Types of matrices, Algebra of matrices Questions in Gujarati

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\begin{bmatrix} x+y+z \\ x+z \\ y+z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix}$
બે શ્રેણિકો સમાન હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ઘટકો પણ સમાન હોય છે. અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$x+y+z = 9$ $(1)$
$x+z = 5$ $(2)$
$y+z = 7$ $(3)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$y + (x+z) = 9$
$y + 5 = 9 \Rightarrow y = 4$
હવે,$y=4$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$4 + z = 7 \Rightarrow z = 3$
અંતે,$z=3$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$x + 3 = 5 \Rightarrow x = 2$
આમ,$x=2, y=4, z=3$ મળે છે.

(B) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\begin{bmatrix} a-b & 2a+c \\ 2a-b & 3c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 0 & 13 \end{bmatrix}$
બે શ્રેણિકો સમાન હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ઘટકો સમાન થાય.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$a-b = -1$ $(1)$
$2a-b = 0$ $(2)$
$2a+c = 5$ $(3)$
$3c+d = 13$ $(4)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$b = 2a$ મળે.
$b = 2a$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a - 2a = -1$
$-a = -1 \Rightarrow a = 1$
હવે,$b = 2a$ નો ઉપયોગ કરીને $b$ શોધો:
$b = 2(1) = 2$
$a = 1$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$2(1) + c = 5$
$2 + c = 5 \Rightarrow c = 3$
$c = 3$ ને સમીકરણ $(4)$ માં મૂકતા:
$3(3) + d = 13$
$9 + d = 13 \Rightarrow d = 4$
આમ,$a=1, b=2, c=3,$ અને $d=4$ મળે છે.

(C) જો શ્રેણિકમાં હારની સંખ્યા અને સ્તંભની સંખ્યા સમાન હોય,તો તેને ચોરસ શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે.
આપેલ શ્રેણિક $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ માં,હારની સંખ્યા $m$ છે અને સ્તંભની સંખ્યા $n$ છે.
તેથી,શ્રેણિક ચોરસ શ્રેણિક બને તે માટે $m = n$ શરતનું પાલન થવું જરૂરી છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\left[\begin{array}{cc}3x+7 & 5 \\ y+1 & 2-3x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 & y-2 \\ 8 & 4\end{array}\right]$
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા,આપણને નીચેના સમીકરણો મળે છે:
$1$. $3x+7=0 \Rightarrow 3x=-7 \Rightarrow x=-\frac{7}{3}$
$2$. $5=y-2 \Rightarrow y=7$
$3$. $y+1=8 \Rightarrow y=7$
$4$. $2-3x=4 \Rightarrow -3x=2 \Rightarrow x=-\frac{2}{3}$
પરિણામોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે પ્રથમ ઘટકમાંથી મળતી $x$ ની કિંમત $-\frac{7}{3}$ છે,જ્યારે ચોથા ઘટકમાંથી મળતી $x$ ની કિંમત $-\frac{2}{3}$ છે.
કારણ કે એક ચલ $x$ એકસાથે બે અલગ કિંમતો લઈ શકતું નથી,તેથી $x$ અને $y$ ની એવી કિંમતો શોધવી શક્ય નથી જે આ બે શ્રેણિકોની સમાનતાને સંતોષે.

(A) $3 \times 3$ ક્રમના શ્રેણિકમાં કુલ $3 \times 3 = 9$ ઘટકો હોય છે.
આ $9$ ઘટકોમાંથી દરેક ઘટકને $0$ અથવા $1$ એમ $2$ રીતે ભરી શકાય છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,શક્ય શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા એ દરેક સ્થાન માટેની પસંદગીઓની સંખ્યાનો ગુણાકાર છે.
તેથી,શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^9$ થશે.
આ કિંમતની ગણતરી કરતા,આપણને $2^9 = 512$ મળે છે.

(B) અહીં $A$ અને $B$ બંને $2 \times 3$ કક્ષાના શ્રેણિકો છે,તેથી તેમનો સરવાળો વ્યાખ્યાયિત છે અને અનુરૂપ ઘટકોના સરવાળા દ્વારા મળે છે.
$A + B = \begin{bmatrix} \sqrt{3} + 2 & 1 + \sqrt{5} & -1 + 1 \\ 2 + (-2) & 3 + 3 & 0 + \frac{1}{2} \end{bmatrix}$
$A + B = \begin{bmatrix} 2 + \sqrt{3} & 1 + \sqrt{5} & 0 \\ 0 & 6 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

(C) આપણી પાસે $2A - B = 2 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,શ્રેણિક $A$ ને અદિશ $2$ વડે ગુણો:
$2A = \begin{bmatrix} 2(1) & 2(2) & 2(3) \\ 2(2) & 2(3) & 2(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 6 & 2 \end{bmatrix}$.
હવે,$2A$ માંથી શ્રેણિક $B$ બાદ કરો:
$2A - B = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 6 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની બાદબાકી કરતા:
$2A - B = \begin{bmatrix} 2 - 3 & 4 - (-1) & 6 - 3 \\ 4 - (-1) & 6 - 0 & 2 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 5 & 3 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $2A + 3X = 5B$ છે.
બંને બાજુથી $2A$ બાદ કરતા: $3X = 5B - 2A$.
તેથી,$X = \frac{1}{3}(5B - 2A)$.
શ્રેણિક $A$ અને $B$ ની કિંમતો મૂકતા:
$X = \frac{1}{3} \left( 5 \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 4 & -2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \right)$
$X = \frac{1}{3} \left( \begin{bmatrix} 10 & -10 \\ 20 & 10 \\ -25 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 16 & 0 \\ 8 & -4 \\ 6 & 12 \end{bmatrix} \right)$
$X = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 10-16 & -10-0 \\ 20-8 & 10-(-4) \\ -25-6 & 5-12 \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} -6 & -10 \\ 12 & 14 \\ -31 & -7 \end{bmatrix}$
$X = \begin{bmatrix} -2 & -\frac{10}{3} \\ 4 & \frac{14}{3} \\ -\frac{31}{3} & -\frac{7}{3} \end{bmatrix}$

