, b)$ શક્ય છે (દા.ત.,$(1, 1), (2, 2), (3, 3), \dots$).
તેથી,અસંખ્ય શ્રેણિકો $B$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેના માટે $AB = BA$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $H = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix}$.
આપણે $H$ ના ઘાતની ગણતરી કરીએ:
$H^2 = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^2 & 0 \\ 0 & \omega^2 \end{bmatrix}$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$H^n = \begin{bmatrix} \omega^n & 0 \\ 0 & \omega^n \end{bmatrix}$.
$n = 70$ માટે,$H^{70} = \begin{bmatrix} \omega^{70} & 0 \\ 0 & \omega^{70} \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^{70} = (\omega^3)^{23} \cdot \omega = (1)^{23} \cdot \omega = \omega$.
આમ,$H^{70} = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} = H$.

(A) આપેલ છે કે $AA^T = 9I$,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ એકમ શ્રેણિક છે.
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ a & 2 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & a \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$
શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા,ત્રીજી હારના ઘટકોને ધ્યાનમાં લઈએ:
$(3, 1)$ સ્થાન માટે: $a(1) + 2(2) + b(2) = 0 \Rightarrow a + 2b + 4 = 0 \Rightarrow a + 2b = -4$ ... $(i)$
$(3, 2)$ સ્થાન માટે: $a(2) + 2(1) + b(-2) = 0 \Rightarrow 2a - 2b + 2 = 0 \Rightarrow a - b = -1$ ... $(ii)$
સમીકરણો ઉકેલતા:
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$a = b - 1$.
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $(b - 1) + 2b = -4 \Rightarrow 3b = -3 \Rightarrow b = -1$.
તેથી,$a = -1 - 1 = -2$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b) = (-2, -1)$ છે.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ -2 & 0 \\ 0 & -4 \end{bmatrix}$,અને $C = \begin{bmatrix} -4 & -5 & -6 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,$D = A \times B$ ની ગણતરી કરો:
$D = \begin{bmatrix} (1)(-1)+(2)(-2)+(3)(0) & (1)(-2)+(2)(0)+(3)(-4) \\ (2)(-1)+(3)(-2)+(4)(0) & (2)(-2)+(3)(0)+(4)(-4) \\ (3)(-1)+(4)(-2)+(5)(0) & (3)(-2)+(4)(0)+(5)(-4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & -14 \\ -8 & -20 \\ -11 & -26 \end{bmatrix}$.
હવે,$P = D \times C$ ની ગણતરી કરો:
$P = \begin{bmatrix} -5 & -14 \\ -8 & -20 \\ -11 & -26 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 & -5 & -6 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
ઘટક $P_{22}$ એ $D$ ની બીજી હાર અને $C$ ના બીજા સ્તંભનો ગુણાકાર છે:
$P_{22} = (-8)(-5) + (-20)(0) = 40 + 0 = 40$.

(C) શ્રેણિકોના પરિમાણો નીચે મુજબ છે: $A$ એ $3 \times 3$ છે,$B$ એ $3 \times 2$ છે,અને $C$ એ $3 \times 1$ છે.
$(i) (AB)^T C$: $AB$ એ $(3 \times 3)(3 \times 2) = 3 \times 2$ છે. તેથી,$(AB)^T$ એ $2 \times 3$ છે. ગુણાકાર $(2 \times 3)(3 \times 1)$ વ્યાખ્યાયિત છે.
$(ii) C^T C (AB)^T$: $C^T$ એ $1 \times 3$ છે અને $C$ એ $3 \times 1$ છે,તેથી $C^T C$ એ $1 \times 1$ છે. $(AB)^T$ એ $2 \times 3$ છે. ગુણાકાર $(1 \times 1)(2 \times 3)$ વ્યાખ્યાયિત નથી કારણ કે પ્રથમ શ્રેણિકના સ્તંભોની સંખ્યા $(1)$ બીજા શ્રેણિકની હારની સંખ્યા $(2)$ જેટલી નથી.
$(iii) C^T AB$: $C^T$ એ $1 \times 3$ છે અને $AB$ એ $3 \times 2$ છે. ગુણાકાર $(1 \times 3)(3 \times 2)$ વ્યાખ્યાયિત છે.
$(iv) A^T AB B^T C$: $A^T$ એ $3 \times 3$ છે,$AB$ એ $3 \times 2$ છે,$B^T$ એ $2 \times 3$ છે,અને $C$ એ $3 \times 1$ છે. ગુણાકાર $(3 \times 3)(3 \times 2)(2 \times 3)(3 \times 1)$ વ્યાખ્યાયિત છે.
આમ,$(i), (iii),$ અને $(iv)$ વ્યાખ્યાયિત છે. કુલ ત્રણ વ્યાખ્યાયિત છે.

(A) આપણી પાસે $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
$A^3 = A^2 A = \begin{bmatrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
આ ભાત (pattern) ને જોતા,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત (mathematical induction) દ્વારા આપણે કહી શકીએ કે કોઈપણ $n \in N$ માટે,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & na \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ થાય.

