Types of matrices, Algebra of matrices Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (0)(0) + (i)(-i) & (0)(i) + (i)(0) \\ (-i)(0) + (0)(-i) & (-i)(i) + (0)(0) \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} -i^2 & 0 \\ 0 & -i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
હવે,$A^{40} = (A^2)^{20} = I^{20} = I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,ગુણાકાર $AB$ શોધો:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (1)(2) + (-2)(3) + (1)(1) & (1)(1) + (-2)(2) + (1)(1) \\ (2)(2) + (1)(3) + (3)(1) & (2)(1) + (1)(2) + (3)(1) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 2 - 6 + 1 & 1 - 4 + 1 \\ 4 + 3 + 3 & 2 + 2 + 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -2 \\ 10 & 7 \end{bmatrix}$
હવે,હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરીને પરિવર્તિત શ્રેણિક $(AB)^T$ શોધો:
$(AB)^T = \begin{bmatrix} -3 & 10 \\ -2 & 7 \end{bmatrix}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણિકો $A_{1 \times 3} = [1, 2, 3]$,$B_{3 \times 1} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$,અને $C_{2 \times 2} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
બે શ્રેણિકો $X$ અને $Y$ નો ગુણાકાર વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$X$ ના સ્તંભોની સંખ્યા $Y$ ની હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
$1$. $AC$ માટે: $A$ એ $1 \times 3$ છે અને $C$ એ $2 \times 2$ છે. $3 \neq 2$ હોવાથી,$AC$ વ્યાખ્યાયિત નથી.
$2$. $BA$ માટે: $B$ એ $3 \times 1$ છે અને $A$ એ $1 \times 3$ છે. $1 = 1$ હોવાથી,$BA$ વ્યાખ્યાયિત છે. $BA = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} [1, 2, 3] = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \\ 4 & 8 & 12 \end{bmatrix}_{3 \times 3}$.
$3$. $(AB)C$ માટે: $AB$ વ્યાખ્યાયિત છે ($1 \times 3$ અને $3 \times 1$ પરિણામ $1 \times 1$ આપે છે). ધારો કે $P = AB = [20]_{1 \times 1}$. હવે,$PC$ માટે $P$ માં $2$ સ્તંભ હોવા જોઈએ,પરંતુ તેમાં $1$ છે. તેથી,$(AB)C$ વ્યાખ્યાયિત નથી.
$4$. $(AC)B$ માટે: $AC$ વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી,$(AC)B$ વ્યાખ્યાયિત નથી.
તેથી,$BA$ એ વ્યાખ્યાયિત ગુણાકાર છે.

(D) બે શૂન્યતર શ્રેણિકોનો ગુણાકાર શૂન્ય શ્રેણિક હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે,$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ લો.
ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
અહીં,$A \neq O$ અને $B \neq O$ હોવા છતાં $AB = O$ મળે છે.
તેથી,આપેલા વિધાનોમાંથી કોઈ પણ વિધાન ($A=O$ અને $B=O$,$A=O$ અથવા $B=O$,$A$ શૂન્ય શ્રેણિક છે) હંમેશા સાચું હોવું જરૂરી નથી.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ એ $n \times n$ ક્રમના ચોરસ શ્રેણિકો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણિક પદાવલિનો વર્ગ એટલે તે પદાવલિનો તેની સાથેનો ગુણાકાર.
તેથી,${(A - B)^2} = (A - B)(A - B)$.
શ્રેણિક ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(A - B)(A - B) = A(A - B) - B(A - B)$
$= A^2 - AB - BA + B^2$.
સામાન્ય રીતે શ્રેણિક ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળતો નથી,એટલે કે $AB \neq BA$,તેથી આપણે $-AB - BA$ ને $-2AB$ તરીકે લખી શકતા નથી.
આમ,સાચું પદ $A^2 - AB - BA + B^2$ છે.