(A) આપેલ સમીકરણો:
$X + Y = \left[\begin{array}{ll}5 & 2 \\ 0 & 9\end{array}\right]$ --- $(1)$
$X - Y = \left[\begin{array}{cc}3 & 6 \\ 0 & -1\end{array}\right]$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(X + Y) + (X - Y) = \left[\begin{array}{ll}5 & 2 \\ 0 & 9\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}3 & 6 \\ 0 & -1\end{array}\right]$
$2X = \left[\begin{array}{ll}5+3 & 2+6 \\ 0+0 & 9-1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}8 & 8 \\ 0 & 8\end{array}\right]$
$X = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{ll}8 & 8 \\ 0 & 8\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}4 & 4 \\ 0 & 4\end{array}\right]$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(X + Y) - (X - Y) = \left[\begin{array}{ll}5 & 2 \\ 0 & 9\end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc}3 & 6 \\ 0 & -1\end{array}\right]$
$2Y = \left[\begin{array}{ll}5-3 & 2-6 \\ 0-0 & 9-(-1)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}2 & -4 \\ 0 & 10\end{array}\right]$
$Y = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{ll}2 & -4 \\ 0 & 10\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 0 & 5\end{array}\right]$

(A) આપેલ સમીકરણ:
$2\begin{bmatrix} x & 5 \\ 7 & y-3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{bmatrix}$
પ્રથમ શ્રેણિકને $2$ વડે ગુણતા:
$\begin{bmatrix} 2x & 10 \\ 14 & 2y-6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{bmatrix}$
ડાબી બાજુના બે શ્રેણિકોનો સરવાળો કરતા:
$\begin{bmatrix} 2x+3 & 10-4 \\ 14+1 & 2y-6+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 2x+3 & 6 \\ 15 & 2y-4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$2x+3 = 7 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$
$2y-4 = 14 \Rightarrow 2y = 18 \Rightarrow y = 9$
આમ,$x=2$ અને $y=9$ મળે છે.

(N/A) $(i)$ દરેક ખેડૂત માટે દરેક પ્રકારના ચોખાનું સપ્ટેમ્બર અને ઓક્ટોબરનું કુલ વેચાણ શ્રેણિકો $A$ અને $B$ ના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$A+B = \begin{bmatrix} \text{બાસમતી} & \text{પરમલ} & \text{નૌરા} \\ 15,000 & 30,000 & 36,000 \\ 70,000 & 40,000 & 20,000 \end{bmatrix} \begin{matrix} \\ \text{રામકિશન} \\ \text{ગુરચરણ સિંહ} \end{matrix}$
$(ii)$ સપ્ટેમ્બરથી ઓક્ટોબર સુધીના વેચાણમાં થયેલો ઘટાડો શ્રેણિકો $A$ અને $B$ ના તફાવત દ્વારા મળે છે:
$A-B = \begin{bmatrix} \text{બાસમતી} & \text{પરમલ} & \text{નૌરા} \\ 5,000 & 10,000 & 24,000 \\ 30,000 & 20,000 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} \\ \text{રામકિશન} \\ \text{ગુરચરણ સિંહ} \end{matrix}$
$(iii)$ નફો એ ઓક્ટોબરના વેચાણ $(B)$ ના $2\%$ છે:
$0.02 \times B = 0.02 \times \begin{bmatrix} 5,000 & 10,000 & 6,000 \\ 20,000 & 10,000 & 10,000 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 100 & 200 & 120 \\ 400 & 200 & 200 \end{bmatrix}$
આમ,ઓક્ટોબરમાં રામકિશનને ત્રણ પ્રકારના ચોખાના વેચાણ પર અનુક્રમે રૂ. $100$,રૂ. $200$ અને રૂ. $120$ નફો મળે છે,અને ગુરચરણ સિંહને ત્રણ પ્રકારના ચોખાના વેચાણ પર અનુક્રમે રૂ. $400$,રૂ. $200$ અને રૂ. $200$ નફો મળે છે.

(A) શ્રેણિક $A$ માં $2$ સ્તંભો છે,જે શ્રેણિક $B$ ની હારની સંખ્યા જેટલા છે. તેથી,ગુણાકાર $AB$ વ્યાખ્યાયિત છે.
$AB = \left[\begin{array}{ll}6 & 9 \\ 2 & 3\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}2 & 6 & 0 \\ 7 & 9 & 8\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{lll}6(2)+9(7) & 6(6)+9(9) & 6(0)+9(8) \\ 2(2)+3(7) & 2(6)+3(9) & 2(0)+3(8)\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{lll}12+63 & 36+81 & 0+72 \\ 4+21 & 12+27 & 0+24\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{ccc}75 & 117 & 72 \\ 25 & 39 & 24\end{array}\right]$