(D) આપેલ સમીકરણ $A + 2X = B$ છે.
બંને બાજુથી $A$ બાદ કરતા,આપણને $2X = B - A$ મળે છે.
પ્રથમ,$B - A$ ની ગણતરી કરો:
$B - A = \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 6 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 - 3 & 5 - 4 \\ 6 - 1 & 1 - (-6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 1 \\ 5 & 7 \end{bmatrix}$.
હવે,$X = \frac{1}{2} (B - A) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -5 & 1 \\ 5 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2.5 & 0.5 \\ 2.5 & 3.5 \end{bmatrix}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(B) આપેલ છે કે $A$ નો ક્રમ $3 \times 4$ છે,તેથી $A'$ નો ક્રમ $4 \times 3$ થાય.
કારણ કે $A'B$ વ્યાખ્યાયિત છે,ધારો કે $B$ નો ક્રમ $m \times n$ છે. $A'B$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$A'$ માં સ્તંભોની સંખ્યા $B$ માં હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ. તેથી,$m = 3$.
હવે,$BA'$ ધ્યાનમાં લો. $BA'$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$B$ માં સ્તંભોની સંખ્યા $A'$ માં હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ. $A'$ નો ક્રમ $4 \times 3$ હોવાથી,હારની સંખ્યા $4$ છે. તેથી,$n = 4$.
આમ,$B$ નો ક્રમ $3 \times 4$ છે.
પરિણામે,$B'$ નો ક્રમ $4 \times 3$ થાય.
છેલ્લે,$B'A$ નો ક્રમ $(4 \times 3) \times (3 \times 4) = 4 \times 4$ થાય.

(B) ધારો કે $D = \begin{bmatrix} d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{bmatrix}$.
સ્પષ્ટ છે કે $D' = D$ કારણ કે વિકર્ણ શ્રેણિક સંમિત હોય છે.
હવે,સામાન્ય શ્રેણિક $A = [a_{ij}]$ માટે $AD$ અને $DA$ તપાસીએ.
$AD = \begin{bmatrix} d_1 a_{11} & d_2 a_{12} & d_3 a_{13} \\ d_1 a_{21} & d_2 a_{22} & d_3 a_{23} \\ d_1 a_{31} & d_2 a_{32} & d_3 a_{33} \end{bmatrix}$ અને $DA = \begin{bmatrix} d_1 a_{11} & d_1 a_{12} & d_1 a_{13} \\ d_2 a_{21} & d_2 a_{22} & d_2 a_{23} \\ d_3 a_{31} & d_3 a_{32} & d_3 a_{33} \end{bmatrix}$.
આ સરખામણી કરતા,$AD = DA$ ત્યારે જ થાય જો $d_1 = d_2 = d_3$ હોય (એટલે કે $D$ અદિશ શ્રેણિક હોય). તેથી,દરેક શ્રેણિક $A$ માટે $AD = DA$ વિધાન ખોટું છે.
વધુમાં,જો $D^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે,તો $D^{-1} = \text{diag}(d_1^{-1}, d_2^{-1}, d_3^{-1})$,જે હંમેશા અદિશ શ્રેણિક હોતું નથી.

(B) આપેલ છે કે $A_k$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $A_k^T = -A_k$.
કોઈપણ એકી ઘાત $m$ માટે,$(A_k^m)^T = (A_k^T)^m = (-A_k)^m = (-1)^m A_k^m$.
અહીં $m = 2r-1$ હંમેશા એકી સંખ્યા છે,તેથી $(A_{2r-1})^{2r-1}$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
આમ,$B = \sum_{r=1}^n (2r-1)(A_{2r-1})^{2r-1}$ એ વિસંમિત શ્રેણિકોનો સરવાળો છે.
પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા: $B^T = \sum_{r=1}^n (2r-1)((A_{2r-1})^{2r-1})^T = \sum_{r=1}^n (2r-1)(-(A_{2r-1})^{2r-1}) = -B$.
તેથી,$B$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ છે.
આપેલ છે કે $A \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$,તેથી આપણને મળે:
$a - b = -1$ $(1)$
$c - d = 2$ $(2)$
આપેલ છે કે $A^2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$,જેને આપણે $A \left( A \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ તરીકે લખી શકીએ.
$(1)$ ની કિંમત મૂકતા,$A \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ મળે.
આના પરથી સમીકરણો મળે:
$-a + 2b = 1$ $(3)$
$-c + 2d = 0$ $(4)$
$(1)$ અને $(3)$ ઉકેલતા: $(1)$ પરથી,$a = b - 1$. $(3)$ માં મૂકતા: $-(b - 1) + 2b = 1 \Rightarrow -b + 1 + 2b = 1 \Rightarrow b = 0$. તેથી $a = -1$.
$(2)$ અને $(4)$ ઉકેલતા: $(2)$ પરથી,$c = d + 2$. $(4)$ માં મૂકતા: $-(d + 2) + 2d = 0 \Rightarrow -d - 2 + 2d = 0 \Rightarrow d = 2$. તેથી $c = 4$.
શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
ઘટકોનો સરવાળો $a + b + c + d = -1 + 0 + 4 + 2 = 5$ થાય.