(A) એકમ શ્રેણિક $I$ એ એવો ચોરસ શ્રેણિક છે જેમાં મુખ્ય વિકર્ણના તમામ ઘટકો $1$ હોય છે અને બાકીના તમામ ઘટકો $0$ હોય છે.
અદિશ શ્રેણિક એ એવો વિકર્ણ શ્રેણિક છે જેમાં તમામ વિકર્ણ ઘટકો કોઈ અચળાંક $k$ સમાન હોય છે.
એકમ શ્રેણિક એ એક એવો વિકર્ણ શ્રેણિક છે જેમાં તમામ વિકર્ણ ઘટકો $1$ (એક અચળાંક) છે,તેથી તે અદિશ શ્રેણિકની વ્યાખ્યાનું પાલન કરે છે.
તેથી,દરેક એકમ શ્રેણિક એ અદિશ શ્રેણિક છે.

(B) સૌ પ્રથમ,ગુણાકાર $AB$ શોધો:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(0) + (0)(1) & (1)(0) + (0)(12) \\ (2)(0) + (0)(1) & (2)(0) + (0)(12) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
ત્યારબાદ,ગુણાકાર $BA$ શોધો:
$BA = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 12 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (0)(1) + (0)(2) & (0)(0) + (0)(0) \\ (1)(1) + (12)(2) & (1)(0) + (12)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 25 & 0 \end{bmatrix} \neq O$.
આમ,$AB = O$ અને $BA \neq O$ થાય છે.

(C) જો ચોરસ શ્રેણિક $A = [a_{ij}]$ માં મુખ્ય વિકર્ણની નીચેના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોય,તો તેને ઉપરનો ત્રિકોણીય શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે,એટલે કે $i > j$ માટે $a_{ij} = 0$.
આપેલ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 2 & 5 & -7 \\ 0 & 3 & 11 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$ માં,મુખ્ય વિકર્ણની નીચેના ઘટકો $a_{21} = 0$,$a_{31} = 0$,અને $a_{32} = 0$ છે.
મુખ્ય વિકર્ણની નીચેના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોવાથી,આ શ્રેણિક એક ઉપરનો ત્રિકોણીય શ્રેણિક છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} i & 1 \\ 0 & i \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} i & 1 \\ 0 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 1 \\ 0 & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i^2 & i+i \\ 0 & i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2i \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$A^4 = A^2 \times A^2 = \begin{bmatrix} -1 & 2i \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 2i \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ શોધો.
$A^4 = \begin{bmatrix} (-1)(-1) + (2i)(0) & (-1)(2i) + (2i)(-1) \\ (0)(-1) + (-1)(0) & (0)(2i) + (-1)(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2i - 2i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -4i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(C) $3 \times 1$ ક્રમના સ્તંભ શ્રેણિકનો $1 \times 3$ ક્રમના હાર શ્રેણિક સાથે ગુણાકાર કરવા માટે,આપણે શ્રેણિક ગુણાકાર કરીએ છીએ જ્યાં પરિણામી $3 \times 3$ શ્રેણિકનો દરેક ઘટક પ્રથમ શ્રેણિકના હારના ઘટક અને બીજા શ્રેણિકના સ્તંભના ઘટકનો ગુણાકાર છે.
$\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(2) & 1(1) & 1(-1) \\ -1(2) & -1(1) & -1(-1) \\ 2(2) & 2(1) & 2(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & -2 \end{bmatrix}$.

(C) બે શ્રેણિકો $A$ અને $B$ ની બાદબાકી માટે,શરત એ છે કે તેઓ સમાન ક્રમના હોવા જોઈએ.
આપેલ છે કે શ્રેણિક $A$ નો ક્રમ $p \times q$ છે અને શ્રેણિક $B$ નો ક્રમ $r \times s$ છે.
તેથી,$A - B$ વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,હારની સંખ્યા સમાન હોવી જોઈએ $(p = r)$ અને સ્તંભની સંખ્યા સમાન હોવી જોઈએ $(q = s)$.
આમ,સાચી શરત $p = r$ અને $q = s$ છે.

(C) જો $AB = O$ હોય,તો તેનો અર્થ એ નથી કે $A = O$ અથવા $B = O$ હોવું જ જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે,શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ લો.
ગુણાકાર $AB$ ની ગણતરી કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(0) + (0)(1) & (1)(0) + (0)(0) \\ (0)(0) + (0)(1) & (0)(0) + (0)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
અહીં,$A \ne O$ અને $B \ne O$ છે,છતાં તેમનો ગુણાકાર $AB = O$ મળે છે.
તેથી,તે જરૂરી નથી કે $A = O$ અથવા $B = O$ હોય.