અહીં $A$ એ $2 \times 3$ શ્રેણિક છે અને $B$ એ $3 \times 2$ શ્રેણિક છે,તેથી $AB$ અને $BA$ બંને વ્યાખ્યાયિત છે. $AB$ નો ક્રમ $2 \times 2$ છે અને $BA$ નો ક્રમ $3 \times 3$ છે.
$AB = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(2) + (-2)(4) + (3)(2) & (1)(3) + (-2)(5) + (3)(1) \\ (-4)(2) + (2)(4) + (5)(2) & (-4)(3) + (2)(5) + (5)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 - 8 + 6 & 3 - 10 + 3 \\ -8 + 8 + 10 & -12 + 10 + 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -4 \\ 10 & 3 \end{bmatrix}$.
$BA = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(1) + (3)(-4) & (2)(-2) + (3)(2) & (2)(3) + (3)(5) \\ (4)(1) + (5)(-4) & (4)(-2) + (5)(2) & (4)(3) + (5)(5) \\ (2)(1) + (1)(-4) & (2)(-2) + (1)(2) & (2)(3) + (1)(5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 - 12 & -4 + 6 & 6 + 15 \\ 4 - 20 & -8 + 10 & 12 + 25 \\ 2 - 4 & -4 + 2 & 6 + 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 2 & 21 \\ -16 & 2 & 37 \\ -2 & -2 & 11 \end{bmatrix}$.
સ્પષ્ટ છે કે $AB$ એ $2 \times 2$ શ્રેણિક છે અને $BA$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $AB \neq BA$.

(B) આ વિધાન કે $AB \neq BA$ એ દરેક શ્રેણિકો $A$ અને $B$ ની જોડી માટે સાચું નથી જેના માટે $AB$ અને $BA$ વ્યાખ્યાયિત છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ હોય,તો:
$AB = \begin{bmatrix} 1 \times 3 + 0 \times 0 & 1 \times 0 + 0 \times 4 \\ 0 \times 3 + 2 \times 0 & 0 \times 0 + 2 \times 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}$
$BA = \begin{bmatrix} 3 \times 1 + 0 \times 0 & 3 \times 0 + 0 \times 2 \\ 0 \times 1 + 4 \times 0 & 0 \times 0 + 4 \times 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}$
અહીં $AB = BA$ હોવાથી,આ કિસ્સામાં શ્રેણિક ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
આમ,સમાન કક્ષાના વિકર્ણ શ્રેણિકોનો ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$AB$ શોધવા માટે,આપણે શ્રેણિક ગુણાકાર કરીશું:
$AB = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (0 \times 3) + (-1 \times 0) & (0 \times 5) + (-1 \times 0) \\ (0 \times 3) + (2 \times 0) & (0 \times 5) + (2 \times 0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આમ,ગુણાકાર $AB$ એ શૂન્ય શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ છે.

(N/A) સૌ પ્રથમ,આપણે $AB$ ની ગણતરી કરીએ:
$AB = \left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 3 & -1 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\ 0 & 2 \\ -1 & 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}1+0+1 & 3+2-4 \\ 2+0-3 & 6+0+12 \\ 3+0-2 & 9-2+8\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}2 & 1 \\ -1 & 18 \\ 1 & 15\end{array}\right]$
ત્યારબાદ,આપણે $(AB)C$ ની ગણતરી કરીએ:
$(AB)C = \left[\begin{array}{rr}2 & 1 \\ -1 & 18 \\ 1 & 15\end{array}\right] \left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & -2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrrr}2+2 & 4+0 & 6-2 & -8+1 \\ -1+36 & -2+0 & -3-36 & 4+18 \\ 1+30 & 2+0 & 3-30 & -4+15\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrrr}4 & 4 & 4 & -7 \\ 35 & -2 & -39 & 22 \\ 31 & 2 & -27 & 11\end{array}\right]$
હવે,આપણે $BC$ ની ગણતરી કરીએ:
$BC = \left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\ 0 & 2 \\ -1 & 4\end{array}\right] \left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & -2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrrr}1+6 & 2+0 & 3-6 & -4+3 \\ 0+4 & 0+0 & 0-4 & 0+2 \\ -1+8 & -2+0 & -3-8 & 4+4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrrr}7 & 2 & -3 & -1 \\ 4 & 0 & -4 & 2 \\ 7 & -2 & -11 & 8\end{array}\right]$
છેલ્લે,આપણે $A(BC)$ ની ગણતરી કરીએ:
$A(BC) = \left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 3 & -1 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{rrrr}7 & 2 & -3 & -1 \\ 4 & 0 & -4 & 2 \\ 7 & -2 & -11 & 8\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrrr}7+4-7 & 2+0+2 & -3-4+11 & -1+2-8 \\ 14+0+21 & 4+0-6 & -6+0-33 & -2+0+24 \\ 21-4+14 & 6+0-4 & -9+4-22 & -3-2+16\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrrr}4 & 4 & 4 & -7 \\ 35 & -2 & -39 & 22 \\ 31 & 2 & -27 & 11\end{array}\right]$
આમ,$(AB)C = A(BC)$ સાબિત થાય છે,જે શ્રેણિક ગુણાકારનો જૂથનો નિયમ દર્શાવે છે.