(D) કારણ કે $A$ એ આઈડેમપોટન્ટ શ્રેણિક છે,તેથી $A^2 = A$.
આનો અર્થ એ છે કે $A^3 = A^2 \cdot A = A \cdot A = A^2 = A$,અને $A^4 = A$.
$(I + A)^4$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(I + A)^4 = {^4C_0}I^4 + {^4C_1}I^3A + {^4C_2}I^2A^2 + {^4C_3}IA^3 + {^4C_4}A^4$
કારણ કે $I^n = I$ અને $A^n = A$ તમામ $n \geq 1$ માટે:
$(I + A)^4 = I + 4A + 6A + 4A + A$
$(I + A)^4 = I + (4 + 6 + 4 + 1)A$
$(I + A)^4 = I + 15A$

(D) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે $A$ ની ઘાતની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,આપણે કહી શકીએ કે $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,વિકલ્પ $(D)$ તપાસીએ: $nA - (n-1)I = n \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} - (n-1) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n & 0 \\ n & n \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} n-1 & 0 \\ 0 & n-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{bmatrix}$.
આ આપણા $A^n$ ના સ્વરૂપ સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ $2$ ઘાતાંક ધરાવતો નિલપોટન્ટ શ્રેણિક છે,તેથી $A^{2} = O$,જ્યાં $O$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.
$A^{2} = O$ હોવાથી,$n \geq 2$ માટે $A^{n} = O$ થાય.
$(I_2+A)^{51}$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(I_2+A)^{51} = \binom{51}{0} I_2^{51} + \binom{51}{1} I_2^{50} A + \binom{51}{2} I_2^{49} A^{2} + \dots + \binom{51}{51} A^{51}$.
$A^{2} = O$ હોવાથી,$k \geq 2$ માટે $A^{k}$ વાળા તમામ પદો $O$ થઈ જશે.
તેથી,$(I_2+A)^{51} = I_2 + 51A$.
હવે,તેને $A$ વડે ગુણતા:
$A(I_2+A)^{51} = A(I_2 + 51A) = AI_2 + 51A^{2}$.
$AI_2 = A$ અને $A^{2} = O$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$A(I_2+A)^{51} = A + 51(O) = A$.

(B) ધારો કે $A_k = \begin{bmatrix} 1 & 3k + \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a+b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,ગુણાકાર $\prod_{k=1}^{36} A_k = \begin{bmatrix} 1 & \sum_{k=1}^{36} (3k + \frac{1}{3}) \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ થશે.
સરવાળો ગણીએ: $\sum_{k=1}^{36} (3k + \frac{1}{3}) = 3 \sum_{k=1}^{36} k + \sum_{k=1}^{36} \frac{1}{3}$.
$= 3 \times \frac{36 \times 37}{2} + 36 \times \frac{1}{3}$.
$= 3 \times 18 \times 37 + 12$.
$= 54 \times 37 + 12 = 1998 + 12 = 2010$.
આમ,ગુણાકાર $\begin{bmatrix} 1 & 2010 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ મળે છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે $BB^T$ ની ગણતરી કરીએ. આપેલ છે કે $B = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$,તેથી તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક $B^T = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$ થાય.
$BB^T = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{4} + \frac{1}{4} & -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \\ -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} & \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
હવે,$(BB^TA)^5 = (IA)^5 = A^5$.
આપણને $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ આપેલ છે.
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^3 = A^2 A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી,$A^5 = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -7 & 4 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$AB$ ની ગણતરી કરો:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -7 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(4) + (-1)(7) & (2)(1) + (-1)(2) \\ (-7)(4) + (4)(7) & (-7)(1) + (4)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8-7 & 2-2 \\ -28+28 & -7+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
કારણ કે $AB = I$,તેથી $B = A^{-1}$.
વધુમાં,$BA = I$ કારણ કે $A$ અને $B$ એકબીજાના વ્યસ્ત શ્રેણિકો છે.
હવે વિકલ્પો તપાસો:
વિકલ્પ $A$: $A^T = \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$,તેથી $AA^T = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -7 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -18 \\ -18 & 65 \end{bmatrix} \neq I$.
વિકલ્પ $B$: $(AB)^T = I^T = I$. આ સાચું છે.
વિકલ્પ $C$: $B^T = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$,તેથી $BB^T = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 & 30 \\ 30 & 53 \end{bmatrix} \neq I$.
વિકલ્પ $D$: કારણ કે $AB = I$ અને $BA = I$,તેથી $AB = BA$. આમ,$AB \neq BA$ ખોટું છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે આપેલા શ્રેણિકો $A = [x \, y \, z]$,$B = \begin{bmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{bmatrix}$,અને $C = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિક $A$ નો ક્રમ $1 \times 3$ છે.
શ્રેણિક $B$ નો ક્રમ $3 \times 3$ છે.
શ્રેણિક $C$ નો ક્રમ $3 \times 1$ છે.
પ્રથમ,આપણે $AB$ નો ગુણાકાર કરીએ છીએ. $A$ માં સ્તંભોની સંખ્યા $(3)$ એ $B$ માં હારની સંખ્યા $(3)$ જેટલી હોવાથી,ગુણાકાર $AB$ વ્યાખ્યાયિત છે અને તેનો ક્રમ $1 \times 3$ છે.
ત્યારબાદ,આપણે $(AB)C$ નો ગુણાકાર કરીએ છીએ. $(AB)$ માં સ્તંભોની સંખ્યા $(3)$ એ $C$ માં હારની સંખ્યા $(3)$ જેટલી હોવાથી,ગુણાકાર વ્યાખ્યાયિત છે.
પરિણામી શ્રેણિકનો ક્રમ $(1 \times 3) \times (3 \times 1) = 1 \times 1$ છે.