(B) શ્રેણિકના ઘટકો માટેનું સૂત્ર આપેલ છે: ${a_{ij}} = \frac{1}{2}(3i - 2j)$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $A = {[{a_{ij}}]_{2 \times 2}}$ માટે,આપણે ઘટકોની ગણતરી નીચે મુજબ કરીએ છીએ:
$i=1, j=1$ માટે: ${a_{11}} = \frac{1}{2}(3(1) - 2(1)) = \frac{1}{2}(3 - 2) = \frac{1}{2}$.
$i=1, j=2$ માટે: ${a_{12}} = \frac{1}{2}(3(1) - 2(2)) = \frac{1}{2}(3 - 4) = -\frac{1}{2}$.
$i=2, j=1$ માટે: ${a_{21}} = \frac{1}{2}(3(2) - 2(1)) = \frac{1}{2}(6 - 2) = \frac{4}{2} = 2$.
$i=2, j=2$ માટે: ${a_{22}} = \frac{1}{2}(3(2) - 2(2)) = \frac{1}{2}(6 - 4) = \frac{2}{2} = 1$.
આમ,શ્રેણિક $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1/2}&{-1/2}\\2&1\end{array}} \right]$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2X - \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$
બંને બાજુ $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}$ ઉમેરતા:
$2X = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}$
શ્રેણિકનો સરવાળો કરતા:
$2X = \begin{bmatrix} 3+1 & 2+2 \\ 0+7 & -2+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 7 & 2 \end{bmatrix}$
હવે,$X$ શોધવા માટે દરેક ઘટકને $2$ વડે ભાગતા:
$X = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 7 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 7/2 & 1 \end{bmatrix}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
${A^2} = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+2(0) & 1(2)+2(1) \\ 0(1)+1(0) & 0(2)+1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ગણો.
${A^3} = {A^2} \times A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+4(0) & 1(2)+4(1) \\ 0(1)+1(0) & 0(2)+1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ગણો.
આ પેટર્નનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,શ્રેણિક ${A^n} = \begin{bmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ સ્વરૂપમાં મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે કે,$kA = \begin{bmatrix} 0 & 3a \\ 2b & 24 \end{bmatrix}$.
$A$ ની કિંમત મૂકતા,$k \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 3a \\ 2b & 24 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકની અંદર $k$ વડે ગુણતા: $\begin{bmatrix} 0 & 2k \\ 3k & -4k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 3a \\ 2b & 24 \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1) -4k = 24 \implies k = -6$.
$2) 2k = 3a \implies 2(-6) = 3a \implies -12 = 3a \implies a = -4$.
$3) 3k = 2b \implies 3(-6) = 2b \implies -18 = 2b \implies b = -9$.
આમ,$k = -6, a = -4, b = -9$ મળે છે.