(N/A) સૌ પ્રથમ,આપણે $A+B$ ની ગણતરી કરીએ:
$A+B = \left[\begin{array}{rrr}0+0 & 6+1 & 7+1 \\ -6+1 & 0+0 & 8+2 \\ 7+1 & -8+2 & 0+0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}0 & 7 & 8 \\ -5 & 0 & 10 \\ 8 & -6 & 0\end{array}\right]$.
હવે,$(A+B)C$ ની ગણતરી કરીએ:
$(A+B)C = \left[\begin{array}{rrr}0 & 7 & 8 \\ -5 & 0 & 10 \\ 8 & -6 & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{r}2 \\ -2 \\ 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}0(2) + 7(-2) + 8(3) \\ -5(2) + 0(-2) + 10(3) \\ 8(2) + (-6)(-2) + 0(3)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}0 - 14 + 24 \\ -10 + 0 + 30 \\ 16 + 12 + 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}10 \\ 20 \\ 28\end{array}\right]$.
આગળ,$AC$ ની ગણતરી કરીએ:
$AC = \left[\begin{array}{rrr}0 & 6 & 7 \\ -6 & 0 & 8 \\ 7 & -8 & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{r}2 \\ -2 \\ 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}0(2) + 6(-2) + 7(3) \\ -6(2) + 0(-2) + 8(3) \\ 7(2) + (-8)(-2) + 0(3)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}0 - 12 + 21 \\ -12 + 0 + 24 \\ 14 + 16 + 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}9 \\ 12 \\ 30\end{array}\right]$.
આગળ,$BC$ ની ગણતરી કરીએ:
$BC = \left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{r}2 \\ -2 \\ 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}0(2) + 1(-2) + 1(3) \\ 1(2) + 0(-2) + 2(3) \\ 1(2) + 2(-2) + 0(3)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}0 - 2 + 3 \\ 2 + 0 + 6 \\ 2 - 4 + 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}1 \\ 8 \\ -2\end{array}\right]$.
છેલ્લે,$AC + BC$ ની ગણતરી કરીએ:
$AC + BC = \left[\begin{array}{r}9 \\ 12 \\ 30\end{array}\right] + \left[\begin{array}{r}1 \\ 8 \\ -2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}9+1 \\ 12+8 \\ 30-2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}10 \\ 20 \\ 28\end{array}\right]$.
આમ,$(A+B)C = \left[\begin{array}{r}10 \\ 20 \\ 28\end{array}\right]$ અને $AC+BC = \left[\begin{array}{r}10 \\ 20 \\ 28\end{array}\right]$ હોવાથી,આપણે ચકાસ્યું છે કે $(A+B)C = AC + BC$.

(A) $A + B$ શોધવા માટે,આપણે શ્રેણિક $A$ અને $B$ ના અનુરૂપ ઘટકોનો સરવાળો કરીએ છીએ:
$A + B = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 2 + 1 & 4 + 3 \\ 3 + (-2) & 2 + 5 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 7 \end{bmatrix}$

(A) $A - B$ શોધવા માટે,આપણે શ્રેણિક $A$ માંથી શ્રેણિક $B$ ના અનુરૂપ ઘટકોને બાદ કરીએ છીએ:
$A - B = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 2 - 1 & 4 - 3 \\ 3 - (-2) & 2 - 5 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 + 2 & -3 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ અને $C = \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$3A$ ની ગણતરી કરો:
$3A = 3 \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \times 2 & 3 \times 4 \\ 3 \times 3 & 3 \times 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 12 \\ 9 & 6 \end{bmatrix}$.
હવે,$3A$ માંથી $C$ બાદ કરો:
$3A - C = \begin{bmatrix} 6 & 12 \\ 9 & 6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની બાદબાકી કરતા:
$3A - C = \begin{bmatrix} 6 - (-2) & 12 - 5 \\ 9 - 3 & 6 - 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 + 2 & 7 \\ 6 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 6 & 2 \end{bmatrix}$.

(A) શ્રેણિક $A$ માં $2$ સ્તંભ છે અને શ્રેણિક $B$ માં $2$ હાર છે. શ્રેણિક $A$ ના સ્તંભોની સંખ્યા એ શ્રેણિક $B$ ની હારની સંખ્યા જેટલી હોવાથી,ગુણાકાર $AB$ વ્યાખ્યાયિત છે.
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (2 \times 1) + (4 \times -2) & (2 \times 3) + (4 \times 5) \\ (3 \times 1) + (2 \times -2) & (3 \times 3) + (2 \times 5) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 2 - 8 & 6 + 20 \\ 3 - 4 & 9 + 10 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} -6 & 26 \\ -1 & 19 \end{bmatrix}$

(A) $BA$ નો ગુણાકાર શોધવા માટે,આપણે શ્રેણિક $B$ નો શ્રેણિક $A$ સાથે નીચે મુજબ ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$BA = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$BA = \begin{bmatrix} (1 \times 2) + (3 \times 3) & (1 \times 4) + (3 \times 2) \\ (-2 \times 2) + (5 \times 3) & (-2 \times 4) + (5 \times 2) \end{bmatrix}$
$BA = \begin{bmatrix} 2 + 9 & 4 + 6 \\ -4 + 15 & -8 + 10 \end{bmatrix}$
$BA = \begin{bmatrix} 11 & 10 \\ 11 & 2 \end{bmatrix}$

(A) બે શ્રેણિકોનો સરવાળો કરવા માટે,આપણે તેમના અનુરૂપ ઘટકોનો સરવાળો કરીએ છીએ:
$\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+a & b+b \\ -b+b & a+a \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 2a & 2b \\ 0 & 2a \end{bmatrix}$

(A) બે શ્રેણિકોનો સરવાળો કરવા માટે,આપણે દરેક શ્રેણિકના અનુરૂપ ઘટકોનો સરવાળો કરીએ છીએ:
$\begin{bmatrix} a^2 + b^2 & b^2 + c^2 \\ a^2 + c^2 & a^2 + b^2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2ab & 2bc \\ -2ac & -2ab \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} a^2 + b^2 + 2ab & b^2 + c^2 + 2bc \\ a^2 + c^2 - 2ac & a^2 + b^2 - 2ab \end{bmatrix}$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ અને $(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= \begin{bmatrix} (a+b)^2 & (b+c)^2 \\ (a-c)^2 & (a-b)^2 \end{bmatrix}$