(D) એક ચોરસ શ્રેણિક $A$ જેમાં દરેક હાર અને સ્તંભમાં બરાબર એક શૂન્યતર ઘટક હોય,જ્યાં શૂન્યતર ઘટક $\pm 1$ હોય,તેને સામાન્યકૃત ક્રમચય શ્રેણિક (generalized permutation matrix) કહેવામાં આવે છે.
ધારો કે $A$ એ $n \times n$ શ્રેણિક છે. દરેક હાર અને સ્તંભમાં બરાબર એક શૂન્યતર ઘટક $1$ અથવા $-1$ હોવાથી,$AA^T$ નો ગુણાકાર એકમ શ્રેણિક $I_n$ આપે છે.
ચોક્કસ રીતે,$AA^T$ નો $(i, j)$-મો ઘટક એ $A$ ની $i$-મી હાર અને $j$-મી હારનો અદિશ ગુણાકાર છે. જો $i \neq j$ હોય,તો હાર લંબ હોય છે,તેથી અદિશ ગુણાકાર $0$ થાય છે. જો $i = j$ હોય,તો અદિશ ગુણાકાર $(\pm 1)^2 = 1$ થાય છે.
આમ,$AA^T = I_n$,જે સૂચવે છે કે $A$ એ લંબ શ્રેણિક છે.
$A$ લંબ હોવાથી,$\det(A) = \pm 1$,તેથી $A$ હંમેશા અસામાન્ય (non-singular) હોય છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}$.
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2(\frac{1}{2}) & 1 \end{bmatrix}$ ગણીએ.
તે જ રીતે,$A^3 = A^2 \times A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3(\frac{1}{2}) & 1 \end{bmatrix}$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,આપણે કહી શકીએ કે $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n(\frac{1}{2}) & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$n = 50$ માટે,$A^{50} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 50(\frac{1}{2}) & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 25 & 1 \end{bmatrix}$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ ની ઘાતની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$
$A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}$
$A^4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 10 & 4 & 1 \end{bmatrix}$
ભાત (pattern) જોતા,$A^n$ માટે,પ્રથમ સ્તંભના ઘટકો $1$,$n$,અને $\frac{n(n+1)}{2}$ છે.
તેથી,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ n & 1 & 0 \\ \frac{n(n+1)}{2} & n & 1 \end{bmatrix}$.
$n = 20$ માટે:
$A^{20} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 20 & 1 & 0 \\ \frac{20(21)}{2} & 20 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 20 & 1 & 0 \\ 210 & 20 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ સ્તંભના ઘટકોનો સરવાળો $1 + 20 + 210 = 231$ થાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$(1) \ A + B = 2B^T$
$(2) \ 3A + 2B = I_3$
સમીકરણ $(1)$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા:
$(A + B)^T = (2B^T)^T \Rightarrow A^T + B^T = 2B$
$(1)$ પરથી,$A = 2B^T - B$. આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$3(2B^T - B) + 2B = I_3 \Rightarrow 6B^T - 3B + 2B = I_3 \Rightarrow 6B^T - B = I_3 \Rightarrow B = 6B^T - I_3$
$B$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$A + (6B^T - I_3) = 2B^T \Rightarrow A = I_3 - 4B^T$
$A = I_3 - 4B^T$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા:
$A^T = I_3 - 4B$
$A^T + B^T = 2B$ પરથી,$B^T = 2B - A^T$. $A^T = I_3 - 4B$ મૂકતા:
$B^T = 2B - (I_3 - 4B) = 6B - I_3$
$B^T$ ની કિંમત $B = 6B^T - I_3$ માં મૂકતા:
$B = 6(6B - I_3) - I_3 = 36B - 6I_3 - I_3 = 36B - 7I_3$
$35B = 7I_3 \Rightarrow B = \frac{1}{5}I_3$
હવે $A$ શોધીએ:
$A = I_3 - 4B^T = I_3 - 4(6B - I_3) = I_3 - 24B + 4I_3 = 5I_3 - 24(\frac{1}{5}I_3) = \frac{25I_3 - 24I_3}{5} = \frac{1}{5}I_3$
વિકલ્પો તપાસતા:
$10A + 5B = 10(\frac{1}{5}I_3) + 5(\frac{1}{5}I_3) = 2I_3 + I_3 = 3I_3$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $P = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$.
$P$ એ ઓર્થોગોનલ શ્રેણિક હોવાથી,$P^T P = P P^T = I$.
આપેલ છે કે $Q = PAP^T$,આપણે $P^T Q^{2015} P$ શોધવાનું છે.
$Q^2 = (PAP^T)(PAP^T) = PA(P^T P)AP^T = PA(I)AP^T = PA^2 P^T$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$Q^n = PA^n P^T$.
તેથી,$Q^{2015} = PA^{2015} P^T$.
હવે,$P^T Q^{2015} P = P^T (PA^{2015} P^T) P = (P^T P) A^{2015} (P^T P) = I A^{2015} I = A^{2015}$.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,આપણે પેટર્ન જોઈએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આમ,$A^{2015} = \begin{bmatrix} 1 & 2015 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 3 & -1 & 2 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} y \\ x \\ 1 \end{bmatrix}$.
ગુણાકાર $AB$ ની ગણતરી કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 3 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y \\ x \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(y) + 2(x) + x(1) \\ 3(y) - 1(x) + 2(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y + 3x \\ 3y - x + 2 \end{bmatrix}$.
આને આપેલ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 6 \\ 8 \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા:
$y + 3x = 6$ (સમીકરણ $1$)
$3y - x + 2 = 8 \Rightarrow 3y - x = 6$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ પરથી,$y = 6 - 3x$. આ કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$3(6 - 3x) - x = 6$
$18 - 9x - x = 6$
$18 - 10x = 6$
$10x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
$x = \frac{6}{5}$ ની કિંમત $y = 6 - 3x$ માં મૂકતા:
$y = 6 - 3(\frac{6}{5}) = 6 - \frac{18}{5} = \frac{30 - 18}{5} = \frac{12}{5}$.
$x$ અને $y$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $y = 2x$ (કારણ કે $\frac{12}{5} = 2 \times \frac{6}{5}$).
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}$ અને $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(1) + (2)(4) & (1)(2) + (2)(-3) \\ (4)(1) + (-3)(4) & (4)(2) + (-3)(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ -8 & 17 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$4A$ ની ગણતરી કરો:
$4A = 4 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 16 & -12 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$5I$ ની ગણતરી કરો:
$5I = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^2 + 4A - 5I$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 + 4A - 5I = \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ -8 & 17 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 16 & -12 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 9+4-5 & -4+8-0 \\ -8+16-0 & 17-12-5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 4 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}$
$= 4 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$.