(B) સૌ પ્રથમ,$A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 6 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{bmatrix}$
ત્યારબાદ,$A^3 = A^2 \times A$ ની ગણતરી કરો:
$A^3 = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 6 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 9 & 3 \\ 15 & 19 & 6 \\ 9 & 12 & 4 \end{bmatrix}$
હવે,$A^3 - 3A^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^3 - 3A^2 = \begin{bmatrix} 7 & 9 & 3 \\ 15 & 19 & 6 \\ 9 & 12 & 4 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 6 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 9 & 3 \\ 15 & 19 & 6 \\ 9 & 12 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 9 & 3 \\ 15 & 18 & 6 \\ 9 & 12 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$
તેથી,$A^3 - 3A^2 = I$,જે સૂચવે છે કે $A^3 - 3A^2 - I = O$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3)(3) + (-5)(-4) & (3)(-5) + (-5)(2) \\ (-4)(3) + (2)(-4) & (-4)(-5) + (2)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 + 20 & -15 - 10 \\ -12 - 8 & 20 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 29 & -25 \\ -20 & 24 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$5A$ ની ગણતરી કરો:
$5A = 5 \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & -25 \\ -20 & 10 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^2 - 5A$ શોધો:
$A^2 - 5A = \begin{bmatrix} 29 & -25 \\ -20 & 24 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 & -25 \\ -20 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 29-15 & -25-(-25) \\ -20-(-20) & 24-10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 0 \\ 0 & 14 \end{bmatrix}$.
આને $14 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 14I$ તરીકે લખી શકાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે કે,શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (0)(0) + (-1)(1) & (0)(-1) + (-1)(0) \\ (1)(0) + (0)(1) & (1)(-1) + (0)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
હવે,આપણે $A^{16}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{16} = (A^2)^8 = (-I)^8 = (-1)^8 \cdot I^8 = 1 \cdot I = I$.
આમ,$A^{16} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 1+1 \\ 1+1 & 1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = 2^1 A$.
$A^3$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^3 = A^2 \cdot A = (2A) \cdot A = 2 A^2 = 2(2A) = 4A = 2^2 A$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,આપણે $A^n$ માટે સામાન્ય સૂત્ર મેળવી શકીએ છીએ:
$A^n = 2^{n-1} A$.
તેથી,$n = 100$ માટે:
$A^{100} = 2^{100-1} A = 2^{99} A$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) કોઈપણ ત્રણ શ્રેણિકો $A$,$B$,અને $C$ માટે,શ્રેણિક ગુણાકાર જૂથનો નિયમ (associative) પાળે છે,એટલે કે $(AB)C = A(BC)$.
શ્રેણિક ગુણાકાર સામાન્ય રીતે ક્રમનો નિયમ (commutative) પાળતું નથી,એટલે કે મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં $AB \neq BA$ થાય છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે શ્રેણિક ગુણાકાર જૂથનો નિયમ પાળે છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\begin{bmatrix} x + y & 2x + z \\ x - y & 2z + w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 0 & 10 \end{bmatrix}$.
બંને શ્રેણિકોના અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા,આપણને નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણો મળે છે:
$1) x + y = 4$
$2) x - y = 0$
$3) 2x + z = 7$
$4) 2z + w = 10$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$x = y$ મળે છે. આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,$x + x = 4$ મળે,જેનો અર્થ છે $2x = 4$,તેથી $x = 2$. કારણ કે $x = y$,તેથી $y = 2$.
હવે,$x = 2$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા: $2(2) + z = 7 \implies 4 + z = 7 \implies z = 3$.
છેલ્લે,$z = 3$ ને સમીકરણ $(4)$ માં મૂકતા: $2(3) + w = 10 \implies 6 + w = 10 \implies w = 4$.
આમ,$x=2, y=2, z=3, w=4$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(2) + (-1)(-1) & (2)(-1) + (-1)(2) \\ (-1)(2) + (2)(-1) & (-1)(-1) + (2)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -4 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$.
હવે,આપણે વિકલ્પો તપાસીએ. ચાલો વિકલ્પ $A$ $(4A - 3I)$ ચકાસીએ:
$4A - 3I = 4 \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -4 \\ -4 & 8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -4 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$.
આમ,$A^2 = 4A - 3I$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે $P = \begin{bmatrix} i & 0 & -i \\ 0 & -i & i \\ -i & i & 0 \end{bmatrix}$ અને $Q = \begin{bmatrix} -i & i \\ 0 & 0 \\ i & -i \end{bmatrix}$.
$PQ$ શોધવા માટે,આપણે શ્રેણિક ગુણાકાર કરીશું:
$PQ = \begin{bmatrix} i & 0 & -i \\ 0 & -i & i \\ -i & i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -i & i \\ 0 & 0 \\ i & -i \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} i(-i) + 0(0) + (-i)(i) & i(i) + 0(0) + (-i)(-i) \\ 0(-i) + (-i)(0) + i(i) & 0(i) + (-i)(0) + i(-i) \\ (-i)(-i) + i(0) + 0(i) & (-i)(i) + i(0) + 0(-i) \end{bmatrix}$
$i^2 = -1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$PQ = \begin{bmatrix} -i^2 - i^2 & i^2 + i^2 \\ i^2 & -i^2 \\ i^2 & -i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -(-1) - (-1) & -1 + (-1) \\ -1 & -(-1) \\ -1 & -(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$.