(A) બે શ્રેણિકોનો સરવાળો કરવા માટે,આપણે તેમના અનુરૂપ ઘટકોનો સરવાળો કરીએ છીએ:
$\begin{bmatrix} -1 & 4 & -6 \\ 8 & 5 & 16 \\ 2 & 8 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 12 & 7 & 6 \\ 8 & 0 & 5 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} -1+12 & 4+7 & -6+6 \\ 8+8 & 5+0 & 16+5 \\ 2+3 & 8+2 & 5+4 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 11 & 11 & 0 \\ 16 & 5 & 21 \\ 5 & 10 & 9 \end{bmatrix}$

(A) બે શ્રેણિકોનો સરવાળો કરવા માટે,આપણે દરેક શ્રેણિકના અનુરૂપ ઘટકોનો સરવાળો કરીએ છીએ:
$\left[\begin{array}{cc}\cos ^{2} x & \sin ^{2} x \\ \sin ^{2} x & \cos ^{2} x\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\sin ^{2} x & \cos ^{2} x \\ \cos ^{2} x & \sin ^{2} x\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc}\cos ^{2} x+\sin ^{2} x & \sin ^{2} x+\cos ^{2} x \\ \sin ^{2} x+\cos ^{2} x & \cos ^{2} x+\sin ^{2} x\end{array}\right]$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે શ્રેણિકમાં કિંમત મૂકીએ છીએ:
$= \left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]$

(A) બે શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરવા માટે,આપણે હાર-સ્તંભ ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a(a) + b(b) & a(-b) + b(a) \\ -b(a) + a(b) & -b(-b) + a(a) \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} a^2 + b^2 & -ab + ab \\ -ab + ab & b^2 + a^2 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} a^2 + b^2 & 0 \\ 0 & a^2 + b^2 \end{bmatrix}$

(A) શ્રેણિકો $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ અને $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}$ નો ગુણાકાર શોધવા માટે,આપણે સ્તંભ શ્રેણિકના દરેક ઘટકને હાર શ્રેણિક સાથે ગુણીએ છીએ.
ગુણાકાર નીચે મુજબ છે:
$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(2) & 1(3) & 1(4) \\ 2(2) & 2(3) & 2(4) \\ 3(2) & 3(3) & 3(4) \end{bmatrix}$
દરેક ઘટકની ગણતરી કરતા:
$= \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & 6 & 8 \\ 6 & 9 & 12 \end{bmatrix}$

(A) બે શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરવા માટે,આપણે હાર અને સ્તંભનો ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 2 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc}1(1) + (-2)(2) & 1(2) + (-2)(3) & 1(3) + (-2)(1) \\ 2(1) + 3(2) & 2(2) + 3(3) & 2(3) + 3(1)\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc}1 - 4 & 2 - 6 & 3 - 2 \\ 2 + 6 & 4 + 9 & 6 + 3\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc}-3 & -4 & 1 \\ 8 & 13 & 9\end{array}\right]$

(A) બે શ્રેણિકોના ગુણાકારની ગણતરી કરવા માટે,આપણે પ્રથમ શ્રેણિકની હારનો બીજા શ્રેણિકના સ્તંભ સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1 & -3 & 5 \\ 0 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 5\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{lll}2(1)+3(0)+4(3) & 2(-3)+3(2)+4(0) & 2(5)+3(4)+4(5) \\ 3(1)+4(0)+5(3) & 3(-3)+4(2)+5(0) & 3(5)+4(4)+5(5) \\ 4(1)+5(0)+6(3) & 4(-3)+5(2)+6(0) & 4(5)+5(4)+6(5)\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{lll}2+0+12 & -6+6+0 & 10+12+20 \\ 3+0+15 & -9+8+0 & 15+16+25 \\ 4+0+18 & -12+10+0 & 20+20+30\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc}14 & 0 & 42 \\ 18 & -1 & 56 \\ 22 & -2 & 70\end{array}\right]$

(A) બે શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરવા માટે,આપણે હાર-સ્તંભ ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 3 & 2 \\ -1 & 1\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 1\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc}2(1)+1(-1) & 2(0)+1(2) & 2(1)+1(1) \\ 3(1)+2(-1) & 3(0)+2(2) & 3(1)+2(1) \\ -1(1)+1(-1) & -1(0)+1(2) & -1(1)+1(1)\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc}2-1 & 0+2 & 2+1 \\ 3-2 & 0+4 & 3+2 \\ -1-1 & 0+2 & -1+1\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \\ -2 & 2 & 0\end{array}\right]$

(A) બે શ્રેણિકોના ગુણાકારની ગણતરી કરવા માટે,આપણે પ્રથમ શ્રેણિકની હારનો બીજા શ્રેણિકના સ્તંભ સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\ 1 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc} (3)(2) + (-1)(1) + (3)(3) & (3)(-3) + (-1)(0) + (3)(1) \\ (-1)(2) + (0)(1) + (2)(3) & (-1)(-3) + (0)(0) + (2)(1) \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc} 6 - 1 + 9 & -9 - 0 + 3 \\ -2 + 0 + 6 & 3 + 0 + 2 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc} 14 & -6 \\ 4 & 5 \end{array}\right]$