(D) શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & a \end{bmatrix}$ એ $S$ માં છે જ્યાં $a, b, c \in \{0, 1, 2\}$.
$a, b, c$ દરેક માટે $3$ વિકલ્પો છે,તેથી $S$ માં કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા $3 \times 3 \times 3 = 27$ છે.
શ્રેણિક અસામાન્ય (singular) હોય તે માટે તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\det(A) = a^2 - bc = 0$,જેનો અર્થ છે $a^2 = bc$.
આપણે $a \in \{0, 1, 2\}$ માટે કિસ્સાઓ ચકાસીએ:
કિસ્સો $1$: $a = 0$. તો $bc = 0$. $(b, c)$ ની જોડીઓ $(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (2, 0) $ હોઈ શકે. આવા $5$ શ્રેણિકો છે.
કિસ્સો $2$: $a = 1$. તો $bc = 1$. $(b, c)$ ની એકમાત્ર જોડી $(1, 1)$ છે. આવો $1$ શ્રેણિક છે.
કિસ્સો $3$: $a = 2$. તો $bc = 4$. $(b, c)$ ની એકમાત્ર જોડી $(2, 2)$ છે. આવો $1$ શ્રેણિક છે.
કુલ અસામાન્ય (singular) શ્રેણિકો $= 5 + 1 + 1 = 7$.
અસામાન્ય (non-singular) શ્રેણિકોની સંખ્યા $= \text{કુલ} - \text{અસામાન્ય (singular)} = 27 - 7 = 20$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \alpha - 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} \alpha + 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $B$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $B^T = \begin{bmatrix} \alpha + 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ થાય.
હવે,ગુણાકાર $AB^T$ શોધીએ:
$AB^T = \begin{bmatrix} \alpha - 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha + 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (\alpha - 1)(\alpha + 1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha^2 - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$AB^T$ શૂન્યતર શ્રેણિક હોય તે માટે ઓછામાં ઓછો એક ઘટક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
તેથી,$\alpha^2 - 1 \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha^2 \neq 1$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|\alpha| \neq 1$ મળે છે.

(A) આપેલ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 7 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
$AB$ શોધવા માટે,આપણે શ્રેણિક ગુણાકાર કરીશું:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 7 & -2 & 1 \end{bmatrix}$
દરેક ઘટકની ગણતરી કરતા:
હાર $1$: $(1)(1) + (0)(-2) + (0)(7) = 1$,$(1)(0) + (0)(1) + (0)(-2) = 0$,$(1)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 0$
હાર $2$: $(2)(1) + (1)(-2) + (0)(7) = 2 - 2 = 0$,$(2)(0) + (1)(1) + (0)(-2) = 1$,$(2)(0) + (1)(0) + (0)(1) = 0$
હાર $3$: $(-3)(1) + (2)(-2) + (1)(7) = -3 - 4 + 7 = 0$,$(-3)(0) + (2)(1) + (1)(-2) = 2 - 2 = 0$,$(-3)(0) + (2)(0) + (1)(1) = 1$
આમ,$AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.