(B) $n$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક (identity matrix) $I$ એ એક ચોરસ શ્રેણિક છે જેમાં મુખ્ય વિકર્ણ પર $1$ અને બાકીના સ્થાનો પર $0$ હોય છે.
કોઈપણ એકમ શ્રેણિક $I_n$ માટે,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $|I_n| = 1^n = 1$ થાય છે.
અહીં $I$ એ $10$ ના ક્રમનો એકમ શ્રેણિક હોવાથી,તેનો નિશ્ચાયક $|I| = 1^{10} = 1$ થશે.

(C) શ્રેણિકો માટે,$AB = O$ ગુણધર્મનો અર્થ એવો નથી કે $A = O$ અથવા $B = O$ હોય જ.
ઉદાહરણ તરીકે,$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ લો.
તો $AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$ મળે છે.
જોકે,$A \neq O$ અને $B \neq O$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ માં આપેલ વિધાન સત્ય નથી.

(A) આપેલ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 4 & 5 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ છે.
$AB$ શોધવા માટે,આપણે શ્રેણિક ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$AB = \begin{bmatrix} (1)(1)+(2)(2)+(-1)(0) & (1)(0)+(2)(1)+(-1)(1) & (1)(0)+(2)(0)+(-1)(3) \\ (3)(1)+(0)(2)+(2)(0) & (3)(0)+(0)(1)+(2)(1) & (3)(0)+(0)(0)+(2)(3) \\ (4)(1)+(5)(2)+(0)(0) & (4)(0)+(5)(1)+(0)(1) & (4)(0)+(5)(0)+(0)(3) \end{bmatrix}$
દરેક ઘટકની ગણતરી કરતા:
હાર $1$: $(1+4+0) = 5$,$(0+2-1) = 1$,$(0+0-3) = -3$
હાર $2$: $(3+0+0) = 3$,$(0+0+2) = 2$,$(0+0+6) = 6$
હાર $3$: $(4+10+0) = 14$,$(0+5+0) = 5$,$(0+0+0) = 0$
આમ,$AB = \begin{bmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 3 & 2 & 6 \\ 14 & 5 & 0 \end{bmatrix}$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે $A^2$ ની ગણતરી નીચે મુજબ કરીએ છીએ:
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha^2 + 0 & 0 + 0 \\ \alpha + 1 & 0 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha^2 & 0 \\ \alpha + 1 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણને આપેલ છે કે $A^2 = B$,તેથી:
$\begin{bmatrix} \alpha^2 & 0 \\ \alpha + 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$1$) $\alpha^2 = 1 \implies \alpha = \pm 1$
$2$) $\alpha + 1 = 5 \implies \alpha = 4$
આમ,$\alpha$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જે બંને સમીકરણોને એકસાથે સંતોષે,તેથી $A^2 = B$ થાય તેવી $\alpha$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી.