સૌ પ્રથમ,આપણે $A+B$ ની ગણતરી કરીએ:
$A+B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 5 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+3 & 2-1 & -3+2 \\ 5+4 & 0+2 & 2+5 \\ 1+2 & -1+0 & 1+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 9 & 2 & 7 \\ 3 & -1 & 4 \end{bmatrix}$
ત્યારબાદ,આપણે $B-C$ ની ગણતરી કરીએ:
$B-C = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3-4 & -1-1 & 2-2 \\ 4-0 & 2-3 & 5-2 \\ 2-1 & 0-(-2) & 3-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -2 & 0 \\ 4 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$
હવે,આપણે $A+(B-C) = (A+B)-C$ ચકાસીએ:
$A+(B-C) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 5 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & -2 & 0 \\ 4 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -3 \\ 9 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
$(A+B)-C = \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 9 & 2 & 7 \\ 3 & -1 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -3 \\ 9 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
બંને બાજુઓ સમાન હોવાથી,ગુણધર્મ $A+(B-C)=(A+B)-C$ ચકાસાયેલ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & 1 & \frac{5}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{4}{3} \\ \frac{7}{3} & 2 & \frac{2}{3} \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & \frac{3}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{7}{5} & \frac{6}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$3A$ ની ગણતરી કરો:
$3A = 3 \times \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & 1 & \frac{5}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{4}{3} \\ \frac{7}{3} & 2 & \frac{2}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \\ 7 & 6 & 2 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$5B$ ની ગણતરી કરો:
$5B = 5 \times \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & \frac{3}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{7}{5} & \frac{6}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \\ 7 & 6 & 2 \end{bmatrix}$.
અંતે,$3A - 5B$ ની ગણતરી કરો:
$3A - 5B = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \\ 7 & 6 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \\ 7 & 6 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\cos \theta \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} + \sin \theta \begin{bmatrix} \sin \theta & -\cos \theta \\ \cos \theta & \sin \theta \end{bmatrix}$
અદિશ સંખ્યાનો શ્રેણિક સાથે ગુણાકાર કરતા:
$= \begin{bmatrix} \cos^2 \theta & \cos \theta \sin \theta \\ -\sin \theta \cos \theta & \cos^2 \theta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \sin^2 \theta & -\sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta \end{bmatrix}$
બંને શ્રેણિકોનો સરવાળો કરતા:
$= \begin{bmatrix} \cos^2 \theta + \sin^2 \theta & \cos \theta \sin \theta - \sin \theta \cos \theta \\ -\sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta & \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \end{bmatrix}$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$X+Y=\left[\begin{array}{ll}7 & 0 \\ 2 & 5\end{array}\right]$ ............ $(1)$
$X-Y=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right]$ ............ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2X = \left[\begin{array}{ll}7 & 0 \\ 2 & 5\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}7+3 & 0+0 \\ 2+0 & 5+3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}10 & 0 \\ 2 & 8\end{array}\right]$
$\therefore X = \frac{1}{2}\left[\begin{array}{ll}10 & 0 \\ 2 & 8\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}5 & 0 \\ 1 & 4\end{array}\right]$
હવે,સમીકરણ $(1)$ માં $X$ ની કિંમત મૂકતા:
$\left[\begin{array}{ll}5 & 0 \\ 1 & 4\end{array}\right] + Y = \left[\begin{array}{ll}7 & 0 \\ 2 & 5\end{array}\right]$
$Y = \left[\begin{array}{ll}7 & 0 \\ 2 & 5\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ll}5 & 0 \\ 1 & 4\end{array}\right]$
$Y = \left[\begin{array}{ll}7-5 & 0-0 \\ 2-1 & 5-4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right]$
આમ,$X = \left[\begin{array}{ll}5 & 0 \\ 1 & 4\end{array}\right]$ અને $Y = \left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right]$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$2X+3Y=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 4 & 0\end{array}\right]$ ... $(1)$
$3X+2Y=\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ -1 & 5\end{array}\right]$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$4X+6Y=\left[\begin{array}{cc}4 & 6 \\ 8 & 0\end{array}\right]$ ... $(3)$
$9X+6Y=\left[\begin{array}{cc}6 & -6 \\ -3 & 15\end{array}\right]$ ... $(4)$
સમીકરણ $(4)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા:
$(9X+6Y)-(4X+6Y)=\left[\begin{array}{cc}6 & -6 \\ -3 & 15\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}4 & 6 \\ 8 & 0\end{array}\right]$
$5X=\left[\begin{array}{cc}2 & -12 \\ -11 & 15\end{array}\right] \Rightarrow X=\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{5} & -\frac{12}{5} \\ -\frac{11}{5} & 3\end{array}\right]$
હવે,$X$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$3Y=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 4 & 0\end{array}\right]-2\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{5} & -\frac{12}{5} \\ -\frac{11}{5} & 3\end{array}\right]$
$3Y=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 4 & 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & -\frac{24}{5} \\ -\frac{22}{5} & 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{6}{5} & \frac{39}{5} \\ \frac{42}{5} & -6\end{array}\right]$
$Y=\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{5} & \frac{13}{5} \\ \frac{14}{5} & -2\end{array}\right]$