(A) આપેલ છે $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 9 & 3 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે $P = I + A$ લખી શકીએ,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 9 & 3 & 0 \end{bmatrix}$.
નોંધો કે $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $A^3 = O$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા $P^n = (I + A)^n = I + nA + \frac{n(n-1)}{2}A^2$ (કારણ કે $A^3 = O$):
$P^5 = I + 5A + \frac{5 \times 4}{2}A^2 = I + 5A + 10A^2$.
$P^5 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 9 & 3 & 0 \end{bmatrix} + 10 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 15 & 1 & 0 \\ 135 & 15 & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $Q = P^5 + I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 15 & 1 & 0 \\ 135 & 15 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 15 & 2 & 0 \\ 135 & 15 & 2 \end{bmatrix}$.
આમ,$q_{21} = 15$,$q_{31} = 135$,અને $q_{32} = 15$.
$\frac{q_{21} + q_{31}}{q_{32}} = \frac{15 + 135}{15} = \frac{150}{15} = 10$.

(B) ધારો કે $A = [a_{ij}]$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જ્યાં $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$ છે.
$AA^{T}$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $\operatorname{trace}(AA^{T})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{trace}(AA^{T}) = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2}$.
આપેલ છે કે $\operatorname{trace}(AA^{T}) = 3$,તેથી $\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2} = 3$.
કારણ કે $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$,$a_{ij}^{2}$ માત્ર $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે છે.
નવ ઘટકોના વર્ગોનો સરવાળો $3$ થવા માટે,બરાબર ત્રણ ઘટકો $a_{ij}$ એ $\pm 1$ હોવા જોઈએ અને બાકીના છ ઘટકો $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે $9$ માંથી $3$ સ્થાન પસંદ કરીએ છીએ જે $\binom{9}{3}$ રીતે કરી શકાય.
ત્યારબાદ,આ $3$ પસંદ કરેલા સ્થાન માટે,દરેક ઘટક $1$ અથવા $-1$ હોઈ શકે છે,જે $2^{3}$ શક્યતાઓ આપે છે.
તેથી,આવા શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $\binom{9}{3} \times 2^{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times 8 = 84 \times 8 = 672$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,$2A$ ની ગણતરી કરો:
$2A = 2 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 4 \end{bmatrix}$.
હવે,$2A$ નો નિશ્ચાયક $(LHS)$ શોધો:
$|2A| = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 4 \end{vmatrix} = (2 \times 4) - (4 \times 8) = 8 - 32 = -24$.
ત્યારબાદ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = (1 \times 2) - (2 \times 4) = 2 - 8 = -6$.
હવે,$4|A|$ $(RHS)$ ની ગણતરી કરો:
$4|A| = 4 \times (-6) = -24$.
આમ,$LHS$ = $-24$ અને $RHS$ = $-24$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $|2A| = 4|A|$.

(N/A) આ માહિતીને $3 \times 2$ શ્રેણિક $A$ ના સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$A = \begin{bmatrix} 30 & 25 \\ 25 & 31 \\ 27 & 26 \end{bmatrix}$
આ શ્રેણિકમાં,હાર ફેક્ટરીઓ $(I, II, III)$ દર્શાવે છે અને સ્તંભ કામદારોનું જાતિ (પુરુષ,સ્ત્રી) દર્શાવે છે.
ત્રીજી હાર અને બીજા સ્તંભમાં રહેલ ઘટક $26$ છે.
આ ઘટક ફેક્ટરી $III$ માં સ્ત્રી કામદારોની સંખ્યા દર્શાવે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે જો શ્રેણિકનું પરિમાણ $m \times n$ હોય,તો તેમાં $mn$ ઘટકો હોય છે.
$8$ ઘટકો ધરાવતા શ્રેણિકના તમામ શક્ય પરિમાણો શોધવા માટે,આપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની એવી તમામ જોડીઓ $(m, n)$ શોધવી પડશે જેનો ગુણાકાર $mn = 8$ થાય.
$8$ ના અવયવો $1, 2, 4, 8$ છે.
શક્ય જોડીઓ $(m, n)$ નીચે મુજબ છે:
$1 \times 8 = 8$
$8 \times 1 = 8$
$4 \times 2 = 8$
$2 \times 4 = 8$
તેથી,શક્ય પરિમાણો $1 \times 8, 8 \times 1, 4 \times 2$ અને $2 \times 4$ છે.