(A) સૌ પ્રથમ,શ્રેણિક અને સ્તંભ સદિશનો ગુણાકાર કરો:
$\begin{bmatrix} 7 & 1 & 2 \\ 9 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (7 \times 3) + (1 \times 4) + (2 \times 5) \\ (9 \times 3) + (2 \times 4) + (1 \times 5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 21 + 4 + 10 \\ 27 + 8 + 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 35 \\ 40 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,અદિશ ગુણાકાર કરો:
$2 \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 4 \end{bmatrix}$.
અંતે,બંને પરિણામી શ્રેણિકોનો સરવાળો કરો:
$\begin{bmatrix} 35 \\ 40 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 8 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 35 + 8 \\ 40 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 43 \\ 44 \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આપણે વિકલ્પો ચકાસીએ:
$(i)$ $A^2$ ની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$(ii)$ $(-1)I = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \neq A$.
$(iii)$ નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 0(0 - 0) - 0(0 - 0) - 1(0 - 1) = 1$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$(iv)$ $A$ એ શૂન્ય શ્રેણિક નથી કારણ કે તેમાં શૂન્યતર ઘટકો છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} -5 & 7 & 1 \\ 1 & -5 & 7 \\ 7 & 1 & -5 \end{bmatrix}$.
ગુણાકાર $AB$ શોધતા:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -5 & 7 & 1 \\ 1 & -5 & 7 \\ 7 & 1 & -5 \end{bmatrix}$
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
પ્રથમ હાર: $(1)(-5) + (2)(1) + (3)(7) = -5 + 2 + 21 = 18$; $(1)(7) + (2)(-5) + (3)(1) = 7 - 10 + 3 = 0$; $(1)(1) + (2)(7) + (3)(-5) = 1 + 14 - 15 = 0$.
બીજી હાર: $(3)(-5) + (1)(1) + (2)(7) = -15 + 1 + 14 = 0$; $(3)(7) + (1)(-5) + (2)(1) = 21 - 5 + 2 = 18$; $(3)(1) + (1)(7) + (2)(-5) = 3 + 7 - 10 = 0$.
ત્રીજી હાર: $(2)(-5) + (3)(1) + (1)(7) = -10 + 3 + 7 = 0$; $(2)(7) + (3)(-5) + (1)(1) = 14 - 15 + 1 = 0$; $(2)(1) + (3)(7) + (1)(-5) = 2 + 21 - 5 = 18$.
આમ,$AB = \begin{bmatrix} 18 & 0 & 0 \\ 0 & 18 & 0 \\ 0 & 0 & 18 \end{bmatrix} = 18 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 18I_3$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2X + \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 8 \\ 7 & 2 \end{bmatrix}$
બંને બાજુથી શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ બાદ કરતા:
$2X = \begin{bmatrix} 3 & 8 \\ 7 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$
$2X = \begin{bmatrix} 3-1 & 8-2 \\ 7-3 & 2-4 \end{bmatrix}$
$2X = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}$
આખા શ્રેણિકને $2$ વડે ભાગતા:
$X = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 4 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$(1)$ $A + B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$
$(2)$ $A - 2B = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$
$B$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણો:
$2A + 2B = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$
હવે,આને સમીકરણ $(2)$ માં ઉમેરો:
$(2A + 2B) + (A - 2B) = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$
$3A = \begin{bmatrix} 2-1 & 0+1 \\ 2+0 & 2-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$
$3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$A = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 \\ 2/3 & 1/3 \end{bmatrix}$

(B) ધારો કે $E = \begin{bmatrix} a & a \\ a & a \end{bmatrix}$ એ ગણ $M$ માં તદેવ ઘટક છે,જેથી કોઈપણ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix} \in M$ માટે,$A \cdot E = A$ થાય.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$\begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & a \\ a & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} xa+xa & xa+xa \\ xa+xa & xa+xa \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2ax & 2ax \\ 2ax & 2ax \end{bmatrix}$.
આને $A$ સાથે સરખાવતા:
$\begin{bmatrix} 2ax & 2ax \\ 2ax & 2ax \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix}$.
આથી $2ax = x$ મળે. $x \neq 0$ હોવાથી,$x$ વડે ભાગતા $2a = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{1}{2}$.
આમ,તદેવ ઘટક $\begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ છે.

(B) બે શ્રેણિકો $A$ અને $B$ ના ગુણાકારના પરિવર્તિત શ્રેણિકનો ગુણધર્મ પરિવર્તિત શ્રેણિકના ઉલટાવવાના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $(AB)' = B'A'$.
વિકલ્પ $A$ ખોટો છે કારણ કે તેમાં ક્રમ ઉલટાવવામાં આવ્યો નથી.
વિકલ્પ $C$ ખોટો છે કારણ કે છેદમાં શ્રેણિક $A$ નહીં પણ નિશ્ચાયક $|A|$ હોવો જોઈએ.
વિકલ્પ $D$ ખોટો છે કારણ કે ગુણાકારના વ્યસ્ત શ્રેણિક માટેનો ઉલટાવવાનો નિયમ $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $(AB)' = B'A'$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ ઇન્વોલ્યુટરી શ્રેણિક છે,તેથી વ્યાખ્યા મુજબ $A^2 = I$ થાય.
આપણે $(I - A)(I + A)$ પદાવલિનું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$(I - A)(I + A) = I(I) + I(A) - A(I) - A(A)$
$= I^2 + IA - AI - A^2$
$= I + A - A - A^2$
$= I - A^2$
કારણ કે $A^2 = I$,આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$I - A^2 = I - I = O$,જ્યાં $O$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.