(A) આપેલ સમીકરણ $2X + Y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$ અને $Y = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ છે.
સમીકરણમાં શ્રેણિક $Y$ ની કિંમત મૂકતા:
$2X + \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$
બંને બાજુથી શ્રેણિક $Y$ બાદ કરતા:
$2X = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$
$2X = \begin{bmatrix} 1-3 & 0-2 \\ -3-1 & 2-4 \end{bmatrix}$
$2X = \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}$
$X$ શોધવા માટે $2$ વડે ભાગતા:
$X = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -4 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $2\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$
પ્રથમ શ્રેણિકને $2$ વડે ગુણતા: $\begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 0 & 2x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$
બંને શ્રેણિકોનો સરવાળો કરતા: $\begin{bmatrix} 2+y & 6 \\ 1 & 2x+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$2+y = 5 \Rightarrow y = 3$
$2x+2 = 8 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$
આમ,$x=3$ અને $y=3$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ:
$2\begin{bmatrix} x & z \\ y & t \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}$
શ્રેણિકોને અદિશ વડે ગુણતા:
$\begin{bmatrix} 2x & 2z \\ 2y & 2t \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 15 \\ 12 & 18 \end{bmatrix}$
ડાબી બાજુના શ્રેણિકોનો સરવાળો કરતા:
$\begin{bmatrix} 2x+3 & 2z-3 \\ 2y+0 & 2t+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 15 \\ 12 & 18 \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1) 2x+3 = 9 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$
$2) 2z-3 = 15 \Rightarrow 2z = 18 \Rightarrow z = 9$
$3) 2y = 12 \Rightarrow y = 6$
$4) 2t+6 = 18 \Rightarrow 2t = 12 \Rightarrow t = 6$
આમ,$x=3, y=6, z=9, t=6$ મળે છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $x \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 5 \end{bmatrix}$
અદિશ $x$ અને $y$ ને શ્રેણિક સાથે ગુણતા:
$\begin{bmatrix} 2x \\ 3x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -y \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 5 \end{bmatrix}$
ડાબી બાજુના શ્રેણિકોનો સરવાળો કરતા:
$\begin{bmatrix} 2x - y \\ 3x + y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 5 \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ મળે છે:
$1) \ 2x - y = 10$
$2) \ 3x + y = 5$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(2x - y) + (3x + y) = 10 + 5$
$5x = 15$
$x = 3$
$x = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$3(3) + y = 5$
$9 + y = 5$
$y = 5 - 9$
$y = -4$
આમ,$x = 3$ અને $y = -4$ મળે છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ:
$3\begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & 6 \\ -1 & 2w \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & x+y \\ z+w & 3 \end{bmatrix}$
અદિશ $3$ ને પ્રથમ શ્રેણિક સાથે ગુણતા:
$\begin{bmatrix} 3x & 3y \\ 3z & 3w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+4 & 6+x+y \\ -1+z+w & 2w+3 \end{bmatrix}$
શ્રેણિકના અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા:
$1) \ 3x = x + 4 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$
$2) \ 3y = 6 + x + y \Rightarrow 2y = 6 + 2 = 8 \Rightarrow y = 4$
$3) \ 3w = 2w + 3 \Rightarrow w = 3$
$4) \ 3z = -1 + z + w \Rightarrow 2z = -1 + 3 = 2 \Rightarrow z = 1$
આમ,$x=2, y=4, z=1, w=3$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $F(x) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $F(y) = \begin{bmatrix} \cos y & -\sin y & 0 \\ \sin y & \cos y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$L.H.S = F(x) F(y) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos y & -\sin y & 0 \\ \sin y & \cos y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
શ્રેણિકનો ગુણાકાર કરતા:
$= \begin{bmatrix} \cos x \cos y - \sin x \sin y & -\cos x \sin y - \sin x \cos y & 0 \\ \sin x \cos y + \cos x \sin y & -\sin x \sin y + \cos x \cos y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
$= \begin{bmatrix} \cos(x+y) & -\sin(x+y) & 0 \\ \sin(x+y) & \cos(x+y) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$= F(x+y) = R.H.S$
આમ,$F(x) F(y) = F(x+y)$ સાબિત થાય છે.

ધારો કે $A = \left[\begin{array}{cc}5 & -1 \\ 6 & 7\end{array}\right]$ અને $B = \left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 3 & 4\end{array}\right]$.
પ્રથમ,ગુણાકાર $AB$ ની ગણતરી કરો:
$AB = \left[\begin{array}{cc}5 & -1 \\ 6 & 7\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 3 & 4\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc}5(2) + (-1)(3) & 5(1) + (-1)(4) \\ 6(2) + 7(3) & 6(1) + 7(4)\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc}10 - 3 & 5 - 4 \\ 12 + 21 & 6 + 28\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}7 & 1 \\ 33 & 34\end{array}\right]$
ત્યારબાદ,ગુણાકાર $BA$ ની ગણતરી કરો:
$BA = \left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 3 & 4\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}5 & -1 \\ 6 & 7\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc}2(5) + 1(6) & 2(-1) + 1(7) \\ 3(5) + 4(6) & 3(-1) + 4(7)\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc}10 + 6 & -2 + 7 \\ 15 + 24 & -3 + 28\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}16 & 5 \\ 39 & 25\end{array}\right]$
કારણ કે $\left[\begin{array}{cc}7 & 1 \\ 33 & 34\end{array}\right] \ne \left[\begin{array}{cc}16 & 5 \\ 39 & 25\end{array}\right]$,તેથી સાબિત થાય છે કે $AB \ne BA$.

(N/A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$AB$ ની ગણતરી કરો:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(-1)+2(0)+3(2) & 1(1)+2(-1)+3(3) & 1(0)+2(1)+3(4) \\ 0(-1)+1(0)+0(2) & 0(1)+1(-1)+0(3) & 0(0)+1(1)+0(4) \\ 1(-1)+1(0)+0(2) & 1(1)+1(-1)+0(3) & 1(0)+1(1)+0(4) \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 5 & 8 & 14 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$BA$ ની ગણતરી કરો:
$BA = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1(1)+1(0)+0(1) & -1(2)+1(1)+0(1) & -1(3)+1(0)+0(0) \\ 0(1)+(-1)(0)+1(1) & 0(2)+(-1)(1)+1(1) & 0(3)+(-1)(0)+1(0) \\ 2(1)+3(0)+4(1) & 2(2)+3(1)+4(1) & 2(3)+3(0)+4(0) \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} -1 & -1 & -3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 6 & 11 & 6 \end{bmatrix}$.
આમ,$AB \ne BA$ હોવાથી,આપેલ વિધાન સાબિત થાય છે.