(C) સામાન્ય રીતે,$3 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ સૂત્ર $a_{ij} = \frac{1}{2}|i - 3j|$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, 3$ અને $j = 1, 2$ છે,તેથી દરેક ઘટકની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$a_{11} = \frac{1}{2}|1 - 3(1)| = \frac{1}{2}|-2| = 1$
$a_{12} = \frac{1}{2}|1 - 3(2)| = \frac{1}{2}|-5| = \frac{5}{2}$
$a_{21} = \frac{1}{2}|2 - 3(1)| = \frac{1}{2}|-1| = \frac{1}{2}$
$a_{22} = \frac{1}{2}|2 - 3(2)| = \frac{1}{2}|-4| = 2$
$a_{31} = \frac{1}{2}|3 - 3(1)| = \frac{1}{2}|0| = 0$
$a_{32} = \frac{1}{2}|3 - 3(2)| = \frac{1}{2}|-3| = \frac{3}{2}$
આમ,જરૂરી શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{3}{2} \end{bmatrix}$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણિકો સમાન હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ઘટકો સમાન હોવા જોઈએ.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$x+3 = 0 \implies x = -3$
$z+4 = 6 \implies z = 2$
$2y-7 = 3y-2 \implies 2y-3y = -2+7 \implies -y = 5 \implies y = -5$
$a-1 = -3 \implies a = -3+1 \implies a = -2$
$0 = 2c+2 \implies 2c = -2 \implies c = -1$
$b-3 = 2b+4 \implies b-2b = 4+3 \implies -b = 7 \implies b = -7$
આમ,$a=-2, b=-7, c=-1, x=-3, y=-5, z=2$ મળે છે.

(A) બે શ્રેણિકોની સમાનતાની વ્યાખ્યા મુજબ,અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા:
$1) \ 2a + b = 4$
$2) \ a - 2b = -3$
$3) \ 5c - d = 11$
$4) \ 4c + 3d = 24$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$a = 2b - 3$. તેને $(1)$ માં મૂકતા:
$2(2b - 3) + b = 4 \implies 4b - 6 + b = 4 \implies 5b = 10 \implies b = 2$.
તેથી $a = 2(2) - 3 = 1$.
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$d = 5c - 11$. તેને $(4)$ માં મૂકતા:
$4c + 3(5c - 11) = 24 \implies 4c + 15c - 33 = 24 \implies 19c = 57 \implies c = 3$.
તેથી $d = 5(3) - 11 = 4$.
આમ,$a=1, b=2, c=3, d=4$.

(N/A) $(i)$ આપેલ શ્રેણિકમાં,હારની સંખ્યા $3$ છે અને સ્તંભની સંખ્યા $4$ છે. તેથી,શ્રેણિકની કક્ષા $3 \times 4$ છે.
$(ii)$ શ્રેણિકની કક્ષા $3 \times 4$ હોવાથી,તેમાં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $3 \times 4 = 12$ છે.
$(iii)$ શ્રેણિકમાં દરેક ઘટકનું સ્થાન ઓળખતા:
$a_{13} = 19$ (પ્રથમ હાર,ત્રીજો સ્તંભ)
$a_{21} = 35$ (બીજી હાર,પ્રથમ સ્તંભ)
$a_{33} = -5$ (ત્રીજી હાર,ત્રીજો સ્તંભ)
$a_{24} = 12$ (બીજી હાર,ચોથો સ્તંભ)
$a_{23} = \frac{5}{2}$ (બીજી હાર,ત્રીજો સ્તંભ)

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે જો શ્રેણિકની કક્ષા $m \times n$ હોય,તો તેમાં $mn$ ઘટકો હોય છે.
તેથી,$24$ ઘટકો ધરાવતા શ્રેણિકની તમામ શક્ય કક્ષાઓ શોધવા માટે,આપણે એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની તમામ ક્રમિત જોડીઓ શોધવી પડશે જેનો ગુણાકાર $24$ થાય.
આવી ક્રમિત જોડીઓ છે: $(1, 24), (24, 1), (2, 12), (12, 2), (3, 8), (8, 3), (4, 6)$ અને $(6, 4)$.
આમ,$24$ ઘટકો ધરાવતા શ્રેણિકની શક્ય કક્ષાઓ: $1 \times 24, 24 \times 1, 2 \times 12, 12 \times 2, 3 \times 8, 8 \times 3, 4 \times 6$ અને $6 \times 4$ છે.
તે જ રીતે,$13$ ઘટકો માટે,આપણે એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની ક્રમિત જોડીઓ શોધીએ જેનો ગુણાકાર $13$ થાય. $13$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,માત્ર $(1, 13)$ અને $(13, 1)$ જોડીઓ શક્ય છે.
તેથી,$13$ ઘટકો ધરાવતા શ્રેણિકની શક્ય કક્ષાઓ $1 \times 13$ અને $13 \times 1$ છે.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે જો શ્રેણિકની કક્ષા $m \times n$ હોય,તો તેમાં $mn$ ઘટકો હોય છે.
$18$ ઘટકો ધરાવતા શ્રેણિકની તમામ શક્ય કક્ષાઓ શોધવા માટે,આપણે એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની તમામ ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(m, n)$ શોધવી પડશે જેનો ગુણાકાર $18$ થાય.
$18$ ના અવયવો $1, 2, 3, 6, 9, 18$ છે.
શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(m, n)$ એ $(1, 18), (18, 1), (2, 9), (9, 2), (3, 6), (6, 3)$ છે.
તેથી,શક્ય કક્ષાઓ $1 \times 18, 18 \times 1, 2 \times 9, 9 \times 2, 3 \times 6$ અને $6 \times 3$ છે.
તે જ રીતે,$5$ ઘટકો ધરાવતા શ્રેણિક માટે,આપણે એવી ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(m, n)$ શોધવી પડશે જેનો ગુણાકાર $5$ થાય.
$5$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,તેના અવયવો માત્ર $1$ અને $5$ છે.
શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(1, 5)$ અને $(5, 1)$ છે.
તેથી,શક્ય કક્ષાઓ $1 \times 5$ અને $5 \times 1$ છે.