(C) આપેલ છે કે $R(t) = \begin{bmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{bmatrix}$.
તેથી $R(s) = \begin{bmatrix} \cos s & \sin s \\ -\sin s & \cos s \end{bmatrix}$.
ગુણાકાર $R(s) \cdot R(t)$ ની ગણતરી કરતા:
$R(s) \cdot R(t) = \begin{bmatrix} \cos s & \sin s \\ -\sin s & \cos s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \cos s \cos t - \sin s \sin t & \cos s \sin t + \sin s \cos t \\ -\sin s \cos t - \cos s \sin t & -\sin s \sin t + \cos s \cos t \end{bmatrix}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ અને $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \begin{bmatrix} \cos(s+t) & \sin(s+t) \\ -\sin(s+t) & \cos(s+t) \end{bmatrix}$
$= R(s+t)$.

(B) શ્રેણિક $A$ સંમિત હોય જો $A = A^T$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $i$-મી હાર અને $j$-મા સ્તંભનો ઘટક એ $j$-મી હાર અને $i$-મા સ્તંભના ઘટક જેટલો હોય,એટલે કે $a_{ij} = a_{ji}$.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 4 & x + 2 \\ 2x - 3 & x + 1 \end{bmatrix}$ માટે,આપણી પાસે $a_{12} = x + 2$ અને $a_{21} = 2x - 3$ છે.
શ્રેણિક સંમિત હોવાથી,આપણે $a_{12} = a_{21}$ લઈએ:
$x + 2 = 2x - 3$
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા,આપણને $2 = x - 3$ મળે છે.
બંને બાજુ $3$ ઉમેરતા,આપણને $x = 5$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 4}&1\\4&0&{ - 5}\\{ - 1}&5&0\end{array}} \right]$.
શ્રેણિક વિસંમિત છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T$ શોધીએ.
$A^T = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&4&{ - 1}\\{ - 4}&0&5\\1&{ - 5}&0\end{array}} \right]$.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $A^T = -A$.
તેથી,$A^T = -A$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(D) આપેલ છે કે $A = [a_{ij}]$ એક ચોરસ શ્રેણિક છે જ્યાં $a_{ij} = i^2 - j^2$ છે.
કોઈપણ ઘટક $a_{ji}$ માટે,આપણી પાસે $a_{ji} = j^2 - i^2$ છે.
આને આપણે $a_{ji} = -(i^2 - j^2) = -a_{ij}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
જો તમામ $i, j$ માટે $a_{ji} = -a_{ij}$ હોય,તો શ્રેણિક $A$ ને વિસંમિત શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે.
કારણ કે તમામ $i, j$ માટે $a_{ji} = -a_{ij}$ સાચું છે,તેથી શ્રેણિક $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) શરત $AI = A$ કોઈપણ શ્રેણિક $A$ માટે સાચી છે જ્યાં ગુણાકાર વ્યાખ્યાયિત હોય,કારણ કે $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
જોકે,શરત $AA^T = I$ એ લંબકોણીય (orthogonal) શ્રેણિકની વ્યાખ્યા છે.
લંબકોણીય શ્રેણિક હંમેશા ચોરસ શ્રેણિક હોવો જોઈએ.
તેથી,આપેલી શરતો સૂચવે છે કે $A$ એક લંબકોણીય શ્રેણિક છે,જેના માટે $A$ નું ચોરસ શ્રેણિક હોવું આવશ્યક છે.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે ગુણાકાર $AB$ શોધીએ:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (1)(2) + (-2)(3) + (1)(1) & (1)(1) + (-2)(2) + (1)(1) \\ (2)(2) + (1)(3) + (3)(1) & (2)(1) + (1)(2) + (3)(1) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 2 - 6 + 1 & 1 - 4 + 1 \\ 4 + 3 + 3 & 2 + 2 + 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -2 \\ 10 & 7 \end{bmatrix}$
હવે,હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરીને આપણે પરિવર્તિત શ્રેણિક $(AB)^T$ મેળવીએ:
$(AB)^T = \begin{bmatrix} -3 & 10 \\ -2 & 7 \end{bmatrix}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = (\cos \theta)(\cos \theta) - (-\sin \theta)(\sin \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
કારણ કે $|A| = 1 \neq 0$,તેથી શ્રેણિક $A$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો (invertible) છે.
આગળ,તપાસો કે શું $A$ ઓર્થોગોનલ છે:
$A A^T = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
તેથી,$A$ એ ઓર્થોગોનલ શ્રેણિક છે. ઓર્થોગોનલ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) પણ ઓર્થોગોનલ હોય છે,તેથી $A'$ પણ ઓર્થોગોનલ છે.
તેથી,વિધાન '$A$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો નથી' તે ખોટું છે.