(N/A) આપણી પાસે $A^{2}=A \times A$ છે.
$A^{2}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]$
$A^{2}=\left[\begin{array}{ccc}2(2)+0(2)+1(1) & 2(0)+0(1)+1(-1) & 2(1)+0(3)+1(0) \\ 2(2)+1(2)+3(1) & 2(0)+1(1)+3(-1) & 2(1)+1(3)+3(0) \\ 1(2)+(-1)(2)+0(1) & 1(0)+(-1)(1)+0(-1) & 1(1)+(-1)(3)+0(0)\end{array}\right]$
$A^{2}=\left[\begin{array}{ccc}4+0+1 & 0+0-1 & 2+0+0 \\ 4+2+3 & 0+1-3 & 2+3+0 \\ 2-2+0 & 0-1+0 & 1-3+0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}5 & -1 & 2 \\ 9 & -2 & 5 \\ 0 & -1 & -2\end{array}\right]$
હવે,શ્રેણિકોને $A^{2}-5 A+6 I$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \left[\begin{array}{ccc}5 & -1 & 2 \\ 9 & -2 & 5 \\ 0 & -1 & -2\end{array}\right] - 5\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right] + 6\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc}5 & -1 & 2 \\ 9 & -2 & 5 \\ 0 & -1 & -2\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}10 & 0 & 5 \\ 10 & 5 & 15 \\ 5 & -5 & 0\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc}5-10+6 & -1-0+0 & 2-5+0 \\ 9-10+0 & -2-5+6 & 5-15+0 \\ 0-5+0 & -1+5+0 & -2-0+6\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & -10 \\ -5 & 4 & 4\end{array}\right]$

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,$A^{2} = A \cdot A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
$A^{2} = \begin{bmatrix} 3(3) + (-2)(4) & 3(-2) + (-2)(-2) \\ 4(3) + (-2)(4) & 4(-2) + (-2)(-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9-8 & -6+4 \\ 12-8 & -8+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & -4 \end{bmatrix}$.
હવે,સમીકરણ $A^{2} = kA - 2I$ માં કિંમતો મૂકતા:
$\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & -4 \end{bmatrix} = k \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3k & -2k \\ 4k & -2k \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$.
$\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3k-2 & -2k \\ 4k & -2k-2 \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $3k - 2 = 1$ મળે છે.
$3k = 3 \Rightarrow k = 1$.

(C) શ્રેણિકો $P$ અને $Y$ ની કક્ષા અનુક્રમે $p \times k$ અને $3 \times k$ છે.
ગુણાકાર $PY$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$P$ ના સ્તંભોની સંખ્યા $Y$ ની હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ. તેથી,$k=3$.
પરિણામી શ્રેણિક $PY$ ની કક્ષા $p \times k$ છે.
શ્રેણિકો $W$ અને $Y$ ની કક્ષા અનુક્રમે $n \times 3$ અને $3 \times k$ છે.
ગુણાકાર $WY$ વ્યાખ્યાયિત છે કારણ કે $W$ ના સ્તંભોની સંખ્યા $(3)$ એ $Y$ ની હારની સંખ્યા $(3)$ જેટલી છે.
પરિણામી શ્રેણિક $WY$ ની કક્ષા $n \times k$ છે.
સરવાળો $PY + WY$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,શ્રેણિકો $PY$ અને $WY$ ની કક્ષા સમાન હોવી જોઈએ.
કારણ કે $PY$ ની કક્ષા $p \times k$ છે અને $WY$ ની કક્ષા $n \times k$ છે,તેથી $p=n$ હોવું જોઈએ.
આમ,$k=3$ અને $p=n$ એ $n, k$ અને $p$ પરની જરૂરી શરતો છે.

(D) શ્રેણિક $X$ ની કક્ષા $2 \times n$ છે.
તેથી,શ્રેણિક $7X$ ની કક્ષા પણ $2 \times n$ જ થાય.
શ્રેણિક $Z$ ની કક્ષા $2 \times p$ છે. આપેલ છે કે $n=p,$ તેથી શ્રેણિક $Z$ ની કક્ષા $2 \times n$ થાય.
તેથી,શ્રેણિક $5Z$ ની કક્ષા પણ $2 \times n$ થાય.
શ્રેણિક $7X$ અને $5Z$ બંનેની કક્ષા $2 \times n$ હોવાથી,તેમનો તફાવત $7X - 5Z$ વ્યાખ્યાયિત છે.
આમ,પરિણામી શ્રેણિક $7X - 5Z$ ની કક્ષા $2 \times n$ છે.

(N/A) આપણી પાસે $B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ છે.
અચળાંક $k$ વડે ગુણતા,આપણને $kB = k \begin{bmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2k & -k & 2k \\ k & 2k & 4k \end{bmatrix}$ મળે છે.
હવે,$kB$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) લેતા,$(kB)^{\prime} = \begin{bmatrix} 2k & k \\ -k & 2k \\ 2k & 4k \end{bmatrix}$ મળે છે.
આપણે શ્રેણિકમાંથી $k$ સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ: $(kB)^{\prime} = k \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $B^{\prime} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ છે,તેથી સાબિત થાય છે કે $(kB)^{\prime} = kB^{\prime}$.
આમ,ગુણધર્મ ચકાસાયેલ છે.