(A) સામાન્ય રીતે,$3 \times 4$ શ્રેણિક $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{bmatrix}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $a_{ij}=\frac{1}{2}|-3i+j|$,જ્યાં $i=1, 2, 3$ અને $j=1, 2, 3, 4$.
ઘટકોની ગણતરી:
$a_{11} = \frac{1}{2}|-3(1)+1| = \frac{1}{2}|-2| = 1$
$a_{12} = \frac{1}{2}|-3(1)+2| = \frac{1}{2}|-1| = \frac{1}{2}$
$a_{13} = \frac{1}{2}|-3(1)+3| = \frac{1}{2}|0| = 0$
$a_{14} = \frac{1}{2}|-3(1)+4| = \frac{1}{2}|1| = \frac{1}{2}$
$a_{21} = \frac{1}{2}|-3(2)+1| = \frac{1}{2}|-5| = \frac{5}{2}$
$a_{22} = \frac{1}{2}|-3(2)+2| = \frac{1}{2}|-4| = 2$
$a_{23} = \frac{1}{2}|-3(2)+3| = \frac{1}{2}|-3| = \frac{3}{2}$
$a_{24} = \frac{1}{2}|-3(2)+4| = \frac{1}{2}|-2| = 1$
$a_{31} = \frac{1}{2}|-3(3)+1| = \frac{1}{2}|-8| = 4$
$a_{32} = \frac{1}{2}|-3(3)+2| = \frac{1}{2}|-7| = \frac{7}{2}$
$a_{33} = \frac{1}{2}|-3(3)+3| = \frac{1}{2}|-6| = 3$
$a_{34} = \frac{1}{2}|-3(3)+4| = \frac{1}{2}|-5| = \frac{5}{2}$
આમ,જરૂરી શ્રેણિક $A=\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{5}{2} & 2 & \frac{3}{2} & 1 \\ 4 & \frac{7}{2} & 3 & \frac{5}{2} \end{bmatrix}$ છે.

(A) શ્રેણિક $A$ એ $3 \times 4$ કક્ષાનો છે,જ્યાં $i \in \{1, 2, 3\}$ અને $j \in \{1, 2, 3, 4\}$ છે.
ઘટકોની ગણતરી $a_{i j} = 2i - j$ નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:
$i=1$ માટે: $a_{11} = 2(1)-1 = 1, a_{12} = 2(1)-2 = 0, a_{13} = 2(1)-3 = -1, a_{14} = 2(1)-4 = -2$.
$i=2$ માટે: $a_{21} = 2(2)-1 = 3, a_{22} = 2(2)-2 = 2, a_{23} = 2(2)-3 = 1, a_{24} = 2(2)-4 = 0$.
$i=3$ માટે: $a_{31} = 2(3)-1 = 5, a_{32} = 2(3)-2 = 4, a_{33} = 2(3)-3 = 3, a_{34} = 2(3)-4 = 2$.
આમ,જરૂરી શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \end{bmatrix}$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ x & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y & z \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$
બે શ્રેણિકો સમાન હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ઘટકો પણ સમાન હોય છે.
શ્રેણિકોના અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1$. પ્રથમ હાર અને પ્રથમ સ્તંભના ઘટક માટે: $y = 4$
$2$. પ્રથમ હાર અને બીજા સ્તંભના ઘટક માટે: $z = 3$
$3$. બીજી હાર અને પ્રથમ સ્તંભના ઘટક માટે: $x = 1$
આમ,$x = 1, y = 4, z = 3$ મળે છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\begin{bmatrix} x+y & 2 \\ 5+z & xy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 5 & 8 \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિકો સમાન હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ઘટકો સમાન થાય.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1) x+y = 6$
$2) xy = 8$
$3) 5+z = 5$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$z = 5-5 = 0$ મળે છે.
હવે,$x+y = 6$ અને $xy = 8$ છે. આપણે નિત્યસમ $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ.
$(x-y)^2 = (6)^2 - 4(8) = 36 - 32 = 4$.
વર્ગમૂળ લેતા,$x-y = \pm 2$ મળે.
કિસ્સો $1$: જો $x-y = 2$ અને $x+y = 6$ હોય,તો બંનેનો સરવાળો કરતા $2x = 8 \Rightarrow x = 4$ મળે. $x=4$ ને $x+y=6$ માં મૂકતા $y = 2$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $x-y = -2$ અને $x+y = 6$ હોય,તો બંનેનો સરવાળો કરતા $2x = 4 \Rightarrow x = 2$ મળે. $x=2$ ને $x+y=6$ માં મૂકતા $y = 4$ મળે.
આમ,$x, y$ અને $z$ ની કિંમતો $(x=4, y=2, z=0)$ અથવા $(x=2, y=4, z=0)$ છે.