(A) વ્યસ્ત શ્રેણિકના ઉલટાવવાના નિયમ (reversal law of inverses) નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $(B^{-1}A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1}(B^{-1})^{-1} = AB$.
હવે,આપણે ગુણાકાર $AB$ ની ગણતરી કરીએ:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (2 \times 0) + (2 \times 1) & (2 \times -1) + (2 \times 0) \\ (-3 \times 0) + (2 \times 1) & (-3 \times -1) + (2 \times 0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 0 + 2 & -2 + 0 \\ 0 + 2 & 3 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$.

(B) એક ચોરસ શ્રેણિક $A = [a_{ij}]$ ને અદિશ શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે જો તેના તમામ બિન-વિકર્ણ ઘટકો શૂન્ય હોય ($i \neq j$ માટે $a_{ij} = 0$) અને તેના તમામ વિકર્ણ ઘટકો એક અચળ $k$ સમાન હોય ($i = j$ માટે $a_{ij} = k$).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) નિલપોટન્સીનો ઇન્ડેક્સ શોધવા માટે,આપણે $A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -3 & -4 \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} (1-1-4) & (-3+9+12) & (-4-12+16) \\ (-1+3+4) & (3-9-12) & (4+12-16) \\ (1+3-4) & (-3-9+12) & (-4-12+16) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = O$
અહીં $A^2 = O$ અને $A \neq O$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ નો નિલપોટન્ટ ઇન્ડેક્સ $2$ છે.

(B) શ્રેણિકોના ગુણાકારનો પરિવર્ત શ્રેણિક એ તેમના પરિવર્ત શ્રેણિકોના ઉલટા ક્રમમાં ગુણાકાર બરાબર હોય છે.
કોઈપણ બે શ્રેણિક $X$ અને $Y$ માટે,ગુણધર્મ $(XY)' = Y' X'$ છે.
આ ગુણધર્મને ત્રણ શ્રેણિકો $A, B,$ અને $C$ ના ગુણાકાર માટે લાગુ પાડતા:
$(ABC)' = ((AB)C)' = C'(AB)'$
$(AB)' = B' A'$ ગુણધર્મનો ફરીથી ઉપયોગ કરતા:
$(ABC)' = C'(B' A') = C' B' A'$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$.
આપણે $A^2 = A \times A$ શોધવાનું છે.
$A^2 = \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + b^2 & ab + ba \\ ba + ab & b^2 + a^2 \end{bmatrix}$.
$A^2 = \begin{bmatrix} a^2 + b^2 & 2ab \\ 2ab & a^2 + b^2 \end{bmatrix}$.
આને $A^2 = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & \alpha \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = a^2 + b^2$ અને $\beta = 2ab$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.
$A^2$ શોધવા માટે,આપણે $A \times A$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$
મેટ્રિક્સ ગુણાકાર કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} (\cos \alpha)(\cos \alpha) + (\sin \alpha)(-\sin \alpha) & (\cos \alpha)(\sin \alpha) + (\sin \alpha)(\cos \alpha) \\ (-\sin \alpha)(\cos \alpha) + (\cos \alpha)(-\sin \alpha) & (-\sin \alpha)(\sin \alpha) + (\cos \alpha)(\cos \alpha) \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha & 2\sin \alpha \cos \alpha \\ -2\sin \alpha \cos \alpha & \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \end{bmatrix}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ અને $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ -\sin 2\alpha & \cos 2\alpha \end{bmatrix}$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 11 & 7 \\ -11 & 4 & -11 \\ 7 & 11 & 12 \end{bmatrix}$.
હવે,$9I = 9 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
છેલ્લે,$A^2$ અને $9I$ નો સરવાળો કરો:
$A^2 + 9I = \begin{bmatrix} 6 & 11 & 7 \\ -11 & 4 & -11 \\ 7 & 11 & 12 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 11 & 7 \\ -11 & 13 & -11 \\ 7 & 11 & 21 \end{bmatrix}$.
આ પરિણામને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,તે $2A$,$4A$ કે $6A$ સાથે મેળ ખાતું નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.